7 留数定理及其应用

7.1 留数

留数若点 a为函数 f嬨z嬩的解析点嬬存在邻域 |z−a| < R嬬 f嬨z嬩在邻域内解析嬮这时若在邻域内作圆C 嬺 |z−a| 嬽

r < R嬬 那么根据 孃孡孵季孨孹 定理 ∮C

f嬨z嬩孤z 嬽 嬰

若点 b 为函数 f嬨z嬩 的孤立奇点嬬 则函数在 嬰 < |z − b| < R 内解析嬮 这时若作圆 C 嬺 |z − a| 嬽 r < R嬬 由于围道内有奇点嬬 所以 ∮

C

f嬨z嬩孤z不一定为零

在 嬰 < |z − b| < R 的环域内 f嬨z嬩 有 孌孡孵孲孥孮孴 展开嬺

f嬨z嬩 嬽

∞∑−∞

an嬨z − b嬩n

an 嬽嬱

嬲π孩

∮|z−b|=r

f嬨z嬩

嬨z − b嬩n+1孤z

令 n 嬽 −嬱嬬 即得 ∮|z−b|=r

f嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩a−1

留数 若 b 为 f嬨z嬩 的孤立奇点. 定义函数 f嬨z嬩 在孤立奇点 b 的留留留数数数 等于 f嬨z嬩 在 b 的空心邻域内 Laurent展开式中 嬨z − b嬩−1 幂的系数 a−1, 记作 孲孥孳f嬨b嬩.

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 a−1 嬨嬱嬩

留数定理如果我们要计算一闭合围道积分

∮Cf嬨z嬩孤z嬮 假设闭合围道内部嬬 被积函数除有限几个孤立奇点 bk嬬

k 嬽 嬱, 嬲, ..., n 外解析嬮

γ1

γ2

γn

G

C0

根据复连通区域 孃孡孵季孨孹 定理嬬 作小圆 γ1嬬 γ2嬬 嬮嬮嬮嬬 γn 将每个奇点包围嬬 则∮C

f嬨z嬩孤z 嬽

n∑k=1

∮γk

f嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩

n∑k=1

孲孥孳f嬨bk嬩

Theorem 7.1 嬨留数定理嬩 设 C 为一简单闭合围道, G 为 C 的内区域, 若除 G 内有限个孤立奇点 bk,k 嬽 嬱, 嬲, ..., n 外, 函数在 G 内解析, 则 ∮

C

f嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩

n∑k=1

孲孥孳f嬨bk嬩 嬨嬲嬩

嬱

留数的计算求 f嬨z嬩 在奇点 b 处的留数嬬 就是要求 f嬨z嬩 在 z 嬽 b 点的 嬨不含 b 的嬩 邻域内 孌孡孵孲孥孮孴 展开中 嬨z − b嬩−1 项

的系数嬮若 b 为可去奇点嬬 则

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 a−1 嬽 嬰 嬨嬳嬩

所以嬬 留数定理应用时嬬 无需考虑可去奇点嬮若 b 为函数的极点

嬱嬮 一阶极点

嬲嬮 高阶极点

嬳嬮 本性奇点或高阶极点

留数的计算

嬱嬮 一阶极点

嬲嬮 高阶极点

嬳嬮 本性奇点或高阶极点

一阶极点在 b 点的某一空心邻域内

f嬨z嬩 嬽嬱

z − bφ嬨z嬩 嬨嬴嬩

φ嬨z嬩 在含中心 b 点的邻域内解析嬬 φ嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 作 孔孡孹孬孯孲 展开

φ嬨z嬩 嬽

∞∑n=0

αn嬨z − b嬩n

于是

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 α0 嬽 φ嬨b嬩

由连续性

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 孬孩孭z→b

嬨z − b嬩f嬨z嬩 嬨嬵嬩

特别常见的情况是

f嬨z嬩 嬽P 嬨z嬩

Q嬨z嬩嬨嬶嬩

P 嬨z嬩 和 Q嬨z嬩 在 b 点及其邻域内解析嬬 b 是 Q嬨z嬩 的一阶零点嬬 P 嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 则

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 孬孩孭z→b

嬨z − b嬩P 嬨z嬩Q嬨z嬩

嬽 P 嬨b嬩 · 孬孩孭z→b

z − bQ嬨z嬩

由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 P 嬨b嬩 · 嬱

Q′嬨b嬩嬽

P 嬨b嬩

Q′嬨b嬩嬨嬷嬩

嬲

Example 7.1 求嬱

z2 嬫 嬱在奇点处的留数.

Solution z 嬽 ±孩 是它的一阶极点嬬 且为分母 z2 嬫 嬱 的一阶零点嬮 所以

孲孥孳f嬨±孩嬩 嬽 嬱

嬲z

∣∣∣∣z=±i

嬽 ∓ 孩

嬲

Example 7.2 求孥iaz − 孥ibz

z2在奇点处的留数.

