staticki neodredjeni nosaci

8/12/2019 staticki neodredjeni nosaci

1/84

81

Dunja M artinovi, M ainski fakul tet u Sarajevu

Svako tijelo moe se uvrstiti pomo#u tri veze u ravni i pomo#u est veza u prostoru da

bude nepomjerljivo, jer mu te veze onemogu#uju tri, odnosno est sloboda kretanja. U ravnisu to dvije translacije, koje mogu biti u dva me%usobno normalna pravca, i rotacija, a uprostoru su tri translacije u tri me%usobno normalna pravca, ose i tri rotacije oko tih osa.Uvr#ivanje nosaa u ravni moe se realizirati minimalno pomo#u jednog nepominogzglobnog oslonca i jednog pominog zglobnog oslonca (slika 12.1.a) ili pomo#u ukljetenjakoje onemogu#uje sva tri stepena slobode kretanja (slika 12.1.b).

Slika 12.1. a) Nosauvr#en pomo#u nepominog i pominog osloncab) Nosana jednom kraju ukljeten (konzola)

Prostorni nosase moe uvrstiti u tri take koje ne lee na jednom pravcu (slika 12.2.a).Npr. u jednoj taki moe biti sferni zglob (veza pomo#u tri tapa), a druge dvije take mogubiti vezane za podlogu pomo#u dva, odnosno jednog tapa. Uvr#ivanje prostornog nosaase moe ostvariti i u jednoj taki pomo#u ukljetenja (slika 12.2.b), koje onemogu#uje svihest stepeni slobode kretanja.

q

a)

M

q

b)

Statiki neodre#eni gredni nosai


2/84


3/84

83

nepoznate su sile i/ili momenti koji se javljaju na mjestima uklonjenih suvinih veza, a kod

metode deformacija nepoznate su ugaona pomjeranja na spojevima elemenata statikineodre%ene konstrukcije.

12.1. Vanjska i unutarnja statika neodre#enost

Vanjski statiki neodre%eni nosai (konstrukcije) su oni koji su za podlogu uvr#enipomo#u veza iji je broj ve#i od potrebnog koji onemogu#uje njihovo pomjeranje. Ako sesa n oznai stepen statike neodre%enosti konstrukcije, sa k broj nepoznatih reakcija veza, asa s broj stepeni slobode kretanja koji je jednak broju statikih uslova ravnotee, tada je kodstatiki neodre%enih nosaa

n = k s > 0. (12.1)

Na slici 12.4. prikazano je nekoliko primjera vanjski statiki neodre%enih nosaa. Prviprimjer je obostrano ukljetena greda (slika 12.4a), tri puta statiki neodre%ena (n = 6 3 =3), drugi primjer je greda dva puta statiki neodre%ena (slika 12.4b, n = 5 3 = 2), a utre#em primjeru (slika 12.4.c) se radi o tzv. kontinualnom (neprekidnom) grednom nosau(nosas vie raspona i vie od dva oslonca), koji je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 =2). Na slici 12.4.d prikazan je ram koji je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 = 2). Upetom primjeru obostrano ukljetena greda je zagrijana i temperatura je promjenjiva povisini poprenog presjeka (slika 12.4e). U ovom primjeru, iako nema vanjskog optere#enja,javljaju se naponi u gredi, kao posljedica zagrijavanja. Ova greda je dva puta statikineodre%ena (n = 4 2 = 2). Slika 12.4.f prikazuje prostorni nosa, koji je dva puta statikineodre%en (n = 8 6 = 2).

Slika 12.4. a) Greda na krajevima ukljetenab) Greda na jednom kraju ukljetena a na drugom zglobno vezanac) Kontinualni nosad) Ram na jednom kraju ukljeten, a na drugom zglobno vezane) Greda neravnomjerno zagrijana i na krajevima ukljetenaf) Prostorni nosana jednom kraju ukljeten, a na drugom vezan pomo#u

dva tapa

a)

F

F

FM

q

q2F 1F

T1T2

1F

q

b) c)

d) e) f)


4/84

84

Pored vanjskih statiki neodre%enih nosaa mogu se javiti i unutarnje statiki neodre%eni

nosai. Na slici 12.5.a i b su prikazani ravanski i prostorni ram sa zatvorenom konturom,koja pove#ava broj nepoznatih presjenih sila sa tri na est, odnosno sa est na dvanaest, teram postaje tri puta unutarnje statiki neodre%en u ravni, a est puta unutarnje statikineodre%en u prostoru.

Slika 12.5. a) Ravanski ram sa zatvorenom konturomb) Prostorni ram sa zatvorenom konturomc) Ravanski ram s dvije zatvorene konture

Na slici 12.5c prikazan je ram s dvije zatvorene konture, kod koga je broj unutarnje statikeneodre%enosti za tri ve#i nego kod rama na slici 12.5a. Naime, svaka zatvorena konturapove#ava broj nepoznatih presjenih sila u ravni za tri.Na unutarnje statiki neodre%enim ravanskim nosaima moe se postaviti zglob koji spajadva elementa i on tada uklanja jednu unutarnju vezu, moment savijanja, jer nema okretanja

jednog presjeka u odnosu na drugi. To znai da se umetanjem zgloba smanjuje unutarnjastatika neodre%enost nosaa za jedan. Zato je ram sa zatvorenom konturom na slici 12.6.bdva puta unutarnje statiki neodre%en, a na slici 12.6.a tri puta. Ako se postavi dvojni zglobna mjestu spajanja tri elementa moe se smatrati kao da je sastavljen od dva zgloba kojipovezuju po dva elementa, tako da on smanjuje unutarnju statiku neodre%enost za dva(slika 12.6.c).

Slika 12.6. Ram sa zatvorenom konturoma) tri puta unutarnje statiki neodre%enb) dva puta unutarnje statiki neodre%enc) jednom unutarnje statiki neodre%en

2F

1F

a)

q

b)

F

q

c)

a)

q

b)

q

c)

q


5/84

85

Kod reetkastih nosaa, tako%er, moe se javiti vanjska i/ili unutarnja statika

neodre%enost. Vanjska neodre%enost je posljedica ve#eg broja vanjskih veza od minimalnopotrebnog za uvr#ivanje konstrukcije kao krutog tijela (slika 12.7.a), a unutarnja ako jebroj tapova ve#i od potrebnog za formiranje reetkastog nosaa kao kinematskinepomjerljive figure (slika 12.7.b), pa se sile u tapovima ne mogu odrediti poznatimmetodama iz statike krutog tijela.

Slika 12.7.a) Reetkasti nosavanjski statiki neodre%enb) Reetkasti nosaunutarnje statiki neodre%en

Reetka na slici 12.7a je jednom vanjski statiki neodre%ena (n = 4 3 = 1). Ona jeunutarnje statiki odre%ena, jer je broj potrebnih tapova prema (12.2)

m = 2nc 3 , (12.2)

gdje je ncbroj vorova, jednak broju tapova reetke (m = 28 3 = 13).Na slici 12.7.b reetka je vanjski statiki odre%ena (n = 3 3 = 0), ali nije unutarnje, jer je

broj tapova 10, a potreban broj je m = 26 3 = 9, te je n = 10 9 = 1, tj. jednom jeunutarnje statiki neodre%ena.Da bi se rijeile vanjski ili/i unutarnje statiki neodre%ene konstrukcije potrebno je uvestidopunske uslove. Ti dopunski uslovi se formiraju iz uslova deformisanja konstrukcije.Poto je deformacija poznata ako su poznati linijski i ugaoni pomaci u svakoj takioptere#enog nosaa, to se na osnovu izraza za pomjeranja formiraju potrebni dopunskiuslovi za rjeavanje statiki neodre%enih nosaa. Ti uslovi su poznati kao uslovikompatibilnosti, poklapanja pomjeranja, odnosno geometrijski uslovi. Kako se ti dopunskiuslovi dobijaju, zavisi od metode koja se koristi pri rjeavanju statiki neodre%enihproblema. Kod konstrukcija iji su elementi od linearno elastinih materijala i kod kojih prianalizi naponskog stanja, koje je posljedica djelovanja vanjskog optere#enja i/ili toplotevrijedi princip superpozicije, on se moe iskoristiti pri formiranju dopunskih uslova,odnosno za rjeavanje statike neodre%enosti konstrukcije.

Princip superpozicije predstavlja osnovu za naje#e koritene metode rjeavanja statikineodre%enih problema, a to su metoda sila i metoda deformacija ili pomjeranja. Ove metodese mogu formulisati i preko energetskih principa. Pored ovih metoda koriste se i neke drugemetode koje imaju ogranienu primjenu. Tako se najjednostavniji primjeri statikineodre%enih greda mogu rijeiti koritenjem jednaine elastine linije.Sloene statiki neodre%ene konstrukcije rjeavaju se veoma sofisticiranim analitikimtehnikama zasnovanim na metodama koje #e ovdje biti opisane.Kada se rijei statika neodre%enost konstrukcije, sljede#i korak u analizi je raunanjenapona i deformacija metodama koje su ranije opisane.

a)

1F

2F q

b)


6/84

86

12.2. Integraciona metoda

Statiki neodre%ena greda moe se rijeiti koritenjem integracione metode, tj. analizepomo#u jedne od tri diferencijalne jednaine elastine linije. Te jednaine su jednainamomenata savijanja (12.3.a), koja je drugog reda, jednaina transverzalne sile (12.3.b), kojaje tre#eg reda i jednaina intenziteta raspodijeljenog optere#enja (12.3.c), koja je etvrtogreda.

MyEIx ='' , (12.3a)

tx FyEI =''' , (12.3b)

.qyEI IVx = (12.3c)

Procedura rjeavanja je kao kod statiki odre%enih greda. Naime, potrebno je integrisati

dobijeno opte rjeenje, primijeniti granine uslove i druge zadate uslove da se dobijunepoznate veliine, a to su integracione konstante i reakcije veza.Ova metoda se koristi pri rjeavanju jednostavnijih primjera, jer u sloenijim primjerima zarjeavanje diferencijalne jednaine postupak je raunski zahtjevniji.Sljede#i primjer je rijeen integracionom metodom.

Primjer 12.1.

Greda je optere#ena prema slici 12.8. Poznato je uniformno raspodijeljeno optere#enje

grede po jedinici duine (q) i njena duina

l4

5.

Odrediti reakcije u ukljetenju A i reakciju oslonca B.

Slika 12.8. Statiki neodre%ena greda

Rjeenje:

U ovom primjeru greda je izloena vertikalnom optere#enju, pa se u ukljetenju javljajudvije nepoznate, vertikalna sila i moment ukljetenja. Nepoznata je i reakcija veze uosloncu B (slika 12.9.a). Ovde se mogu postaviti dva statika uslova ravnotee, te je stepenstatike neodre%enosti jedan (n = 3 2 = 1).

q

y

A B C

l l/4

z


7/84

87

Slika 12.9. a) Greda optere#ena vanjskim optere#enjem i nepoznatim reakcijama vezab) Greda presjeena na rastojanju z

Da bi se dobilo rjeenje primjenom integracione metode, potrebno je rijeiti jednainu

elastine linije. Moment savijanja u nekom presjeku z je prema slici 12.9b

2

2qzMzFM AA = , (a)

a iz statikih uslova ravnotee se dobija

== ,045

,0 BAy FFlqF (b)

.08

5

4

5,0 =+= ABA MllqlFM (c)

Iz (b) i (c) se dobija (d)

.32

25,

4

5 2 lFlqMFlqF BABA == (d)

Nakon uvrtavanja (d) u (a) dobija se (e)

.232

25

4

5 22 qzlFqlzFqlzM BB += (e)

Izraz za moment savijanja (e) uvrtava se u jednainu elastine linije (12.3a) i dobija se

.232

25

4

5''

22 qzlFqlzFqlzyEI BBx +++= (f)

Nakon integrisanja jednaine (f) dobijaju se izrazi za nagib i ugib grede:

,632

25

28

5' 1

3222 czq

lzFzqlzF

qlzyEI BB

x ++++= (g)

.24264

25

624

521

422233 czczq

zlF

zqlzF

qlzyEI BBx +++++= (h)

Nepoznata reakcija veze FBi integracione konstante c1i c2se dobijaju iz poznatih graninih

uslova da je u ukljetenju A ugib i nagib jednak nuli i da je u osloncu B ugib nula.

z = 0, y = 0, y ' = 0; z = l, y = 0. (i)

Iz (g) i (h) uz koritenje uslova (i) dobija se

c1 = 0, c2= 0, .64

43qlFB =

Nepoznate reakcije FAi MAse dobijaju iz (d), tj.

