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CUADERNO DE CONSIGNAS MAESTRO

Educación Básica Secundaria

SÉPTIMO GRADO

Matemáticas

2011 Edición: Profra Laura Milán Segovia, 2012

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INDICE

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Estándares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Bloque 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bloque 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bloque 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Bloque 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bloque 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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PRESENTACIÓN

La Secretaría de Educación Pública, en el marco de la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB), pone en las manos de maestras y maestros los Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. Un pilar de la Articulación de la Educación Básica es la RIEB, que es congruente con las características, los fines y los propósitos de la educación y del Sistema Educativo Nacional establecidos en los artículos Primero, Segundo y Tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educación. Esto se expresa en el Plan de estudios, los programas y las guías para las maestras y los maestros de los niveles de preescolar, primaria y secundaria. La Articulación de la Educación Básica se centra en los procesos de aprendizaje de las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades específicas para que mejoren las competencias que permitan su desarrollo personal. Los Programas de estudio 2011 contienen los propósitos, enfoques, Estándares Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y coherencia de sus contenidos, así como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conocimiento y aprecio de la diversidad cultural y lingüística de México; además, se centran en el desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una sociedad que le demanda nuevos desempeños para relacionarse en un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente. La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permite apoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes. La SEP tiene la certeza de que los Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas será de utilidad para orientar el trabajo en el aula de las maestras y los maestros de México, quienes a partir del trabajo colaborativo, el intercambio de experiencias docentes y el impacto en el logro educativo de sus alumnos enriquecerán este documento y permitirá realizar un autodiagnóstico que apoye y promueva las necesidades para la profesionalización docente.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

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ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos niveles de alfabetización matemática.

Se organizan en: 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Su progresión debe entenderse como: • Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados. • Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensión y el uso eficiente de

las herramientas matemáticas. • Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo autónomo.

Cuarto periodo escolar, al concluir el tercer grado de secundaria, entre 14 y 15 años de edad

En este periodo los estándares están organizados en tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar cálculos con expresiones algebraicas, cuyos coeficientes sean números racionales, formulan ecuaciones o funciones para resolver problemas, calculan volúmenes y resuelven problemas geométricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcentajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretan información mediante el uso de diferentes tipos de gráficas. En este periodo se continúa promoviendo el desarrollo de actitudes y valores que son parte esencial de la competencia matemática y que son el resultado de la metodología didáctica que se propone para estudiar matemáticas.

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico Este eje temático se subdivide en cuatro temas: 1.1. Números y sistemas de numeración. 1.2. Problemas aditivos. 1.3. Problemas multiplicativos. 1.4. Patrones y ecuaciones.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. 1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. 1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas. 1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. 1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión. 1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

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2. Forma, espacio y medida Este eje temático se subdivide en dos temas: 2.1. Figuras y cuerpos. 2.2. Medida.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 2.1.1. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. 2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos. 2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. 2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares. 2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.

3. Manejo de la información Este eje temático se subdivide en los siguientes temas: 3.1. Proporcionalidad y funciones. 3.2. Nociones de probabilidad. 3.3. Análisis y representación de datos.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto. 3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. 3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas Al término de la Educación Básica, el alumno: 4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos. 4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares. 4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones. 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

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BLOQUE 1

Aprendizajes esperados:

Convierte números fraccionarios a

decimales y viceversa.

Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

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7° Bloque Eje Tema Nombre de la consigna Contenido Plan Clave

1 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Soleras y ángulos 7.1.1 1/2 G7B1C1

Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre números

decimales finitos y fracciones.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora.

El Sr. Jorge se dedica a reparar y construir diferentes estructuras metálicas. Para realizar algunos trabajos envío a su ayudante Juan a comprar los siguientes materiales.

1. Barras de solera de las siguientes medidas: 1 1/8 in, 1 ¼ in y 1/2 in. Al llegar a la ferretería, le muestran un manual donde aparecen las medidas que están disponibles.

¿Cuáles medidas del manual debe pedir Juan? ____________________________________ 2. Ángulos de lados iguales con las siguientes medidas: 0.75 x 0.125 in, 0.1875 x 0.375 in, en el catalogo disponible en la ferretería

aparecen las siguientes medidas disponibles. ¿Cuáles medidas del catálogo debe pedir Juan? _____________________________________

a) 0.933 in c) 0.5 in e) 1.125 in g) 1.250 in

b) 0.4375 in d) 1.375 in f) 1.933 in h) 1.012

a) ¾ x 5/16 in c) 3/16 xx 2/8 in

b) 3/16 x 3/8 in d) ¾ x 1/8 in

Consideraciones previas: Si fuera necesario, comentar con los alumnos las características y usos de los materiales mencionados en el problema, soleras y ángulos.

Una manera de llegar a la primera respuesta del problema es transformar las fracciones a su escritura decimal, para ello, es

muy probable que los alumnos en cada caso dividan el numerador entre el denominador y después busquen el resultado en la tabla. Si bien este procedimiento es correcto, se sugiere profundizar en el análisis de los resultados y en los procedimientos

empleados.

Independientemente del procedimiento vale la pena analizar las escrituras decimales obtenidas y determinar si se trata de números decimales finitos o infinitos. En este plan únicamente se trabajan números decimales finitos. Una pregunta interesante

que se puede plantear a los alumnos es, ¿sin realizar la división como pueden saber si se trata de un decimal finito o infinito?

La idea es que puedan anticipar si la fracción dada puede transformarse en una equivalente cuyo denominador sea una

potencia de 10, y por consecuencia se trate de un decimal finito.

Si se tiene una fracción decimal, es decir, cuyo denominador tiene una potencia de 10, de manera inmediata se sabe que puede convertirse en un número decimal finito y el procedimiento es relativamente sencillo, sin embargo, hay fracciones que no tienen

como denominador una potencia de 10 y también pueden transformarse en números decimales finitos, por ejemplo las empleadas en este plan: 1/8, ¼, ½, ¾, 3/16 y 3/8, la razón es que sus denominadores pueden factorizarse utilizando los

números 2 ó 5.

Por ejemplo, el 8 de 1/8 puede factorizarse como 2 × 2 × 2, por lo tanto puede escribirse con un decimal finito y para lograrlo primero se puede transformar a una equivalente con un denominador que sea potencia de 10.

1000

125

5558

5551

8

1

Los alumnos podrían averiguar por qué multiplicar tanto numerador como denominador por 555 y qué relación tiene esta

expresión con la factorización del 8.

Una manera de comprobar las equivalencias es realizar los procesos inversos, es decir, si transformamos una fracción a su

notación decimal, ahora convertimos el número decimal obtenido a una fracción y verificar que se trata de la fracción original.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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7° Bloque Eje Tema Nombre Contenido Plan Clave

2 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Perímetros con decimales y con fracciones 7.1.1 2/2 G7B1C1

Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre fracciones y

número decimal periódico puro o número decimal periódico mixto.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora.

Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Expresen los resultados con números decimales y con fracciones.

a)

b)

Consideraciones previas:

La exigencia adicional de este plan respecto al anterior es la necesidad de transformar fracciones a número decimal periódico

puro (por ejemplo, 0.33333…) y a número decimal periódico mixto (por ejemplo, 0.166666…)

Además de practicar las transformaciones necesarias para resolver el problema planteado, se sugiere dedicar algún tiempo a los siguientes aspectos:

a) Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador puede factorizarse con 2 o 5 más otros números diferentes, su expresión decimal es un número periódico mixto, por ejemplo: 1/6, 1/15, 1/30. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión.

b) Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador no puede factorizarse con 2 ni 5, su expresión decimal es un número periódico puro, por ejemplo: 1/3, 1/9 y 1/7. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión.






4.

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3 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Escala en la recta numérica1 7.1.2 1/3 G7B1C2

Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,

analizando las convenciones de esta representación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden y la escala en la recta numérica, así como

sobre la propiedad de densidad de los números racionales.

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas.

1. Utilicen los puntos dados en la siguiente recta numérica para

ubicar las fracciones 4

1 y

2

12 .

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas la fracción

3

5 considerando los puntos dados

en cada recta.

RECTA A

RECTA B

3. Representar en la siguiente recta

numérica las fracciones 4

9 y 2

3 ,

después comparen sus resultados tratando de encontrar algún error en lo que hizo su compañero.

4. Representar una fracción que pueda ubicarse entre las dos fracciones que ya están representadas. Comparen su trabajo con el de su compañero tratando de encontrar algún error.


Para el primer problema, tal vez algunos alumnos pregunten dónde está ubicado el cero o digan que hace falta. Quizá otros alumnos

lo ubiquen al principio de la recta a la izquierda del uno, en cuyo caso no estarían respetando la escala, puesto que en este caso ya

está definido el tamaño de 1/2 a partir del cual se pueden ubicar las otras fracciones. Es muy importante dejar que los alumnos

ubiquen los números como ellos piensen que está bien y durante la puesta en común se analicen minuciosamente el orden, la escala y

la posición arbitraria del cero.

En el problema 2, será interesante que los alumnos puedan contrastar lo que hacen en ambas rectas. En la recta A no está definida la

posición del cero, de manera que lo pueden ubicar donde crean conveniente para que tengan espacio suficiente para el 5/3, en

cambio en la recta B ya está definida la posición del cero pero no necesitan ubicarlo para señalar el 5/3.

El problema 3, es abierto, de manera que en cada pareja lo más probable es que no coincidan los puntos en que ubicaron las

fracciones y sin embargo en ambos casos pueden estar correctamente ubicadas. La idea de que cada miembro de la pareja trate de

encontrar algún error en el trabajo de su compañero tiene la intención de “orillar” a los alumnos a considerar los tres aspectos en

los que se ha estado insistiendo: el orden, la escala y la posición arbitraria del cero.

En el caso del problema 4, es probable que muchos alumnos digan que no es posible encontrar números mayores que 1/3 y menores

que 2/3, pero justamente esta dificultad puede llevarlos a pensar en expresiones equivalentes, tales como 2/6 y 4/6; 3/9 y 6/9, etcétera,

para concluir que entre dos números racionales cualesquiera hay infinidad de números racionales.






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4 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Escala en la recta numérica 2 7.1.2 2/3 G7B1C2

Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas

informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden, la escala y la forma particular

de partir la unidad al representar números decimales en la recta numérica.

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas

1. Utilizar los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar los números decimales 0.6 y 1.30.

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas los números decimales 1.25 y 2.43 considerando los puntos dados en cada recta.

RECTA A

RECTA B


En el problema 1, es probable que algunos alumnos tengan dificultad para ubicar 1.30 porque piensen que es mayor que

1.5, en ese caso, será importante reflexionar sobre la equivalencia entre 1.5 y 1.50 o entre 1.3 y 1.30

En el caso del problema 2, los alumnos deberán observar que para representar los números decimales que se indican se

puede partir sucesivamente en 10 partes iguales, primero las unidades para obtener décimos y luego los décimos para

obtener centésimos.






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5 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Escala en la recta numérica 3 7 3/3 G7B1C2

Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas

informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas teniendo como recurso gráfico a la recta numérica.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

1. En la siguiente recta numérica representa los números: 5

3, 1.3, 0.6 y 1.35

2. En la siguiente recta numérica el segmento (0, 5) está dividido en tres partes iguales. Anota el número que corresponde al punto

señalado con la flecha.


En el problemas 1, se trata de ver si los alumnos son capaces de ubicar el cero y posteriormente ubiquen los demás

números. También, para ver si consideran que 3/5 y 0.6 son equivalentes y por lo tanto deben ubicarse en el mismo punto.

Finalmente, cuando tengan 1.3 y 1.4, que dividan el segmento, ya sea en diez partes iguales para ubicar 1.35, o bien, lo

dividan a la mitad.

La intención del segundo problema, es utilizar la recta numérica como recurso gráfico para resolver un problema de

reparto (cinco entre tres) y a la vez implica el significado de la fracción como cociente. Los posibles razonamientos son:

1) si el segmento fuera (0,1) el número señalado con la flecha sería 2/3, pero como es cinco veces más, entonces el

número señalado es cinco veces 2/3, es decir, 10/3. 2) dado que el segmento (0,5) está dividido en tres partes iguales,

cada parte es el resultado de dividir 5 entre 3, esto es, 5/3; por lo tanto, a la segunda parte le corresponde 10/3.






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6 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Cálculo mental 7.1.3 1/2 G7B1C3

Contenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de

fracciones.

Intenciones didácticas:

Que los alumnos resuelvan mentalmente problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan mentalmente los siguientes problemas: Para cumplir con los pedidos del día, una confitería calcula que necesita usar 4 kg de harina. En el estante guardan 2 paquetes de ¾ kg, 2 paquetes de ½ kg y 2 de ¼ kg. Averigüen si la harina que tienen es suficiente. Si falta o sobra harina, digan cuál es la diferencia.


Anteriormente los alumnos han resuelto problemas que implican sumar o restar fracciones. La intención ahora es que los alumnos utilicen el cálculo mental para resolver problemas que implican más de una operación, esto permitirá darle sentido a

los procedimientos.

Con respecto al primer problema, una probable estrategia sería agrupar primero cada uno de los paquetes de ¼kg con un

paquete de ¾ kg, formando así 1 kg. Como hay dos paquetes de ¼ kg y dos de ¾ kg, se obtienen 2kg. Además, hay dos paquetes de ½ kg, lo cual equivale a otro kilogramo, entonces en total tenemos 3kg.

Otra forma de pensarlo podría ser descomponiendo los paquetes de ¾ kg en ½ kg más ¼ kg, posteriormente asociar por un lado todos los cuartos y por otro todos los medios, así, quedarían 4 paquetes de ½ kg y 4 paquetes de ¼ 4 kg, que representan

2kg y 1kg, respectivamente. Como puede notarse, la harina existente es insuficiente, ya que se obtienen 3kg y se requieren 4; hace falta 1kg.

Una posible estrategia para el segundo problema es cortar la pizza en 12 partes iguales y como 1/3 es igual 4/12, y ¼ es igual

a 3/12, entonces Ana y María se comieron 7/12 de la pizza, por lo que la porción que queda corresponde a 5/12.

Es importante propiciar la formación en el aula de un ambiente que favorezca la producción de procedimientos propios, de encontrar nuevas relaciones entre las fracciones que puedan ser utilizadas para facilitar los cálculos.

Para reafirmar lo estudiado, resuelvan los siguientes problemas:

a) De una bolsa de caramelos, Oscar sacó 1/4 y María 1/2. ¿Qué parte de los caramelos quedó en la bolsa?

b) Natalia comió 2/3 de un chocolate y Juana comió 1/6. ¿Cuánto chocolate quedó?






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7 1 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Sumar y restar 7.1.3 2/2 G7B1C3

Contenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de

fracciones.


Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta de fracciones que impliquen dos o más operaciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas: 1. De una jarra que contiene 2 ¼ litro de agua llené dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de 1/3 de litro. ¿Cuánta agua

quedó en la jarra?

2. En relación con su deporte favorito, a un grupo de estudiantes se le aplicó una encuesta, se obtuvieron los siguientes

resultados: 1/4 de los entrevistados prefiere jugar fútbol. 1/6 de los entrevistados contestó básquetbol. 1/3 de los entrevistados se decidió por el beisbol. El resto de los entrevistados no tiene deporte favorito.

¿Qué parte del total de los entrevistados no tiene un deporte favorito?


A diferencia del plan anterior, los problemas de éste son un poco más complejos, de tal manera que los estudiantes, además del

cálculo mental busquen otras estrategias, incluyendo los algoritmos convencionales.

En el primer problema, es probable que los alumnos tengan dificultades en comprender lo que significa una fracción mixta, si

es el caso, hay que hacerles ver que una fracción mixta es la suma de un número entero y una fracción.

En el caso del segundo problema, es probable que para obtener el total de los entrevistados que sí tienen un deporte favorito,

primero sumen dos de las tres fracciones y al resultado le sumen la otra, por ejemplo, que sumen 1/6 y 1/3 y al resultado sumarle ¼; o bien que busquen la manera de sumar al mismo tiempo las tres fracciones. Se sugiere analizar los diferentes

órdenes de operar estas tres fracciones y verificar que el resultado sea el mismo, es decir, que:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Para ejercitar lo estudiado resuelvan los siguientes problemas: a) A Diego le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera pesa 3 3/8 kg y la segunda 20/6 kg. ¿Cuál es

la que pesa más? ¿Cuánto pierde si elige la de menor peso?

b) Decide si es cierto o no que con 3 vasos de ¼ litro y 2 vasos de 1/5 litro se puede llenar una botella de 1 ½ litro.






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8 1 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Aplica la regla 7.1.4 1/3 G7B1C4

Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común.

Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con

progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.


Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla de la regularidad, respectivamente, dadas en lenguaje común.

Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación.

1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión.

a) Aplica la regla que emplea la máquina y determina los términos que están en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20 de la sucesión.

b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la sucesión que corresponden a estas posiciones?

2. Otra máquina emplea la regla de regularidad siguiente: “Al número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión:

Consideraciones previas: Es importante dejar claro que cuando se dice “regla general”, se hace referencia a la regla que permite determinar cualquier

término de una sucesión en función de su posición. Y cuando se dice “regla de la regularidad”, se refiere al enunciado que indica el

patrón de comportamiento de los términos de una sucesión, por ejemplo:

En la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…

La regla general es 3n + 2, en donde n es el número de la posición. Si deseamos conocer el término de la posición 20, basta sustituir

a n por 20 en 3n + 2.

La regla de la regularidad de los elementos de la sucesión puede enunciarse de varias maneras, por ejemplo: “va de tres en tres”,

“al término anterior se le suma 3 y se obtiene el siguiente”, etcétera.

Dicho lo anterior, en la sucesión del primer problema, la cual representa una progresión aritmética, se emplea la regla general;

mientras que la sucesión del segundo problema que representa una progresión geométrica, se utiliza la regla de la regularidad. La

razón por la cual en el segundo problema no se utiliza la regla general es porque su deducción es compleja para este nivel, su

representación simbólica es una función exponencial.

En el primer problema, se espera que los alumnos no tengan ninguna dificultad para determinar los términos de la sucesión que están

en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20. Por ejemplo, para el término que está en la posición 10, basta multiplicar

este número por 2 y al resultado restarle 2, en este caso, el término que resulta es 18. Lo mismo se debe hacer para calcular los

números de la sucesión que están en las posiciones 50, 100, 500 y 1000. Es probable que algunos alumnos confundan entre el número

de la posición y el término de una sucesión; por lo que hay que estar pendiente de esta situación y en caso de que suceda, vale la pena

aclararlo desde un principio y que no sea obstáculo para que los alumnos realicen adecuadamente los cálculos.

En el segundo problema se trata de que los alumnos a partir de la regla de regularidad, determinen los primeros seis términos de la

sucesión geométrica (5. 15, 45, 135, 405, 1215,…)

Para reafirmar los conocimientos adquiridos, resuelve los siguientes problemas:

1. Si la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión es: Al número de la posición del término se multiplica por 2 y el resultado se le suma 3. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

2. Una sucesión está determinada por la siguiente regla de regularidad. “Al número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”.

3. Si el primer término de la sucesión es 10 ¿cuáles son los primeros 5 términos de la sucesión?




3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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9 1 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Siguiendo la serie 7.1.4 2/3 G7B1C4





Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar cualquier término de sucesiones con

progresión aritmética.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la sucesión:

La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente:

Número de la posición de la figura. 1 2 3 4 5 6

Número de cuadrados 5 9 13 17 21 25

Diferencia del número de cuadrados entre

dos figuras consecutivas 4 4 4 4 4

Con sus propias palabras, formulen una regla que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión.

Regla:

.


Para encontrar la regla de formación de la sucesión es necesario relacionar el número de la posición de la figura con el números de

elementos de la misma; por lo que si los alumnos no se les ocurre cómo relacionar el número de la posición con cada término de la

sucesión, se les puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación hay que hacer con el número de la posición de la figura para

obtener el número de cuadrados que la conforman? A partir de esta pregunta, se espera que los alumnos prueben con varios

cálculos; por ejemplo, que multipliquen por 5 el número de la posición.

Cada vez que den una respuesta verbal, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así,

que continúen en la búsqueda.

Es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero que no es la regla

general; por ejemplo:

“Le va sumando de cuatro en cuatro”

“Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”

“Sumarle cuatro al término”

En caso de que a nadie se le ocurra probar con multiplicar el número de la posición por la constante aditiva (4), sugerirles que lo

hagan y luego que vean cuánto se debe sumar o restar al producto para obtener el número de la sucesión.

La regla que permite determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión es: “Multiplicar por 4 la posición del

término y al resultado sumarle 1”.

Se pretende que a partir de resolver varios problemas, los alumnos lleguen a darse cuenta que una forma de encontrar la regla

general de una sucesión con progresión aritmética, es multiplicar el número de la posición del término por la constante aditiva y

analizar cuánto se tiene que sumar o restar al resultado para obtener el término de la sucesión; por lo que es importante no darles la

receta.

Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que a partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000.

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1. Escribe una regla general que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de cada una de las siguientes sucesiones:

a)

Regla: _________________________________________

b)

Regla: __________________________________________

c)

Genera una sucesión de números, cuya diferencia entre dos términos consecutivos sea siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier término de la sucesión.

Regla: __________________________________________

2. Para cada caso, escribe la regla general que permite determinar cualquier término de la sucesión.

a)

Genera una sucesión de números, cuya diferencia entre dos términos consecutivos sea siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier término de la sucesión.

Serie: ___________________________________________ Regla: __________________________________________

b) 6, 10, 14, 18, 22, 26, … Regla: ___________________________________________

c) 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Regla:____________________________________________

d) 1/12, 4/12, 7/12, 10/12,… Regla:____________________________________________

.






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10 1 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones ¿Cuál es la regularidad? 7.1.4 3/3 G7B1C4





Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón de comportamiento de los elementos de una sucesión con progresión geométrica.

Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras una regla que defina la regularidad de cada

una.

Regla: __________________________________________________________________________________

Regla: __________________________________________________________________________________


Las sucesiones que se plantean en este plan son de progresión geométrica. En el primer caso se trata de una sucesión con

progresión geométrica creciente porque su razón es mayor que 1, es decir, 2. En el análisis que hagan los alumnos de esta

sucesión, se espera que puedan darse cuenta que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando por 2 al anterior, excepto el primer término.

Las reglas generales de este tipo de sucesiones son exponenciales; por lo que es difícil que los alumnos de este nivel puedan

obtenerla por los conocimientos necesarios para tal fin. Por ejemplo, para esta sucesión, la regla general para determinar cualquier término de la sucesión es: Dos elevado al número de la posición del término; es decir, (an = 2

n). Como puede verse,

esta expresión es exponencial.

En este tipo de sucesiones, es suficiente que los alumnos lleguen a identificar el comportamiento de los términos pero no a la

regla general; se espera que los alumnos lleguen a escribir la regla que corresponde a la regularidad o patrón de

comportamiento entre los términos como: “Cada término se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.” Con respecto a la segunda sucesión, se espera que los alumnos determinen que la razón de crecimiento es ½, es decir, que cada

término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por ½; por lo que la regla que corresponde a la

regularidad o patrón de comportamiento entre los términos es la siguiente: “Cada término se obtiene multiplicando por ½ al término anterior.”

Encuentra el octavo término de cada una de las siguientes sucesiones. a) 3, 9, 27, 81, 243,… b) 3, 6, 12, 24, 48,... c) 1, 0.1, 0.01, 0.001,... d) 1,1/4,1/16,1/64,... e) 2, 6, 18, 54, 162,... f) 5, 5/3, 5/9, 5/27, … g) 54, 36, 24, 16, …

El cuarto término de una sucesión con progresión geométrica es 40. Si cada término se obtiene multiplicando al anterior por 2, encuentra el primer, segundo y tercer términos de la sucesión.