Solution z 嬽 嬰 是它的一阶极点嬬 但是分母的二阶零点 嬨分子的一阶零点嬩嬮 由一阶极点留数普遍公式嬨嬵嬩

孲孥孳f嬨嬰嬩 嬽 孬孩孭z→0

z孥iaz − 孥ibz

z2嬽 孬孩孭z→0

孥iaz − 孥ibz

z

由孬嬧孈孯孳孰孩孴孡孬法则

嬽孩a孥iaz − 孩b孥ibz

嬱

∣∣∣∣z=0

嬽 孩嬨a− b嬩

高阶极点设 z 嬽 b 是 f嬨z嬩 的m 阶极点

f嬨z嬩 嬽 嬨z − b嬩−mφ嬨z嬩φ嬨z嬩 在 b 的某个邻域内解析

φ嬨z嬩 嬽

∞∑n=0

αn嬨z − b嬩n

φ嬨b嬩 6嬽 嬰嬮 则

孲孥孳f嬨b嬩 嬽 αm−1 嬽嬱

嬨m− 嬱嬩嬡φ(m−1)嬨b嬩

将 b 换成极限 z → b

孲孥孳f嬨b嬩 嬽嬱

嬨m− 嬱嬩嬡孬孩孭z→b

孤m−1

孤zm−1孛嬨z − b嬩mf嬨z嬩孝 嬨嬸嬩

Example 7.3 求嬱

嬨z2 嬫 嬱嬩3在奇点处的留数.

Solution z 嬽 ±孩 是它的三阶极点嬬 m 嬽 嬳

孲孥孳f嬨±孩嬩 嬽 嬱

嬲嬡

孤2

孤z2

[嬨z ∓ i嬩3 嬱

嬨z2 嬫 嬱嬩3

]∣∣∣∣z=±i

嬽嬱

嬲嬡

孤2

孤z2嬱

嬨z ± 孩嬩3

∣∣∣∣z=±i

嬽嬱

嬲嬡嬨−嬳嬩嬨−嬴嬩嬨z ± 孩嬩−5|z=±i

嬽 ∓ 嬳

嬱嬶孩

嬳

本性奇点或高阶极点对于本性奇点时只能是求 孌孡孵孲孥孮孴 展开系数 a−1嬮对于高阶极点嬬 很多情况下求展开系数往往比用高阶极点的留数公式嬨嬸嬩 简单嬮 对于 m 阶极点即求

φ嬨z嬩 嬽 嬨z − b嬩mf嬨z嬩 的 孔孡孹孬孯孲 展开系数 αm−1嬮我们可用第嬵章介绍的各种求展开系数方法嬮

Example 7.4 函数

f嬨z嬩 嬽孥iz

z嬨z2 嬫 嬱嬩2

Solution 函数在 z 嬽 孩 有二阶极点嬮 这时

φ嬨z嬩 嬽 嬨z − 孩嬩2孥iz

z嬨z2 嬫 嬱嬩2嬽

孥iz

z嬨z 嬫 孩嬩2

要求m− 嬱 嬽 嬱 次项的系数 α1嬮 用待定系数法嬬 令 z − 孩 嬽 t

嬨t嬫 孩嬩嬨t嬫 嬲孩嬩2∞∑n=0

αntn 嬽 孥i(t+i) 嬽 孥−1

∞∑n=0

孩n

n嬡tn

即

嬨−嬴孩− 嬸t嬫 . . . 嬩

∞∑n=0

αntn 嬽 孥−1

∞∑n=0

孩n

n嬡tn

先比较两边 嬰 次项系数−嬴孩α0 嬽 孥−1

得 α0 嬽 i4e 嬮 再比较两边 嬱 次项系数

−嬴孩α1 − 嬸α0 嬽孩

孥

得 α1 嬽 − 34e 嬮 所以

孲孥孳f嬨孩嬩 嬽 − 嬳

嬴孥

Example 7.5 函数

f嬨z嬩 嬽嬱

z2 孳孩孮 z

Solution z 嬽 嬰 为函数的三阶奇点

φ嬨z嬩 嬽 z3 · 嬱

z2 孳孩孮 z嬽

z

孳孩孮 z

需要求 φ嬨z嬩 的 孔孡孹孬孯孲 展开的m− 嬱 嬽 嬲 次项系数 α2嬮 仍用待定系数法嬬 注意到 φ嬨z嬩 为偶函数

φ嬨z嬩 嬽

∞∑l=0

α2lz2l

∞∑k=0

嬨−嬱嬩k

嬨嬲k 嬫 嬱嬩嬡z2k+1

∞∑l=0

α2lz2l 嬽 z

即∞∑k=0

嬨−嬱嬩k

嬨嬲k 嬫 嬱嬩嬡z2k

∞∑l=0

α2lz2l 嬽 嬱

嬴

得

α0 嬽 嬱

−嬱

嬶嬫 α1 嬽 嬱 α1 嬽

嬱

嬶

所以

孲孥孳f嬨嬰嬩 嬽嬱

嬶

Note 这两例若用高阶极点留数定理, 则比较复杂.

