7 gredni nosaci

7/29/2019 7 gredni nosaci

1/39

RAVANSKI GREDNI NOSAIOsnovni element ravanskih grednih nosaa je tap, koji je u optem sluajuoptereen proizvoljnim ravanskim sistemom sila i spregova. Zamiljenimpresecanjem takvog tapa i posmatranjem jednog njegovog dela, dejstvouklonjenog dela na posmatrani, sadri unutranje sile u poprenom iuzdunom pravcu (tranverzanla i aksijalna sila) i unutranji spreg (napadni

moment). Ove veliine (transverzalna sila, aksijalna sila i napadni moment)koje su definisane za gotovo svaki presek nosaa veoma su vane zafunkcionalnost, oblik i dimenzije samog nosaa i nazivaju se presenimsilama. Osnovni zadatak pri prouavanju grednih nosaa je odreivanje

presenih sila u svim njegovim presecima u kojima su one definisane.TIPOVI GREDNIH NOSAAProstu gredu, Sl.1, ini optereen prav tap koji se oslanja na oslonce svojimkrajevima. Jedan oslonac je pokretan (ovdeA) a drugi nepokretan (B).Greda s prepustom, Sl.2 i 3, za razliku od proste grede, predstavlja optereenprav tap iji se jedan oslonac ne nalazi na kraju.

Konzolu, Sl.5, predstavlja optereen tap koji je ukleten na jednom kraju.Ram, Sl.6, predstavlja optereen i oslonjen (putem oslonaca i/iliukletenja) nosa koji je sainjen od vie tapova ije se ose seku.


2/39

Gerberov nosa, Sl.7, je nosa iji su pojedini delovi (tapovi) zglobno povezani.Zglobove, koji povezuju delove nosaa, zvaemo Gerberovim zglobovima.Za statiki neodreenu gredu, Sl.8, nije mogue odrediti otpori oslonacasamo na osnovu uslova ravnotee (ovakve grede u statici neemo reavati).


3/39

OPTEREENJA GREDNIH NOSAA Osim koncentrisanih sila ikoncentrisanih spregova kojineposredno dejstvuju na nekeod taaka grednih nosaa uovom kursu emo se sretati i sakontinualnim (neprekidno

rasporeenim) i posrednimoptereenjem.

Otpori nepokretnih i pokretnih oslonaca, koje emo uvek prethodno odrediti izuslova ravnotee, spadae u koncentrisane sile. Reakcije ukletenja, za koje sesmatra da dejstvuju na krajnju taku nosaa, inie koncentrisana sila ikoncentrisan reaktivni spreg (moment ukletenja).

Kontinualno optereenje se zadaje specifinim optereenjem q (optereenjempo duini), ija je dimenzija sila kroz duinu (npr. kN/m). Ono je, u optemsluaju, funkcija koordinatez, dakle q=q(z).

Optereenje koje ne dejstvuje neposredno na gredu ve na neki pridodatelement (npr. tap ili ugaonik), koji je kruto vezan (npr. zavaren) za gredu,nazivamo posrednim optereenjem.


4/39

KONTINUALNO OPTEREENJE

Na Sl.1 prikazano je proizvoljno poprenokontinualno optereenje q(z), koje seprotee na duini l , .0 lz

Kontinualno optereenje moe biti

shvaeno kao beskonano mnogo, jednakousmerenih, paralelnih sila.zqF iqi = == zqFF iqiq

=

qiq F

A

F

AMM

rr

==

zq

zzq

F

zFz

i

ii

q

iqi

q

( ) dzzqdFq = ( ) dzzqFl

q =0

( ) ( )

( ) dzzq

dzzqz

F

dzzqz

zl

l

q

l

q

==

0

00


5/39

Primer 8.1

Odrediti rezultante ravnomernog, trougaonog i trapeznog kontinualnogoptereenja kao i njihova mesta.


