75 - predavanje 4 - SK 1.ppt

7/25/2019 75 - predavanje 4 - SK 1.ppt

1/28

UNIVERZITET CRNE GOREUNIVERZITET CRNE GOREGRAEVINSKI FAKULTETGRAEVINSKI FAKULTET

STATIKA KONSTRUKCIJA 1STATIKA KONSTRUKCIJA 1

k.god.k.god. 20201111/20/201212


2/28

0PcosCsinTcosN ixioiikikikik =++

0PsinCcosTsinN iyioiikikikik =+++

0MCM iuiikik =++

( ) ( ) ( ) ( )ikir

ir

iriririr

ik

ikikikik

l

sinuucosvv

l

sinuucosvv

=

( ) ( )

ik

ikikikikikui

l

sinuucosvvc

+=uicosi + visin i = coi


3/28

( )

( )

=

+=

=

k

i

ik

k

i

Tik

ik

ki

k

i

Tik

ik

ik

dxL

dxLL1

dxLL

1

h

t

EI

M

tEF

N

t

t

+=

+=

GF

kTt =

Mogue ravnoteno stanje nosaa optereenog raspodijeljenim silama px i p

y,

koncentrisanim silama Pi i koncentrisanim momentima M

ije svaki sistem reakcija C

oii

Cui i sila u presjecima N, T, M koje zadovoljavaju uslove ravnotee elemenata svi

!tapova i uslove ravnotee svi vorova"

Mogue ravnoteno stanje de#ormacije nosaa je svaki sistem jednaina ,

,

T,

pomjeranja coi i o$rtanja c

uikome saglasno jednainama i odgovaraju de#ormacijske

veliine !tapova lik i

ik, tako da postoje o$rtanja i pomjeranja u i v koja

zadovoljavaju sve uslove kompati$ilnosti pomjeranja vorova"


4/28

Vez !og"#$% &'(o)e*($% +)(, $ !og"#$% +)(, de-o&!$,e &$($ '$&)"($%

o!,e&(, $ &$($ '$&)"($% +$

Mogue ravnoteno stanje

Mogue stanje deformacija

M~

,V~

,H~

,C~

,C~

M~

,P~

,~,~

uioi

iiyx

~~

,v

~~,u

~~,c

~~,c

~~

,~~,

~~,~~

uioi

T

( )Ty

x

~~~~!0dxV~

dyH~

M~

d

v~~!0dx~V

~d

u~~!0dy~H

~d

=+

=+

=+


5/28

( )[ ] [ ] ( ) +=k

i

T

k

i

k

i

T dy~~dy

~~u~~dH

~H~

u~~dy

~~~~H~

H~

du~~

( )[ ] [ ] ( ) =+k

i

T

k

i

k

i

T dx~~dx

~~v~~dV

~V~

v~~dx

~~~~V~

V~

dv~~

( )[ ] ( )[ ] ( ) +=

k

i T

k

iT

k

i T

~~~~dM~

M~~~~~M

~d

~~~~

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ++= ++++ k

iT

k

iyx

k

iT dsdxV

~dyH

~~~dyV~

dxH~~~~~M

~dxv

~~~dyu~~~V

~v~~H

~u~~M

~~~~~

( )[ ] [ ( ) ] ( ) ( ) 0dxv~

~~dyu

~

~~M~

d

~

~

~

~dx

~

~#

~

~V~

V~

dv

~

~dy

~

~

~

~H~

H~

du

~

~

k

i

yx

k

i

T

k

i

T

k

i

T =++++


6/28

( )[ ] ( ) [ ] ++=++++k

i

T

s

k

i

yx

s

k

iT

s

dsT~~~N

~~~~~M~

dxv~~~dyu

~~~V~

v~~H

~u~~M

~~~~~

=s

k

is

( )[ ] ( ) +++=++i

uiui

i

oioi

i iiTiii

k

iT

s

c~~C~c~~C~~~~~M~s~~P~V~v~~H~u~~M~~~~~

( ) ( ) [ ] ++=+++++s

T

i

uiui

i

oioi

iiTi

i

ii

k

i

yx

s

dsT~~~N

~~~~~M~

c~~C

~c~~C

~~~~~M~

s~~P

~dxv~~~dyu

~~~


7/28

Rad aktivnih i reaktivnih spoljanjih sila:

( ) ( ) +++=

iiTi

iii

syx

~~~~M~

s~~P

~dyv

~~~dxu~~~s

~~P~

+=i

uiui

i

oioi c~~C

~c~~C

~c

~~C~

[ ] ++=+ sT dsT

~~~

N

~~~~~

M

~

c

~~

C

~

s

~~

P

~

[ ] ++=+s

TdsTNMcCsP

&$($ '$&)"($% o!,e&(,

&$($ '$&)"($% +$

[ ] ++=+s

TdsTNMcCsP


8/28

Kruta tijela

0cCsP =+

0cCsP =+


9/28

. 3IJAGRA4I UTICAJA I UTICAJNE LINIJE

.1. U)$,$ " (o+5$!. S)(o $ ok&e)(o o)e&e#e(,e

Reakcije oslonaca, reaktivni momenti, sile u presjecima

ticaji u nosa!ima

"omjeranja i o#rtanja popre!nih presjekanosa!a

$adatak odre%ivanja uticaja u nosa!ima odre%en je sistemom linearnih diferencijalnih jedna!ina i

stoga vai princip superpo&icije uticaja'1. 6&e! (5$(" ((oe(, spoljanje ili aktivne sile dijelimo na:( raspodijeljene sile, raspodijeljene momente( koncentrisane sile, koncentrisani momenti

2. 6&e! (5$(" &e(oe(, o)e&e#e(, na nosa! ra&likujemo:

( neposredno optereenje )nosa! prima optereenje po cijeloj duini, u svim ta!kama ose*( posredno optreenje )prenosi se optereenje u odre%enim ta!kama*

popre!ni nosa!

!vorovi nosa!a glavni poduni nosa!

sekundarni poduni nosa!


10/28

7. 6&e! '&e!e(" )&,(, optereenje dijelimo na:( stalno optereenje sopstvena teina glavnih podunih nosa!a i svih

djelova konstrukcije koji se preko njega prenose'( povremeno optereenje( snijeg, vetar, ljudska navala, usladiteni

materijal, vo&ila, i sl'"ovremeno optereenje koje mijenja svoj poloaj na nosa!u na&iva se "KR-./

".-R-0-/1-' Ra&likujemo:( jednako podijeljeno pokretno optereenje( sistem pokretnih koncentrisanih sila


11/28

.2. Ek+)&e!(e '&$,ed(o+)$ ")$,

2rijednosti uticaja u nosa!ima, koje i&a&ivaju stalna i povremena optereenja, &avise samo odinten&iteta optereenja' 2rijednosti uticaja od pokretnog optereenja &avisi ne samo odinten&iteta uticaja ve i od njegovog "34515 na nosa!u'"oloaj optereenja pri kome uticaj na posmatranom mjestu nosa!a ima ekstremnu vrijednost

je opasan ili mjerodavan poloaj.$na!i da se opasan poloaj mijenja sa promjenom poloajapresjeka u kome traimo uticaj, kao i sa promjenom vrste traenog uticaja'

Maksimalne i minimalne vrijednosti nekog uticaja usljed pokretnog optereenja prika&ujemodijagramima ekstremnih vrijednosti uticaja'6&me%u dijagrama uticaja i dijagrama ekstremnih uticaja postoji sutinska ra&lika' rdinatedijagrama uticaja poka&uju vrijednosti uticaja u svim presjecima &a jedan jedini poloajoptereenja' rdinate dijagrama ekstremnih vrijednosti uticaja poka&uju promjenu u svimpopre!nim presjecima pri !emu svakoj ordinati popravilu odgovara novi poloaj optereenja'

/ajvei od ekstremnih uticaja u pojedinim popre!nim presjecima, odnosno #rojno najvei uticaju nosa!u na&ivamo apsolutni maksimum ili apsolutni minimum tog uticaja' 7esto je &adimen&ionisanje nosa!a potre#no da se odredi samo apsolutni maksimum ili minimumpojedinih uticaja'


12/28

8rafi!ki prika& uticajne funkcije je ")$,( $($,&a uticaj $ u presjeku 9skoja ima ordinate koje se

nanose na mjesto dejstva sile, odnosno, u presjeku sa apcisom u'

ticajne linije su krive ili prave linije, njihov o#lik &avisi od vrste nosa!a, vrste uticaja u nosa!u kao i

na!ina prenoenja optereenja na nosa!, posrednog ili neposrednog'


13/28

.. R5"((,e '&$,ed(o+)$ ")$, $z ")$,(e $($,e..1. S$+)e! ko(e()&$+($% +$

/a osnovu principa superpo&icije uticaja $s, u presjeku sa apcisom 9s, usljed dejstva sistema

koncentrisanih sila ", ";, ''',"n, u presjecima sa apcisama u, u;, ''', unodre%ena je i&ra&om:


14/28

Kada se stati!ki moment sila ", ";, ''',"n &amijeni sa stati!kim momentom re&ultante R u

odnosu na istu ta!ku do#ija se:

8dje je sa R o#eljeena re&ultanta sila

2rijednost traenog uticaja odre%ujemo proi&vodom re&ultante i ordinate uticajnelinije'ispod re&ultante:

)>*

( ) ( )oR

n

m

omm uuRuuP =

=1

=

=n

m

mPR

1

( ) ( )'so's x,x'%t&uu'% ==

..2. R+od$,e,e(o o)e&e#e(,e

5ko uvedemo pojam elementarne koncentrisanesile p)u*du, primjenom i&ra&a );* do#ijamo:

)?* ( ) ( )=

(

1

u

u

ss duu,x%u%


15/28

'

Kada je optereenje jednako podijeljeno inten&itetap)u*=p=const:

)@*( ) Fduu,x%%

(

1

u

u

ss ==

Kada je optereeni dio uticajne povri ograni!en pravom linijom koja apcisnu osu sje!e uta!ki A )slika ?'*, tada se ordinate uticajne linije mogu sra!unati i&ra&om:

( ) ( ) t&uuu,x% oss =

( )( ) =(

1

u

u

os duuuut&%

6ntegral na desnoj starni predstavlja stati!ki moment elementarnih sila p)u*du u odnosu napresjek sa apcisom uo, i moemo ga odrediti pomou stati!kog momenta re&ultante R)uR(uo*uodnosu na isti presjek:

8dje je sa B o&na!ena uticajna povrina ispod optereenja' 5ko uticajna povrina na tom dijelumijenja &nak tada povrinu tre#a u&eti u alge#arskom smislu: B=B++B( )slika >'*'


16/28

$)9s, uR*( ordinata uticajne linije ispod re&ultante, odnosno,

ispod teita dijagrama optereenja

( ) ( )'so's u,)'%t&uu'% ==

( )=(

1

u

u

duu'


17/28

..7. Ko(e()&$+($ !o!e()

5ko koncentrisani momenat u presjeku u &amijenimo ekvivalentnim spregom sila " kojedjeluju na ra&maku u tako da vai i&ra& M="u )slika C'*, tada moemo napisati:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u

u,x%Mu,x%Pu,x%u,x%u,x%P sssss

==+

Kada ra&mak uA, tada:

)D*

$E)9s,u* i&vod uticajne funkcije po promjenljivoj u

( )( ) Mt&u,x%M

u

u,x%

li$M%

s

s

0us

==

=


18/28

.8. Od&e9$'(,e !,e&od'(og oo*, $ &o&5"( ek+)&e!($% '&$,ed(o+)$")$,

.8.1. Jed(ko od$,e,e(o ok&e)(o o)e&e#e(,e1ednako podijeljeno pokretno optereenje moe da #ude:( proi&voljne duine rasprostiranja, moe se prekidati na proi&voljnom mjestu( odre%ene duine rasprostiranja koja se ne moe prekidati

veemo pojam razdjelniceuticajne linije' .o su ta!ke koje dijele po&itivne i negativne djeloveuticajne linije( take u kojima uticajna linija mijenja &nak'

Kada je podijeljeno pokretno optereenje proi&voljne duine a uticajna linija ima vie ra&djelnica)slika D'*, tada se mjerodavan poloaj odre%uje postavljanjem optereenja i&nad onih djelovauticajnih povri koje imaju isti &nak' 5ko ra&djelnice o#iljeimo sa m=A,,;,''',n, a uticajnu povrm( tog polja sa Bm, tada su ekstremne vrijednosti uticaja odre%ene i&ra&ima:

)F*

( )

+

=

=

=

F%

F%

duu,x%F

,s$in

,s$*x

$

1$

s$


19/28


20/28

Kada je jednako podijeljeno pokretno optereenje odre%ene duine i to takve duine koja jemanja od ra&maka susjednih nultih ta!aka uticajne linije, slika F', mjerodavan poloajodrediemo na sljedei na!in' 5ko je poloaj optereenja dat na slici mjerodavan poloaj,odnosno, ako &a taj poloaj $s=p B ima ekstremnu vrijednost, pri pomjeranju optereenja ulijevo ili desno &a veli!inu u prirataj uticaja $smora da #ude jednak nuli, to &na!i da:

$s=p u G$)9s, u;*( $)9s, u*H=A6& koje slijedi kriterijum &a mjerodavan poloaj:

$)9s,u;*=$)9s,u* );A*


21/28

Kada je jednako podijeljeno pokretno optereenje konane duine u opasnom poloaju mora da

bude ispunjen uslov jednakosti ordinata uticajne linije na krajevima optereenja.