7.2 有理三角函数的积分

考虑积分

I 嬽

∫ 2π

0

R嬨孳孩孮 θ, 季孯孳 θ嬩孤θ 嬨嬹嬩

其中 R 是 孳孩孮 θ嬬 季孯孳 θ 的有理函数嬮作变换

z 嬽 孥iθ

孳孩孮 θ 嬽孥iθ − 孥−iθ

嬲孩嬽z − 1

z

嬲孩嬽z2 − 嬱

嬲孩z

季孯孳 θ 嬽孥iθ 嬫 孥−iθ

嬲嬽z 嬫 1

z

嬲嬽z2 嬫 嬱

嬲z

孤θ 嬽孤z

孩z

积分路径变换为 z 平面上的单位圆 |z| 嬽 嬱嬮 于是

I 嬽

∮|z|=1

R

(z2 − 嬱

嬲孩z,z2 嬫 嬱

嬲z

)孤z

孩z

嬽 嬲π∑|z|<1

孲孥孳

{嬱

zR

(z2 − 嬱

嬲孩z,z2 嬫 嬱

嬲z

)}嬨嬱嬰嬩

Example 7.6 计算积分

I 嬽

∫ 2π

0

嬱

嬱 嬫 ε 季孯孳 θ孤θ − 嬱 < ε < 嬱

Solution 作变换 z 嬽 孥iθ

I 嬽

∮|z|=1

嬱

嬱 嬫 εz2 嬫 嬱

嬲z

孤z

孩z

嬽嬱

孩

∮|z|=1

嬲

εz2 嬫 嬲z 嬫 ε孤z

嬽 嬲π∑|z|<1

孲孥孳

{嬲

εz2 嬫 嬲z 嬫 ε

}

嬵

解方程εz2 嬫 嬲z 嬫 ε 嬽 嬰

可得被积函数两个一阶极点为

z1,2 嬽−嬱±

√嬱− ε2ε

其中 |z1| < 嬱嬬 |z2| > 嬱 嬨∵ z1 · z2 嬽 嬱嬩嬮 于是

I 嬽 嬲π孲孥孳

{嬲

εz2 嬫 嬲z 嬫 ε

}z=z1

嬽 嬲π嬲

嬲εz 嬫 嬲

∣∣∣∣z=z1

嬽嬲π√嬱− ε2

7.3 有理函数无穷积分

考虑积分

I 嬽

∫ +∞

−∞R嬨x嬩孤x 嬨嬱嬱嬩

R嬨x嬩 为有理函数嬮 无穷积分定义为 ∫ +∞

−∞f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭

R1→+∞R2→+∞

∫ R2

−R1

f嬨x嬩孤x 嬨嬱嬲嬩

对于有理函数 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩/Qm嬨x嬩嬬 只有当分母多项式 Qm嬨x嬩 次数比分子多项式 Pn嬨x嬩 次数至少大 嬲 时积分存在

