8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

112

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Considerando el modelo de flujo de fluidos mediante un análisis composicional y las ecuaciones de esfuerzo – deformación – presión se desarrolló un simulador de flujo de fluidos acoplado a deformación geomecánica para yacimientos naturalmente fracturados, que puede ser utilizado en diferentes escenarios de simulación, especialmente, en yacimiento complejos tanto a nivel estructural como a nivel de los fluidos, como Cupiagua. Comparando los modelos reportados en literatura, el simulador desarrollado, no tiene restricciones con respecto al tipo de fluidos utilizados en la simulación, debido a que, al hacer un análisis composicional de los fluidos, el simulador permite trabajar con fluidos que sean monofásicos o bifásicos. Al realizar un análisis composicional de los fluidos, se obtienen resultados cada vez más reales acerca del comportamiento de los yacimientos de petróleo y gas. Realizando algunas modificaciones en los archivos de entrada, valores de compresibilidades, porosidades y permeabilidades, el simulador puede ser usado para predecir el comportamiento de un yacimiento homogéneo o naturalmente fracturado, este último tiene una conducta más elástica que los yacimientos homogéneos y por tanto debe ser estudiado en forma más cuidadosa. Lo anterior representa una ventaja sobre algunos simuladores comerciales que cuentan con el módulo geomecánico. La respuesta del simulador, corrobora la importancia del trabajo acoplado, en el cual un yacimiento se deforma debido a la respuesta mecánica del macizo rocoso y a la hidráulica de los fluidos. Lo anterior constituye una teoría de superposición de deformaciones inducidas por un comportamiento constitutivo mecánico y un comportamiento constitutivo hidráulico. La respuesta del simulador permite concluir que, en general, el esfuerzo efectivo aumenta en el tiempo como respuesta a los cambios de permeabilidad en las fracturas principalmente. A partir de cierto tiempo, el valor del esfuerzo efectivo tiende a estabilizarse. Los resultados que se obtienen con el simulador muestran el comportamiento de la presión del fluido en cada uno de los medios continuos, matriz y fractura. El comportamiento general, que se obtiene para la presión de fluido en matriz muestra que la presión aumenta con el tiempo para los nodos que se ubican por encima del nodo abierto a producción, mientras en los nodos inferiores la presión del fluido en matriz disminuye en el tiempo como respuesta a la producción de los fluidos. Para la presión del fluido que se encuentra en la fractura el comportamiento es diferente. En la fractura el fluido siempre tiende a aumentar su presión como respuesta a los diferentes fenómenos que ocurren: disminución de la permeabilidad de fractura, caudal de producción constante y flujo de fluidos desde la matriz a la fractura. La diferencia en los valores que toman las variables para los yacimientos naturalmente fracturados y para el caso que se supuso homogéneo, es muy pequeña debido a que los valores de las compresibilidades para ambos medio se dejaron constantes en todos los casos de simulación. Para tener resultados más reales, es necesario ser cuidadosos con

113

los valores de compresibilidades que se elijan, ya que con estos valores se obtienen los parámetros de Biot, y una mala elección de estos parámetros puede resultar en interpretaciones erróneas. Cualquier cambio en las propiedades mecánicas de la roca tiene un efecto significativo en la respuesta del simulador en diferentes variables, principalmente en el valor del esfuerzo efectivo. Para obtener valores confiables de las variables de interés es recomendable tener valores que se aproximen de las propiedades mecánicas de la roca a la cual se le va a realizar el estudio, ya que estas propiedades presentan gran influencia en la respuesta del simulador. El efecto del cambio en las propiedades mecánicas en la permeabilidad hace que ésta presente un comportamiento diferente cuando se considera el domino interno más rígido que el dominio externo que en el caso contrario. Cuando el domino interno es más rígido, la permeabilidad en vez de disminuir con profundidad aumenta, debido a que la roca no puede deformarse y su repuesta a esta restricción es aumentando la permeabilidad. Cuando ocurre lo contrario, es decir, cuando el módulo de Young en el dominio interno es menor que el módulo de Young en el dominio externo; la permeabilidad disminuye con profundidad como respuesta al aumento en el esfuerzo efectivo promedio. El caudal con el que se trabaja para todos los casos de simulación mostrados se tomó como constante, sin embargo, esto no es cierto pues en un yacimiento, dado que el caudal de producción varía en toda la vida productiva de un pozo debido a la disminución de la presión que ocurre en el yacimiento. Por esta razón, se recomienda tener la historia de producción para ser implementada en el simulador y así tener una respuesta más real de la presión del fluido en el yacimiento y de la deformación de la roca en el tiempo. De igual forma, es importante tener la información de producción, para utilizar el simulador para predecir el comportamiento de las diferentes variables en el tiempo. De la misma manera, es recomendable ubicar otros pozos que estén produciendo en diferentes lugares dentro del yacimiento, para tener una respuesta más real y conforme con lo que puede estar ocurriendo. La ubicación de otros pozos dentro del yacimiento a diferentes tasas requiere de un análisis más profundo que considere un modelo adecuado para la producción de los fluidos, y que además tenga en cuenta los diferentes procesos que se llevan a cabo en un campo, como operaciones de reacondicionamiento de pozos, inyección de fluidos al yacimiento, cambios de pozos productores a inyectores, entre otros. En los nodos de simulación donde se encuentra el pozo se debe realizar, en un futuro, una refinación de la malla. Es decir, pasar de una malla cartesiana a una malla híbrida que permita considerar el flujo radial en el pozo mediante una malla cilíndrica, y a una distancia del pozo establecida, trabajar con una malla cartesiana. Lo anterior permitiría visualizar de una manera más acertada lo que está ocurriendo en las zonas aledañas al pozo.

114

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[15] HOLT, R. M. “Permeability Reduction Induced by a Nonhydrostatic Stress Field”. SPE 19595. 1999.

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Porosity Modelling of Naturally Fractured Reservoirs – Model Description and Comparison”. SPE 59043. 2000.

[19] BAGHERI, M., SETTTARI, A., “Modelling of Geomechanics in Naturally Fractures

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[27] GUTIERREZ, M., LEWIS, R.W, MASTERS, I. “Petroleum Reservoir Simulation Coupling Fluid Flow and Geomechanics”. SPE 72095. 2001.

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en Yacimientos Sensitivos a Esfuerzos y Deformaciones”. Trabajo Dirigido de Grado. Universidad Nacional de Colombia. Medellín, 2003.

[29] BENAVIDES, Y., MAYA, G.A., OSORIO, J.G., “Compositional Simulation of Fluid

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Geomechanics Model for a Parallel Compositional Reservoir Simulator”. SPE 109867. 2007.

116

[31] OSORIO, J. G., “Notas de Clase Simulación de Yacimientos”. Universidad

Nacional de Colombia, Sede Medellín, Facultad de Minas.

[32] NARANJO, A., “Notas de Clase Yacimientos 1”. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, Facultad de Minas.

[33] ZIMMERMAN, R. W., SOMERTON, W.H. and KING, M.S., “Compressibility of

Porous Rocks”. Journal of Geophysical Research. 1986, pp. 12765 – 12777. [34] ALCALDE, O. M. Y WILLS, A., “Análisis de Pruebas de Presión en Yacimientos

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[35] BUITRAGO, A., “Informe Entregable Simulador General De Flujo Acoplado a

Deformación Geomecánica – Flujo Monofásico”. Grupo de Investigación en Geomecánica Aplicada – GIGA. 2005

[36] SMITH, C. R., “Mechanics of Secondary Oil Recovery”. Robert E. Krieger

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Condensate Wells”. SPEFE. 1988, pp 578 – 594. [38] PEÑUELA, G. Y CIVAN, F., “Gas-Condensate Well Test Analysis With and Without

Relative Permeability Curves”. SPE 63160. 2000. [39] KEWEN, L., “Generalized Capillary Pressure and Relative Permeability Model

Inferred from Fractal Characterization of Porous Media”. SPE 89874. 2004. [40] DUARTE, G y CAÑAS, M. “Simulación Numérica de Pruebas de Presión en

Yacimientos Naturalmente Fracturados”. Trabajo dirigido de grado. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. 2003.

[41] AHMED, T. "Hydrocarbon Phase Behavior". Gulf Publishing Company, Houston, Tx,

USA. 1989.

[42] DAKE, L.P. "Fundamentals of Reservoir Engineering". Elsevier Science Publishers B.V. 1978. Chap 2.

117

ANEXOS

ANEXO 1. MODELO COMPOSICIONAL DE FLUJO DE FLUIDOS EN COORDENADAS

CARTESIANAS PARA MATRIZ Y FRACTURA Para encontrar el modelo de flujo de fluidos composicionales en coordenadas cartesianas se parte de siete relaciones básicas: Conservación de masa de fluidos Conservación de masa de sólido Ley de Darcy Ecuaciones de compresibilidad de Zimmerman Ecuación de Estado Ecuación de Presión Equilibrio de Fases y Ecuación de Composición A1.1 Conservación de masa de fluidos: Denotando el número de moles del componente i en el petróleo que se encuentra en la matriz como nmoi, y el número total de moles de los componentes del petróleo como nmo, para N componentes en la mezcla se cumple que:

1

N

moi mo

i

n n

(A1.1)

De igual manera, el número de moles del componente i en el petróleo que se encuentra en la fractura como nfoi, y el número total de moles de los componentes del petróleo como nfo, para N componentes en la mezcla se tiene:

1

N

foi fo

i

n n

(A1.2)

La fracción molar del componente i en el petróleo que se encuentra en la matriz, xmi se define como:

1

moi moimi N

momoi

i

n nx

nn

(A1.3)

De la misma manera, para la fractura:

1

foi foi

fi N

fofoi

i

n nx

nn

(A1.4)

118

El peso molecular del petróleo que se encuentran dentro de la matriz (Mmo), y su densidad

(mo), están definidos por las siguientes expresiones:

momo

mo

mM

n (A1.5)

momo

mo

m

V (A1.6)

De la misma manera que para la matriz, para la fractura:

fo

fo

fo

mM

n (A1.7)

fo

fo

fo

m

V (A1.8)

La velocidad volumétrica se define como:

_ _ _ _

( _ )* *

momo

mp

VVolumen de petroleo en matrizu

Area porosa matriz Tiempo A t

(A1.9)

*

momo m

T

Vu

A t

(A1.10)

El número de moles del componente i en el petróleo en la matriz por unidad de área, por unidad de tiempo está dado por la expresión:

. 1

( ) * * *

o moi moi mo mo

moT mo mo T

mo

N moles componente i en el petroleo en la matriz n n m V

mArea Total t A t n V A t

n

x

momi mo m

mo

uM

(A1.11) De igual manera, para el gas:

.

( ) *

mgomi mg m

mg

N moles componente i en el gas en la matrizy u

Area Total t M

(A1.12)

119

De forma similar, para la fractura:

.

( ) *

foofi fo f

fo

N moles componente i en el petroleo en la fracturax u

Area Total t M

(A1.13)

.