AF

BF

MA

a)

q

AF )(zF

t

MA

b)

q(z)

M(z)

y

z


8/84

88

.64

7,

64

37 2qlMqlFAA ==

Integracionom metodom se moe rijeiti i statiki neodre%en nosakoji je neravnomjernozagrijan. Objanjenje je dato kroz rjeavanje sljede#eg primjera.

Primjer 12.2.

Obostrano ukljetena greda (slika 12.10.) je zagrijana tako da je prirataj temperature uodnosu na temperaturu u nedeformisanom stanju za gornja vlakna T1, a za donja T2.Pretpostavlja se da je T2> T1i da se temperatura linearno mijenja po visini pravougaonogpoprenog presjeka. Poznati su modul elastinosti E, koeficijent toplotnog irenja ,aksijalni moment inercije Ixi visina poprenog presjeka h.Odrediti reakcije u ukljetenjima.

Slika 12.10. Obostrano ukljetena, zagrijana greda

Rjeenje:

U ovom primjeru u ukljetenjima se javljaju po dvije nepoznate reakcije veza(slika12.11.a). Stepen statike neodre%enosti je dva. Problem je rijeen integracionommetodom.

Slika 12.11.a) Obostrano ukljetena, zagrijana greda i reakcije vezab) Izduenje i okretanje poprenog presjeka

Jednaina elastine linije grede izloene momentima savijanja i temperaturnoj promjeni jeprema (11.31.)

T1

T2

T2>T1

AB

y

z h

y

x

T1

T2

MAMB

y

z

zB

F AF

y

z

dz

d

a)b)


9/84

89

( )h

TTEIMy

x

12'' = , (a)

ili( )

.'' 12h

TTEIMyEI xx

=

(b)

Moment savijanja u presjeku z je

.AA MzFM = (c)

Uz (c) jednaina (b) postaje( )

,''12

h

TTEIMzFyEI

xAAx

+=

(d)

a nakon integrisanja nagib i ugib su:

( ),

22' 1

1223

czh

TTEIzM

zFyEI xA

Ax +

+=

(e)

( ).

226 21212

23

czczh

TTEIzM

zFyEI xA

Ax ++

+=

(f)

Integracione konstante se dobijaju iz graninih uslova

z = 0, y ' = 0, y = 0 (g)

i one iznose c1= 0, c2= 0 . (h)

Iz graninih uslova

z = l, y ' = 0, y = 0 (i)

se dobija

( ),

212

h

TTEIM

lF xA

A =+

(j)

( ).

312

h

TTEIM

lF xA

A =+

(k)

Rjeenje jednaina (j) i (k) je( )

,,0 12h

TTEIMF xAA

==

a zbog simetrije bi#e

ABB MMF == ,0 .


10/84

90

12.3. Metoda superpozicije

Metoda superpozicije je od fundamentalnog znaaja u analizi statiki neodre%enih greda,reetki, ramova i drugih vrsta struktura. Ona koristi princip superpozicije deformacija, apoznato je da je taj princip primjenjiv na konstrukcije od homogenog, izotropnog, linearnoelastinog materijala, to je ovde sluaj. Naime, pri koritenju metode superpozicije raunase ukupni nagib ili ugib na odre%enom mjestu kao algebarska suma nagiba ili ugiba odsvakog optere#enja koje individualno djeluje i od suvinih reakcija. Na taj nain se dobijadodatna jednaina potrebna da se rijei statiki neodre%en problem.Redoslijed rjeavanja statiki neodre%enih nosaa metodom superpozicije je sljede#i:

- odrediti stepen statike neodre%enosti nosaa,- naznaiti suvine reakcije,- na#i deformaciju nosaa na mjestu suvine reakcije kao sumu deformacija od

optere#enja i suvinih reakcija,

- na%ena suma deformacija mora biti jednaka deformaciji na originalnom nosau, aona je nula ili ima zadatu vrijednost.

Tako se dobijaju jednaine kompatibilnosti ili jednaine superpozicije, koje pokazuju da jedeformacija oslobo%enog nosaa u takama suvinih reakcija jednaka deformacijioriginalnog nosaa u tim istim takama. Oslobo%eni nosa je statiki odre%en i lako semoe odrediti njegova deformacija koritenjem tehnike opisane u poglavlju 11.Ako se nosasastoji iz vie dijelova i ako je statiki neodre%en potrebno je

- pretvoriti nosau ekvivalentni statiki odre%en nosapresjecanjem u osloncima ilivornim takama (takama spajanja dva elementa konstrukcije) i tako dobiti nizprostih greda i/ili konzola,

- odrediti statiki neodre%ene veliine u presjecima iz uslova deformisanja nosaa,tj. uslova kontinuiteta elastine linije nosaa.

Metoda superpozicije je primijenjena na rjeavanje sljede#eg primjera.

Primjer 12.3.

Za gredu ravnomjerno optere#enu prema slici 12.12. odrediti reakcije oslonaca.

Slika 12.12. Greda optere#ena kontinualnim optere#enjemRjeenje:

Ovaj primjer je jednom statiki neodre%en (n = 3 2 = 1). Reakcija FB je oznaena kaosuvina i razmatra se kao nepoznato optere#enje. Ugibi od vanjskog optere#enja i reakcijeFB se raunaju odvojeno, koritenjem tablinih vrijednosti [42,45], kako je pokazano naslici 12.13.

q

AB

C

2l/3 l/3

l


11/84

91

Slika 12.13. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%ene grede

Ugib uzrokovan kontinualnim optere#enjem je [45]

.224

434

+

=

l

z

l

z

l

z

EI

qly

xq (a)

Na mjestu lz3

2= iz (a) se dobija

.0113,04

xq EI

qly = (b)

Ugib od koncentrisane sile je [45]

.3

223

= lblaEIlFy x

F (c)

Sila F = - FBdjeluje na mjestu la3

2= i lb

3

1= , pa se iz (c) dobija

.01646,03

x

BF EI

lFy = (d)

Poto je ugib na osloncu nula, mora biti

.0=+= FqB yyf (e)

Nakon uvrtavanja (b) i (d) u (e) dobija se reakcija oslonca B, tj.

.68,0 qlFB = (f)

Iz statikih uslova ravnotee se na%u ostale nepoznate reakcije veza. Prema slici 12.13a.bi#e:

C

l/3

qA

BF

2l/3

qA

2l/3

B

C A

BF

2l/3

B C

y

A B C

yB=0

z

y

A B

(yB)q

zB

(yB)F

zC

y

l/3 l/3


12/84

92

Slika 12.13a. Optere#ena greda s reakcijama veza

,023

2,0

2

=+= qllFlFM BcA (g).,0 qlFFFF CBAy =++= (h)

Iz (f), (g) i (h) se dobija

.274,0,046,0 qlFqlF AC ==

Metoda superpozicije se moe primijeniti i na rjeavanje grednih nosaa s elastinimosloncima, tj. nosaa koji se oslanjaju na jednu ili vie opruga, kao i nosaa s elastinimukljetenjem. U takvim sluajevima opruge se uzimaju za suvine veze. Ugibi su jednakiskra#enju ili izduenju opruge, koje je srazmjerno sili u opruzi. Kod elastinog ukljetenjadolazi do okretanja poprenog presjeka, koje je srazmjerno momentu ukljetenja.Kroz rjeavanje sljede#a dva primjera pokazano je kako se odre%uje suvina reakcija veze.

Primjer 12.4.

Konzola, optere#ena ravnomjerno raspore%enim teretom, na slobodnom kraju je poduprta itaj oslonac je s oprugom krutosti c (slika 12.14.). Odrediti suvinu reakciju veze. (EI x =const.)

Slika 12.14. Konzola s elastinim osloncem

Rjeenje:

Slika 12.15. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%enog nosaa

q

AF BF CF A B C

q

BA

l

BF

qB

AB

Bc

BF

Aq


13/84

93

Ugibi kraja B od kontinualnog optere#enja i koncentrisane sile su [42]:

.3

,8

34

x

BF

xq EI

lFy

EI

qly == (a)

Poto je u B elastini oslonac, njegov ugib je jednak skra#enju opruge, tj.

,c

Ff BB = (b)

jer je sila u opruzi .BB cfF = Sada se moe pisati

,FqB yyf += (c)pa je silaFBiz (c), a uz koritenje izraza (b) i (a)

.1

38

3

4

+

=

cEI

lEI

qlF

xx

B

Primjer 12.5

Obostrano ukljetena greda optere#ena je silom F (slika 12.16.). Lijevo ukljetenje je

elastino, a desno je kruto. Poznata je specifina krutost pri okretanju c i savojna krutost EIx= const.Odrediti suvine reakcije veza.

Slika 12.16. Obostrano ukljetena greda s elastinim ukljetenjem na lijevoj strani

Rjeenje:

Slika 12.17. Princip superpozicije primijenjen na rjeavanje statiki neodre%enog nosaa

BA

l/2

F

l/2

BA

F

=0y

z

BA

F

BA MB

BA

MA


14/84

94

Nagibi elastine linije u osloncima A i B od koncentrisane sile i momenata su [42]:

.3

,6

,16

,6

,3

,16

2

2

x

BM

x

AM

xF

x

BM

x

AM

xF

EI

lM

EI

lM

EI

Fl

EI

lM

EI

lM

EI

Fl

BA

BA

===

===

(a)

U elastinom ukljetenju moment je cMA= , tj. dolazi do okretanja poprenogpresjeka. U krutom ukljetenju nema okretanja poprenog presjeka.

,0, === c

MA (b)

.,BABA MMFMMF

++=++= (c)

Iz (c), a uz izraze (a) i (b), dobijaju se suvine reakcije veza

( ) ( ).

48

6,

48

22

x

xB

xA EIlc

FlEIcFlM

EIlc

cFlM

++

=+

=

Metoda superpozicije se moe koristiti i pri rjeavanju grednih nosaa kod kojih svi osloncinisu na istoj horizontali i tada je ugib na mjestu sputenog oslonca jednak vrijednosti za

koju je on sputen u odnosu na susjedne oslonce (vidjeti zadatak 12.21).Ova metoda se moe koristiti i pri rjeavanju ukrtenih grednih nosaa, koji se oslanjajujedan na drugi. Suvina nepoznata se javlja na mjestu veze. Dodatna jednaina se dobijanakon razdvajanja nosaa uz koritenje uslova da je na mjestu dodira ugib oba nosaa isti.U sljede#em primjeru je iskoriteno naprijed reeno.

Primjer 12.6.

Greda AB i konzola CD, optere#ena kontinualnim optere#enjem, su na mjestu veze krutospojene prema slici 12.18. Oba nosaa su od elinog valjanog I profila, ali razliitihdimenzija. Odrediti suvinu reakciju veze.

Slika 12.18. Ukrteni gredni nosa

l/2

A

C

BD

l/2 l/2

1xI

2xI

q


15/84

95

Rjeenje:

Uticaj konzole na gredu zamjenjuje se silom Fn, a grede na konzolu silom - Fn (slika12.19.). Tako su dobijena dva statiki odre%ena nosaa, kod kojih je ugib na mjestu vezeisti.