m− n ≥ 嬲 嬨嬱嬳嬩

若积分存在嬬 则

I 嬽 孬孩孭R→+∞

∫ R

−RR嬨x嬩孤x 嬨嬱嬴嬩

计算∫ R−RR嬨x嬩孤x嬮 从复平面上看嬬 这是一个沿实轴的复变积分嬮 为了应用留数定理嬬 必须先构造适当的围道嬮

我们补上以原点为圆心嬬 R 为半径的上半圆 CR嬮

x

y

O−R 嬫R

CR

于是 ∮C

R嬨z嬩孤z 嬽

∫ R

−RR嬨x嬩孤x嬫

∫CR

R嬨z嬩孤z 嬨嬱嬵嬩

嬶

任何有理函数只有有限个的孤立奇点嬬 所以 R嬨z嬩 在上半平面只有有限个孤立奇点嬬 R 足够大时嬬 则围道包围上半平面所有的奇点嬬 由留数定理又有∮

C

R嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳R嬨z嬩 嬨嬱嬶嬩

对于无穷积分存在的有理函数 R嬨z嬩嬬 满足条件 嬨嬱嬳嬩嬬 分母多项式次数比分子多项式次数至少大 嬲嬬 则

孬孩孭z→∞

zR嬨z嬩 嬽 孬孩孭z→∞

zPn嬨z嬩

Qm嬨z嬩嬽 嬰 嬨嬱嬷嬩

由大圆弧定理

孬孩孭R→∞

∫CR

R嬨z嬩孤z 嬽 嬰 嬨嬱嬸嬩

于是 ∫ +∞

−∞R嬨x嬩孤x 嬽 嬲π孩

∑上半平面

孲孥孳R嬨z嬩 嬨嬱嬹嬩

Example 7.7 计算定积分

I 嬽

∫ ∞−∞

孤x

嬨嬱 嬫 x2嬩3

Solution 令

f嬨x嬩 嬽嬱

嬨嬱 嬫 x2嬩3

I 嬽 孬孩孭R→∞

∫ R

−Rf嬨x嬩孤x

考虑围道如图

x

y

O−R 嬫R

CR

孩

−孩

∮C

f嬨z嬩孤z 嬽

∫ R

−Rf嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z

嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳f嬨z嬩

奇点z 嬽 ±孩嬬 只有z 嬽 孩在上半平面

嬽 嬲π孩孲孥孳f嬨孩嬩

嬷

而前面已经计算过

孲孥孳f嬨孩嬩 嬽 − 嬳

嬱嬶孩

所以 ∫ R

−Rf嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽嬳

嬸π

因为

孬孩孭z→∞

z · 嬱

嬨嬱 嬫 z2嬩3嬽 嬰

由大圆弧定理

孬孩孭R→∞

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽 孩π · 嬰 嬽 嬰

于是 I 嬽 38π嬮

基本方法

嬱嬮 补上适当的积分路径从而形成闭合围道嬬 用留数定理计算围道积分嬮

嬲嬮 处理补充的路径上的复变积分嬺 或者可以直接计算出来嬮 或者与所要计算的无穷积分相关联嬮

Example 7.8 计算定积分

I 嬽

∫ ∞0

孤x

嬱 嬫 x4

常规解法 注意到

I 嬽嬱

嬲

∫ ∞−∞

孤x

嬱 嬫 x4

采用半圆形围道嬬 这时被积函数在围道内有两个奇点

z1,2 嬽 孥iπ4 , 孥

i3π4

需要计算两个奇点的留数嬮

另解 令

f嬨x嬩 嬽嬱

嬱 嬫 x4

采用围道嬺 沿正实轴 嬰→ R嬬 沿圆弧 CR 到达正虚轴嬬 再沿正虚轴由 孩R→ 嬰嬮

x

y

O−R 嬫R

CR

孥iπ/4孥3iπ/4

这样根据留数定理 ∮C

f嬨z嬩孤z 嬽

∫ R

0

f嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬫

∫ 0

R

f嬨孩y嬩孤嬨孩y嬩

因为f嬨孩y嬩 嬽 f嬨y嬩

嬸

所以得 ∮C

f嬨z嬩孤z 嬽 嬨嬱− 孩嬩

∫ R

0

f嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z

嬽 嬲π孩∑第一象限

孲孥孳f嬨z嬩

嬽 嬲π孩孲孥孳f嬨孥iπ4 嬩

而

孲孥孳f嬨孥iπ4 嬩 嬽

嬱

嬴z3

∣∣∣∣z=e

iπ4

嬽 −嬱 嬫 孩

嬴√嬲

又

孬孩孭z→∞

z · 嬱

嬱 嬫 z4嬽 嬰

故由大圆弧定理

孬孩孭R→∞

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽 嬰

最后可得 I 嬽√24 π嬮

7.4 含三角函数的无穷积分

考虑积分

I 嬽

∫ +∞

−∞R嬨x嬩孥ipx孤x p > 嬰 嬨嬲嬰嬩

R嬨x嬩 为有理函数嬮 积分的实部和虚部分别为

孒孥I 嬽

∫ +∞

−∞R嬨x嬩 季孯孳 px孤x 嬨嬲嬱嬩

孉孭I 嬽

∫ +∞

−∞R嬨x嬩 孳孩孮 px孤x 嬨嬲嬲嬩

当且仅当有理函数 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩/Qm嬨x嬩 的分母多项式 Qm嬨x嬩 次数比分子多项式 Pn嬨x嬩 的次数大 嬱 时

m− n ≥ 嬱 嬨嬲嬳嬩

无穷积分存在嬮对于积分 I 同样考虑围道积分∮

C

R嬨z嬩孥ipz孤z 嬽

∫ R

−RR嬨x嬩孥ipx孤x嬫

∫CR

R嬨z嬩孥ipz孤z

嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳{R嬨x嬩孥ipz}

Theorem 7.2 嬨孊孯孲孤孡孮引理嬩 设在 嬰 ≤ 孡孲孧 z ≤ π 的范围内, 当 |z| → ∞ 时, Q嬨z嬩 一致地趋近于 嬰, 则

孬孩孭R→∞

∫CR

Q嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 嬰 嬨嬲嬴嬩

其中 p > 嬰, CR 是以原点为圆心, R 为半径的上半圆.

嬹

Proof 当 z 在 CR 上时嬬 令 z 嬽 R孥iθ∣∣∣∣∫CR

Q嬨z嬩孥ipz孤z

∣∣∣∣ 嬽 ∣∣∣∣∫ π

0

Q嬨R孥iθ嬩孥ipR(cos θ+i sin θ)R孥iθ孩孤θ

∣∣∣∣≤∫ π

0

∣∣Q嬨R孥iθ嬩∣∣ 孥−pR sin θR孤θ

当 R 足够大时

< εR

∫ π

0

孥−pR sin θ孤θ

如图嬬 显然 ∫ π

0

孥−pR sin θ孤θ 嬽 嬲

∫ π/2

0

孥−pR sin θ孤θ

O θ

孳孩孮 θ

π/嬲

嬱

π

又由图嬬 容易看出当 嬰 ≤ θ ≤ π/嬲 时

孳孩孮 θ ≥ 嬲θ

π> 嬰

故 ∣∣∣∣∫CR

Q嬨z嬩孥ipz孤z

∣∣∣∣ < 嬲εR

∫ π/2

0

孥−pR·2θπ 孤θ

嬽 嬲εRπ

嬲pR嬨嬱− 孥−pR嬩

<επ

p

所以

孬孩孭R→∞

∫CR

Q嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 嬰

对于 R嬨z嬩嬬 满足条件 嬨嬲嬳嬩嬬 分母多项式比分子多项式的次数大 嬱嬬 则

孬孩孭z→∞

R嬨z嬩 嬽 孬孩孭z→∞

Pn嬨z嬩

Qm嬨z嬩嬽 嬰 嬨嬲嬵嬩

由 孊孯孲孤孡孮 引理

孬孩孭R→∞

∫CR

R嬨z嬩孥ipz孤z 嬽 嬰 嬨嬲嬶嬩

嬱嬰

于是 ∫ ∞−∞

R嬨z嬩孥ipx孤x 嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳{R嬨z嬩孥ipz} 嬨嬲嬷嬩

Example 7.9 计算积分

I 嬽

∫ ∞0

x 孳孩孮x

x2 嬫 a2孤x a > 嬰

Solution 令f嬨x嬩 嬽

x

x2 嬫 a2

因为被积函数 f嬨x嬩 孳孩孮x 为偶函数 ∫ ∞0

f嬨x嬩 孳孩孮x孤x 嬽嬱

嬲

∫ ∞−∞

f嬨x嬩 孳孩孮x孤x

嬽嬱

嬲孉孭

∫ ∞−∞

f嬨x嬩孥ix孤x

考虑围道积分 ∮C

f嬨z嬩孥iz孤z 嬽

∫ R

−Rf嬨x嬩孥ix孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孥iz孤z

嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳{f嬨z嬩孥iz}

易知嬬 z 嬽 孩a 为上半平面的唯一奇点嬬 且为一阶极点

孲孥孳

{z孥iz

z2 嬫 a2

}嬽z孥iz

嬲z

∣∣∣∣z=ia

嬽嬱

嬲孥−a

∴ ∫ R

−Rf嬨x嬩孥ix孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 π孩孥−a

∵孬孩孭z→∞

f嬨z嬩 嬽 嬰

由 孊孯孲孤孡孮 引理

孬孩孭R→∞

∫CR

f嬨z嬩孥iz孤z 嬽 嬰

于是 ∫ ∞−∞

f嬨x嬩孥ix孤x 嬽 π孩孥−a

于是

I 嬽嬱

嬲孉孭嬨π孩孥−a嬩 嬽

π

嬲孥−a

嬱嬱

7.5 实轴上有奇点的情形

设被积函数在实轴上有奇点嬬 则积分 ∫ ∞−∞

f嬨x嬩孤x

为瑕积分嬮 假设瑕点是 c嬬 瑕积分定义为∫ b

a

f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭δ1→0

∫ c−δ1

a

f嬨x嬩孤x嬫 孬孩孭δ2→0

∫ b

c+δ2

f嬨x嬩孤x 嬨嬲嬸嬩

如果这两个极限都不存在嬬 但是 孬孩孭δ→0

[∫ c−δ

a

f嬨x嬩孤x嬫

∫ b

c+δ

f嬨x嬩孤x

]存在嬬 定义瑕积分的主值为

孶.孰.

∫ b

a

f嬨x嬩孤x 嬽 孬孩孭δ→0

[∫ c−δ

a

f嬨x嬩孤x嬫

∫ b

c+δ

f嬨x嬩孤x

]嬨嬲嬹嬩

当然嬬 如果瑕积分存在嬬 则其主值也存在嬬 且它们一定相等嬮 所以嬬 我们考虑

I 嬽 孶.孰.

∫ ∞−∞

f嬨x嬩孤x

嬽 孬孩孭R→∞δ→0

[∫ c−δ

−Rf嬨x嬩孤x嬫

∫ R

c+δ

f嬨x嬩孤x

]嬨嬳嬰嬩

因为实轴上 c 点是被积函数的奇点嬬 必须绕开奇点来构成闭合的积分围道 嬨如图嬩嬮

−R c 嬫R

CR

c− δ c嬫 δ

Cδ

∫C

f嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩∑上半平面(不含实轴)

孲孥孳f嬨z嬩

嬽

∫ c−δ

−Rf嬨x嬩孤x嬫

∫Cδ

f嬨z嬩孤z

嬫

∫ R

c+δ

f嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬨嬳嬱嬩

对于大圆弧积分嬬 我们可用大圆弧定理或 孊孯孲孤孡孮 引理处理嬮 对于小圆弧 Cδ 的积分嬬 则需要用到小圆弧定理嬮

Example 7.10 计算积分 ∫ ∞−∞

孳孩孮x

x孤x

嬱嬲

Solution 很自然嬬 应当考虑积分

孶.孰.

∫ ∞−∞

孥ix

x孤x

注意嬬 x 嬽 嬰 为新积分的瑕点嬬 且为函数的一阶极点嬬 瑕积分不存在嬬 但积分主值存在嬮 令

f嬨z嬩 嬽孥iz

z

绕开 z 嬽 嬰 的一阶极点嬬 积分围道如图嬮

−R 嬫R

CR

−δ δ

Cδ

因为积分围道包围的区域内无奇点 ∮C

f嬨z嬩孤z

嬽

∫ −δ−R

f嬨x嬩孤x嬫

∫Cδ

f嬨z嬩孤z

嬫

∫ R

δ

f嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽 嬰

大圆弧积分嬬 由 孊孯孲孤孡孮 引理

孬孩孭z→∞

嬱

z嬽 嬰 ∴ 孬孩孭

R→∞

∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽 嬰

小圆弧积分嬬 由小圆弧定理

∵ 孬孩孭z→0

z · 孥iz

z嬽 嬱

∴ 孬孩孭δ→0

∫Cδ

f嬨z嬩孤z 嬽 孩嬨嬰− π嬩 嬽 −孩π

所以

孶.孰.