( ) *

fgofi fg f

fg

N moles componente i en el gas en la fracturay u

Area Total t M

(A1.14)

Balance de Masa:

º / º º

/

º /

t t

t

t

N moles que entran salenN moles que entran de i N moles que salen de i

fuentes sumideros de i

N moles por acumulacion y o agotamiento de i

(A1.15) A continuación, se toma cada uno de los términos de la ecuación de balance de masa:

º mo momi mox m mi moy mt

mo mo

mg mgmomi moz m mi mgx m mi mgy m

mo mg mg

mg

mi mgz m

mg

N moles que entran de i x u y z t x u x z tM M

x u x y t y u y z t y u x z tM M M

y u x y tM

(A1.16)

º mo momi mox m mi mox mt

mo mo

mo mo mo momi moy m mi moy m mi moz m mi moz m

mo mo mo mo

N moles que salen de i x u x u y z tM M

x u x u x z t x u x uM M M M

mg mg mg mg

mi mgx m mi gx m mi mgy m mi gy m

mg mg mg mg

mg mg

mi mgz m mi gz m

mg mg

x y t

y u y u y z t y u y u x z tM M M M

y u y u x y tM M

(A1.17)

120

º /

/ mi

t

N moles que entran salenq x y z t

fuentes sumideros de i

(A1.18)

º /

t t t

t

N moles por acumulacion y omoles de i moles de i

agotamiento de i

(A1.19)

mo momi mo pm mi mo m

mo mo

moles de i en el petroleo en matriz x S V x S x y zM M

(A1.20)

mg mg

mi mg pm mi mg m

mg mg

moles de i en el gas en matriz y S V y S x y zM M

(A1.21)

Teniendo presente las moles de i en el gas y en petróleo que se encuentra en la matriz, dadas por las ecuaciones (A1.20) y (A1.21) y reemplazando en la ecuación (A1.19), se llega a:

º /

mgmomi mo m mi mg m

mo mgt t t

mgmomi mo m mi mg m

mo mgt

N moles por acumulacion y ox S y S x y z

agotamiento de i M M

x S y S x y zM M

(A1.22) Llevando las ecuaciones (A1.16), (A1.17), (A1.18), (A1.22), a la ecuación (A1.15) y agrupando los términos semejantes la ecuación de balance de materiales queda:

mo momi mox m mi moy m

mo mo

mg mgmomi moz m mi mgx m mi mgy m

mo mg mg

mg mmi mgz m mi mi

mg

x u y z t x u x z tM M

x u x y t y u y z t y u x z tM M M

y u x y t q x y z t xM

mgomo m mi mg m T

mo mgt t

mgmomi mo m mi mg m T

mo mgt

S y S VM M

x S y S VM M

121

Dividiendo por xyzt y despreciando los términos infinitesimales y teniendo presente que qmi>0 cuando se están produciendo fluidos qmi<0 cuando se inyectan fluidos al yacimiento, la expresión queda como:

1

mgmo mo momi mox m mi moy m mi moz m mi mgx m

mo mo mo mg

mg mg mgmomi mgy m mi mgz m mi mi mo m mi mg m

mg mg T mo mg

x u x u x u y ux M y M z M x M

y u y u q x S y Sy M z M V t M M

TV T

Esta ecuación de balance de Masa para la matriz puede ser expresada como:

1mg m mgmo m momi mo mi mg mi mi mo m mi mg m T

mo mg T mo mg

x u y u q x S y S V TM M V t M M

(A1.23)

Siguiendo el mismo procedimiento se llega a la ecuación de Balance de Masa para la Fractura:

1fo f fg f fo fg

fi fo fi fg fi fi fo f fi fg f T

fo fg T fo fg

x u y u q x S y S V TM M V t M M

(A1.24)

En las ecuaciones (A1.23) y (A1.24) es la densidad, es la porosidad efectiva, u es el

vector velocidad, t es tiempo, bloques de la matriz a la fractura por unidad de volumen total, q es el término de fuentes/ sumideros expresado como tasa de masa por unidad de volumen total (la convención es que el signo menos representa una fuente y el signo mas representa un sumidero). Los subíndices mo, fo, mg, fg se refieren a las fases de petróleo en la matriz, petróleo en la fractura, gas en la matriz, gas en la fractura, respectivamente. Los

símbolosydenotan gradiente y divergencia, respectivamente. A1.2 Conservación de Masa de Sólidos Continuando con el procedimiento seguido para encontrar la ecuación de balance de materiales para el fluido en la matriz y en la fractura para el sólido se llega a:

1 11s t s s

s s T

s T s

u q VM V t M

(A1.25)

122

Resolviendo el término de la izquierda en la ecuación se llega a:

1 1 11s t s t s s

s s s T

s s T s

u u q VM M V t M

(A1.26)

En términos de la derivada del material:

1 11

t s s t s s

s t s s

particulapunto

movil

d M Mu M

dt t

Reemplazando en la ecuación (A1.26)

1 1 1 110

t s t s s t s s

s s T

particulas s s T spuntomovil

du q V

dt M t M M V t M

Expandiendo el último término en la ecuación (A1.26)

1 1 11 1s s s s s s

T T

T s T s s

V VV t M V M t t M

Reemplazando de nuevo en la ecuación (A1.26) se encuentra:

1 1 1 11

10

t s t s s t s s

s s T

s s s T smovil punto

s s

s

du q V

dt M t M M V M t

t M

Finalmente agrupando de la manera adecuada se llega a:

1 110

t s s t

T s s

T s s

dV u q

V dt M M

(A1.27)

Ahora se desea despejar el término su

110

1 1

t ss ss T s

s t T s s t

M Mdu V q

V dt M

123

Reemplazando (A1.7) y (A1.8)

1 1

1

1 1

1

s s s sTs s

s s T T s s T s t

s T

sTs s s

T s T s t

M V m MdVdu q

m V V dt V V M V dt

V V

MdVdu M q

dt V M V dt

Tomando el peso molecular del sólido constante se llega finalmente a:

1

s ss

s t

q Mu

(A1.28)

Si no hay flujo de sólidos entonces qs = 0, por lo tanto 0su

A1.3 Ley de Darcy Dado que el sólido puede estar en movimiento, la velocidad relativa del petróleo de la matriz con respecto a la del sólido puede escribirse como:

mormo mo s

m T

qu u u

A (A1.29)

De la ley de Darcy

mo m rmomo

T mo

q k kP

A

La ecuación (A1.29) puede escribirse:

m rmomo m s m mo

mo

k ku u P

(A1.30)

Para el gas en la matriz:

m rmg

mg m s m mg

mg

k ku u P

(A1.31)

Para el petróleo en la fractura:

f rfo

fo f s f fo

fo

k ku u P

(A1.32)

124

Para el gas en la fractura:

f rfg

fg f s f fg

fg

k ku u P

(A1.33)

En las ecuaciones (A1.30) – (A1.33) su es el vector velocidad del sólido,

mou , mgu , fou , fgu son los vectores velocidad del aceite y del gas en la matriz y en la

fractura respectivamente. mk , fk son los tensores de permeabilidades absolutas de matriz

y fracturas respectivamente. rmok , rmgk , rfok , rfgk son las permeabilidades relativas de cada

fase dentro de la matriz y dentro de la fractura. moP , mgP , foP , fgP son las presiones en

cada fase en la matriz y en la fractura. Llevando las ecuaciones (A1.30) y (A1.32) a la ecuación (A1.23) se obtiene:

1

mg m rmg mg mmo m rmo mo mmi mo mi mg mi s mi s mi

mo mo mg mg mo mg

mgmomi mo m mi mg m T

T mo mg

k kk kx P y P x u y u q

M M M M

x S y S V TV t M M

(A1.34)

Con las ecuaciones (A1.31) y (A1.33) en la ecuación (A1.24) se obtiene una ecuación similar para fracturas:

1

fo f rfo fg f rfg fo f fg f

fi fo fi fg fi s fi s fi

fo fo fg fg fo fg

fo fg

fi fo f fi fg f T

T fo fg

k k k kx P y P x u y u q

M M M M

x S y S V TV t M M

(A1.35)

Teniendo en cuenta los efectos capilares, se debe introducir la relación entre la presión de petróleo y la presión del gas. La presión capilar para sistemas petróleo – gas se puede escribir: Para la matriz:

cmog mg moP P P (A1.36)

Para la fractura:

cfog fg foP P P (A1.37)

Llevando la ecuación (A1.36) a la ecuación (A1.34) se obtiene:

125

1

mg m rmg mg mmo m rmo mo mmi mi mg mi s mi s mi

mo mo mg mg mo mg

mgmo m rmo momi cmog T m mi mo mi mg

mo mo T mo mg

k kk kx y P x u y u q

M M M M

k kx P V x S y S

M V t M M

T

Resolviendo para el primer y el segundo término del lado derecho de la ecuación:

mo m mo m mo mmi s s mi mi s

mo mo mo

x u u x x uM M M

mg m mg m mg m

mi s s mi mi s

mg mg mg

y u u y y uM M M

Considerando que el divergente de la velocidad de los sólidos es igual a cero la ecuación queda expresada como:

mo m mo mmi s s mi

mo mo

x u u xM M

mg m mg m

mi s s mi

mg mg

y u u yM M

Se llega a la siguiente ecuación para la matriz:

1

mg m rmg mg mmo m rmo mo mmi mi mg s mi mi mi

mo mo mg mg mo mg

mgmo m rmo momi cmog T m mi mo mi mg

mo mo T mo mg

k kk kx y P u x y q

M M M M

k kx P V x S y S T

M V t M M

(A1.38)

De igual manera para la fractura

1


fi fi fg s fi fi fi

fo fo fg fg fo fg

fo f rfo fo fg

fi cfog T f fi fo fi fg

fo fo T fo fg

k k k kx y P u x y q

M M M M

k kx P V x S y S T

M V t M M

(A1.39)

126

Expandiendo el último término de la ecuación (A1.38)

1 1

1

mg mgmo moT m mi mo mi mg mi mo mi mg T m

T mo mg T mo mg

mgmoT m mi mo mi mg

T mo mg

V x S y S x S y S VV t M M V M M t

V x S y SV t M M

Recordando la definición de volumen poroso:

1 mg mgmo m mo

T m mi mo mi mg mi mo mi mg pm

T mo mg pm mo mg

mgmom mi mo mi mg

mo mg

V x S y S x S y S VV t M M V M M t

x S y St M M

(A1.40)

Llevando (A1.40) y (A1.28) a la ecuación (A1.38) se llega a:

mg m rmg mg mmo m rmo mo mmi mi mg mi mi mi

mo mo mg mg mo mg

mgmo m rmo m momi cmog mi mo mi mg pm

mo mo pm mo mg

mom mi m

mo

k kk k ux y P q x y

M M M M t

k kx P x S y S V

M V M M t

x St M

mg

o mi mg

mg

y S TM

(A1.41)

De la misma manera para la fractura:


fi fi fg fi fi fi

fo fo fg fg fo fg

fo f rfo f fo fg fo

fi cfog fi fo fi fg pf f fi

fo fo pf fo fg fo

k k k k ux y P q x y

M M M M t

k kx P x S y S V x

M V M M t t M

fg

fo fi g

fg

S y S TM

(A1.42)

A1.4 Ecuación de Compresibilidad de Zimmerman et al. Para describir los cambios tanto en poros de matriz como en poros de fracturas, se tiene para la matriz:

127

pm d

pcm p pcm m pm m pf f

dVc d c d dP dP

Vpm (A1.43)

Para el volumen poroso de la fractura:

pf d

pcf p pcf m pm m pf f

pf

dVc d c d dP dP

V (A1.44)

Para el caso multifásico que se esta considerando, se escribe la ecuación de Zimmerman en una forma más general

pm d

pcm p pcm m pm m pf f

dVc d c d d d

Vpm (A1.45)

Donde m y f dependen de la presión del gas y de la presión capilar así:

,m mg m mcog moP P S (A1.46)

Y para la fractura:

,f fg f fcog foP P S (A1.47)

Dependiendo del caso particular para calcular la presión en el medio poroso, se obtiene

diferentes formas para m y f . Se presentan los siguientes casos:

Caso 1:

m mgP es decir 0m

Caso 2:

m moP es decir m mcogP

Caso 3:

m mo mo mg mg

m mo mg mg mo mcog

S P S P

S S P S P

Caso 4:

1

2

1

2

m mo mg

m mg mcog mg

P P

P P P

128

1

2m mg mcogP P es decir

1

2m mcogP

Las compresibilidades pcmc y pcfc se pueden obtener de:

bc s bc s

bc s

s s s s

s dt t tpcm pc pc d d

m m m m

c c c cc c c

c c

pc

d

t m pcm d stpcf pc pc

f f

c cc c c

Reemplazando (A1.43) en (A1.41) y considerando la ecuación (A1.46) se llega a:


mo mo mg mg mo mg

mgmo m rmo mo mmi cmog m mi mo mi mg pcm

mo mo mo mg

mom mi mo

mo

k kk k ux y P q x y

M M M M t

k kx P x S y S c

M M M t

x S yM

mg mg mgmo m

mi mg pcm pm m mi mo mi mg pcm pm

mg mo mg

mg fg mg fmo mom mi mo mi mg pcm pf m mi mo mi mg pcm pf

mo mg mo mg

mom mi mo mi

mo

PS c x S y S c

M t M M t

Px S y S c x S y S c

M M t M M t

x S yt M

mg

mg

mg

S TM

(A1.48) De igual manera para la fractura queda:

fo f rfo fg f rfg fo f fg f fo f rfo

fi fi fg fi fi fi fi cfog

fo fo fg fg fo fg fo fo

fo fg fomf fi fo fi fg pcf f fi fo

fo fg fo

k k k k k kux y P q x y x P

M M M M t M

x S y S c x SM M t M

fg mg

fi fg pcf pm

fg

fo fg fo fg fgmf fi fo fi fg pcf pm f fi fo fi fg pcf pf

fo fg fo fg

fo fg f fo

f fi fo fi fg pcf pf f fi fo f

fo fg fo

Py S c

M t


M M t M M t

x S y S c x S yM M t t M

fg

i g

fg

S TM

(A1.49)

129

A1.5 Ecuación de Estado Con las definiciones de la ecuación de estado se puede llegar a las siguientes expresiones para matriz y fractura respectivamente: Matriz:

1mo momo

mo

PC

t t

1mg mg

mg

mg

PC

t t

Fractura:

1fo fo

fo

fo

PC

t t

1fg fg

fg

fg

PC

t t

Haciendo una expansión del antepenúltimo término de la ecuación (A1.48) se tiene:

mg mgmo mom mi mo mi mg m mi mo m mi mg

mo mg mo mg

x S y S x S y St M M t M t M

Derivando los dos términos

mi mg mi mg mgmi mo mi mo mom mo m mg

mo mo mg mg

y S y Sx S x S

t M M t t M M t

Considerando las definiciones de las compresibilidades anteriores se llega a:

mi mg mi mg mgmi mo mi mo mom mo mo m mg mg

mo mo mg mg

y S y S Px S x S PC C

t M M t t M M t

Tomando la ecuación (A1.36) en la ecuación anterior se llega a:

mg cmog mi mg mi mg mgmi mo mi mo mi mom mo mo mo m mg mg

mo mo mo mg mg

P P y S y S Px S x S x SC C C

t M M t M t t M M t

130

Agrupando los términos semejantes:

mi mg mi mg mg mg comgmi mo mi mo mo mi mo mo mm mo mg m mo mg mo

mo mg mo mg mo

y S y S P Px S x S x SC C C

t M t M M M t M t

(A1.50) La ecuación (A1.50) se agrega a la ecuación (A1.48) y se encuentra:


mo mo mg mg mo mg


mo mo mo mg

mom mi mo

mo

k kk k ux y P q x y

M M M M t

k kx P x S y S c

M M M t

x S yM

mg mg mgmo m

mi mg pcm pm m mi mo mi mg pcm pm

mg mo mg

mg fg mg fmo mom mi mo mi mg pcm pf m mi mo mi mg pcm pf

mo mg mo mg

mi mom mo

mo

PS c x S y S c

M t M M t


M M t M M t

x S

t M

mi mg mi mg mg mgmi mo momg m mo mg

mg mo mg

comgmi mo mo mmo

mo

y S y S Px SC C

t M M M t

Px SC T

M t

Agrupando los términos semejantes la ecuación de flujo de fluidos queda como:


mo mo mg mg mo mg


mo mo mo mg

mom mi mo

mo

k kk k ux y P q x y

M M M M t

k kx P x S y S c

M M M t

x S yM

mg mg fgm mo

mi mg pcm pm m mi mo mi mg pcm pf

mg mo mg

mg f mi mgmo mi mom mi mo mi mg pcm pf m mo mg

mo mg mo mg

mi mo mo m

mo

PS c x S y S c

M t M M t

y Sx Sx S y S c

M M t t M t M

x SC

M

comg mg m mi mg mg mgm mi mo mo

mo mo pcm pm mg pcm pm

mo mg

P P y S Px SC c C c

t M t M t

T

(A1.51)

131

Siguiendo el mismo procedimiento para la fractura se llega a la siguiente ecuación de flujo de fluidos para fractura:


fi fi fg fi fi fi

fo fo fg fg fo fg

fo f rfo fo fg f

fi cfog f fi fo fi fg pcf

fo fo fo fg

fo

f fi fo

fo


M M M M t

k kx P x S y S c

M M M t

x SM

fg fo fg mgm

fi fg pcf pm f fi fo fi fg pcf pm

fg fo fg

fo fg f fi fo fi fg

f fi fo fi fg pcf pf f fo fg

fo fg fo fg

fi fo fo f

Py S c x S y S c

M t M M t

x S y Sx S y S c

M M t t M t M

x S

cfog f fi fo fo fg f fi fg fg fg

fo fo pcf pf fg pcf pf

fo fo fg

P x S P y S PC C c C c

M t M t M t

T

(A1.52) A1.6 Ecuación de Presión La ecuación de presión se obtiene sumando la ecuación (A1.51) y (A1.52) sobre la totalidad de los componentes de la mezcla, y teniendo en cuenta que:

1 1

1N N

i i

i i

x y

Para la matriz:

mg m rmg mg mmo m rmo mo m mo m rmomg T cmog

mo mo mg mg mo mg mo mo

mg mgmo m mom mo mg pcm m mo mg pcm pm

mo mg mo mg

k kk k k kuP q P

M M M M t M

S S c S S cM M t M M

m

mg fg mg fmo mom mo mg pcm pf m mo mg pcm pf

mo mg mo mg

mg comg mgmo mo mo m m mo mom mo mg mo mo pcm pm

mo mg mo mo

m mg

t

PS S c S S c

M M t M M t

S P PS S SC C c

t M t M M t M t

mg mg

mg pcm pm

mg

S PC c T

M t

(A1.53)

132

Donde 1

N

T i

i

q q

Para la Fractura:

fo f rfo fg f rfg fo f fg f fo f rfo

fg T cfog

fo fo fg fg fo fg fo fo

fo fg fo fgmf fo fg pcf f fo fg pcf pm

fo fg fo fg

k k k k k kuP q P

M M M M t M

S S c S S cM M t M M

mg

fo fg fo fg fmf fo fg pcf pm f fo fg pcf pf

fo fg fo fg

fo fg fo fo f cfog f fo fo fg

f fo fg fo fo pcf pf

fo fg fo fo

P

t

S S c S S cM M t M M t

S S S P S PC C c

t M t M M t M t

f fg fg fg

fg pcf pf

fg

S PC c T

M t

(A1.54) A1.7 Equilibrio de Fases y Ecuación de Composición Para calcular la composición del fluido en cualquier lugar del yacimiento y en cualquier tiempo deseado se utiliza la ecuación de composición. Esta ecuación se encuentra haciendo un cambio de variables teniendo presente los fundamentos de las relaciones de equilibrio líquido – vapor. Desde estas bases puede demostrarse que:

mi m mi m miz L x V y (A1.55)

Donde miz es la fracción molar del componente i en la mezcla. Las fracciones de líquido y

vapor se definen de la siguiente manera

mo mo

mom

mg mgmo mo

mo mg

S

ML

SS

M M

y

mg mg

mg

mmg mgmo mo

mo mg

S

MV

SS

M M

Reemplazando estos valores en la ecuación (A1.55) se llega a:

mg mg mg mgmo mo mo momi mi mi

mo mg mo mg

S SS Sz x y

M M M M

(A1.56)

133

Llevando la ecuación (A1.56) a la ecuación (A1.51)


mo mo mg mg mo mg

mgmo m rmo mo mmi cmog m mo mg mi pcm

mo mo mo mg

mgmom mo

mo mg

k kk k ux y P q x y

M M M M t

k kx P S S z c

M M M t

S SM M

mg fgm mo

mg mi pcm pm m mo mg mi pcm pf

mo mg

mg f mi mgmo mi mom mo mg mi pcm pf m mo mg

mo mg mo mg

comgmi mo mo mmo

mo

Pz c S S z c

t M M t

y Sx SS S z c

M M t t M t M

Px SC

M t

mg m mi mg mg mgm mi mo momo pcm pm mg pcm pm

mo mg

P y S Px SC c C c

M t M t

T

(A1.57) De la misma manera para la Fractura:


fi fi fg fi fi fi

fo fo fg fg fo fg

fo f rfo fo fg f

fi cfog f fo fg fi pcf

fo fo fo fg

fo fg

f fo

fo f


M M M M t

k kx P S S z c

M M M t

SM M

fo fg mgm

fg fi pcf pm f fo fg fi pcf pm

g fo fg

fo fg f fi fo fi fg

f fo fg fi pcf pf f fo fg

fo fg fo fg

fi fo fo f cfog

fo

fo

PS z c S S z c

t M M t

x S y SS S z c

M M t t M t M

x S PC

M

f fi fo fo fg f fi fg fg fg

fo pcf pf fg pcf pf

fo fg

x S P y S PC c C c

t M t M t

T

(A1.58) A1.8 Modelo de Flujo de Fluidos en Forma Incremental Para dar solución al problema acoplado de Geomecánica y flujo de fluidos composicionales se requiere la definición de valores iniciales para la presión de poro de la matriz y la fractura, y los desplazamientos. Los desplazamientos iniciales no se pueden obtener al momento inicial, por esta razón se trata a los desplazamientos y la presión de

