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7.1 LA REGOLAZIONE DEI DEFLUSSI 7.1.1 Introduzione La finalità principale della regolazione è quella di definire la capacità necessaria del serbatoio per consentire l’erogazione della risorsa da un corso d’acqua superficiale verso le utenze secondo un prefissato programma di erogazione. In termini più ampi, variando l’entità della erogazione, si tratta di determinare la cosiddetta curva di possibilità di erogazione che lega, appunto, la capacità del serbatoio con l’erogazione ammissibile. In linea di massima si può affermare che, anche con capacità di regolazione nulla (assenza di invaso), è possibile effettuare una derivazione ad acqua fluente dal corso d’acqua verso le utenze con la realizzazione di opere di derivazione (traverse) e di presa. L’idrologia della Sardegna, che vede i corsi d’acqua andare pressoché in secca nei periodi estivi, determina, tuttavia, la assoluta necessità che siano costruite opere di sbarramento (dighe). Queste importanti opere idrauliche determinano la formazione di un serbatoio artificiale (lago artificiale) con una adeguata capacità di invaso, necessaria per la regolazione dei deflussi. In questo corso valuteremo, appunto, la capacità necessaria per il serbatoio di regolazione realizzato con la costruzione della diga. Assumiamo come conosciuta la relazione che lega l’altezza d’invaso con il volume invasato (curva d’invaso). Per gli ulteriori elementi conoscitivi sugli invasi, si rimanda al corso di Opere di sbarramento. Fatti salvi eventuali trend programmati, utilizzati nella definizione dei fabbisogni dell’utenza (che ovviamente sono conseguenti a studi specificatamente sviluppati per la definizione dei fabbisogni dei quali si tratterà nel corso di Gestione delle Risorse Idriche), l’erogazione dal serbatoio presenta in genere delle ciclicità che possono, di norma, essere definite su base annua. Esempio classico è quello dell’utenza irrigua che presenta una marcata stagionalità con richieste concentrate nel periodo irriguo. In genere si definisce un “semestre irriguo” con richieste elevate, mentre le richieste sono pressoché nulle negli altri periodi. La richiesta di erogazione per le utenze, U(t) nel periodo (t =1,T), può pertanto essere definita attraverso l’espressione:

(7.1)

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dove il passo temporale t =1,T assume frequentemente valore pari ad un mese mentre l’orizzonte temporale T può estendersi per diverse decadi, se e’ necessario caratterizzare la regolazione considerando periodi critici estesi anche diversi anni (periodi di magra). Il vettore β(t) (t =1, τ), per quanto detto prima, è ciclico con periodo di ciclicità τ pari, usualmente, ad un anno. In questa situazione UA rappresenta il fabbisogno annuo ed è considerato costante . Nel caso di trend nell’andamento dei fabbisogni, si può definire un fabbisogno annuo variabile nel tempo UA(τ) (τ=1,T) con variabilità annua definita nell’orizzonte temporale esaminato. Dobbiamo considerare alcuni vincoli nell’impostare la regolazione: 1) Vincolo sulla risorsa disponibile - Rappresenta una limitazione superiore alla erogazione. E’ infatti ovvio che risulti:

(7.2) ossia che l’erogazione complessiva nell’arco temporale esaminato non sia superiore all’afflusso, A(t), t=1,T nello stesso periodo. Questo vincolo ci assicura che, nell’arco temporale dell’analisi T, stiamo sfruttando la sola risorsa disponibile. Normalmente si parla di regolazione completa (o totale) quando la risorsa viene sfruttata completamente e nella (7.2) risulta valido il segno di uguaglianza. In altre parole si può anche dire che l’erogazione media annua UA in tal caso e’ uguale all’afflusso medio annuo al serbatoio AA =

. In tale situazione “non una goccia del deflusso potrà proseguire verso valle e l’intera risorsa sarà completamente trasferita all’erogazione” . Questa ipotesi è ovviamente solo teorica in quanto esisteranno, comunque, perdite sul deflusso (es. evaporazione dal lago) e dovrà essere garantito il deflusso minimo vitale a valle dello sbarramento. Si parla invece di regolazione parziale quando nella (7.2) è valido il segno di disuguaglianza. In genere, infatti, non si superano livelli dell’ordine del 70-80% nel grado di sfruttamento della risorsa. Questo, oltre che per tener conto delle perdite e consentire rilasci verso l’alveo naturale a valle dello sbarramento, anche per cautelarsi nella eventualità di deficit determinati

