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SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2013 - 2 734 - 1/4

Especialista: Frankie Gutiérrez Evaluadora: Florymar Robles

Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Matemática III (Cód. 734)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 610 - 612 - 613

Área de Matemática Fecha: 01 - 02 - 2 014

MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 Una persona contrae con una institución financiera, las siguientes

deudas: a. Un titulo con vencimiento a los 6 meses y un valor final de Bs 500000. b. Un préstamo de Bs 1000000 a una tasa del 10% que vence dentro de 9 meses.

La persona ofrece pagar, y así lo acepta la institución financiera, Bs 400000 a los 8 meses y el saldo 4 meses después de ese primer pago a una tasa de interés simple del 12%.

¿Cuál es el monto del pago que deberá realizar la persona para cancelar la totalidad de sus deudas? NOTA: Considere como fecha focal la correspondiente al último pago.

Elabore un diagrama de tiempo.

Solución:

Consideremos el diagrama de tiempo de la situación planteada:

Donde x representa el monto del pago que deberá realizar la persona 4 meses después del primer pago.

Como vamos a considerar como fecha focal la correspondiente al último pago, tenemos en virtud del diagrama que la ecuación de valores asociada con la situación planteada es:

6 9 3500.000 1+0,12 +1.000.000 1+0,1 1+0,12

12 12 12

=

4400.000 1+0,12 + x

12

Por lo tanto, luego de desarrollar y simplificar queda:

x = 1.221.250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Meses

1.075.000 500.000

400.000 x




Es de hacer notar que en el diagrama de tiempo las cantidades colocadas sobre el segmento de recta representan los valores finales de las deudas, es decir, los montos. Mientras que en la ecuación de valores propiamente dicha se aprecia el valor inicial de las deudas junto con el factor de capitalización. OBJ 2 PTA 2 ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa del 10% efectiva trimestral?

Solución:

Recordemos que dos tasas de interés son equivalentes cuando operando bajo modos de capitalización diferentes pero en periodos iguales producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto.

Lo expresado en el recuadro se traduce como sigue: un capital de C bolívares colocados durante 4 trimestres a una tasa de interés del 10% trimestral, produce el mismo monto M que colocado durante un año a una tasa efectiva e a determinar,

esto es:

C(1 + 0,1)4 = M = C(1 + e)

Luego de sustituir, simplificar y despejar resulta:

e = 46,41% efectiva anual

OBJ 2 PTA 3 Una deuda que se convino en cancelar con una cuota de Bs

8 000 000 dentro de dos años y dos cuotas iguales a x dentro de cuatro y cinco años, será cancelada con tres pagos iguales a las cuotas x en 1, 3 y 6 años respectivamente.

Si la tasa de interés utilizada en la transacción fue del 36% anual con capitalización semestral, ¿cuál es el valor de la deuda?

Solución:

Elaboremos el diagrama de tiempo.

Sea x el valor de cada uno de los pagos a realizar.

Escojamos como fecha focal la correspondiente al 3e año.

Luego, en virtud del diagrama tenemos:

8 000 000

20,36

1+2

x

-20,36

1+2

x

-40,36

1+2

=

x x

40,36

1+2

x

-60,36

1+2

8 000 000(1,18)2 x(1,18)– 2 x(1,18)– 4 = x x(1,18)4 x(1,18)– 6

x

x x

x

x

6 5 4 3 2 1

Años

0

8 000 000




11 139 200 (0,72)x (0,52)x = x (1,94)x (0,37)x

2,07x = 11 139 200 x = 5 381 256,039.

Nótese que la tasa dada es capitalizable semestralmente y el tiempo está en años, por lo que llevamos el tiempo a semestres. También se pudo haber hallado la tasa efectiva (tasa de interés anualizada) pero el procedimiento habría sido algo tedioso y el resultado el mismo, así que nos inclinamos por la opción mas práctica.

OBJ 3 PTA 4 Un padre desea empezar a ahorrar para hacer un viaje junto con su hijo a los Estados Unidos. Planea realizarlo dentro de un año, y quiere reunir Bs 18 000 000 para cancelar el pasaje aéreo. Si se efectúan 4 depósitos trimestrales en una cuenta que genera intereses a una tasa de 12% anual capitalizable trimestralmente, ¿de cuánto deberá ser cada uno de los depósitos? y ¿cuánto se recibirá por concepto de intereses?

NOTA: Utilice en sus cuentas cuatro cifras decimales exactas.

Solución:

Estamos en el caso de una renta inmediata, de esta renta conocemos el monto M = 18 000 000 bolívares, el número de periodos n = 4 trimestres, y la tasa de interés i = 12% anual capitalizable trimestralmente. Lo que estamos interesados en conocer es el valor T de cada uno de los depósitos trimestrales.

Para el cálculo usaremos la expresión:

nn

n i

1 + i - 1u - 1M = TS = T = T

i i,

y no A = n i

Ta porque lo que conocemos es el monto y NO el valor actual.

Por lo tanto,

41 + 0,03 - 1 0,1255

18 000 000 = T = T = T 4,18360,03 0,03

Luego, cada uno de los depósitos ascenderá será de:

T 4 302 823, 1301 bolívares

Puesto que, se efectúan 4 depósitos de Bs 4 302 823,1301 cada uno, el total de ellos será de Bs 17 211 292,5202. Como estos depósitos y los intereses ascienden a Bs 18 000 000, se ganarán intereses por

18 000 000 - 17 211 292,5202 = 788 707,4798 bolívares




OBJ 4 PTA 5 El señor Gottas Kenal solicita un crédito por valor de Bs 50 000 para

ser cancelado en seis meses, la forma de pago será mensual con una tasa de interés del 36% anual convertible mensualmente. Se pide elaborar la tabla de amortización.

Solución:

Este problema es muy parecido al del OBJ 3 PTA 4, en ambos hay que calcular el valor T de las cuotas, en la anterior las cuotas eran trimestrales y en éste

mensuales, sin embargo a pesar de las similitudes hay una diferencia, la cual está en el hecho de que mientras en el OBJ 3 PTA 4 se nos dan el monto M, en éste nos dan el valor actual A.

Para el cálculo de A, emplearemos la fórmula:

- n- n

n i

1- 1 + i 1- uA = Ta = T = T

i i

Sustituyendo A, i y n por sus valores:

- 6

6 0,03

1- 1 + 0,03 0,162550 000 = Ta = T = T = T 5,4167

0,03 0,03

Despejando T nos queda:

T = 9 230,7124.

La tabla de amortización

Periodo Cuota Interés Amortización Total amortización Saldo deudor

0

50000

1 9230,7124 1500 7730,7124 7730,7124 42269,2876

2 9230,7124 1268,0786 7962,6338 15693,3462 34306,6538

3 9230,7124 1029,1996 8201,5128 23894,8590 26105,1410

4 9230,7124 783,1542 8447,5582 32342,4171 17657,5829

5 9230,7124 529,7275 8700,9849 41043,4020 8956,5980

6 9230,7124 268,6979 8962,0145 50005,4165 -5,4165

FIN DEL MODELO

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