6/39

Ravnomerno (pravougaono)

kontinualno optereenje

( ) lqlqzqdzqFl

l

q ==== 000

( )2

0212122

02

0 l

l

l

l

z

ql

dzzqz

l

l

q =

===

Trougaono kontinualno optereenje

222

2

0

2

0

lql

l

qz

l

qdzz

l

qF ll

l

l

l

lq

==== l

l

l

z

llq

dzzl

q

z

l

l

l

l

q 3

2

3

2

3

2

2

3

20

3

20

2

===

=

Trapezno kontinualno optereenje

+=

+=

ll

lq dzqdzz

l

qqqF

0

0

0

00 l

qql

l

qqlqdzz

l

qq lll

l

+=

+=

220

20

0

0

0

=

+=

+

l

l

ll

l

z

l

qqzqdzzzl

qqq

0

3

0

0

2

0

0

00 3220

3

0

2

0 6

2

32 lqql

l

qqlq ll

+

=

+

3

2

0

00

00

l

qq

qq

F

dzzzl

qqq

zl

l

q

l

l

q

+

+=

+

=


7/39

POSREDNO OPTEREENJE

Za odreivanje presenih silagrednog nosaa vano je znatikakvo je dejstvo ovihekscentrinih sila (posrednog

optereenja) na ta

ke grednognosaa (ovde su to CiD) u

kojima su pridodati elementikruto vezani za njega.

Uslovi ravnotee, Sl.3

11 0 FYFYY CCi ===00 === CCi ZZZ

1111 0 hFhFM CCiC ==+= MM Uslovi ravnotee, Sl.400 === DDi YYY22 0 FZFZZ DDi ==+=2222 0 hFhFM DDiD ==+= MM

Optereenje sa Sl.2, moglo je bitidobijeno i redukcijom sila ina take C i D.

1Fr

2Fr


8/39

PRESENE SILE

Pre odreivanja presenih silapoeljno da se kose sile zamene

svojim komponentama u poprenom iuzdunom pravcu u odnosu na gredu


9/39

Presene sile u ma kom preseku grednog nosaa, odreuju se tek nakon to seodrede otpori oslonaca

-transverzalna sila

-aksijalna silaM -napadni moment

TF

aF

Kada je poznato svo spoljanje optereenjekoje dejstvuje na nosa, kao na slici, moese posmatrati ravnotea levog ili desnogdela od proizvoljnog preseka kako bi se na

osnovu uslova ravnotee tog dela odredilepresene sile. Uklonjeni deo nosaadejstvuje na posmatrani u samom presekuupravo sa presenim silama.

Transverzalna sila je unutranja sila u poprenom pravcu (odnosno, u pravcuje zamiljenog preseka za koji se podrazumeva da je upravan na osu grede).

Aksijalna sila je unutranja sila u uzdunom pravcu (u pravcu ose grede)

koja postoji samo u onim segmentima grede koji su, izmeu ostalog,aksijalno optereeni (na zatezanje ili pritisak).

Napadni moment (odnosno, moment savijanja) je unutranji spreg usledkojeg se realne (deformabilne) grede savijaju (pri savijanju, osa grede iz

pravolinijskog oblika prelazi u krivolinijski).


10/39

0== KTl

pipi FFF

= lpiKT FF

Uslov ravnotee levog dela Uslov ravnotee desnog dela

0=+= KTd

pipi FFF

= dpiKT FF

ODREIVANJE AKSIJALNIH SILA



0=+= Kaluiui FFF

= luiKa FF0== Kaduiui FFF= duiKa FF

ODREIVANJE NAPADNOG MOMENTA

=+= 0Kl iKiK MMM

=

l

iKK

MM

== 0KdiKiK MMM

= diKK MM

ODREIVANJE TRANSVERZALNIH SILA


11/39

Primer 8.2

, , 1, 1', 2 i 2'?

Za gredu prikazanu na slici, odrediti presene sile u presecima:

A

B

Prvo se kosa sila Fr

razloi na

komponente i odrede otpori oslonaca

kN2031 ==+= BBpiA FFFM M

kN10 ==+= ABpAi YFFYYkN30 ==+= AuAi ZFZZ

Presene sile:

( ) kN31 ==== A

l

uiaAa ZFFF

===== 0221 duiBaaaa FFFFFkN11 ==== AlpiTAT YFFF

=====

d

piBTTTT FFFFF 221( ) kN2== BF

00 ==== AAl iAA YYMMkNm11111 =+=== Ali YMMM

,0==

d

iBB MM

kNm,2122 =+== Bdi FMM

kNm.1122=+==

M

B

d

i FMM


12/39

Ovaj jednostavan primer jasno ukazuje na sledee vane zakljuke koji e seesto koristiti:-Ako na neku taku grednog nosaa dejstvuje koncentrisana spoljanja sila upoprenom pravcu, onda se transverzalne sile, u presecima neposredno levo ineposredno desno od te take, razlikuju za konanu vrednost.-Ako na neku taku grednog nosaa dejstvuje koncentrisana spoljanja sila u

uzdunom pravcu, onda se aksijalne sile, u presecima neposredno levo ineposredno desno od te take, razlikuju za konanu vrednost.