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dall’entità reale della risorsa a seguito di periodi futuri più critici di quelli osservati ed utilizzati nella regolazione . 2) Vincolo di ripetitività - Altra condizione associata alla regolazione è quella che il serbatoio alla fine dell’orizzonte temporale considerato T si ritrovi nelle stesse condizioni di invaso iniziali, in modo da garantire la ripetitività della regolazione in intervalli temporali adiacenti:

€

V (0) =V (T) (7.3) Dove, ovviamente, con V(t) si indica il volume invasato nel generico periodo t e con V(0) il volume invasato all’inizio del periodo di regolazione. 7.1.2 L’equazione di continuità dell’invaso In sintesi, la funzione dell’invaso è quella di regolare le portate naturali trasferendo nel tempo volumi d’acqua resi disponibili dal deflusso superficiale, tramite un processo di accumulazione nell’invaso nei periodi ricchi di deflusso e di rilascio controllato verso le utenze in periodi successivi carenti di deflusso. Ci saranno quindi periodi t nei quali risulta A(t) > U(t), con aumento di volume invasato, e periodi nei quali A(t) < U(t), con diminuzione di volume invasato. Trascurando, in questa sede, i classici approcci di determinazione della capacità di invaso basati sulla costruzione grafica della curva cumulata dei deflussi (si veda in proposito le dispense del corso di Opere di sbarramento), illustreremo di seguito un metodo che si basa sulla utilizzazione ripetuta della equazione di continuità dell’invaso, facilmente implementabile su computer. Consideriamo, inoltre, la possibilità che oltre l’afflusso naturale A(t), possa arrivare al serbatoio anche il rilascio da altri invasi o il trasferimento da opere di derivazione (traverse) su bacini di gronda, che indichiamo con T(t). Consideriamo, inizialmente, anche le più importanti forme di perdita dall’invaso: 1) per evaporazione dallo specchio liquido dell’invaso, indicate

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con E(t); 2) per filtrazione attraverso il corpo e la fondazione dello sbarramento ed eventuali perdite per infiltrazione nel sito d’invaso, che complessivamente sono indicate con P(t); 3) si indicano, infine, con S(t) le perdite per lo sfioro dall’invaso che in genere avviene dalla parte superiore della diga ed è determinato dal superamento della massima altezza utile di regolazione. Questa forma di “perdita” ai fini della utilizzazione è quindi causata dalla impossibilità di invasare ulteriormente i volumi resi disponibili da deflussi abbondanti (ad esempio in occasioni di piene). L’equazione di continuità all’invaso si può scrivere:

€

V (t) =V (t −1) + A(t) + T(t) −U(t) − E(t) − P(t) − S(t) t =1, ...,T (7.4)

In prima ipotesi, è usuale assumere che l’invaso sia inizialmente pieno, ossia il volume iniziale pari alla capacità di invaso: V(0) = K . La valutazione della E(t) viene effettuata normalmente sulla base della conoscenza della relazione tra altezza di invaso, volume e superficie invasata (curva delle superfici e dei volumi di invaso). Questa relazione è ricavabile sulla base della conoscenza della morfometria del sito di invaso e consente di esprimere la superficie di invaso SI(t) in funzione del volume di invaso V(t) nel generico periodo t=1,T :

Dalla attribuzione al periodo t di un’altezza di evaporazione dallo specchio liquido e(t), in genere stimata sulla base delle caratteristiche medie climatiche della zona ed in particolare della temperatura nel periodo t, si può ottenere la valutazione del volume della perdita. In definitiva la perdita per evaporazione si può stimare:

(7.5)

Spesso la E(t) si fa dipendere unicamente dallo stato di invaso V(t), fissando la e(t) come vettore ciclico (con ciclicità annua) predefinito. Ugualmente, la valutazione della perdita P(t) può essere riportata ad una funzionalità nella sola V(t) ipotizzando che le perdite per filtrazione ed infiltrazione possano essere valutate sulla base del solo carico idraulico determinato dall’entità dell’invaso:

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(7.6) Al fine di semplificare la descrizione della metodologia per la determinazione della capacità K, nel seguito ipotizziamo di trascurare i termini E(t) e P(t), anche se la loro valutazione può essere riportata ad aliquote del volume invasato, come sopra illustrato. Indichiamo, inoltre, con Q(t) la somma degli input (deflussi naturali e trasferimenti) al serbatoio:

(7.7) e con R(t) gli output dal serbatoio (perdite ed erogazioni, comprensive sia dei prelievi per le utenze che di eventuali rilasci programmati in alveo, ad esempio per assicurare il deflusso minimo a valle degli sbarramenti):

(7.8)

L’equazione di continuità dell’invaso potrà quindi essere scritta in forma più sintetica come segue: V(t) – V(t-1) – Q(t) + R(t) + S(t) = 0 (7.4b) Questa forma sarà considerata nel seguito per quantificare l’entità della variazione del volume invasato. 7.1.3 La capacità d’invaso ottenuta come massimo svuotamento Indichiamo con k’(t) la variazione di invaso tra il periodo t e quello (t-1). In termini generali possiamo scrivere:

€

k'(t) =V (t) −V (t −1) = R(t) −Q(t) + S(T) t =1, ...,T (7.9) Il valore di k’(t) dipenderà dal fatto che in t sia avvenuto un input di acqua superiore o inferiore all’output e, nel caso che l’input sia superiore all’output, dal fatto che in condizioni antecedenti si fosse in condizioni di invaso pieno, o comunque tale da determinare lo sfioro S(t), ovvero di invaso che consente ulteriore conservazione di risorsa.

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Pertanto per tenere correttamente conto del fatto che l’invaso si può trovare in condizioni di sfioro, definiamo un’altra variabile k(t) che memorizza solo gli svuotamenti rispetto alla situazione di invaso pieno. Partendo dalle condizioni di invaso pieno, che implica k(0)=0, si ha:

€

k(t) =max 0 , (R(t) −Q(t))+ k(t −1)[ ]{ } t =1, ...,T (7.10) Nel caso in cui il valore [R(t)–Q(t)+k(t-1)] dovesse risultare negativo l’invaso si trova in condizioni di riempimento e si dovrà attivare lo sfioro S(t), in modulo uguale a tale valore. In questa situazione, la espressione (7.10) è formulata in modo da riportare k(t) al valore 0, corrispondente ad invaso pieno. In definitiva, in k(t) saranno memorizzati gli svuotamenti dell’invaso conseguenti agli input ed output che avvengono al trascorrere del tempo. Il massimo svuotamento determinato dalla sequenza sopra definita è uguale alla capacità K necessaria per effettuare la regolazione dei deflussi in t=1,T assicurando nel serbatoio la presenza di risorsa invasata per far fronte all’erogazione anche nel periodo di magra più critica nella serie osservata:

€

K =max k(t) , t =1, ...,T{ } (7.11) Questa espressione è corretta nel caso in cui si accetti di avere il serbatoio vuoto nel periodo critico t=t* nel quale è avvenuto il massimo svuotamento. Cautelativamente si può porre:

€

K =Vr + max k(t) , t =1, ...,T{ } (7.12) dove Vr indica un volume di riserva, comunque disponibile per assicurare il soddisfacimento di richieste prioritarie anche in periodi idrologicamente più critici rispetto a quelli considerati nella regolazione. La curva di possibilità di erogazione può essere valutata reiterando le (7.10), (7.11) ed eventualmente la (7.12) per diversi valori di erogazione programmata R(t).

