7 LITS FLUIDISES - Mailliat Photographies Aérosolsalain.mailliat.free.fr/PolyPhasique/COURS/Chap7/Chapitre07-Nov2008.pdf · la perte de charge Δp entre l’entrée et la sortie

7 LITS FLUIDISES

ECOLE CENTRALE MARSEILLE

7-1

ECOULEMENTS ET TRANSFERTS DANS LES MILIEUX POLYPHASIQUES

7-2

7.1 OBJECTIFS DU CHAPITRE

Nous nous limiterons ici à un exposé des principales caractéristiques générales que l’on peut tirer sur les lits fluidisés, et à la mise en avant des principales difficultés qui subsistent malgré la grande quantité d’études sur le sujet qui se sont développées depuis quelques décennies. Ces difficultés justifient que de nombreuses recherches de type universitaire sont encore dévolues à ce sujet, afin de mieux comprendre et donc mieux modéliser certains problèmes de base, et ce, dans le but d’améliorer les performances industrielles des dispositifs à lits fluidisés. Pour cela, nous nous appuierons autant que possible sur les résultats des analyses physiques et mathématiques présentés dans les premiers chapitres du présent ouvrage. Finalement, nous renvoyons le lecteur intéressé par de plus amples détails à consulter, d’une part, les ouvrages de synthèse qui sont publiés sur le sujet, et, d’autre part, l’abondante littérature scientifique très spécialisée du domaine (publications dans les journaux tels que « American institute of chemical engineers journal », « Chemical engineering science », « Journal of powder and bulk solids technology », « International journal of multiphase flows », ou « Powder technology »).

7.2 CLASSIFICATION DES DIFERENTS REGIMES DE FLUIDISATION

De façon globale, si on considère que le lit de particules repose sur un distributeur poreux sous lequel est injecté le gaz que l’on nomme gaz fluidisant, on peut définir le critère de fluidisation de la façon suivante (voir figure 7-1), en se basant sur l’évolution de la perte de charge Δp entre l’entrée et la sortie du système de lit fluidisé en fonction de la vitesse de circulation du gaz à l’intérieur de la cellule. Pour des vitesses relativement faibles, la chute de pression est approximativement proportionnelle à U, le milieu solide se comportant alors comme un simple milieu poreux. Puis, lorsque U augmente, on atteint un seuil où apparaissent des vibrations des particules et une expansion de la couche de particules solides. La chute de pression passe alors par un maximum puis décroît pour atteindre une valeur sensiblement égale au poids des particules par unité d’aire de section droite de la cellule, P/Ac.

Au-delà de cette vitesse critique, que l’on désignera par Umf, les particules

deviennent indépendantes les unes des autres, elles sont alors en suspension et le lit se comporte comme un fluide: on dit que la couche est alors fluidisée. Puis, plusieurs régimes de fluidisation peuvent être définis en fonction de la vitesse du gaz fluidisant U (voir


7-3

Figure 7-2, où l’on supposera que le gaz est injecté dans la section inférieure de la cellule à travers un dispositif ressemblant à une grille) :

Figure 7-1. Représentation de la variation de pression Δp dans le lit en fonction de la

vitesse du gaz fluidisant. • 1er régime, Umf < U < Umb. Au-delà de la vitesse minimum de fluidisation, le lit fluidisé subit une expansion homogène au fur et à mesure que la vitesse du gaz augmente. C’est le régime de fluidisation particulaire. La surface supérieure du lit est parfaitement définie et les particules sont soumises à des mouvements de faible amplitude ; • 2ème régime, Umb < U < Ump. Des bulles de gaz se forment dans la région de la grille de distribution de gaz située au bas de la cellule, s’élèvent dans le lit et grossissent principalement par coalescence pour venir éclater à la surface supérieure. La surface est


7-4

assez bien définie entre les éclatements de bulles. C’est le régime de fluidisation par bullage ou fluidisation bouillonnante. Des capteurs de pression sensibles permettent de relever des fluctuations de pression d’amplitude appréciable ; • 3ème régime, Ump < U < Uft. Le diamètre des bulles atteint des dimensions comparables à celle de la cellule. Il y a une alternance de passage de grosses bulles et de phase dense de lit. C’est le régime de pistonnage. La surface du lit se soulève et retombe avec une fréquence très régulière. Les fluctuations de pression sont très importantes. Pour ces 3 premiers régimes, il est en général admis que l’on doit considérer le milieu comme réellement diphasique, tant pour l’analyse des résultats expérimentaux que pour la modélisation numérique (qu’elle soit plus ou moins sophistiquée). • 4ème régime, Uft < U < Ufr. Le lit est constitué de petits éléments de phase gazeuse et de phase solide qui vont et viennent très rapidement. Il devient alors difficile de distinguer sa surface. Les fluctuations de pression sont de faible amplitude. C’est le régime de fluidisation turbulente. • 5ème régime, Ufr < U. Les particules sont entraînées sous forme très diluée par le courant gazeux hors de la cellule et doivent y être remplacées. On peut cependant aussi noter la présence de petits paquets de particules redescendant près des parois. La notion de surface du lit disparaît complètement. La perte de charge subie par le gaz devient très faible. C’est le régime de fluidisation rapide. Pour ces 2 derniers régimes, au contraire, comme les bulles résiduelles de fluide porteur sont soit très distordues et étirées avec des formes très variables (régime de fluidisation turbulente) soit très petites et difficiles à distinguer des poches de solide (régime de fluidisation rapide), on considère en général que l’on n’a plus qu’une seule phase.

Figure 7-2. Régimes de fluidisation.

Il convient néanmoins de remarquer que tous les régimes de fluidisation qui viennent d’être présentés ne sont pas systématiquement observables lorsque l’on augmente la vitesse du gaz traversant la cellule. En effet, les transitions entre ces différents régimes


7-5

dépendent non seulement de la nature et des propriétés du gaz et des particules solides, mais aussi de bien d’autres facteurs comme le diamètre du lit, sa hauteur, le type de distributeur qui sert à injecter le gaz, ou encore la présence de chicanes ou de surfaces de transfert à l’intérieur de la cellule.

En particulier, pour de nombreux systèmes, Umf et Umb sont difficiles à distinguer.

Il n’y a alors pas vraiment de régime de fluidisation particulaire. De même, si le diamètre de la cellule est important ou si la hauteur du lit est faible, on ne peut pas mettre en évidence un seuil de pistonnage, Ump. Il en est de même pour le seuil de fluidisation turbulente, Umt. Quant à la vitesse minimale assurant la fluidisation rapide, elle dépend du débit d’alimentation des particules dans la cellule. Par ailleurs, à l’exception de Umb et Uft qui sont en général bien définies, les autres transitions entre régimes s’effectuent de manière plus graduelle.

En outre, puisque la fluidisation du lit dépend directement de l’effet de compensation du poids propre des particules et puisque, notamment, les efforts subis au sein d’un fluide en mouvement par une particule, que l’on considère en général, pour simplifier, comme sphérique, dépendent du nombre de Reynolds associé à celle-ci, les principes simples de fluidisation qui viennent d’être énumérés ne s’appliquent pas de façon simple et universelle à toutes les sortes de particules. Pour prendre en compte certaines spécificités des particules, Geldart a donc élaboré en 1986 une classification des poudres selon leur taille et leur masse volumique qui porte son nom et qui permet de les classer en fonction de leur comportement en lit fluidisé (voir figure 7-3). Cette classification distingue quatre groupes selon la masse volumique des particules et leur taille moyenne. Elle dépend aussi de la masse volumique du fluide (selon la notion dite de poids déjaugé). • Les particules de la classe A ont un diamètre compris entre 20 et 100 μm et leur masse volumique n’excède pas 1500 kg.m-3. Pour cette classe, la fluidisation est aisée, de type particulaire (entre Umf et Umb) avec une forte expansion par rapport à l’état fixe et parfois une tendance à la formation de canaux préférentiels (renardage). Au-delà de Umb, de petites bulles apparaissent. Lorsque l’on arrête l’alimentation en gaz, la défluidisation est lente, c’est le phénomène de désaération. Les catalyseurs de craquage d’hydrocarbures appartiennent à cette catégorie. • Les particules de la classe B ont un diamètre compris entre 80 et 800 μm. Leur masse volumique peut varier de 1500 à 4000 kg.m-3. La fluidisation est également aisée pour cette catégorie, mais le bullage apparaît dès la mise en fluidisation et les risques de ranardage sont faibles. La défluidisation est rapide pour cette classe de particules. Le sable appartient à cette classe. La frontière entre les classes A et B est donnée par l’équation :


7-6


7-7

7-1

0 1 0 9

44000. .

g gp g

pgdρ μ

ρ ρ− = .

• Les particules de la classe C ont un diamètre inférieur à 30 μm. Cette classe rassemble des poudres très cohésives comme la farine ou le talc, pour lesquelles la fluidisation est très difficile. Pour éviter le phénomène de renardage, la fluidisation doit être assistée par agitation/vibration du lit. L’expansion des couches est faible. La frontière entre les classes A et C n’est pas bien définie, elle dépend notamment de l’humidité du gaz et de la resistivité et de la permittivité relative des particules. • Les particules de la classe D ont un diamètre supérieur à 800 μm et/ou une densité élevée. La fluidisation est possible pour ce genre de particules, mais il est préférable d’utiliser des techniques particulières telles que les lits à jets. Parmi ces matériaux, on trouve les céréales ainsi que le plomb de chasse. La frontière entre les classes B et D correspond à la relation

7-2

2 310− −− =p g pd .ρ ρ .

Figure 7-3. Classification de Geldart.

Finalement, le tableau suivant résume les différentes caractéristiques qui permettent de différencier les différents régimes de fluidisation et leurs principales propriétés. Dans ce tableau, la vitesse de glissement est définie comme égale à la différence (U/ε) - Gs/(ρp(1-

ε)) (où ε est le taux de vide moyen et Gs le flux net de circulation des éléments solides), et le taux de glissement par Uρp(1-ε)/(Gsε). Le régime dit de fluidisation rapide à haute densité a été récemment identifié comme pouvant avoir des propriétés légèrement différentes de celles du régime de fluidisation rapide. Néanmoins, comme il existe encore très peu d’informations sur ce régime, et que le débat sur ses spécificités est encore loin d’être clos, nous ne les différencierons pas dans ce qui suivra.

Régimes Principales applications

Classes de particules les plus

usuelles

Taux de vide les plus usuels

Vitesses typiques de glissement

(m/s)

Facteurs de glissement les plus

usuels Fluidisation bouillonnante

Polymères, Combustion

B, D 0.45 à 0.65 0.1 à 0.8 → ∞

Pistonnage ----- B, D 0.55 à 0.7 0.3 à 0.9 → ∞ Fluidisation turbulente

Acrylonitrile, Oxychloronation, Synthèse Fischer-Tropsch, Anhydride phtalique, Régénérateurs pour le craquage catalytique, Sécheurs à lit fluidisé

A, B 0.65 à 0.8 0.5 à 1.5 > 100

Fluidisation rapide Combustion, calcination

B 0.9 à 0.97 2 à 6 1.6 à 5

Fluidisation rapide à haute densité

Craquage catalytique, Anhydride maléique

A 0.75 à 0.93 3 à 10 5 à 10

Tableau 7-1 Principales caractéristiques des différents régimes de fluidisation (d’après Grace, 2000).