-Ako na neku taku grednog nosaadejstvuje koncentrisan spreg, onda se

napadni momenti, u presecimaneposredno levo i neposredno desnood te take, razlikuju za konanuvrednost.

VEZE IZMEU NAPADNOG

MOMENTA, TRANSVERZALNE

SILE I SPECIFINOG

OPTEREENJA


13/39

Presene sileu preseku z

Presene sile upreseku z+dz


14/39

Momentni uslov ravnotee, Sl.3, za momentnu takuD, daje vezu izmeunapadnog momenta i transverzalne sile:

( ) ( ) ( ) ++= dzzFzMdzzMM TiD ( ) 02 =dzdzzq

( )( ) ( )

+

=dz

zMdzzMzFT

lan koji sadri dzdzje zanemaren jerpredstavlja maluveliinu drugog reda.

dz

dMFT =

Dakle transverzalna sila se moe dobiti kao izvod napadnog momenta, koji jefunkcija uzdune koordinatez, po toj koordinati.

Uslov ravnotee, koji govori o sumi projekcija sila u poprenom pravcu, Sl.3,daje vezu izmeu transverzalne sile i specifinog optereenja q(z):

( ) ( ) ( ) =+= 0dzzqdzzFzFF TTpi ( )( ) ( )

+

=dz

zFdzzFzq TT

( ) ( ) ( )2

2

dzzMd

dzzdFzq T ==

Dakle, specifino optereenje promenjenog predznaka -q koje je u optemsluaju funkcija uzdune koordinate z jednako je prvom izvodu transverzalne

sile ili drugom izvodu napadnog momenta po toj koordinati.


15/39

Imajui u vidu dobijene veze kao i zakljuke iz primera 8.2, dolazimo dosledeih novih vanih zakljuaka:

-Ako se izmeu dva preseka grede, koja se nalaze na konanom rastojanju, nenalaze ni kontinualno optereenje (q=0) ni spoljanje poprene koncentrisanesile ni koncentrisani spregovi, onda je u svakom preseku izmeu tih presekatransverzalna sila konstantna a napadni moment je linearna funkcija uzdune

koordinate;-Ako se izmeu dva preseka grede, koja se nalaze na konanom rastojanju,nalazi samo ravnomerno kontinualno optereenje (q=const.), onda je u svakompreseku izmeu tih preseka transverzalna sila linearna funkcija uzdune

koordinate a napadni moment je kvadratna funkcija iste;

-Ako je u nekom intervalu FT>0, a prati se tok funkcije s leva na desno (dakledz>0), onda mora biti dM>0, to znai da napadni moment M(z), idui s levana desno, u tom intervalu, raste;

-Ako se izmeu dva preseka grede, koja se nalaze na konanom rastojanju,nalazi samo trougaono ili trapezno kontinualno optereenje, q(z)=kz+n, onda jeu svakom preseku izmeu tih preseka transverzalna sila kvadratna funkcija

uzdune koordinate a napadni moment je kubna funkcija iste;


16/39

Ako je u nekom konanom intervalu, ukom se nalazi samo popreno kontinualno

optereenje, transverzalna sila takvafunkcija da u jednoj taki tog intervala (na

primer, taki e, sa slike) menja svoj znak,onda funkcija napadnog momenta u tojtaki (odnosno, preseku) ima svoj lokalni

maksimum (minimum);

-Ako je, suprotno prethodnom, u nekom intervalu FT0 mora

biti dM


17/39

DIJAGRAMI PRESENIH SILA

Presene sile su funkcije uzdune koordinate (z, odnosno, u) i njihovodijagramsko predstavljanje daje kompletnu sliku o presenim silama u makom preseku grednog nosaa u kojem su one definisane.

Koordinatni sistemi i nulte linije za

dijagrame presenih sila

Apscisna osa, za svaki od

dijagrama, je horizontalna,desno usmerena. Ordinatnaosa je u sluaju transverzalnihi aksijalnih sila usmerenanavie, dok je u sluajunapadnog momenta usmerenananie. Apscisne ose se ovimdijagramima najee nazivajunultim linijama koje se

oznaavaju 0-0, 0-0 i 0-0.Kod njih se strelica, kojagovori o porastu koordinate (udesnu stranu), najee ne crta.


