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Ø 8.1 대칭성분의 정의
Ø 8.2 임피던스 부하의 대칭성분 네트워크
Ø 8.3 직렬 임피던스의 대칭성분 네트워크
Ø 8.4 3상 선로의 대칭성분 네트워크
Ø 8.5 회전기기의 대칭성분 네트워크
Ø 8.6 3상 2권선 변압기의 p.u. 대칭성분 모델
Ø 8.7 3상 3권선 변압기의 p.u. 대칭성분 모델
Ø 8.8 대칭성분 네트워크에서의 전력
¨ 대칭성분 : 상전압 , , 에 대하여 Fortescue의 대칭좌표법으로분해
¡ 영상 성분(zero-sequence components):동일한 크기와 0의 위상 변위(zero phase displacement)를 갖는 3개의페이저로 구성된 영상분è 그림 8.1(a)
¡ 정상 성분(positive-sequence components):동일한 크기와 정상순(positive sequence)의 ±120° 위상 변위를 갖는 3개의페이저로 구성된 정상분 è 그림 8.1 (b)
¡ 역상 성분(negative-sequence components) : 동일한 크기와 역상순(negative sequence)의 ±120° 위상 변위 갖는 3개의페이저로 구성된 역상분 è 그림 8.1 (c)
aV bV cV
¨ a 상의 영상, 정상, 역상 성분 : , , è 첨자 a 생략 : 대칭 성분 , , 로 정의
여기서,
식(8.1.1)을 3개의 분리된 식으로 작성하면
a0V a1V a2V
0V 1V 2V
(8.1.1)úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
2
1
0
2
2
C
b
a
VVV
aa1aa1111
VVV
(8.1.2) 23j2
11∠120a +-=°=
(8.1.5)
(8.1.4)
(8.1.3)
22
10c
212
0b
210a
VaaVVV
aVVaVV
VVVV
++=
++=
++=
¨ 식 (8.1.2)의 ‘a‘ 는 크기가 1이고 120° 위상각을 갖는 복소수¡ 임의의 페이저(phasor) X 에 ‘a’를 곱하면 페이저가 120°회전 (반 시계
방향)¡ 페이저 X : 페이저가 240 °회전
¨ 표 8. 1
¨복소수 a 는 복소수 와 유사차이점: j 의 위상각 90°, a 의 위상각은 120°
°Ð=°Ð°Ð= 2401)1201)(1201(a 2
°Ð=-= 9011j
(8.1.2) 23j2
11∠120a +-=°=
¨식 (8.1.1)을 행렬 표기법(matrix notation)을 이용하여 더욱 간결하게 표현¡ 벡터 : , 행렬: ApV sV
: 상 전압의 행 벡터
: 대칭성분의 행 벡터
A : 3 x 3 변환 행렬
pV
sV8)1.(8.aa1aa1111
A2
2 Lúúú
û
ù
êêê
ë
é
=
(8.1.6) VVV
V
c
b
a
p L úúú
û
ù
êêê
ë
é
=
표 8.1
°Ð= 1201a 와 관련된 식
(8.1.1)VVV
aa1aa1111
VVV
2
1
0
2
2
C
b
a
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
(8.1.7)VVV
V
2
1
0
s Lúúú
û
ù
êêê
ë
é
=
이러한 정의를 이용하면 식 (8.1.1) 은
A 행렬의 역 행렬(inverse)은
식 (8.1.10)은 곱(product) 가 단위행렬이라는 것을 보여줌으로써 검증됨식 (8.1.9)에 를 앞에 곱하면 식 (8.1.11)과 같음
(8.1.9)sρ AVV =
(8.1.10)aa1aa1111
31
2
21
úúú
û
ù
êêê
ë
é=-A
1AA-
1A-
(8.1.11)P-1
s VAV =
(8.1.1)VVV
aa1aa1111
VVV
210
22
Cba
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
식 (8.1.11)을 통해 식 (8.1.12)를 구할 수 있음
이 식을 3개의 분리된 식으로 작성하면
(8.1.12)úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
c
b
a
2
2
2
1
0
VVV
aa1aa1111
31
VVV
)1518(
)1418(
)1318(
..