Slika 12.19. Ukrteni gredni nosarastavljen na gredu i konzolu

Ugib na sredini grede usljed djelovanja sileFnje [42]:

1

3)1(

48 x

nD EI

lFf = , (a)

a ugib na kraju konzole usljed djelovanja kontinualnog optere#enja q i koncentrisane sileFnje [42]:

2

3

2

4

)2(

32

1

82

1

x

n

xD EI

lFEI

lqf

= . (b)

Poto mora biti

)2()1(DD ff = , (c)

to se iz (c) a uz (a) i (b) dobija reakcija veze u D

.2

1

8

3

1

2

x

xn

I

IqlF

+=

Metoda superpozicije se koristi i pri rjeavanju statiki neodre%enih nosaa koji suneravnomjerno zagrijani, kao to je nosau sljede#em primjeru.

A

Dl/2 l/2

1xI

2xI

nF

nF

l/2

C

q

D


16/84

96

Primjer 12.7.

Obostrano ukljetena greda, duine l, visine h, neravnomjerno je zagrijana. Temperaturalinearno raste od T1 do T2 po visini grede. Poznati su savojna krutost EIx = const. ikoeficijent toplotnog irenja .Odrediti reakcije u ukljetenjima.

Rjeenje:

Ovaj primjer je rijeen u poglavlju 12.2. metodom integracije, a ovde #e biti rijeenmetodom superpozicije.Nosaje oslobo%en veze u B i dobijena je konzola koja je na slobodnom kraju optere#enasuvinim reakcijama vezeFBiMB(slika 12.20.).

Slika 12.20.a) Obostrano ukljetena, zagrijana gredab) Zagrijana konzola optere#ena silom i momentomc) Deformisana konzola zbog temperaturne promjene

Nagib kraja B uzrokovan temperaturnom promjenom du visine h na osnovu (10.53), tj.

dzh

TTd T

12= , bi#e za usvojeni pozitivni smjer ose y

( ).12

1 h

lTTB

=

(a)

Iz izraza (10.53), vode#i rauna o predznaku (izraz (a)), dobija se

h

TT

dz

d T 12=

, (b)

to predstavlja zakrivljenost elastine linije.

U poglavlju 11 je pokazano da je zakrivljenost elastine linije za male ugibe i nagibejednaka drugom izvodu funkcije koja predstavlja jednainu elastine linije nosaa ijim

integriranjem se dobija ugib

( )h

lTTfB 2

212

1

= . (c)

Ugib i nagib od sile i momenta su [42]:

AF

T1T2

A B

y

zh

MA MBB

F l

a)

T1T2

A B

MBB

F b)

zy

T1T2

1B

1Bf

c)


17/84

97

.,2

,2,3

33

22

2

33

x

BB

x

BB

x

B

Bx

B

B

EI

lM

EI

lMf

EI

lF

EI

lF

f

==

==

(d)

Ukupni ugib i nagib oslonca B jednaki su nuli, tj. na osnovu (a), (c) i (d) bi#e:

( )

( ).0

2

,0232

212

23212

=+

=+

x

B

x

B

x

B

x

B

EI

lM

EI

lF

h

lTT

EI

lM

EI

lF

h

lTT

(e)

Iz jednaina (e) se dobija

( ),,0 12

h

TTEIMF xBB

==

a zbog simetrije

., BABA MMFF == Rezultati pokazuju da je obostrano ukljetena greda izloena djelovanju konstantnogmomenta savijanja zbog linearne promjene temperature po visini presjeka.

12.4. Metoda tri momenta Klapejronova (Clapeyron) jednaina

Kontinualni nosai, nosai s dva i vie raspona, mogu se susresti u zgradama, mostovima,avionima i nekim drugim konstrukcijama. Ovakvi nosai su uvijek statiki neodre%eni imogu se rijeiti metodom superpozicije, odnosno posebnim oblikom ove metode, koji jenazvan metoda tri momenta.Kod metode superpozicije, kako je pokazano, prvi korak je izbor suvinih sila i/ilimomenata. Kod kontinualnih nosaa to su reakcije na unutranjim osloncima (svi oslonciosim dva krajnja). Ako taj nosa ima n raspona i n + 1 oslonaca na istoj visini, ako jeoptere#en teretima koji djeluju u ravni u kojoj se nalazi jedna od glavnih osa inercijepoprenog presjeka i ako su tereti vertikalni, a spregovi djeluju u vertikalnoj ravni, tada jetaj kontinualni nosan + 1 2 = n 1 puta statiki neodre%en (slika 12.21a). Naime, moguse postaviti samo dvije jednaine statike ravnotee. Da bi se taj kontinualni nosarijeio,

tj. da bi se odredile sve nepoznate reakcije veza, on se zamjenjuje ekvivalentnim statikiodre%enim nosaem na kome je uticaj me%uoslonaca zamijenjen nepoznatim reakcijama(slika 12.21.b) ili ekvivalentnim sistemom koji se sastoji iz prostih greda, a koji je dobivenosloba%anjem nosaa jedne unutarnje (ugaone) veze, tako da na mjestu unutarnjih oslonacanastaju zglobne veze (slika 12.21.c) i na tim mjestima su nepoznati momenti. Ovi momentiograniavaju slobodno okretanje poprenog presjeka nosaa na mjestu njihovog djelovanjai osiguravaju kontinuitet elastine linije nosaa.


18/84

98

Slika 12.21.a) Kontinualni nosab) Kontinualni nosakod koga je uticaj me%uoslonaca zamijenjen nepoznatim reakcijama

c) Kontinualni nosazamijenjen prostim gredama

Pri rjeavanju kontinulanih nosaa uvijek se posmatraju dva susjedna polja, pa se javljajutri nepoznata reaktivna momenta na me%uosloncima (slika 12.22.).

Slika 12.22. Dva susjedna raspona kontinulanog nosaa

Ako bi se greda na slici 12.22. presjekla na mjestu srednjeg oslonca i, zbog kontinuitetaelastine linije nosaa mora biti nagib tangente na elastinu liniju s lijeve i s desne stranetog oslonca isti, to znai da je

di

li = . (12.4)

Jednakost (12.4) predstavlja jednainu kompatibilnosti. Nagib i se rauna kao sumanagiba od datog optere#enja i reaktivnih momenata (princip superpozicije), to je prikazanona slici 12.23.

Slika 12.23.a) Deformacija i-tog raspona kontinulanog nosaab) Deformacija i+1-og raspona kontinulanog nosaa

b)

F q

2

Mi-1 Mi

i-1

Mi+1

i+1ili li+1

i

F

a)

i(Mi-1)+ i(Mi)

MiMi-1

Mi+1Mi

i(Mi)+ i(Mi+1)

q

i+1

b)

0

1Fq

nF 1 2 n-1 n

a)Q1 Q2

1F

q

q M1 M2M1 1F Mn-1 nF

c)

n

F

Qn-1


19/84

99

Nagibi tangente na elastinu liniju su:

.)()(

,)()(

11

1

++

++=

++=

p

Fiiiii

di

j

Fiiiii

li

p

j

MM

MM

(12.5)

Nagibi j

F

ij lijevo od srednjeg oslonca i +

p

Fi

p1 desno od srednjeg oslonca su nagibi

od zadatog optere#enja (Fjza lijevi raspon,Fpza desni raspon). Njih treba uzeti sa stvarnimpredznakom za svako pojedinano optere#enje. Nagibi od reaktivnih momenata dobijenirjeavanjem jednaine elastine linije (11.3), uzimaju se iz tablica [42,45] i nakonuvrtavanja u jednaine (12.5), odnosno (12.4) dobija se

,)(6)(3)(3)(6 1111

1

11 ++++

+

+ +=++p

Fiix

ii

ix

ii

j

Fiix

ii

ix

ii pj

EIlMEIlMEIlMEIlM

odnosno

,6)()()(

2)(

11

11

1

11

=+

++ +

+

++

+

+

j

Fi

p

Fi

ix

ii

ix

i

ix

ii

ix

ii jp

EI

lM

EI

l

EI

lM

EI

lM (12.6)

gdje je uzeto da su savojne krutosti pojedinih dijelova nosaa razliite.Jednaina (12.6) poznata je kao Klapejronova jednaina ili jednaina tri momenta, jersadri tri nepoznata momenta savijanja. Ovakvu jedaninu treba napisati za svaki suvinioslonac.Ako nosaima istu savojnu krutost na cijeloj duini (EIx= const.), jednaina (12.6) prelaziu (12.7), tj.

( ) .62 11111

=+++ ++++

p j

Fi

Fixiiiiiii

jpEIlMllMlM (12.7)

Ako se reaktivni moment dobije s negativnim predznakom, to znai da je pogrenopretpostavljen njegov smjer i treba mu ga promijeniti prije raunanja ostalih nepoznatihreakcija veze iz statikih uslova ravnotee.

Ako je nosa s prepustom (slika 12.24.a), tada se optere#enje na prepustu redukuje nasusjedni oslonac i dobija se sila i moment (slika 12.24.b). Taj moment ulazi u jedna inu trimomenta kao poznata veliina.

Slika 12.24.a) Nosas prepustomb) Redukovanje optere#enja na prepustu na susjedni oslonac

F

a)

q

n-1 n a

F

b)

q

n-1 n

Fa


20/84

100

Ako su krajevi grede ukljeteni ili je ukljeten samo jedan kraj, potrebno je ukljetenje

zamijeniti prostom gredom nultog raspona i onda primijeniti metodu tri momenta (slika12.25.). U ovom sluaju prva i zadnja jednaina postaju:

,62,

,62,0

1

1111

=+=

=+=

j

F

nxnnnn

p

Fxo

j

p

EIlMlMni

EIlMlMi

(12.8)

za EIx= const.

Slika 12.25.a) Obostrano ukljeten kontinualni nosab) Zamjena ukljetenja prostom gredom nultog raspona

Ako su oslonci na razliitim nivoima, iznad ili ispod horizontale, javljaju se poetni naponiu kontinualnom nosau. Tada se uticaj pomjeranja oslonaca u odnosu na horizontalu uzimakao da potie od dodatnog vanjskog optere#enja koje bi izazvalo to okretanje poprenogpresjeka. Zato treba nagibima od optere#enja dodati nagibe koje pojedini rasponi gredegrade s horizontalom (slika 12.26.), pa se dobija

,6336

111111

+++++ ++=+++ ii

x

ii

x

iiii

x

ii

x

ii

EI

lM

EI

lM

EI

lM

EI

lM (12.9)

gdje su ii i+1uglovi okretanja poprenog presjeka u srednjem osloncu zbog toga to svioslonci nisu na istoj horizontali. Okretanje presjeka i (lijevog i desnog) uzima se da je

pozitivno ako je u smjeru kazaljke na satu od vertikale kroz taj oslonac. Svi uglovi seuvrtavaju u radijanima.

a)

l1 l2

1F q

0 21 nn-1

nF

ln

1F M0M1

l1l0=0

nF Mn-1 Mn

ln ln+1=0

b)


21/84

101

Slika 12.26.Dva susjedna raspona kontinualnog nosaa s osloncima na raznim nivoima

Metoda tri momenta je iskoritena pri rjeavanju sljede#eg primjera.

Primjer 12.8.

Greda od standardnog I profila (E = 2105 MPa) optere#ena je prema slici 12.27 (q =20kN/m, Mo= 60 kNm, l = 2 m).

a) Izraunati otpore oslonaca.b) Nacrtati dijagrame Fti M.c) Dimenzionisati gredu ako je d= 140 MPa.

Rjeenje:

a) Greda na slici 12.27. je jednom statiki neodre%ena (n = 3 2 = 1). Da bi serijeila metodom tri momenta potrebno je fiktivno produiti na mjestu ukljetenja,a optere#enje s prepusta redukovati na taku B (slika 12.28.).