18/39

Primer 8.3 Za prostu gredu za koju su u primeru 8.2 odreene vrednostipresenih sila u presecimaA, 1, 1, 2, 2

iBnacrtati dijagrame presenih sila.

Zbog q=0 transverzalne sile usvakom preseku izmeu preseka

A

i 1 moraju imati konstantnuvrednost. Isto vai za presekeizmeu 1 i 2 kao i 2 iB. Zbogtih konstantnosti, linije udijagramu transverzalnih sila suparalelne sa nultom linijom.U intervalima u kojima je q=0napadni momenti su linearnefunkcije uzdune koordinate.

Zbog toga su pravim linijamapovezane vrednosti u presecima:A i 1, 1 i 2 kao i 2 iB

U dijagramu aksijalnih sila linije su

paralelne sa nultom linijom.


19/39

Crtanje dijagrama transverzalnih

sila idui s leva na desno inadovezujui spoljanje sile u

poprenom pravcu

Crtanje dijagrama aksijalnih sila idui s leva na desno i nadovezujui

spoljanje sile u uzdunom pravcu


20/39

PRESECI U KOJIMA SE RAUNAJU NAPADNI MOMENTI

Preseci u kojima treba raunati napadni moment (karakteristine take) su:

-Preseci kod kojih dejstvuju sile. Takvi su preseciA, 1, 2 i B.

-Preseci na poetku i kraju kontinualnog optereenja. Takvi su preseci 3 i 4sa slike.-Preseci koji su beskonano blizu levo i beskonano blizu desno od mesta

gde dejstvuje koncentrisani spreg. Takvi su preseci 5 i 5 kao i B sa slike.Poto je taka B na kraju presek B koji bi morao biti desno od B ne postoji.

-Presek u okviru kontinualnog optereenja gde je tranverzalna sila jednakanuli a napadni moment ima lokalni maksimum (minimum). Takav je presek

e na slici.

(tu je najbolje ne uvoditi po dva bliska preseka poto su vrednosti napadnogmomenta praktino iste)

BBAA MMMMMMMM ==== '2'21'1' ,,,Za preseke sa slike vai:


21/39

Primer 8.4

Za dati Gerberov nosa,rastavljanjem na mestu zgloba,analitikim putem odreditiotrore oslonaca i sile u zglobu azatim nacrtati dijagrame

presenih sila.

Prvo se rastavljanjem na mestu zgloba (dekompozicijom), kao to se toradi kod sistema krutih tela, odreuju otpori oslonaca i reakcije u zglobu.

Nakon toga se u karakteristinim takama odreuju napadni momentikako bi se dijagram napadnog momenta mogao to bolje nacrtati. Za tobolje crtanje dijagrama napadnog momenta korisno je i to to se prvo crtadijagram transverzalnih sila zbog njihove povezanosti formulom:

Razmera za sve dijagrame, koja se upisuje na crteu, usvaja se proizvoljnodz

dMFT =


22/39

Sl.1

05331 21 =++= GBiA YFFYM kN1= BF021 =++= GBAi YFFYYY kN2= AY

kN101 ==+= AGAi ZZZZZ

Sl.2

0422 3 == YFFM qCiG k6= CF03 =+= YFFYY CqGi k1= GY

kN103 === GGi ZZZZ


23/39

NAPADNI MOMENTI0== l iAA MMkNm21111 ==== Ali YMMMkNm212 122 === YYMM A

li

kNm412 2122 =+== MYYMM Al i0== d iGG MM

kNm22 ==== G

d

iBBB YMMM

0== l iGG MM

kNm412

2

=

=== q

YMMM Gl

iCCC

033 == diMM

( )


24/39

TRANSVERZALNE SILE

Za drugi deo grede (optereenravnomernim kontinualnimoptereenjem), funkcija transverzalnesile, u skladu sa izvedenim formulama,ima oblik:

( )


25/39

Primer 8.5

Za dati Gerberov nosa,rastavljanjem na mestuzgloba, analitikim putemodrediti reakcije spoljanjihveza i sile u zglobu a zatim

nacrtati dijagrame presenihsila.