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11 1 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones Marcos y Manteles 7.1.4 3/3 G7B1C4

Contenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como

números generales con los que es posible operar.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen, con lenguaje natural, el significado de algunas fórmulas

geométricas de perímetro; expresen con una fórmula generalizada los perímetros de algunas figuras

geométricas e interpreten el uso de la literal como número general.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Dado el siguiente marco cuadrado

a) ¿Cómo se puede saber el perímetro del marco?

b) ¿Y si el marco fuera de 20 cm de lado?

c) ¿Y si fuera de 35 cm?

d) Escribe con tus propias palabras, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?

e) Expresa en forma general, para cualquier medida del lado de un cuadrado:

2. Luisa quiere poner una tira bordada alrededor de un mantel rectangular que mide 2 m de largo y 1.60 m de ancho:

a) ¿De qué forma calcularía Luisa, la medida de la tira bordada?

b) ¿Y si el mantel midiera 80 por 60 cm?

c) ¿Cómo obtendrías este dato (perímetro) para manteles de cualquier tamaño?

d) Expresa de forma general el perímetro de cualquier rectángulo


En caso de que los alumnos den las fórmulas inmediatamente, precisarles que lo que se pide es que describan

con sus propias palabras los procedimientos.

De manera grupal, se establecerán las conclusiones, considerando la generalización de cada equipo.






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12 1 LMS SN y PA Patrones y ecuaciones La clase de agricultura 7.1.4 3/3 G7B1C4

Contenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números

generales con los que es posible operar.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen con lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas

de área, expresen con una fórmula generalizada el área de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal

como número general, aplicando diversos valores para el cálculo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: 1. En la clase de agricultura los alumnos de primer grado deben sembrar rábanos. El terreno ofrecido por el Ayuntamiento es

cuadrado, mide 300 m por lado. a) ¿De qué manera calcularían el área?

b) Si por gestiones de la directora se consigue un terreno más grande (500 m por lado), ¿cómo calcularían el área?

c) Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el área de un cuadrado?

d) ¿Y cuál sería la expresión general que la represente?

2. Anoten la información que hace falta en la siguiente tabla

FIGURA EXPRESION VERBAL FORMULA

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A =_________________

3. Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Figura Fórmulas Datos Perímetro Área

LP 6

2

PaA

l = 3 cm

a = 2 cm

l = 8 cm

a = 5 cm

l = 10 cm

a = 7 cm

baP 22

bhA

a = 10 cm

b = 8 cm

h = 5 cm

a = 15 cm

b = 9 cm

h = 7 cm

a = 23 cm

b = 14 cm

h = 10 cm

.

Consideraciones previas: Si los alumnos no tienen claro a qué se refiere la columna “Expresión verbal”, se pondrá un ejemplo.





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13 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos De tres y cuatro lados 7.1.6 1/2 G7B1C6

Contenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Intenciones didácticas: Que los alumnos describan las características mínimas de cuadriláteros y triángulos para

trazarlos con la misma forma y tamaño.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Javier necesita encargarle, a un carpintero, por teléfono, la elaboración de varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas y tamaños de las piezas son como se muestran a continuación. Anoten debajo de cada pieza la información que Javier tendría que darle (por teléfono) al carpintero, para que las haga iguales.

Información:

Información:

Información:

Información:

Información:

Información:


Al decidir sobre la información que requiere el carpintero pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre

información o que se dé justamente la información necesaria.

Es importante analizar mensajes que sean representativos de los tres casos anteriores; pero, además, entre los mensajes

que aportan la información necesaria, hay que ver si algunos son más breves o si hay mensajes que aun siendo diferentes

aportan la información necesaria. Por ejemplo, en el caso del triángulo equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo

equilátero de 3.7 cm por lado”; o bien: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm de base por 3.2 cm de altura”. La mejor

manera de que los alumnos se den cuenta de si un mensaje aporta o no la información suficiente para construir una

figura es que lo usen para construir la figura y vean si todos obtienen la misma. Se sugiere analizar la descripción de dos

figuras, ya que en la sesión posterior se trabajarán las demás.






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14 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Sigamos los mensajes 7.1.6 2/2 G7B1C6

Contenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Intenciones didácticas: Que los alumnos tracen diversos tipos de cuadriláteros y triángulos, utilizando los instrumentos

del juego de geometría.

Consigna: En la sesión anterior ustedes escribieron la información que debía dársele a un carpintero para que pudiera construir unas piezas de madera, hoy vamos a usar parte de esa información para ver si todos obtenemos las mismas figuras. Empezaremos con el siguiente mensaje: “Se trata de construir un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 3 cm y sus lados iguales miden 5 cm cada uno” Antes de hacer los trazos contesten:

¿Consideran que todos deberían obtener el mismo triángulo? ¿Por qué?

.

Consideraciones previas: En esta sesión se pondrán a prueba diversos mensajes, elaborados por los propios alumnos o no, para que analicen con

mayor profundidad la información que es pertinente para trazar una figura que sea congruente con otra. El término

congruente se asigna a dos o más figuras que al superponerse coinciden en todos sus puntos.

Es importante que al analizar los mensajes elaborados por los alumnos haya de todos tipos; es decir, unos que tengan

información suficiente, y otros a los que les falte o sobre información.

Hay que tomar en cuenta que en esta actividad hay dos clases de dificultad; una consiste en identificar la información

suficiente para reproducir una figura y otra es hacer los trazos. En esta última, después de los intentos que los propios

alumnos hagan, es necesario que usted les muestre un camino.

Actividades complementarias que contribuyen a reafirmar el trazo de triángulos y cuadriláteros son las siguientes:

1. De manera individual, tracen en su cuaderno las siguientes figuras con las medidas que se indican. En aquellos casos donde falte información para obtener figuras congruentes, ustedes agréguenla.

a) Cuadrado Lado: 6.5 cm

b) Rectángulo Largo: 7 cm Ancho: 5 cm

c) Trapecio isósceles Base mayor: 7.5cm Base menor: 5cm

d) Triángulo equilátero Lado: 6 cm

e) Triángulo escaleno Lado a: 5 cm Lado b: 6.5 cm

2. Utilizando regla y compás, reproduzcan individualmente las siguientes figuras con las mismas medidas:






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15 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Identificando líneas 7.1.7 1/4 G7B1C7

Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del

triángulo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

1. Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una en la tabla frente al triángulo cuando las

características sí se cumplan y una × cuando no se cumplan.

1 2 3 4

Características

Las líneas son perpendiculares a

los lados del triángulo o a la prolongación de

éstos

Las líneas pasan por un

vértice del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en

los puntos medios

Las líneas dividen a la mitad los

ángulos del triángulo

Las líneas se cortan en un

punto

Las líneas son paralelas a los

lados del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón de 2

a 1

Triángulo 1 (mediatrices)

Triángulo 2 (medianas)

Triángulo 3 (alturas)

Triángulo 4 (bisectrices)

.


Para realizar la confrontación se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de rotafolio y hacer lo

siguiente:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron

anotadas por los equipos.

b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que

fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de

rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como

si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.






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16 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Identificando puntos 7.1.7 2/4 G7B1C7

Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un

triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen los puntos notables en un triángulo con el fin de establecer su utilidad

y propiedades.

Consigna: Organizados en equipo, resuelvan el siguiente problema.

1. Analicen los puntos donde se cortan las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo cualquiera y

anoten una donde se cumplan las características señaladas y una × donde no se cumplan.

Características

Siempre se encuentra

en el interior del triángulo

Se puede localizar en un vértice

del triángulo

Puede localizarse fuera del triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres

vértices de triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres

lados del triángulo

Es el punto de

equilibrio de un

triángulo

Está a la misma

distancia de los

vértices del triángulo

Se encuentra alineado con otros puntos

notables del

triángulo

Incentro (punto

donde se cortan las bisectrices)

Baricentro (punto

donde se cortan las medianas)

Ortocentro (punto

donde se cortan las alturas o su prolongación)

Circuncentro

(punto donde se cortan las

mediatrices)

.


Se sugiere organizar la confrontación de la misma manera que en el plan anterior. Hay que prever que los alumnos

tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría. Se les indicará a los alumnos que para saber si el

punto encontrado es el punto de equilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el

punto obtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe el nombre de punto mediano

o centroide (inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por ser lugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma

masa colocados en los vértices del triángulo). La última columna se refiere a la alineación del ortocentro, baricentro y

circuncentro. Es probable que este plan necesite dos sesiones de trabajo, para permitir que los alumnos analicen todos

los casos posibles.






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17 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos Identificando puntos 7.1.7 3/4 G7B1C7


triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el concepto de mediatriz y bisectriz para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipo analicen y resuelvan los siguientes problemas.

1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia del Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde deberán construirlo?

2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.


Se espera que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar un posible uso del punto de cruce de las

mediatrices en el primer caso y de las bisectrices en el segundo. Es muy importante no quitarles la posibilidad

de que por sí solos encuentren las soluciones y sientan la satisfacción de haberlo logrado.






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18 1 LMS FE y M Figuras y cuerpos La estación de tren 7.1.7 4/4 G7B1C7


triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos sobre las rectas y puntos notables del

triángulo en la resolución de problemas.

Consigna: Organizados en equipo resuelvan los siguientes problemas. 1. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia del pueblo Arania

y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse la estación?

2. ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de estos tres cuerpos celestes de igual masa?


Es importante dejar que los alumnos revisen los conceptos de las rectas y puntos notables en el triángulo hasta

que encuentren cuáles son los que les permiten contestar los problemas anteriores.






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19 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones El premio de la Lotería 7.1.8 1/2 G7B1C8

Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas de reparto

proporcional.

Consigna: Van a trabajar en equipos para resolver el siguiente problema:

Tres amigos obtienen un premio de $1000.00 en la lotería, ¿cómo deben repartirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00?


Como se explica en los comentarios, es probable que algunos resultados no correspondan a un reparto proporcional,

dado que la consigna no lo establece. En tal caso, habrá distintos resultados que pueden ser correctos, siempre y cuando

se expliquen los criterios bajo los cuales se obtuvieron. Después de la puesta en común de los procedimientos y

resultados al problema anterior se planteará uno más cambiando los datos y precisando que el reparto del premio debe

hacerse proporcionalmente a lo que cada amigo aportó. Por ejemplo, se puede decir: en vez de 1000 pesos ahora el

premio es de 5000 pesos y las cantidades aportadas son: $35.00, $20.00 y $25.00






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20 1 LMS MI Proporcionalidad y funciones El sorteo 7.1.8 2/2 G7B1C8

Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos expertos para resolver problemas de reparto

proporcional.

Consigna: En equipos, resolver el siguiente problema:

Cuatro amigos ganaron un premio de $15000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100.00. Al primero le tocó $2100.00, al segundo $5700.00, al tercero $3300.00 y al cuarto el resto de los $15000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?

Consideraciones previas: Este problema es similar a los que se plantearon en la sesión anterior de esta secuencia, sólo que la información que se

proporciona en éste es precisamente la que se plantea calcular en los anteriores. Es necesario que se analicen con

profundidad los procedimientos empleados por los alumnos y que al recapitular a todos les quede claro que lo que está

en juego en este tipo de problemas es averiguar qué parte es una cantidad de otra. Por ejemplo, qué parte de 15000 es

2100. Esta misma parte es lo que le correspondió pagar del boleto a este amigo.






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21 1 LMS MI Nociones de probabilidad La oca matemática 7.1.9 1/3 G7B1C9

Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de

estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan qué es un juego de azar con base en la práctica y los cuestionamientos

acerca de éste.

Consigna. Organizados en equipo jueguen “La oca matemática”.

Para jugarlo necesitan dos dados especiales y un tablero por equipo como el que se muestra enseguida.

Las reglas del juego son las siguientes:

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son del mismo color, se sumarán los dos números y el resultado será el número de casillas que se avanza.

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son de distinto color, se restarán los números, siempre el mayor menos el menor, y la resta indicará el número de casillas que se avanza.

En caso de caer en una casilla especial, se debe realizar lo que se indica.

Gana el jugador que llegue primero a la meta.

Ronda Niño 1 Niño 2 Niño 3

1 3+2=5, 5-1=4

2

3

4

5

Anexos

29

Consideraciones previas: Es necesario tener listos un juego de dados y un tablero por equipo, además una ficha para cada alumno. Si les pide que

construyan sus dados les puede dar los desarrollos planos que aparecen más adelante (anexo 1); también aparece un

tablero de juego (anexo 2). Se pueden usar también dados blancos y sólo pedirles que pinten las caras: en un dado,

cuatro caras rojas y dos azules y en el otro, cuatro caras azules y dos rojas. Por ejemplo:

Con esta actividad, los alumnos se darán cuenta de que el hecho de ganar el juego no depende de poner en práctica una

estrategia o habilidad particular, sino que todo depende de lo que caiga en los dados, es decir, es totalmente azaroso.

Para ello, se puede valer de preguntas como: ¿pueden saber, antes de tirar, qué va caer en los dados?, ¿pueden saber

con anticipación quién va a ganar?, quién gana una vez el juego, ¿ganará siempre?, ¿Pueden hacer algo para que caiga

en los dados el color y el número que ustedes quieren?, etcétera.

En una segunda partida se les puede pedir que registren lo que sucede en cada jugada. Se les puede pedir que

construyan, en un pliego de papel bond o cartulina, una tabla como la que se sugiere enseguida a manera de ejemplo. El

registro indica que los dados fueron del mismo color y por tanto sumaron los números, sin embargo, en la casilla 5 del

tablero hay un castigo que indica retroceder 1, por lo tanto el jugador se queda en la casilla 4.

Solamente se les pedirá a los alumnos que registren el lugar en que queda su ficha y no toda la operación, pues esto

puede hacer tardado y tedioso el registro. Además de que se trata de operaciones que los alumnos pueden hacer

mentalmente.

Ronda Niño 1 Niño 2 Niño 3

1 3+2=5, 5-1=4

2

3

4

5

Al término de esta segunda partida se puede tomar como ejemplo una tabla de cualquier equipo para presentarla al

grupo y preguntar: ¿se puede saber quién ganó en este equipo con sólo ver la tabla?, ¿se puede saber quién quedó en

segundo lugar?, ¿quién quedó en último lugar?, ¿es verdad que después de que caiga un 4 es más fácil que caiga otro 4

que un 5?, ¿qué color es más fácil que caiga en los dados?

Con respecto a esta última pregunta, se espera que los alumnos se den cuenta que en un dado es más fácil que caiga el

color rojo, ya que tiene cuatro caras rojas, y que en el otro dado es más fácil que caiga el color azul, por ser cuatro las

caras azules.






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22 1 LMS MI Nociones de probabilidad Un juego disparejo 7.1.9 2/3 G7B1C9

Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de

estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de un juego de azar, intuyan nociones probabilísticas (intuición de la

frecuencia relativa) implícitas en el juego.

Consigna. En equipos realicen el siguiente juego.

Se trata de lanzar 3 monedas al mismo tiempo en repetidas ocasiones.

Antes de lanzarlas, deberán predecir el número de águilas que caerán en cada lanzamiento (tres, dos, una o cero) y lo registran en la tabla de abajo.

Luego cada uno de ustedes lanzará al mismo tiempo las tres monedas y los resultados también se registrarán en la tabla, frente a la predicción.

Gana aquél cuya predicción haya acertado más veces.

Lanzamientos Predicción Resultado real

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

Consideraciones previas: El juego de azar consiste en lanzar 3 monedas distinguibles entre sí al aire, al mismo tiempo, en repetidas ocasiones. Las

monedas deben ser distinguibles para que los alumnos noten que hay más de una forma en que pueden caer 2 águilas, o una. Antes de cada lanzamiento, se preguntará a los alumnos cuántas monedas “pueden” caer con el águila hacia arriba.

Se llevará un recuento de las veces que cayeron las águilas hacia arriba y que coincida con las predicciones de ellos.

Es conveniente que en los primeros intentos no se haga un registro de los eventos ocurridos, pero en cuanto se observe que

empiezan a desarrollar una estrategia para los posibles resultados, se les alentará para que registren los resultados. Este

recuento les facilitará la tarea de hacer predicciones acertadas. El espacio muestra del juego con tres monedas es el siguiente:

Tres águilas Dos águilas Un águila Cero águilas

aaa

saa

asa aas

ass

sas ssa

sss

De donde se observa que los resultados más probables es que salgan una o dos águilas, ambos eventos con una probabilidad

de 3/8, siendo las combinaciones tres águilas y cero águilas las menos probables, con una probabilidad de 1/8. En este momento no deberá darse ente tipo de información, simplemente se les cuestionará para ver si observaron que hay

combinaciones que se repiten con mayor frecuencia, por lo que al finalizar el juego, es conveniente plantear preguntas como por ejemplo: ¿Qué combinaciones son más frecuentes? ¿Alguien tiene un método de predicción en particular?

Ante estas preguntas, es muy probable que los alumnos no reconozcan cuáles son las combinaciones más frecuentes y tampoco

que alguno de ellos tenga algún método de predicción en particular, es probable que algunos digan que elegían la primera combinación que les venía en la mente. Entonces se le puede plantear: si volvemos a lanzar diez veces estas monedas, ¿va a

salir lo mismo? ¿Por qué? ¿Hay alguna combinación de águilas y soles que cae con mayor frecuencia?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


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23 1 LMS MI Nociones de probabilidad Experimentos 7.1.9 3/3 G7B1C9

Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en

función del análisis de resultados posibles.

Intenciones didácticas: Que los alumnos se inicien con experiencias aleatorias, de manera que pueda decir cuáles son los posibles

resultados y cuáles pueden ocurrir con más frecuencia, usando recursos de fácil manejo.

Consigna. En esta ocasión se trata de realizar varios experimentos. Para ello, pongan atención en lo que se les indicará y respondan las preguntas.

Consideraciones previas: En este grado se inicia el tema “Nociones de probabilidad”, por lo que no es recomendable dar definiciones de términos o que se

enuncien resultados formalmente, sino más bien conviene ofrecer al alumno actividades que le permitan desarrollar las estructuras

mentales necesarias que lo lleven a comprender los conceptos de las probabilidades que se estudiarán de aquí en adelante.

Primera parte de la actividad. Consiste en mostrarles a los alumnos cuatro canicas de diferente color, pero de igual tamaño. Se

colocan en una caja no transparente y se les pide que sin ver saquen una canica. Pero se les pide que antes de hacerlo digan cuál

canica piensan que saldrá.

Para ello, se puede anotar en el pizarrón los distintos colores y al lado escribir el número de alumnos que creen que ese color

corresponde a la canica que saldrá seleccionada. Se realiza el experimento y se escuchan comentarios de los estudiantes acerca de

por qué razón se obtuvo ese color. Se devuelve la canica a la caja.

Segunda parte de la actividad. Nuevamente se tienen las cuatro canicas de diferente color en la caja y se pide a los alumnos que

saquen una y registren el color que salió. Después la regresan a la caja y pasa otro a sacar una canica, vuelven a registrar el color y

así sucesivamente hasta hacerlo 20 o más veces (de preferencia un número múltiplo de cuatro).

Al finalizar el experimento, se harán comentarios acerca de los resultados obtenidos. En este caso se pretende que reflexionen acerca

de que el número de veces que sale cada color es muy semejante. Es decir, si el experimento se hace 20 veces, cada color saldrá un

número de veces que se acerca a 5. Si se hace 40 veces, seguramente el número de cada color se acercará a 10 y si se hace 60 veces

el experimento, el número de veces que salga cada color será cercano a 15.

Tercera parte de la actividad. Ahora mostrar a los alumnos dos canicas del mismo color y otras dos de diferentes colores, es decir

tres colores y cuatro canicas que se depositarán en la caja. Por ejemplo:

Ahora hay un color que "puede salir más veces''. Esto no se les dirá a los alumnos, se espera que sean ellos quienes lo comenten. Una

vez realizado el experimento conviene escribir en el pizarrón algunos comentarios como "el color que estaba repetido salió más

veces...'', "todos los colores salieron ...'', etc.

Si el tiempo lo permite, se puede realizar las siguientes actividades en el salón, o bien, se pueden dejar como tarea y revisar las

respuestas en la siguiente clase. Seguramente algunos alumnos dirán que tuvieron que hacer el experimento, lo cual es válido pues

todavía están en la etapa de ver concretamente qué sucede.

Cuarta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja en la cual está descrito el experimento. Se tiene una caja con cinco

canicas de diferentes colores: roja-verde-azul-amarilla-negra. Se extrae una canica y se anota el color. ¿Cuál creen que saldrá? Si se

realiza el experimento 20 veces ¿creen que hay alguna canica que saldrá más veces? Nuevamente, lo importante es considerar

aquellos comentarios que tienen un sentido relacionado con el azar.

Quinta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja donde se describe el experimento: Se tiene una caja con cinco bolas:

cuatro rojas y una amarilla. Se pueden repetir entonces preguntas similares a las anteriores y se puede pedir al alumno que haga

dibujos que ilustren su respuesta.






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32

BLOQUE 2


Resuelve problemas utilizando el

máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

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24 2 LMS SN Y PA Números y sistemas de numeración Dividiendo números 7.2.1 1/2 G7B2C1

Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5, y que identifiquen las

características de los números primos y compuestos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El ingeniero José es supervisor de obras públicas en Tecámac, estado de México. Dentro de sus funciones está el organizar las cuadrillas que tienen que ir a realizar las obras públicas. Actualmente el ingeniero trabaja con dos grupos; el primer grupo atiende al lado oriente del municipio y el segundo grupo al poniente. El primer grupo lo conforman 50 integrantes y el segundo grupo 47. Ambos grupos han solicitado que las cuadrillas se organicen de tal forma que todas estén integradas con la misma cantidad de trabajadores y que no haya excepciones. a) ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el primer grupo?

b) ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el segundo grupo?

c) Si reúne a los trabajadores del grupo 1 y 2 para hacer un solo grupo y reorganizar las cuadrillas ¿cuántas cuadrillas diferentes se pueden

formar?

2. Si 30 × 45 = 1350: a) Escriban cuatro números diferentes a 30 y 45 que sean divisores de 1 350. b) Los números 9, 6 y 15, ¿son divisores de 1 350? c) En caso de que 9, 6 y 15 sean divisores, ¿por cuál número o números se tendrían que multiplicar cada uno para obtener 1350? d) Los números 4 y 7 son divisores de 1 350? ¿Por qué?

3. Con base en la siguiente tabla contesten lo que se solicita:

1160 4758 7299 1981

151515 1620 35532 6264

4431 52380 489 166

a) ¿Cuáles números son divisibles por 2, por 3 y por 5?

b) ¿Qué características debe tener un número para que sea divisible por 2, por 3 y por 5?

c) ¿Hay números que tengan más de un divisor? ¿Cuáles?

Consideraciones previas: El primer problema apunta a identificar las características de los números compuestos y primos. Es posible que los alumnos utilicen

el algoritmo convencional de la división (la galera) para determinar cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar:

1. Del primer grupo de trabajadores, es muy probable que los alumnos hagan divisiones para encontrar los divisores de 50, algunos

de éstos son: 1, 2, 5, 10, etc. De aquí la reflexión del significado del divisor y el resultado que se obtenga, por ejemplo

25250 , por lo tanto, se pueden formar dos grupos de veinticinco personas.

2. Del segundo grupo de trabajadores, es posible que procedan de la misma forma que para el primer, la conclusión que debe

obtenerse es que sólo se puede hacer un grupo de 47, o bien 47 grupos con una persona cada uno.

La resolución de este problema se puede aprovechar para discutir e inferir las características de un número primo (en este caso 47) y

un número compuesto (50). Se sugiere plantear la búsqueda de números primos y compuestos, con la finalidad de aplicar estas

nociones.

Del segundo problema resulta obvio decir que 30 y 45 son dos divisores, el argumento que puede darse es que 1 350 es múltiplo de

ellos y probablemente algunos alumnos recurrirán a la comprobación realizando la división. Sin embargo, la expectativa es que los

alumnos identifiquen que al descomponer en factores los números 30 y 45, éstos también son factores y por consecuencia, también

divisores de 1 350. La multiplicaciones 13504556 y 135015356 son el resultado de factorizar el 30 en 6×5 y el 45 en

3×15, por lo que se puede concluir que otros divisores de 1 350, además de 30 y 45, también son el 3, 5, 6, 15. Lo anterior ayuda a

que los alumnos escriban los números en función de sus factores primos, además de que puedan realizar conjeturas como: si un

número es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y 3, ¿entonces un número que sea divisible por 2 o 3, es siempre divisible por 6?

Si bien, desde primaria, hay un acercamiento a la regularidad de los múltiplos de 2, 3 y 5. Es probable que en el problema 3 los

alumnos realicen las divisiones para saber si los números son divisores de 2, 3 y 5. Si es así, posteriormente se trata de identificar las

características comunes de los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Con ello se espera consoliden que:

a) Toda cifra que tiene una terminación par o cero es divisible por 2.

b) Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, el número es divisible por 3.

c) Todo número que tiene terminación en 5 o 0, es divisible por 5.

De esto último se espera que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede

anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural dando como resultado otro número natural, sobre todo

cuando se tienen cantidades grandes.






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25 2 LMS SN Y PA Números y sistemas de numeración Confirmando reglas 7.2.1 2/2 G7B2C1

Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y

compuestos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen y muestren algunas propiedades relacionadas con la suma de 2, 3 y 5

números naturales consecutivos.


1. ¿La suma de tres números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 3? ¿Por qué?

2. ¿La suma de cinco números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 5? ¿Por qué?

3. ¿La siguiente afirmación es correcta? “La suma de dos números naturales consecutivos cualesquiera es divisible por 2” De ser verdad justifiquen la respuesta, de lo contrario reescriban la afirmación de tal manera que sea verdadera y escriban algunos ejemplos.


Para el problema 1, es muy probable que los estudiantes hagan algunos ensayos con diferentes tercias de números

consecutivos, por ejemplo sumar 2, 3 y 4; 12, 13 y 14, 87, 88 y 89, etcétera, y que su respuesta sea afirmativa.

Posteriormente se les puede solicitar que prueben la validez de su respuesta con otras tercias seleccionadas por otros

equipos, así por el número de pruebas realizadas y sin encontrar un contraejemplo podrán explicar y mostrar dicha

regularidad.

Dado que no es suficiente mostrar muchos ejemplos para generalizar una propiedad y considerando que en el bloque

anterior se inició el trabajo con literales como número general, se sugiere aprovechar la oportunidad para que con la

intervención del maestro, se pueda generalizar dicha propiedad. Dos preguntas iniciales pueden ser las siguientes:

¿cómo represento un número cualquiera? ¿y cómo representó los dos siguientes números? La finalidad es obtener la

siguiente expresión:

21 xxx

Enseguida se les puede pedir a los alumnos que simplifiquen la expresión anterior, esperando que lleguen a 3x+3.

A partir de esta expresión se puede sustituir x por algunos valores naturales y verificar que efectivamente el número

resultante es múltiplo de 3, sin embargo, para llegar a una generalización puede centrarse el análisis en que un número

natural cualquiera multiplicado por 3 (3x) siempre representa un múltiplo de 3, además, si a este múltiplo de 3 le agrego

otro múltiplo de 3 (en este caso 3), quedando la expresión 3x+3, ésta necesariamente es un múltiplo de 3 y por lo tanto

es divisible por 3. Es muy probable que para llegar a esta generalización se requiera de una sentida intervención del

profesor, ya que puede resultar complicado que los alumnos la hagan por si solos.

El tratamiento para el problema 2 puede ser semejante al 1. Un aspecto que puede resultar interesante, es que si el

primer número es impar el resultado tendrá una terminación 5 y si el primer número es par el resultado tendrá una

terminación en 0.

Con el tercer problema se espera que los alumnos identifiquen que la suma de dos números naturales consecutivos es

divisible entre 2, si y sólo si, los dos son pares o impares.






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26 2 LMS SN Y PA Números y sistemas de numeración Resolviendo problemas 1 7.2.2 1/2 G7B2C2

Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común

múltiplo.

Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo,

empleando el producto de los factores primos.

Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma capacidad. ¿Cuál la cantidad

mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente?

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un

autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas?

3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana han

coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas?


Con respecto al primer problema, es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando los múltiplos de cada uno de los

números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima

del tanque debe ser de 60 litros.

Para el segundo problema, es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos que pasan cada vez que sale

un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan:

Autobús A: 1½, 3, 4½, 6, 7½, …

Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10, ...

Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, …

Si es así, encontrar la respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, es probable que renuncien a trabajar con

números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150

minutos, respectivamente; luego encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno,

lo cual ya no es tan funcional; sin embargo es muy probable que la mayoría intente resolverlo por esta vía, incluso habrá

quienes sí puedan resolverlo.

Este sería el momento en que el profesor puede dar a conocer un procedimiento abreviado para calcular el mínimo

común múltiplo, a partir de la factorización de números primos. Se inicia por descomponer los números involucrados en

factores primos, como se muestra enseguida:

Descomposición en factores primos

90 2 120 2 150 2

45 3 60 2 75 3

15 3 30 2 25 5

5 5 15 3 5 5

1 5 5 1

1

Luego se escriben las descomposiciones en forma de potencia:

53290 2

532120 3 2532150

Finalmente se toman los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente. En este caso resulta:

MCM 1800532150,120,90 23

Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800 minutos volverán a coincidir los tres autobuses, tiempo equivalente a 30

horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas.

Una forma simplificada de obtener el MCM de los números 90, 120 y 150 es la siguiente:

36


90, 120, 150 2

45, 60, 75 2

45, 30, 75 2

45, 15, 75 3

15, 5, 25 3

5, 5, 25 5

1, 1, 5 5

1, 1, 1

Por lo tanto, el MCM 1800532150,120,90 23

Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

a) Encuentren el MCM de los siguientes números:

_____MCM

300225,

_____MCM

420380,

_____MCM

36 24, 18,

_____MCM

125 75, 25,

_____MCM

9 75, 60,

0

_____MCM

490 325, 140,

b) ¿El m.c.m de dos números primos es el producto de ellos mismos? Justifiquen su respuesta.

c) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco minutos y a qué horas?

d) Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si coinciden en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, ¿cuándo volverán a coincidir?

e) Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador que suena cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo. ¿A qué hora volverán a sonar otra vez juntos?

f) Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿cuánto tardarán en volver a estarlo?






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27 2 LMS SN Y PA Números y sistemas de numeración Resolviendo problemas 2 7.2.2 2/2 G7B2C2

Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común

múltiplo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor,

empleando el producto de los factores primos.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:

1. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones.

a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes? b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar?

2. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que

los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos? 3. En una bodega hay 3 barriles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto

número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar todo el vino contenido en cada uno de los barriles, y el número de garrafas que se necesitan.

4. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 peras, de modo que cada caja contenga el mismo número de

manzanas o de peras y, además, el mayor número posible. Hallar el número de manzanas o de peras en cada caja y el número de cajas necesarias.

Consideraciones previas: El primer problema es muy sencillo, seguramente los alumnos lo resolverán listando los divisores de cada uno de los

números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 12:

Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48,

Divisores de 60: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Luego, podrán determinar que en un tablón de 48 cm, se pueden cortar 4 tablas de 12 cm y que en el tablón de 60 cm se

pueden cortar 5 tablas de 12 cm, dando un total de 9 tablas.

Con respecto a los problemas 2 y 3, ya no es sencillo resolverlos enlistando los divisores, sin embargo, es probable que

los alumnos intenten resolverlos con muchas dificultades.

En este momento es preciso darles a conocer cómo se determina el M.C.D de varios números.

Recuerde que el M.C.D. de dos números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

Para hallar el M.C.D. de varios números,

• se descomponen los números en factores primos,

• se pasa la descomposición a forma de potencia y

• se toman los factores comunes con su menor exponente.

Al igual que en el caso del MCM., se puede descomponer cada uno los números en factores primos. En este caso, resulta:


210 2 300 2

105 3 150 2

35 5 75 3

7 7 25 5

1 5 5

1

Luego se escribe la descomposición en forma de potencia.

7532210 223 532300

Finalmente se toma los factores primos comunes con menor exponente y se multiplican. En este caso resulta:

MCD 30532300 ,210 23

Esto quiere decir que los azulejos más grandes que se pueden poner sin que haya desperdicio, deben tener 30 cm por

lado para que quepan 7 azulejos de ancho por 10 azulejos de altura.

Una manera de determinar el MCD de los números de una forma más simplificada es como se muestra enseguida:

38


210, 300 2

105, 150 3

35, 50 5

7, 10

En este caso, sólo se descomponen los números en factores primos comunes. Por lo que el

MCD 30532300 ,210 23

Esta forma directa puede aplicarse para obtener las respuestas de los problemas 3 y 4.

Problema 3, MCD (250, 360, 540) = 10. Capacidad máxima de las garrafas, 10 litros. Número de garrafas que se

necesitan: 25 + 36 + 54 = 115.

Problema 4, MCD 12431212772 ,12028 2 . 124 manzanas o 124 peras en cada caja. Cajas para manzanas 97 y

cajas para las peras 103, total 200 cajas.

Una vez que los alumnos se les han mostrado cómo determinar el M.C.D. y que hayan realizado algunos ejercicios, se les

pueden plantear la siguiente reflexión que involucran las nociones estudiadas:

Una pregunta de reflexión que puede plantearse es la siguiente: ¿Si un número es divisor de otro, entonces, este divisor

es el MCD de ambos? Justifiquen su respuesta.

Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

1. Encuentren el M.C.D de los siguientes números:

_____MCM

300225,

_____MCM

420380,

_____MCM

36 24, 18,

_____MCM

125 75, 25,

_____MCM

9 75, 60,

0

_____MCM

490 325, 140,

2. Se requiere embaldosar un patio de 1 620 cm de largo por 980 cm de ancho con baldosas cuadradas lo más grandes

posibles y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de cada baldosa?

3. Una fracción de cartulina mide 1 m por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula del mayor tamaño posible cada cuadrado. ¿Cuál debe ser la medida de cada cuadrado de la cuadrícula?

4. De un pliego rectangular de foami que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho, se quiere cortar cuadrados de la mayor superficie posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados? ¿Cuántos cuadrados se pueden obtener?






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28 2 LMS SN Y PA Problemas Aditivos Sumando fracciones 7.2.3 1/2 G7B2C3

Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en

distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen estimaciones de problemas aditivos que combinan fracciones y

números decimales y que reflexionen sobre la pertinencia o no de hacer únicamente una estimación.


1. Estima el resultado de las siguientes operaciones:

a) 40

195.2

15

8 b) 1.023.0

9

195.1

8

6

2. Encuentren el resultado estimado o exacto, según crean más conveniente, de los siguientes problemas.

a) María está interesada en controlar su peso. Para ello, se pesó una vez por semana y registró los resultados en la siguiente tabla:

Semana 1 2 3 4 5 6 7

Peso (kg) Inicial Subí Subí Bajé Bajé Subí Bajé

57 ½ kg 1.12 kg ¼ kg 0.98 kg 1 ¾ kg 0.14 kg 0.28 kg

Después de las siete semanas, ¿subió o bajo de peso? ____________ ¿cuánto? __________

b) Alfonso viaja constantemente a Estados Unidos por avión, en la aerolínea que utiliza sólo puede llevar equipaje con un peso menor a 23 kg, si dicho equipaje es igual o mayor le cobra una tarifa como se muestra en el siguiente recuadro.

Tarifa Peso/

Sobrepeso + 90 USD 51 - 70 lbs/23 - 32 kg

Alfonso lleva tres maletas con los siguientes pesos: una maleta que pesa 11.5 kg, otra con 8 1/4 kg y una tercera con 1¾ kg. ¿Cuál es el peso total que lleva por las tres maletas? ¿Alfonso pagará tarifa por sobrepeso?

Consideraciones previas: Estimar el resultado de una operación es obtener un dato cercano al correcto y para llegar a él pueden utilizarse

diferentes procedimientos como el redondeo, el truncamiento, asociar valores, entre otros. Una estimación puede hacerse

mental o utilizando algún implemento como lápiz y papel o una calculadora.

Es posible y deseable que en la primera operación los alumnos determinen que el resultado aproximado es 3 ½, ya que

8/15 es ligeramente mayor a ½, 2.95 es casi 3 y 1/40 es casi cero. En la segunda se puede redondear 1.95 a 2,

transformar 6/8 en ¾, considerar 1/9 como 0.1 y 0.23 como ¼, así al relacionar ¾ y ¼ que se resta queda ½, 0.1 y 0.1

que se resta queda cero, por lo tanto, el resultado aproximado es 2.5 o bien 2 ½. Es necesario discutir ampliamente la

pertinencia de operar y expresar los resultados con decimales o con fracciones. Por los valores utilizados, es posible que

algunos alumnos hagan los cálculos mentalmente, si no es así, se puede solicitar que se use esta variante.

En relación con los problemas es importante que los alumnos discutan para decidir la pertinencia de obtener un

resultado exacto o buscar únicamente una estimación. Mientras que para el primero es suficiente una estimación, en el

segundo es indispensable encontrar el resultado exacto, ya que algunos gramos de más implican un cobro importante

para Alfonso.






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29 2 LMS SN Y PA Problemas Aditivos Recomendación médica 7.2.3 2/2 G7B2C3

Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en

distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen los algoritmos usuales al resolver problemas que impliquen sumar y

restar fracciones y números decimales.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Karla tiene problemas con su columna y el médico le recomendó no cargar pesos superiores a 5.5 kg. El fin de semana Karla fue al mercado y cargó los siguientes artículos: 1 2/5 kg de naranjas, 580 gramos de jamón, 1/5 de kg de queso, 1.2 kg de pollo, ¾ de kg de carne, una lata de rajas de 425 gramos, un jabón de tocador de 125 gramos y ½ kg de tortillas. a) ¿Respetó Karla la indicación de su médico? b) ¿Cuál es la diferencia entre la recomendación del médico y lo que cargó?

2. Encuentren el número faltante en las siguientes operaciones:

a) 8.52

16.1

4

108.0

b) 2

12

9

13.0

6

5


A diferencia del plan anterior, aquí es necesario encontrar resultados exactos. Por los números utilizados en los

problemas, tanto decimales como fraccionarios, se espera que no sea tan evidente utilizar el cálculo mental para

encontrar los resultados, y que los estudiantes usen los algoritmos convencionales para dicho fin.

En el primer problema, además de requerir que los alumnos realicen transformaciones entre decimales y fracciones y

operar con ellos, es necesario que sepan que un kilogramo equivale a 1000 gramos, por lo tanto, 580 gr, 425 gr y 125 gr,

pueden escribirse como 0.58 kg, 0.425 kg y 0.125 kg, respectivamente.

El asunto de la conveniencia de trabajar con decimales o con fracciones es una decisión importante que tienen que

discutir los alumnos, por ejemplo, en la operación b al intentar transformar las fracciones en decimales se obtienen

números periódicos y por lo tanto el número buscado será aproximado, en cambio sí se transforma 0.3 en fracción y se

opera con puras fracciones el resultado será exacto.






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30 2 LMS SN Y PA Problemas Multiplicativos Cambiando la unidad 7.2.4 1/3 G7B2C4

Contenido: 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en

distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.


Que los alumnos usen la multiplicación de fracciones para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos de cuatro, van a resolver la siguiente actividad: “Cambiando la unidad”.(Fichero de actividades didáct icas. Matemáticas. Secundaria, páginas 52 y 53).

CAMBIANDO LA UNIDAD Tema 3: Fracciones: multiplicación y división

Propósito: Enriquecer el significado de los números y sus operaciones a través de la solución de problemas diversos

Contenidos: Revisión de la adición de más de dos fracciones. Problemas asociados a la multiplicación de fracciones. Algoritmo de la multiplicación.

Material: Geoplano de 5 × 5y ligar (por alumno)

1. Organizados los alumnos en equipos de cuatro, realicen la siguiente actividad:

Formen con ligas en su geoplano un cuadrado como éste.

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida lo que se muestra en los siguientes incisos

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida lo que se muestra en los siguientes incisos:

a)

b)

c)

2. Resuelva la siguiente situación

Formen con ligas en su geoplano un rectángulo como éste.

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida lo que se muestra en los siguientes incisos

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida:

a)

b)

c)

VARIANTE

3. Resuelva la siguiente situación

Calculen su área y perímetro considerando que el

segmento es 7

1de la unidad:

Consideraciones previas: Los alumnos han realizado diversas actividades que son similares a esta en la primaria por lo que se espera que no

tengan dificultad en su comprensión. Es probable que para cada actividad de la ficha se requiera una sesión.

Si no cuenta con el fichero, lo puede descargar en la siguiente dirección electrónica:

http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf






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http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf

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31 2 LMS SN Y PA Problemas Multiplicativos La tableta de medicina 7.2.4 2/3 G7B2C4




Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. Resuelvan problemas

de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

a) Una tableta de una medicina pesa 7

4 de onza, ¿cuál es el peso de

4

3 de tableta?

b) Una botella cuya capacidad es 2

11 litros, contiene agua hasta sus

5

3 partes. ¿Qué cantidad de agua contiene?

Consideraciones previas: Lo importante en el primer problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren saber el peso de ¾ de

tableta y el peso de la tableta completa es 4/7, lo que interesa averiguar es ¾ de 4/7. Este es el primer asunto que

conviene que los alumnos tengan claro. A partir de aquí se puede ver que 4/7 se puede dividir en cuatro partes iguales y

que cada una de esas partes es 1/7, de manera que ¼ de 4/7 es 1/7, 2/4 son 2/7 y ¾ de 4/7 son 3/7. Una vez que se ha

hecho esta reflexión conviene pasar a la escritura formal para ver que ¾ de 4/7 es lo mismo que ¾ x4/7= 12/28 = 3/7. En

el caso del segundo problema los alumnos pueden apoyarse en la representación gráfica, que corresponde al modelo de

áreas.






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32 2 LMS SN Y PA Problemas Multiplicativos El granjero 7.2.4 3/3 G7B2C4




Que los alumnos resuelvan problemas de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo

Consigna: Organizados en parejas, van a resolver los siguientes problemas:

a) Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los animales a comerse sus verduras. La

parcela es de forma cuadrada, cada lado mide 10 m, si puso los postes cada 4

3 de metro, ¿cuántos postes colocó?

b) Un rectángulo tiene de área 40

15 y sabemos que uno de sus lados mide

8

5. ¿Cuánto medirá el otro lado?

c) Un rectángulo tiene de área 3

7 y sabemos que uno de sus lados mide

5

2. ¿Cuánto medirá el otro lado?

Consideraciones previas: En el primer problema, quizá los alumnos tracen un cuadrado a escala que represente el terreno y marquen el lugar

donde colocarían cada poste. En los dos últimos problemas es importante que los alumnos sepan que cuando conocen el

área de un rectángulo y la medida de uno de sus lados, pueden calcular la medida del otro lado dividiendo el área entre

el lado conocido. Partiendo de esta idea básica, el problema es cómo dividir 15/40 entre 5/8. Una posibilidad es plantear

esta operación como una multiplicación en la que se desconoce un factor: 40

15

8

5 . Dado que los alumnos ya saben

que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores, es fácil que puedan encontrar el factor

desconocido. Sólo después de hacer estas reflexiones se les puede decir que la división de fracciones equivale a

multiplicar por el inverso multiplicativo, es decir, 5

3

200

120

5

8

40

15

8

5

40

15






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33 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Cortemos los segmentos 7.2.5 1/2 G7B2C5

Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un

segmento y la bisectriz de un ángulo.


Que los alumnos:

Utilicen los conceptos de recta, segmento, semirrecta; perpendicular y punto medio.

Elaboren definiciones de mediatriz de un segmento y busquen maneras de trazarla.

Consigna 1: Dados los siguientes segmentos, traza una recta perpendicular a cada uno, de tal manera que los divida en dos partes

iguales. Señala con la letra que quieras el punto donde se cortan los dos segmentos.

a) La recta que trazaste en cada caso se conoce como “mediatriz” del segmento dado. Escribe una definición de mediatriz.

Consigna 2: Traza la mediatriz de cada segmento y marca un punto cualquiera sobre la mediatriz que trazaste. Después, une los

extremos del segmento dado con el punto marcado sobre la mediatriz.

a) ¿Qué tipo de triángulo se formó en cada caso?

b) ¿Todos los triángulos que formaste tienen la misma altura?__________ ¿Por qué?

c) Si las distancias de cada extremo del segmento dado al punto marcado sobre la mediatriz fueran iguales, ¿qué tipo de

triángulo se formaría?

d) Tomando como base los segmentos anteriores, ¿se podrá formar un triángulo con tres lados de diferente medida? Justifica tu

respuesta.

Consigna 3: Traza un segmento cualquiera y su mediatriz y con ellos dibuja un rombo.

a) ¿Es único el rombo que se puede construir con los segmentos que trazaste? Justifica tu respuesta.


Es importante verificar que los alumnos tracen correctamente la mediatriz de cada segmento y después de esto

cuestionarlos para que caigan en cuenta que todos los triángulos formados son necesariamente tienen dos lados iguales,

por lo tanto son isósceles. Pero si las distancias de cada uno de los extremos del segmento al punto marcado son iguales

a la longitud del segmento, el triángulo formado es equilátero. De igual forma puede utilizarse la construcción del rombo

y hacer cuestionamientos a los alumnos para que revisen y complementen la definición de mediatriz –en caso de que sea

necesario.






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34 2 LMS FE y M Figuras y cuerpos Dividiendo ángulos 7.2.5 2/2 G7B2C5

Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un

segmento y la bisectriz de un ángulo.


Que los alumnos:

Utilicen el concepto de ángulo.

Busquen maneras para trazar la bisectriz de un ángulo y elaboren la definición de bisectriz.

Consigna 1: Traza una línea, de tal manera que cada ángulo quede dividido en dos ángulos de igual medida.

a) A la línea que trazaron se le conoce con el nombre de “bisectriz” del ángulo. Escriban una definición para bisectriz.

Consigna 2: Traza con algún color la bisectriz de los ángulos interiores de cada figura, con otro color las diagonales y con un color diferente la mediatriz de cada lado.

a) ¿En qué casos coinciden las diagonales del polígono con las bisectrices de sus ángulos?

b) ¿En qué casos coinciden las mediatrices y las bisectrices?

c) Tracen un círculo que quede inscrito en cada uno de los polígonos anteriores.


Habrá que estar atentos para ver qué hacen al trazar diagonales y en caso necesario aclarar que los triángulos no tienen

diagonales. Asimismo, será importante revisar qué relación hay entre las mismas diagonales (en el caso del cuadrado y

del rombo son perpendiculares mediatrices una con respecto de la otra). De igual forma, podrían analizar la relación

entre varias parejas de líneas dentro de cada figura.






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35 2 LMS FE y M Medida Justifica fórmulas 7.2.6 1/2 G7B2C6

Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la

construcción y transformación de figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos calculen el perímetro y el área de polígonos regulares utilizando diferentes

procedimientos.

Consigna. Reúnete con un compañero y tomen las medidas necesarias para calcular el perímetro y el área de cada una de las siguientes figuras:

Perímetro: ___________ Perímetro: ___________ Perímetro: ______________ Área: ___________ Área: ___________ Área: ______________


En este momento los alumnos deben conocer las fórmulas para calcular el perímetro y el área de las dos primeras

figuras, se espera que usen estos conocimientos para resolver lo que se plantea.

Para el caso del área del triángulo, necesitan dos datos, la medida de la base y de la altura. Por lo que se espera que

midan y obtengan estos datos y apliquen la fórmula correspondiente. La base mide 5 cm y su altura mide

aproximadamente 4.3 cm.

275.102

)3.4)(5(

2cm

cmcmbhA

En relación con el perímetro, éste lo pueden obtener de varias maneras, por ejemplo tomando tres veces como sumando

la medida de un lado (5 cm) o bien con la multiplicación 3 (5 cm). En este momento vale la pena profundizar con

preguntas como:

¿Qué fórmula se requiere para calcular el perímetro de un octágono regular?

¿Cuál para un decágono regular?

¿Y cuál para un polígono regular de n lados?

Si la fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular es P = 7l, donde l es la medida de un lado, ¿de

qué figura se trata?

Y si la fórmula es P = l + l + l + l + l + l, ¿de qué figura se trata?

La idea es interactuar con el lenguaje algebraico.

Para el cuadrado, basta con utilizar P = 4l y A = l 2 para obtener el perímetro y el área, respectivamente, donde l es la

medida de un lado.

47

En la tercera figura el verdadero reto está en calcular su área, dado que los alumnos no conocen una fórmula para

calcular el área del pentágono regular. Sin embargo, cuentan con otros recursos para hacerlo, como dividir el pentágono

en otras figuras, para las cuales ya conocen una fórmula. Algunas posibles transformaciones son las siguientes:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Pentágono regular Pentágono regular Pentágono regular Pentágono regular

Nota: Las líneas punteadas son las alturas de las figuras resultantes, las cuales tendrán que ser consideradas por los

alumnos para realizar sus cálculos.

En el caso 1, la figura está dividida en un triángulo y un trapecio. En el segundo caso son puros triángulos. En el caso 3,

está dividido el pentágono en tres triángulos y un cuadrado. El caso 4, es una división poco probable que realicen los

alumnos, sin embargo, es uno de los métodos más rápidos, porque sólo necesitan dos medidas para hacer los cálculos. En

caso de que este procedimiento de triangulación no surgiera entre los alumnos, se puede sugerir que lo hagan, ya que

representa una experiencia fundamental para deducir la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular.

Independientemente del procedimiento que sigan los alumnos, se espera que puedan concluir que el área del pentágono

es de aproximadamente 28 cm2.






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36 2 LMS FE y M Medida Buscando fórmulas 7.2.6 2/2 G7B2C6

Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la

construcción y transformación de figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos deduzcan la fórmula general para calcular el área de un polígono regular.

Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas:

1. Con base en las siguientes figuras, escriban una fórmula para calcular el área del hexágono y otra para el octágono.

2. Escriban una fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular.

Consideraciones previas: Con respecto al primer problema, es probable que la mayoría de los alumnos sólo lleguen a las siguientes expresiones

algebraicas:

Para el hexágono: 222222

xaxaxaxaxaxaA

Para el octágono:

22222222

xaxaxaxaxaxaxaxaA

Si este fuera el caso, puede generarse una interacción entre los alumnos y el profesor para deducir la fórmulas.El

profesor puede explicar que las sumas se pueden escribir así:

Para el hexágono: )(2

xxxxxxa

A

Para el octágono: )(2

xxxxxxxxa

A

Luego, puede preguntarse a los alumnos: ¿Qué representa lo que está dentro del paréntesis?, ¿Cómo se pueden escribir

esas sumas en forma de productos?

Esto es con la finalidad de que los alumnos se den cuenta que las sumas representan el perímetro de las figuras y cómo

las pueden simplificar. Con lo anterior se pueden transformar las expresiones en otras:

Para el hexágono: 2

)6( xaA o

2

)6( axA

Para el octágono: :

2

)8( xaA o

2

)8( axA

A partir de estas últimas expresiones, se puede preguntar a los alumnos, ¿cuál sería la fórmula para calcular el área de

un decágono regular? ¿y para un polígono regular de 16 lados? ¿y para calcular el área de cualquier poígono regular?

La idea es que los alumnos adviertan la variación en las fórmulas es 6x, 8x, 10x, 16x y que estas expresiones representan

el perímetro de los poígonos, el cual puede representarse con P; por lo que la fórmula para calcular el área de cualquier

un polígono regular es: 2

PaA

Finalmente, se sugiere pedir a los alumnos que usen la fórmula construida para verificar el área del pentágono del plan

anterior.





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37 2 LMS MI Proporcionalidad y funciones A escala 7.2.7 1/2 G7B2C7

Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en

diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.


Que los alumnos utilicen el factor constante de proporcionalidad entero y fraccionario para resolver problemas del tipo

valor faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros.

Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema: Los

lados de un cuadrilátero miden 5, 9, 2 y 11 cm, tal como se muestra en la figura; si se realiza una reproducción a escala y el lado correspondiente a 5 cm, ahora mide 15 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para escribir las respuestas.

Medidas de los lados de la figura original

Medidas de los lados de la reproducción

5 cm 15 cm

2 cm

9 cm

11cm

Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1, con la

diferencia de que el lado correspondiente a 9 cm, en la reproducción mide 3 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados?



9 cm 3 cm

2 cm

5 cm

11cm

Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1, con la

diferencia de que el lado correspondiente a 2 cm, en la reproducción mide 5 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados?



2 cm 5 cm

5 cm

9 cm

11cm

Observaciones previas:

Los problemas 1 y 2 son semejantes a los tratados en el bloque 1, en el 3 hay un avance importante, el factor constante de

proporcionalidad (2.5 o 5/2) ya no es fracción unitaria, así la tarea principal en esta clase se centra en la búsqueda y uso

del factor constante de proporcionalidad.

Si a los alumnos les cuesta trabajo relacionar el tema de escala con la proporcionalidad, explicar y ejemplificar dichos

vínculos.

Es probable que en el ejercicio 2, utilicen la división para obtener los valores que se piden, destacar la equivalencia de

dividir entre 3 y multiplicar por un tercio.






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38 2 LMS MI Proporcionalidad y funciones Más escalas 7.2.7 2/2 G7B2C7

Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en

diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.


Que los alumnos utilicen factores constantes de proporcionalidad fraccionarios para resolver problemas del tipo valor

faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros y decimales.

Consigna 1: En equipos resuelvan lo siguiente. Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el

lado de 5 cm, ahora mide 2.5 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados?



5 cm 2.5 cm

2 cm

9 cm

11cm

Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 9 cm, ahora mide 6.5 cm en

la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.



9 cm 6.5 cm

2 cm

5 cm

11cm

Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 2 cm, ahora mide 2.8 cm en

la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.



2 cm 2.8 cm

5 cm

9 cm

11cm

Observaciones previas

En el ejercicio de la consigna 1 el factor puede ser 0.5 o ½ (valores equivalentes), en cualquiera de los casos aprovechar

la oportunidad para vincular con las operaciones de multiplicación y división.

Por ejemplo, si tomamos la razón 5 cm es a 2.5 cm

División: Al intentar encontrar el factor constante de proporcionalidad (2.5 5)

Multiplicación: Al utilizar el factor constante de proporcionalidad (5 × 0.5 ó 5 × ½)

En el ejercicio de la consigna 2 el factor de proporcionalidad puede ser 13/18 u otra fracción equivalente y el decimal

periódico 27.0

Si se dan ambos casos, revisar los algoritmos y notar la diferencia (en algunos casos con los decimales se obtienen

resultados aproximados).






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0.72

51

BLOQUE 3


Resuelve problemas que implican

efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.

Resuelve problemas que impliquen el

uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

Resuelve problemas que implican el

cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

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39 3 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Los satélites 7.3.1 1/2 G7B3C1

Contenido 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos

contextos, utilizando el algoritmo convencional.


Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números

decimales.

Consigna: En parejas resuelvan los siguientes problemas.

Una revista de ciencia publicó que uno de los primeros satélites que existieron tardaba 95.57 minutos en dar una vuelta a la Tierra. De acuerdo con esta información

a) ¿Cuántos minutos tardaba el satélite para dar 9.5 vueltas a la Tierra?

b) ¿Cuántos minutos tardaba para dar 100 vueltas?

c) ¿Cuántos días tardaba en dar 100 vueltas?

d) ¿Cuántas horas tardaba en dar 100 vueltas?


A partir de este problema se puede llevar a los alumnos a varias reflexiones interesantes, por ejemplo, el procedimiento

rápido para multiplicar un decimal por 100, teniendo mucho cuidado de no pretender que simplemente se aprendan de

memoria la regla de recorrer el punto decimal, sino que usen la calculadora para que observen la regularidad y ellos

mismos formulen la regla. En el inciso c, un resultado aceptable es 6.6 días, a partir del cual se pueden plantear

preguntas interesantes como: ¿Cuál sería el resultado expresado en días y horas? ¿Cuál sería el resultado expresado en

días y minutos? Es muy probable que algunos alumnos digan que son 6 días y 6 horas, ante lo cual se puede cuestionar:

¿Y si fueran días y minutos serían 6 días y 6 minutos? El punto es que caigan en cuenta que 6.6 días, son 6 días y 6

décimos de día, de donde cabe preguntar: ¿Cuánto es un décimo de día en horas? ¿Cuánto es un décimo de día en

minutos?






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40 3 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Los planetas 7.3.1 2/2 G7B3C1

Contenido 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos

contextos, utilizando el algoritmo convencional.


Que los alumnos reflexionen sobre el valor del producto cuando uno de los factores es menor que uno y utilicen el

algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números decimales.

Consigna: En parejas resuelvan los siguientes problemas.

a) La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0.81 veces la velocidad de la Tierra. ¿Cuál de los dos planetas gira más rápido? ¿Por qué? ¿A qué velocidad gira Marte?

b) La velocidad de Plutón es de 4.8 kilómetros por segundo. La de Venus es 7.5 veces la velocidad de Plutón. ¿A qué velocidad gira Venus?


Es importante detenerse en el análisis de las tres preguntas del primer problema, porque es muy probable que algunos

alumnos piensen que en toda multiplicación el producto debe ser mayor que cualquiera de los factores, lo cual no sucede

cuando uno o ambos factores son menores que uno. Es conveniente que primero anticipen y después verifiquen que el

resultado de multiplicar 29.7 por 0.81 es menor que 29.7 Por otra parte, también es importante consolidar la idea de que

al utilizar la expresión “n veces”, n puede ser un número mayor, igual o menor que uno. En el contexto del problema,

una afirmación que es cierta es que los planetas más cercanos al Sol giran más rápido a su alrededor.

Otros problemas para resolver:

Diámetro de la Tierra: 12 756km

Diámetro de la Luna: 0.27 veces el de la Tierra.

1. ¿Cuál es el diámetro de la Luna? 2. Averigua el diámetro de cada planeta pero antes digan cuales planetas son más grandes y cuales más chicos que la

tierra.

PLANETA DIÁMETRO DIÁMETRO EN Km ORDEN

Tierra 12,756 km

Mercurio 0.38 veces el diámetro terrestre

Venus 0.91 veces el diámetro terrestre

Marte 0.52 veces el diámetro terrestre

Júpiter 10.97 veces el diámetro terrestre

Saturno 9.03 veces el diámetro terrestre

Urano 3.73 veces el diámetro terrestre

Neptuno 3.38 veces el diámetro terrestre

Plutón 0.45 veces el diámetro terrestre






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41 3 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Residuo cero 7.3.2 1/3 G7B3C2

Contenido 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos,

utilizando el algoritmo convencional.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las relaciones que se pueden establecer entre los términos de la división.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan lo siguiente

Encuentren 5 divisiones en las que el cociente sea 3.5 y el residuo sea cero. No se vale utilizar la calculadora.

Consideraciones previas: El problema fundamental consiste en encontrar una división cuyo cociente sea 3.5, para lo

cual, es probable que los alumnos recurran al tanteo y posteriormente se den cuenta de que si multiplican el cociente por

un divisor cualquiera, obtienen el dividendo. Una vez que tienen una división, también se espera que se den cuenta de que

pueden obtener otras con el mismo cociente si multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número. Es muy

importante que todos estos hallazgos sean de los alumnos y que el profesor sólo se encargue de socializarlos y de

ponerlos en claro durante la confrontación.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear a los alumnos el siguiente problema:

Inventen un problema que se pueda resolver con una división y cuyo resultado sea 3.4

En esta actividad habrá que centrar la discusión en la pertinencia de los datos propuestos y el significado del resultado

obtenido según el contexto planteado por cada equipo.






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42 3 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos La caja de refrescos 7.3.2 2/3 G7B3C2



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen adecuadamente el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números

decimales.

Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas. No se vale utilizar la calculadora.

1. Una caja de refrescos cuesta $ 104.40. Si ésta contiene 24 refrescos, ¿cuál es el costo de cada refresco?

2. El ancho de un rectángulo mide 1.25 m y su área es de 10 m

2. Calcula la longitud de su largo.

3. Si un costal de azúcar contiene 61.5 kg, ¿cuántos paquetes de 0.750 kg se pueden llenar?

Consideraciones previas: Los problemas anteriores permiten reflexionar sobre el algoritmo de la división con decimales,

el cual ha sido estudiado por los alumnos en la primaria. En caso de que los alumnos tengan dificultades con este

algoritmo conviene reestudiarlo, haciendo énfasis en la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por una

potencia de 10, para que el divisor quede entero.






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43 3 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Las velocidades 7.3.2 3/3 G7B3C2



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números decimales e

interpreten correctamente los resultados obtenidos.

Consigna: En equipos y sin usar calculadora, calculen y anoten en la siguiente tabla las velocidades que corresponden a Luis, Juan y Pedro. Posteriormente contesten las preguntas planteadas.

Nombre Distancia Tiempo Velocidad

Luis 215.5 km 2.5 horas

Juan 215.5 km 2.39 horas

Pedro 215.5 km 2 horas, 6 minutos

a) ¿Quién hizo mayor tiempo? b) ¿Quién iba a mayor velocidad?

Consideraciones previas: En primer lugar se espera que los alumnos sepan que mediante la división de la distancia entre

el tiempo se pueden calcular las velocidades. Un problema adicional en el que seguramente será necesario que el

maestro intervenga es el manejo de las unidades, dado que están dividiendo kilómetros entre horas, el resultado (la

velocidad) será km/h (kilómetros por hora o kilómetros sobre hora). Un problema más es la manera en que se expresa el

tiempo de Pedro, necesariamente hay que convertir 2 horas 6 minutos en un decimal y muchos alumnos pueden pensar

que se trata de 2.6 h, lo cual es incorrecto. El maestro tendrá que intervenir para aclarar que 6 minutos es la décima

parte de 60 minutos, por lo tanto son 6 horas y un décimo de hora, es decir, 6.1 horas.






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44 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Problemas 7.3.3 1/4 G7B3C3

Contenido: 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado

de la forma cbaxbaxbax ,, , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c

números naturales, decimales o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales al resolver problemas que se pueden plantear con una ecuación de la

forma cbaxbaxbax ,,

Consigna: De manera individual resuelvan los siguientes problemas:

1. Pensé un número, a ese número le sumé 15 y obtuve como resultado 27. ¿Cuál es el número que pensé?”

2. Pensé un número, lo multipliqué por 3 y obtuve 51. ¿Cuál es el número que pensé?

3. Pensé un número, lo multipliqué por 2, le sumé 5 y obtuve 27. ¿Cuál es el número que pensé?

4. Pensé un número, le saqué mitad y luego le resté 15, con lo que obtuve 125. ¿Cuál es el número que pensé?

5. La edad de Liliana es un número que sumado a 15 da como resultado 27. ¿Cuál es la edad de Liliana?

6. Si al doble de la edad de Juan le sumas 8, obtienes 32. ¿Cuál es la edad de Juan?


Es conveniente que después de resolver cada problema se analicen grupalmente los procedimientos utilizados. Los

problemas propuestos sólo son ejemplos de muchos otros que se pueden plantear, procurando aumentar el rango de los

números para “obligar” a los alumnos a utilizar algo más que el cálculo mental. Este algo más puede ser las operaciones

inversas. Por ejemplo, en el problema 4, es probable que algunos alumnos utilicen el camino de regreso: a 125 sumarle

15 y al resultado multiplicarlo por dos, con lo que se obtiene el número pensado.






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45 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Trabajando con la “equis” 7.3.3 2/4 G7B3C3




Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas y hagan planteamientos que impliquen encontrar números desconocidos a través

de su representación.

Consigna. En equipos encontrar el valor de x de los siguientes problemas:

a) b) c)

Perímetro = 80cm

x = ____________

Área = 152 m2

x = ____________

Área = 36 m2

x = ____________


Para el primer y segundo casos, es probable que no haya ninguna dificultad para que los alumnos encuentren el valor de

x; sin embargo, para el tercer caso, es probable que los alumnos tengan dificultades en reconocer que xx 2 es igual a

x3 , y que x3 por 3 es igual a x9 para que puedan llegar finalmente a la ecuación 369 x . Situación que se puede

aprovechar para plantear algunas actividades en las que los alumnos expresen de manera breve el perímetro o áreas de

figuras. Ejemplo:

lllllP 4

En este mismo contexto se puede introducir el uso del exponente 2 para expresar un número elevado al cuadrado, por

ejemplo, 2lA , en lugar de ll , así como la convención de eliminar el signo de multiplicación entre dos literales o

entre número y letra.






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46 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Distancias “equis” 7.3.3 3/4 G7B3C3




Intenciones didácticas: Que los alumnos examinen y discutan las diversas formas de expresar simbólicamente una misma ecuación.

Consigna. En equipos resolver el siguiente problema a partir de plantear una ecuación.

En una tira como la del dibujo se quieren hacer cinco agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un circulo de 9 cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre agujeros señaladas en la figura con la letra x?


Es probable que los alumnos no hagan uso de una ecuación para resolver el problema, sino que recurran a procedimientos

aritméticos, por ejemplo:

4559 , 154560 , 5.2615 Por supuesto que el procedimiento anterior es correcto y hay que validarlo como tal, sin embargo después de esto conviene

pedirles que ahora planteen una ecuación con la que se resuelva el problema. Es probable que lleguen a ecuaciones como las siguientes:

6099999 xxxxxx

6099999 xxxxxx

6045 xxxxxx

4560 xxxxxx

60456 x

Después de dar tiempo suficiente para que los alumnos planteen la ecuación y la resuelvan, se hará una puesta en común, sólo

de las ecuaciones que se hayan escrito en forma diferente. También es importante ver como las resolvieron. El asunto a enfatizar es cuál es la manera más abreviada de escribir la ecuación.

Una vez que todos estén de acuerdo en que la ecuación es 60456 x , hay que consolidar los procedimientos que ya han

utilizado para resolver ecuaciones, que seguramente serán el cálculo mental y el uso de las operaciones inversas, pero además hay que introducir el uso de las propiedades de la igualdad, en particular la que nos permite efectuar cualquier operación para

simplificar la ecuación, siempre y cuando dicha operación se efectúe en los dos miembros de la ecuación y con los mismos

números. En el caso anterior sería:

Ecuación original: 60456 x

Se resta 45 en ambos miembros: 456045456 x

Resulta: 156 x

Se divide entre 6 a los dos miembros: 6

15

6

6

x

Resulta: 5.2x

Después de esto hay que comprobar que efectivamente 2.5 es el valor de x que satisface la ecuación. Hay que dedicar algún

tiempo para consolidar este procedimiento.






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47 3 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Los balones 7.3.3 4/4 G7B3C3




Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas y planteen ecuaciones para encontrar números desconocidos.

Consigna: En equipos de 3 alumnos, plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema.

Se reparten 76 balones en 3 grupos, el segundo recibe 3 veces el número de balones que el primero y el tercero recibe 4 balones menos que el primero. ¿Cuantos balones recibe cada grupo?

Consideraciones previas: Es conveniente que después de resolver el problema se analicen grupalmente los

procedimientos utilizados.

Una dificultad que se puede presentar a los alumnos es poder establecer la ecuación que relaciona todos los datos del

problema.

De presentarse dificultades de interpretación, será necesario orientar a los alumnos para organizar la información del

problema, por ejemplo:

Grupos: A B C

Balones: x x3 4x

Esto les puede facilitar el planteamiento de la ecuación.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear lo siguiente:

Plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema.

Se tienen 88 objetos que se reparten entre dos personas, la segunda persona recibe 26 menos que la primera. ¿Cuántos recibe cada una?






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48 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Doblando papel 7.3.4 1/3 G7B3C4

Contenido: 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del

ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el

polígono inscrito en ella.


Que los alumnos: Establezcan la diferencia entre el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono.

Construyan diferentes polígonos de acuerdo con la información que se dé acerca de éstos.

Consigna 1: En equipo, utilizando las tiras de papel que se proporcionan, sin cortarlas, mediante dobleces únicamente, construyan las siguientes figuras planas regulares: triángulo (equilátero), cuadrado, pentágono y hexágono. Cada equipo construya por lo menos dos distintas.

a) ¿Cómo determinaron dónde debían hacer el doblez? ¿Por qué?


Para la realización de esta actividad es necesario preparar el siguiente material:

Previendo que se formen equipos de cuatro alumnos, será necesario entregar a cada equipo cuatro tiras de 30 cm de

largo por 1 cm de ancho, de manera que en cada equipo cada alumno construya una de las figuras propuestas.

En caso de que a los alumnos se les dificulte la identificación de las figuras planas, colocar en el pizarrón un cartel

(preparado para este efecto) con las figuras que se pide obtener, sin nombrarlas o mostrar alguna de sus características.

Plantear preguntas como las siguientes.

¿En qué son diferentes? ¿En qué se parecen?

A continuación se les pide que tomen una de las tiras de papel y hagan un nudo con ella. ¿Qué figura se obtiene en los

dobleces marcados?

Consigna 2: Comenten en cada equipo los procedimientos utilizados para obtener las figuras anteriores y escriban la secuencia de pasos para exponer ante el grupo los que resulten diferentes.


Si se observa que la mayoría de los alumnos no tienen dificultades en formar algunos polígonos, se les puede pedir que

sólo se muestren los casos en los que se haya detectado mayor problema.

Si después de unos diez minutos nadie ha construido una figura, habrá que utilizar un procedimiento dirigido para que el

alumno siga las indicaciones y observe la forma en que se hacen los dobleces. Luego se preguntará sobre las

características de la figura obtenida y si cumple o no con la tarea encomendada.

Consigna 3: A partir de las características observadas en las figuras construidas, completar la tabla siguiente:

Nombre # de lados # de ángulos Medida del ángulo interior # de diagonales

Triángulo

4 2

5

120°


En caso de que sea necesario, utilizar el cartel que se preparó con las figuras para la medición de los ángulos de las

figuras construidas. Conviene analizar en colectivo los resultados de la tabla y discutir los resultados diferentes. También

vale la pena analizar las regularidades de la tabla, por ejemplo, en todos los casos el número de lados coincide con el

número de ángulos.






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49 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Trazando figuras 1 7.3.4 2/3 G7B3C4





Que los alumnos busquen procedimientos para localizar el centro de una circunferencia dada y para dibujar un polígono

regular inscrito en dicha circunferencia.

Consigna 1: Construyan un hexágono regular inscrito en la siguiente circunferencia.

¿Cuál fue el procedimiento que siguieron para trazarlo?

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos se den cuenta de que necesitan el centro de la circunferencia pero no sepan como ubicarlo,

en tal caso, primero hay que ver si la duda se puede resolver entre los propios alumnos. Si no es posible, se les puede

sugerir el recurso de marcar tres puntos sobre la circunferencia, unirlos para trazar un triángulo y localizar el cruce de

las mediatrices, que a la vez es el centro de la circunferencia.

Consigna 2: Divide el hexágono construido en triángulos congruentes que tengan un vértice común. ¿Qué tipo de triángulos se forman al dividir el hexágono? Justificar la respuesta.

Consideraciones previas: Aquí se introduce el concepto de congruencia, sin embargo no será motivo de estudio en este momento y se puede dejar

sólo la idea que al decir triángulos congruentes es lo mismo que decir triángulos iguales en forma y tamaño. En caso de

que haya tiempo, se les pedirá que tracen otro polígono regular inscrito en la circunferencia, que lo triangulen y digan

qué tipo de triángulos se formaron ahora.






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50 3 LMS FE y M Figuras y Cuerpos Trazando figuras 2 7.3.4 3/3 G7B3C4





Que los alumnos:

Utilicen las mediatrices de los lados de un cuadrado para trazar un octágono regular.

Averigüen como puede trazarse un polígono regular con base en la medida de un lado.

Consigna 1: A partir de la siguiente figura construye un octágono regular inscrito en la circunferencia. Describe con claridad el procedimiento empleado y justifícalo.

PROCEDIMIENTO:

Consigna 2: Traza un cuadrado cuyo perímetro sea 48 cm y su área sea 144 cm

2.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrado? Consigna 3: Traza un hexágono regular que mida 5 cm por lado y después contesta las preguntas que siguen.

a) ¿Cuánto mide un ángulo interior del hexágono regular? b) ¿Cuál es el área del hexágono que trazaste?

Consideraciones previas: Los alumnos saben que al triangular un hexágono regular se forman triángulos equiláteros. Con esta información podrán

saber la medida de un ángulo interno del hexágono y trazarlo, sabiendo que un lado mide 5 cm. En caso de que se atoren

se dibujará en el pizarrón un hexágono para ayudarles a analizar sus propiedades.






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51 3 LMS FE y M Medida Sombrilla de playa 7.3.5 1/2 G7B3C5

Contenido: 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.


Que los alumnos utilicen las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares para resolver problemas que impliquen

calcular cualquiera de las variables que intervienen en dichas fórmulas.

Consigna. En parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. El salón principal de un hotel tiene forma de octágono regular con un perímetro de 52 m. ¿Cuánto mide cada lado de dicho salón?

2. Alberto tiene que hacer un corral con forma de hexágono regular, utilizando alambre de púas. Cada lado debe medir 4.8 m. ¿Cuántos metros de alambre necesitará, si la cerca llevará dos hilos?

3. Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa lona cortada en forma de polígono regular de 10 lados. Calculen la cantidad de lona que necesitará para fabricar 36 sombrillas, si sabemos que cada lado mide 173 cm y su apotema mide 266.2 cm.

4. Encuentren la medida del apotema de la tapadera de una bombonera con forma de hexágono regular, cuya área es de 314.86 cm

2 y cada uno de sus lados mide 11 cm.


Generalmente, en este tipo de problemas, el valor solicitado es el perímetro o el área. En este caso, la incógnita puede ser

cualquier variable que interviene en las fórmulas correspondientes.

En el primer problema se conoce el perímetro del octágono regular y lo que se pide es el valor de cada lado. Es importante que

los alumnos utilicen la fórmula correspondiente (P = 8 l) y que a partir de ella determinen la expresión “52 m = 8 l” y que

para obtener el valor de l la relacionen con una ecuación de la forma ax = b, así el valor de l se obtiene con el cociente 52 m /8

Para el caso de la tapadera de la bombonera, se conoce el área del hexágono regular (314.86 cm2) y la medida de cada uno de

sus lados (11 cm); el valor solicitado es el del apotema. La expectativa es que los alumnos modelen el problema con la

siguiente expresión:

2

6686.314 2 acm

cm

Y que la puedan transformar en: acmcm 6672.629 2

Posteriormente, encontrar el valor de a de manera similar como se encuentra el valor de x en una ecuación de la forma ax=b.

En los problemas 2 y 3 se piden el perímetro y el área de los polígonos, basta sustituir en las fórmulas lP 6 y 2

aPA

,

los valores de l, P y a para encontrar los datos solicitados. Tener presente que la respuesta del segundo problema es dos veces

el valor del perímetro, ya que se trata de una cerca con dos hilos y para el tercero es 36 veces el área por tratarse de 36

sombrillas.






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52 3 LMS FE y M Medida Ampliando y reduciendo 7.3.5 2/2 G7B3C5

Contenido: 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.


Que los alumnos establezcan las relaciones de variación del apotema, perímetro y área en función de la medida de los lados de

polígonos regulares.

Consigna. Reunidos en equipo, discutan y justifiquen las respuestas de las siguientes preguntas:

Si se duplica, triplica o se reduce a la mitad la medida de los lados de un polígono regular:

a) ¿Qué sucede con el perímetro?

b) ¿Qué sucede con el apotema?

c) ¿Qué sucede con el área?


Es importante pedirles a los alumnos que primero escriban sus conjeturas y luego traten de justificarlas. Para ello, es probable que

algunos alumnos establezcan conjeturas como las siguientes:

“Al duplicar la medida de los lados, el perímetro se duplica, el apotema no cambia y el área también se duplica”

“Al reducir a la mitad la medida de los lados del polígono regular, el perímetro se reduce a la mitad, el apotema se reduce a la mitad

y el área también se reduce a la mitad”

“Si se duplica la medida de los lados del polígono, el perímetro, el apotema y el área también se duplican”

Una vez que los alumnos han elaborado sus conjeturas, pedirles que las justifiquen. Para tal fin, pueden utilizar diferentes

argumentos y recursos, por ejemplo, llenar una tabla como la siguiente, que se refiere a un hexágono regular cuyos lados miden 6

cm, después variar esta medida y observar que sucede con las demás variables.

Lado Apotema Perímetro Área 6 cm 5.2 cm 36 cm 93.6 cm2

12 cm 3 cm

Es probable que cuando modifiquen la medida de los lados, cambien en la misma proporción el perímetro, lo cual es correcto, y que

dejen constante la apotema, por lo tanto, el área también se modifica en la misma proporción que la medida de los lados y que el

perímetro, sin embargo, esto no es correcto, al modificar las medidas de los lados, necesariamente también se modifican las medidas

del apotema.

Una forma de verificar lo anterior es dibujando un triángulo equilátero de 6 cm por lado, luego, trazar otro triángulo equilátero donde la medida del lado sea el doble del primero; luego, medir su altura. De esta manera podrán darse cuenta que cuando se duplica la medida de los lados de un polígono, el apotema también se duplica.

Finalmente, se espera que puedan concluir que cuando se duplica, triplica o se reduce a la mitad las medidas de los lados de un

polígono regular, el efecto es el mismo para el perímetro y para el apotema; mientras que para el área, es el cuadrado de la razón de

ampliación o reducción; por ejemplo; si la razón de ampliación es el triple (3), la razón de ampliación del área es el cuadrado de

esta razón de ampliación (32= 9). Así, si las medidas de los lados se duplican, el área es el cuádruple. Si se reducen a la mitad las

medidas de los lados, el área se reduce a la cuarta parte.






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53 3 LMS MI Proporcionalidad y Funciones La credencial 7.3.6 1/2 G7B3C6

Contenido: 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de

proporcionalidad en situaciones dadas.

Intenciones didácticas

Que los alumnos interpreten el factor constante fraccionario como dos operadores enteros y lo apliquen para resolver

diversos problemas.

Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema:

Al fotocopiar una credencial, primero se amplia al triple y posteriormente la copia resultante se reduce a la mitad. ¿Cuál es el efecto final respecto a la credencial original? Si la credencial es un rectángulo de 10 por 6 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia? ¿Y en la segunda? Si necesitan calculadora, pueden utilizarla.


En esta sesión los operadores son enteros, “por 3” y “entre 2”, que al combinarlos resulta el factor 2

3. Ampliar al triple

es equivalente a utilizar una escala de 3 a 1 y reducir a la mita es equivalente a utilizar una escala de 1 a 2, así, el efecto

final puede expresarse mediante la escala 3 es a 2 ó 2

3.

Conviene resaltar que 2

3 también puede interpretarse como “entre 2” “por 3”. Los efectos en la segunda fotocopia

serán los mismos si primero se reduce a la mitad y luego se amplía al triple.

Tanto para calcular el área de la primera fotocopia como para la segunda, los alumnos tienen que pasar por la medida

de los lados, conviene resaltar que cuando ambos lados del rectángulo aumentan al triple el área aumenta nueve veces,

mientras que cuando ambos lados se reducen a la mitad, el área se reduce cuatro veces. Vale la pena preguntar por qué

sucede esto. Un error muy frecuente es pensar que el área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados.

Habrá que ver si los alumnos incurren en él.






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54 3 LMS MI Proporcionalidad y Funciones La fotografía 7.3.6 2/2 G7B3C6

Contenido: 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de

proporcionalidad en situaciones dadas.

Intenciones didácticas

Que los alumnos interpreten el efecto de la aplicación sucesiva de dos factores fraccionarios al resolver diversos

problemas.

Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema.

El triangulo ABC, que aparece a la derecha, se reprodujo a una escala de 2

3,

posteriormente se hizo una nueva construcción a partir de la reproducción con

una escala de 3

1. ¿Cuál es la escala de la segunda reproducción respecto al

triángulo original?

Consigna 2: En equipos, resuelvan el siguiente problema:

Una fotografía se reduce a una escala de 3

1y enseguida se reduce nuevamente con una escala de

4

1. ¿Cuál es la

reducción total que sufre la fotografía original?


Si el problema de la consigna 1 resulta complicado, algunas preguntas que pueden orientar a los alumnos son:

a) ¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original?

b) ¿Cuánto miden los lados de la primera reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores?

c) ¿Cuánto miden los lados de la segunda reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores,

considerando los valores de la primera reproducción?

d) ¿Qué factor fraccionario permite obtener directamente las medidas de los lados de la segunda reproducción, a

partir de las medidas del triángulo original?

e) ¿Qué relación encuentran entre los factores que respondiste en a) y b) y el contestado en c)?

Al trabajar con dos factores consecutivos fraccionarios conviene regresar a la descomposición de cada uno. Por ejemplo,

por tres medios equivale a por tres entre dos y por un tercio equivale a por uno entre tres. Agrupando operaciones queda

por tres por uno, entre dos entre tres, es decir, por tres entre seis o por 6

3, que es el resultado de multiplicar

2

3 por

3

1.

Sugerir variantes del ejercicio de la consigna 2, por ejemplo: cuando la fotografía se amplía dos veces consecutivas o

cuando se amplía y posteriormente se reduce o viceversa, poniendo énfasis en el caso especial cuando las escalas son

inversas, por ejemplo 1:3 y 3:1 .

Dada la complejidad de conocimientos y habilidades es muy probable que haya necesidad de dedicar otras sesiones para

consolidar, planteando otros problemas similares. En tal caso habrá que elaborar otros planes de clase.






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55 3 LMS MI Nociones de Probabilidad Lanzando monedas 7.3.7 1/2 G7B3C7

Contenido: 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y

su registro en una tabla de frecuencias.

Intenciones didácticas: Que los alumnos pronostiquen resultados de experiencias aleatorias y que los comparen con los

resultados reales de la experiencia.

Consigna: Reúnete con otro compañero para realizar las siguientes actividades:

1. Si se lanza una moneda 10 veces, ¿qué resultado creen que se repetirá más veces, águila o sol? _______¿Por qué?

2. Ahora realicen el experimento, lancen una moneda 10 veces y registren en una tabla los resultados, ¿qué resultado

se repitió más veces? ____________________ ¿Acertaron en su pronóstico? 3. Si se lanza una moneda 40 veces, ¿qué cara creen que saldrá la mayor cantidad de veces? ___________ ¿Por qué?

4. Lancen una moneda 40 veces y registren en una tabla los resultados. ¿La cara que más se repitió fue la que habían

anticipado?

5. Si se lanza una moneda 100 veces, ¿qué resultado creen que se repetirá más veces, águila o sol? _____ ¿Por qué?


Para realizar los experimentos es importante prever que cada pareja cuente

con una moneda. Se trata que los alumnos antes de realizar los experimentos

realicen una predicción de los resultados y que después comparen ambos

resultados, el de su predicción y el del experimento.

Es conveniente que los resultados de las experiencias se registren en tablas de

frecuencias, es más fácil visualizarlos. La siguiente es un ejemplo.

Es importante analizar junto con los alumnos las construcciones de las tablas,

verificando que las columnas y las filas sean las necesarias, los encabezados y

los valores sean los correctos.

Lanzamiento Águila Sol 1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

Totales 6 4

Es posible que la anticipación de la pregunta tres sea influida por los resultados del experimento de los diez lanzamientos

de la moneda, es decir, que si en el experimento se obtuvieron más águilas, crean que al hacer 40 lanzamientos, también

salgan más águilas. De ahí la importancia que se discutan ampliamente los argumentos de las predicciones.

Si bien se trata fundamentalmente que los alumnos contrasten sus anticipaciones con los resultados de las experiencias,

es muy probable y deseable que los alumnos adviertan que los lanzamientos de la moneda son eventos independientes, es

decir, que el resultado de uno no influye en el resultado de otro y que mientras más se repita el experimento, la diferencia

entre la cantidad de águilas y soles es más pequeña. En la siguiente clase se retomarán y ampliarán estas reflexiones.






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56 3 LMS MI Nociones de Probabilidad Lanzando un dado 7.3.7 2/2 G7B3C7

Contenido: 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el

experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan que las fracciones formadas por el número de veces que se obtiene cada cara de

un dado entre el total de lanzamientos cada vez son más próximas mientras más lanzamientos se realicen.

Consigna 1: Organizados en equipos de seis integrantes participen en el siguiente juego.

Van a lanzar 60 veces un dado, pero antes, cada integrante del equipo debe elegir el número que considere que va a salir más veces. Se pueden repetir los números. Escriban sus predicciones en la siguiente tabla.

Nombre del jugador

Predicción

Ahora realicen el experimento, y registren en la siguiente tabla los resultados.

a) ¿Quién ganó? ¿Cuántas veces se repitió el número que eligió?

Si se repitiera el juego, ¿qué número escogerían? Discutan sus respuestas.

Número de

puntos

Veces que va

saliendo el

número

Total de

veces

1

2

3

4

5

6

Consigna 2: Con el mismo equipo realicen lo que se pide.

Representen con una fracción los resultados del experimento anterior. El numerador será el total de veces que salió el número y el denominador, el total de veces que se tiró el dado.

a) ¿Se repite alguna fracción? _____________ ¿Cuál? b) Si se lanzara el dado 120 o 600 veces, ¿qué fracción creen que se repetiría

más? __________ ¿Por qué?

Número de puntos

Total de veces

Fracción

1

2

3

4

5

6


Es necesario prever que cada equipo cuente con un dado de seis caras marcadas con uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis puntos. Se

sugiere que cada equipo cuente con seis integrantes para que exista la posibilidad de que cada uno seleccione un número diferente

del dado y puedan advertir que el comportamiento de la probabilidad de todos es el mismo.

En la consigna 1 los alumnos anticipan que número se repetirá más veces al lanzar un

dado 60 veces y después contrastan su predicción con los resultados reales del

experimento; más adelante aparece una pregunta, ¿qué número escogerían si se

repitiera el juego?, la finalidad de ésta es que los estudiantes identifiquen que las

frecuencias de todos los números fluctúan alrededor de 10, por lo tanto, cualquiera de

los seis números del dado tiene la misma posibilidad de repetirse más veces.

La segunda columna de la tabla donde registrarán los resultados de los lanzamientos,

cuyo encabezado es “Veces que va saliendo el número”, es un espacio que los alumnos

pueden utilizar para colocar marcas (rayas, taches, etc.) cada vez que aparezca ese

resultado, finalmente contarán esas marcas y determinarán la frecuencia de cada uno.

Hay que decirles la utilidad de este espacio, la siguiente tabla muestra la utilidad

descrita.

Número

de

puntos

Veces que va

saliendo el

número

Total

de

veces

1 XXXXXXXXX 9

2 XXXXXXXXXXX 11

3 XXXXXXXXXX 10

4 XXXXXXXXXX 10

5 XXXXXXXXX 9

6 XXXXXXXXXXX 11

Si bien desde la primera consigna se espera que los estudiantes noten que las frecuencias fluctúan alrededor de 10, en la consigna 2

determinarán fracciones con las frecuencias y el total de lanzamientos, con la intención de que identifiquen su cercanía o semejanza

con 1/6. Se espera que la fracción que más se repita sea 10/60, que es equivalente con 1/6 y las otras sean muy cercanas (11/60,

12/60, 9/60, 8/60). Mientras más se repita el experimento, las fracciones que se obtengan se acercarán más a 1/6, que es la

probabilidad de obtener cualquiera de los seis resultados del dado.






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57 3 LMS MI Análisis de la Información Habitantes en millones 7.3.8 1/3 G7B3C8

Contenido: 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten información contenida en tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1: Reunidos en equipos, analicen la información de la siguiente tabla y respondan a las preguntas que se hacen enseguida.

LAS CIUDADES MÁS GRANDES DEL MUNDO

CIUDAD NÚM. DE HABITANTES

(EN MILLONES) PAÍS CONTINENTE

Tokio 23.4 Japón Asia

México 22.9 México América

Nueva York 21.8 EU América

Sao Paulo 19.9 Brasil América

Shangai 17.7 China Asia

Beijing 15.3 China Asia

Río de Janeiro 14.7 Brasil América

Los Ángeles 13.3 EU América

Bombay 12 India Asia

Calcuta 11.9 India Asia

Seúl 11.8 Corea del Sur Asia

Buenos Aires 11.4 Argentina América

Yakarta 11.4 Indonesia Oceanía

París 10.9 Francia Europa

Osaka-Kobe 10.7 Japón Asia

El Cairo 10 Egipto África

Londres 10 Inglaterra Europa Fuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001.

1. ¿Cuáles son las dos ciudades más grandes del mundo y en qué país y continente se encuentran?

2. ¿Cuántos millones de habitantes suman las ciudades más grandes que pertenecen al continente americano?

3. ¿En qué continente se concentra la mayor cantidad de ciudades con más habitantes?

Consigna 2. Siguiendo el trabajo en equipo, analicen la siguiente tabla y contesten las preguntas con base a la información que se

presenta en ella. CUADRO COMPARATIVO DE LOS CONTINENTES

CONTINENTE SUPERFICIE

(MILES DE KM2)

% NÚM. HABITANTES

(EN MILLONES) %

África 30 310 20 694 12.6

América 42 500 28 743 13.5

Asia 44 900 30 3 331 60.7

Europa 9 900 7 695 12.7

Oceanía 8 500 6 27 0.5

Antártida 14 000 9 - -

Total mundial 150 000 100 5 490 100 Fuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001.

* Se incluye la parte europea de Rusia (286 millones)

1. ¿Qué continente tiene la mayor extensión territorial?

2. Menciona 3 continentes que juntos no rebasen al continente Americano en superficie.

3. ¿Cuál es el motivo de que la Antártida tiene vacíos los casilleros de Número Habitantes y %?

4. ¿En qué continente viven más personas por kilómetro cuadrado?

5. ¿Cuál continente tiene más habitantes por kilómetro cuadrado, América o Europa? ¿Cómo puedes saberlo?

6. ¿Cómo se obtienen los porcentajes de superficie y de núm. de habitantes?


La actividad de la consigna 1 se deberá realizar y comentar en los primeros 15 ó 20 minutos de la clase.

Si existiera dificultad para contestar la pregunta 3 de la actividad 2, aprovechar la ocasión para que los alumnos investiguen la

ubicación y condiciones climáticas de este lugar.

La respuesta 6 de la actividad 2, pudiera causar ciertos problemas a los estudiantes; si esto sucede, revisarla junto con ellos.






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58 3 LMS MI Análisis de la Información Las calificaciones 7.3.8 2/3 G7B3C8


Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten la información contenida en tablas incompletas de frecuencia absoluta y relativa

y obtengan los datos faltantes.

Consigna: Trabajen en equipo para completar las siguientes tablas sobre las calificaciones obtenidas por los alumnos de dos grupos de primer grado. Posteriormente contesten las preguntas que se hacen. Pueden utilizar calculadora.

GRUPO 1° “A” GRUPO 1° “B”

Calificación Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa %

Calificación Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa %

10 3 15 10 3 12.5

9 5 9 4

8 6 8 21

7 15 7 16.67

6 2 6 2 8.33

5 5 25 5 6

Total 20 100 Total 24 100

1. ¿Cuál es el grupo con mejor índice de aprobación? y ¿Por qué?

2. ¿Cuántos alumnos reprobaron en cada grupo? ¿Cuál es el índice de reprobación en cada grupo?

3. ¿Por qué a frecuencias absolutas iguales en ambas tablas, les corresponde frecuencias relativas diferentes?


Si los alumnos tuvieran dificultades para obtener los valores faltantes de las tablas, vincular con los contenidos de

primaria relacionados con los porcentajes.

Es posible que los alumnos identifiquen que en la tabla del 1º “B” las frecuencias relativas no suman exactamente 100%,

aprovechar la oportunidad para practicar el redondeo y encontrar la razón por la que no se obtiene exactamente 100%.

Si el tiempo lo permite, con la intención de distinguir la información que proporciona una frecuencia absoluta y una

relativa, podría plantearse la siguiente situación: si en un grupo cualesquiera de secundaria hay 5 reprobados en

matemáticas, ¿son muchos o pocos? ¿De qué depende la respuesta?






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59 3 LMS MI Análisis de la Información Las estaturas 7.3.8 3/3 G7B3C8


Intenciones didácticas: Que los alumnos organicen los datos de una muestra y construyan una tabla con frecuencias absolutas y relativas.

Consigna. En equipos resuelvan el siguiente problema:

El profesor de Educación Física recopiló las estaturas (en metros) de los alumnos de un grupo de nuestra escuela. Analicen y organicen los datos para presentar la información en la tabla de la derecha. Pueden utilizar su calculadora.

1.57, 1.53, 1.55, 1.56, 1.52, 1.54,

1.55, 1.58, 1.57, 1.56, 1.55, 1.53,

1.57, 1.54, 1.52, 1.55, 1.58, 1.56,

1.55, 1.55, 1.54, 1.58, 1.53, 1.56,

1.54, 1.56, 1.55, 1.54, 1.55, 1.53,

1.56

Estatura F. absoluta F. relativa


Si los alumnos preguntan cuantas líneas debe llevar su tabla, se les responderá que es un acuerdo del equipo, sin

embargo hay que tener en cuenta que en este son 7 datos distintos, de 1.52 a 1.58 y que no hay forma de determinar

rangos con la misma amplitud; por lo que lo más pertinente es utilizar 7 líneas, una para cada estatura.






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BLOQUE 4


Construye círculos y polígonos

regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.

Lee información presentada en

gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información

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60 4 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos La línea del tiempo 7.4.1 1/4 G7B4C1

Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros,

fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos ubiquen en una línea del tiempo citas históricas de antes y después de Cristo.

Consigna. En equipo, lean las siguientes citas históricas; luego realicen lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

a) En el año 340 antes de Cristo surge la figura de Alejandro Magno e implanta la época helenística, periodo que duró hasta el inicio del imperio romano.

b) En el año 2 800 antes de Cristo se da la unificación de Egipto, atribuida al faraón Menes.

c) En el año 630 después de Cristo un profeta árabe llamado Mahoma, se convirtió en la figura más importante de la edad media. Es fundador de una de las religiones más importantes.

d) En el año 1 600 antes de Cristo surge el poder de los hititas, quienes se instalaron en Asia Menor. Su imperio se extendió hasta Siria.

e) Los españoles logran conquistar la ciudad de Tenochtitlan en el año 1 521 después de Cristo e inician la conquista de México.

f) La revolución rusa se inicia en el año 1917 después de Cristo.

g) En el año 30 antes de Cristo se inicia la época de los emperadores romanos.

h) En el año 620 antes de Cristo nace Tales de Mileto, filósofo griego que murió a la edad de 89 años.

1. Ubica en la línea del tiempo que a continuación se te presenta los años correspondientes a las citas históricas.

2. Ordena las citas históricas de lo más antiguo a lo más reciente.

3. Si Tales de Mileto vivió 89 años, ¿en qué periodo murió, antes o después de Cristo? ¿Por qué?


Es necesario tener dibujada la línea del tiempo en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los

resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar las citas históricas.

En caso necesario, orientar a los alumnos planteando preguntas como:

En la línea del tiempo, ¿dónde inicia el antes y el después de Cristo? ¿Con qué número se marca ese punto de inicio?

¿En que dirección se cuenta los años transcurridos antes de Cristo? ¿Y después de Cristo?

Al comparar dos fechas distintas representadas en la recta numérica, ¿Cuál es más reciente?

La puesta en común de las respuestas a los cuestionamientos debe llevar a establecer el convencionalismo de “llamar

negativos a los números que se ubican a la izquierda del cero y positivos a los que se localizan a la derecha de cero”.






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61 4 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos La temporada de futbol 7.4.1 2/4 G7B4C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos hagan uso de la recta numérica para representar situaciones con números

positivos o negativos.

Consigna: En equipos, leer la siguiente información, luego realizar lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

Al terminar la temporada de fútbol mexicano Invierno 2005, la tabla de resultados se encontraba muy apretada para definir cuáles eran los ocho equipos que pasaban a la liguilla; por lo que se acordó tomar en cuenta el resultado de sumar los goles a favor y en contra de cada equipo; luego ordenar los equipos para elegir a los ocho que resultaran con mejor posición; es decir, con mayor número de goles a favor o con menor número de goles en contra.

Los resultados de sumar los goles a favor y en contra son los siguientes:

Morelia 8 goles en contra, Monterrey 5 goles a favor, Toluca 3 goles a favor, América 7 goles a favor, Jaguares 4 goles en contra, Pumas 5 goles en contra, Cruz Azul 7 goles en contra, Tigres 6 goles en contra, Chivas 5 goles en contra, Santos 3 goles a favor, Atlante 2 goles en contra, Necaxa 4 goles a favor.

1. Ubica en la recta numérica los equipos en función del número de goles a favor o en contra. A la izquierda del cero, los equipos que tienen goles en contra y a la derecha del cero, los equipos que tienen goles a favor.

2. Anota en la siguiente tabla los ocho equipos que pasan a la liguilla de acuerdo con la actividad anterior.

a) Anota los nombres de dos equipos que están a la misma distancia de cero:

b) Si un equipo acumuló durante el torneo 15 goles a favor y 15 en contra, ¿cuál es su resultado?

c) El resultado final del equipo Morelia fue 8 goles en contra. ¿Cuántos goles a favor y cuántos en contra pudo haber acumulado?

POSICIÓN EQUIPO

Primer lugar

Segundo lugar

Tercer lugar

Cuarto lugar

Quinto lugar

Sexto lugar

Séptimo lugar


Es necesario tener dibujada la recta numérica en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los

resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar a los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

Es muy importante aprovechar la puesta en común, en particular las respuestas de los incisos a y b para introducir el

concepto de números simétricos, como dos números cualesquiera que están a la misma distancia de cero. Decir además y

hacer que los alumnos verifiquen con varios ejemplos, que la suma de dos números simétricos es cero.

Al hablar de distancia entre dos números o de la distancia entre un número cualquiera y cero hay que decir que la

distancia siempre es un número positivo y a partir de aquí hay que introducir el concepto de valor absoluto, como la

distancia de un número al cero. Así, la distancia de -5 a cero es 5 y la distancia de 5 a cero también es 5, de manera que

el valor absoluto de -5 es igual a 5 y el valor absoluto de 5 es igual a 5. Esto se denota así: I-5I = 5; I5I = 5.






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62 4 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos Temperatura ambiental 7.4.1 3/4 G7B4C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el

uso de números con signo.

Consigna. Con base en la siguiente información, en equipos, indiquen las variaciones entre las temperaturas máximas y mínimas. Traten de justificar sus respuestas.

Ciudades Temperatura máxima Temperatura mínima Variación

A 22 °C 7 °C

B 9 °C -2 °C

C 5.2 °C -1 °C

D -2.5 °C -18.5 °C

En una ciudad x, la temperatura al anochecer era -7 °C, por la mañana bajó otros 5 grados y a mediodía subió 7

grados. ¿Cuál era la temperatura a mediodía?

Consideraciones previas

Es probable que algunos alumnos se apoyen de una recta numérica para justificar sus resultados; sin embargo, en caso

de que no suceda, sería conveniente sugerir que utilicen la recta numérica, ya que es un recurso muy útil para dar sentido

a los números con signo.

La ubicación de los números con signo en la recta numérica y la exposición por parte de los alumnos de los

procedimientos empleados, puede ser enriquecida para analizar que la variación entre dos temperaturas equivale a

encontrar la distancia entre dos números representados en la recta numérica y, como se dijo antes, la distancia siempre

es un número positivo.

Después de analizar el problema anterior se puede plantear el siguiente: En una ciudad X, la temperatura al anochecer

era -7 °C, por la mañana bajó otros 5 grados y a mediodía subió 7 grados. ¿Cuál era la temperatura a mediodía?

A diferencia del problema anterior, en éste interviene la suma de números con signo. También puede utilizarse como

apoyo la recta numérica.






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63 4 LMS SN y PA Números y sistemas numéricos El griego Arquímedes 7.4.1 4/4 G7B4C1



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el

uso de números con signo.

Consigna. En binas, resuelvan el siguiente problema. Traten de justificar sus respuestas.

En la siguiente línea del tiempo se ubican las fechas en las que el matemático griego Arquímedes nació y murió.

a) ¿Cuántos años vivió?

b) ¿Cuántos años han transcurridos desde que murió?

Consideraciones previas

Para la pregunta del inciso b, es probable que algunos alumnos resten el año actual menos 212, cuando en realidad, para

obtener la respuesta correcta es sumar 212 más los años transcurridos después de Cristo. En caso de que esto suceda, es

importante plantear algunas preguntas de reflexión como por ejemplo, ¿Cuántos años transcurrieron desde que murió

hasta el nacimiento de Cristo? ¿Cuántos años han transcurrido desde el nacimiento de Cristo?






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64 4 LMS FE y M Figuras y cuerpos Puntos y circunferencias 7.4.2 1/3 G7B4C2

Contenido: 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados,

etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son:

circunferencia(s) que pasen por un punto dado.

Consigna 1. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo.

A .

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto A?___________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?

c) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada círculo?

d) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los círculos trazados con el punto A?

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos se den cuenta de que se puede trazar un número infinito de circunferencias que pasen por

el punto A; además, también es conveniente que reflexionen en que los círculos pueden ser iguales o diferentes, esto es,

cuyo radio tenga la misma medida o bien que sea de longitud diferente. Asimismo, si ningún equipo recuerda el nombre

del segmento AO, el profesor deberá mencionarlo y señalar que el tamaño de éste varía de acuerdo con el tamaño de la

circunferencia.

En el caso de que la escuela cuente con el software de Geometría Dinámica Cabri, SketchPad, u otro, es conveniente que

el maestro lo use en toda la secuencia.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear la siguiente actividad:

Individualmente, en una hoja blanca marca un punto e identifícalo con la letra T. Después, haz un diseño con círculos cuyo radio sea el mismo y que todos pasen por el punto T. Al finalizar, compara tu diseño con los de tus compañeros.






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65 4 LMS FE y M Figuras y cuerpos Circunferencia con dos puntos 7.4.2 2/3 G7B4C2




círculo(s) que pasen por dos puntos.

Consigna. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten las preguntas.

A . . B

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos? Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por qué?

c) Unan con una recta los puntos A y B.

d) Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron.

e) ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí?

f) ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron?

g) ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?

Consideraciones previas: Aquí se debe rescatar el concepto de cuerda y que el diámetro es la mayor de las cuerdas que tiene el círculo. También es

importante que establezcan que si el segmento dado es cuerda del círculo, éste no es único, salvo en el caso en que se

trate de la máxima cuerda (diámetro). Asimismo, se deberá recuperar el concepto de mediatriz y concluir que los

centros de estos círculos quedan sobre la mediatriz del segmento AB, por lo tanto se pueden hacer tantos círculos como

puntos contenga la mediatriz de la cuerda.






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66 4 LMS FE y M Figuras y cuerpos Circunferencia con tres puntos 7.4.2 3/3 G7B4C2




círculo(s) que pasen por tres puntos.

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo central de una cancha de básquetbol se borró por el uso, por la proximidad de un campeonato se necesita repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que trazaran el círculo?


Si los alumnos no logran percibir la necesidad de encontrar el punto de intersección de las mediatrices de dos de los

segmentos que resulten de unir los puntos, el profesor puede recordar cómo realizaron la actividad del plan anterior,

donde trazaron la mediatriz del segmento para ubicar el centro del círculo.






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67 4 LMS FE y M Medida Una constante 7.4.3 1/3 G7B4C2

Contenido: 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo

(gráfica y algebraicamente).Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la

circunferencia y el diámetro.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan que π es la razón entre la longitud de la circunferencia y el

diámetro y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el perímetro del círculo (longitud de la circunferencia).

Consigna 1. En equipo midan el diámetro y la longitud de la circunferencia de los círculos que se dieron, completen la tabla.

Círculo Medida del diámetro

Longitud de la circunferencia

Longitud de la circunferencia entre el diámetro

1

2

3

4

5

Consigna 2. Organizados en equipos, trace cada uno un círculo de la medida que desee, pero que sea diferente a la de sus compañeros de equipo y continúen la tabla anterior, agreguen las filas que les sean necesarias. Al terminar contesten las preguntas.

a) ¿A qué valor se parece el resultado obtenido en la última columna?

b) Con base en la actividad realizada, escriban por qué el perímetro del círculo se calcula con la fórmula: dC .

Consideraciones previas: Es necesario entregar a cada equipo un juego de 5 círculos (cuyos radios midan 5, 8, 10, 15, 20 cm, respectivamente y

numerados del 1 al 5). Asimismo, los alumnos podrán usar regla o cordones para medir la longitud de las

circunferencias.

Aunque es probable que ya hayan realizado en la primaria una actividad semejante, es conveniente hacerla nuevamente

para que profundicen en la reflexión y puedan justificar la fórmula para calcular el perímetro del círculo.






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68 4 LMS FE y M Medida Los diámetros 7.4.3 2/3 G7B4C2




Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre la medida del diámetro y la longitud de la

circunferencia.

Consigna 1. En equipo, revisen la tabla que elaboraron en la clase anterior. Dividan el diámetro uno entre el diámetro

dos y hagan lo mismo con las circunferencias correspondientes. Continúen para completar los datos de la siguiente tabla.

Al terminar escriban alguna conclusión que obtengan de lo que ahí se observa.

Razón entre los diámetros

Razón entre las circunferencias

2

1

d

d

2

1

C

C

3

2

d

d

3

2

C

C

4

3

d

d

4

3

C

C

5

4

d

d

5

4

C

C

5

3

d

d

5

3

C

C

Consigna 2. En equipo, determinen la relación que hay entre las longitudes de dos circunferencias que miden 12 y 24m,

respectivamente. Encuentren también la relación entre las medidas de sus diámetros.

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos encuentren que al duplicar, triplicar, etc., la medida del diámetro de un círculo, su

circunferencia aumenta en la misma proporción y viceversa. En este caso, se tiene una relación de proporcionalidad

directa y ésta se puede representar gráficamente.

Nota: Presentar los círculos previamente elaborados para la próxima clase.






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69 4 LMS FE y M Medida Trazando y recortando 7.4.3 3/3 G7B4C2





Que los alumnos establezcan la relación que existe entre r2 y el área del círculo y con base en esto justifiquen la fórmula

para calcular el área del círculo.

Consigna 1. En equipo realicen la actividad descrita:

a) Para cada uno de los círculos utilizados en la primera sesión de este apartado, (cuyos radios miden 5, 8, 10, 15 y 20 cm) construyan en cartulina 4 cuadrados con la medida de cada uno de los radios. (Cada equipo realiza el ejercicio con un círculo diferente). Ejemplo:

b) Intenten con los 4 cuadrados “llenar” el área del círculo respectivo. Pueden hacer recortes de los cuadrados para que el área esté cubierta lo mejor posible.

c) Contesten las preguntas: ¿Cuántos cuadrados fueron necesarios para cubrir el área del círculo? ¿Obtuvieron los otros equipos similitud en el resultado anterior? ¿Por qué piensas que ocurre esto? ¿Qué tiene que ver la actividad anterior con la fórmula para encontrar el área del círculo? (Recuérdala).


Es necesario que el maestro prevea que el material (círculos, tijeras y cartulinas) esté en el aula antes de comenzar la

actividad.

El maestro debe supervisar la actividad y aclarar las dudas que tengan los alumnos y dar las sugerencias para que

realicen el ejercicio lo mejor posible. Debe dar la indicación de que en cuanto termine cada equipo anote su resultado en

una tabla que él escribirá en el pizarrón:

Medida del radio

Número de cuadrados que

fueron necesarios para cubrir el

área del círculo.

5

8

10

15

20

El maestro deberá privilegiar en la confrontación de las respuestas la justificación de la fórmula del círculo; en caso de

que los alumnos no encuentren la relación de la actividad con la fórmula, él deberá iniciar la reflexión y hacer las

conclusiones que considere pertinentes.






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70 4 LMS MI Proporcionalidad y funciones El pastel 7.4.4 1/2 G7B4C4

Contenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de

problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna. Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas utilizando el procedimiento que consideren más eficiente: 1. Sabiendo que un 1 kg de pastel cuesta $ 75.50, ¿cuánto debe pagar Rodrigo por un pastel cuyo peso en báscula

fue de 2.7 Kg? 2. A precio de mayoreo, 5 latas de fruta en almíbar cuestan $210. ¿Cuál será el costo de 15 latas? 3. María ahorró en el mes de mayo un total de $ 13 900 en una caja de ahorro. Al término del mes le dieron como

ganancia $ 319.70 por los intereses generados. Si Carlos ahorró $15 750 en la misma caja durante el mismo mes, ¿cuánto debe recibir de ganancia?


Es importante que en la confrontación, además de analizar los procedimientos empleados, los alumnos argumenten el uso

de los mismos.

Para el caso del problema 1, se espera que utilicen el valor unitario (dado en el problema). Basta con multiplicar $75.50

(costo de un kilogramo de pastel) por 2.7, que es el número de kilogramos, para encontrar el costo total del pastel.

Es probable y deseable que en el segundo problema los estudiantes identifiquen que el número de latas de fruta se

triplica, por lo que para encontrar el costo de las 15 latas, basta triplicar el costo de 5 de ellas ($210 X 3 = $630).

El tercer problema se incluye en este plan con la intención de que los estudiantes tengan la necesidad de buscar otro

procedimiento, independientemente a los que ya conocen, ya que no es evidente ni sencillo resolverlo duplicando

cantidades, aplicando un factor constante o utilizando el valor unitario, entre otros. Si en esa búsqueda, a ningún equipo

se le ocurre algún procedimiento semejante a la regla de tres, el profesor podrá utilizarla para resolver el problema. Es

fundamental que se analice detalladamente el funcionamiento de este procedimiento. Dos formas de justificar el

funcionamiento de la regla de tres son las siguientes:

Su vinculación con el valor unitario.

Los datos del problema pueden representarse así: x

75015

7.31990013

Una forma de obtener el valor de x es calcular el interés que le corresponde a cada peso,

dividiendo 319.7 entre 13 900 y posteriormente, multiplicar el resultado por 15 750, cantidad

de pesos que le corresponde al segundo capital. La diferencia con la regla de tres es que

primero se hace la multiplicación de 319.7 por 15 750 y después dividir el resultado entre 13

900. La anterior equivalencia justifica el funcionamiento de la regla de tres y la validez de la

siguiente fórmula:

90013

)7.319)(75015(x

Utilizando la igualdad de dos razones.

Los alumnos saben que en una igualdad de razones de la forma d

c

b

a , se cumple que

ad bc , y que para obtener un

valor desconocido de esta igualdad, éste se encuentra dividiendo el producto cruzado conocido entre el tercer valor

conocido. Lo anterior da sustento a la regla de tres.

Una vez que los alumnos hagan esta reflexión, es conveniente proponerles analizar diferentes formas de acomodar los

datos del tercer problema y deducir las que son correctas.

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Algunas formas son las siguientes:

a) x

7.319

15750

13900 en donde

25.362

13900

731915750

.x

b) 1575013900

7.319 x en donde

25.362

13900

157507319

.x

c) 7.319

1575013900

x en donde

14.282

15750

731913900

.x

d) 139007.319

15750 x en donde

66847832

7.319

1390015750.

.x

En los dos primeros planteamientos, aunque la posición de las magnitudes en la proporción no es la misma, pero si la

correcta, nos da el mismo resultado, esto es debido a que dentro de estas operaciones está implícito el valor unitario

13900

7.319 , que representa la ganancia obtenida en la caja de ahorro, por cada peso ahorrado, siendo este el principio

por el cual funciona la regla de tres.

En el tercer caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $13 900, suponiendo que por $15 750 se gana

$319.70, lo cual es erróneo.

En el cuarto caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $15 750, suponiendo que por $319.70 se gana $13

900, lo cual no es cierto.

Por lo anterior, puede advertirse que los valores correspondientes (capital e intereses) deben estar alineados, horizontal

o verticalmente.






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71 4 LMS MI Proporcionalidad y funciones El pastel 7.4.4 2/2 G7B4C4

Contenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el procedimiento experto llamado “regla de tres” para resolver

problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si consideran necesario, utilicen su calculadora. 1. Miguel acostumbra correr en maratones. Si mantiene una velocidad constante y en los primeros 12 minutos recorre

2.53 km, ¿cuánto tardará en llegar a la meta? La distancia exacta del maratón es de 42.195 km. 2. En un supermercado, un paquete de carne de 820 gramos cuesta $69.70, ¿cuánto debe pesar otro paquete del

mismo tipo de carne que tiene marcado un precio de $155.55? 3. Con un bote de pintura de un galón (3.785 l) se alcanzó a pintar una superficie de 12.25 m

2, si la pared completa

mide 22.66 m2, ¿cuántos litros de pintura se requieren para pintarla toda?


Aunque no se descartan otros procedimientos, los problemas planteados en este plan, por los valores utilizados, es

pertinente resolverlos mediante el uso de la regla de tres. En la puesta en común es importante analizar detalladamente

los procedimientos empleados e identificar la eficiencia de cada uno, si no aparece la regla de tres, proponerla e

identificar las ventajas de su uso.

Al utilizar la regla de tres es fundamental que los datos se relacionen correctamente. Así, un modelo adecuado para el

primer problema es el siguiente:

minutos

minutos12

kilómetros195.42

kilómetros53.2

x

De donde: kilómetros53.2

)minutos12)(kilómetros195.42(x

minutos13.200x

Es oportuno solicitar a los estudiantes que conviertan el resultado (200.13 minutos) en una expresión que contenga

horas, minutos y segundos. Tener precaución porque es probable que algunos estudiantes consideren que 200.13 minutos

equivalen a 3 horas con 20 minutos más 13 minutos, o lo que es lo mismo 3 horas con 33 minutos, lo cual es falso, ya que

0.13 minutos es equivalente 7.8 segundos.






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72 4 LMS MI Proporcionalidad y funciones La fotografía 7.4.5 1/2 G7B4C5

Contenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una

reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos conocidos para determinar el factor inverso en

problemas de proporcionalidad

Consigna: Organizados en equipos de 4 integrantes, resolver el siguiente problema: Martín fue a una copiadora para reducir una fotografía con la medida indicada a continuación:

----

----

----

----

- 8

cm

--

----

----

----

--

Al recibir la copia, se dio cuenta que la foto ( copia) medía de ancho 6 cm 1. ¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el

encargado de las copias?

2. ¿Cuánto mide de largo el original, si en la copia este lado mide 15 cm?


Posiblemente sea necesaria una breve explicación sobre el funcionamiento de una fotocopiadora para ampliar o reducir;

aclarando que el factor de ampliación o reducción están relacionados con el factor de proporcionalidad. En el caso de la

primera pregunta, es importante asegurar que los alumnos comprendan que tienen que determinar el factor que

multiplicado por 8 resulte 6. Al mismo tiempo es oportuno comentar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y

dividir entre la fracción reciproca por ejemplo 4

36

3

46 . Si los alumnos logran en poco tiempo resolver el

problema, se podrá presentar las siguientes situaciones:

Queremos que la fotografía se amplíe al tamaño de un cartel que debe medir 45 cm de largo y 18 cm de ancho:

a) ¿Cuál es su factor de proporcionalidad?

b) ¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad cuando sirve para ampliar una figura?, ¿y para reducirla?






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73 4 LMS MI Proporcionalidad y funciones Los barcos 7.4.5 2/2 G7B4C5

Contenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una

reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen el factor inverso en una relación de proporcionalidad.

Consigna: Van a trabajar en parejas para resolver el siguiente problema: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer mediciones.

BARCO 1 BARCO 2

AH = ______ G’H’ = _______

DE = ______ E’F’ = _______

CD = ______

BG = ______


Al realizarse la puesta en común, es importante orientar la discusión hacia el uso del factor inverso, con preguntas como

las siguientes:

¿Por cual número es necesario multiplicar la longitud del segmento D’E’ para obtener la medida del segmento DE?

Es importante llevar a los alumnos a concluir en la puesta en común la relación que existe entre los dos factores, el de

ida y el de regreso y que verifiquen que su producto da uno.






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74 4 LMS MI Nociones de Probabilidad Arreglos florales 7.4.6 1/3 G7B4C6

Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para

verificar los resultados.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen

obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido las siguientes clases de flores:

1. Si en cada arreglo utiliza solamente dos tipos de flores, ¿cuántos arreglos diferentes podrá elaborar?

2. En una nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se puede servir un helado de dos sabores distintos?

3. De los seis representantes de los grupos de primer grado, se va a formar una comisión de tres alumnos que se

entrevistará con el director para solicitarle una fiesta de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede integrar la comisión?

4. ¿Cuántos grupos de dos cifras se pueden hacer con las cifras 1, 2 y 3?

a) Si las cifras de cada grupo son diferentes.

b) Si las cifras de cada grupo pueden ser iguales.


El trabajo de este plan consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un

número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden, es decir, se trata de averiguar la cantidad de

combinaciones.