Slika 12.28. Ekvivalentni sistem za nosana slici 12.27.

1F i-1

Mi

Mi+1

Mi-1

i+1li+1

i

li

Mi+1

i

Slika 12.27.Optere#engredni nosa

l l

q

Al/2

BM0

qMA

M0

42

llq

z

y


22/84

102

Na gredu na slici 12.28. primjenjuje se izraz (12.8) i dobija se

.628

)2(22

=+p

FAxA

pEIlql

lM (a)

,op MAq

Ap

FA += (b)

tj. rauna se nagib od kontinualnog optere#enja q i momenta savijanja Mo. Iz tablica [42] je:

.24

)2(

,48

7

222

)2(

24

1 3223

x

oMA

xx

qA

EI

lM

EI

ql

l

l

l

l

EI

lq

o =

=

=

(c)

Nakon uvrtavanja (c) u (b), a (b) u (a) dobija se

,1248

76

44

33

+=+

x

o

xxA EI

lM

EI

qlEI

qllM (d)

odnosno

kNm.20

,608

1420

32

5

8

1

32

5 2

=

+=+=

A

oA

M

MqlM

Otpori oslonaca se dobijaju iz statikih uslova ravnotee (slika 12.29.):

=++

+= ,0

4

3

2

32,0 AoBA MM

ll

qllFM (e)

=+= .23

,0ql

FFF BAy (f)

Iz (e) se dobija sila u osloncu B

kN.5,32

,4

206016

22021216

21

=

+=+=

B

AoB

FlMMqlF

Iz (f) se dobija sila u ukljetenju A


23/84

103

kN.5,27,5,322

2203

2

3

=

==A

BA

FF

ql

F

b)

Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja potrebno je izraunati momente ukarakteristinim takama.

kNm.25,kNm35

kNm,108

2

===+=

==

olC

dCAA

lC

B

MMMlFMM

qlM

Mjesto ekstrema momenta savijanja se dobija iz uslova

m,625,120

5,32,0 ==== zFqzF B

dt

a moment je

( ) kNm.1,61625,15,322

625,120

22

22

=+=

+=

lzF

qzM Be

c) Dimenzionisanje grede se vri na osnovu maksimalnog momenta savijanja Mmax = 35kNm.

Koritenjem izraza (7.48) dobija se

BM0

q

C

M0

AA

F BF

+ +-

27,5

25

20

12,5

Ft

+

- -

20

6,1

10

35

Slika 12.29. Nosasotporima oslonaca idijagramima Fti M


24/84

104

.

max

max dxW

M

= (g)Iz izraza (g) bi#e otporni moment povrine

.cm250,1010140

35 363

xx WW

Usvaja se standardni profil s prvom ve#om vrijedno#u [42] , a to je

I 22 za koji je 3cm278=xW , Ix= 3060 cm4.

12.5. Metoda sila

Statiki neodre%eni sistemi veoma esto se rjeavaju pomo#u metode sila. Pri primjeni ovemetode potrebno je prvo sistem osloboditi suvinih veza i pretvoriti ga u stabilan, statikiodre%en sistem, tako to #e preostale veze osigurati kinematsku nepomjerljivost i u pogleduvanjskih i unutarnjih veza. Na taj nain se dobija osnovni sistem. Da bi sistem bioekvivalentan poetnom, potrebno je osnovni sistem opteretiti zadatim optere#enjem, a namjesto uklonjenih veza potrebno je staviti nepoznate, tzv. generalisane sile. Za svakuuklonjenu vanjsku vezu stavlja se jedna nepoznata sila, dok se za uklonjenu unutranjuvezu stavljaju dvije nepoznate sile istog intenziteta a suprotnog smjera. Ako uklonjena vezaonemogu#ava linijsko pomjeranje stavlja se sila, a ako onemogu#ava ugaono pomjeranjestavlja se spreg. Tako se dobija ekvivalentni sistem (slika 12.30.) na kome su uz vanjskooptere#enje naznaene suvine sile, tzv. generalisane sile, koje spreavaju generalisanapomjeranja.

Slika 12.30a. Ram vanjski statiki neodre%en

q

F

osnovni sistem

q

F

Q1

Q2

ekvivalentni sistem


25/84

105

Slika 12.30.b Ram unutarnji statiki neodre%en

Ram na slici 12.30.a je dva puta vanjski statiki neodre%en, a ram a slici 12.30.b je tri putaunutarnje statiki neodre%en.Ako je reetkasti nosa statiki neodre%en, kod formiranja ekvivalentnog sistema trebavoditi rauna da ostane geometrijski nepomjerljiv, tj. da ostane nepomino vezan zapodlogu, a da unutar tog nosaa ne dolazi do pomjeranja tapova, odnosno vorova. Naslici 12.31. prikazan je reetkasti nosakoji je jednom vanjski i jednom unutarnje statikineodre%en.

Slika 12.31.Reetkasti nosadva puta statiki neodre%en

Nakon to je formiran ekvivalentni sistem, uspostavljaju se dodatni uslovi prekogeneralisanih pomjeranja, koja u statiki odre%enom sistemu odgovaraju generalisanim

silama, tj. iz uslova pomjeranja na ekvivalentnom sistemu. Ta pomjeranja se sastoje izpomjeranja izazvanih svakom od generalisanih sila i vanjskim optere#enjem. Kao to jepokazano u poglavlju 10, pomjeranje proizvoljne take konstrukcije je prema (10.22)

=

=n

jjiji Ff

1

, (12.10)

q

osnovni sistem

q

ekvivalentni sistem

Q2

Q1

Q3

F F

Q2

Q2

Q1

ekvivalentni sistem


26/84

106

jer postoji linearna zavisnost izme%u pomjeranja i sile. Koritenjem izraza (12.10) mogu se

napisati dopunski uslovi metode sila u obliku (12.11)

,,...,2,1,01

niQ iFn

jjiji ==+=

=

(12.11)

gdje su Qj suvine nepoznate veliine (generalisane sile), ij Qj je pomjeranje kojeodgovara sili Qi a izazavano silom Qj, ij su uticajni koeficijenti elastinosti, tj. to jegeneralisano pomjeranje na mjestu i u pravcu generalisane sile Qi usljed djelovanja

generalisane jedinine sile jQ =1, a iF je pomjeranje take i u pravcu sile Qi usljedzadatog optere#enja.

Uticajni koeficijenti se mogu odrediti koritenjem Maksvel- Morove (Maxwell - Mohr)metode ili za nosae iz pravih dijelova koritenjem Vereaginove metode.

Kao to je ve#reeno, svakoj statiki neodre%enoj veliini kao generalisanoj sili odgovaraodre%eno generalisano pomjeranje i ako je ono onemogu#eno na statiki neodre%enomsistemu, ono mora biti jednako nuli, jer ne smije do#i do loma, odnosno do pojavegeneralisanog pomjeranja. Dakle, moe biti sprijeeno pomjeranje presjeka usljed vanjskeveze ili me%usobno pomjeranje presjeka neke unutarnje veze. Na ovaj nain se dobijasistem od n lineranih jednaina sa n nepoznatih. Taj sistem jednaina je poznat kao sistemkanonskih jednaina metode sila. Nepoznate u ovom sistemu jednaina su generalisane silei otuda naziv metoda sila.

Sistem kanonskih jednaina (12.11) u razvijenom obliku postaje

=++++

=++++,0...

,0...

22222121

11212111

Fnn

Fnn

QQQ

QQQ

(12.12)

.0...2211 =++++ nFnnnnn QQQ

Prema Maksvelovoj teoremi o uzajamnosti pomjeranja (poglavlje 10.3) mora biti

jiij = . (12.13)

Ako se svi uticaji na pomjeranje taaka nosaa mogu zanemariti osim momenta savijanja,uticajni koeficijenti se odre%uju prema Kastiljanovoj (Castiglian) teoremi pomo#u Morovih

integrala, tj.

,=l x

jiij dl

EI

MM (12.14)

gdje su ji MM i momenti savijanja od jedininih generalisanih sila, a integrisanje izraza se

vri du svih elemenata nosaa.


27/84

107

Pomjeranje od vanjskih optere#enja je

,=l x

iFiF dlEI

MM (12.15)

gdje jeMF moment savijanja od vanjskih optere#enja.Naponsko stanje u statiki neodre%enim nosaima moe biti posljedica ne samo djelovanjavanjskog optere#enja nego i pomjeranja oslonca. To pomjeranje se moe javiti zbogsputanja podloge ili zato to postoje elastina leita. Tada dopunska jednaina glasi

,1

ioiFj

n

jijQ =+

=

(12.16)

gdje je iopomjeranje oslonca iu kojem djeluje suvina sila Qi.Ako je pomjeranje oslonca istog smjera kao i sile znak je plus, a ako je pomjeranjesuprotnog smjera od sile znak je minus.Sistem moe biti izloen vanjskom optere#enju i/ili temperaturnim promjenama. Tada se ukanonskim jednainama mora javiti dodatno pomjeranje u pravcu sile Qiusljed zagrijavanja(hla%enja), pa kanonske jednaine glase

n.1,2,...,i,01

==++=

iTiFj

n

jijQ (12.17)

Pri rjeavanju statiki neodre%enih ramova, ako je ram simetrian a optere#enje simetrino

ili antisimetrino, unaprijed su poznate odre

%ene presje

ne sile.Kod simetrinog rama sa simetrinim optere#enjem (slike 12.32a, b) presjena sila Q2

jednaka je nuli u ravni simetrije rama. Dokaz za ovo slijedi iz sljede#e analize. Ramoptere#en prema slici 12.32a je tri puta statiki neodre%en, a to znai da treba rijeiti sistemod tri jednaine:

.0

,0

,0

3333232131

2323222121

1313212111

=+++=+++

=+++

F

F

F

QQQ

QQQ

QQQ

(a)

Uticajni koeficijenti u jednainama (a) se dobijaju mnoenjem odgovaraju#ih momentnihdijagrama od jedininih sila, koji su prikazani na slikama 12.32. c, d, e

,0,0 32232112 ==== (b)

jer se mnoe simetrini i antisimetrini dijagram (slike 12.32. c, d i 12.32. e, d).

,02 =F (c)

se dobija mnoenjem povrina na slikama 12.32. d i 12.32. f (antisimetrian i simetriandijagram).


28/84

108

Slika 12.32. a) Simetrian ram sa simetrinim optere#enjemb) Ekvivalentni sistemc, d, e) Momentni dijagrami od jedininih unutarnjih silaf) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja

Nakon uvrtavanja (b) i (c) u (a) dobija se

,0,0 2222 == QQ (d)

tj. antisimetrina sila 02=Q kada je optere#enje simetrinog rama simetrino.Kod simetrinog rama s antisimetrinim optere#enjem (slika 12.33. a, b) presjene sile

1Q i Q3su jednake nuli u ravni simetrije rama.

qq

l

ravansoimetrije

EIx

a)

q

l

Q2

Q1

Q3

b)

3M

1113=Q

e)

MF

f)

+ +

1M

11=Q

c)

2M

12=Q

l/2

d)

l/2

ll


29/84

109

Slika 12.33.a) Simetrian ram s antisimetrinim optere#enjemb) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja

Momentni dijagrami od jedininih unutarnjih sila prikazani su na slikama 12.32. c, d, e, pasu uticajni koeficijenti za ovaj sluaj

,0,0 32232112 ==== (e)

a pomjeranja od zadatog optere#enja su

,0,0 31 == FF (f)

jer se mnoe povrine na slikama 12.32. c i 12.33. b, odnosno 12.32. e i 12.33. b(simetrian i antisimetrian dijagram).

Nakon uvrtavanja (e) i (f) u jednaine (a) dobija se sistem jedna

ina

,0

,0

,0

333131

2222

313111

=+=+

=+

QQ

Q

QQ

F

(g)

ija je determinanta (prva i tre#a jednaina)

,02133311 (h)

a to znai da mora biti

,0,0 31 == QQ (i)

tj. simetrine sile 31 i QQ su jednake nuli kada je optere#enje simetrinog rama

antisimetrino.