Mogue je da postoji vei #roj poloaja koji &adovoljavaju ovaj uslov ' takvim slu!ajevimaekstremnu vrijednost uticaja nala&imo upore%enjem vrijednosti uticaja &a sve poloaje pokretnogoptereenja koji &adovoljavaju uslov );A*'Kada se pokretno optereenje sastoji od ni&a jednako podijeljenih optereenja proi&voljnihinten&iteta a kona!nih duina na ra&macima koji se tokom vremena ne mijenjaju, slika A',mjerodavan poloaj do#ijamo u o#liku:


22/28

.8.2. 6ok&e)( +$+)e! 'ez($% ko(e()&$+($% +$

Mjerodavan poloaj pokretnog sistema ve&anih koncentrisanih sila je neto tee odrediti' Kada jeuticajna linija kriva linija ili poligon sa vie strana, tada ekstremne vrijednosti odre%ujemo

pro#anjem'


23/28


24/28

kada je uticajna linija kriva linija, neprekidna funkcija, a kada je uticajna linija poligonalnogo#lika, i&vod funkcije se mijenja u skokovima'

5ko je dat poloaj a*, slika ;', &a dati sistem pokretnih sila ",'', "nna poligonalnoj uticajnoj

liniji, ir proi&voda je ' "ri pomjeranju sistema sila &a u prirast funkcije$ je:

);;*

0t&P

n

1$$$ >=

==

n

1$$$ t&Pu%


25/28

Kada se sistem sila pomjera u smjeru u kojem raste u, s lijeva na desno, uIA pa je i $IA,funkcija & raste' Kada se sistem sila pomjera u smjeru u kojem u opada, s desna na lijevo, uJApa je i $JA, funkcija $ opada' $aklju!uje se da sistem sila tre#a pomjerati na desno da #i do#ili

ekstremnu vijednost'

"ri ovom pomjeranju sistema sila vrijednost ira se ne mijenja sve dok, ili neka nova sila ne nai%ena uticajnu liniju, ili neka sila ne si%e sa uticajne linije, ili neka od sila koja se nala&i nad uticajnomlinijom prelaskom preko tjemena poligonalne uticajne linije ne pre%e na dio !iji je ugao nagi#adrugi' /ailaskom, odnosno, silaskom sila sa uticajne linije vrijednost ira se mijenja ali ostajepo&itivna' "relaskom neke sile preko tjemena, sa jednog dijela uticajne linije na drugi dio, naprimjer sile "

;

u poloaj #*, vrijednost se mijenja u skoku' "ri tome se ir smanjuje jer sila prela&i

sa dijela uticajne linije sa alge#arski veim tangensom ugla na dio sa manjim tangensom ugla'5ko je vrijednost jo uvijek po&itivna tre#a sistem sila tre#a i dalje pomjerati u desno dok jo nekasila ne pre%e prelo tjemena uticajne linije' Ra&umljivo da vrijednost ove sume koja se mijenja nee#iti jednaka nuli osim u i&u&etnim slu!ajevima, me%utim, sigurno je da e pri prelasku neke silepreko nekog od tjemena uticajne linije vrijednost sume promijeniti &nak, postati negativna' Kadase ta sila nala&i nad tim tjemenom uticaj $sima ekstremnu vrijednost jer:

uIA

uJA

o#a slu!aja prirast funkcije je negativan, to &na!i da u posmatranom poloaju funkcija imaekstremnu vrijednost'

0t&Pn

1$ $$

=


26/28

$aklju!uje se, da #i se pokretan sistem sila naao u opasnom poloaju jedna od sila , kojimjerodavna sila ili kritina sila, mora da se nala&i nad jednim od tjemena uticajne linije, avrijednost pri pomjeranju sistema sila lijevo ili desno od tog poloaja mora imatira&li!it &nak'

pasnu ili mjerodavnu silu o&na!iemo sa "k' vu silu ra&dvojiemo na dvije komponente "kli"k

d koje djeluju #eskona!no #lisko pored tjemena i imaju takve inten&itete da je uslov );*

identi!ki &adovoljen'

Kriterijum &a opasan poloaj sistema sila moemo primijeniti na trougaonoj uticajnoj liniji'


27/28

==

n

1$ $

P'

>

+=

=

n

1k$$

1k

1$$

Px1

Px

1

l

'

Da bi pokretan sisstem vezanih koncentrisanih sila na trougaonoj uticajnoj liniji bio u opasnom

poloaju potrebno je da prosjena opreteenja lijevog i desnog dijela uticajne linije budu

meusobom jednaka i jednaka sa ukupnim prosjenim optereenjem.

.:. Ko(+)&"k$, ")$,($% $($, z &ek$,e $ +$e " &e+,e$! &$!,e(o!

+))$5ke !e)ode

ticajna linija &a reakciju oslonca ili reaktivni moment ukljetenja je linearna funkcija poloaja

sile "= du svake krute plo!e po kojoj se sila kree'

ticajna linija &a stati!ke uticaje stati!ki odre%enog nosa!a su prave linije du svake krute plo!epo kojoj se kree jedini!na sila'


28/28

Documents

75 - predavanje 4 - SK 1.ppt