Les critères de fluidisation et les classifications que nous venons d’exposer de façon phénoménologique, en nous basant sur des observations expérimentales, vont maintenant être réexaminés plus en détail en revenant aux principes de base de la physique de ces milieux diphasiques. Puis, les principales méthodes de modélisation, principalement développées pour les régimes de fluidisation bouillonnante, de pistonnage, de fluidisation rapide et de fluidisation turbulente car ce sont de loin les situations les plus courantes dans l’industrie, seront présentées. Finalement, nous conclurons ce chapitre par l’examen des possibilités de recourir à des simulations numériques directes ou des simulations des grandes échelles pour étudier plus finement les mécanismes de base dans des situations idéalisées et en déduire des modélisations des termes physiques qui sont les plus délicats et donc encore assez peu compris en détail : il s’agit de ceux qui traduisent les frottements et


7-8

les échanges d’énergie entre les éléments solides et le fluide porteur, l’influence de distributions en tailles des éléments solides, les possibilités et mécanismes d’aggrégation des éléments solides, etc ...

7.3 VITESSES MINIMALES DE FLUIDISATION ET DE BULLAGE

7.3.1 RAPPELS SUR LES PERTES DE CHARGE EN MILIEU POREUX

Lorsque l’on considère, de façon générale, l’écoulement d’un fluide dans un milieu encombré de grains fixes, correspondant à un milieu poreux, la vitesse U de ce fluide est donnée par la loi de Darcy en fonction de la chute de pression totale ΔP entre l’entrée et la sortie, où P est la pression motrice, P = P + ρggx (avec x, l’altitude de la section considérée par rapport à un niveau de référence, puisque x va désigner ici l’axe longitudinal selon lequel circule le gaz dans la cellule qui est supposée verticale) :

7-3

1

g

kU PL

Δμ

= ,

où k est la perméabilité spécifique du milieu et L l’épaisseur de la zone poreuse. Dans notre cas particulier, on fait souvent intervenir de façon explicite le taux de vide moyen du milieu, ε, ainsi que des écarts à la relation linéaire proposée par Darcy lorsque les vitesses deviennent fortes, ce qui conduit alors à la relation dite de Ergun :

7-4

2

2 3 3

1 1g g

p p

A ( ) B U( )P UL

d d

μ ε ρ εΔ

ε ε

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

,

où les valeurs usuelles des constantes A et B sont respectivement de 150 et 1.8.

Notons que la loi de Darcy pourrait être facilement dérivée à partir des équations du chapitre 2, et notamment de la relation 2.23, en considérant que la phase solide constitue un squelette qui ne se déforme pas et à l’intérieur duquel circule le fluide. La loi de Darcy traduit alors l’équilibre qui se crée, de façon globale, entre la perte de charge, ΔP, entre l’entrée et la sortie de la colonne (ou, plus précisément, le gradient de pression dP/dx qui


7-9


7-10

s’applique sur une tranche élémentaire de la colonne, d’épaisseur infinitésimale dx) et les forces de frottement appliquées sur le fluide par le milieu solide fixe. Pour plus d’informations sur les milieux poreux, que nous ne traitons pas de façon spécifique dans le présent ouvrage, on pourra, par exemple, consulter l’ouvrage de Coussy (1991).

7.3.2 VITESSE MINIMALE DE FLUIDISATION

Pour déterminer la vitesse minimale de fluidisation, Umf, on va maintenant considérer que les particules peuvent être amenées à se mouvoir sous l’effet du frottement que le fluide en mouvement exerce sur elles. Lorsque la couche devient fluidisée, on a alors ce frottement qui est juste égal en module au poids propre des particules, ce qui conduit à :

ΔP Ac = (Ac Lf)(1 - εf)(ρp - ρg)g, où εf désigne alors le taux de vide moyen du lit fluidisé et Lf sa hauteur. On en déduit alors, en utilisant la relation de Ergun, que, au minimum de fluidisation, on a

7-5

32

3 3

150 11 8 gp mf mf p mf g p g p g

g gmf mf g

d U ( ) d U d (. ( )ρ ε ρ ρ ρ ρ

μ με ε

− −+ = 2

)g

μ.

D’où, pour des petites particules dont le nombre de Reynolds particulaire est inférieur à 20, l’expression qui donne la valeur de Umf :

7-6

2 3

150 1p p g mf

mfg mf

d ( )gU

( )ρ ρ ε

μ ε−

=−

,

et, au contraire, celle pour les particules dont le nombre de Reynolds est compris entre 20 et 1000 :

7-7

1 2

3

1 8

/p p g

mf mfg

d ( )gU

.ρ ρ

εμ

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

.

La vitesse limite du gaz pour laquelle les particules sont entièrement entraînées dans le courant gazeux est approximativement égale à la vitesse de chute libre de celles-ci. Pour des particules sphériques, on a :

7-8

1 24

3

/p p g

tg d

gd ( )U

Cρ ρρ

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

,

où Cd est le coefficient de traînée de la particule (qui dépend de son nombre de Reynolds, selon des lois classiques qu’il ne nous semble pas utile de répéter ici).

7.3.3 VITESSE MINIMALE DE BULLAGE (OU DE FLUIDISATION BOUILLONNANTE)

Pour les particules appartenant à la classe B de la classification de Geldart, la vitesse minimale de bullage est égale à la vitesse minimale de fluidisation. Pour celles de la classe A, ce n’est pas le cas, et on utilise souvent la loi proposée par Abrahamsen et Geldart pour la calculer :

7-9

0 133 g .mb p

gU d ( )

μρ

−= .

Pour les cas où cette relation donne une valeur de Umb plus petite que celle de Umf, il faut alors prendre Umb = Umf. Finalement, on peut remarquer que la différence entre Umb et Umf augmente au fur et à mesure que la taille des particules et leur masse volumique diminuent.

7.4 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME DE FLUIDISATION BOUILLONNANTE

Dans les systèmes gaz-solides, la fluidisation homogène est rarement observable et, dès que le gaz atteint la vitesse minimale de fluidisation (Umf), des bulles se forment dans la zone au-dessus de la grille de fluidisation. Celles-ci grossissent et coalescent au cours de leur ascension vers la surface du lit, mais elles peuvent aussi se diviser de sorte que l’ensemble de ces mouvements induit au sein de la suspension solide une vigoureuse agitation qui est en partie responsable des propriétés particulières des lits fluidisés. Afin d’en présenter des modèles pratiques, nous allons considérer qu’un lit fluidisé bouillonnant est composé de trois phases, i) une phase bulles où le solide est pratiquement absent ; ii) une phase nuages qui accompagne la phase bulles dans son ascension ; iii) une phase émulsion où les particules solides se trouvent en état de fluidisation. Par ailleurs, l’éclatement des bulles à la surface du lit est à l’origine de l’entraînement de particules dans la zone que nous appelons la zone de désengagement. Si cet entraînement est important, la réaction chimique peut continuer au-delà de la surface du lit bouillonnant. Néanmoins,


7-11


7-12

nous ne nous intéresserons pas spécifiquement à cette région. De même, nous ne présenterons ici que deux modèles, qui nous semblent être ceux qui sont les plus utilisés et les mieux « côtés » dans la littérature du domaine. En utilisant l’expression donnée pour Umf (ou une autre, car celle que nous avons proposée n’est pas la seule), on peut alors obtenir des modèles pratiques pour le calcul du taux de conversion du réactif dans la partie bouillonnante du lit. La famille des modèles les plus simples considère 2 phases, à savoir des bulles et une émulsion, avec un écoulement piston pour la phase bulles et un mélange parfaitement agité en phase émulsion. Le flux gazeux passant dans la phase bulles correspond au flux total moins le flux nécessaire pour obtenir le minimum de fluidisation, alors que le flux passant dans la phase émulsion correspond à celui du minimum de fluidisation. Le bilan sur la phase bulles, pour une tranche de hauteur dx, s’écrit alors de la manière suivante :

mf(U U Ab g Ae Ab b b)dC K ( C C )a dxε− = − , avec CAb, la concentration du réactif A dans la phase bulles, CAe, la concentration du réactif dans l’émulsion, Kg, le coefficient de transfert de matière de la phase bulles à la phase émulsion, ab, l’aire interfaciale d’une bulle divisée par son volume, et εb, la fraction volumique occupée par les bulles. Le produit ab. εb correspond à l’aire interfaciale bulles-émulsion par unité de volume du lit. De sorte que le bilan matière global sur la phase émulsion donne :

7-10

1 nmf Ai Ae Ab Ae b b f R AeU ( C C ) ( C C )a dx ( )L K ( C )ε ε− + − = − ,

où CAi désigne la concentration initiale du réactif, KR, la constante cinétique par rapport au volume du catalyseur et n l’ordre de la réaction chimique. La résolution simultanée de ces deux équations permet de définir les profils de concentration en réactif A, dans les deux phases bulles et émulsion. La concentration moyenne à la surface du lit, CA, pour x=Lf, peut être alors calculée par la relation :

7-11

1A Ab AeC C ( )Cβ β= + − .

avec β, la fraction du gaz passant dans la phase bulles. Selon l’ordre de la réaction que l’on considère, on obtient alors une expression analytique donnant la valeur du taux de conversion xA, défini par 1- xA = CA/CAi. Pour les modèles qui prennent en comptent les trois phases, la principale hypothèse est que la totalité du fluide d’alimentation passe dans la phase bulles (on néglige le flux passant dans les deux autres phases). Les phases nuages et émulsion participent toutefois


7-13

activement à la réaction par le transfert de matière entre les trois phases. La constante cinétique KR est alors définie par rapport au volume du catalyseur, et, pour une réaction du 1er ordre, les équations de bilan de matière s’écrivent alors : - pour la phase bulles, dCAb/dt = γbKRCAb + Kbn(CAb - CAn), - pour la phase nuages, Kbn(CAb - CAn) = γnKRCAn + Kne(CAn - CAe), - pour la phase émulsion, Kne(CAn - CAe) = γeKRCAe, avec γb, le volume de catalyseur en phase bulles par unité de volume des bulles, γe, le volume de catalyseur en phase émulsion par unité de volume des bulles, γn, le volume de catalyseur en phase nuages par unité de volume des bulles, Kbn, le coefficient de transfert de matière de la phase bulles à la phase nuages, Kne, le coefficient de transfert de matière de la phase nuages à la phase émulsion. On obtient alors 1- xA = CA/CAi = exp(-k.Lf/Ub), où k représente la constante globale de conversion comprenant les paramètres du système et Ub la vitesse moyenne d’ascension des bulles dans le lit fluide (on utilise souvent la loi semi-empirique dite de Davidson,

b bU = 0.71 gD mfU U+ − , où Db, le diamètre des bulles, est donné par 0 4 0 8 0 2

00 54 4. .b mfD . (U U ) ( x S ) g−= − + . , avec S0, la section de la cellule divisée par le

nombre de trous de la grille d’injection du gaz). L’expression de k est la suivante :

7-12

bn

b R1

1 11K

1 1

k = K +

n R

ne e R

K

K K

γ

γ

γ

++

+

,

avec , b 0.001à 0.01γ ≈3

1 mf mfn mf

b mf mf

U /( )

U U /ε

γ εε

α⎡ ⎤

≈ − +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

et α est une constante qui dépend

de la nature du solide employé (α = 0.25 pour du sable, 0.4 pour des billes de verre ou 0.6

pour des catalyseurs de type Fee – avec aussi 1e n

b

εbγ γ γ

ε−

= − − ). Les constantes de transfert

de matière sont, quant à elles, données par 0 5 0 25

1 254 5 5 85. .

mfbn .

b b

U D gK . .D ( D )

= + et

0 536 78 mf b .

neb

DUK . ( )

D

ε≈ (D désignant le coefficient de diffusion des particules solides dans

le fluide). A titre d’illustration, la figure (7-4) montre les bons résultats que, globalement, procure l’utilisation du modèle à trois phases en comparaison avec des données expérimentales, même s’il y a un certain nombre de paramètres qui doivent être ajustés.