26/39

0422 4 == YFFM qBiGkN8= BF

04 =+= YFFYY BqGi kN2= GYkN204 === GGi ZZZZ

05131 321 =+=AGiA YFYFM MkNm1= AM

021 =+= GAi YYFYY kN2= AY

kN1032 ==++=AGAi ZZFZZZ


27/39

kNm1=== Al iAA MM M

kNm31111 =+=== AA

l

i YMMM M0== d iGG MM

kNm2133 === Gdi YMMkNm11

333===

M

G

d

iYMM

kNm32 3222 ==== MGdi YMMM

0== l iGG MM=== 2Gl iBBB YMMM

= 12q kNm6

044 == diMM

( )


28/39

Provera usklaenosti dijagrama napadnog

momenta sa dijagramom transverzalnih sila

Na prvom metru transverzalna sila jepozitivna a moment idui s leva na desno (usmeru porasta koordinate z) raste to je OK.

Naredna dva metra transverzalna sila je

nula a moment je konstantan to je OK.

Jo jedan metar transverzalna sila je

negativna sa istom vrednou kako kodprethodnog metra a moment takoe opadasa istim nagibom to je OK.

Sledei metar transverzalna sila jenegativna a moment opada to je OK.

Zatim je transverzalna sila negativna i

promenljiva a moment opada sapromenljivim nagibom to je OK.

Na kraju transverzalna sila je pozitivna ipromenljiva a moment raste sa

promenljivim nagibom to je OK.


29/39

Primer 8.6Za dati ram sainjen od dva vertikalna

stuba i horizontalne preage,analitikim putem odrediti otrore

oslonaca i napadne momente ukarakteristinim presecima a zatim

nacrtati dijagrame presenih sila.

ODREIVANJE OTPORA OSLONACA+= 5314 321 FFFFM BiA

024 =+ F kN2= BF02 321 =+= BAi FFFFqYY

kN4= AY

kN204=

==

AAi ZFZZ


30/39

RASTAVLJANJE RAMA NA PREAGU I STUBOVE I ODREIVANJEREAKCIJA UNUTRANJIH VEZA U TAKAMA CID

kNm804 === CCAiC ZM MMSl.2

0== CAi YYY kN4= CY

kN20 === CCAi ZZZZ

kNm4024 ==+= DDiD FM MM0== DBi YFY kN2= DY

kN204 === DDi ZFZZ

Sl.3


31/39

NAPADNI MOMENTI

kNm0== l iAA MMkNm8=== Cd iCC MM M

011 ==liMM

kNm5,05,01"" === qMM l iCCkNm5,85,01 === Cl iCC qMM M

+=== 112222 C

l

i YqMMMkNm6= CM044 == diMM

kNm113 === FMM d iDD+===

123333 Dd

i YFMMM kNm4=DM

Sl.3 Sl.1

Sl.2


32/39

Sl.3kNm4=== Dl iDD MM M

0== d iBB MM05'55 === diMMM


33/39

Primer 8.7

Za dati ram sainjen od jednogvertikalnog stuba i horizontalnepreage, analitikim putemodrediti reakcije u ukletenju i

napadne momente ukarakteristinim presecima a zatimnacrtati dijagrame presenih sila.

ODREIVANJE REAKCIJA U

UKLETENJU++= 34421 321 qFFFM iA

012 54 =+ AFF M kNm1= AM

kN104321

=

=++=

A

Ai

YqFFFYY

kN1054 ==+= AAi ZFFZZ


34/39

ODREIVANJE REAKCIJA IZMEU PREAGE I STUBA

Sl.2 0432 54 =+= CAAiC ZFFM MM kNm4= CM0== CAi YYY kN1= CY

0054 ==+= CACi ZZFFZZ


35/39


36/39

Sl.1

033 == l iMMkNm211 === FMM l iCC

kNm211 =+== Cl iCC FMM M

kNm112144 =++== CCl i YFMM M==== 5,1323555 qFMMM di kNm5,0

kNm5,05,01666 ==== qMMMd

i

077 == diMM01213 === qFMM diee

NAPADNI MOMENTI

kNm1===

A

l

iAA

MM M

kNm21111 =+=== AAli ZMMM MkNm4=== Cd iCC MM M

kNm4222 ==== CdiMMM M

Sl.2


37/39


38/39

Primer 8.8

Za zadat ram odrediti presene sile i nacrtati

njihove dijagrame bez odreivanja reakcijau ukletenju Ci bez rastavljanja na mestuB.Veliine F, , a i b smatrati poznatim.

( ) ( ) ==== cos, 21 FFzFFFzF lpiTlpiT( ) ( ) ==== sin,0 21 FFzFFzF liualiua( )

11

zFMzMl

iK

==

( ) ( )+== cos22 zaFMzM l iP


39/39

Documents

7 gredni nosaci