134

poro en forma incremental a partir de las condiciones iniciales, es decir, se calcula el cambio en las variables principales a medida que el yacimiento esta producido. La

relación que tendría en cuenta lo anterior se puede escribir como m m mP t t P t P

o de la misma manera 0

m m mP P P . Se llegaría a:

0

0

mg m rmg mg m rmgmo m rmo mo m rmomi mi mg mi mi mg mi

mo mo mg mg mo mo mg mg

mg mmo m mo m rmomi mi mi cmog

mo mg mo mo

k k k kk k k kx y P x y P q

M M M M

k kux y x P

M M t M

mo m rmomi cmog

mo mo

mg mgmo m mo mm mo mg mi pcm m mo mg mi pcm pm

mo mg mo mg

mg fg mgmo mom mo mg mi pcm pf m mo mg

mo mg mo mg

k kx P

M

S S z c S S z cM M t M M t

PS S z c S S

M M t M M

f

mi pcm pf

mi mg comg mgmi mo mi mo mo m m mi mo mom mo mg mo mo pcm pm

mo mg mo mo

m mi mg mg mg

mg pcm pm

mg

z ct

y S P Px S x S x SC C c

t M t M M t M t

y S PC c T

M t

(A1.60) Para la fractura:

0

0

fo f rfo fg f rfg fo f rfo fg f rfg

fi fi fg fi fi fg fi

fo fo fg fg fo fo fg fg

fo f fg f fo f rfo

fi fi fi cfog

fo fg fo fo

k k k k k k k kx y P x y P q

M M M M

k kux y x P

M M t M

fo f rfo

fi cfog

fo fo

fo fg f fo fg mf fo fg fi pcf f fo fg fi pcf pm

fo fg fo fg

fo fg mg fo fg

f fo fg fi pcf pm f fo fg

fo fg fo fg

k kx P

M

S S z c S S z cM M t M M t

PS S z c S S

M M t M M

f

fi pcf pf

fi fo fi fg fi fo fo f cfog f fi fo fo fg

f fo fg fo fo pcf pf

fo fg fo fo

f fi fg fg fg

fg pcf pf

fg

z ct

x S y S x S P x S PC C c

t M t M M t M t

y S PC c T

M t

(A1.61)

135

ANEXO 2. MODELO DE DEFORMACIÓN GEOMECÀNICA El modelo Esfuerzo – Deformación que se plantean en este trabajo considera que la fase sólida se comporta como un medio elástico no lineal que sufre pequeñas deformaciones. Las relaciones principales en las que se basa este modelo son: Relaciones de Equilibrio de Esfuerzos Relaciones Deformación – Desplazamiento Relaciones Esfuerzo – Deformación - Presión A2.1 Relaciones de Equilibrio de Esfuerzos Para conservar el equilibrio de fuerzas después del cambio en la presión, se deben cumplir las siguientes ecuaciones de equilibrio de esfuerzos:

3

1

ij

i ij ji

j j

Fx

(A2.1)

Donde ij es la componente ij del tensor de esfuerzos y iF es la componente del vector

de fuerzas de cuerpo que resultan de la fuerza de gravedad. De la misma manera que se plantea una forma incremental para la presión se hace para los esfuerzos así:

ij ij ijt t t

o también

o o o

ij ij ij ij ij ij (A2.2)

A2.2 Relaciones Deformación – Desplazamiento Las ecuaciones de Deformación – Desplazamiento en forma incremental son:

1

2

jiij ij ji

j i

uu

x x

(A2.3)

ij representa la componente ij del tensor de deformaciones, iu es la componente i del

vector de desplazamiento.

yx zv xx yy zz

uu u

x y z

(A2.4)

136

A2.3 Relaciones Esfuerzo – Deformación – Presión Para un sistema de doble porosidad, con fluido composicional como el que se tiene en cuenta en este trabajo se plantean las siguientes ecuaciones de esfuerzo – deformación - presión, que relacionan los esfuerzos efectivos con las deformaciones:

' 2ij ij v ijG (A2.5)

Para un sistema de doble porosidad, con flujo composicional el esfuerzo efectivo se escribe como:

'

ij ij m m ij f f ij (A2.6)

Donde m y f dependen de la presión del gas y de la presión capilar como se

menciona en el Anexo 1 y varían de acuerdo a los caso que se presentaron. Los valores

de m bm , f bf se utilizan cuando se pretende calcular un cambio en el volumen

total de la matriz y la fractura respectivamente y m pm , f pf cuando el cambio en

el volumen se toma en el volumen poroso. Combinando (A2.2), (A2.5), (A2.6) se llega a:

0 2ij ij ij v ij m m ij f f ijG (A2.7)

Reemplazando (A2.3) y (A2.4) en (A2.7) se obtiene:

00 01 1 1

22 2 2

0

xy yxx xz x x x x z

f fm m

uu u u u uG

x y z x x y x z x

u

x x x

Agrupando adecuadamente y con las definiciones de divergente y gradiente las ecuaciones se pueden expresar: En dirección X:

00 0

0f fxy m mxx xz

x

uuG u G

x y z x x x x

(A2.8)

137

En dirección Y:

0 0 0

0f fxy yy yz m m

y

uuG u G

x y z y y y y

(A2.9)

En dirección Z:

00 0

0f fyz m mxz zz

z

uuG u G

x y z z z z z

(A2.10)

138

ANEXO 3. ESQUEMA DE DISCRETIZACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS PARA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

A continuación se muestra la discretización de forma generalizada de los términos que se presentan en las ecuaciones diferenciales que se observan en el Anexo 1 y Anexo 2 de este trabajo. La discretización se hace por medio de diferencias finitas en una malla de nodo centrado

m,n-1

m + 1,n

m,n+1

m -1,n

lm+1/2

lm-1 lm lm+1lm-1/2

rn-1

rn+1

rn

rn-1/2

rn+1/2

lm-1 lm

rn-1

rn

Figura A3. 1 Malla de nodo distribuido (o nodo centrado)

A3.1 Discretización del término: U

Tl l

Siguiendo la notación que se presenta en la Figura A3.2, el término U

Tl l

puede ser

discretizado de la siguiente forma:

Figura A3. 2 Fila l de una malla de nodo centrado

139

1/ 2 1/ 2

1

2

lm lm

m mm

U UT T

U l lT

l ll l

Lo cual se puede escribir según las diferencias finitas como

1 11/ 2 1/ 2

1

1

2

m m m mm m

m m

m mm

U U U UT T

l lUT

l ll l

O bien,

1 11/ 2 1/ 2

1 1

2 m m m mm m

m m m m m

U U U U UT T T

l l l l l l

Tratando de comprimir más la notación se realiza un cambio de variables como se puede observar a continuación

1/ 2 1 1 1/ 2 12 2m m m m m m m m

m

UT C T U U C T U U

l l

1 1/ 2 1 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 12 2 2m m m m m m m m m m m

m

UT C T U C T C T U C T U

l l

(A3.1)

Donde los términos mC y 1mC se definen de la siguiente forma:

1

1m

m m m

Cl l l

(A3.2)

1

1 1

1m

m m m

Cl l l

(A3.3)

A3.2 Discretización del término:

U

l

De la Figura A3.2 se puede escribir:

1/ 2 1/ 2

1 2

m m

m m m

U U U

l l l

140

O bien,

1 1

1

2 2

2

m m m m

m m m

U U U UU

l l l

Simplificando

1 1

1

m m

m m m

U U U

l l l

Para llevar a una notación más comprimida se define el operador mf de la siguiente

forma:

1

1m

m m

fl l

(A3.4)

Llegando así a

1 1m m m

m

Uf U U

l

(A3.5)


UT

l r

Siguiendo la notación de un plano de una malla de nodo centrado tal como el ilustrado en la Figura A3.1, se tiene:

1/ 2 1/ 2

, 1 2

lm lm

m n m m

U UT T

U r rT

l r l l

O bien,

1/ 2 1/ 2

1/ 2, 1/ 2,

, 1 2

m m

m n m n

m n m m

U UT T

r rUT

l r l l

(A3.6)

141

Ahora bien, el término 1/ 2,m n

U

r

se desarrolla mediante diferencias finitas de la

siguiente forma:

1/ 2, 1/ 2 1/ 2, 1/ 2

1/ 2, 1 2

m n m n

m n n n

U UU

r r r

(A3.7)

Teniendo en cuenta que:

, 1, , 1 1, 1

1/ 2, 1/ 24

m n m n m n m n

m n

U U U UU

Además,

, 1 1, 1 , 1,

1/ 2, 1/ 24

m n m n m n m n

m n

U U U UU

Entonces la ecuación A3.7 puede ser escrita de cómo se puede observar en la ecuación A3.8:

, 1 1, 1 , 1 1, 1

1/ 2, 12

m n m n m n m n

m n n n

U U U UU

r r r

(A3.8)

Similarmente:

1, 1 , 1 1, 1 , 1

1/ 2, 12

m n m n m n m n

m n n n

U U U UU

r r r

(A3.9)

Introduciendo las definiciones encontradas en las Ecuaciones A3.8 y A3.9 a la Ecuación A3.6 se obtiene:

1/2 1/2, 1 1, 1 , 1 1, 1 1, 1 , 1 1, 1 , 1

1 1

, 1

2 2

2

m mm n m n m n m n m n m n m n m n

n n n n

m n m m

T TU U U U U U U U

r r r rUT

l r l l

O también,

m 1/2 , 1 1, 1 , 1 1, 1 1/2 1, 1 , 1 1, 1 , 1

, 1 1

T m n m n m n m n m m n m n m n m n

m n n n m m

U U U U T U U U UUT

l r r r l l

142

Considerando el término descrito en la ecuación A3.4, entonces:

1/2 , 1 1, 1 , 1 1, 1 1/2 1, 1 , 1 1, 1 , 1

,

.m n m m n m n m n m n m m n m n m n m n

m n

UT f f T U U U U T U U U U

l r

(A3.10)


TU

l

El término diferencial TU

l

puede ser aproximado de la siguiente forma:

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1 2

m m m m

m m

T U T UTU

l l l

1/ 2 1 1/ 2 1

1

2 2

2

m m m m m m

m m

T U U T U UTU

l l l

Considerando la ecuación A3.4 se llega a:

1/ 2 1 1/ 2 1m m m m m m m mTU f T U U f T U Ul

Agrupando términos semejantes se puede tener la ecuación de una manera más simplificada

1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1m m m m m m m m m mTU f T U f T T U f T Ul

(A3.11)

A3.5 Discretización del término: , 1

l

m n

U

l

La discretización del término , 1

l

m n

U

l

se realiza siguiendo el procedimiento a

continuación:

1/ 2 1/ 2

, 1 1 2

m ml

m n m m

U UU

l l l

1 1

, 1 1

2 2

2

m m m ml

m n m m

U U U UU

l l l

143

1,1 1,1

, 1 1

m ml

m n m m

U UU

l l l

Recordando la ecuación A3.4 se puede escribir , 1

l

m n

U

l

de la siguiente forma:

1,1 1,1

, 1

lm m m

m n

Uf U U

l

(A3.12)

144

ANEXO 4. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO COMPOSICIONAL DE FLUJO DE FLUIDOS EN LA MATRIZ

A4.1 Discretización de la ecuación de flujo de fluidos para matriz Para la matriz la ecuación de flujo de fluidos composicionales en forma incremental es:

0

0

mg m rmg mg m rmgmo m rmo mo m rmomg mg T

mo mo mg mg mo mo mg mg

mg mmo m mo m rmo mo m rmocmog

mo mg mo mo mo mo

k k k kk k k kP P q

M M M M

k k k kuP

M M t M M

cmog

mg mgmo m mo mm mo mg pcm m mo mg pcm pm

mo mg mo mg


mo mg mo mg

mom mo

mo

P


PS S c S S c

M M t M M t

S

t M

mg comg mgmo mo m m mo momg mo mo pcm pm

mg mo mo

m mg mg mg

mg pcm pm

mg

S P PS SC C c

t M M t M t

S PC c T

M t

(A4.1)

Gradiente , en coordenadas cartesianas:

U U UU i j k

x y z

(A4.2)

Divergencia , en coordenadas cilíndricas:

yx zFF F

F i j kx y z

(A4.3)

Con el fin de manejar más fácilmente las ecuaciones se realizan los siguientes cambios de variables:

mg m rmgmo m rmo

mo mo mg mg

k kk k

M M

(A4.4a)

145

De la misma manera:

mo m rmo

mo mo

k k

M

(A4.4b)

Aplicando las definiciones (A4.2), (A4.3) y el cambio de variable de las ecuaciones (A4.4a) y (A4.4b) en la ecuación (A4.1) se llega a:

0 0 0

mg mg mg mg mg mg

T

mg m mg m mgmo m mo m mo m

mo mg mo mg mo

P P P P P Pq

x x y y z z x x y y z z

u u

x M M t y M M t z M

0 0 0

m

mg

cmog cmog cmog cmog cmog cmog

mgmo m mom mo mg pcm m m

mo mg mo

u

M t

P P P P P P


S S c SM M t M

mg mo mg pcm pm

mg


mo mg mo mg

mg comgmo mo mo mm mo mg mo

mo mg mo

m mo mo

m

S cM t

PS S c S S c

M M t M M t

S PS SC

t M t M M t

S

M

mg m mg mg mg

mo pcm pm mg pcm pm Tm

o mg

P S PC c C c q

t M t

(A4.5)

Teniendo en cuenta lo establecido en el Anexo 3 se realiza la discretización de la ecuación (A4.5).

146

0 0 01 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 01 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

01 , , 1 2 , ,

2

2

2

i ii ii j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k mg i j k

j jj ji j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k mg i j k

k i j k m i j

C p C C p C p

C p C C p C p

C p

0 01 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

1 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

1 1, 1 2, , 1, , 1 2,

2

2

k k i j k k i j k mg i j k k i j k mg i j k

i ii ii j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k mg i j k

jj ji j k mg i j k i j k

C C p C p

C p C C p C p

C p C C

1, ,

, 1 2, , , , 1 2, , 1,

1 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

, ,

2

mg m mg mmo m mo m

mo mg mo mgi j k

ji j k mg i j k i j k m i j k

k i j k mg i j k k i j k k i j k mg i j k k i j k mg i j k

Ti j k

FiM M M M

p C p

C p C C p C p

q

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

1, ,

, 1, , 1,

*x i j k x i j k i j k i j k i j k i j k

n n n n n n

i j k

mg m mg mmo m mo m

mo mg mo mgi j k i j k

u u u u u u

t t t

FjM M M M

, , , , y , , y , , z , , z , ,

,

1 1 1

, , 1 , , 1

*

*

x i j k x i j k i j k i j k i j k i j k

x i j

n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u u u u u

t t t

uFk

M M M M

, , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

0 01 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , ,

2

k x i j k i j k i j k i j k i j k

n n n n n n

ii ii j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k

u u u u u

t t t

C p C C p

01 2, , 1, ,

0 0 01 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0 01 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , ,

2

2

i i j k cmog i j k

j jj ji j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k i j k cmog i j k

k i j k cmog i j k k i j k k i j k cmog i j k k i j k

C p

C p C C p C p

C p C C p C

01 2 , , 1

1 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

1 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2,

2

2

cmog i j k

i ii ii j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k i j k cmog i j k

j jj ji j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k i j k cmog i

p

C p C C p C p

C p C C p C p

, , , ,

, 1,

1 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

1

, , , ,

, ,

, ,

2

mi j k mi j k

j k

k i j k cmog i j k k i j k k i j k cmog i j k k i j k cmog i j k

n n

mgmomo mgmi j k pcmi j k

mo mgi j k

mmomomi j k

mo

C p C C p C p

S S cM M t

SM

, , , ,

, ,

1

, , , ,

, ,

, ,

, , , , , ,

, ,

, , , , , ,

, ,

mi j k mi j k

fi j k

n n

gmg pcmi j k pmi j k

mgi j k

mg fgi j kmomo mgmi j k pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

n

mgmomo mgmi j k pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

S cM t

PS S c

M M t

S S cM M

, ,

, , , , , , , ,

1

1 1

, , , ,

, , , ,, ,

, , , , , ,

, ,, ,

fi j k

moi j k moi j k mgi j k mgi j k

n

n n n nmmg moi j k moi j k comgmo

mi j k moi j kmo mg moi j k

mi j k moi j k moi j k

moi j k pcmoi j k

t

S S S S S PC

M t M t M t

SC c

M

, ,

, , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,, ,

Tm

mgi j k

mi j k pmi j k

mi j k mgi j k mgi j k mg

mgi j k pcmi j k pmi j kmgi j k

P

t

S PC c q

M t

(A4.6)

147

Esta ecuación puede ser simplificada haciendo un cambio de variable como se puede observar

1, , 1 1 2, ,2i j k i i j kT C

(A4.7a)

1, , 1 1 2, ,2i j k i i j kT C

(A4.7b)

, 1, 1 , 1 2,2i j k j i j kT C

(A4.7c)

, 1, 1 , 1 2,2i j k j i j kT C

(A4.7d)

, , 1 1 , , 1 22i j k k i j kT C

(A4.7e)

, , 1 1 , , 1 22i j k k i j kT C

(A4.7f)

1, , 1 1 2, ,2Ci j k i i j kT C

(A4.7g)

1, , 1 1 2, ,2Ci j k i i j kT C

(A4.7h)

, 1, 1 , 1 2,2Ci j k j i j kT C

(A4.7i)

, 1, 1 , 1 2,2Ci j k j i j kT C

(A4.7j)

, , 1 1 , , 1 22Ci j k k i j kT C

(A4.7k)

, , 1 1 , , 1 22Ci j k k i j kT C

(A4.7l)

La ecuación quedaría

148

0 0 01 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0 0, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , , 1 2

i j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k mg i j k


i j k m i j k i j k k i j k mg

T p T T p T p

T p T T p T p

T p T C p

0 , , , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , ,

i j k i j k mg i j k


i j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k m i j k

i j k mg i j k

T p

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

, , , , y , , y , ,

1 1

1, , 1, ,

1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

, ,

*x i j k x i j k i j k i j k

n n n n

mg m mg mmo m mo m


i j k i j k mg i j k i j k mg i j k

Ti j k

u u u uFi

M M M M t t

T T p T p

q

z , , z , ,

, , , , y , , y , , z ,

1

1 1

, 1, , 1,

*

i j k i j k

x i j k x i j k i j k i j k i j

n n

n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u

t

u u u u uFj

M M M M t t

, z , ,

, , , , y , , y , , z , , z ,

1

1 1 1

, , 1 , , 1

*

k i j k

x i j k x i j k i j k i j k i j k i j

n n

n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u

t

u u u u u uFk

M M M M t t

,

0 0 01 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0, 1 2, , 1, C , 1 2, C , 1 2, , ,

k

n

Ci j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k Ci j k cmog i j k

Ci j k cmog i j k i j k i j k cmog i j

t

T p T T p T p

T p T T p

0, 1 2, , 1,

0 0 0, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

k Ci j k cmog i j k

Ci j k cmog i j k i j k i j k cmog i j k i j k cmog i j k


T p

T p T T p T p

T p T T p T p

, 1 2, , 1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, ,



mgmomo mgmi j k

mo mg

T p T T p T p

T p T T p T p

S SM M

, , , ,

, , , ,

1

, ,

, ,

1

, , , , , ,

, ,

,

, , , , , ,

, ,

mi j k mi j k

mi j k mi j k

n n

pcmi j k

i j k

n n

mgmomo mgmi j k pcmi j k pmi j k

mo mgi j k

mg fgi jmomo mgmi j k pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

ct

S S cM M t

PS S c

M M

, , , ,

, , , , , , , ,

,

1

, , , , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, ,

fi j k fi j k


k

n n

mgmomo mgmi j k pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

n n n n

mg moi j k moi j kmomi j k

mo mg

t

S S cM M t

S S S S S

M t M t

, ,, ,

, , , , , , , ,

, , , , , ,, ,

, , , , , ,

, , , , , ,, ,

Tm

m comg

moi j kmoi j k

mi j k moi j k moi j k mgi j k

moi j k pcmi j k pmi j kmoi j k

mi j k mgi j k mgi j k mg

mgi j k pcmi j k pmi j kmgi j k

PC

M t

S PC c

M t

S PC c q

M t

149

La Ecuación puede escribirse de una forma más simplificada como:

1 1 1 1 1

, , , , 1 , , , 1, , , 1, , , , , , , , 1, ,

1 1

, , , 1, , , , , 1 , ,

n n n n n

i j k m i j k i j k m i j k i j k m i j k i j k m i j k i j k m i j k

n n

i j k m i j k i j k m i j k i j k

BCm p Sm p Wm p Cm p Em p

Nm p TCm p Fm

(A4.8)

Donde:

, , , , 1 2i j k i j kBCm T (A4.8a)

, , , 1 2,i j k i j kSm T (A4.8b)

, , 1 2, ,i j k i j kWm T (A4.8c)

, , 1 2, ,i j k i j kEm T (A4.8d)

, , , 1 2,i j k i j kNm T (A4.8e)

, , , , 1 2i j k i j kTCm T (A4.8f)

, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *

i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k

mi j k moi j k moi j k mi j k mgi j k mgi j k

mo i j k pcm i j k pm i j k mg i j k pcm i j k pm i j k

moi j k mgi j k

Cm T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

(A4.8g)

150

0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , , 1

i j k i j k mg i j k i j k i j k mg i j k i j k mg i j k


i j k m i j k i j k i j k

Fm T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z , ,

0 0

2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,


m i j k i j k m i j k Ti j k

n n n n n

mg m mg mmo m mo m


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,


n

n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

-

-

Ci j k cmog i j k Ci j k Ci j k cmog i j k Ci j k cmog i j k


T p T T p T p

T p T T p T p

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, , 1,



Ci j k cmog i j k

T p T T p T p

T p T T p T p

T p T

C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

,

, , , ,

, ,

i j k i j k cmog i j k Ci j k cmog i j k


mi jmgmomo mgmi j k pcmi j k

mo mgi j k

T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , ,

, , , ,

1

1

, , , , , ,

, ,

, ,

, , , , , ,

, ,

, ,

k mi j k

mi j k mi j k

n n

n n


mo mgi j k


mo mgi j k

mgmomomi j k

mo

t

S S cM M t

PS S c

M M t

SM M

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, , , ,, ,

fi j k fi j k


n n

mg pcmi j k pfi j kmg

i j k

n n n nmmg moi j k moi j k comgmo

mi j k moi j kmo mg moi j k

S ct

S S S S S PC

M t M t M t

, , , ,Tmi j k i j kq q

(A4.8h)