Figure 7-4. Taux de décomposition de l’ozone. Ils sont obtenus expérimentalement (par craquage catalytique) et à partir du modèle à trois phases décrit ci-dessus. Les trois séries de points (repérées par les indices b, c et d) correspondent à trois cinétiques de réaction résultant de l’utilisation de trois types différents de catalyseurs. D’après les résultats de Chavarie et Grace (publiés dans Ind. Eng. Chem. Funds., vol. 14, 1975) qui sont présentés et discutés dans l’ouvrage de Yates (1983). Des modèles très semblables sont utilisés pour le régime de pistonnage, avec, également, la possibilité de définir de façon nette différentes phases, la distribution en taux de vide étant alors bimodale, avec 2 pics bien identifiés, à respectivement ε ≈ 1 pour la phase constituée des bulles du fluide porteur et ε ≈ εmf pour la phase contenant les particules solides. Au contraire, pour les régimes de fluidisation turbulente et de fluidisation rapide, la distribution du taux de vide est plus continue, de sorte que les modèles considèrent alors plutôt une phase unique, avec une concentration en particules qui peut varier de façon quasi continue et qui devient alors une autre variable du modèle.

7.5 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME DE FLUIDISATION RAPIDE

Le plus souvent, les modèles de fluidisation rapide s’appuient sur le fait que, expérimentalement, on observe que ce régime se caractérise par deux régions distinctes au sein desquelles on peut considérer une seule phase. En effet, comme nous l’avons déjà


7-14

évoqué, les bulles résiduelles de fluide (compte-tenu du fait que le brassage est très violent à cause des fortes vitesses d’injection du fluide porteur et donc d’entraînement des particules solides par celui-ci) sont alors très petites et il est difficile de pouvoir les identifier comme une phase continue, car elles sont au contraire très bien noyées à l’intérieur de la phase constituée par les particules solides. Il n’y a donc plus de distinction possible entre une phase continue transportant une phase dispersée, mais au contraire une seule phase qui contient le mélange des deux composantes originelles. En outre, la modélisation pratique de ce régime est simplifiée par le fait que, en première approximation, on peut négliger le gradient longitudinal de vitesse au sein de la colonne que constitue le lit fluidisé (de rayon R). Le gradient transversal ne peut, lui, pas du tout être négligé puisque, au contraire, les observations montrent que l’on peut séparer la colonne en deux régions très distinctes : un noyau, ou cœur (de rayon rc), dans lequel le fluide porteur et les particules circulent avec une concentration Cc et une vitesse U et, en périphérie, une zone annulaire au sein de laquelle une partie des particules recircule vers le bas mais sans mouvement du gaz (avec une concentration Ca). Les bilans de masse s’écrivent alors comme suit (εc et εa représentant les taux de vide respectifs dans chaque zone):

dans le cœur, 2

122 1 0c

c a c ccc

dCR KU( ) ( C C ) k ( )Cdx rr

ε+ − + − = ,

dans la zone annulaire, 2

12 22 1 0c

a c a acc

r K( ) ( C C ) k ( )CrR r

ε− + − =−

.

K et k1 sont respectivement le coefficient de transfert de masse transversal et la constante cinétique chimique (supposée être du premier ordre). Avec la condition initiale Cc = C0 au bas de la colonne, on obtient alors la loi donnant la valeur de CLf au sommet de la colonne (de hauteur Lf) :

22

0 1 21

]1 1

11 1f

* aL c*

a

( )( )XC C exp( k [ ( ) )

k ( )( ) Xε φ

ε φε φ

− −= − + −

− − +,

où φ = rc/R, * 11

fkk LU

= et f c2

2K rLXUR

= . Usuellement, les expériences montrent que K et

φ varient entre 0.01 et 0.5 m/s et 0.5 et 0.9. Ces deux paramètres, le plus souvent obtenus par ajustement sur les données mesurées, dépendent notamment de la vitesse U mais aussi de la densité des particules solides. Différentes variantes de ce modèle très simple, qu’il ne nous semble pas opportun de détailler ici, ont été proposées pour tenir compte d’un mouvement du gaz dans la région annulaire et / ou d’un gradient longitudinal de vitesse dans le cœur.


7-15


7-16

7.6 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME DE FLUIDISATION TURBULENTE

Historiquement, différentes approches s’inspirant de ce que nous venons de présenter pour le régime de fluidisation turbulente ont été développées, que nous ne présenterons pas ici car elles nous semblent de peu d’intérêt à l’heure actuelle. Au contraire, il nous semble que l’approche actuellement la plus intéressante est en fait celle qui considère le régime de fluidisation turbulente comme un intermédiaire entre le régime de bullage et le régime de fluidisation rapide. Compte-tenu de ce que nous venons de décrire pour ces régimes, cela semble en effet très pertinent. Reste cependant à regarder de près si les équations utilisées le permettent. De façon générale, en considérant un modèle à deux phases pour la fluidisation bouillonnante (une phase bulles et une phase solide ou émulsion), on écrit alors les bilans de masse comme (en considérant qu’un constituant chimique repéré par l’indice i peut être soit dans la phase solide, sa concentration étant alors Ci,e, soit dans la phase bulle, sa concentration étant alors Ci,b) :

7-13

i b i ,b e i ,eC q C q C= + , 2

2i ,b i ,b

b x,b b i ,b b q I b i,bdC d C

u D R ( C ) k a ( C Cdx dx

ρ ε= + − − i ,e ) ,

2

2i ,e i ,e b

e x,e e i ,e e q I b i ,b i ,ee

dC d Cu D R ( C ) ( )k a ( C C

dx dxΨ

ρ εΨ

= + + − ) ,

où Ψb et Ψe désignent respectivement les fractions volumiques occupées par les phases bulles et émulsion, qb et qe les fractions en débit pour chacune des deux phases, Dx,b et Dx,e les coefficients de diffusion dans chacune des deux phases, Ri,b et Ri,e les termes de réaction chimique du constituant i pour chacune des deux phases, kq le coefficient de transfert de masse entre phases, et aI la surface interfaciale par unité de volume du gaz (pour des bulles sphériques de diamètre db, aI=6/db). Il est important de noter ici que les coefficients qui interviennent dans le modèle sont a priori dépendants de la vitesse U et que les valeurs généralement considérées ne sont donc valables que tant qu’on reste dans le régime bouillonnant. Pour la fluidisation rapide, en supposant que le constituant n’est présent que dans le cœur et pas dans la partie annulaire où des particules solides peuvent recirculer, l’équation de bilan pour Ci devient alors (avec les mêmes notations, et en ajoutant, par rapport à ce qui a été considéré en 7.5, un terme de diffusion axiale) :


7-17

7-14

2

2i i

x idC d C

U D R ( C )dx dx

ρ= + .

On observe alors que les deux approches peuvent être fondues en une seule, à la condition que la relation suivante soit satisfaite :

7-15

1i ,b i ,e i ,b i ,eib e b b e e

dC dC dC dCdCq q ( u u )

dx dx dx U dx dxΨ Ψ= + = + ,

ce qui conduit alors à 2

2i i

D x R,i i( x ) R ( C )α ρdC d C

U ( x )Ddx dx

α= + ,

où 2 2 2

2 2i ,b i ,e i

D b x,b e x,e xd C d C d C

( x ) ( D D ) /( D )dx dx dx

α Ψ Ψ= + 2

et R,i b b i ,b b e e i ,e e i( x ) ( R ( C ) R ( C )) /( R ( C ))α Ψ ρ Ψ ρ ρ= + . Ainsi, les deux modèles peuvent être fondus en un seul si αD et αR,i sont tous les deux égaux à l’unité en chaque point x. Ceci ne peut se produire que si les phases convergent vers des profils identiques Ci,b(x) et Ci,e(x) et si les propriétés Dx et ρ dans chaque phase deviennent identiques. Pour qu’un modèle général puisse reproduire la transition que l’on observe expérimentalement d’un régime à deux phases vers un régime à une phase lorsque la vitesse U devient très grande (U tend vers U∞>>Uc), on doit alors satisfaire les conditions aux limites pour les vitesses dans le gaz, U b U elim u lim u U→∞ →∞= = , pour les coefficients de diffusion, U x,b U x,elim D lim D D→∞ →∞ x= = ,

pour les concentrations en particules, U b U elim lim→∞ →∞ρ = ρ =ρ .

Ces conditions sont alors assurées grâce à une approche statistique, sur les vitesses U, puisque, comme nous l’avons dit précédemment, les coefficients du modèle à deux phases dépendent fortement de la vitesse U et que, justement, dans le régime de fluidisation turbulente, la déformation-étirement des bulles de gaz qui sont observées peut s’interpréter comme le fait que, localement, la vitesse U ne prend plus une valeur unique et uniforme mais peut prendre des valeurs qui s’étagent sur une grande plage. Sans rentrer dans la partie technique de ce traitement statistique sur le caractère aléatoire de la vitesse U, les auteurs de ce modèle ont montré qu’il donnait des bons résultats pour ce régime de fluidisation turbulente. C’est donc lui (ou des variantes qui en découlent) qui est le plus couramment utilisé maintenant. En effet, les résultats qu’il permet d’obtenir sont les plus précis, et ce, sur une grande plage de vitesses, ainsi que le montre la figure 7-5.

Figure 7-5. Taux de décomposition de l’ozone. Ils sont obtenus expérimentalement et à partir de 3 modèles classiques (dont celui présenté ici, qui est noté GBT), pour différentes vitesses de fluidisation et 2 cinétiques de réaction. D’après les résultats publiés par Jafari et al. (2004).

7.7 MODELES PRATIQUES POUR LES TRANSFERTS THERMIQUES DANS LES LITS FLUIDISES

Nous terminerons cette présentation des principaux modèles pratiques pour les lits fluidisés par la présentation de ceux qui sont utilisés pour quantifier les transferts thermiques au sein des lits fluidisés. En effet, de nombreux processus industriels qui utilisent les lits fluidisés mettent en jeu des phénomènes qui génèrent des transferts thermiques. Les plus courants de ces processus sont ceux qui font intervenir des réactions chimiques, qu’elles soient exothermiques ou endothermiques, l’exemple le plus caractéristique étant celui de la combustion du charbon. Dans tous ces processus, il est


7-18

indispensable de bien contrôler la température à l’intérieur du lit fluidisé, de façon à rester le plus proche possible des conditions optimales de fonctionnement. Il est donc nécessaire d’avoir des outils de modélisation fiables qui permettent de prédire les transferts thermiques au sein du lit fluidisé afin de, par exemple, estimer les quantités de chaleur évacuées par les parois ou par des systèmes de refroidissement insérés à l’intérieur même du lit. Comme précédemment, l’expérience a montré que les processus mis en jeu dépendent du régime de fluidisation considéré, puisque l’hydrodynamique joue bien sûr un rôle très important dans ces transferts thermiques. On considèrera donc dans ce qui suit le régime bouillonnant, d’une part, et le régime de fluidisation rapide, d’autre part, puisque nous avons vu précédemment que l’organisation relative des phases du fluide porteur et des particules solides est assez différente dans ces deux cas.