..
..
)aVVa(V31V
)VaaV(V31V
)VV(V31V
cb2
a2
c2
ba1
cba0
++=
++=
++=
(8.1.11)P-1
s VAV =
¨ 식 (8.1.13)은 평형 3상 계통에서는 영상분 전압이 없다는 것을 보여줌(VA+VB+VC=0)¡ 불평형 3상 계통에서 상전압은 영상성분을 가질 수 있음(VA+VB+VC≠0)
¨ 선간 전압은 KVL에 의해 합이 항상 0이기 때문에 영상성분을 가질 수 없음
¨ 대칭성분 변환은 다음과 같이 전류에도 적용될 수 있음
: 상 전류 (phase currents)의 벡터
(8.1.16)sp AII =
pI
(8.1.17)úúú
û
ù
êêê
ë
é=
c
b
a
p
III
I
(8.1.13))VV(V31V cba0 ++=
: 대칭분 전류(sequence currents)의 벡터
또한,
식 (8.1.16)과 (8.1.19)는 다음과 같이 분리된 식으로 나타낼 수 있음.상 전류는,
sI
(8.1.18)
2
1
0
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
III
I s
(8.1.19)p-1
s IAI =
)22.1.8(++=
)21.1.8(++=
)20.1.8(++=
22
10
212
0
210
IaaIIIaIIaII
IIII
c
b
a
대칭성분 전류는
3상 Y결선 계통에서 중성선 전류 은 선 전류의 합
식 (8.1.26)과 (8.1.23)을 비교하면
)25.1.8()++(31
=
)24.1.8()++(31
=
)23.1.8()++(31
=
22
21
0
cba
cba
cba
aIIaII
IaaIII
IIII
nI
)26.1.8(++= cban IIII
(8.1.27)0n 3II =
¨ 중성선 전류는 영상성분 전류의 3배와 동일.
¨ 평형 Y결선 계통에서, 선 전류는 중성선 전류가 0이기 때문에 영상성분을갖지 않음
¨ 중성선 경로가 없는 임의의 3상 계통에서 선 전류는 영상 성분을 갖지 않음¡ Δ결선 계통¡ 비 접지 중성점을 갖는 3상 Y결선 계통
EXAMPLE 8.1 대칭 성분: 평형 상 전압(balanced line-to-neutral voltages)
abc 상순(abc sequence)을 갖는 다음의 평형 상 전압의 대칭 성분(sequence components)을 구하라 :
SOLUTION 식(8.1.13)-(8.1.15)를 이용:
volts1202271202270227
úúú
û
ù
êêê
ë
é
°+а-Ð
°Ð=
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
cn
bn
an
p
VVV
V
[ ]
[ ]
anVvolts
V
V
=°=
°+°+°-°++°=
=°++°+°=
0277
)]240120(277)120120(277027731
0120277120277027731
1
0
∠
∠∠∠
∠-∠∠
(8.1.15))(31
(8.1.14))(31
(8.1.13))(31
22
c2
1
0
cba
ba
cba
aVVaVV
VaaVVV
VVVV
++=
++=
++=
[ ]
[ ] 0240277120277027731
)120120(277)240120(277027731
2
=°+°+°=
°+°+°+°-+°=
∠∠∠
∠∠∠V
이 예제는 abc 상순(또는 정상순; positive sequence )을 갖는 평형 3상 계통이
(1) 영상 성분(zero-sequence)
또는
(2) 역상 성분(negative-sequence components) 을 갖지 않음을 예시
이 예에서,
- 정상 성분 전압 , 은 과 동일
- 영상 성분 전압 과 역상 성분 전압은 0
1V anV
EXAMPLE 8.1 대칭 성분: 평형 상 전압(balanced line-to-neutral voltages)
EXAMPLE 8.2 대칭 성분: 평형 acb 전류
Y 결선 부하는 acb 상순을 갖는 평형전류(balanced currents)를 가지며 다음과같이 주어진다. 대칭성분 전류를 계산하시오.