151

A4.2 Discretización de la ecuación de transferencia de fluidos de matriz a fractura

Sabiendo que el término de transferencia es igual a T To Tgq q q se llega a la ecuación

siguiente:

2 2 2 2 2 28 8

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmT m f

o om x y z g gm x y z

k k k k k k k kk k k kq

M l l l M l l l

(A4.9) Discretizando y escribiendo la ecuación (A4.9) en forma incremental se llega a

0 0

2 2 2 2 2 2

, ,

8 8m

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmTm m f f

o om x y z g gm x y zi j k


M l l l M l l l

(A4.10) A4.3 Discretización de la ecuación diferencial incluyendo la transferencia matriz – fractura A continuación se presentan las ecuaciones de flujo de fluidos según el caso con el que se va a trabajar discretizadas y en forma de esténcil

Caso 1:

m mgP , 0m y f fgP , 0f

La ecuación (A4.10) se escribe como

0 0

2 2 2 2 2 2

, ,

8 8mg

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmTm mg fg fg


k k k k k k k kk k k kq P P P P

M l l l M l l l

(A4.10a)

El esténcil central se puede escribir como:

, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *

8




moi j k mgi j k

o

Cm T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

2 2 2 2 2 2

, ,

8ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmm xm ro xm zm ro zm


k k k k k k k kk k k k

M l l l M l l l

152

El esténcil libre se puede escribir como:

0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , ,



i j k mg i j k i j k i j k

Fm T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z ,

0 0

1 2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,

*x i j k x i j k i j k i j k i j k i

mg i j k i j k mg i j k Ti j k

n n n n n

mg m mg mmo m mo m


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,

*

j k


n

n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, ,

-

-


Ci j k cmog i j k Ci j k Ci j k cmog i j k Ci j k cmog i

T

T p T T p T p

T p T T p T p

1,

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, ,

j k



Ci j k cmog i j

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, , , ,

, ,

k i j k i j k cmog i j k Ci j k cmog i j k



mo mgi j k

T T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, ,

, , , , , ,

, ,

1 1

, ,

, ,

mi j k mi j k


n n


mo mgi j k

n n n n

mg moi j kmomi j k

mo mg

t

PS S c

M M t

S S S S S

M t M t

, ,

, ,

, ,, ,

2 2 2

0 0

2 2 2

8*

i j k

mg

mmoi j k comg

moi j kmoi j k

ym ro ymom xm ro xm zm ro zm

o om x y z

fg fg

gm xm rg xm ym rg ym zm rg zm

g gm x y z

PC

M t

k kk k k k

M l l lP P P

k k k k k k

M l l l

Caso 2:

m moP , m mcogP y f foP , f fcogP

153

Entonces la ecuación (A4.10) se escribe como

2 2 2 2 2 2

, ,

0 0 0 0

8 8 *

mg comg cofg

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmTm


mg comg fg fg cofg


M l l l M l l l

P P P P P P P P

(A4.10b)


, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *

8




moi j k mgi j k

o

Cm T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

2 2 2 2 2 2

, ,

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmm xm ro xm zm ro zm



M l l l M l l l


154

0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , ,




Fm T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z ,

0 0

1 2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,



n n n n n

mg m mg mmo m mo m


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,

*

j k


n

n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2,

-

-



T

T p T T p T p

T p T T p T p

, 1,

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, ,

j k



Ci j k cmog i j

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, , , ,

, ,



mgmomo mgmi j k pcmi j

mo mgi j k

T T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , , ,

, , , ,

1

, ,

, , , , , ,

, ,

1

, , , , , ,

, ,

, ,

mi j k mi j k

comgi j k comgi j k

n n

k


mo mgi j k

n n


mo mgi j k

mmi j k

t

PS S c

M M t

P PS S c

M M t

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, ,, ,

cofi j k cofi j k


n n

mgomo mg pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

n n n nmmg moi j k moi j kmo

mi j kmo mg moi j k

P PS S c

M M t

S S S S S

M t M t M

, ,

, ,

2 2 2

0 0 0 0

2 2 2

8*

i j k

mg comg cofg

comg

moi j k

ym ro ymom xm ro xm zm ro zm

o om x y z

comg fg fg cofg

gm xm rg xm ym rg ym zm rg zm

g gm x y z

PC

t

k kk k k k

M l l lP P P P P P P

k k k k k k

M l l l

155

Caso 3:

m mo mo mg mg

m mo mg mg mo mcog

S P S P

S S P S P

2 2 2 2 2 2

, ,

0 0 0 0

8 8 *

mg comg cofg



mg comg fg fg cofg


M l l l M l l l

P P P P P P P P

(A4.10c)

Caso 4:

1

2m mg mcogP P ,

1

2m mcogP

1

2f fg fcogP P ,

1

2f fcogP

Entonces la ecuación (A4.10) se escribe como

2 2 2 2 2 2

, ,

0 0 0 0

8 8 *

1 1

2 2mg comg cofg



mg comg fg fg cofg


M l l l M l l l

P P P P P P P P

(A4.10d)


, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *

8




moi j k mgi j k

o

Cm T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

2 2 2 2 2 2

, ,

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmm xm ro xm zm ro zm



M l l l M l l l


156

0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , ,




Fm T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z ,

0 0

1 2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,



n n n n n

mg m mg mmo m mo m


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,

*

j k


n

n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

mg m mg mmo m mo m


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, ,

-

-



T

T p T T p T p

T p T T p T p

1,

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, ,

j k



Ci j k cmog i j

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, , , ,

, ,




mo mgi j k

T T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , , ,

, , , ,

1

, ,

, , , , , ,

, ,

1

, , , , , ,

, ,

, ,

1

2

1

2

mi j k mi j k

comgi j k comgi j k

n n


mo mgi j k

n n


mo mgi j k

mi j

t

PS S c

M M t

P PS S c

M M t

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, ,,

cofi j k cofi j k


n n

mgmomo mgk pcmi j k pfi j k

mo mgi j k

n n n nmmg moi j k moi j kmo

mi j kmo mg moi

P PS S c

M M t

S S S S S

M t M t M

, ,

, ,,

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

8* *

1 1

2 2

i j k

mg comg cofg

comg

moi j kj k

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zm

o om g gmx y z x y z

comg fg fg cof

PC

t


M Ml l l l l l

P P P P P P P

g

157

ANEXO 5. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO COMPOSICIONAL

DE FLUJO DE FLUIDOS EN LA FRACTURA

A5.1 Discretización de la ecuación de flujo de fluidos para fractura Para la fractura la ecuación de flujo de fluidos composicionales en forma incremental es:

0

0

fo f rfo fg f rfg fo f rfo fg f rfg

fg fg T

fo fo fg fg fo fo fg fg

fo f fg f fo f rfo fo f rfo

cfog

fo fg fo fo fo

k k k k k k k kP P q

M M M M

k k k kuP

M M t M M

cfog

fo

fo fg f fo fg f

f fo fg pcf f fo fg pcf pf

fo fg fo fg

fo fg mg fo fg mf fo fg pcf pm f fo fg pcf pm

fo fg fo fg

fo

f fo

fo

P


PS S c S S c

M M t M M t

S

t M

fg fo fo f cofg f fo fo fg

fg fo fo pcf pf

fg fo fo

f fg fg fg

fg pcf pf

fg

S S P S PC C c

t M M t M t

S PC c T

M t

(A5.1)

Gradiente , en coordenadas cartesianas:

U U UU i j k

x y z

(A5.2)

Divergencia , en coordenadas cartesianas:

yx zFF F

F i j kx y z

(A5.3)

Con el fin de manejar más fácilmente las ecuaciones se realizan los siguientes cambios de variables:

fo f rfo fg f rfg

fo fo fg fg

k k k k

M M

(A5.4a)

De la misma manera:

158

fo f rfo

fo fo

k k

M

(A5.4b)

Aplicando las definiciones (A5.2), (A5.3) y el cambio de variable de las ecuaciones (A5.4a) y (A5.4b) en la ecuación (A5.1) se llega a:

0 0 0

fg fg fg fg fg fg

T

fo f fg f fo f fg f fo f fg

fo fg fo fg fo

P P P P P Pq


u u

x M M t y M M t z M

0 0 0

f

fg

cfog cfog cfog cfog cfog cfog

fo fg f fo

f fo fg pcf f f

fo fg fo

u

M t

P P P P P P


S S c SM M t M

fg f

o fg pcf pf

fg

fo fg mg fo fg mf fo fg pcf pm f fo fg pcf pm

fo fg fo fg

fo fg fo fo f cofg

f fo fg fo

fo fg fo

f fo fo

S cM t

PS S c S S c

M M t M M t

S S S PC

t M t M M t

S

fg f fg fg fg

fo pcf pf fg pcf pf Tf

fo fg

P S PC c C c q

M t M t

(A5.5)

Teniendo en cuenta lo establecido en el Anexo 3 se realiza la discretización de la ecuación (A5.5).

159

0 0 01 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 01 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

01 , , 1 2 ,

2

2

2

i ii ii j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k

j jj ji j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k

k i j k fgi j

C p C C p C p

C p C C p C p

C p

0 0, 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

1 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

1 1, 1 2, , 1, , 1 2,

2

2

k k i j k k i j k fg i j k k i j k fg i j k

i ii ii j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k

j ji j k fg i j k i j k

C C p C p

C p C C p C p

C p C C

1, ,

, 1 2, , , , 1 2, fg , 1,

1 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

, ,

2

fo f fg f fo f fg f

fo fg fo fgi j k

j ji j k fg i j k i j k i j k

k i j k fg i j k k i j k k i j k fg i j k k i j k fg i j k

Ti j k

FiM M M M

p C p

C p C C p C p

q

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

1, ,

, 1, , 1,


n n n n n n

i j k

fo f fg f fo f fg f

fo fg fo fgi j k i j k

u u u u u u

t t t

FjM M M M

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1

*

*


x i

n n n n n n

fo f fg f fo f fg f


u u u u u u

t t t

uFk

M M M M

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

0 01 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , ,

2

j k x i j k i j k i j k i j k i j k

n n n n n n

ii ii j k cfog i j k i j k i j k cfog i j

u u u u u

t t t

C p C C p

0, 1 2, , 1, ,

0 0 01 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0 01 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , ,