7.7.1 REGIME DE FLUIDISATION BOUILLONNANTE

Dans le régime de fluidisation bouillonnante, les phase du fluide porteur et des particules solides restent assez clairement séparées au sein du lit. Dans ce cas, il est fréquent d’utiliser des systèmes de refroidissement au sein du lit, en y plaçant des tubes soit verticaux soit horizontaux parcourus par un fluide réfrigérant. L’essentiel des transferts thermiques s’effectue alors sur les parois de ces tubes, par convection et par conduction. Ainsi, lors du passage d’une poche de fluide porteur sur un élément de tube, on aura de la convection, et, lors du passage d’un paquet de particules solides, on aura de la conduction et de la convection. A cela s’ajoutera du rayonnement si la température est suffisamment élevée. En faisant l’hypothèse usuelle de découplage entre ces trois mécanismes, on peut alors décomposer le coefficient de transfert de chaleur h comme :

h = fdhd + (1-fd)h1 + hr , où h est le coefficient d’échange thermique global, qui est relié au taux de transfert de chaleur q par

q = hA(Tlit – Tparoi), avec A, la surface d’échange, et Tlit et Tparoi, respectivement les températures à l’intérieur du lit et à la paroi du refroidisseur. On peut bien-sûr soit considérer ces relations de façon globale, sur l’ensemble de la hauteur du lit fluidisé, soit, plutôt, comme une relation locale, pour une section transversale intermédiaire du lit. Le terme fd représente alors la proportion de temps où les particules solides sont en contact avec la paroi que l’on considère, et hd , h1 et hr sont respectivement les coefficients d’échange associés aux transferts liés à la phase des particules solides, à celle du fluide porteur, et au processus de rayonnement. Le problème est donc maintenant reporté dans la modélisation de ces trois termes, pour laquelle on considère en général que l’élément de surface auquel on s’intéresse est soumis


7-19

aux passages successifs de poches de fluide pratiquement sans aucune particule et de paquets de particules solides pratiquement non mélangées avec le fluide.

Pour les particules solides, on écrit souvent que 1 2

12

/pa p pp pa

dpa

k c ( )h

ρ επτ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦,

où kpa est la diffusivité thermique par conduction des paquets de particules, cpp est la chaleur spécifique des particules solides, εpa est le taux de vide à l’intérieur des paquets et τpa est le temps moyen de contact entre les paquets et la surface de la paroi. Comme, dans la plupart des lits bouillonnants, la phase du fluide porteur a une contribution aux transferts thermiques qui est nettement inférieure à celle des particules, on en déduit que la contribution globale en excluant le rayonnement, que l’on appellera hc car elle résulte de la convection du fluide et des particules sur l’élément de paroi, est

1 21

2/

pa p pp pac d d d

pa

k c ( )h f h f

ρ επτ

⎡ ⎤−≈ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦,

de sorte que la modélisation repose finalement sur l’évaluation du temps caractéristique τpa et de la fréquence fd. Les figures 7-6 et 7-7 donnent des exemples typiques de résultats obtenus expérimentalement pour ces deux grandeurs, en fonction de la vitesse (où Umf représente la vitesse minimale de fluidisation), lorsque l’obstacle est vertical.

Figure 7-6. Temps de contacts solides obtenus avec un lit de particules de verre de diamètre dp, sur un obstacle vertical.


7-20

Figure 7-7. Proportions de contacts solides obtenues avec un lit de particules de verre de diamètre dp, sur un obstacle vertical.

Figure 7-8. Coefficients de transfert de chaleur. Comparaison entre les prévisions du modèle présenté et les données expérimentales correspondantes, pour un lit de particules de verre de diamètre dp, sur un obstacle vertical. Ces trois figures sont extraites de l’article de Chen et al. (2005).


7-21


7-22

La figure 7-8 montre le bon accord qui est alors obtenu par ce type de modélisation, par comparaison avec des données expérimentales. Par contre, lorsque l’obstacle est horizontal, il apparaît des variations importantes à la fois pour τpa et fd, tout au long de la surface de l’obstacle, qui génèrent d’importantes variations du taux local de transfert thermique, et ce phénomène doit encore être mieux quantifié expérimentalement pour que des modélisations performantes puissent être mises en œuvre. Pour ce qui concerne les transferts par rayonnement, ils sont généralement considérés comme devenant importants lorsque la température du lit est supérieure à 500 °C. On modélise alors le plus souvent ces phénomènes en considérant un échange radiatif entre des objets solides « gris » qui sont séparés par un milieu transparent au rayonnement, de sorte que l’on écrit alors :

7-16

4 4

1 11b w

rw b w

b b w

(T T )q

A e e( ) ( )A e F e

σ −=

− −+ +

,

où Tb et Tw sont respectivement les températures du lit et de la surface que constitue la paroi de l’obstacle considéré. Sauf lorsque cet obstacle a une forme très sinueuse à l’intérieur du lit fluidisé, le facteur de vue F est proche de l’unité et Aw=Ab. Le coefficient d’émissivité de la surface solide ew dépend du matériau qui la constitue (il vaut entre 0.7 et 1 pour les matériaux métalliques les plus courants). Le paramètre qui présente le plus d’incertitude sur sa valeur est la coefficient d’émissivité du lit, eb. Quelques résultats expérimentaux obtenus avec des lits de sable ont donné eb compris entre 0.7 et 1. On en déduit alors que

7-17

4 4

1 11

b wrr

b wb wb w

b w

(T T )qh

e eT T (T T )( )e e

σ −= =

− −− − + +.

7.7.2 REGIME DE FLUIDISATION RAPIDE – LITS CIRCULANTS

Pour le régime de fluidisation rapide, nous avons déjà mentionné que la circulation du fluide porteur et des particules au sein du lit pouvait se décomposer en deux régions distinctes, l’une autour du cœur de l’installation, dans laquelle la phase du fluide porteur peut être considérée comme pratiquement continue car les bulles sont alors très petites mais aussi très distordues, et l’autre, annulaire, près des parois, où apparaissent de gros paquets

de particules plus ou moins agglomérées qui se déplacent dans une phase fluide animée d’une vitesse assez petite. Ce régime est très important d’un point de vue industriel car c’est celui que l’on rencontre dans les systèmes de combustion ou de réactions catalytiques. Le plus couramment, on base donc la modélisation des transferts thermiques de ce type de lit fluidisé sur la décomposition en deux contributions superposées, l’une provenant du transfert au sein du cœur et l’autre étant due au contact des particules sur les parois de la colonne. Par ailleurs, compte-tenu des fortes vitesses présentes pour ce régime, on ne dispose en général aucune surface d’échange au sein même de la colonne, de sorte que les transferts thermiques avec l’extérieur se font uniquement sur les parois de l’installation. On considère alors les contributions des transferts par convection au sein du cœur et par rayonnement depuis le cœur vers les parois, d’une part, et associées aux particules présentes sur ou au voisinage immédiat des parois, d’autre part. Une analogie électrique est souvent utilisée, en se basant sur des résistances en série et des résistances en parallèle, selon le schéma de principe suivant (en séparant les contributions dues aux fractions des parois qui sont sans particules et à celles qui sont au contraire recouvertes de particules):

Figure 7-9. Analogie électrique utilisée pour calculer les transferts thermiques en régime de fluidisation rapide. D’après Chen et al. (2005).

On désigne alors la hauteur moyenne qui sépare les amas de particules de la paroi

par δg, la fraction moyenne de surface de la paroi couverte de particules par f, le flux moyen d’échange de particules selon la direction horizontale par Gsh et le taux de vide moyen dans le cœur par εsus. Le coefficient d’échange global peut alors s’écrire comme :


7-23


7-24

7-18

11 1gc sr

r rsh pp be g g ew

fh ( h h )( f )

G c h ( k / ) hδ

= + − ++

+ +

.

La synthèse des résultats expérimentaux a conduit à la formulation suivante pour f :

7-19

0 5 0 5

21 25000 1 1 sus. D . Df exp{ ( )( )}e e

ε−

= − − − −+

,

où D est le diamètre hydraulique de la colonne, alors que les taux de transfert par rayonnement sont donnés, comme précédemment, par :

4 4

1 1 1

b wsr

b wsus w

(T T )h

(T T )( )e e

σ −=

− + −,

4 441 1 1

r e wew

e wsus w

(T T )h

(T T )( )e e

σ −=

− + − et

4 442 1

r b ebe

b esus

(T T )h

(T T )( )e

σ −=

− −,

où esus et ew désignent respectivement l’émissivité de la suspension (cœur) et des parois, et Te, la température de la suspension à la position δg, est donnée par

56 34

34 56

b we

T R T RT

R R+

=+

, avec 3 434

3 4

R RR

R R=

+ et 5 6

565 6

R RR

R R=

+.

Finalement, des ajustements de données expérimentales ont conduit à 0.59

g p sus0.0282d (1 )−δ = − ε et sh susG 0.0225ln( ) 0.1093= ρ + .

La figure 7-10 illustre la validité de ce genre d’approche, par comparaison avec différentes données expérimentales. En dépit des approximations qu’il comporte, ce genre de modèle est considéré comme étant celui qui, à l’heure actuelle, donne les meilleurs résultats pour le dimensionnement des lits fluidisés circulants de taille industrielle. Alors que, de façon générale, il est reconnu que les lois de similitude qui devraient permettre d’évaluer les transferts thermiques associés à de grandes installations à partir d’essais sur des pilotes de laboratoire ne sont pas très robustes pour l’instant, et ce, quelque soit le régime de fluidisation que l’on considère.

Figure 7-10. Coefficients de transfert de chaleur. Comparaison des prévisions du modèle basé sur l’analogie électrique avec différentes données expérimentales. Les lignes pointillées délimitent les écarts de +/- 25 p. cent par rapport aux prévisions. D’après Chen et al. (2005).

7.8 MODELES COMPLETS BASES SUR LES EQUATIONS DE BILAN DES MILIEUX DIPHASIQUES (APPROCHES EULERIENNES)

Bien évidemment, au-delà des modèles qui viennent d’être décrits, il serait intellectuellement préférable de repartir des équations de bilan que nous avons présentées dans les premiers chapitres de cet ouvrage, afin de simuler le comportement des lits fluidisés. Malheureusement, compte-tenu de la complexité des phénomènes qui sont impliqués, il n’existe pas à ce jour un seul et unique modèle universellement reconnu, mais plusieurs modèles qui, en se basant sur des équations qui sont formellement les mêmes au départ, se déclinent ensuite en plusieurs versions selon la façon dont sont modélisés les termes liés aux interactions entre le fluide porteur (qui constitue une phase) et les particules solides (qui constituent une seconde phase) ainsi qu’entre les particules entre elles. En particulier, ce sont surtout les mécanismes d’interaction entre les particules (frottements, rebonds élastiques ou inélastiques, agrégation, ….) et les forces d’entraînement des particules par le fluide (qui pilotent les échanges de quantité de mouvement entre les


7-25


7-26

phases fluide et solide) qui font encore l’objet de débats sur la meilleure façon de les modéliser.

7.8.1 REGIME DE FLUIDISATION BOUILLONNANTE

Les équations associées à quelques uns des différents modèles couramment utilisés sont présentées et discutées ci-après. Les indices g et s font référence, respectivement, à la phase que constitue le fluide porteur et à celle que constituent les particules solides. En outre, par souci de légèreté de la présentation, le symbole ∇ représentera ici l’opérateur de

gradient, τ le tenseur des contraintes, u le vecteur vitesse (lorsqu’il n’est pas utile de préciser quelle est la composante ui que l’on considère), g le vecteur accélération de la pesanteur et le « . » le produit scalaire. Equations de continuité :

7-20

0g .( u )ε

ε∂

0

g g

ss s

t

.( u )t

εε

+∇ =∂

∂+∇ =

∂

.

Equations de quantité de mouvement : Modèle de Jackson, 1997

7-21

gg g g g g s g

g

gss s s s g s g g g s s s g s

g

uu( u . )u ( u . )u ( u u ) ( )g . P

t tβρ ε ρ ε ε ρ ρ τε

⎣ ⎦∂⎡ ⎤∂⎡ ⎤+ ∇ − + ∇ = − + − + ∇ − ∇⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s

u( u . )u . P ( u u ) g

tβρ τ ρε

∂⎡ ⎤+ ∇ =∇ − ∇ − − +⎢ ⎥∂

.

qui s’écrit aussi sous une forme différente qui, d’une part, fait jouer des rôles plus symétriques aux deux phases, mais, d’autre part, met mieux en évidence les problèmes spécifiques qui se posent pour les pressions à l’intérieur de chacune des deux phases et à leur interface (voir discussion au chapitre 3) si on ne les considère pas comme égales (voir en particulier, à ce sujet, la discussion qui est présentée à la section 3.2.3) :

7-22

gg g g g g g g g s g g

ss s s s s g s s s g s s

t

u( u . )u . P . P ( u u ) g

t s

u( u . )u . P ( u u ) gρ ε ε τ ε β ε ρ

ρ ε ε τ ε τ β

∂⎣ ⎦∂⎡ ⎤

+ ∇ = ∇ − ∇ + ∇ − ∇ + − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦ε ρ

∂⎡ ⎤+ ∇ = ∇ − ∇ − − +⎢ ⎥

Modèle de Ishii, 1975

.


7-27

7-23

gg g g g g g g g s g g

ss s s s s s s g s s s

u( u . )u . P ( u u ) g

t

u( u . )u . P ( u u ) g

t

ρ ε ε τ ε β ε ρ

ρ ε ε τ ε β ε ρ

∂⎡ ⎤+ ∇ =∇ − ∇ − − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∂⎡ ⎤+ ∇ = ∇ − ∇ + − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

,

qui devient aussi, dans une version

7-24

réécrite par Enwald et al. (1996) g

g g g g g g g g s g g

ss s s s s s s g s s s

gt

u( u . )u . P P ( u u ) g

t

ε ρu

( u . )u . P ( u u )ρ ε ε τ ε β

ρ ε τ ε β ε ρ

+⎢ ⎥∂⎣ ⎦∂⎡ ⎤

+ ∇ = ∇ − ∇ − ∇ + − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

.

ans les cas où la p ent la

es gaz. Il est important de noter ici que, lors enne

∂⎡ ⎤+ ∇ =∇ − ∇ − −

D ression Ps apparaît de façon explicite, on considère généralem

s c la théorie cinétique d

relation proposée par Lun et al. (1984) pour l’évaluer : 2

s s s 0 sP 2g (1 e)=ρ ε Θ + ρ ε Θ + , par analogie aveque l’on établit les équations en faisant une moy

statistique, comme cela a été fait dans le chapitre 3, on obtient bien pour la composante de

vitesse ui un terme du type 'i 'j (- u u )∂ρ . La moyenne est justifiée même si l'écoulement

des particules solides, n'est pas très forte. En effet, la position des particules solides doit toujours être considérée comme aléatoire, puisque notre façon de contrôler le lit fluidisé ne permet pas de contrôler la position de chaque particule une par une : si on injecte des particules, on ne sait jamais parfaitement où et quand on en injecte une, et si on injecte du gaz sous des particules, cela induit des mouvements de particules qui sont assez brusques, imprévisibles, surtout quand le nombre de particules par unité de volume entraîne celles-ci à se choquer entre elles, à s'accrocher ou à se décrocher. Ainsi, l'écoulement de gaz lui-même entre les particules peut très bien rester laminaire, donc stable, mais les particules peuvent montrer des mouvements désordonnés très tôt, dès qu'il y a un petit débit de gaz. Alors, même si les mouvements du gaz sont stables, si les particules fluctuent, elles poussent le gaz à passer entre elles, et rendent quand même le mouvement du gaz aléatoire : la caractéristique aléatoire des mouvements des deux phases doit donc exister très tôt, même à des vitesses moyennes très faibles.

jx∂n'est pas turbulent au sens classique, c'est-à-dire même si la vitesse du fluide, et sans doute

D’où cette notion de pression solide et de température granulaire Θ, qui est définie comme étant égale à deux-tiers de l’énergie cinétique moyenne - au sens de la théorie cinétique des gaz - des particules solides en chaque point et peut-être calculée en chaque


7-28

point à partir d’une équation de transport, dérivée de celle pour l’énergie cinétique des particules solides,

7-25

32

∂⎡ ⎤+ ∇ = −∇ + ∇ − ∇ ∇ − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦s s s s s s s s s s s( ) .( u ) ( P I ) : u .( ) J

tε ρ Θ ε ρ Θ τ κ Θ γ .

La conductivité ks cumule des effets liés à la cinétique des particules solides et à leurs collisions. Il en existe, comme pour μs, différentes approches de modélisation, mais dont nous ne donnons pas ici les expressions car elles sont très comparables. L’article de Van Wachem et al. (2001) en présente les principales. De façon générale, quelque soit le modèle choisi pour μs et pour ks, on a des rapports μs / ks qui sont de l’ordre de, mais inférieurs à, 1. Le terme γs représente, quant à lui, la dissipation de Θ qui résulte des collisions inélastiques entre particules. Il est en général pris égal à

22 012 1 /s s

ss

g( e )

dε ρ

γπ

= − 3 2Θ . Finalement, le terme Js représente la dissipation de Θ qui

résulte de l’action des forces fluctuantes exercées par le fluide, s s s g sJ ( u' u' u' u' )β= − , qui

est souvent modélisée par 2

34

g ss s

s s

( u u )J ( dβ Θ β )

ε ρ πΘ

−= − lorsque la quantité g su' u' n’est pas

tout simplement négligée devant 3s su' u' Θ≡ par définition. Notons que Θ est aussi parfois donnée par une simple relation analytique déduite de l’équation précédente, moyennant l’approximation que ce sont les termes de production et de dissipation γs qui dominent :

0 s s s( P I ) : u sτ γ= −∇ + ∇ − .

Quant à g0, qui apparaît dans d’assez nombreux modèles, il représente la fonction de distribution radiale des particules (dans une section transverse de la colonne), alors que e est le coefficient de restitution d’énergie (lors des collisions entre particules). Différentes expression analytiques ont été proposées pour g0, qui font en général intervenir (au moins) la valeur de εs au point considéré et sa valeur maximale dans la section εs,max, comme,

notamment, 11/ 3

0 s s,max3g 1 ( / )5

−⎡= − ε ε⎣⎤⎦ . Pour plus de détails sur cette approche

cinétique de la phase solide, on pourra notamment consulter l’article de Lun et al. (1984), celui de Peirano et Leckner (1998), ou l’ouvrage de Gidaspow (1994). Le tenseur des contraintes pour une quelconque des phases (repérée ici par l’indice

k) est, quant à lui, défini par k k k k k k22 D ( )tr(D )I3

τ = μ + λ − μ , où


7-29

Tk k k

1D ( u ( u )2

= ∇ + ∇ ) (l’exposant T faisant référence au tenseur transposé du tenseur

considéré) et I est le tenseur identité. Le coefficient de viscosité pour la phase solide μs peut être calculé selon les différents modèles qui suivent, alors que λs est en général

modélisé selon la relation proposée par Lun et al. (1984), 2s s s s 0

4 d g (1 )3

Θλ = ε ρ + ε

π.

Principaux modèles pour μs : Modèle de Lun et al. (1984)

7-26

02

00

22 0

0

0

81 3 285 1 768596 5 2 25

1 3 2 1 24 115 15 3 2 1 2

3 4 1 41 106 3 2 2 96 1 3 2 1 2

ss

s s s s

s s ss s s

s s s s s

( ) gd ( )( ) g

g

d g ( e )( / e / )d g ( e )

( / / e )d ( / e / ) d

( / e / ) ( e )( / / e )g

η η εεΘπμ ρ ηεη η π

ρ εΘε ρ Θππ

ρ ε ρΘπ Θπ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= + +⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −= + +

−+

+ +− + −

.

Modèle de Hrenya et Sinclair (1997)

7-27

02

00

20

0

81 3 285 1 1 76855 2 25

1

1 3 2 1 24 115 15 3 2 1 2

1 2 1 3 4 1 41 10

ss

s s s smfp

s s ss s s

mfps s s

( ) gd ( )( ) g

gR

d g ( e )( / e / )d g ( e )

( / / e )

d ( / ( )( / e / ) d

η η εεΘπμ ρ ηελη η π

ρ εΘε ρ Θππ

λρ ε ρ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥= + +−⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −= + +

−

+ −

2

96

6 963 2 1 2 1

s s

mfp

R

( / / e )( ) (R

Θπ Θπλ

+ +− + 01 3 2 1 2 1 mfpe )( / / e )g ( )

Rλ

+ − +

.

Modèle de Syamlal et al. (1993)


7-30

7-28

20 0

22 0

0

4 21 1 3 15 6 3 5

1 3 2 1 24 115 15 3 2 2

112 3 2 2

s s ss s s s s

s s ss s s

s s s

dd g ( e )( e ) g

( e )

d g ( e )( / e / )d g ( e )

( / e / )d

( / e / )

ε ρ ΘπΘμ ε ρ επ

ρ εΘε ρ Θππ

ρ εΘπ

⎡ ⎤= + + + −⎢ ⎥− ⎣ ⎦

+ −= + +

−

+−

.

Modèle de Gidaspow (1994)

7-29

22

0 00

2 20 0

104 4961 1 15 1 5

4 11 15 15

s s

s s s s s

s s s s s s

dd g ( e ) ( e ) g

( e )g

d g ( e ) d g ( e )

ρ ΘπΘμ ε ρ επ

Θε ρ Θπ ρ επ

0

1 106 96 1

s ss s s

dd

( e )gρ

Θπ ρ ε Θπ

⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

= + + +

+ ++

.

Dans ces expressions, λmfp désigne le libre parcours moyen d’une particule solide

et R une dimension caractéristique de la colonne que constitue le lit fluidisé. Il est à noter que, dans la plupart des modèles, λmfp peut tendre vers l’infini alors que, dans le modèle de Hrenya et Sinclair, cette grandeur est contrainte par la dimension R qui caractérise le système que constitue le lit fluidisé. Pour ce dernier modèle, on obtient alors bien le fait que μs tend vers zéro lorsque la fraction en volume de particules solides tend vers zéro. Finalement, pour fermer les équations de bilan écrites en début de cette section, nous n’avons plus besoin que de modéliser le paramètre β qui intervient dans le terme d’échange d’énergie mécanique entre les deux phases, qui est égal à β(ug – us) quelque soit le modèle considéré. Il existe pour ce coefficient plusieurs modélisations possibles, dont nous listons ci-après les principales. Elles diffèrent notamment pour l’expression du coefficient de traînée CD. Modèle de Wen et Yu (1966)


7-31

7-30

2 65

0 687

13 14

24 1 0 15 1 1 10001

0 44 1 1000

s s g g s .D s

s

.D s p s p

p s

s gs p p g s

g

( ) u uC ( ) ,avec

d

C . (( )Re ) si ( )ReRe ( )

d. si ( )Re , avec Re u u

ε ε ρβ ε

ε εε

ρε

μ

−− −

= −

⎡ ⎤= + − − <⎣ ⎦−

= − > = −

.