SOLUTION 식(8.1.23 )-(8.1.25)이용:
A1201012010010
úúú
û
ù
êêê
ë
é
°-а+Ð
°Ð=
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
c
b
a
P
III
I
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
aI
I
I
I
=°=
°+°-+°+°+°=
=°+°+°=
°+°-+°+°+°=
=°+°+°=
A010
)120120(10)240120(1001031
0120102401001031
)240120(10)120120(1001031
0120101201001031
2
1
0
∠
∠∠∠
∠∠∠
∠∠∠
-∠∠∠
)25.1.8()(31
)24.1.8()(31
)23.1.8()(31
22
21
0
cba
cba
cba
aIIaII
IaaIII
IIII
++=
++=
++=
이 예제는 acb 상순(또는 역 상순; negative sequence)을 갖는 평형 3상 계통은,
- 영상 성분(zero-sequence components)
또는
- 정상 성분(positive-sequence components) 을 갖지 않음을 예시
- 역상 성분 전류 는 와 동일- 영상 성분 전류 와 정상성분 전류는 0
2I aI
EXAMPLE 8.2 대칭 성분: 평형 acb 전류
EXAMPLE 8.3 대칭 성분: 불 평형 전류(unbalanced currents)
평형 Y결선 부하에 공급하는 3상 선로는, 그 상들 중의 한 상(b 상)이 개방되어 있다. 부하측의 중성선은 접지되어 있으며, 불평형 선전류는 다음과 같다.
대칭 성분 전류와 중성선 전류를 계산하시오.
A120100
010
III
I
c
b
a
p
úúú
û
ù
êêê
ë
é
°Ð
°Ð=úúú
û
ù
êêê
ë
é=
[ ]
[ ]
[ ]A60333.3
)120120(10001031
A0667.6)240120(10001031
A60333.3
12010001031
2
1
0
°=
°+°++°=
°=°+°++°=
°=
°++°=
-∠
∠∠
∠∠∠
∠
∠∠
I
I
I
SOLUTION 식 (8.1.23)-(8.1.25) 이용하면:
)25.1.8()++(31
=
)24.1.8()++(31
=
)23.1.8()++(31
=
22
21
0
cba
cba
cba
aIIaII
IaaIII
IIII
식(8.1.26) 이용하면, 중성선 전류는
이 예제는, 불 평형 3상계통이 모든 대칭성분에 대하여 0이 아닌 값(nonzero Values)을 가질 수 있다는 사실 예시
또한, 중성선 전류(neutral current)는 영상성분 전류의 3배와 동일
03=A°6010=)°12010+0+°010(=
IIn
∠
∠∠
)26.1.8(++= cban IIII
(8.1.27)3II 0n =
¨ 그림 8.3은 평형 Y 임피던스 부하를 보여줌: 각 상의 임피던스, : 중성선 임피던스, : 상 전압
다른 두 개의 상( )도 같은 방법으로 적용
YZ nZ agV
)1.2.8(++)+(=)++(+=
+=
cnbnanY
cbanaY
nnaYag
IZIZIZZIIIZIZ
IZIZV
그림 8.3 : 평형 Y 임피던스 부하
cgbg V,V
식 (8.2.1)~(8.2.3)은 행렬 형식으로 다음과 같이 작성할 수 있음
식 (8.2.4)를 간결하게 표현하면
(8.2.3)
(8.2.2)
cnYbnancg
cnbnYanbg
)IZ(ZIZIZV
IZ)IZ(ZIZV
+++=
+++=
(8.2.4)úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++
+=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
c
b
a
nYnn
nnYn
nnnY
cg
bg
ag
III
)Z(ZZZZ)Z(ZZZZ)Z(Z
VVV
(8.2.5)ppp IZV =
: 상 전압의 벡터: 선 전류(상 전류) 벡터: 3X3상 임피던스
식 (8.1.9), (8.1.16)을 대칭성분 전압과 대칭성분 전류 사이의 관계를 결정하기 위해 식(8.2.5)에 적용하면
을 식 (8.2.6)의 양변의 앞에 곱하면
또는
pV
pI
pZ(8.1.9)sρ AVV =
(8.1.16) sp AII =
(8.2.6) sps AIZAV =
1A-
(8.2.8)sss IZV =
(8.2.7) sp-1
s A)IZ(AV =
(8.2.5)ppp IZV =
식 (8.2.9)로 정의된 임피던스 행렬 는 대칭성분 임피던스 행렬A역행렬 , 의 정의를 이용하면 행렬 는 다음과 같이 주어짐
식 (8.2.10)에 나타난 행렬 곱셈을 수행하고, (1 + a + a2) = 0을 이용하면
(8.2.9) AZAZ p-1
s =
sZ1A-
pZ sZ
(8.2.10)aa1aa1111
)Z(ZZZZ)Z(ZZZZ)Z(Z
aa1aa1111
31Z
2
2
nYnn
nnYn
nnnY
2
2s
úúú
û
ù
êêê
ë
é´
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++
+
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
¡ 그림 8.3의 평형 Y부하에 대한 대칭성분 임피던스 행렬 는 대각행렬(diagonal matrix) 이므로 식 (8.2.8)은 3개의 분리된 식(uncoupled equation)으로 쓸 수 있음
sZ
(8.2.12)III
Z000Z000)3Z(Z
VVV
2
1
0
y
y
nY
2
1
0
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é +=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
그림 8.3 : 평형 Y 임피던스 부하
(8.2.11)Z000Z000)3Z(Z
ZaaZ)3Z(ZaZZa)3Z(ZZZ)3Z(Z
aa1aa1111
31Z
Y
Y
nY
Y2
YnY
YY2
nY
YYnY
2
2s
úúú
û
ù
êêê
ë
é +=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
+
+
+
úúú
û
ù
êêê
ë
é
=
식 (8.2.12)를 3개의 분리된 식으로 다시 작성하면,
¡ 식 (8.2.13)에 나타낸 것과 같이 영상성분 전압 는 영상성분 전류와 임피던스 에만 의존
¡ 이 임피던스를 영상성분 임피던스라 부르며 로 정의
¡ 정상성분 전압 은 정상성분 전류 과 정상성분 임피던스라 불리는임피던스 Z1=ZY에만 의존
¡ 는 와 역상성분 임피던스 Z2=ZY에만 의존
(8.2.15)(8.2.14)(8.2.13)
222Y2
111Y1
000nY0
IZIZVIZIZV
IZ)I3Z(ZV
==
==
=+=
0V 0I)Z3Z( nY +
0Z
1V 1I
2V 2I
(8.2.12)III
Z000Z000)3Z(Z
VVV
2
1
0
y
y
nY
2
1
0
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é +=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
¡ 식 (8.2.13)~(8.2.15)는 그림 8.4에 나타낸 3개의 네트워크에 의해 표현될 수있음
o 이러한 네트워크는 영상성분, 정상성분, 역상성분 네트워크라 부름
그림 8.4 : 평형 Y부하의 대칭분 네트워크
(8.2.15)(8.2.14)(8.2.13)
222Y2
111Y1
000nY0
IZIZVIZIZV
IZ)I3Z(ZV
==
==
=+=
¡ 그림 8.4와 같이 각 대칭성분 네트워크는 다른 2개 네트워크로부터 분리시켜나타낼 수 있음
¡ 이러한 네트워크의 분리는 대칭성분 임피던스 행렬 가 평형 Y부하에 대한대각 행렬임을 의미하며, 이 분리는 대칭성분의 장점을 나타냄
¡ 중성선 임피던스(neutral impedance)는 그림 8.4의 정상성분 및 역상성분 네트워크에 나타나지 않음에 주의
¡ 이는 정상성분 전류 및 역상성분 전류는 중성선 임피던스에 흐르지 않는 다는 것을 의미
¡ 중성선 임피던스는 3을 곱하여그림 8.4의 영상성분 네트워크에 위치
¡ 임피던스 3Zn에 걸리는 전압 I0(3Zn)은그림 8.3에서 이므로 중성선임피던스 에 걸리는 전압 강하는
sZ
)Z(I nn
0n 3II =nZ
그림 8.4 : 평형 Y부하의 대칭분 네트워크
¡ 그림 8.3에서 Y부하의 중성점이 귀로(return path)를 갖지 않을 때 중성선 임피던스 은 무한하고, 그림 8.4의 영상성분 네트워크에서의 3Zn 항은 개방회로가 됨
¡ 중성점이 개방되면 영상성분 전류는 존재하지 않음
¡ Y부하의 중성점이 0 Ω의 전선을 통해 직접 접지되면 중성선 임피던스는 0이며, 영상성분 네트워크에서의 3Zn항은 단락회로가 됨
¡ 중성점이 직접 접지된 이 조건하에서 부하에 인가된 불평형 전압에 의해 영상성분 전압이 있을 경우, 영상성분 전류 는 존재할 수 없음
¡ 그림 2.16은 평형 Δ부하 및 그 등가 평형 Y부하를 보여줌, Δ부하는 중성점 연결이 없기 때문에 그림 8.5에서 등가 Y부하는 개방 중성점(open neutral)을가짐
¡ 등가 Δ부하에 대응하는 등가 Y부하의 대칭성분 네트워크는 그림 8.5에 나타나 있음
nZ
0I
¡ 그림과 같이 대칭성분 네트워크 각각에서 등가 Y임피던스로 나타남
¡ 또한, 개방 중성점에 대응하는 이기 때문에 영상성분 네트워크는개방 회로를 가짐
¡ 등가 Y부하에서 발생하는 영상성분 전류는 없음
3/ZZY D=
¥=nZ
그림 8.5 : 평형 Δ부하를 등가 Y로 표현한 대칭분 네트워크
¡ 그림 8.5의 대칭성분 네트워크는 평형 Δ부하의 단자로부터 본 것으로써, 평형 Δ부하를 표현한 것
¡ 그림 8.5에서 전류 및 는 Δ내에서의 부하전류가 아닌 Δ부하로공급되는 선전류의 대칭성분
2I10 I,I
그림 8.5 : 평형 Δ부하를 등가 Y로 표현한 대칭분 네트워크
¡ 그림 8.7은 일반적인 3상 선형 임피던스 부하를 보여줌, 부하는 평형 Y부하, 평형 Δ부하와 같은 평형부하 또는 불평형 임피던스 부하를 나타냄
¡ 이 부하에 대한 상 전압과 선 전류 사이의 일반적인 관계는 다음과 같음
또는
: 상 전압 벡터: 선(또는 상)전류 벡터: 3x3상 임피던스 행렬
(8.2.16)úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
c
b
a
ccbcac
bcbbab
acabaa
cg
bg
ag
III
ZZZZZZZZZ
VVV
(8.2.17)ppp IZV =
pVpIpZ
3상 임피던스 부하
그림 8.7 : 일반적인 3상 임피던스 부하(선형, 양 방향성 네트워크, 비회전 기기)
¡ 식 (8.2.17)은 식 (8.2.5)와 같은 형식이기 때문에 그림 8.7의 일반적인 3상부하에 대하여 대칭성분 전압과 전류 사이의 관계는 식 (8.2.8)과 (8.2.9)와같음
(8.2.19)
(8.2.18)
AZAZ
IZV
p1
s
sss
-=
=
3상 임피던스 부하
그림 8.7 : 일반적인 3상 임피던스 부하(선형, 양 방향성 네트워크, 비회전 기기)
(8.2.5)ppp IZV =
(8.2.17) ppp IZV =
(8.2.8) sss IZV =
(8.2.9) AZAZ p-1
s =
¡ 식 (8.2.19)로 주어진 대칭성분 임피던스 행렬 는 9개의 대칭성분 임피던스를 갖는 3 x 3행렬로 표현할 수 있음
¡ 이 행렬에서 대각 임피던스 , , 는 영상성분, 정상성분 및 역상성분네트워크의 자기 임피던스
¡ 비대각 임피던스는 대칭성분 네트워크 사이의 상호 임피던스
sZ
(8.2.20)ZZZZZZZZZ
Z
22120
12101
02010
s
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
(8.2.19)AZAZ p1
s-=
0Z 1Z 2Z
의 정의를 이용하면 식 (8.2.19)는 식 (8.2.21)로 표현
식 (8.2.21)에 나타낸 곱셈을 수행하고 의 관계를 이용하면 다음의 분리된 식이 얻어짐
¡ 대각 대칭성분 임피던스
sp-1 Z,Z,A A,
(8.2.21)aa1aa1111
ZZZZZZZZZ
aa1aa1111
31
ZZZZZZZZZ
2
2
ccbcac
bcbbab
acabaa
2
2
22120
12110
02010
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
0)aa(1 2 =++
(8.2.23))ZZZZZ(Z31ZZ
(8.2.22))2Z2Z2ZZZ(Z31Z
bcacabccbbaa21
bcacabccbbaa0
---++==
+++++=
(8.2.19)AZAZ p1
s-=
¡ 비대각 대칭성분 임피던스
¡ 대칭 부하는 대칭성분 임피던스 행렬이 대각인 부하로 정의됨식 (8.2.24)~(8.2.27)의 모든 상호 임피던스는 0이 됨
¡ 상호 임피던스를 0으로 가정하고 풀면, 대칭 부하는 다음과 같은 조건을가짐
(8.2.27))2Z2aZZ2aZaaZ(Z31Z
(8.2.26))2ZZ2a2aZaZZa(Z31Z
(8.2.25))ZaZZaZaaZ(Z31ZZ
(8.2.24))ZZaaZaZZa(Z31ZZ
bcacab2
cc2
bbaa21
bcac2
abccbb2
aa12
bcacab2
cc2
bbaa1002
bcac2
abccbb2
aa2001
+++++=
+++++=
---++==
---++==
그러면
loadlsymmetricaaforconditionsZZZ
ZZZ
bcacab
ccbbaa
ïþ
ïý
ü
==
==
(8.2.29)
(8.2.28)
(8.2.32)ZZZZ(8.2.31)2ZZZ(8.2.30)0ZZZZZZ
abaa21
abaa0
211220021001
-==
+=
======
대칭 부하에 대한 조건
¡ 정상성분 및 역상성분 임피던스는 식 (8.2.32)에 나타낸 것과 같이 대칭 부하에 대해 동일하며, 식 (8.2.23)에 나타낸 것과 같이 비대칭 부하에 대해서도 동일함
¡ 이는 변압기 및 송전선로와 같은 비회전 기기를 표현하는 선형, 대칭 임피던스에대해서는 항상 성립함
¡ 그러나 발전기 및 전동기와 같은 회전기기의 정상성분, 역상성분 임피던스는 일반적으로 동일하지 않음
¡ 또한 영상성분 임피던스 는 상호 임피던스 가 0이 아닌 한, 대칭 부하의 정상성분 및 역상성분 임피던스와 같지 않음에 주의해야 함
¡ 대칭 임피던스 부하의 대칭성분 네트워크는 그림 8.8에 나타나 있음
¡ 대칭성분 임피던스 행렬(sequence impedance matrix )은 대칭부하에 대해서는대각이기 때문에, 대칭성분 네트워크는 분리되거나 또는 결합되지 않음
0Z bcacab ZZZ ==
sZ
(8.2.32)ZZZZ abaa21 -==
(8.2.23))ZZZZZ(Z31ZZ bcacabccbbaa21 ---++==