Nakon to su metodom sila odre%ene suvine reakcije veza kod statiki neodre%enognosaa, ostale nepoznate se odre%uju iz statikih uslova ravnotee. Zatim se crtajudijagrami presjenih sila. Ukoliko je potrebno dimenzionisati nosa, treba na#i maksimalni

q

a)

q MF

b)


30/84

110

normalni napon. Zatim se popreni presjek nosaa dobija iz uslova da taj napon mora biti

manji od dozvoljenog.Kod statiki neodre%enih reetkastih nosaa statiki neodre%ene veliine, sile u tapovimaili/i reakcije veza, odre%uju se iz uslova deformacije ekvivalentnog sistema poddjelovanjem vanjskih optere#enja i statiki neodre%enih veliina. Kanonske jednaine glase

,,...,2,1,0...2211 njQQQ jFmjmjj ==++++ (12.18)

gdje su uticajni koeficijenti i pomjeranje napadne take sile Qj u njenom pravcu usljeddjelovanja vanjskog optere#enja dati izrazima:

=

= =

=

==

m

i i

iijiFjF

m

i

m

i i

iikijjk

i

iijjj

EA

lSS

kjEA

lSS

EA

lS

1

1 1

2

,

,,,

(12.19)

gdje je m broj tapova, ijS je sila u tapu usljed djelovanja jedinine sile 1=jQ na mjestuuklonjene veze, a SiFje sila u tapu od zadatih sila. Sa n je oznaena statika neodre%enostreetke. Na kraju se mogu odrediti sile u svim tapovima koritenjem principasuperpozicije, tj.

.1

=

+=n

jjijiFi QSSS (12.20)

Kod statiki neodre%enih nosaa mogu se odrediti pomjeranja, linijska i ugaona, pojedinihtaaka istim postupkom kao kod statiki odre%enih nosaa, ali prethodno treba rijeitistatiku neodre%enost. Postupak odre%ivanja pomjeranja taaka nosaa objanjen je upoglavljima 10.5 i 10.6.U nastavku ovog poglavlja rijeena su dva statiki neodre%ena nosaa primjenom metodesila.

Primjer 12.9.

Izranati horizontalno pomjeranje take C na ramu (slika 12.34.), koji je izra%en odstandardnog I 30 profila. Poznato je: E = 2105MPa, F = 16 kN, l = 6 m.

FC

A B

ll/3

l/2

l/2

Slika 12.34. Statiki neodre%en ram


31/84

111

Rjeenje:

Ram na slici 12.34. je jednom statiki neodre%en (n = 4 3 = 1). Problem je rijeenmetodom sila. Ekvivalentni sistem je prikazan na slici 12.35.a.

Slika 12.35.a) Ekvivalentni sistemb) Momentni dijagram od jedinine silec) Momentni dijagram od vanjskog optere#enja

Dijagram momenta savijanja od jedinine sile 1Q = 1 prikazan je na slici 12.35. b, a na slici

12.35. c prikazan je dijagram momenta savijanja od vanjskog optere#enja, a vide se ireakcije u osloncima.Kanonska jednaina (12.11) svodi se na

.01111 =+ FQ (a)

Uticajni koeficijent 11 i pomjeranje take F1 su odre%eni pomo#u Vereaginovemetode, koritenjem izraza (10.56).

,3

5

3

2

22 32

2

11 lllll

EIx =+= (b)

to je dobijeno mnoenjem povrine momentnog dijagrama 1M s ordinatom kroz teitesvake povrine (slika 12.35. b).

,48

23

23

2

222

1

2222

1

22

1 31 Fl

FlllFlll

lll

FlEI FX =

+= (c)

gdje je prvi sabirak dobijen mnoenjem povrine u dijagramu MF i ordinate iz dijagrama

1M , a kroz teite prvog dijagrama, a kod druga dva sabirka je bilo obrnuto, jer su obadijagrama pravolinijska i to je bilo mogu#e (poglavlje 10.6).

Nakon uvrtavanja (b) i (c) u (a) dobija se

,048

23

3

5 31

3 = FlQl (d)

F

Q1

a)

1

b)

1

l l

1M

F/2c)

F/2

F

FMF

2

Fl


32/84

112

odakle je reakcija veze

kN.6,480

1623

80

231 =

== FQ

Da bi se nalo horizontalno pomjeranje take C, u toj taki se prilae horizontalna jedininasila i crta se momentni dijagram (slika 12.36. a). Pomjeranje ove take se rauna pomo#uVereaginove metode, a koristi se i princip superpozicije. Naime, pretpostavlja se da uzsilu F, kao vanjsko optere#enje djeluje reakcija veze Q1. Zato je nacrtan momentni dijagramod sile Q1 (slika 12.36. b). Sada se mnoe dijagrami na slikama 12.36. a i 12.36. b idijagrami na slikama 12.36. a i 12.35. c.

Slika 12.36. a) Momentni dijagram od jedinine sile u taki Cb) Momentni dijagram od sile Q1

Horizontalno pomjeranje take C je

,23

2

222

1

2222

1

223

2

22

1

3

2

2

1

22

1

2

1

3

2

2

1

222

11111

+

+

++

++

+

+=

llFl

Flll

llll

FllQllllQl

llQ

ll

EIxC

.4857

167

1

3

= QF

EIl

xC (e)

Za profil I 30 aksijalni moment inercije je Ix= 9800 cm4, pa je

m.017,0106,448

5716

16

7

10980010102

6 3865

3

=

=

C

1M

1C

1

l/2

l

Q1

b)

Q1

Q1l Q1l

1QM

a)

1/2 1/2


33/84

113

Primjer 12.10.

Izraunati sile u tapovima reetkastog nosaa na slici 12.37. Poznato je: E = 2105MPa, F= 20 kN, A1= 86 cm

2, A2= 14 cm2, A3= A4= 48 cm

2, A5= A6= 35 cm2.

Slika 12.37. Reetkasti nosaoptere#en silom F

Rjeenje:

Reetkasti nosana slici 12.37. ima etiri vora, pa je potreban broj tapova 24 3 = 5, anosaima est tapova. Dakle, on je jednom unutarnje statiki neodre%en (6 5 = 1).

Ekvivalentni sistem je prikazan na slici 12.38. a, a na slikama 12.38. b i c su prikazanepretpostavljene sile u tapovima od jedinine sile i od zadatog optere#enja.

Slika 12.38. a) Ekvivalentni sistemb) Sile u tapovima od jedinine silec) Sile u tapovima od zadatog optere#enja

Kanonska jednaina (12.18) svodi se na

,01111 =+ FQ (a)

4m 4m

F

1

5

432

6

1 3

4

2

1,5m

1,5m

c)

F

S3F

S6F S5F

S4FS2F

b)

12

11

3S

6S 5S

4S2S

a)

F

1 34

2

Q1 Q1


34/84

114

a koeficijenti 11 i F1 se rjeavaju prema (12.19), tj.

==

==6

1

16

11

21

11 .,i i

iiiF

iF

i

ii

EA

lSS

EA

lS (b)

Za dati nosaduine pojedinih tapova su:

( ) ( ) m27,45,14m,534m,5,1m,8 21

21

2265

224321 =+===+==== llllll

Sile iS i iFS u pojedinim tapovima nalaze se iz uslova ravnotee vorova reetke (slike12.38. b i c).

&vor 1):

.0sinsin,0

,0coscos1,0

2316

2316

=+=

=++=

SSY

SSX

i

i (c)

Poznato je:

.8,05

4cos;94,0

27,4

4cos

;6,05

3sin;35,0

27,4

5,1sin

21

21

====

====

Iz jednaina (c) se dobija

.22,1,1,2

,06,035,0,08,094,01

36

3636

==

=+=++

SS

SSSS (d)

Zbog simetrije bi#e

., 3465 SSSS == (e)

&vor 2): ( ) ( ) ,090cos90cos,0 24232 =++= SSSYi

odnosno

.47,1

,06,022,12,0sin2

2

2232

=

=+=+

S

SSS (f)


35/84

115

&vor 1):

,0sinsin2

,0

,0coscos,0

2316

2316

=+=

=+=

SSF

Y

SSX

i

i

odnosno

.06,035,02

,08,094,0 3636 ==+ SSF

SS (g)

Iz jednaina (g) se dobijaju sile

.645,1,4,1 4356 FFFF SFSSFS ==== (h)

&vor 2): =+= ,sin2,0 232 FSSYi .97,0645,16,022 FFFSF == (i)

Izraunate sile s odgovaraju#im znacima (+ zatezanje, - pritisak) date su u Tabeli 12.1. Unjoj se nalaze pojedini sabirci potrebni za raunanje koeficijenata 11 i F1 (izrazi (b)).

Tabela 12.1. Sile u tapovima i veliine potrebne za njihovo raunanje

ilim

Aim2 1iS iF

S i

ii

A

lS21

i

iiiF

A

lSS 1 11QSi iS

iS

kN

1 8 8610-4

1 0 0,093104

0 0,755F 0,755F 15,12 1,5 1410-4 -1,47 0,97F 0,23104 -0,153F104 -1,11F -0,14F -2,83 5 4810-4 1,22 -1,645F 0,155104 -0,209F104 0,92F -0,725F -14,54 5 4810-4 1,22 -1,645F 0,155104 -0,209F104 0,92F -0,725F -14,55 4,27 3510-4 -2,1 1,4F 0,538104 -0,36F104 -1,585F -0,185F -3,76 4,27 3510-4 -2,1 1,4F 0,538104 -0,36F104 -1,585F -0,185F -3,7

1,709104 -1,291104

Sile u tapovima su izraunate koritenjem izraza (12.20) koji se svodi na

.11

QSSSi

iFi += (j)Iz jednaine (a), a uz koritenje izraza (b), koji su dati u Tabeli 12.1. dobija se generalisanasila:


36/84

116

.kN1,15755,0

,0106455,0108545,0,106455,010102

10291,1

,108545,010102

10709,1

11

41

4

4

35

4

1

4

35

4

11

SFQ

FQF

FF

====

=

==

=

Sile u tapovima prema izrazu (j) su:

.kN7,3185,0585,14,1

,kN5,14725,092,0645,1

,kN8,214,011,197,0

65

43

2

======+==

===

FFFSS

FFFSS

FFFS

12.6. Metoda minimuma deformacionog rada

Statiki neodre%eni sistemi se mogu rijeiti i primjenom Kastiljanove (Castiglian) teoreme,koja je dana u poglavlju 10.4. Prema ovoj teoremi, generalisano pomjeranje na mjestu iupravcu djelovanja generalisane sile jednako je parcijalnom izvodu deformacionog rada potoj sili. Poto se konstrukcija elastino deformie i ne smije do#i do loma, pomjeranja namjestu i u pravcu generalisane sile moraju biti jednaka nuli. Te generalisane sile se naznaena ekvivalentnom sistemu, kao to je pokazano u poglavlju 12.5. Broj dopunskih jednainapotrebnih da se rijei statiki neodre%ena konstrukcija jednak je broju generalisanih sila.Polazi se od izraza za deformacioni rad (10.13), za opti sluaj optere#enja, preko koga sedobija izraz za pomjeranje (10.43) primjenom Kastiljanove teoreme. Na osnovu (10.43),ako se sa Qi oznae suvine nepoznate (reakcije oslonaca ili/i unutarnje sile), dobija sesistem linearnih jednaina

( ),,...,,,,0 21 nddi

di QQQFWWQ

Wf ==

= i = 1, 2, , n (12.21)

ili u razvijenom obliku

===

=

++

+

m

j l i

yyym

j l i

y

y

ym

j l i

x

x

x

jjj

dzQ

F

GA

Fdz

Q

M

EI

Mdz

Q

M

EI

M

111

,0... i = 1, 2, , n (12.22)

koji treba rijeiti. U jednaini (12.22) m je broj polja u kojima se mijenjaju izrazi zapresjene sile.

Ako se zanemare svi uticaji osim momenta savijanja, jednaine (12.22) se svode na (12.23)

n.,2,1,i,0m

1j lj

==

=

dzQ

M

EI

M

i

x

x

x (12.23)

Mx je moment savijanja u proizvoljnom presjeku od vanjskog optere#enja i suvinihnepoznatih.


37/84

117

Sistem linearnih jednaina (12.21) ili (12.22) kada se rijei dobijaju se suvine nepoznate

koje imaju vrijednosti za koje je deformacioni rad nosaa minimalan, ako je taj nosaodlinearno elastinog materijala i nalazi se u stabilnoj ravnotei. Ovo je dokazano na primjerukonzole koja je oslonjena na kraju prema slici 12.39.a. Ona je jednom stati ki neodre%ena.Ekvivalentni sistem je dat na slici 12.39.b (oslobo%en desni oslonac i naznaenageneralisana sila Q1).

Slika 12.39. a) Statiki neodre%en nosab) Ekvivalentni sistem

Rad vanjskih sila jednak je deformacionom radu (poglavlje 10.1)

.2

111111 qdqd QWQWW == (a)

Wdqje rad kontinualnog optere#enja na svom pomjeranju.Pomjeranje 11 je prema (10.20)

.11111 Q = (b)

Uvrtavanjem (b) u (a) dobija se

,2

111

2111 qdqd QWQW = (c)

a parcijalni izvod deformacionog rada po generalisanoj sili je

,11111

qd Q

Q

W =

(d)

,0112

2

1 >=

Q

Wd (e)

gdje je 11 uticajni koeficijent.

Izraz (e) je uslov za minimum funkcije deformacionog rada.

Ukoliko je neki od oslonaca elastian, npr. oslonac i, njegovo pomjeranje bi#e

q

a) b)

q

Q1


38/84

118

,c

Q

Q

W iel

i

d

i ==

= (12.24)

gdje je c krutost opruge. Tako%er, moe biti zadato pomjeranje oslonca o , tj.

.oi

di

Q

W =

= (12.24a)

Ako je reetkasti nosaunutarnje statiki neodre%en moe se rijeiti metodom minimumadeformacionog rada. Naime, izraz za ukupni deformacioni rad obuhvata sve tapove, pa ionaj koji je presjeen jer je suvian sa stanovita statike odre%enosti. Izvod deformacionograda po sili daje pribliavanje krajeva toga tapa na mjestu presjeka, a poto je tap

neprekidan, to pribliavanje mora biti jednako nuli, a sila u tom tapu daje minimalnuvrijednost deformacionog rada.

Slika 12.40. a) Unutarnje statiki neodre%en reetkasti nosab) Ekvivalentni sistem

Nepoznate, suvine, sile se dobijaju iz sistema jednaina

= =

==

= m

i

m

iiij

i

ii

i

j

ii

j

d lSEA

Sl

EA

Q

SS

Q

W

1 1

,0 j = 1, 2, , n, (12.25)

gdje je m broj tapova, a n je broj koji pokazuje koliko puta je reetka statiki neodre%ena.

Sile u tapovima reetke dobijaju se kao posljedica zbirnog uticaja od vanjskog optere#enjai statiki neodre%enih veliina u ekvivalentnom sistemu (slika 12.40.), tj.

=

+=++++=n

jjij

Fininii

Fii QSSQSQSQSSS

12211 ... , (12.26)

F F

a)

F F

Q1

Q1

b)


39/84

119

gdje su FiS sile u tapovima od vanjskih uticaja, ijS su sile u tapu jusljed djelovanja

statiki neodre%ene veliine 1=jQ .Primjena metode minimuma deformacionog rada na rjeavanje statiki neodre%enih sistemaobjanjena je u sljede#a dva primjera.

Primjer 12.11.

Rijeiti statiku neodre%enost obostrano ukljetenog luka optere#enog silom F prema slici12.41.

Rjeenje:

Obostrano ukljeten luk na slici 12.41. je tri puta statiki neodre%en. Iz statikih uslova

ravnotee, a zbog simetrije, dobija se da je2

i, FFFMMFF BVAVBABHAH ====

(slika 12.42.a), te ovaj problem postaje dva puta statiki neodre%en. Ekvivalentni sistem jedat na slici 12.42.b. Suvine reakcije veze se nalaze koritenjem metode minimumadeformacionog rada.

Slika 12.42. a) Obostrano ukljeten luk i reakcije vezab) Ekvivalentni sistem

R

BA

F

Slika 12.41. Optere#en, obostrano ukljeten luk

MBMA

F

FAH

FAV

FBH

FBV

a)

R

Q1

F

F/2

Q2

b)

1

1


40/84

120

Moment savijanja u presjeku 1 1 je

( ) 21 sincos12QRQRFM += . (a)

Koriste se jednaine (12.23), tj.

.0,021

=

=

l xl x

dlQ

M

EI

Mdl

Q

M

EI

M (b)

U datom primjeru izvodi su

,1,sin21

=

=

Q

MR

Q

M (c)

a.Rddl= (d)

Izrazi (c) i (d) se uvrtavaju u (b) i dobija se

=

+

=

+

2

0

21

2

0

21

,0sin)cos1(2

1

,0sinsin)cos1(2

1

RdQRQRF

EI

RdRQRQRF

EI

x

x (e)

odnosno

=

+

=

+

2

0

22

122

2

0

22

231

33

.0sincos22

,0sinsincossin2

sin2

dRQRQRF

RF

dRQRQRF

RF

(f)

Jednaine (f) se svode na (g)

,02222

,0442

21

21

=+

=+

QRQRFRF

QRQRF

RF

(g)

a njihovo rjeenje je

,)8(2

24,

8

42

2

221FRQFQ

+

=

=

tj.

., 21 BBH MQFQ ==


41/84

121

Primjer 12.12.

Ram na slici 12.43. ima konstantnu savojnu krutost (EIx= const.). Odrediti reakcije osloncaB kada se pomjeri vertikalno navie za B . Poznato je: E = 210

5MPa, a = 4 cm, B = 4

cm, popreni presjek je od standardnog profila 40.

Rjeenje:

Ram na slici 12.43. je dva puta statiki neodre%en (n = 5 3 = 2). Ekvivalentni sistem snaznaenim presjecima u kojima se jednaina za moment savijanja mijenja prikazan je naslici 12.44.

Momenti savijanja u presjecima 1-1, 2-2, 3-3 i njihovi izvodi po generalisanim silama su:

.,,

,,

,0,

2

3

1

31221

2

2

1

2122

2

1

1

121

azQ

Ma

Q

MaQaQzQM

aQ

Mz

Q

MzQaQM

zQ

M

Q

MzQM

+=

=

+=

=

=

=

=

=

=

(a)

Aa

a

aB

B


2

z

Q1

Q21

1

2

z

z

3

3

Slika 12.44. Ekvivalentni sistem za ram naslici 12.43.


42/84

122

Koriste se jednaine 12.21, odnosno 12.23 i 12.24a i dobija se:

.1

,01

0 2

33

0 2

22

0 2

11

0 1

33

0 1

22

0 1

11

B

aaa

x

aaa

x

dzQ

MMdz

Q

MMdz

Q

MM

EI

dzQ

MMdz

Q

MMdz

Q

MM

EI

=

+

+

=

+

+

(b)

Nakon uvrtavanja izraza (a) u jednaine (b) dobija se:

( ) ( )

( ) ( ) .)()(

,0)(

0

12

0 0

122

2

0

12

0

12

Bx

aa a

aa

EIdzazaQazQadzzQaQdzzQ

adzaQazQzdzzQaQ

=++++

=++

(c)

Nakon integriranja dobija se:

.23

11

,03

2

312

12

a

EIQQ

QQ

Bx=

=+ (d)

Suvine reakcije veza su

.2

3,

4

93231 a

EIQ

a

EIQ BxBx

== (e)

Za profil 40 iz tablice [42] je Ix = 846 cm4. Sada se mogu na#i brojne vrijednosti

generalisanih sila

kN.6,1104

1041084610102

2

3

kN,4,2104

1041084610102

4

9

33

2865

2

3

3

2865

1

=

=

=

=

Q

Q

12.7. Metoda deformacija

Statiki neodre%eni sistemi mogu se rijeiti i metodom deformacija. Ova metoda se moekoristiti za rjeavanje statiki neodre%enih konstrukcija s nepomjerljivim i pomjerljivimvorovima, pri emu pojedine grede mogu biti konstantnog ili promjenljivog poprenogpresjeka. Ovde je objanjeno kako se ova metoda koristi pri rjeavanju statiki neodre%enihkonstrukcija sastavljenih od greda konstantnog poprenog presjeka i s nepomjerljivimvorovima (spojnim takama grede), tj. konstrukcija kod kojih dolazi do okretanja vorova,ali nema njihovog linijskog pomjeranja niti dolazi do okretanja greda izme%u vorova. Zatakve konstrukcije mora biti dvostruki broj vorova jednak broju spojnih greda, tj.


43/84

123

2n= ng . (12.27)

Kod ove metode, kao i kod metode sila, usvaja se pretpostavka da se svi uticaji nadeformaciju osim momenta savijanja mogu zanemariti. Ova pretpostavka ima veoma maliuticaj na tanost rjeenja, jer je deformacioni rad uzdunih i poprenih sila zanemariv uodnosu na deformacioni rad momenta savijanja (poglavlje 10.1.).Statiki neodre%ena konstrukcija, koja se rjeava metodom deformacija mora se zamijenitidrugim, tzv. ekvivalentnim sistemom za koji se moe postaviti sistem jednaina iz kojih seodre%uju suvine nepoznate. Kod metode sila ekvivalentni sistem se formira tako da senosaoslobodi suvinih veza i na njihovo mjesto se stavljaju nepoznate sile i/ili momenti.Zatim se formira sistem kanonskih jednaina pri emu moraju biti zadovoljena pomjeranjana statiki neodre%enoj konstrukciji (poglavlje 12.5.). Kod metode deformacija ekvivalentnisistem se formira tako da se dodaju dopunske veze i dobija se sistem s potpunonepokretnim vorovima, tj. sistem sastavljen od obostrano ukljetenih greda. Poto se na

stvarnoj konstrukciji vorovi okre#u, oni se na ekvivalentnom sistemu osloba%ajudodavanjem prikljunih momenata i formiraju se dodatne jednaine. Njihov broj jednak jebroju krutih vorova u konstrukciji, dok je kod metode sila broj jednaina bio jednak brojustatike neodre%enosti sistema. Iz tih jednaina se odre%uju uglovi okretanja, tj. ugaonedeformacije, a zatim momenti i sile, dok su se kod metode sila prvo odre%ivale suvine silei/ili momenti.Na slikama 12.45.a i b prikazane su dvije statiki neodre%ene konstrukcije. Prvi ram (slika12.45.a) ima jedan vor (n= 1)u kome su kruto vezane dvije grede (n g= 21= 2), a drugiram (12.45.b) ima etiri vora kojima je spojeno osam greda (24 = 8). Prema tome kod obarama je zadovoljen uslov (12.47.), to znai da su ti ramovi s nepomjerljivim vorovima. Zaove ramove na slikama 12.45.c i d su prikazani ekvivalentni sistemi.

Slika 12.45. a, b) Statiki noedre%eni ramovic, d) Ekvivalentni sistem

1

a)

c)

1

a)

2 3 4

b)

d)


44/84

124

Ram na slici 12.45.a je tri puta statiki neodre%en, a ram na slici 12.45.b je 12 puta statiki

neodre%en, te je, pri rjeavanju problema metodom sila, potrebno rijeiti sistem od tri,odnosno 12 kanonskih jedaina. Prvi ram ima jedan vor, a drugi ima etiri vora, te je, prirjeavanju statike neodre%enosti ovih ramova metodom deformacija potrebno napisati irijeiti jednu, odnosno etiri jednaine. Ovi primjeri pokazuju da je pri njihovom rjeavanjumetoda deformacija efikasnija od metode sila. To je naje#e sluaj pri rjeavanju sloenijihramovskih konstrukcija.

Sljede#a analiza treba da pokae kako se dolazi do dopunskih jednaina potrebnih da serijei statiki neodre%ena konstrukcija metodom deformacija.

- Potrebno je formirati ekvivalentni sistem, koji se sastoji iz obostrano ukljetenih greda(slike 12.45. c i d).

- Ukljetenja u vornim takama su elastina i dolazi do okretanja vorova.

- Usvaja se da su uglovi okretanja vorova pozitivni ako je okretanje u smjeru kretanjakazaljke na satu.

- Uglovi okretanja vorova zavise od vanjskog optere#enja i od prikljunih momenata uukljetenjima.

- Prikljuni momenti savijanja na isjeenoj gredi su pozitivni ako su u smjeru kretanjakazaljke na satu, a negativni za obrnuti smjer (slika 12.46.).

Slika 12.46. Znak momenta savijanja za obostrano ukljetenje grede (prikljuni momenti)

- Raunaju se uglovi kretanja vorova primjenom principa superpozicije. Npr. za greduna slici 12.47. ugao okretanja vora A, a , jednak je sumi uglova okretanja tog vora

od momenta u osloncu A (Ma), u osloncu B (Mb) i od vanjskog optere#enja F .


45/84

125

Slika 12.47. a) Obostrano kruto ukljetena gredab) Greda s elastinim ukljetenjemc) Dijagram momenta savijanja za gredu optere#enu silomd, e) Dijagrami momenta savijanja za grede optere#ene spregom

- Na osnovu tablinih vrijednosti [42] moe se pisati

.'63 xF

baax EI

lMlMEI += (a)

- Istim postupkom se dobija ugao okretanja vora B, b .

.''36 xF

babx EI

lMlMEI ++= (b)

- Rjeavanjem jednaina (a) i (b)dobijaju se prikljuni momenti

( )

( ).'3''2624

,'2''624

FFx

ax

bx

b

FFx

bx

ax

a

l

EI

l

EI

l

EIM

l

EI

l

EI

l

EIM

++=

++= (c)

- Jednaine (c) piu se u sljede#em obliku

,24

,24

obaa

xb

xb

oabb

xa

xa

Ml

EI

l

EIM

Ml

EI

l

EIM

++=

++=

(d)

odnosno

F

A Ba)

a

b+Mb+Ma

b)Ma

d)

Mb

e)

Ma

MFc)

Mb

F


46/84

126

,)2(

,)2(obaabb

oabbaa

MkM

MkM

++=

++=

(12.28)

gdje je

l

EIk x

2= (12.29)

koeficijent krutosti, a veliine oabM iobaM su momenti savijanja koji zavise od optere#enja.

- Za nosas ukljetenim krajevima bi#e

,0== ba (12.30)

pa se dobija da je

., obaboaba MMMM == (12.31)

Ovi momenti optere#enja grede ili optere#enja vorova se mogu na#i u dodatku knjige i uprirunicima, npr. [42,45]. Tako, kod obostrano ukljetene grede optere#ene ravnomjernimkontinualnim optere#enjem momenti optere#enja vorova imaju vrijednost

,12

,1212

222

+==

qlM

qlM

ql oba

oab a u sluaju koncentrisane sile koja djeluje na sredini ti

momenti su ,8,88 +== FlMFlMFlobaoab slika 12.48.

Slika 12.48. a) Obostrano ukljetena greda optere#ena kontinualnim optere#enjemb) Obostrano ukljetena greda optere#ena koncentrisanom silom

- U A i B nisu kruta ukljetenja i javlja se njihovo okretanje. Zato se ti vorovi osloba%aju idodaju se prikljuni momenti abM i baM , koji su posljedica okretanja promatranog vora

na stvarnoj konstrukciji. Ti momenti su

A

a)

M0ab

B

M0baq

l

A

b)

M0ab

B

M0baF

l


47/84

127

.)2(

,)2(obaabba

oabbaab

MkM

MkM

++=

++=

(12.32)

Znak prikljunih momenata se usvaja prema slici 12.46.

- Prikljuni momenti, izrazi (12.32), se piu za svaku gredu konstrukcije. Poto osloba%anjejednog vora ima uticaja samo na susjedne vorove, potrebno je izraunati momente zagrede koje idu iz tog vora Mn-1, Mn-2, Npr, u krutom voru N je spojeno vie greda(slika 12.49.) i suma momenata koji djeluju na taj vor mora biti jednaka nuli, tj.

0321 =++= nnnn MMMM . (12.33)

Pojedini momenti savijanja, koji djeluju navor N su prema (12.32):

.)2(

,)2(

,)2(

3333

2222

1111

onnnn

onnnn

onnnn

MkM

MkM

MkM

++=

++=

++=

(12.34)

- Nakon uvrtavanja izraza (12.34) u uslov (12.33) dobija se

,02111

=++ =

=

=

m

i

oini

m

iin

m

iinn Mkk (12.35)

gdje je m broj greda spojenih u jednom voru.Jednaina (12.35) je jednaina okretanja vora i primjenjuje se na svaki vor konstrukcije.Tako se dobija potrebni sistem jednaina analogno kanonskim jednainama kod metodesila.&lan u jednaini (12.35)

=

=

==m

iinnnnn

m

iin kddk

11

2,2 (12.36)

N

2

1

3 Slika 12.49. Tri grede spojene u voru N


48/84

128

je dijagonalni lan, a lan

=

=m

in

oin SM

1

(12.37)

predstavlja optere#enje vora.Jednaina okretanja vora (12.35) uz (12.36) i (12.37) glasi

.01

=++ =

n

m

iiinnn Skd (12.38)

- U statiki neodre%enoj konstrukciji neke grede mogu na jednom kraju imati nalijeganje uvidu zgloba (slika 12.50.). U tom sluaju je prikljuni moment jednak nuli, tj.

( ) ,02 =++= oannaan MkM (12.39)

pa se dobija da je ugao

+=

k

Moanna 2

1 (12.40)

i ne treba ga odre%ivati iz jednaine vora.

- Zglavkasto vezivanje grede ima uticaj na vor s kojim je povezana greda, a to znai da #e

jednaina vora (12.38) za vor N biti

.0=++++ nccbbaann Skkkd (e)

Uvrtavanjem (12.40) u (e) dobija se

( ) ( ) ,05,05,0 =+++ oannccbbnan MSkkkd (f)

q

A

C

B

N

Slika 12.50. Statiki neodre%enakonstrukcija s gredom koja najednom kraju ima nepominioslonac


49/84

129

ili op#enito jednaina okretanja vora N je

,01

=++ =

on

m

iiin

on Skd (12.41)

gdje je m broj greda u voru N koje nisu zglavkasto vezane (na slici 12.50. m = 2), a

,5,0 anon kdd = (12.42)

,5,0 oannon MSS = (12.43)

Ako u jednom voru ima vie greda koje su na drugom kraju zglavkasto oslonjene, tada se

u izrazima (12.42) i (12.43) umjesto ka, odnosnooanM pie suma tih veliina za one grede

koje na suprotnom kraju imaju zglob, tj.

,5,01

=

=p

iin

on kdd (12.44)

.5,01

=

=P

i

oinn

on MSS (12.45)

gdje je p broj greda koje na suprotnom kraju imaju zglob.

- Ako postoji prepust s optere#enjem, uraunava se u optere#enje vora Sn, tj.

k

m

i

oinn MMS += = 1 (12.46)

Napomena:- Za simetrian nosa sa simetrinim optere#enjem (slika 12.51.), uglovi okretanja lijevo idesno od ravni simetrije su istog intenziteta a suprotnog smjera, tj. 12 = .

1 2

Slika 12.51. Simetrian nosasasimetrinim optere#enjem


50/84

130

- Ako kod neke konstrukcije nije zadovoljen uslov za nepomjerljivost vorova, tj.

g nn 2 , tada je potrebno tu konstrukciju poduprijeti na jednom ili vie mjesta da sedobije konstrukcija s nepomjerljivim vorovima. Npr. na slici 12.52. prikazan je ram s trivora i sedam greda (237). Da bi on bio nepomjerljiv, poduprt je u voru 3, tj. dodat jejedan oslonac (23+1=7).

Sljede#i primjer je rijeen primjenom metode deformacija.

Primjer 12.13.

Za zadani ram i optere#enje prema slici 12.53. nacrtati dijagrame savijanja i transverzalnihsila. Poznato je: F = 20 kN, q = 10 kN/m.

1

3

2

4

F

2m 4m

Ix

2Ix

qIx

4m

2m

Slika 12.53. Statiki neodre%enram

1 32

Slika 12.52. Ram poduprt uvoru 3


51/84

131

Rjeenje:

Ram na slici 12.53. rijeen je metodom deformacija.Prema jednaini okretanja vora (12.41) za vor 1 je:

.0141421211 =+++oo Skkd (a)

Koeficijenti krutosti se raunaju prema (12.29):

.2

22

,5,0

4

22

,4

222

4114

14

31

13

13

2112

12

12

kEIEI

l

EIk

kEIEI

l

EIk

kEIIE

l

EIk

xxx

xxx

xxx

====

====

====

(b)

Dijagonalni lan je prema (12.42) i (12.36)

,5,0 1311 kddo =

a

( ) ,55,02)(2 1413121 xxxx EIEIEIEIkkkd =++=++= pa je

.75,45,05,051 xxxo EIEIEId == (c)

Optere#enje vora je prema (12.46) i (12.43) jednako:

.5,0

,

3111

1413121

oo

kooo

MSS

MMMMS

=

+++= (d)

Momenti optere#enja vorova za kruto ukljetenje se odre%uju iz tablica [45].

Slika 12.54. Elementi ramovske konstrukcije

21

qMo21

Mo12

a)

q M21M12

Fv1 Fv2z

c)

MK

F

b)

1

3

M13

FH3

4

M41

FH4

M141

d)


52/84

132

Za optere#enje prema slici 12.54.a bi#e

340

12,

340

12410

12

2

21

22

12 ===== qlMqlM oo kNm, (e)

a moment konzole (slika 12.54.b) je

40220 === KK FlM kNm. (f)

Za dijelove 13 i 14 bi#e

.0,0 41143113 ====oooo MMMM (g)

Iz (d) , a uz koritenje vrijednosti datih sa (e), (f) i (g) dobija se

67,26403

401 =+=oS kNm. (h)

Jednaina (a), nakon uvrtavanja (c) i (h), glasi067,2675,4 1 =+xEI , (i)

jer je 042 == .

,614,5

1xEI

= (k)

a ugao obrtanja u zglobu prema (12.40) je

x

o

EIk

M 807,2

2

1

31

3113 =

+= . (l)

Prema (12.32), a uz (b), (j), (k), (l), (e) i (g) prikljuni momenti su:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) kNm.614,5614,52

kNm,228,11228,11

2

,02

kNm,21,4807,2228,11

5,02

kNm,716,733,13614,5

2

kNm,558,2433,13228,112

41144141

14411414

31133131

13311313

21122121

12211212

=

=++=

=

=++=

=++=

=

+=++=

=+

=++=

=

=++=

xx

o

xx

o

o

xxx

o

xx

o

xx

o

EIEIMkM

EIEIMkM

MkM

EIEIEIMkM

EIEIMkM

EIEIMkM

(m)

Provjera: Suma momenata za vor 1 mora biti jednaka nuli (izraz (12.33)), tj.

.040228,1121,4558,241413121 =+=+++= KMMMMM Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja, potrebno je izraunati ekstremnu vrijednostmomenta savijanja na dijelu rama 12. Vertikalne reakcije u 1 i 2 se dobijaju iz stati kihuslova ravnotee (slika 12.54.c):


53/84

133

kNm.75,42

421,210558,24421,221,24

2

m,421,210

21,24,,0

.kN41,24,79,1540,,0

,79,15,558,242

410

716,74,02,0

2

2

121

1

1121

2

2

212

2

2121

=

=

==

====

===+=

=

+==+=

qzMzFM

zFqzF

FFqlFFF

kNFFM

ql

MlFM

Ve

VT

VVVVV

V

VV

Slika 12.55. a) Dijagram momenata savijanjab) Dijagram transverzalnih sila

Da bi se nacrtao dijagram transverzalnih sila potrebno je odrediti horizontalne reakcije u

vezama 3 i 4 (slika 12.54.d) i one su:

=

+===

====

kN.4,82

2,116,5,0,0

kN,05,14

21,4,0,0

4144141

31331

HH

HH

FMMlFM

FMlFM

Dijagrami momenata savijanja i transverzalnih sila prikazani su na slici 12.55.

40

5,624,56

11,23

4,2

4,75

7,7

M

a)

24,2

8,4

2015,8

1,05

FT

b)


54/84

134

12.8. Metoda Krosa (Cross)

Za rjeavanje statiki neodre%enih konstrukcija, pored analitikih metoda, koriste se iiteracione metode, a jedna od njih je metoda Krosa (Hardy Cross). Ova metoda koristipoznate principe metoda deformacija i superpozicije i do rjeenja se dolazi sukcesivnimpribliavanjem. Koritenjem ove metode proraun statiki neodre%enih sistema svodi se nanajjednostavnije aritmetike radnje. Kod ove metode se ne radi s uglovima okretanja kaokod metode deformacija, ve# se oni transformiu u momente i proraun se radi s timmomentima.Proraun konstrukcije pomo#u metode Krosa polazi od pretpostavke da su svi elementikonstrukcije s nepomjerljivim vorovima kruto ukljeteni. Zatim se izraunavaju momentiukljetenja pojedinih elemenata. U svakom voru #e se javiti tzv. optere#enje vora

= .0nin MM (12.47)

Poto su vorovi pomjerljivi, potrebno je u svakom voru dodati tzv. izravnavaju#imoment, koji se po odre%enom zakonu raspodjeljuje na sve grede vezane u vor, a utie ina susjedne vorove. Tako se dobijaju popravljene vrijednosti momenata ukljetenja zapojedine elemente konstrukcije. Da bi se postigla zadata tanost rjeenja, potrebno jepostupak ponoviti s popravljenim vrijednostima momenata u vornim takama elemenata.Da bi se dobili izrazi za prikljune momente od kojih se polazi u metodi Krosa posmatra segreda na jednom kraju kruto ukljetena a na drugom oslonjena i izloena djelovanjumomenta savijanjaMa(slika 12.56.a). Problem je statiki neodre%en. Da bi se rijeio, nosase osloba%a veze u A i na slici 12.56.b je naznaena generalisana sila Q, a zatim seprimjenjuje integraciona metoda (poglavlje 12.2.).

Slika 12.56. a) Statiki neodre%ena gredab) Ekvivalentni sistemc) Dijagram momenta savijanja

Polazi se od jednaine elastine linije i rauna se nagib i ugib, tj.

,'' ax MQzyEI = (a)

B zA

Ma

a)

c)

MMa

Mb

Ma Mb

l

b)

Q


55/84


56/84

136

Ukoliko je u B oslonac (slika 12.57.), nagib u A je [45]

x

aa EI

lM

3

1= , (j)

a moment savijanja je

aax

a Ekl

IEM 33 == (k)

ili

aa EkM '4= , (12.51)

gdje je

kl

Ikk x 75,0

4

3

4

3' === . (12.52)

Slika 12.57. Prosta greda optere#ena spregom

Dakle, koeficijent krutosti za ukljetenje je k, a za zglobnu vezu je k ' = 0,75k.

Ako su u voru N kruto vezane npr. tri grede (slika 12.58), tada je uslov ravnotee togvora

,321 nnnn MMMM ++= (12.53)

a svi prikljuni elementi su okrenuti za ugao n .

B

A

Ma

l

N1

2

3

Mn

Ix1

Ix2

Ix3

Slika 12.58. Tri grede kruto vezane uvoru N


57/84

137

Koriste#i izraz (12.49) moe se pisati uslov ravnotee (12.53)

=

=

++=

m

iinn

xxxn kEl

I

l

I

l

IEM

13

3

2

2

1

1 44 , (12.54)

gdje je m broj greda u voru N.Ugao okretanja je

=

ii

nn

kE

M

4

, (12.55)

a prikljuni momenti su na osnovu (12.49) i (12.55)

,,, 332

21

1 n

ii

nn

ii

nn

ii

n Mk

kMM

k

kMM

k

kM

=== (l)

ili uopteno

,nin

ii

ini MM

k

kM ==

(12.56)

gdje je

=

ii

ii

k

k (12.57)

razdjelni koeficijent.U ukljetenjima se pojavljuju momenti, na osnovu (12.48)

.2

1,

2

1,

2

1332211 nnnnnn MMMMMM === (m)

Ako je neki element na drugom kraju vezan zglobom (slika 12.59.), mijenja se samomoment savijanja za taj element, tj.

.43 3

3 n

ii

n Mk

kM

= (12.58)

N1

2

3

Mn

Slika 12.59. Grede kruto vezane uvoru N


58/84

138

Sada izraz (12.54) glasi

),'(4 321 kkkEM nn ++= (12.59)gdje je

.4

3' 33 kk = (n)

Dopunski moment je jednak optere#enju vora, tj.

.ni

nin SMM == (12.60)Poto nema krutih veza, potrebno je te dopunske momente ukloniti, to se ini mnoenjemistih razdjelnim koeficijentom i stavljanjem suprotnog smjera. To se radi postepeno od

vora do vora i pri tome dolazi do okretanja vora i do njegovog uravnoteavanja. Zato seovi momenti zovu izravnavaju#i. Naime, ti momenti su jednaki zbiru svih momenata kojidjeluju na taj vor pomnoeno s razdjelnim koeficijentom, a suprotnog znaka.

.

,1

=

===

ini

nini

nni

m

ininini

k

k

SMM

(12.61)

Izravnavaju#i moment u jednom voru elementa izaziva moment u drugom voru togelementa i to je prenosni moment (izraz (12.56)).Iz prethodnog izlaganja je jasno da- prvo treba izraunati razdjelne koeficijente preko koeficijenata krutosti,

- zatim se odre%uju prikljuni momenti za sve elemente pretpostavljaju#i da su vorovinepomini,- poto se vorovi okre#u, vri se izravnavanje momenata i pri tome se koriste razdjelni

koeficijenti da se odrede pripadaju#i momenti za svaki element,- sljede#i korak je raunanje prenosnih momenata u susjednim vorovima, koji su

posljedica izravnavanja.

Izravnavanje se moe raditi istovremeno na svim vorovima ili postepeno jedan za drugim.Nakon prvog izravnavanja javljaju se prikljuni momenti ija je veliina jednaka zbirumomenata punog ukljetenja, izravnavaju#eg i prenosnog momenta. Ako zbir tih momenatau vorovima nije nula, to znai da prikljuni momenti za pojedine vorove nisu u ravnotei.Zato se vri ponovno izravnavanje i dobijaju se sekundarni momenti, koji su jednakipolovini izravnavaju#ih momenata. Postupak se ponavlja dok se ne dobije eljena tanost.

Napomena:Ako je konstrukcija simetrina a i optere#enje (slika 12.51.), moe se rjeavati samo njenapolovina, ali je potrebno za element koji je presjeen s ravni simetrije uzeti dva puta manjukrutost, tj.

.2

11212

* kk = (12.62)

Ako je konstrukcija simetrina a optere#enje antisimetrino i tada se rjeava samo njenapolovina, a uzima se 1,5 puta ve#a krutost, tj.


59/84

139

.5,1 1212* kk = (12.63)

Sljede#i primjeri su rijeeni metodom Krosa.

Primjer 12.14.

Za zadani ram i optere#enje (slika 12.60.) potrebno je:a) odrediti suvine statike veliine metodom Krosa,b) nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila,c) dimenzinisati ram ako je ura%en od standardnog I profila.

Poznato je: q = 20 kN/m, F = 20 kN, F1= 40 kN i dozvoljeni napon d= 120 MPa.


Rjeenje:

a) Ram na slici 12.60. rijeen je metodom Krosa. Prvo su odre%eni koeficijenti krutostiprema izrazima (12.50) i (12.62), za krutu vezu i za element koji je presjeen s ravnisimetrije

1 3

1F 1F

F F

2 4

q

1,5m 6m 1,5m

6m

3m

ravansimetrije


60/84

140

.4

,1262

1

5,0,6*1312

13

*

1312

x

xxxx

Ikkk

II

kk

I

l

I

k

=+=

=====

Razdjelni koeficijenti su prema (12.57)

.33,03

1;67,0

3

2 13*13

1212 ====== k

k

k

k

Momenti optere#enja vorova za kruta ukljetenja i moment konzole su [45]:

kNm.305,120

kNm,60,6012

620

12

kNm,30,308

6408

1

31

22

13

211

12

===

==

==

====

FlM

Mql

M

MlFM

K

oo

oo

Slika 12.61. Elementi rama s krutim ukljetenjima

Optere#enje vora prema (12.60) je

==++== .kNm60306030131211 Koo MMMMS

Izravnavaju#i momenti se raunaju prema (12.61)

kNm.40603

2,2060

3

1

,

1213 ====

=

MM

SM nnini

Izravnavaju#i moment u ukljetenju je prema (12.48)

q MO

31Mo13

MK

FMo21

1F

Mo12


61/84

141

202

1

1221 ==MM kNm.

Izraunati momenti savijanja su upisani na emi na slici 12.62.a.

Slika 12.62. a) ematski prikaz ramab, c) Elementi rama s optere#enjima

Konani momenti savijanja su:

4013 =M kNm, 7012=M kNm, 1021 =M kNm.

b) Da bi se nacrtao dijagram momenata savijanja potrebno je na#i moment savijanja u jodvije karakteristine take. Za element 12 (slika 12.62.b) prvo je odre%ena horizontalnareakcija u ukljetenju, a zatim vrijednost momenta savijanja na mjestu djelovanja sile F1.

==+= kN,10,034070106,0 221 HH FFM

M' = 103 10 = 20 kNm.Za element 13 (slika 12.62.c) zbog simetrinosti optere#enja zna se da je ekstremni momentna sredini.

502

32040360,kNm60

2

620 21 =

==

= eV MF kNm.

Dijagram momenata savijanja prikazan je na slici 12.63.a, a transverzalnih sila na slici12.63.b.

70

2

1

40

FH2

b)

q40

FV1

-30

304070

-4020

-601/3

2/3

-3020

-10

a)

10

40

c)


62/84

142

Slika 12.63. a) Dijagram momenata savijanjab) Dijagram transverzalnih sila

c) Dimenzionisanje rama se vri na osnovi maksimalnog momenta savijanja i dozvoljenognapona (izraz (7.48)).

.cm3,583,10120

1070,kNm70

,

33

6

max

maxmax

max

=

==

xx

dxx

WWM

W

My

I

M

Iz tablica [42] se usvaja profil I30 za koji jeIx= 9800 cm

4

, Wx= 653 cm

3

.

Primjer 12.15.

Odrediti dijagram momenta savijanja za konstrukciju prema slici 12.64. i za datooptere#enje. Koristiti metodu Krosa. Poznato je: q = 20 kN/m, F = 40 kN,

Documents

staticki neodredjeni nosaci