Formulation de Ergun (1952) utilisée dans le modèle de Gidaspow (1994)

2s g

2s s

150(1 )d

(1 )3

ε μβ =

− ε

− ε

s g g ss

s

s s g g s 2.65D s s

s

u u7 si 0.24 d

u uC (1 ) si 0.2

4 d−

ε ρ −+ ε >

ε ρ −− ε ε ≤

Modèle de Syamlal et al. (1993)

s s g g sD 2

s r2

rD

2 2r

(1 ) u u3 C ,4 d V

Vavec C 0.63 4.8 ,Re

1V a 0.06 Re (0.06 Re) 0.12 Re(2b a) a2

− ε ε ρ −β=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤= − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

4.14s

1.28s s

2.65s s

et a (1 )

b 0.8(1 ) si 0.15

(1 ) si 0.15

= − ε

= − ε ε ≥

− ε ε <

A titre d’illustration, les figures 7-11 et 7-12 comparent les résultats obtenus avec différents modèles par rapport à des données expérimentales. Le diamètre caractéristique des bulles est calculé à partir de la vitesse de la phase gazeuse, en utilisant la relation proposée par Darton et al. (1977) sur la base de résultats expérimentaux (pour des particules solides appartenant à la classe B de Geldart),

0.4 0.8 0.2b mf 0D 0.54(U U ) (x 4 A ) g−= − + . Le terme 04 A traduit une sorte

d’origine virtuelle pour le lit fluidisé, qui vaut 0.03 m lorsque l’on utilise un distributeur

sous forme de plaque poreuse en entrée (d’après Darton et al., 1977). Ces résultats illustrent le fait que, en régime bouillonnant et en régime de pistonnage, qui sont associés à des taux de fraction volumique en particules solides de l’ordre de 0.4 à 0.5, le modèle choisi pour la traînée a très peu d’influence. Il en est de même (non montré ici) pour le modèle de frottement entre particules solides. De même, le modèle de traînée influe relativement peu les résultats pour la prévision de l’épanouissement d’un jet de gaz dans un lit de particules, même, si ce choix a une influence non négligeable sur la forme prédite pour les bulles qui se développent (le modèle qui sous-estime le plus l’épanouissement conduisant en fait à des bulles qui sont beaucoup plus proches de la forme sphérique que ce qui est observé dans les expériences). Par contre, il est aussi important de noter que le fait de ne pas inclure du tout de modèle de frottement entre particules solides est assez pénalisant à la fois sur les résultats (car il y a alors moins d’air pénétrant dans la phase des particules solides, ce qui, globalement, se traduit par un taux d’expansion du lit qui est plus faible) mais aussi sur les temps de calcul, car la solution est alors plus longue à converger.

Figure 7-11. Diamètre des bulles en fonction de la hauteur du lit fluidisé (en régime bouillonnant). Comparaison des prédictions obtenues par différents modèles de coefficient de traînée avec une synthèse des données expérimentales. D’après van Wachem et al. (2001).


7-32

Figure 7-12. Epanouissement en fonction du temps d’un jet d’air injecté dans un lit de particules solides. Comparaison des prédictions obtenues par différents modèles de coefficient de traînée avec une synthèse des données expérimentales. D’après van Wachem et al. (2001).

7.8.2 REGIME DE FLUIDISATION TURBULENTE

Pour les régimes de fluidisation turbulente et de fluidisation rapide, où d’importantes fluctuations comparables à celles que l’on observe au sein des écoulements turbulents monophasiques classiques sont présentes (ce qui peut, entre autres, conduire à des bulles de gaz de formes et de tailles très différentes, contrairement aux régimes discutés dans les exemples précédents), il semble qu’il y ait encore moins de consensus sur les modélisations à adopter, les problèmes rejoignant en partie ceux que l’on rencontre dans les écoulements turbulents monophasiques classiques (nombre d’équations à considérer plus important, puisqu’il faut en général considérer, outre les équations pour les quantités de mouvement moyennes, celles pour les énergies cinétiques de la turbulence et les taux de dissipation de celles-ci dans chaque phase ; nombre des phénomènes à modéliser et des paramètres à ajuster d’autant plus élevé ; rôle et importance d’une prise en compte explicite des grandes échelles turbulentes dans la fluidisation, les moyennes statistiques globales ont-elles vraiment un sens compte-tenu de la grande diversité des évènements qui peuvent se produire, etc ….). Ce domaine fait donc encore l’objet de recherches académiques poussées, utilisant notamment les simulations numériques comme moyen d’analyse fine


7-33


7-34

des phénomènes qui se produisent au niveau microscopique, ce qui devrait permettre de proposer dans le futur des modélisations fiables au niveau macroscopique. Néanmoins, à titre d’exemple, on présente ci-après un modèle de turbulence basé sur les équations pour l’énergie cinétique de la turbulence kg et son taux de dissipation <εg> pour la phase du fluide porteur, ainsi pour que l’énergie cinétique ks et la covariance entre la vitesse du fluide et la vitesse des particules solides kgs, qui est celui utilisé par Peirano et al. (2002). On doit alors considérer des équations qui sont formellement assez semblables aux précédentes, pour ce qui est de l’équation de continuité et de l’équation de bilan de quantité de mouvement. La grande différence, lorsque l’on prend explicitement en compte l’influence de la turbulence, est que ces équations sont alors écrites en termes de moyennes statistiques du champ de vitesse (si l’on considère que les fluctuations turbulentes des masses volumiques sont négligeables) et de la pression, et que, dans le tenseur des contraintes apparaît alors, en plus des termes visqueux qui étaient représentés

par le tenseur τ , un terme supplémentaire dû à la turbulence. Celui-ci s’exprime (pour une phase k, et en utilisant les notations tensorielles indicées semblables à celles utilisées dans

les chapitres 2 et 3) comme ' j'ik k k ku uε ρ , que l’on appelle couramment « tenseur de

Reynolds » (la notation . représente l’opérateur de moyenne statistique vis à vis des fluctuations turbulentes). Ainsi, en chaque point et à chaque instant, on doit utiliser la décomposition de Reynolds, de sorte que la vitesse instantanée ui s’écrit alors comme

'i iu u u= + i . Pour plus détails sur la turbulence des fluides, ses propriétés et sa

modélisation, on pourra notamment consulter l’ouvrage de Chassaing (2000). De façon générale, on a alors plus d’inconnues que d’équations, et on doit donc modéliser les inconnues supplémentaires que sont les tensions de Reynolds.

Pour les besoins de cette section, on se limitera aux modélisations les plus simples, qui ne font plus intervenir ici que quatre inconnues supplémentaires, l’énergie cinétique de la turbulence pour les phases solide et gazeuse, respectivement notées ks et kg, ainsi que le taux de dissipation de la phase gazeuse <εg> et la covariance kgs des vitesses fluide-particules. On doit alors dériver analytiquement et modéliser sur des principes physiques une équation de bilan pour chacune de ces grandeurs, de façon à, ensuite, recalculer les tensions de Reynolds qui interviennent dans les équations moyennées de bilan de quantité de mouvement par des relations qui s’écrivent comme

ji' j'i ijk k

k ktk j iuu 2u u ( ) k

3x x

∂∂= − ν + + δ

∂ ∂k . La quantité νkt est couramment appelée viscosité


7-35

de la turbulence (pour la phase k), alors que l’énergie cinétique de la turbulence kk pour la

phase k est définie par 'i 'ik k

1k u u2

= k .

Les différents termes, selon le modèle utilisé par Peirano et al. (2002), sont alors modélisés comme suit (voir aussi les articles de Simonin, 1996 et de Enwald et al., 1996 pour de plus amples détails) : Equations de bilan pour kg et <εg> :

7-31

ig g g gi ' i ' j

g g g g g g gt kg g g g g g g kg g g gi i i j

k k k u( u ) ( ( / ) ) u u

t x x x xε ρ ε ρ ν ν σ ε ρ ε ρ Π ε ρ ε

∂ ∂ ∂ ∂∂+ = + − + − < >

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

7-32

1 2

ig g' i ' j

g g g g g g g g gjg

u( C u u C )

k xε ε εε

ε ρ ε Π ε ρ ε< > ∂

g g gig g g g g g gt gi i i( u ) ( ( / ) )

t x x xεε ε ε

ε ρ ε ρ ν ν σ∂ < > ∂ < > ∂ < >∂

+ = +∂ ∂ ∂ ∂

− + < > + − < >∂

.

avec , * 2 *g g gs gs gs gC k / , C C /(1 C X / St(1 k / 2k ))μ μ μν = < ε > = + −

x i igs gs g gs r d g 3 g g kg(X / )( 2k k U U ), C ( / k )ε ετ − + + Π = < ε > Π

idU

gt

kgΠ = ,

où et désignent respectivement les composantes d’indice i des vitesse moyenne

relative et vitesse de dérive,

irU

i i ir s gU u u U= − − i

dix

. La grandeur est calculée à partir de

l’équation , où le coefficient de dispersion binaire est

donné par . Le couplage entre les phases solide et gazeuse se fait donc en

partie par l’intermédiaire de la grandeur kgs dont nous avons déjà parlé plus haut, en faisant

également intervenir le temps d’interaction entre le fluide turbulent et les particules .

Le temps est quant à lui un temps caractéristique de relaxation des particules. Les

constantes, plus classiques, qui interviennent dans les termes précédemment écrits ont alors pour valeurs :

idU

i td gs sU D /= − ∂ε ∂

t tgs gsD k / 3= τ

g sε ε

gs

xgsτ

tgsD

τtgs

kg g 1 2 3 gs1.0, 1.2,C 0.09,C 1.44,C 1.92,C 1.2et C 0.314ε μ ε ε εσ = σ = = = = = = .


7-36

Finalement, la grandeur Xgs est donnée par gs s s g gX /= ε ρ ε ρ

t xg gs/

, alors que le nombre de

Stokes des particules St est donné par St = τ τ tg où τ est ce que l’on appelle

généralement le temps de retournement de la turbulence (qui est défini par

, avec les notations présentes). Par souci de ne pas trop alourdir la

présentation, nous ne détaillerons pas ici la façon dont

tg g gk /τ = < ε >

xgsτ et t

gsτ sont évalués.

Equations de bilan pour ks et kgs :

7-33

2123

∂ ∂ ∂ ∂∂ −+ = + − − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂gs

ii t c ijs s s s s s

s s s s s s s s s gs s s si i i j x cs

k k k u ( e )( u ) ( ( D D ) ) ( k k ) kt x x x x

ε ρε ρ ε ρ Σ ε ρ

τ τ

7-34

gs gs gsi t ij ij ts s s s s gs kg s s gs gs kgs s s gs gsi i i

k k k( u ) ( / ) M S k /

t x x xε ρ ε ρ ν σ ε ρ Π ε ρ

∂ ∂ ∂∂+ = − + −

∂τ

∂ ∂ ∂.

Où 1 2 1 13 1 3 1 3

i j m i mj mg g g g gij t ij t ijs sr

g gsj i m j i m mr r

u u u u uu uijgs gsM k ( ) ( (

x x x x x x xη

) )δ ν δ νη η

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥= − + − − + − +⎢ ⎥+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

δ⎣ ⎦

,

23

m i jij ij ijs s ss s s s s sm j i

u u u( P ) ( )

msm

ux x x x

Σ ξ δ ε ρ ν∂ ∂ ∂ ∂

= − − + −∂ ∂ ∂ ∂

δ et i jgij s

gs j i

u uS

x x

∂ ∂= +

∂ ∂. La pression

moyenne Ps pour la phase solide est définie, comme indiqué précédemment, à partir de la

température granulaire Θ, , et s s s s 0P (1 2 g (1 e)= ε ρ + ε + Θ) 2s p s s 04d g / / 3ξ = ε ρ Θ π .

Pour ce qui concerne les coefficients de viscosité, on définit νs par ts s

csν =ν + ν , avec la

viscosité collisionelle définie par cs s 04 g (1 e)( t

s pd / )ν = ε + ν

t xgs s 0 g/ 3 (1 g A)) /(2 /+ Θ + ε τ

+ Θ

cs

π et la viscosité

turbulente par . Le coefficient ηr est le

rapport , g0 est ici calculé par

s r s(2 k B / )ν = η + τ

t xgsτgs /τ s,max2.5s

0s,max

g (1 )− εε= −

ε

3e)(3e 1)et B (1 e)(3 e) / 5= + − = + −t cs sD et D

t xs 0 gs s/ 5 (1 g C)) /(9 / 5 D / )+ Θ + ε τ + τ

, et les coefficients A et

B par . Les coefficients de diffusion turbulente

et de diffusion collisionnelle, , sont définis par

A 2(1

r gs3 k= η csD (


7-37

et c ts s 0 s pD g (1 e)(6D / 5 4d / /=ε + + Θ π 3) ,

avec . Le terme d’interaction entre

les 2 phases, Πkgs, est défini par

2C 3(1 e) (2e 1) / 5et D (1 e)(49 33e) /100= + − = + −

kgs s s ((1 X xgs gs gs s g gs)k 2X k 2k ) /Π =ε ρ + − − τ

csτ

.