2

2

ik i j k cfog i j k

j jj ji j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k i j k cfog i j k

k i j k cfog i j k k i j k k i j k cfog i j k k i j

C p

C p C C p C p

C p C C p C

01 2 , , 1

1 11 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

1 1, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2,

2

2

k cfog i j k

i ii ii j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k i j k cfog i j k

j jj ji j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k i j k cfog

p

C p C C p C p

C p C C p C p

, , , ,

, 1,

1 , , 1 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

1

, , , ,

, ,

, ,

2

fi j k fi j k

i j k

k i j k cfog i j k k i j k k i j k cfog i j k k i j k cfog i j k

n n

fo fg

fi j k fo fg pcfi j kfo fg

i j k

fo

fi j k fofo

C p C C p C p

S S cM M t

SM

, , , ,

, ,

1

, , , ,

, ,

, ,

, , , , , ,

, ,

, , , , , ,

, ,

fi j k fi j k

mi j k

n n

fg

fg pcfi j k pfi j kfg

i j k

fo fg mgi j k

fi j k fo fg pcfi j k pmi j kfo fg

i j k

fo fg


i j k

S cM t

PS S c

M M t

S S cM M

, ,

, , , , , , , ,

1

1 1

, , , ,

, , , ,, ,

, , , , , ,

, ,, ,

mi j k

foi j k foi j k fgi j k fgi j k

n n

n n n n

fo fg foi j k foi j k f cofg

fi j k foi j kfo fg foi j k

fi j k foi j k foi j k

foi j kfoi j k

t

S S S S S PC

M t M t M t

SC c

M

, ,

, , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,, ,

Tf

fgi j k

pcfi j k pfi j k

fi j k fgi j k fgi j k fg

fgi j k pcfi j k pfi j kfgi j k

P

t

S PC c q

M t

(A5.6)

160

Esta ecuación puede ser simplificada haciendo un cambio de variable como se puede observar

1, , 1 1 2, ,2i j k i i j kT C

(A5.7a)

1, , 1 1 2, ,2i j k i i j kT C

(A5.7b)

, 1, 1 , 1 2,2i j k j i j kT C

(A5.7c)

, 1, 1 , 1 2,2i j k j i j kT C

(A5.7d)

, , 1 1 , , 1 22i j k k i j kT C

(A5.7e)

, , 1 1 , , 1 22i j k k i j kT C

(A5.7f)

1, , 1 1 2, ,2Ci j k i i j kT C

(A5.7g)

1, , 1 1 2, ,2Ci j k i i j kT C

(A5.7h)

, 1, 1 , 1 2,2Ci j k j i j kT C

(A5.7i)

, 1, 1 , 1 2,2Ci j k j i j kT C

(A5.7j)

, , 1 1 , , 1 22Ci j k k i j kT C

(A5.7k)

, , 1 1 , , 1 22Ci j k k i j kT C

(A5.7l)

La ecuación quedaría

161

0 0 01 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0 0, , 1 2 f , , 1 , , 1 2 , , 1 2

i j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k


i j k i j k i j k i j k fg i

T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T p

0, , , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , ,

j k i j k fg i j k



i j k fg i j k

T p

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

, , , , y , , y , ,

1 1

1, , 1, ,

1 , , 1 2 , , 1 2 , , , , 1 2 , , 1

, ,

*x i j k x i j k i j k i j k

n n n n

fo f fg f fo f fg f


i j k i j k fg i j k i j k fg i j k

Ti j k

u u u uFi

M M M M t t

T T p T p

q

z , , z , ,

, , , , y , , y , , z , ,

1

1 1

, 1, , 1,

*

i j k i j k

x i j k x i j k i j k i j k i j

n n

n n n n

fo f fg f fo f fg f


u u

t

u u u u uFj

M M M M t t

z , ,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1

1 1 1

, , 1 , , 1

*

k i j k

x i j k x i j k i j k i j k i j k i j

n n

n n n n n

fo f fg f fo f fg f


u

t

u u u u u uFk

M M M M t t

0 0 01 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0, 1 2, , 1, C , 1 2, C , 1 2, , ,

k

n

Ci j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k Ci j k cfog i j k

Ci j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k

t

T p T T p T p

T p T T p

0, 1 2, , 1,

0 0 0, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

Ci j k cfog i j k

Ci j k cfog i j k i j k i j k cfog i j k i j k cfog i j k


T p

T p T T p T p

T p T T p T p

T

, 1 2, , 1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, ,



fo fg

fi j k fo fgfo fg

p T T p T p

T p T T p T p

S SM M

, , , ,

, , , ,

1

, ,

, ,

1

, , , , , ,

, ,

, ,

, , , , , ,

, ,

fi j k fi j k

fi j k fi j k

n n

pcfi j k

i j k

n n

fo fg

fi j k fo fg pcfi j k pfi j kfo fg

i j k

fo fg mgi j


i j k

ct

S S cM M t

PS S c

M M

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, , , , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, ,

mi j k mi j k


k

n n

fo fg


i j k

n n n n

fo fg foi j k foi j k

fi j kfo fg

t

S S cM M t

S S S S S

M t M t

, ,, ,

, , , , , , , ,

, , , , , ,, ,

, , , , , ,

, , , , , ,, ,

Tf

m cofg

foi j kfoi j k

fi j k foi j k foi j k fgi j k

foi j k pcfi j k pfi j kfoi j k

fi j k fgi j k fgi j k fg

fgi j k pcfi j k pfi j kfgi j k

PC

M t

S PC c

M t

S PC c q

M t

162

La Ecuación puede escribirse de una forma más simplificada como:

1 1 1 1 1

, , , , 1 , , , 1, , , 1, , , , , , , , 1, ,

1 1

, , , 1, , , , , 1 , ,

n n n n n

i j k f i j k i j k f i j k i j k f i j k i j k f i j k i j k f i j k

n n

i j k f i j k i j k f i j k i j k

BCf p Sf p Wf p Cf p Ef p

Nf p TCf p Ff

(A5.8)

Donde:

, , , , 1 2i j k i j kBCf T (A5.8a)

, , , 1 2,i j k i j kSf T (A5.8b)

, , 1 2, ,i j k i j kWf T (A5.8c)

, , 1 2, ,i j k i j kEf T (A5.8d)

, , , 1 2,i j k i j kNf T (A5.8e)

, , , , 1 2i j k i j kTCf T (A5.8f)

, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *


fi j k foi j k foi j k fi j k fgi j k fgi j k

fo i j k pcf i j k pf i j k fg i j k pcf i j k pf i j k

foi j k fgi j k

Cf T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

(A5.8g)

163

0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , ,

i j k i j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k


i j k fg i j k i j k i j k

Ff T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z ,

0 0

1 2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,

*x i j k x i j k i j k i j k i j k i j

fgi j k i j k fg i j k Ti j k

n n n n n

fo f fg f fo f fg f


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,

*

k


n

n n n n n n

fo f fg f fo f fg f


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

fo f fg f fo f fg f


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, ,

-

-

Ci j k cfog i j k Ci j k Ci j k cfog i j k Ci j k cfog i j k

Ci j k cfog i j k Ci j k Ci j k cfog i j k Ci j k cfog i j

T

T p T T p T p

T p T T p T p

1,

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, , 1

k



Ci j k cfog i j

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, , , ,

, ,

k i j k i j k cfog i j k Ci j k cfog i j k


fo fg


i j k

T T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , , ,

, , , ,

1

1

, , , , , ,

, ,

, ,

, , , , , ,

, ,

, ,

fi j k fi j k

fi j k fi j k

n n

n n

fo fg

fi j k fo fg pcfi j k pfi j kfo fg

i j k

fo fg mgi j k


i j k

fo

fi j k fofo

t

S S cM M t

PS S c

M M t

SM

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, , , ,

, ,

1 1

, , , ,

, , , ,, ,

mi j k mi j k


n n

fg

fg pcfi j k pmi j kfg

i j k

n n n n

fo fg foi j k foi j k f co

fi j k foi j kfo fg foi j k

S cM t

S S S S S PC

M t M t M

, , , ,Tfi j k i j k

fgq q

t

(A5.8h)

164

A5.2 Discretización de la ecuación de transferencia de fluidos de matriz a fractura

Sabiendo que el término de transferencia es igual a T To Tgq q q se llega a la ecuación

siguiente:

2 2 2 2 2 28 8

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmT m f

o om x y z g gm x y z


M l l l M l l l

(A5.9) Discretizando y escribiendo la ecuación (A5.9) en forma incremental se llega a

0 0

2 2 2 2 2 2

, ,

8 8m

of xf ro xf yf ro yf zf ro zf gf xf rg xf yf rg yf zf rg zf

Tf m f f

o of x y z g gf x y zi j k

k k k k k k k k k k k kq

M l l l M l l l

(A5.10) A5.3 Discretización de la ecuación diferencial incluyendo la transferencia matriz – fractura A continuación se presentan las ecuaciones de flujo de fluidos según el caso con el que se va a trabajar discretizadas y en forma de esténcil

Caso 1:

m mgP , 0m y f fgP , 0f

La ecuación (A5.10) se escribe como

0 0

2 2 2 2 2 2

, ,

8 8mg

ym ro ym gm xm rg xm ym rg ym zm rg zmom xm ro xm zm ro zmTm mg fg fg


k k k k k k k kk k k kq P P P P

M l l l M l l l

(A5.10a)


, , 1 2, , 1 2, , , 1 2, , 1 2, , , 1 2 , , 1 2

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , ,* *

8


fi j k foi j k foi j k fi j k fgi j k fgi j k

fo i j k pcf i j k pf i j k fg i j k pcf i j k pf i j k

foi j k fgi j k

o

Cf T T T T T T

S Sc c c c

M t M t

2 2 2 2 2 2

, ,

8f xf ro xf yf ro yf zf ro zf gf xf rg xf yf rg yf zf rg zf

o of x y z g gf x y zi j k

k k k k k k k k k k k k

M l l l M l l l

165


0 0 0

, , 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, 1 2, , 1, , 1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1,

0

, , 1 2 , , 1 , , 1 2 , ,

i j k i j k fg i j k i j k i j k fg i j k i j k fg i j k


i j k fg i j k i j k i j k

Ff T p T T p T p

T p T T p T p

T p T T

, , , , y , , y , , z , , z ,

0 0

1 2 , , , , 1 2 , , 1 , ,

1 1 1

1, , 1, ,


fg i j k i j k fg i j k Ti j k

n n n n n

fo f fg f fo f fg f


p T p q

u u u u u uFi

M M M M t t

,

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, 1, , 1,

*

j k


n

n n n n n n

fo f fg f fo f fg f


t

u u u u u uFj

M M M M t t t

, , , , y , , y , , z , , z , ,

1 1 1

, , 1 , , 1


n n n n n n

fo f fg f fo f fg f


u u u u u uFk

M M M M t t t

0 0 0

-1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

0 0 0

, -1 2, , -1, , -1 2, , 1 2, , , , 1 2, ,

-

-

Ci j k cfog i j k Ci j k Ci j k cfog i j k Ci j k cfog i j k

Ci j k cfog i j k Ci j k Ci j k cfog i j k Ci j k cfog i

T

T p T T p T p

T p T T p T p

1,

0 0 0

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

1 2, , 1, , C 1 2, , C 1 2, , , , 1 2, , 1, ,

, 1 2, ,

j k



Ci j k cfog i j

T p T T p T p

T p T T p T p

T p

1, C , 1 2, C , 1 2, , , , 1 2, , 1,

, , 1 2 , , 1 C , , 1 2 C , , 1 2 , , C , , 1 2 , , 1

, , , ,

, ,

k i j k i j k cfog i j k Ci j k cfog i j k


fo fg


i j k

T T p T p

T p T T p T p

S S cM M

, , , ,

, , , , , , , ,

1

, ,

, , , , , ,

, ,

1 1

, ,

, ,

fi j k fi j k


n n

fo fg mgi j k


i j k

n n n n

fo fg foi j k

fi j kfo fg

t

PS S c

M M t

S S S S S

M t M t

, ,

, ,

, ,, ,

2 2 2

0 0

2 2 2

8*

i j k

fg

foi j k f cofg

foi j kfoi j k

of xf ro xf yf ro yf zf ro zf

o x y zof

mg mg

gf xf rg xf yf rg yf zf rg zf

g x y zgf

PC

M t

k k k k k k

M l l lP P P

k k k k k k

M l l l

En forma similar para los otros casos que se plantearon en el Anexo 4.