En el primer problema hay un conjunto de cuatro elementos y hay que determinar subconjuntos con dos elementos. Se

trata de formar arreglos en los que se combinen solamente dos de los cuatro tipos de flor. Dada esta condición, es muy

probable que los alumnos se animen a solucionar el problema a través de dibujos, escribiendo una por una las seis

posibilidades o bien utilizar un diagrama de árbol, cuidando que no se repitan las combinaciones.

90

El número de arreglos que se pueden hacer con dos tipos de flor son seis.

Otro recurso que también podrían utilizar los alumnos y si no el profesor puede sugerir es un arreglo rectangular:

margarita Rosa lirio tulipán

X X

X X

X X

X X

X X

X X

Los problemas dos y tres tienen una estructura semejante al primero, solo que el número de elementos de los conjuntos y

de las agrupaciones cambian. Hay que subrayar que no importa el orden de los elementos.

Es importante mencionar que en los tres primeros problemas, por la naturaleza del mismo o porque es una condición, los

elementos de los subconjuntos no se repiten, en cambio en el problema cuatro se requiere obtener subconjuntos con

repetición y sin repetición. Sin repetición resultan tres grupos: (1, 2), (1, 3) y (2, 3) y con repetición seis: (1, 1), (1, 2),

(1, 3), (2, 2), (2, 3) y (3, 3).






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75 4 LMS MI Nociones de Probabilidad Las banderas 7.4.6 2/3 G7B4C6




obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. ¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas, se pueden formar con los colores rojo, azul, verde y blanco? Cada bandera debe tener tres colores, uno en cada franja.

2. Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres y cuatro cifras distintas es posible

formar? 3. En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de estacionamiento. Se han

habitado dos departamentos, únicamente, el de Carmen y el de Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. a) ¿De cuántas formas diferentes pueden estacionarse?

b) Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los coches los tres vecinos?

c) ¿Resultan más o menos maneras que en el caso anterior?

d) ¿Cuántas maneras habrá de estacionarse cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos los

vecinos tienen coche?


A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos sí importa el orden de los elementos de los subconjuntos, por

ejemplo, los números 357 y 573 son diferentes aunque se utilicen las mismas cifras, por lo tanto, ahora se trata de

averiguar la cantidad de variaciones, dado un conjunto de elementos.

En el segundo problema se tiene un conjunto de cinco elementos (1, 3, 5, 7 y 9) y se trata de determinar el número de

subconjuntos diferentes (números) con tres y cuatro cifras. Una primera pregunta que pueden hacer los alumnos es si es

válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el

problema no lo considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los

alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero

no están seguros. Es posible que algunos alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los

alumnos no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un

diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:

92

Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que permitan visualizar el orden que tienen los

números y la cantidad de ellos que se forman, tales como:

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)?

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)?

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)?

Para encontrar los números de tres cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cuatro

cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen multiplicaciones para

encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el

principio fundamental de conteo:

El total de variaciones con cuatro cifras puede obtenerse con 5 × 4 × 3 × 2 = 120.

En los problemas donde no hayan usado multiplicaciones para encontrar el resultado, vale la pena hacerlo para

comprobar los resultados y para generalizar el procedimiento.

En el problema 3, dado un conjunto de cinco elementos (estacionamientos), se requiere formar subconjuntos de dos, tres

y cinco elementos (autos). Hay que señalar que en la última pregunta se involucran todos los elementos del conjunto, es

decir, se trata de buscar todos los arreglos de cinco elementos, tomados de cinco en cinco. Este tipo de arreglos se

llaman permutaciones, contenido del siguiente plan.

No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para

resolver el problema.

En ninguno de los tres problemas se acepta repetición de elementos, una bandera no puede tener dos franjas del mismo

color, un número no debe tener cifras iguales y un auto no puede estacionarse en dos lugares a la vez. Un problema

adicional, que sí acepta la repetición de elementos es el siguiente:

En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?






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93


76 4 LMS MI Nociones de Probabilidad Haciendo ordenamientos 7.4.6 3/3 G7B4C6




obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. Andrea, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las tres amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

2. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con las cifras 2, 3, 5 y 7? __________ Con las

mismas cifras, ¿cuántos números de cuatro cifras se podrían formar pudiendo repetir cifras en un mismo número? 3. Al final del curso escolar se organizará la escolta de la escuela “Vicente Guerrero”, para ello se eligió a seis alumnos

de segundo grado.

a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse los alumnos en la escolta?

b) Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, ¿de cuántas formas pueden colocarse en la escolta los demás integrantes sin cambiar dicha posición?

c) Juan tiene un volumen de voz fuerte, por lo que se decide ponerlo de sargento. Si Mariana es la abanderada y Juan el sargento, ¿de cuántas maneras diferentes pueden colocarse los otros cuatro integrantes?


A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos intervienen todos los elementos del conjunto. A estos subconjuntos en

donde sí importa el orden de los elementos y participan todos los elementos del conjunto, se llaman permutaciones. Por

ejemplo, en el primer problema se trata de obtener el número de arreglos de un conjunto de tres elementos, tomados de tres en

tres. En el segundo hay un conjunto de cuatro elementos (2, 3, 5 y 7) y se trata de calcular el número de permutaciones, es

decir, la cantidad de números diferentes de cuatro cifras. Finalmente, el tercer problema se puede interpretar como el número de permutaciones de seis elementos tomados de seis en seis, de cinco elementos tomados de cinco en cinco y de cuatro

elementos tomados de cuatro en cuatro.

Si bien, un recurso gráfico como un diagrama de árbol es eficiente para calcular las permutaciones de conjuntos con pocos

elementos, la expectativa es que también se utilice el recurso de la multiplicación, principalmente para obtener las

permutaciones con repetición del segundo problema y en los cálculos del tercer problema.

En la primera parte del tercer problema se trata de calcular las permutaciones de seis elementos, la respuesta es 720 formas

diferentes. Se espera que los alumnos noten este hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación .

720123456 . El propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia

formas más eficientes.

En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de permutaciones se simplifica

considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y el total es 12012345 . Y en el caso del inciso c)

el problema se reduce a acomodar cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24.






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94


77 4 LMS MI Análisis y representación de datos Los deportes favoritos 7.4.7 1/4 G7B4C7

Contenido: 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o

revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo

la representación gráfica más adecuada.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas de barras de

frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica de barras que muestra los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos, respecto a su deporte favorito. Posteriormente contesten las preguntas.

0

5

10

15

20

Voleibol Futbol Basquetbol Beisbol Tenis

No

. alu

mn

os

1. ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia?

2. ¿Cuál es el de menor preferencia?

3. ¿Cuántos alumnos prefieren el básquetbol?

4. ¿Cuál es el número total de alumnos encuestados?

5. ¿Cuántos alumnos no eligieron el básquetbol?

6. ¿Qué % de alumnos prefieren el fútbol?

Consigna 2. Con el mismo equipo analicen la gráfica que muestra las tallas de los alumnos de un grupo, representadas en porcentajes (%) y contesten las preguntas:

0

10

20

30

40

50

60

Grande Mediana Chica

%

Tallas

1. Si son 40 los alumnos del grupo, ¿cuántos son de cada talla?

Talla Grande______ Talla Mediana______ Talla Chica______

2. Suponiendo que en la escuela se quieren hacer chamarras para

160 alumnos, ¿cuántas chamarras de cada talla se deberán confeccionar atendiendo la misma proporción?

Talla Grande______ Talla Mediana______ Talla Chica______


Es probable que los alumnos tengan problemas para determinar el número más aproximado de las preferencias de cada

deporte o el porcentaje de cada talla, ante esto debe sugerirse la división de cada rango del eje vertical en el número más

conveniente y por supuesto, emplear la perpendicular del eje vertical que coincida con la altura de cada barra.

Es posible que confundan la frecuencia absoluta con la relativa, al identificar los elementos de cada gráfica hay que

enfatizar el tipo de frecuencia empleada.






95

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78 4 LMS MI Análisis y representación de datos Las edades 7.4.7 2/4 G7B4C7




Intenciones didácticas: Que los alumnos recopilen información, la organicen y la presenten en gráficas de barras de


Consigna 1. En equipos investiguen las edades de sus compañeros del grupo, completen la tabla con los datos que obtengan y

construyan la gráfica de barras correspondiente

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

11 ó menos 12 13 ó más

No

. Alu

mn

os

Edades (años)

EDAD 11 años o

menos 12 años

13 años o más

Total

NO. ALUMNOS

Consigna 2. Con las edades de sus compañeros del grupo, ahora construyan la tabla y gráfica empleando frecuencias relativas (%).

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

11 ó menos 12 13 ó más

( % )

Edades (años)

EDAD 11 años o

menos 12 años

13 años o más

Total

% 100%

Consideraciones previas.

Es frecuente que los alumnos tengan dificultad al representar las escalas en los ejes verticales, dar tiempo suficiente para

discutir las más adecuadas y no olvidar que a divisiones de la misma longitud les corresponde los mismos valores.






96

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79 4 LMS MI Análisis y representación de datos Las edades de mis compañeros 7.4.7 3/4 G7B4C7




Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas circulares de


Consigna 1. En equipo, analicen la siguiente gráfica que muestra las edades de los alumnos de un grupo de secundaria. Posteriormente contesten las preguntas que se indican.

Si el grupo tiene 40 alumnos: 1. ¿Cuántos alumnos tienen 13 años? _________

2. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años? _________

3. ¿Cuántos alumnos tienen 12 años? _________

11 años

12 años

13 años

Consigna 2. Con el mismo equipo ahora analicen la gráfica que corresponde a otro grupo y anoten el porcentaje que corresponde a cada edad.

11 años ____%

12 años ____%

13 años ____%

Consideraciones previas.

Una primera regla en este tipo de gráficas es que hay una relación de proporcionalidad entre las superficies de los

sectores circulares y las frecuencias absolutas o relativas que representan. Esta idea puede ser explorada con preguntas

como ¿Qué edad es más frecuente en el grupo? ¿Qué edad se repite más en el grupo, 12 años ó 13 y 11 años?, etcétera.

Dos aspectos hay que tener presentes y que pueden ser obstáculos para interpretar adecuadamente una gráfica circular,

uno, la medición de los ángulos y el otro, establecer y resolver una relación de proporcionalidad entre los grados y las

frecuencias, y aunque estos aspectos ya se estudiaron vale la pena cerciorarse que los alumnos los dominan y si no

promover actividades para consolidarlos.






97

Índice


80 4 LMS MI Análisis y representación de datos Las edades de mis compañeros 7.4.7 4/4 G7B4C7




Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas circulares de frecuencias absolutas y frecuencia relativas.

Consigna 1. En equipo resuelvan el problema siguiente:

Un dado fue lanzado varias veces. En la siguiente tabla se concentran los resultados, complétenla y con esta información construyan una gráfica circular.

Cara del dado Veces que salió

1 4

2 6

3 1

4 2

5 4

6 3

Total

Consigna 2. Con el mismo equipo realicen lo que se pide.

Previo a las elecciones para presidente municipal de una comunidad se realizó una encuesta vía telefónica, los resultados fueron los siguientes: candidato A con 240 preferencias, candidato B con 720, candidato C con 128 y el candidato D con 512. Con esta información completen la siguiente tabla y construyan una gráfica circular.

Candidato Preferencias (%)

A

B

C

D

Total 100%


En la construcción de las gráficas circulares, dos posibles obstáculos son la obtención de las medidas de los ángulos

centrales de los diferentes sectores circulares y por otro lado el uso adecuado del transportador para el trazo de la

gráfica. Respecto al primero es importante tener presente varias cosas:

a) Que el resultado de los conteos puede darse mediante una frecuencia absoluta o una relativa. En la primera gráfica

se utiliza la frecuencia absoluta y en la segunda la frecuencia relativa.

b) Identificar claramente el conteo total, al cual corresponde los 360° de la gráfica. En el problema del dado, el conteo

final son las 20 veces que se lanzó el dado; en el segundo son las 1600 preferencias.

c) Que establecer y resolver una relación de proporcionalidad es una herramienta muy útil para obtener las medidas de

los ángulos centrales, por ejemplo: “20 es a 360° como 4 es a x” para el primer renglón del primer problema y

“100% es a 360° como 15% es a x” para el primer renglón del segundo ejercicio.






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BLOQUE 5 Aprendizajes esperados

Resuelve problemas aditivos que

implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Resuelve problemas que impliquen

el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

Resuelve problemas de

proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.

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99


81 5 LMS SN y PA Problemas Aditivos El futbol americano 7.5.1 1/5 G7B5C1

Contenido: 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen procedimientos informales en la adición de números enteros para

resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

1. En la primera oportunidad el equipo de fútbol americano de la UNAM avanzó 6 yardas, en la segunda pierde 14 yardas, en la tercera avanzó 16 yardas. Si perdió 13 yardas en la cuarta oportunidad. ¿Cuál es el total de yardas ganadas o perdidas?

2. Un elevador subió 6 pisos, bajo 9, bajo 12 más, subió 8, bajo otros 4 y se detuvo en el piso 43. ¿De qué piso partió?


Una vez que se analicen los resultados de los dos problemas es conveniente que el profesor sugiera el uso de la recta

numérica para verificar los resultados, en el entendido de que los sumandos positivos se cuentan hacia la derecha y los

negativos hacia la izquierda.






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100


82 5 LMS SN y PA Problemas Aditivos El número faltante 7.5.1 2/5 G7B5C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen un algoritmo para resolver sumas o restas de números enteros.

Consigna: En equipos resuelvan los siguientes problemas:

a) ¿Cuál es el número que sumado con 5 es igual a 2?

25

b) ¿Cuál es el número que sumado con -3 es igual a -7?

73

c) ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

58

d) ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

83

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan dificultad para resolver los dos primeros casos que son

de suma. Sin embargo, si es necesario, se sugerirá el uso de la recta numérica. Primero hay que situarse en el sumando

que se conoce y contar hacia la derecha o a la izquierda para llegar al resultado, que en el primer caso es +2. La

dificultad mayor se presenta en la resta, por lo que es necesario sugerir a los alumnos un recurso para resolver cualquier

caso. Este recurso puede ser la propiedad, según la cual, “la suma de la diferencia más el sustraendo es igual al

minuendo” de esta manera, la resta 58 se convierte en una suma en la que se desconoce un sumando:

85 . Es muy importante que los alumnos usen esta técnica resolviendo un número suficiente de restas,

hasta que adquieran cierta familiaridad con dicha técnica, para lograr esto conviene dedicar un tiempo breve en cada

sesión para resolver uno o dos casos.






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101


83 5 LMS SN y PA Problemas Aditivos El número faltante 7.5.1 3/5 G7B5C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos usen un algoritmo de adición o sustracción de números enteros en la solución

de problemas.

Consigna: En binas resuelvan los siguientes problemas: 1. En una región del estado de Tamaulipas, la mínima temperatura registrada en un año fue de –5 grados centígrados y

la máxima fue de 42 grados centígrados. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas?

2. Después de alcanzar una altura de 3 795 metros sobre el nivel del mar, un cohete suelta una de sus turbinas y ésta

cae en el océano a una profundidad de –792 metros. ¿Qué distancia recorre la turbina? ¿Por qué se emplean números negativos para representar la distancia que se sumerge la turbina en el océano?

Consideraciones previas: Aunque se espera que los alumnos utilicen un algoritmo para resolver los problemas anteriores, lo importante es que

encuentren el resultado y puedan mostrar por qué es correcto.






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102


84 5 LMS SN y PA Problemas Aditivos Los cuadrados mágicos 7.5.1 4/5 G7B5C1



Que los alumnos apliquen procedimientos personales en la adición y sustracción de números enteros.

Consigna: En binas resuelvan las siguientes cuestiones:

1. En un cuadrado mágico, la suma de los números en cada fila, columna y diagonal es la misma.

3 - 4 1

- 2 0 2

-1 4 -3

Comprueba si el cuadrado es mágico:

Sumas horizontales Sumas verticales Sumas diagonales

1 4 3

2 0 2

3 4 1

1 2 3

4 0 4

3 2 1

3 0 3

101

2. Completen los siguientes cuadrados mágicos. Los números dados en el primero deben sumar (vertical, horizontal y

diagonal) 3.75 y en el segundo, 4

18 ó

4

24

a) 2, 1.5, 1.25, 2.25, 0.5

0.25

0.75 1.75

1

b) 4

10,

4

2,

4

5,

4

3, 2

4

9

4

7

4

6


Es conveniente no dar a los alumnos una regla para resolver cuadrados mágicos mientras los resuelven.

Es probable que algunos alumnos tengan dificultades en poder completar el segundo cuadrado mágico, debido a que no

reconozcan que por ejemplo, 4

82 y

4

41 . Si esto sucede, es importante que en la socialización de los resultados, se

aclare dicha situación.






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103


85 5 LMS SN y PA Problemas Aditivos Más cuadrados mágicos 7.5.1 5/5 G7B5C1


Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen algoritmos en la adición y sustracción de números enteros.

Consigna: En binas completen los siguientes cuadrados mágicos con las series de números que se dan en cada inciso.

La suma (vertical, horizontal y diagonal) en el primer caso debe ser de 5

3 y en el segundo caso, 9.0 :

a) la suma sea 5

3

5

3y

5

2,

5

1,0,

5

1,

5

2,

5

3,

5

4,1

b) la suma sea 9.0

-1.5, -1.2, -0.9, -0.6, -0.3, 0, 0.3, 0.6 y 0.9

1

5

1

5

2

.60

3.0

6.0


Es conveniente no dar a los alumnos una regla para resolver cuadrados mágicos mientras los resuelven. Si queda tiempo

se les puede pedir que ellos inventen un cuadrado mágico, a partir de la siguiente información:

Primero deben pensar en una sucesión de nueve números, de manera que la diferencia entre dos números

seguidos sea la misma.

Segundo, el número que va en medio de la sucesión debe colocarse en el centro del cuadrado.

Tercero, la suma es el triple del número que va en el centro.






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104


86 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Multiplicaciones rápidas 7.5.2 1/3 G7B5C2

Contenido: 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o

muy pequeñas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre el exponente entero positivo o negativo, con la

cantidad de ceros o la cantidad de cifras que hay después del punto decimal en potencias de 10, para representar

números en notación científica.

Consigna. Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica enseguida:

1. Realicen las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar rápidamente el resultado.

a) 1.75 x 10 = b) 6.45 x 100 = c) 7.45 x 1000 = Regla:

d) 0.48 x 10 = e) 1.24 x 100 = f) 0.38 x 1000 =

2. Realiza las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar rápidamente el resultado.

a) 1.75 ÷ 10 = b) 6.45 ÷ 100 = c) 7.45 ÷ 1000 = Regla:

d) 0.48 ÷ 10 = e) 1.24 ÷ 100= f) 0.38 ÷ 1000=

3. Completen la siguiente tabla y después contesten las preguntas.

Potencia Desarrollo Resultado

105 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 100 000

104 1 x 10 x

103 1 x 10 x 1 000

102 1 x 10 x 10 100

101 1 x 10 10

100 1 1

10

110 1

10

1 0.1

2

2

10

110

1010

1

0.01

3

3

10

110

101010

1

4

4

10

110

5

5

10

110

0.00001

a) ¿Cuál es el resultado de 104?_____________ ¿Y de 10

-4? ______________________

b) ¿Cuál es el resultado de 106?_____________ ¿Y de 10

-6? ______________________

4. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea equivalente a 352 000 000 000?

352 x ______________ 35.2 x ______________ 3.52 x _________________ 5. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea equivalente a 0.00000000352?

352 x ______________ 35.2 x ______________ 3.52 x ________________ 6. ¿Cuántas veces se tiene que multiplicar por 10 el 3.5 para obtener 35 000 000? ______________________ ¿Cómo lo escribirían

con una potencia de 10? ____________

7. ¿Cuántas veces se tiene que dividir entre 10 el 2.4 para obtener 0.00000000024? _______________________ ¿Cómo lo escribirían con una potencia de 10? ____________

105


Con respecto a las actividades 1 y 2, se espera que los alumnos puedan establecer que cuando se multiplica un número

decimal por una potencia de 10 positiva, el punto decimal se recorre a la derecha tantas veces como indica el exponente;

mientras que para una potencia de 10 negativa, se recorre el punto decimal hacia la izquierda tantas veces como indica

el exponente.

Con respecto a la tercera actividad, es importante analizar la tabla entre todos con la finalidad de que los alumnos

encuentren la relación entre el exponente positivo con la cantidad de ceros que hay después del uno; mientras que en el

caso de potencias negativas, el número de cifras que hay después del punto decimal. Por ejemplo, para el caso 105, el

número de ceros que hay después del uno son cinco ceros; mientras que 10-5

, el número de cifras que hay después del

punto decimal son cinco.

Las relaciones entre el número de ceros (caso de exponente positivo) y el número de cifras (caso de exponente negativo)

se ponen en juego para las actividades 4 y 5.

Un aspecto que debe quedar claro para los alumnos es que una potencia negativa significa cuántas veces se divide un

número entre 10. Por ejemplo:

00001.0000100

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1101

5

5

Con respecto a las actividades 6 y 7, se espera que los alumnos expresen las cantidades como: 7105.3 y

10104.2 ,

respectivamente.






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87 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Los científicos 7.5.2 2/3 G7B5C2


muy pequeñas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan y utilicen el procedimiento para transformar cantidades escritas en

notación decimal a expresiones en notación científica y viceversa.

Consigna. Organizados en parejas, realicen lo que se indica en cada caso.

1. Analicen la información presentada en la tabla y luego respondan lo que se pregunta:

Cantidad en notación decimal Cantidad en notación científica

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año y equivale aproximadamente a 9 500 000 000 000 km.

9.5 x 1012

km

La era Terciaria o Cenozoica tuvo una duración de 60 000 000 de años.

6 x 107 años

La velocidad de la luz es de aproximadamente 300 000 000 metros por segundo.

3 x 108 m/s

La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 384 000 km

3.84 x 105 km

Distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 000 000 km

1.5 x 108 km

El tamaño de un virus de la gripe es de 0.0000000022 m

2.2 x 10-9

m

El radio del protón es de 0.00000000005 m 5 x 10-11

m

a) ¿Por cuántos factores está compuesto un número expresado en notación científica? ___________________

b) Cuando el exponente de la potencia de 10 es negativa, ¿es un número pequeño o grande? ________________

c) ¿Qué se le hizo a la distancia de la Tierra a la Luna para transformarla en notación científica? ______________ 2. Analicen la siguiente tabla y justifiquen para cada caso, cómo se convierte el número natural o decimal en notación

científica.

Notación decimal Notación científica

329 000 000 3.29 x 108

4500 4.5 x 103

590 587 348 584 5.9 x 1011

0.3483 3.5 x 10-1

0.000987 9.87 x 10-4


Con respecto a la primera actividad, inciso a, es muy probable que la mayoría de los alumnos responda que un número

en notación científica está conformado por dos factores. En el caso del inciso b, se espera que no tengan dificultad en

reconocer que el exponente negativo de la potencia de 10 corresponde a una cantidad muy pequeña, menor que la

unidad. En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos reconozcan que el punto decimal se recorre cinco

lugares a la izquierda relacionado con el valor del exponente. Otros, es probable que respondan que se divide el número

384 000 entre cien mil, es decir:

84.3000100

000384 Y luego se multiplica por la potencia 105

Por lo que 384 000 es equivalente a 51084.3

Si se considera conveniente, en este momento, se puede dar a conocer la convención de la escritura de un número en

notación científica, que es la siguiente:

107

Un número expresado en notación científica está compuesto por dos factores de la forma: na 10

Donde 1 ≤ a < 10, y n es un entero que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

El primer factor (a) suele llamarse coeficiente de la expresión

Una vez que los alumnos han comprendido las características de un número escrito en notación científica, se puede

proseguir con la actividad 2. Aquí es importante estar al pendiente de los argumentos que den los alumnos con la

finalidad de asegurar que han comprendido cómo se expresa un número en notación científica.