∫ ∞−∞

f嬨x嬩孤x− 孩π 嬽 嬰

孶.孰.

∫ ∞−∞

f嬨x嬩孤x 嬽 孩π

取虚部 ∫ ∞−∞

孳孩孮x

x孤x 嬽 π

我们看到嬬 在用留数定理计算定积分时嬬 往往不能简单地将围道积分的被积复变函数取成定积分的被积函数嬮 事实是嬬 如何选取适当的被积复变函数嬬 是留数定理求积分的一个难点嬮

嬱嬳

Example 7.11

I 嬽

∫ ∞0

x− 孳孩孮x

x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x

因为是偶函数嬬 所以

I 嬽嬱

嬲

∫ ∞−∞

x− 孳孩孮x

x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x

注意积分不能拆开成两个积分之和

嬿 嬽嬱

嬲

∫ ∞−∞

x

x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x− 嬱

嬲

∫ ∞−∞

孳孩孮x

x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x

拆开后两个积分 嬨即使是积分主值嬩 都不存在嬡 若选取被积复变函数为

f嬨z嬩 嬽z 嬫 孩孥iz

z3嬨嬱 嬫 z2嬩

这时似乎

I 嬽嬱

嬲孒孥

∫ ∞−∞

f嬨z嬩孤z

但上式右边积分 嬨包括主值嬩 也不存在嬡 1

Solution 取

f嬨z嬩 嬽z 嬫 孩嬨孥iz − 嬱嬩

z3嬨嬱 嬫 z2嬩

有

I 嬽嬱

嬲孒孥

[孶.孰.

∫ ∞−∞

f嬨z嬩孤z

]因为 z 嬽 嬰 为被积函数的一阶极点嬬 故上面的积分主值存在嬮 考虑积分围道如图

x

y

−R 嬫R

CR

−δ δ

Cδ

孩

−孩

∮C

f嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩∑上半平面

孲孥孳f嬨z嬩

嬽

∫ −δ−R

f嬨x嬩孤x嬫

∫Cδ

f嬨z嬩孤z

嬫

∫ R

δ

f嬨x嬩孤x嬫

∫CR

f嬨z嬩孤z

1因为 z = 0 是被积函数的三阶极点.

嬱嬴

f嬨z嬩 的奇点为 嬰嬬 ±孩嬮 上半平面 嬨不包括实轴嬩 仅有一个奇点 孩嬬 为一阶极点嬮 故

嬲π孩∑上半平面

孲孥孳f嬨z嬩 嬽 嬲π孩孲孥孳f嬨孩嬩

嬽 嬲π孩 · 孛z 嬫 孩嬨孥iz − 嬱嬩孝/z3

嬲z

∣∣∣∣z=i

嬽 −π孥

因为

孬孩孭z→0

zf嬨z嬩 嬽 孬孩孭z→0

z 嬫 孩嬨孥iz − 嬱嬩

z2嬨嬱 嬫 z2嬩

嬽 孬孩孭z→0

z 嬫 孩嬨孩z 嬫 (iz)2

2! 嬫 . . . 嬩

z2嬨嬱 嬫 z2嬩

嬽 − 孩

嬲

由小圆弧定理

孬孩孭δ→0

∫Cδ

f嬨z嬩孤z 嬽 −孩π嬨− 孩

嬲嬩 嬽 −π

嬲

而 ∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽

∫CR

z − 孩

z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬫

∫CR

孩孥iz

z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z

由大圆弧定理

孬孩孭z→∞

z · z − 孩

z3嬨嬱 嬫 z2嬩嬽 嬰 孬孩孭

R→∞

∫CR

z − 孩

z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬽 嬰

由 孊孯孲孤孡孮 引理

孬孩孭z→∞

孩

z3嬨嬱 嬫 z2嬩嬽 嬰 孬孩孭

R→∞

∫CR

孩孥iz

z3嬨嬱 嬫 z2嬩孤z 嬽 嬰

故 孬孩孭R→∞∫CR

f嬨z嬩孤z 嬽 嬰嬮 所以

孶.孰.

∫ ∞−∞

f嬨x嬩孤x 嬽 −π孥−(−π嬲

)嬽π

嬲− π

孥

最后得

I 嬽嬱

嬲

(π嬲− π

孥

)嬽π

嬲

(嬱

嬲− 嬱

孥

)

难点

选择适当的被积复变函数和积分路径嬮

• 处理补充的路径上的复变积分嬺 或者可以直接计算出来嬮 或者与所要计算的无穷积分相关联嬮

嬱嬵

7.6 多值函数的积分

一种常见的多值函数的积分是

I 嬽

∫ ∞0

xs−1R嬨x嬩孤x 嬨嬳嬲嬩

其中 s 为实数嬬 R嬨x嬩 为有理函数嬬 在正实轴上没有奇点嬮 不妨设 嬰 < s < 嬱嬬 则为了保证积分收敛嬬 要求嬺

嬱嬮 R嬨x嬩 嬽 Pn嬨x嬩/Qm嬨x嬩 的分母多项式次数比分子多项式次数至少大 嬱嬮

m− n ≥ 嬱 嬨嬳嬳嬩

嬲嬮 x 嬽 嬰不是 R嬨x嬩 的极点嬮

由于 zs−1 为多值函数嬬 作割线沿正实轴将复平面割开嬬 并规定沿割线上岸 孡孲孧 z 嬽 嬰嬮 积分路径由 嬨割开的嬩 大小圆弧及割线上下岸组成嬺 沿割线上岸 δ → R嬬 经大圆弧 CR 到达割线下岸嬬 沿割线下岸回来 R孥i2π → δ孥i2π嬬沿小圆弧 Cδ 绕过原点 O 形成闭合围道如图嬮

x

y

CR

Cδ

δ R

∮C

zs−1R嬨z嬩孤z 嬽

∫ R

δ

xs−1R嬨x嬩孤x嬫

∫CR

zs−1R嬨z嬩孤z

嬫

∫ δ

R

嬨x孥i2π嬩s−1R嬨x嬩孤x嬫

∫Cδ

zs−1R嬨z嬩孤z

由于有理函数 R嬨z嬩 只有有限的孤立奇点嬬 在取极限 δ → 嬰嬬 R→∞ 后嬬 围道包围所有奇点嬬 由留数定理∮C

zs−1R嬨z嬩孤z 嬽 嬲π孩∑全平面

孲孥孳{zs−1R嬨z嬩}

由积分收敛条件嬱嬬 应用大圆弧定理

孬孩孭z→∞

z · zs−1R嬨z嬩 嬽 嬰 孬孩孭R→∞

∫CR

zs−1R嬨z嬩孤z 嬽 嬰

由积分收敛条件嬲嬬 应用小圆弧定理

孬孩孭z→0

z · zs−1R嬨z嬩 嬽 嬰 孬孩孭δ→0

∫Cδ

zs−1R嬨z嬩孤z 嬽 嬰

所以 ∫ ∞0

xs−1R嬨x嬩孤x 嬽嬲π孩

嬱− 孥i2πs

∑全平面

孲孥孳{zs−1R嬨z嬩} 嬨嬳嬴嬩

嬱嬶

Example 7.12 计算积分 ∫ ∞0

xα−1

x嬫 嬱孤x 嬰 < α < 嬱

Solution 这里 R嬨x嬩 嬽 1x+1 嬮 重复以上过程嬡∫ ∞

0

xα−1

x嬫 嬱孤x 嬽

嬲π孩

嬱− 孥i2πα

∑全平面

孲孥孳

{zα−1

z 嬫 嬱

}z 嬽 −嬱 为唯一的奇点 嬨一阶极点嬩嬬 于是得∫ ∞

0

xα−1

x嬫 嬱孤x 嬽

嬲π孩

嬱− 孥i2παzα−1

嬱

∣∣∣∣z=eiπ

嬽嬲π孩孥iπα

孥i2πα − 嬱

嬽嬲π孩

孥iπα − 孥−iπα嬽

π

孳孩孮πα

Example 7.13 计算积分 ∫ ∞0

孬孮x

嬱 嬫 x嬫 x2孤x

Solution 考虑含参数的积分

I嬨s嬩 嬽

∫ ∞0

xs−1x

嬱 嬫 x嬫 x2孤x

重复以上过程嬡 得

I嬨s嬩 嬽嬲π孩

嬱− 孥i2πs

∑全平面

孲孥孳{zs−1R嬨z嬩}

其中 R嬨z嬩 嬽z

嬱 嬫 z 嬫 z2嬬 奇点

z1,2 嬽 孥i2π/3, 孥i4π/3

都是一阶极点嬮 计算留数值嬬 得

孲孥孳{zs−1R嬨z嬩}z=z1 嬽 − 孩√嬳孥i2πs/3

孲孥孳{zs−1R嬨z嬩}z=z2 嬽孩√嬳孥i4πs/3

于是

I嬨s嬩 嬽嬲π√嬳

孳孩孮 πs3

孳孩孮πs

当 s→ 嬰 时嬬 注意到 I嬨s嬩 为 s 的偶函数

I嬨s嬩 嬽嬲π√嬳嬨嬱

嬳嬫 嬰 · s嬫 . . . 嬩

对 s 求导2嬬 并令 s 嬽 嬰嬬 得 ∫ ∞0

孬孮x

嬱 嬫 x嬫 x2孤x 嬽 嬰

2由一致收敛性 (−1 < −A ≤ s ≤ B < 1). 0 和∞ 是积分的两个瑕点, 需分别处理...

嬱嬷

Problems

嬱嬮 求下列函数在指定点z0处的留数：

嬨嬱嬩嬱

z − 嬱孥學孰

(z2), z0 嬽 嬱嬻

嬨嬲嬩嬱

嬨z − 嬱嬩2孥學孰

(z2), z0 嬽 嬱嬻

嬨嬳嬩

(z

嬱− 季孯孳 z

)2

, z0 嬽 嬰嬻

嬨嬴嬩嬱

z2 孳孩孮 z, z0 嬽 嬰嬻

嬨嬵嬩孥z

嬨z2 − 嬱嬩2, z0 嬽 嬱嬻

嬨嬶嬩嬱

季孯孳孨√z, z0 嬽 −

(嬲n嬫 嬱

嬲π

)2

, n 嬽 嬰, 嬱, 嬲, · · · 嬮

嬲嬮 求下列函数在奇点处的留数：

嬨嬱嬩嬱

z3 − z5嬻

嬨嬲嬩嬱

嬨嬱 嬫 z2嬩m+1, m为正整数嬻

嬨嬳嬩z

嬱− 季孯孳 z嬻

嬨嬴嬩

√z

孳孩孮孨√z嬻

嬨嬵嬩 孥學孰

[嬱

嬲

(z − 嬱

z

)]嬻

嬨嬶嬩 季孯孳嬱√z嬻

嬨嬷嬩嬱

嬨z − 嬱嬩 孬孮 z嬻

嬨嬸嬩嬱

z

[嬱 嬫

嬱

z 嬫 嬱嬫

嬱

嬨z 嬫 嬱嬩2嬫 · · ·嬫 嬱

嬨z 嬫 嬱嬩n

]嬮

嬳嬮 求下列函数在∞点处的留数：

嬨嬱嬩嬱

z嬻

嬨嬲嬩季孯孳 z

z嬻

嬨嬳嬩z

季孯孳 z嬻

嬨嬴嬩 嬨z2 嬫 嬱嬩 孥z嬻

嬨嬵嬩 孥學孰

(− 嬱

z2

)嬻

嬨嬶嬩√嬨z − 嬱嬩嬨z − 嬲嬩嬮

嬴嬮 计算下列积分值：

嬱嬸

嬨嬱嬩

∮|z−1|=1

嬱

嬱 嬫 z4孤z嬻

嬨嬲嬩

∮|z−1|=2

嬱

嬱 嬫 z4孤z嬻

嬨嬳嬩

∮|z−1|=1

嬱

z2 − 嬱孳孩孮

πz

嬴孤z嬻

嬨嬴嬩

∮|z|=3

嬱

z2 − 嬱孳孩孮

πz

嬴孤z嬻

嬨嬵嬩

∮|z|=n

孴孡孮πz孤z, n为正整数嬻

嬨嬶嬩

∮|z|=2

嬱

z3嬨z10 − 嬲嬩孤z嬻

嬨嬷嬩

∮|z|=1

孥z

z3孤z嬻

嬨嬸嬩

∮|z|=R

z2

孥2πiz3 − 嬱孤z, n < R3 < n嬫 嬱, n为正整数．

嬵嬮 计算下列积分：

嬨嬱嬩

∫ 2π

0

季孯孳2nθ孤θ, n为正整数嬻

嬨嬲嬩

∫ 2π

0

孤x

嬨a嬫 b 季孯孳x嬩2, a > b > 嬰嬻

嬨嬳嬩

∫ π

0

孤θ

嬱 嬫 孳孩孮2θ嬻

嬨嬴嬩

∫ π

0

孤θ

嬨嬱 嬫 孳孩孮2θ嬩2嬮

嬶嬮 计算下列积分：

嬨嬱嬩

∫ ∞−∞

x2

嬱 嬫 x4孤x嬻

嬨嬲嬩

∫ ∞−∞

嬱

嬨嬱 嬫 x2嬩n+1孤x, n为正整数嬻

嬨嬳嬩

∫ ∞−∞

x2m

嬱 嬫 x2n孤x, n,m均为正整数，且n > m嬻

嬨嬴嬩

∫ ∞−∞

孤x

嬨嬱 嬫 x2嬩 季孯孳孨πx

嬲

嬮

嬷嬮 计算下列积分：

嬨嬱嬩

∫ ∞0

季孯孳x

嬱 嬫 x4孤x嬻

嬨嬲嬩

∫ ∞0

季孯孳x

嬨嬱 嬫 x2嬩3孤x嬻

嬨嬳嬩

∫ ∞−∞

x 孳孩孮x

x2 − 嬲x嬫 嬲孤x嬻

嬱嬹

嬨嬴嬩

∫ ∞0

孳孩孮嬨a嬫 嬲n嬩x− 孳孩孮 ax

嬨嬱 嬫 x2嬩 孳孩孮x孤x, a > −嬱, n为正整数嬮

嬸嬮 计算下列积分：

嬨嬱嬩 孶.孰.

∫ ∞−∞

孤x

x嬨x− 嬱嬩嬨x− 嬲嬩嬻

嬨嬲嬩

∫ ∞0

孳孩孮嬨x嬫 a嬩 孳孩孮嬨x− a嬩x2 − a2

孤x, a > 嬰嬻

嬨嬳嬩

∫ ∞0

x− 孳孩孮x

x3嬨嬱 嬫 x2嬩孤x嬻

嬨嬴嬩

∫ ∞−∞

孥px − 孥qx

嬱− 孥x孤x嬬 嬰 < p < 嬱, 嬰 < q < 嬱嬮

嬹嬮 计算下列积分：

嬨嬱嬩

∫ ∞0

xs−1

嬱− x孤x, 嬰 < s < 嬱嬻

嬨嬲嬩

∫ ∞0

xs

嬨嬱 嬫 x2嬩2孤x, −嬱 < s < 嬳嬻

嬨嬳嬩

∫ ∞0

xα−1 孬孮x

嬱 嬫 x孤x, 嬰 < α < 嬱嬻

嬨嬴嬩

∫ ∞0

孬孮x

嬨x嬫 a嬩嬨x嬫 b嬩孤x, b > a > 嬰嬮

嬲嬰