Finalement, il est important de noter que le terme de dissipation de la quantité ks n’apparaît pas de façon explicite au travers d’une équation de bilan, comme c’est le cas pour <εg>, mais que la destruction de ks par les gradients de vitesse fluctuants (qui correspondrait à un

taux de dissipation <εs>) est modélisée ici par l’intermédiaire du temps caractéristique

( cs p s 0(d / 24 g ) /τ = ε π Θ ). Cette expression pour c

sτ est assez classique en modélisation

de la turbulence, où <ε> et k3/2 sont habituellement reliés par une échelle de longueur qui est l’échelle intégrale de la turbulence l. Cette échelle de longueur s’identifie donc ici à dp, le diamètre des particules, ce qui est assez logique puisque Θ représente l’énergie cinétique associée au mouvement turbulent des particules solides. Il est à noter que les équations (7-33) et (7-25) traduisent toutes les deux des bilans pour ks, l’énergie cinétique associée au mouvement désordonné des particules solides. Il est donc intéressant de comparer leurs expressions. Pour le régime de fluidisation bouillonnante, la modélisation qui est intégrée dans l’équation (7-25) est assez simple puisque, en particulier, le terme g su' u' (qui correspond à kgs) est relié de façon simple à la différence des vitesses moyennes (ug-us)2, lorsqu’il n’est pas tout simplement négligé. Au contraire, l’équation de bilan (7-34) est utilisée pour calculer ce terme en régime turbulent, en incorporant des ingrédients qui sont formellement semblables mais dont l’expression est nettement plus complexe que dans l’équation (7-25). On constate également que les mécanismes d’interactions entre le fluide et les particules nécessitent de faire intervenir des termes supplémentaires par rapport au cas classique d’un fluide monophasique turbulent, qui doivent tout d’abord être modélisés sur la base de raisonnements physiques (proportionnalité à des gradients de certaines variables ou à des temps caractéristiques de certains mécanismes par exemple), dont les constantes de proportionnalité doivent ensuite être ajustées au mieux par comparaison avec des données expérimentales. Les figures 7-13 et 7-14 illustrent les résultats obtenus. Si, dans ce cas, le spectre des fluctuations de pression est en très bon accord avec les résultats des expériences menées en parallèle par la même équipe, il y a un décalage notable sur la distribution en probabilité des fractions volumiques occupées par la phase des particules solides.

Compte-tenu de la complexité des mécanismes mis en jeu, il y a donc besoin d’aller au-delà de ce que permettent actuellement les approches expérimentales, et nous allons donc maintenant examiner quelques résultats obtenus à partir des approches de simulations numériques directes ou simulations des grandes échelles qui ne sont pas très différentes du point de vue de la mécanique proprement dite (interactions/chocs entre particules) puisque ces deux méthodes diffèrent seulement sur la manière plus ou moins fine dont est simulé l’écoulement de la phase fluide. Ainsi, les simulations numériques directes sont, a priori, parfaitement exactes puisqu’elles ne nécessitent pas de modélisation. Néanmoins, à l’heure actuelle, seuls des nombres de Reynolds assez petits peuvent être simulés, ce qui en limite l’intérêt. Au contraire, les simulations des grandes échelles nécessitent des hypothèses de fermeture, mais elles permettent d’atteindre des nombres de Reynolds beaucoup plus élevés (on pourra consulter le livre de Schiestel, 2006, pour plus de détails concernant ces méthodes de simulations numériques).

Figure 7-13. Spectre des fluctuations de pression à l’intérieur du lit fluidisé (à environ mi-hauteur du lit). Comparaison des prédictions obtenues par le modèle présenté ici avec des données expérimentales. D’après Peirano et al. (2002).


7-38

Figure 7-14. Distribution en probabilité des fractions volumiques occupées par la phase des particules solides à l’intérieur du lit fluidisé (à environ mi-hauteur du lit). Comparaison des prédictions obtenues par le modèle présenté ici avec des données expérimentales. D’après Peirano et al. (2002).

7.9 SIMULATIONS NUMERIQUES DIRECTES ET SIMULATIONS DES GRANDES ECHELLES (APPROCHES EULERIENNES-LAGRANGIENNES)

La possibilité de pouvoir utiliser, depuis la fin des années 90, des ordinateurs de plus en plus performants, a conduit au développement de nouvelles techniques de simulation numérique dans tous les domaines de la mécanique des fluides et donc, également, pour la simulation des lits fluidisés. Comme ce domaine est encore largement en cours de développement, faisant l’objet de nombreux travaux de recherche académique, nous ne pourrons donner ici que quelques résultats illustrant ces travaux. Comme nous l’avons précédemment indiqué, l’idée essentielle est de simplifier la complexité géométrique étudiée (ainsi, assez couramment, on se contente de situations bi-dimensionnelles, afin de limiter le nombre de points des maillages, ou on fait des hypothèses simplificatrices basées sur l’isotropie de la turbulence pour le champ de vitesse de la phase continue qui est étudiée en simulant les phénomènes à l’intérieur de cubes numériques auxquels on associe des hypothèses de symétrie sur les 6 faces). On calcule


7-39


7-40

alors, de façon exacte (pour les simulations numériques directes), en chaque instant et en chaque point du domaine de calcul, le champ de vitesse du fluide porteur, puis on calcule le déplacement incrémental des particules solides qui sont transportées par ce fluide. Les résultats statistiques sont alors obtenus à partir d’un grand nombre de particules injectées, dont on calcule ainsi les mouvements dans le fluide porteur. On parle donc alors de méthode Eulérienne-Lagrangienne. Comme à la section 7.8, la difficulté de la démarche réside dans la modélisation des termes qui traduisent les efforts appliqués sur les particules solides, que ceux-ci résultent d’interactions particules-particules ou qu’ils résultent des forces générées par le mouvement du fluide porteur. Un premier exemple de ce genre de démarche considère la modélisation du terme de couplage entre les particules solides et la phase fluide. Ainsi, les équations de bilan pour le fluide porteur sont données par (en utilisant la forme compacte déjà utilisée précédemment) :

7-35

0g gg g g

g g gg g g g gs g g

( ).( u ) ,

t( u )

.( u u ) . F gt

ε ρε ρ

ε ρε ρ τ ε ρ

∂+∇ =

∂∂

+ ∇ =∇ − +∂

,

où Fgs représente les forces d’interaction fluide-particules. Ce terme s’obtient par sommation sur toutes les particules qui sont situées dans une maille élémentaire de calcul du champ de vitesse pour le fluide, la force élémentaire fgsi appliquée sur une particule étant donnée, pour un premier modèle dit à gradient de pression (ou PGF), par

gsi si si s g dif v P v .= − ∇ + ∇ τ + ε f ,

où vsi est le volume de la particule (repérée par l’indice i) que l’on considère et fdi est la force de traînée, de sorte que l’équation de bilan de quantité de mouvement pour le fluide s’écrit alors

g g g *g g g g g g s gs g g

( u ).( u u ) P . F g

t∂ ε ρ

+ ∇ ε ρ = − ε ∇ + ∇ ε τ − + ε ρ∂

,

avec (où n désigne le nombre de particules par unité de volume du lit

fluidisé). Au contraire, pour un deuxième modèle, dit à densité du fluide (ou FDB), on considère que ffpi est donnée par

*gs g diF n f= ε

gsi si g si g df v g v .= − ρ + ∇ τ + if .

L’équation de bilan pour le fluide s’écrit alors g g g **

g g g g g g gs g g( u )

.( u u ) P . F gt

∂ ε ρ+ ∇ ε ρ = − ∇ + ∇ ε τ − + ε ρ

∂,


7-41

avec . *gs g g diF (1 ) P n f= − − ε ∇ + ε

Ces deux formulations sont strictement équivalentes du point de vue du fluide ; il s’agit seulement de regroupements écrits différemment, mais il n’en est pas du tout de même lorsque l’on considère l’équation de la mécanique pour les particules solides. En effet, celles-ci s’écrivent, de façon générale, comme

7-36

isi ci gsi i i

ii i

dum f f m g f ,

dtd

I T ,dtω

= + + =

=

où l’opérateur d/dt désigne alors la dérivée particulaire (qui correspond à un suivi Lagrangien des particules d’indices i), usi représente la vitesse de la particule i, mi sa masse, Ii son moment d’inertie, ωi sa vitesse angulaire et Ti le couple résultant de la composante tangentielle de la force de contact fci entre particules. Selon la façon dont est exprimée la force fgsi, les comportements des particules seront donc, a priori, différents. Nous ne mettrons ici l’accent que sur cet aspect de la modélisation, même si d’autres points posent également problème, comme la modélisation de la force fdi pour laquelle différents modèles existent ainsi que nous l’avons vu à la section 7.8.

Les figures ci-après illustrent donc les résultats obtenus avec ces deux modèles de force fgsi, pour la simulation d’un domaine bi-dimensionnel (en utilisant des particules qui sont alors dans la classe D de Geldart). Sur la figure 7-15, on constate un assez net décalage sur les vitesses minimales de fluidisation que ces deux modèles prédisent. Ces différences se comprennent mieux en termes de nombres de contacts entre particules (figure 7-16), pour lesquels on constate que le modèle FDB résulte en un nombre assez nettement plus faible de contacts dès les plus petites vitesse, le nombre total de particules étant de toutes façons le même dans les deux cas. La conséquence logique, le fluide circulant ayant moins d’impact lorsqu’il y a moins de contacts entre particules, est donc bien que la vitesse minimale de fluidisation est plus basse dans les calculs utilisant le modèle PGF. Ces valeurs sont, elles, en bon accord avec les observations expérimentales. La faiblesse principale du modèle FDP réside alors dans son incapacité à prendre en compte les forces additionnelles liées aux gradients de pression qui apparaissent localement par accélération ou décélération du fluide porteur dans le lit fluidisé.

Un autre exemple de résultats obtenus de ces approches Eulériennes-Lagrangiennes concerne l’importance des termes de couplage entre particules. On considère pour cela un écoulement entre deux plaques parallèles (supposées infiniment larges selon la direction transverse), que l’on appelle couramment écoulement de canal. On se place dans le régime turbulent, avec une phase solide supposée déjà bien diluée (ce qui correspond au régime

ultime, supposé en équilibre, d’un lit fluidisé, et non pas à son initiation, comme précédemment). Il est assez bien connu que, dans une telle situation, la présence des particules a un effet non négligeable sur le champ de vitesse, puisque celui-ci peut alors être décomposé en deux contributions, l’une classique, correspondant à un champ corrélé en espace comme dans tout écoulement turbulent et l’autre, spécifique, non corrélée en espace et qui provient du mouvement aléatoire des particules au sein du fluide et des perturbations que le sillage de chacune génère localement. Comme il n’est bien-sûr pas possible de paramétrer l’effet individuel de chaque particule, il n’en est retenu que l’effet global qui est cette composante aléatoire sans corrélation spatiale du champ de vitesse au sein du fluide. Le but de l’étude est alors de quantifier la proportion de l’énergie cinétique totale du fluide qui est contenue dans la partie corrélée de l’écoulement, ce pour différents types de particules, et soit en considérant des collisions entre particules soit en ne les considérant pas dans le modèle utilisé pour décrire le cheminement des particules. Les chocs entre particules sont supposés ici parfaitement élastiques, de même que les chocs des particules avec les parois du canal (qui rebondissent alors parfaitement, sans perte d’énergie). Mais il existe bien-sûr d’autres façons de modéliser les chocs entre particules, avec des coefficients de restitution de l’énergie qui dépendent des propriétés des 2 particules (diamètre et densité) mais aussi des vitesses incidentes (à la fois en norme et en orientations relatives). L’étude présentée ici porte donc sur l’influence des particules,


7-42

Figure 7-15. Arrangements des particules solides (i) et lignes de connectivité (ii). Comparaison des prédictions obtenues par les modèles PGF (a) et FDB (b), pour différentes vitesses d’injection du fluide porteur. Les lignes de connectivité relient les centres des particules qui sont en contact. D’après Kafui et al. (2002).


7-43

Figure 7-16. Nombre de contacts entre particules solides. Comparaison des prédictions obtenues par les modèles PGF et FDB. D’après Kafui et al. (2002).

Figure 7-17. Fractions d’énergie cinétique de la turbulence contenues dans la partie corrélée du champ de vitesse. Comparaisons en négligeant (a) ou considérant (b) les collisions entre particules. +, St*=0.1625 ; Δ, St*=0.65 ; o, St*=2.60. y+(=yu*/νg) est la distance adimensionnalisée à la paroi du canal. D’après Vance et al. (2006).


7-44

en fonction de leurs caractéristiques, qui sont paramétrées en terme de nombre de Stokes St* adimensionné par la demi-hauteur δ du canal et la vitesse de frottement u* sur les parois du canal, sur le champ turbulent de vitesse au sein du fluide. Ainsi, pour St*=0.1625, les particules suivent parfaitement les fluctuations turbulentes de vitesse au sein du fluide alors que, au contraire, pour St*=2.60, les particules (à cause de leur taille ou de leur densité, ce qui est équivalent en terme de nombre de Stokes) sont pratiquement insensibles aux fluctuations turbulentes du champ de vitesse au sein du fluide. La figure 7-17 illustre l’importance de la prise en compte des forces d’interaction entre particules sur le pourcentage d’énergie cinétique turbulente contenu dans le champ corrélé de vitesse. Cette influence est d’autant plus marquée que les particules ont un nombre de Stokes élevé, c’est à dire qu’elles ont un mouvement propre qui est susceptible d’être différent de celui des filets fluides turbulents. Au contraire, pour des particules avec un très petit nombre de Stokes, qui suivent donc presque parfaitement les filets fluides, cette influence est beaucoup moins marquée puisque, de toutes façons, ces « petites particules » perturbent très peu le champ de vitesse par leur présence. Il est néanmoins très important de remarquer, pour des applications futures en lits fluidisés, que cet effet dépend de la distance à la paroi, et donc des propriétés locales du fluide turbulent.

Avec le développement important que connaissent maintenant les techniques de

mesure Lagrangiennes dans les écoulements de fluides, on peut s’attendre, d’ici à quelques années, à ce que des mesures puissent guider la mise au point de modèles d’interactions entre particules, par recoupement avec ces données issues de simulations numériques.

7.10 CONCLUSION

Ainsi que nous venons de le voir, les lits fluidisés constituent un domaine d’application particulièrement complexe de la mécanique des milieux multiphasiques. Si les premiers travaux en recherche et développement se sont surtout développés sur des bases empiriques à forte coloration expérimentale, il existe depuis quelques années des développements sur des bases plus fondamentales, qui bénéficient des acquis obtenus par la recherche de base menée sur les écoulements multiphasiques (voir chapitres 2 et 3). Les dernières avancées en matière de simulation numérique des écoulements turbulents permettent d’ailleurs, de ce point de vue, d’analyser de façon fine les différents processus d’interaction entre le fluide porteur et la phase constituée des particules solides, ainsi qu’entre les particules elles-mêmes. On peut donc conclure que, si l’on ne s’intéresse qu’à l’hydrodynamique des lits fluidisés, notre niveau de connaissances, et donc des modélisations physique et numérique qui en découlent, est maintenant presque équivalent à


7-45

celui pour les fluides monophasiques. Néanmoins, les couplages complexes avec les phénomènes de réactions chimiques et de transferts de chaleur en font un domaine où le recours à l’expérimentation sur des prototypes industriels est encore indispensable.

7.11 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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7-46

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7-48

7.12 NOTATIONS

Latines Dimensions

Ac Aire de la section droite du lit fluidisé [L] C Concentration en masse [ML-3]

CD Coefficient de traînée [sans] D Coefficient de diffusion moléculaire [L2T-1] d Diamètre [L] e Coefficient de restitution élastique [sans] f Fréquence [T-1] g Accélération de la pesanteur [L T-2] g0 Fonction de distribution radiale des particules [sans] h Coefficient de transfert de chaleur global [WL-2K-1]

KR Constante de réaction chimique [T-1]

k Constante globale de conversion d’un élément chimique (à l’intérieur de la cellule que constitue le lit fluidisé) [T-1]

k Demi-variance des fluctuations de vitesse (ou énergie cinétique de la turbulence) [L2T-2]

Lf Longueur de la cellule que constitue le lit fluidisé [L] P Pression [ML-1T-2]

ΔP Différence de pression entre 2 sections du lit fluidisé [ML-1T-2] q Taux de transfert de chaleur [WL-2] R Rayon hydraulique de la cellule que constitue le lit fluidisé [L] Re Nombre de Reynolds [sans] T Température absolue [K] U Vitesse moyenne selon l’axe longitudinal x [LT-1] ui Composante de vitesse selon la direction xi [LT-1] Grecques ε Taux de vide [sans]

<ε> Taux de dissipation de l’énergie cinétique de la turbulence [L2T-3] µ Viscosité dynamique [ML-1T-1] ν Viscosité cinématique [L2T-1] Θ Température granulaire (=(2/3)ks) [L2T-2] ρ Masse volumique [ML-3] τ Temps caractéristique [T]


7-49


7-50

Indices fr Régime de fluidisation rapide ft Régime de fluidisation turbulente

g Relatif à la phase du fluide porteur (qui est en général un gaz)

k Relatif à la phase k mb Minimum du régime de fluidisation bouillonnante mf Minimum de fluidisation mp Minimum du régime de fluidisation en pistonnage p Relatif à une particule s Relatif à la phase que constituent les particules solides

TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE VII

7 LITS FLUIDISES 7-1

7.1 OBJECTIFS DU CHAPITRE 7-3

7.2 CLASSIFICATION Des DIFERENTS REGIMES DE FLUIDISATION 7-3

7.3 VITESSES MINIMALES DE FLUIDISATION ET DE BULLAGE 7-9 7.3.1 RAPPELS SUR LES PERTES DE CHARGE EN MILIEU POREUX 7-9 7.3.2 Vitesse minimale de fluidisation 7-10 7.3.3 Vitesse minimale de BuLLaGE (OU DE FLUIDISATION BOUILLONNANTE) 7-11

7.4 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME DE fluidisation BoUiLLonnantE 7-11

7.5 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME de fluidisation rapide 7-14

7.6 MODELES PRATIQUES POUR LE REGIME de fluidisation TURBULENTE 7-16

7.7 MODELES PRATIQUES POUR LES TRANSFERTS THERMIQUES DANS LES LITS FLUIDISES 7-18

7.7.1 ReGime de FLUIDISATION BOUILLONNANTE 7-19 7.7.2 ReGime de FLUIDISATION RAPIDE – LITS CIRCULANTS 7-22

7.8 MODELES COMPLETS BASES sUR LES EQUATIONS DE BILAN DES MILIEUX DIPHASIQUES (approches Eulériennes) 7-25

7.8.1 ReGime de FLUIDISATION BOUILLONNANTE 7-26 7.8.2 ReGime de FLUIDISATION TURBULENTE 7-33

7.9 SIMULATIONS NUMERIQUES DIRECTES ET SIMULATIONS DES GRANDES ECHELLES (approches Eulériennes-Lagrangiennes) 7-39

7.10 CONCLUSION 7-45

7.11 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 7-46

7.12 NOTATIONS 7-49


7-I


7-II

FIGURES DU CHAPITRE VII FIGURE 7-1. REPRESENTATION DE LA VARIATION DE PRESSION ΔP DANS LE LIT EN FONCTION DE LA VITESSE DU GAZ FLUIDISANT....................................................................................................... 7-4 FIGURE 7-2. REGIMES DE FLUIDISATION................................................................................................. 7-5 FIGURE 7-3. CLASSIFICATION DE GELDART.......................................................................................... 7-7 FIGURE 7-4. TAUX DE DECOMPOSITION DE L’OZONE........................................................................ 7-14 FIGURE 7-5. TAUX DE DECOMPOSITION DE L’OZONE........................................................................ 7-18 FIGURE 7-6. TEMPS DE CONTACTS SOLIDES OBTENUS AVEC UN LIT DE PARTICULES DE VERRE DE DIAMETRE DP, SUR UN OBSTACLE VERTICAL.............................................................................. 7-20 FIGURE 7-7. PROPORTIONS DE CONTACTS SOLIDES OBTENUES AVEC UN LIT DE PARTICULES DE VERRE DE DIAMETRE DP, SUR UN OBSTACLE VERTICAL.......................................................... 7-21 FIGURE 7-8. COEFFICIENTS DE TRANSFERT DE CHALEUR. .............................................................. 7-21 FIGURE 7-9. ANALOGIE ELECTRIQUE UTILISEE POUR CALCULER LES TRANSFERTS THERMIQUES EN REGIME DE FLUIDISATION RAPIDE. ...................................................................... 7-23 FIGURE 7-10. COEFFICIENTS DE TRANSFERT DE CHALEUR. ............................................................ 7-25 FIGURE 7-11. DIAMETRE DES BULLES EN FONCTION DE LA HAUTEUR DU LIT FLUIDISE (EN REGIME BOUILLONNANT). ....................................................................................................................... 7-32 FIGURE 7-12. EPANOUISSEMENT EN FONCTION DU TEMPS D’UN JET D’AIR INJECTE DANS UN LIT DE PARTICULES SOLIDES. ................................................................................................................. 7-33 FIGURE 7-13. SPECTRE DES FLUCTUATIONS DE PRESSION A L’INTERIEUR DU LIT FLUIDISE (A ENVIRON MI-HAUTEUR DU LIT). ............................................................................................................. 7-38 FIGURE 7-14. DISTRIBUTION EN PROBABILITE DES FRACTIONS VOLUMIQUES OCCUPEES PAR LA PHASE DES PARTICULES SOLIDES A L’INTERIEUR DU LIT FLUIDISE (A ENVIRON MI-HAUTEUR DU LIT). ...................................................................................................................................... 7-39 FIGURE 7-15. ARRANGEMENTS DES PARTICULES SOLIDES (I) ET LIGNES DE CONNECTIVITE (II).7-43 FIGURE 7-16. NOMBRE DE CONTACTS ENTRE PARTICULES SOLIDES............................................ 7-44 FIGURE 7-17. FRACTIONS D’ENERGIE CINETIQUE DE LA TURBULENCE CONTENUES DANS LA PARTIE CORRELEE DU CHAMP DE VITESSE. ........................................................................................ 7-44 TABLES DU CHAPITRE VII TABLEAU 7-1 PRINCIPALES CARACTERISTIQUES DES DIFFERENTS REGIMES DE FLUIDISATION (D’APRES GRACE, 2000)................................................................................................................................ 7-8

Documents

7 LITS FLUIDISES - Mailliat Photographies Aérosolsalain.mailliat.free.fr/PolyPhasique/COURS/Chap7/Chapitre07-Nov2008.pdf · la perte de charge Δp entre l’entrée et la sortie