Para reafirmar los conocimientos adquiridos por los alumnos, se pueden plantear actividades como las siguientes:

Completa la siguiente tabla:

Notación decimal Notación científica

0.00009

850 000

0.650 000

81095.1

81036.4

710645.5

La siguiente lista corresponde a la masa de algunos planetas del Sistema Solar. Exprésalos en notación científica.

Urano: 86 700 000 000 000 000 000 000 000 kg. __________________ Tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg. ____________________ Neptuno: 102 900 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________ Saturno: 569 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________






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88 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Años luz 7.5.2 3/3 G7B5C2


muy pequeñas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos operen con números expresados en notación científica para resolver problemas.

Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas:

1. El sector salud pretende iniciar una campaña de vacunación en las cuatro entidades más pobladas del país para contrarrestar la enfermedad del virus contra la gripa aviar. Para ello cuenta con 3.5 x 10

8 vacunas.

Número aproximado de habitantes por entidad federativa

Lugar a nivel nacional

Entidad Federativa Habitantes (año 2010)

1 Estado de México 7105.1

2 Distrito Federal 7109.8

3 Veracruz de Ignacio de la Llave 7106.7

4 Jalisco 7103.7

Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/monografias/informacion

a) ¿Es suficiente la cantidad de vacunas con que cuenta? ________ ¿Por qué?

b) Si nada más se aplican las vacunas a la población del Estado de México y del Distrito Federal, ¿cuántas

vacunas quedarán para las otras entidades?

2. Los científicos determinaron que una persona tiene una

concentración de glóbulos rojos en la sangre de 6106.5

por

cada mililitro de sangre, y que en total tiene 6106.4 mililitros

de sangre. ¿Cuántos glóbulos rojos contiene la sangre

humana?

3. ¿Sabes que significa un año luz?

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (360 días).

Esta distancia es aproximadamente km12105.9 . Se estima que

la Vía Láctea tiene un diámetro de km18109.1 . ¿Cuántos años

luz de diámetro tiene la Vía Láctea?

Consideraciones previas: En el primer problema, inciso a, para poder responder si la cantidad de vacunas es suficiente, tendrán que sumar el

número de habitantes dando un total de 7103.25 . Luego, para poder determinar si este número es mayor o menor a la

cantidad de vacunas, será necesario expresarla como 81053.2 . Con ello, es posible determinar si la cantidad de

vacunas es suficiente. Tal vez algunos alumnos realicen la sustracción 88 1053.2105.3 y determinen que el

número de vacunas sobrantes es de 81097.0 , o lo que es lo mismo

7107.9 vacunas (97 000 000). Aquí, se sugiere

discutir en grupo y acordar cómo se deben sumar o restar este tipo de expresiones.

http://cuentame.inegi.org.mx/monografias/informacion

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En el caso del inciso b, los alumnos realizarán la suma del número de habitantes de las dos entidades:

777 104.10109.8105.1 , o bien 81004.1 .

Para luego obtener la respuesta: 888 1046.21004.1105.3

Por lo tanto, el número de vacunas para las otras entidades es de 81046.2 , o lo que es lo mismo 246 000 000.

La expectativa en el problema 2 es que se multiplique la cantidad de glóbulos rojos que hay en cada mililitro por el total

de mililitros de sangre que tiene el cuerpo humano.

....... 109193636 105762101057621076251010646510641065

Por lo tanto, el cuerpo humano tiene 1010576.2 glóbulos rojos.

Es importante hacer notar al alumno, si no lo identifica por si mismo, la utilidad de asociar para operar los números

decimales por separado de las potencias de 10.

Los números se multiplican en forma normal y en las potencias de 10 se suman sus exponentes.

Si el producto decimal resulta mayor o igual a 10 (es decir con dos o más cifras en la parte entera) se rescribe en

notación científica: 919 10105762107625 ..

Se suman los exponentes de las potencias: 109191 10101010

Se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo las cantidades de la siguiente manera. (Nota: si la

calculadora no es científica, es probable que no pueda escribir este tipo de números)

Teclear 3 10 4.66 10 5.6 yy xx la calculadora devolverá 2.57610

Otra forma de teclear en la calculadora científica la notación científica para realizar operaciones es la siguiente:

Teclear: 3 4.6 6 5.6 EXP EXP La calculadora devolverá 2.57610

Hacer notar que la calculadora oculta la base 10 porque está trabajando en el sistema decimal (donde la base es 10).

Es razonable pensar que no todos los docentes tendrán a su alcance este recurso tecnológico, pero igual pueden tener

una sola calculadora y mostrar el resultado al alumno. Este hecho no debe impedir que se propongan alternativas como

esta para diversificar procedimientos de resolución.

El problema 3 puede resolverse mediante una división.

Si un año luz equivale a km12105.9 y de acuerdo con el problema, la Vía Láctea tiene un diámetro de km18109.1 . Al

dividir el diámetro de la vía láctea entre el valor de un año luz expresado en kilómetros encontraremos el valor del

diámetro en años luz.

Al aclarar este punto los alumnos centrarán su atención en cómo realizar la operación.

Diámetro = km18109.1

¿Cómo dividir 12

18

105.9

109.1

?

Podemos descomponer en factores que representen potencias iguales a 106 (por no decir ...101010 , 18 veces y

...101010 , 12 veces en el denominador):

666

66

666

12

18

102.0105.9

9.1

5.9

109.1

10105.9

1010109.1

105.9

109.1

110

Al descomponer las potencias de 10 en potencias iguales podemos aplicar la cancelación (a/a = 1), luego dividir por

separado los coeficientes (

)

Hacer notar que el resultado obtenido 0.2 x 106 no cumple la regla de escritura de la notación científica, por lo tanto:

Así, el diámetro de la Vía Láctea es igual 200 000 años luz.

Igual que en problema 2 se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo las cantidades de la

siguiente manera. (Nota: si la calculadora no es científica, es probable que no pueda escribir este tipo de números)

Teclear 12 10 9.518 10 1.9 yy xx La calculadora devolverá 2 5

Hacer notar que la calculadora oculta la base 10 porque está trabajando en el sistema decimal (donde la base es 10)

Se pueden proponer más problemas de este tipo u operaciones directas con la finalidad de practicar los procedimientos

estudiados para realizar los cálculos.

En síntesis se puede concluir con los alumnos que:

Al sumar o restar dos números en notación científica se suman los coeficientes, siempre y cuando las potencias

tengan el mismo exponente.

Al multiplicar dos números en notación científica se multiplican por separado los coeficientes y se suman los

exponentes de la potencia de 10.

Al dividir dos números en notación científica se dividen por separado los coeficientes y se restan los exponentes de

las potencias de 10.

Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se pueden plantear ejercicios como por ejemplo:

a) 666 103216102.31016

b) 88 102.01034

c) 354 1041081016

d) 555 1006.0103102.8

e) 2323 101029102109

f)

1010

101010

9

36

109

10362

3

g)

1010

10101010

6

24

106

10242

4






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89 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Las mantecadas 7.5.3 1/4 G7B5C3

Contenido: 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la

potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen de manera exponencial multiplicaciones de factores iguales al

resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos y sin utilizar calculadora, resuelvan el siguiente problema:

Un camión transporta 12 cajas que contienen cada una otras 12 cajas más pequeñas y que a su vez, cada caja pequeña

contiene 12 cajitas con 12 bolsas; y cada bolsa contiene 12 mantecadas cada una.

a) ¿Cuántas mantecadas transporta el camión?

b) ¿Cuál es la manera más breve de expresar la operación que resuelve este problema?

Consideraciones previas: Después de dar tiempo suficiente para que los equipos resuelvan el problema, algunos alumnos pasarán al pizarrón a

escribir sus procedimientos y resultados, mismos que serán analizados por todo el grupo. Conviene que primero se

pongan de acuerdo en el resultado, después en la manera más directa de obtenerlo y finalmente en la expresión más

abreviada mediante la cual se obtiene el resultado. Se espera que lleguen a la expresión 2488321212121212 .

Después de esto todavía se les puede pedir que busquen una expresión más abreviada y si no la encuentran el docente

interviene para explicar que dicha expresión es 12 a la quinta potencia (12 5 = 248832)

Para consolidar lo aprendido, es recomendable que se deje de tarea algunos ejercicios en los que tengan que expresar de

manera exponencial multiplicaciones de factores iguales o viceversa. También es muy importante contrastar

multiplicaciones de factores iguales con sumas de sumandos iguales. Por ejemplo, 3333 con 3333

Observaciones Posteriores





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90 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Una sucesión 7.5.3 2/4 G7B5C3



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la raíz cuadrada o la segunda potencia como operaciones inversas al

resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y completen la tabla que aparece enseguida (no pueden utilizar calculadora).

Núm. de figura TOTAL DE PUNTOS

PUNTOS POR LADO

1 1

2 2

3

4

5

6

25 625

Escriban la relación que existe entre los puntos por lado y el total de puntos de cada figura.


Los alumnos pueden comprobar con calculadora. Es probable que en el caso del 625 los alumnos utilicen el ensayo y

error para encontrar los puntos por lado. Conviene aclarar que el resultado obtenido multiplicado por sí mismo da 625,

en este momento el profesor puede decir que este número es la raíz cuadrada de 625; con base en lo anterior se pueden

plantear preguntas tales como: ¿cuál es la raíz cuadrada de 81, 121 y de 40? Este último no tiene raíz exacta y por lo

tanto no hay un número entero que multiplicado por sí mismo dé 40, pero sí es posible aproximarse a 40 tanto como uno

quiera agregando cifras decimales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 40 está entre: 6 y 7; 6.3 y 6.4; 6.32 y 6.33, etcétera.

Los alumnos podrán usar la calculadora para hacer este trabajo.

Si queda tiempo se puede plantear el siguiente problema:

Un agricultor tiene una huerta pequeña de manzanos que ocupa una superficie cuadrada. Actualmente tiene 16 árboles

equidistantes y está planeando aumentar su huerto pero manteniendo la superficie en forma cuadrada. Si la cantidad de

árboles en el huerto fuera de 169 manzanos, ¿cuántos árboles habría en una fila?

Observaciones posteriores





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91 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos Las losetas del piso 7.5.3 3/4 G7B5C3



Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen la raíz cuadrada y su operación inversa, de manera aproximada,

mediante el cálculo mental para resolver problemas.

Consigna. En equipo encontrar la solución del siguiente problema, basándose en cálculos aproximados. No se vale usar la calculadora.

Se intenta cubrir con loseta de 0.33 m × 0.33 m, el piso de habitaciones cuadradas con las medidas indicadas en la

tabla. Calculen los datos que hacen falta.

Área de la habitación

Valores aproximados

Medida por lado de la habitación

Núm. de losetas a utilizar

15 m2

20 m2

26 m2


Es probable que algunos alumnos no reconozcan que 0.33 m es equivalente a 33 cm, por lo que si es necesario, se puede

hacer un paréntesis para aclarar esta relación.

De presentarse dificultades de interpretación, sería recomendable invitar a los alumnos a realizar un esquema del

problema. Dado que las áreas de las habitaciones no son cuadrados perfectos, necesariamente el número de losetas

tendrá que cubrir un área ligeramente mayor. Es fundamental que en este problema se enfatice la importancia de la

aproximación.

En caso de que se resuelva fácilmente el problema, se puede plantear la siguiente variante:

¿Cuántas losetas se necesitan para colocar el zoclo con tiras de 11 cm de ancho en cada habitación, considerando que

la puerta mide 1 m. de ancho?






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92 5 LMS SN y PA Problemas Multiplicativos El parque 7.5.3 4/4 G7B5C3



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la raíz cuadrada al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

Un parque cuadrado tiene una extensión de 1 225 m2. Si hay un paseo que rodea al parque y quieres entrenarte dando

5 vueltas a su alrededor, ¿cuántos metros recorrerás? ¿Y si la extensión fuera de 2 500 m2?


El alumno puede tener la dificultad en el cálculo de la raíz cuadrada, por lo que se le invitará a obtenerla como pueda.

Sin utilizar la calculadora en un primer momento y posteriormente podrá comprobar con el uso de ella. Es conveniente

que al final el profesor enseñe el algoritmo para resolver la raíz cuadrada.






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115


93 5 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Siguiendo la sucesión 7.5.4 1/3 G7B5C4

Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen el comportamiento de los términos en una sucesión de figuras y

encuentren términos faltantes.

Consigna: En equipos, analizar las siguientes sucesiones y dibujar los términos que faltan. Explicar y justificar los procedimientos empleados.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7




Se pretende que los alumnos utilicen procedimientos personales para analizar y obtener algunos términos faltantes. Es

posible que relacionen la posición de la figura con el número de cuadritos de la misma; sin embargo, puede suceder que

vean cómo cambia cada figura respecto a la anterior; cualquiera que sea el caso es importante que comenten y discutan

los procedimientos. Si se les dificulta el análisis de las sucesiones, se pueden plantear preguntas como las siguientes:

¿cuántas figuras observan?, ¿cuántos cuadritos aumenta de una figura a otra?






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116


94 5 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones La máquina procesadora 7.5.4 2/3 G7B5C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y expresen en lenguaje común la regla general de sucesiones con progresión

aritmética.

Consigna 1: El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. En equipo, encontrar los números de la sucesión que corresponden a las posiciones 50, 100, 500 y 1000, respectivamente.

Consigna 2: De acuerdo con el siguiente esquema, escribir la regla general que permite determinar cualquier número de la sucesión, en función de su posición.


La regla general del primer ejercicio consiste en multiplicar la posición por un número determinado, en este caso por

tres; un ejercicio más complejo es el siguiente, en el que además de multiplicar la posición por dos al resultado se le

resta dos.

El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. ¿Cuáles son los números de la sucesión que corresponden en las posiciones 14, 32, 50 y 250, respectivamente?

En el caso del problema 2, hay que recordar que una tabla es una herramienta útil en la búsqueda de la relación término- posición de

elementos de una sucesión; por lo que se les puede sugerir a los alumnos que la utilicen. Luego plantear la siguiente pregunta: ¿Qué

operación u operaciones realiza la máquina con los números de entrada para obtener los números de salida?

Con esta pregunta, es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero

que no es la regla general; por ejemplo:

“Le va sumando de cuatro en cuatro”

“Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”

“Sumarle cuatro al término”

Cada vez que den una respuesta verbalmente, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no

es así, que continúen en la búsqueda.

En este caso, la respuesta a la que deben llegar es que la regla general que emplea la máquina es que multiplica por 4 a la posición

del término y luego le resta 1.

Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que:

A partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000, respectivamente.






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95 5 LMS SN y PA Patrones y Ecuaciones Siguiendo la sucesión 7.5.4 3/3 G7B5C4


Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen en lenguaje algebraico, la regla general de sucesiones con progresión aritmética.

Consigna 1: Organizados en equipos, escriban con una expresión algebraica la regla general que permite determinar el número de

cuadritos de cualquier figura, en función de su posición, de la siguiente sucesión:

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

Regla general:

Consigna 2:

Escribir la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

SERIE REGLA

a) 2, 4, 6, 8, 10

b) 5, 10, 15, 20, 25

c) 3, 5, 7, 9, 11

d) 6, 11, 16, 21, 26


Respecto a la consigna 1. Una vez que los alumnos hayan determinado la regularidad de la sucesión, una herramienta que facilita la

búsqueda de relación entre la posición de la figura y el número de cuadritos que contiene, es una tabla; por lo que se les puede pedir

que la construyan y que anoten en la primera columna el número de figura y en la segunda, el número de cuadrados que contiene.

Para verificar que la relación encontrada es la correcta, se les puede pedir que la continúen hasta la figura de la posición 10.

Para inducirlos a la búsqueda de la regla de formación de cualquier figura de la sucesión, considerando su posición, se podría

plantear una pregunta como por ejemplo, la siguiente: ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 380 de la sucesión?

En general, es muy probable que los alumnos se les dificulten resolver el problema, por lo que sería conveniente plantear preguntas

de análisis de las dos columnas de la tabla para determinar la relación que existe entre el número de la posición de cada término de

la sucesión y el número de cuadritos. Por ejemplo, se les puede plantear lo siguiente:

¿Qué operación u operaciones se tiene que hacer con los números de la primer columna, para obtener los de la segunda, por

ejemplo, ¿qué operaciones se pueden aplicar al número 5 de la primera columna para obtener el número 9 de la segunda columna?

Cada vez que den una respuesta, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que

continúen en la búsqueda. En este caso, tienen que determinar que el número de la primera columna se tiene que multiplicar por 2 y

al resultado restarle 1 para obtener el número de la segunda columna.

Una actividad de aplicación puede ser la siguiente, dado que tiene la misma intención didáctica que la anterior.

Determinar la regla general que permite calcular el número de cuadritos de cualquier figura de la siguiente sucesión:

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Respecto a la consigna 2, se debe tener cuidado de que las sucesiones numéricas que se planteen en primer grado sean de progresión

aritmética, es decir, que entre sus términos haya una diferencia común. Las sucesiones como 1, 2, 4, 8, 16, ... son de progresión

geométrica y la regla general para determinar cualquier término de la sucesión es: 12 n

, donde n representa la posición del término

de la sucesión. Las sucesiones de la forma 3, 9, 17, 27, 39, ... son sucesiones en las que la regla general para determinar cualquier

término es 132 nn , donde n representa la posición del término de la sucesión.

Como podrá observarse, para el trabajo de este tipo de sucesiones, requieren los alumnos de otros conocimientos que aún no se han

trabajado. Este tipo de sucesiones se pueden trabajar hasta tercer grado.






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96 5 LMS FE y M Medida Discos metálicos 7.5.5 1/2 G7B5C5

Contenido: 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas.

Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema y contesten las preguntas. Pueden usar calculadora.

De una lámina de 40 cm por 60 cm se han recortado 6 discos metálicos iguales, como los de la figura:

a) Calcula la cantidad de lámina que sobró después de recortar los discos. b) Si los discos se forran alrededor con un hule de protección, ¿cuántos metros son necesarios para los seis

discos?


Es probable que algunos alumnos cometan errores como por ejemplo, emplear la medida del diámetro como medida del

radio para calcular el área de la lámina que sobra después de recorta los discos. Para ello, es importante realizar una

puesta en común de las diferentes estrategias de resolución con la idea de que ellos mismos se den cuenta de sus errores.






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97 5 LMS FE y M Medida El pastizal 7.5.5 1/2 G7B5C5

Contenido: 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas.

Consigna. En equipos, analicen y resuelvan el siguiente problema.

1. Luis tiene un pastizal en forma cuadrada cuya superficie mide 3600m2 y no está cercado. En el centro del pastizal

hay un árbol al cual ata a su caballo con una cuerda que llega exactamente a las esquinas del pastizal y le permite al caballo rodear el terreno.

a) ¿Cuál es la longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol? b) ¿Qué área puede pisar el caballo fuera del pastizal?

Consideraciones previas: Es conveniente pedir a los alumnos que hagan el dibujo que representa la situación anterior y a la vez hacer el dibujo en

el pizarrón.

Si los alumnos no encuentran cómo calcular la medida del radio del círculo, se les puede hacer notar que éste es la mitad

de la diagonal del cuadrado inscrito en él y que se puede obtener por medio de la fórmula del rombo, ya que el cuadrado

es también un rombo 2

DdA

Si sobrara tiempo, después de la puesta en común se pueden plantear los siguientes problemas, o bien, se pueden dejar de

tarea:

1. Calcula el área de la región sombreada en la figura:

2. ¿Cuál es el perímetro de una rueda de bicicleta cuyo diámetro es de 40 cm? ¿Cuál sería su perímetro si fuera el

radio el que mide 40 cm?

3. Si el perímetro de una circunferencia es de 21.99 m, ¿cuál será la medida del diámetro? ¿Y la del radio?






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98 5 LMS MI Proporcionalidad y Funciones Cajas de cartón 7.5.6 1/3 G7B5C6

Contenido: 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Intenciones didácticas: Que los alumnos Identifiquen variaciones que sufren las cantidades que se involucran en

problemas de proporcionalidad múltiple.

Consigna: Organizados en parejas, anoten las cantidades que hacen falta en la tabla de abajo y contesten las preguntas que aparecen después. En una fábrica se elaboran cajas de cartón de diferentes tamaños. En la tabla se muestran las dimensiones de algunas de ellas; si lo desean pueden dibujarlas y/o construirlas con cubos.

Caja Largo Ancho Alto Volumen

A 3 dm 2 dm 4 dm 24 dm3

B 6 dm 2 dm 4 dm

C 6 dm 6 dm 4 dm

D 6 dm 4 dm 8 dm

E 9 dm 6 dm 12 dm

Después de obtener el volumen de todas las cajas, analicen lo siguiente:

a) ¿Cómo crecen los volúmenes en relación con las medidas de largo, ancho y alto de las cajas?

b) ¿De los cinco tipos de cajas hay tres que están a escala?, ¿cuáles son? ¿Cómo lo saben?


Es necesario ayudar a los alumnos a analizar la primera pregunta, para que encuentren las relaciones entre el

crecimiento de una o más dimensiones y el volumen de las cajas.

Es posible que los alumnos encuentren cómo se obtuvo la variación proporcional de dos cajas que están a escala, por

ejemplo, al comparar los volúmenes de las cajas D y A; debe quedar claro que, por ejemplo, si se duplican las tres

dimensiones de la caja, el volumen incrementa 8 veces 8222 y sólo si las tres dimensiones aumentan en la

misma proporción la caja que resulta está a escala. Si no fuese encontrada esta relación por los propios alumnos,

conviene que el profesor la ponga a consideración para que los alumnos la validen.






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121


99 5 LMS MI Proporcionalidad y Funciones Cajas de cartón 7.5.6 2/3 G7B5C6


Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las relaciones de proporcionalidad múltiple en el caso de los

prismas.

Consigna: En equipos, lean la información que se proporciona y anoten las medidas que hacen falta en la tabla. Una cadena de tiendas que distribuye perfumes, maneja 3 diferentes tamaños de caja para envasar su producto. La forma de la caja es un prisma triangular como se muestra en la figura.

Prisma Lado DF Lado EF Lado DE Altura AD Área Base Volumen

A 3 cm 4 cm 5 cm 8 cm 6 cm2

48 cm3

B 4 cm

C 6 cm


El profesor debe centrar el análisis en los procedimientos que usaron los alumnos y en la diferencia entre la variación

proporcional respecto a unidades lineales, de área y de volumen que encontraron.






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122


100 5 LMS MI Proporcionalidad y Funciones La excursión 7.5.6 3/3 G7B5C6


Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de variación proporcional múltiple justificando los

procedimientos utilizados.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: Problema 1. Se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada 15 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si 45 niños salen durante 7 días? Problema 2. Al organizar otra excursión el responsable llevó 60 niños y transportó 420 litros de agua ¿Cuántos días podrá durar la excursión, si se conserva el promedio de consumo de agua por cada niño?


El profesor deberá propiciar la explicación de cada uno de los diferentes procedimientos utilizados por los alumnos

procurando que lleguen a generalizar reglas de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades, mientras el tercer

conjunto permanece constante. Por ejemplo, la regla de correspondencia entre agua y niños, si la cantidad de días

permanece constante es AN4

3 , o bien, NA

3

4 .

El profesor podrá plantearle al grupo problemas similares a los presentados, de tal manera que visualice hasta dónde sus

alumnos han utilizado procedimientos adecuados para resolverlos.






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