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La determinazione di R(t) può essere fatta ipotizzando un valore di erogazione annua RA uguale ad un’aliquota α, compresa tra 0 ed 1, dell’afflusso medio annuo QA al serbatoio, comprensivo, ovviamente, sia dell’input idrologico dal bacino imbrifero, sia dei trasferimenti di risorsa in arrivo da altri invasi o opere di derivazione. Ad α =1 corrisponde la condizione di regolazione completa dei deflussi. Indicando con αi il valore che indica il grado di regolazione effettuato, le erogazioni nel mese t saranno:

(7.13) Pertanto, al variare di αi , dalle equazioni precedenti si può ricavare la capacità Kαi che, associata alla erogazione annua RAαi = αi QA , definisce la possibilità di erogazione dall’invaso. La curva di possibilità di erogazione riportata nella figura seguente mostra l’andamento della relazione RA = f(K) ottenuta facendo variare il grado di regolazione αi.

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7.2 LA LAMINAZIONE DELLE PIENE Esistono essenzialmente tre tipologie di opere per il controllo delle portate di piena al fine di proteggere le aree vallive a rischio di esondazione: 1. la realizzazione di invasi per la laminazione dell’onda di piena; 2. la possibilità di realizzare aree di esondazione controllata dell’onda di

piena (vasche di espansione); 3. la protezione tramite le opere di difesa delle sponde (arginature) e

regolarizzazione del tracciato del corso d’acqua. In questo corso ci occuperemo della prima tipologia di opere fornendo i principali elementi nell’ottica del loro utilizzo nell’ambito più generale della simulazione dei sistemi idrici quando siano da trattare anche gli eventi critici di piena. Le tecniche di comparazione tecnico-economica delle diverse tipologia di interventi è sviluppata nel corso di Gestione delle Risorse idriche. Per gli argomenti di cui al secondo e terzo punto si rimanda anche al corso di Sistemazione dei bacini idrografici. La presenza di un invaso lungo un corso d’acqua provoca una “laminazione” dell’idrogramma di piena che, in assenza di particolari manovre degli organi di scarico, determina una portata al colmo uscente dall’invaso di regola minore di quella entrante. Si ipotizza nota la curva dei volumi di invaso (v. paragrafo precedente) e le leggi di efflusso degli organi di scarico, sia di superficie (sfioratori) che sotto battente (scarichi di fondo e di mezzo-fondo). La determinazione dell’idrogramma laminato in uscita dall’invaso può essere determinato tramite una simulazione del processo di invaso che, a partire dalla conoscenza dell’idrogramma in ingresso e delle leggi di efflusso, è ancora fondamentalmente basata sulla applicazione dell’equazione di continuità all’invaso. E’ da osservare preliminarmente che le finalità di uso dell’invaso possono modificare sostanzialmente la sua modalità di gestione e questo si ripercuote sull’entità delle portate di piena rilasciate a valle. Se l’invaso è destinato unicamente alla laminazione delle piene, di norma esso è dotato di una luce libera in prossimità del fondo e di uno sfioratore superficiale. Inoltre l’invaso viene, di norma, lasciato vuoto in modo da massimizzare il suo effetto di laminazione. In questa situazione si determina un forte effetto di laminazione, almeno fino al punto in cui il pelo libero non raggiunge la quota degli sfioratori.

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Se l’invaso svolge anche funzione di regolazione dei deflussi ai fini delle utilizzazioni, oltre che al controllo delle piene, si possono avere risultati diversi al variare delle regole di gestione, dell’entità del volume riservato per la laminazione delle piene, oltre che dalle leggi di efflusso dalle luci di scarico dell’acqua. Inoltre, lo studio può essere effettuato partendo da serie storiche di idrogrammi registrati (eventi di piena osservati) o considerando idrogrammi sintetici (eventi di piena generati), in genere di forma pre-assegnata. Sulla generazione di idrogrammi sintetici si tornerà più avanti. In una prima fase di dimensionamento, in relazione alla finalità di definire il volume di laminazione K necessario a limitare la portata massima Qu rilasciata a valle dell’invaso, si può fare riferimento all’approccio già seguito nel paragrafo precedente sulla determinazione del volume di regolazione. In via semplificata, si ipotizza che gli organi di scarico possano rilasciare la portata massima Qu indipendentemente dal volume invasato nel serbatoio e si trascurano sia le perdite sia i volumi erogati verso le utenze (che in questo contesto sono di gran lunga inferiori alle portate di piena), ovvero si sommano nella Qu . Ovviamente, anche in questo caso, sarebbe comunque possibile definire una relazione Qu = f(V). Dopo aver discretizzato l’idrogramma storico o sintetico in T intervalli di tempo Δt , si determinano le portate in ingresso Qe(t) in ciascun elemento di discretizzazione t=(1, … T) ed il corrispondente volume in ingresso al serbatoio Qe(t)Δt. Rifacendoci a quanto già esaminato nel paragrafo precedente, possiamo affermare che il volume di laminazione K si può desumere dalla relazione:

(7.14) Si nota che, stavolta, la capacità è fornita dal massimo riempimento dell’invaso. Nella (7.14) i valori k(t) indicano i volumi invasati, necessari per la laminazione della piena al tempo t, garantendo una portata in uscita non superiore a Qu(t). Si nota ancora che nella espressione sono positivi i termini di input e negativi i termini di output.

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Nel caso in cui l’invaso sia già dimensionato, la fase di verifica del volume di laminazione richiede la ricostruzione dei deflussi uscenti (e la conseguente verifica della laminazione operata) che può essere fatta simulando il processo di laminazione mediante l’integrazione numerica delle equazioni di continuità e di efflusso:

(7.15)

Nell’ipotesi che l’unica portata uscente dall’invaso sia costituita dall’efflusso degli sfioratori si ha:

(7.16)

nella quale, ovviamente, h, µ ed L indicano, rispettivamente l’altezza del pelo libero sopra la soglia sfiorante, il coefficiente di efflusso e la larghezza della soglia sfiorante Nel caso vi fossero altri organi di scarico le relative portate uscenti saranno sommate in Qu. La variazione del carico h è ovviamente legata alla variazione del volume invasato V tramite la seguente espressione di carattere generale, che rappresenta la curva di invaso:

(7.17) Il processo di laminazione può essere simulato tramite integrazione per intervalli finiti Δt , iterando tra le equazioni (7.15), (7.16) e (7.17). Infatti, dalla conoscenza di h nello stato iniziale si può stimare un primo valore di Qu dalla equazione (7.16). Inserendo tale valore e la portata Qe in ingresso (valutata dall’idrogramma storico o generato) nella equazione (7.15) si ricava la variazione di volume invasato, che consente di rideterminare h dalla equazione (7.17) che, in genere, risulterà diverso da quello inizialmente ipotizzato. A questo punto si può reiterare la soluzione delle equazioni (7.16), (7.15) e (7.17), fino a riscontrare variazioni trascurabili nella determinazione di h e, conseguentemente, di Qu. Questo è un processo di semplice analisi per “simulazione” dell’invaso ed ovviamente si complicherebbe ulteriormente se si dovessero tenere presenti

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le possibilità di manovra che il gestore può effettuare su eventuali paratoie sugli stramazzi, la possibilità di operare scarichi da luci di alleggerimento sotto battente e di altre possibili operazioni sugli organi di controllo dell’invaso. In definitiva, la ricostruzione delle Qu al variare del tempo consente sulla base di un idrogramma in ingresso di riferimento, di stimare l’idrogramma in uscita delle portate laminate dal serbatoio di caratteristiche note. Modificando le caratteristiche degli organi di scarico, il volume riservato per la laminazione e le regole gestionali (il che modifica, ovviamente, i risultati dalle espressioni precedenti) questo approccio simulativo può essere utilizzato iterando fino ad ottenere volumi scaricati compatibili con le esigenze di controllo delle piene.

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APPENDICE: GENERAZIONE DEGLI IDROGRAMMI DI PIENA L’approccio che si propone è inserito in un contesto di modellazione complessiva dei sistemi di risorse idriche nel quale si voglia, tuttavia, tenere in considerazione anche la possibilità di laminazione delle piene operate dai serbatoi. Con riferimento ad un approccio per simulazione di sistemi di risorse idriche (che sarà analizzato in dettaglio nel corso di Gestione delle Risorse Idriche), la procedura di generazione dell’idrogramma di piena viene attivata quando la portata media mensile Qm supera valori di soglia prefissati. In queste condizioni il modello di simulazione “genera” un idrogramma per ciascuna sezione di interesse ed il passo della simulazione viene opportunamente ridotto in modo da consentire la simulazione dell’evento di piena con discretizzazione temporale adeguata. In questo contesto di simulazione non è in genere necessario una descrizione dettagliata dell’evento e può risultare conveniente ricorrere al tipo di modellazione utilizzata nell’ambito del SISS - Piano Regionale delle Acque, che sarà di seguito riportata. La metodologia adottata, peraltro utilizzabile con le necessarie varianti in altri contesti geografici, prevede vengano utilizzati due modelli, distinti ma interconnessi, atti a simulare il sistema con riferimento ai deflussi mensili ed agli eventi di piena, adottando per questi ultimi una rappresentazione schematica. L’approccio modellistico prevede di utilizzare esclusivamente i dati di deflusso, evitando di proposito il ricorso all’informazione pluviometrica, e si basa, conseguentemente sulla analisi delle interrelazioni tra deflussi mensili e principali caratteristiche del corrispondente evento di piena. In tal modo i primi (deflussi mensili) vengono ad assumere il ruolo di variabili di ingresso del modello che fornisce in uscita le grandezze caratteristiche dell’idrogramma. L’idrogramma di piena è schematizzato di forma triangolare, come risulta nella Figura 1, con grandezze caratteristiche rappresentate dalla portata di colmo Qc , dal tempo di concentrazione Tc , dal tempo di esaurimento Te e dal volume di piena Vp .

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Ovviamente solo tre di esse sono necessarie per la completa definizione dell’idrogramma. Non si entra qui nel merito della procedura che ha portato alla stima delle relazioni che saranno fornite di seguito. Le relative informazioni si possono trovare nei testi indicati in bibliografia. Lo schema di generazione prevede i seguenti passi: 1. Partendo dalla conoscenza della portata media Qm e, conseguentemente,

del deflusso mensile Vm (si considera noto sulla base dello studio idrologico, ad es. SISS) valutare anzitutto il volume di piena parziale V’p che ricade interamente all’interno del mese in esame,

2. Si assume quindi che la portata al colmo Qc possa essere determinata in base alla conoscenza del volume di piena complessivo Vp dell’evento, valutato a sua volta sulla base della conoscenza di V’p e della caratterizzazione della localizzazione temporale dell’evento, secondo una procedura iterativa illustrata più avanti.

3. Il tempo di concentrazione Tc e l’istante di colmo T0 vengono generati autonomamente sulla base delle caratteristiche del bacino (che qui vengono sinteticamente indicate col vettore S) e di una generazione random nella durata del mese.

4. Il tempo di esaurimento Te si desume di conseguenza una volta valutate le precedenti grandezze.

In forma sintetica le operazioni di cui sopra si possono riportare alle seguenti relazioni:

(1)

(2) (3)

(4) (5)

(6) Per adeguare la varianza di stima a quella osservata, nelle relazioni precedenti risulta necessario aggiungere delle componenti casuali ε in ciascun passo di generazione.

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Per la Sardegna le relazioni precedenti sono state specificate secondo un semplice modello regressivo lineare tra le trasformate logaritmiche delle variabili. La (1) e la (3) precedenti si possono scrivere:

(7) (8)

essendo, ovviamente, µm , µp , µ’p e µc le medie delle trasformate logaritmiche di Vm , Vp , V’p , e Qc , mentre bp e bc sono i coefficienti delle regressioni ed, infine, εp ed εc le relative componenti casuali da adottare in generazione. Esprimendo i volumi in m3 , le portate in m3s-1, ed utilizzando nelle (7) e (8) i logaritmi decimali, la conoscenza dei parametri locali di media e varianza di stima consente di operare le generazioni richieste per la definizione dell’idrogramma di piena. Per la valutazione del tempo di concentrazione dell’idrogramma si possono utilizzare le usuali formule del tempo di corrivazione per il bacino, ovvero la relazione multiregressiva data di seguito, con l’avvertenza che la stessa può essere utilizzata per bacini di superficie superiore a 100 km2 :

(9) nella quale Tc è espresso in ore, la superficie del bacino S in km2, l’altitudine media relativa alla sezione di chiusura del bacino H in metri, la pendenza media del bacino J in m/m, e εt indica una componente casuale da inserire nella generazione. La utilizzazione pratica della modellazione alle sezioni di interesse richiede la regionalizzazione delle espressioni (7) e (8). Nella tabella della Figura 2 sono riportati i valori dei parametri e le varianze residue delle regressioni regionalizzate per i versanti orientale ed occidentale dell’isola (secondo una ripartizione territoriale frequentemente utilizzata nella modellazione idrologica degli eventi estremi) e stagionalizzate a livello mensile nei periodi da Ottobre a Maggio. L’approccio seguito nel Piano Acque Regionale prevede infatti trascurabile la probabilità di piena nel periodo estivo.

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Ai fini della applicazione del modello regionalizzato alle sezioni di interesse, per le quali non si conoscono le stime locali dei parametri, i valori indice locali µ’p e µc devono essere preliminarmente stimati utilizzando espressioni che legano le medie delle trasformate logaritmiche delle grandezze di partenza. Queste relazioni si scrivono:

(10)

(11)

nelle quali i coefficienti b*p e b*

c assumono i valori dati nella tabella seguente:

BACINI OCCIDENTALI BACINI ORIENTALI MESI b*

p b*c b*

p b*c

Gennaio 0.952 0.883 1.010 0.497 Febbraio 0.983 0.966 1.103 0.786 Marzo 0.910 0.784 1.079 0.712 Aprile 0.931 0.828 1.126 0.881 Maggio 0.970 0.785 1.067 0.732 Ottobre 1.261 0.903 1.119 0.836 Novembre 1.151 0.709 1.113 0.727 Dicembre 1.056 0.958 1.054 0.672

I valori dei coefficienti regionalizzati di bp e di bc delle relazioni (7) e (8) sono invece dati nella seguente tabella:

BACINI OCCIDENTALI BACINI ORIENTALI MESI bp bc bp bc

Gennaio 1.031 0.947 1.083 1.160 Febbraio 1.088 0.904 1.348 1.156 Marzo 1.158 0.957 1.325 1.073 Aprile 1.142 0.959 1.022 1.117 Maggio 1.345 0.927 1.257 0.937 Ottobre 1.307 0.965 1.181 1.124 Novembre 0.954 0.989 1.148 1.030 Dicembre 0.983 1.004 1.122 1.117

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In sintesi la procedura consiste nel calcolare, per ciascun mese la media dei deflussi mensili nella sezione µm , utilizzando la (10) valutare µ’p , utilizzando la (11) valutare µc , con la (7) e (8) valutare il volume di piena e la portata al colmo nella prima ipotesi che tutta l’idrogramma sia contenuto nel mese in esame. Valutare quindi il tempo di concentrazione tramite la (9) o espressione alternativa, ricavare il tempo di esaurimento sulla base del congruenza con il volume di piena, generare infine il tempo di colmo entro il mese con un procedura random considerando una distribuzione rettangolare sulla durata complessiva del mese. Avendo posto in prima ipotesi Vp=V’p sarà ora possibile verificare se l’idrogramma sintetico ricade interamente nel mese e rivalutare conseguentemente V’p e reiterare, se necessario, la procedura fino alla convergenza. Per l’inserimento delle componenti casuali εp ed εc nel modello si considerano semplici modelli probabilistici normali caratterizzati da medie nulle e varianze pari alle varianze residue vp e vc date in tabella. Pertanto le componenti casuali nelle regressioni (7) e (8) sono modellate medianti le usuali espressioni:

(12)

essendo: • u=N(0,1) il frattile di una distribuzione Normale standard con media

nulla e varianza unitaria • , le deviazioni standard regionalizzate ricavabili, per

ciascun mese dalla tabella in Figura 2. Relativamente al modello di regressione (9) adottato per i tempi di concentrazione Tc , la generazione della componente casuale potrà essere effettuata in modo analogo con l’espressione:

(13) essendo anche qui u=N(0.1) , mentre la deviazione standard deriva dalla varianza regionalizzata di stima, pari a: .

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Figura 1: Schematizzazione triangolare dell’idrogramma di piena

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Figura 2: Parametri del modello di generazione regionale