166

ANEXO 6. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO DE DEFORMACIÓN GEOMECÀNICA

A6.1 Discretización de la ecuación geomecánica en dirección X La primera ecuación geomecánica planteada en el Anexo 2, ecuación A2.8, puede escribirse de la siguiente forma siguiendo el análisis que se realizó en el Anexo 4 y Anexo 5.

1 1 1 1

, , , , 1 , , , 1, , , 1, , , , , ,

1 1 1

, , 1, , , , , 1, , , , , 1 , ,

n n n n

Uxi j k x i j k Uxi j k x i j k Uxi j k x i j k Uxi j k x i j k

n n n

Uxi j k x i j k Uxi j k x i j k Uxi j k x i j k Uxi j k

BC U S U W U C U

E U N U TC U F

(A6.1)

Donde:

1 , , 1/22Ux i, j,k k i j kBC C G (A6.1a)

, , 1 , 1/2,2Uxi j k j i j kS C G (A6.1b)

1 1/2, , 1/2, ,2 2Uxi, j,k i i j k i j kW C G (A6.1c)

, , 1/2, , 1/2, ,2 2Uxi j k i i j k i j kE C G (A6.1d)

, , , 1/2,2Uxi j k j i j kN C G (A6.1e)

, , , , 1/22Uxi j k k i j kTC C G (A6.1f)

, , , , , , , , , , , , , , Ux i j k Uxi j k Uxi j k Uxi j k Uxi j k Uxi j k Uxi j kC BC S W E N TC (A6.1g)

1 1

, , , 1/2, 1/2, , 1, 1, 1/2, , 1/2, , , 1,

n n

Uxi j k i j i j k i j k y i j k i j i j k i j k y i j kF f f G U f f U

1 1

, 1/ 2, 1/ 2, , 1, 1, , 1/ 2, , 1/ 2, 1, ,

n n

i j i j k i j k y i j k i j i j k i j k y i j kf f G U f f G G U

1 1

, 1/2, , 1/2, 1, , , 1/2, 1/2, , 1, 1,

n n

i j i j k i j k y i j k i j i j k i j k y i j kf f G G U f f G U

1 1

1/ 2, , 1/ 2, , , 1, , 1/ 2, 1/ 2, , 1, 1,

n n

i j i j k i j k y i j k i j i j k i j k y i j kf f U f f G U

1

1,, ,,2/1,,2/1

1

1,,1 ,,2/12/1,,

n

kjizkjikjiki

n

kjizkjikjiki UffUGff

1 1

, , 1/2 1/2, , 1, , 1 , , 1/2 , , 1/2 1, , n n

i k i j k i j k z i j k i k i j k i j k z i j kf f G U f f G G U

1

1,,1 ,,2/12/1,,

1

,,1 2/1,,2/1,,

n

kjizkjikjiki

n

kjizkjikjiki UGffUGGff

167

1

1,,1 ,,2/12/1,,

1

1,, ,,2/1,,2/1

n

kjizkjikjiki

n

kjizkjikjiki UGffUff

1

,, ,,2/1 ,,2/1

1

,,1 ,,2/1

n

kjimkjipmkjipmi

n

kjimkjipmi PfPf

1

,, ,,2/1 ,,2/1 f

1

,,1 ,,2/1

1

,,1 ,,2/1

n

kjifkjibfkjibi

n

kjifkjibfi

n

kjimkjipmi PfPfPf

kjixykjixyjkjixxkjixxi

n

kjifkjibfi ffPf,1,

0

,1,

0

,,1

0

,,1

01

,,1 ,,2/1

1,,

0

1,,

0

kjixzkjixzkf (A6.1h)

, , , ,Uxi j k Uxi j kF F

A6.2 Discretización de la ecuación geomecánica en dirección Y La segunda ecuación geomecánica, puede escribirse de la siguiente forma,

1 1 1 1 1

, , , , 1 , , , 1, , , 1, , , , , , , , 1, ,

1 1

, , , 1, , , , , 1 , ,

n n n n n

Uyi j k y i j k Uyi j k y i j k Uyi j k y i j k Uyi j k y i j k Uyi j k y i j k

n n

Uyi j k y i j k Uyi j k y i j k Uyi j k

BC U S U W U C U E U

N U TC U F

(A6.2)

Donde:

1 , , 1/22Uyi, j,k k i j kBC C G (A6.2a)

, , 1 , 1/2, , 1/2,2 2Uyi j k j i j k i j kS C G (A6.2b)

1 1/2, ,2Uyi, j,k i i j kW C G (A6.2c)

, , 1/2, ,2UY i j k I i j kE C G (A6.2d)

, , , 1/2, , 1/2,2 2Uyi j k j i j k i j kN C G G (A6.2e)

, , , , 1/22Uyi j k k i j kTC C G (A6.2f)

, , , , , , , , , , , , , ,Uyi j k Uyi j k Uyi j k Uyi j k Uyi j k Uyi j k Uyi j kC BC S W E N TC (A6.2g)

1 1

, , , , 1/2 , 1/2, 1, 1, 1/2, , 1/2, , , 1,

n n

Uyi j k i j i j k i j k x i j k i j i j k i j k x i j kF f f G U f f G G U

1 1

1/2, , , 1/2, 1, 1, , 1/2, , 1/2, 1, , n n

i j i j k i j k x i j k i j i j k i j k x i j kf f G U f f U

168

1 1

, 1/2, , 1/2, 1, , 1/2, , , 1/2, 1, 1, n n

i j i j k i j k x i j k i j i j k i j k x i j kf f U f f G U

1 1

1/2, , 1/2, , , 1, 1/2, , , 1/2, 1, 1,

n n

i j i j k i j k x i j k i j i j k i j k x i j kf f G G U f f G U

1 1

, , 1/2 , 1/2, , 1, 1 , 1/2, , 1/2, , , 1+ n n

j k i j k i j k z i j k j k i j k i j k z i j kf f G U f f U

1 1

, , 1/2 , 1/2, , 1, 1 , , 1/2 , , 1/2 , 1, n n

j k i j k i j k z i j k j k i j k i j k z i j kf f G U f f G G U

1 1

, , 1/2 , , 1/2 , 1, , , 1/2 , 1/2, , 1, 1 n n

j k i j k i j k z i j k j k i j k i j k z i j kf f G G U f f G U

1 1

, , 1/2 , 1/2, , 1, 1 , 1/2, , 1/2, , , 1

n n

j k i j k i j k z i j k j k i j k i j k z i j kf f G U f f U

1 1

, 1/2, , 1, , 1/2, , 1/2, , , n n

j bf i j k m i j k j bm i j k bm i j k m i j kf P f P

1 1

, 1/2, , 1, F , 1/2, , 1, n n

j bm i j k m i j k jJ bf i j k f i j kf P f P

1 1

, 1/2, , 1/2, , , , 1/2, , 1, n n

j bf i j k bf i j k f i j k j bf i j k f i j kf P f P

0 0 0 0 0

1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1i xy i j k xy i j k j yy i j k yy i j k k yz i j k yz i j kf f f

(A6.2h)

, , , ,Uyi j k Uyi j kF F

A6.3 Discretización de la ecuación geomecánica en dirección Z La tercera ecuación geomecánica, puede escribirse de la siguiente manera

1 1 1 1 1

, , , , 1 , , , 1, , , 1, , , , , , , , 1, ,

1 1

, , , 1, , , , , 1 , ,

n n n n n

Uzi j k z i j k Uzi j k z i j k Uzi j k z i j k Uzi j k z i j k Uzi j k z i j k

n n

Uzi j k z i j k Uzi j k z i j k Uzi j k

BC U S U W U C U E U

N U TC U F

(A6.3)

Donde:

1 , , 1/2 , , 1/22 2Uzi, j,k k i j k i j kBC C G (A6.3a)

, , 1 , 1/2,2Uzi j k j i j kS C G (A6.3b)

1 1/2, ,2Uzi, j,k i i j kW C G (A6.3c)

, , 1/2, ,2Uzi j k i i j kE C G (A6.3d)

, , , 1/2,2Uzi j k j i j kN C G (A6.3e)

, , , , 1/2 , , 1/22 2Uzi j k k i j k i j kTC C G (A6.3f)

, , , , , , , , , , , , , ,Uzi j k Uzi j k Uzi j k Uzi j k Uzi j k Uzi j k Uzi j kC BC S W E N TC (A6.3g)

169

1 1

, , 1/2, , , , 1/2 1, , 1 1/2, , 1/2, , , , 1

n n

Uzi j k i k i j k i j k x i j k i k i j k i j k x i j kF f f G U f f G G U

1 1

1/2, , , , 1/2 1, , 1 , , 1/2 , , 1/2 1, ,

n n

i k i j k i j k x i j k i k i j k i j k x i j kf f G U f f U

1 1

, , 1/2 , , 1/2 1, , , , 1/2 1/2, , 1, , 1

n n

i k i j k i j k x i j k i k i j k i j k x i j kf f U f f G U

1 1

1/2 , , 1/2, , , , 1 , , 1/2 1/2, , 1, , 1

n n

i k i j k i j k x i j k i k i j k i j k x i j kf f G G U f f G U

1 1

, , 1/2 , 1/2, , 1, 1 , 1/2, , 1/2, , , 1

n n

j k i j k i j k y i j k j k i j k i j k y i j kf f G U f f G G U

1 1

, , 1/2 , 1/2, , 1, 1 , , 1/2 , , 1/2 , 1,

n n

j k i j k i j k y i j k j k i j k i j k y i j kf f G U f f U

1 1

, , 1/2 , , 1/2 , 1, , , 1/2 , 1/2, , 1, 1

n n

j k i j k i j k y i j k j k i j k i j k y i j kf f U f f G U

1 1

, 1/2, , 1/2, , , 1 , , 1/2 , 1/2, , 1, 1

n n

j k i j k i j k y i j k j k i j k i j k y i j kf f G G U f f G U

1 1 1

, , 1/2 , , 1 , , 1/2 , , 1/2 , , , , 1/2 , , 1

n n n

k bm i j k m i j k k bm i j k bm i j k m i j k k bm i j k m i j kf P f P f P

1 1 1

, , 1/2 f , , 1 , , 1/2 , , 1/2 , , , , 1/2 , , 1

n n n

k bf i j k i j k k bf i j k bf i j k f i j k k bf i j k m i j kf P f P f P

0 0 0 0

1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1

O O

i xz i j k xz i j k j yz i j k yz i j k k zz i j k zz i j kf f f

(A6.3h)

, , , ,Uzi j k Uzi j kF F

Documents

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES