887110 Introduction to Discrete Structures

887110 Introduction to Discrete Structures

เซต

2

ความหมายของเซต

เซต หมายถึ�ง กลุ่��มของสิ่��งต�างๆ ไม�ว�าจะเป็�น คน สิ่�ตว� สิ่��งของ ซ��งเราจะเร!ยกสิ่มาชิ�กในกลุ่��มว�า

สิ่มาชิ�กของเซต“ ”

3

ต�วอย�างของเซต

เซต สิ่มาชิ�กของเซตเซตของเดื�อนใน 1

ปี {มกราคม, ก�มภาพั�นธ์�, ม�นาคม,

เมษายน, ... , ธ์�นวาคม}

เซตของว�นใน 1

สั�ปีดืาห์�{จั�นทร�, อ�งคาร, พั�ธ์, พัฤห์�สั, ศุ�กร�, เสัาร�, อาท#ตย�}

เซตของสั� {ม$วง, สั%ม, แดืง, เห์ลื�อง, เข�ยว, ...}

เซตของสั�ตว� {เสั�อ, สั�น�ข, แมว, ช้%าง, ม%า, กระต$าย, ... }

4

การเข!ยนอธิ�บายเซต• น#ยมใช้%อ�กษรอ�งกฤษพั#มพั�ให์ญ่$เข�ยนแทนช้�+อเซต เช้$น A,

B• ว�ธิ!การเข!ยนอธิ�บายเซต สัามารถเข�ยนไดื% 2 ว#ธ์� ดื�งน�.

1 .การเข!ยนแบบแจกแจงสิ่มาชิ�ก ม�ห์ลื�กการในการเข�ยน ดื�งน�.• เข�ยนสัมาช้#กท�.งห์มดืของเซตไว%ภายในวงเลื/บปี กกา• ค�+นสัมาช้#กแต$ลืะต�วดื%วยเคร�+องห์มาย “,”• สัมาช้#กท�+ซ1.าก�นให์%เข�ยนเพั�ยงต�วเดื�ยว• กรณี�สัมาช้#กของเซตม�จั1านวนมากเข�ยนเฉพัาะ 3 ต�วแรกแลืะใช้%จั�ดื

3 จั�ดืเพั�+อแทนว$าย�งม�สัมาช้#กต�วอ�+นๆอ�ก• ต�วอย�างเชิ�น

– A = {1, 2, 3, 4, 5}–B = {…, -2 , -1 , 0 , 1 , 2}

5

แบบฝึ(กห�ดที่!� 1• จังเข�ยนเซตต$อไปีน�.แบบแจักแจังสัมาช้#ก

1 .เซตของช้�+อจั�งห์ว�ดืในปีระเทศุไทยท�+ข5.นต%นดื%วยพัย�ญ่ช้นะ ข“ ”

{ขอนแก$น}2. เซตของสัระในภาษาอ�งกฤษ

{a, e, i, o, u}3. เซตของจั1านวนค6$บวกท�+น%อยกว$า 10

{2, 4, 6, 8}4. เซตจั1านวนค�+บวกท�+น%อยกว$า 10

{1, 3, 5, 7, 9}

6

การเข!ยนอธิ�บายเซต (ต�อ)

2 .การเข!ยนแบบบอกเง+�อนไข ม�ห์ลื�กการ ดื�งน�.• เข�ยนภายใต%วงเลื/บปี กกา { }• ก1าห์นดืต�วแปีรแทนสัมาช้#กท�.งห์มดืตามดื%วยเคร�+องห์มาย |

(| อ$านว$า "โดืยท�") $ แลื%วตามดื%วยเง�+อนไขของต�วแปีรน�.น ดื�งร6ปีแบบ {x | เง�+อนไขของ x}

• ต�วอย�างเชิ�น– A = { x | x เปี8นจั1านวนเต/มบวกท�+ม�ค$าไม$เก#น 5}» อ$านว$า x เปี8นสัมาช้#กของเซต A โดืยท�+ x เปี8น

จั1านวนเต/มบวกท�+ม�ค$าไม$เก#น 5– B = {x | x เปี8นจั1านวนเต/ม}

7

สิ่�ญลุ่�กษณ์�ที่!�ใชิ/แที่นเซตของจ0านวนต�างๆ

• I แทนเซตของจั1านวนเต/ม• I- แทนเซตของจั1านวนเต/มลืบ• I+ แทนเซตของจั1านวนเต/มบวก• N แทนเซตของจั1านวนน�บ• Q แทนเซตของจั1านวนตรรกยะ• R แทนเซตของจั1านวนจัร#ง

8

แบบฝึ(กห�ดที่!� 2• จังเข�ยนแทนเซตต$อไปีน�.แบบบอกเง�+อนไขของ

สัมาช้#ก1. N = {1, 3, 5}

N = {x | x เปี8นจั1านวนค�+บวกต�.งแต$ 1 ถ5ง 5}2. P = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

P = {x | x เปี8นจั1านวนเต/ม}3. K = {10, 20, 30, …}

K = {x | x = 10n แลืะ n เปี8นจั1านวนเต/มบวก}

9

ร1ป็แบบของเซต• เซตว�าง (Empty Set)– ค�อ เซตท�+ไม$ม�สัมาช้#กเลืย– เข�ยนแทนดื%วย { } ห์ร�อ – เช้$น เซตของจั1านวนเต/มท�+อย6$ระห์ว$าง 4 ก�บ 5

• เซตจ0าก�ด (Finite Set)– ค�อ เซตท�+สัามารถระบ�ไดื%ว$าม�สัมาช้#กก�+ต�ว เช้$น

• {} ม�จั1านวนสัมาช้#กเปี8น 0 • {1,2,3,…,100) ม�จั1านวนสัมาช้#กเท$าก�บ 100

• เซตอน�นต� (Infinite Set)– ค�อ เซตท�+ไม$ใช้$เซตจั1าก�ดื ม�สัมาช้#กมากมายน�บไม$ถ%วน– เช้$น เซตของจั1านวนเต/มบวก {1, 2, 3, ...}

10

แบบฝึ(กห�ดที่!� 3• เซตต$อไปีน�. เซตใดืเปี8นเซตจั1าก�ดื เซตใดืเปี8นเซต

อน�นต�1. {x | x เปี8นจั1านวนเต/มค6$}

เซตอน�นต�2. {1, 2, 3, …, 100}

เซตจั1าก�ดื3. {x | x เปี8นจั1านวนเต/มท�+ห์ารดื%วย 2 ลืงต�ว}

เซตอน�นต�4. {x | x เปี8นจั1านวนเต/มท�+ห์ารดื%วย 2 ลืงต�ว แลืะน%อย

กว$า 100}เซตอน�นต�

11

ความสิ่�มพั�นธิ�ของเซต1 .เซตที่!�เที่�าก�น (Equal Sets)

- เซตสัองเซตจัะเท$าก�นก/ต$อเม�+อเซตท�.งสัองม!สิ่มาชิ�กเหม+อนก�น

- เซต A เที่�าก�บ เซต B เข�ยนแทนดื%วยสั�ญ่ลื�กษณี�เปี8น A = B

- เซต A ไม�เที่�าก�บ เซต B เข�ยนแทนดื%วยสั�ญ่ลื�กษณี�เปี8น A B

- ต�วอย�าง - A = {1,2,3,4,5} , B = {5,4,3,2,1} จัะไดื%

ว$า A = B- C = {สั�แดืง, สั�น1.าเง#น, สั�ขาว} , D = {สั�แดืง,

สั�น1.าเง#น, สั�เห์ลื�อง} จัะไดื%ว$า C D เพัราะ สั�ขาว C แต$ สั�ขาว D

12

ความสิ่�มพั�นธิ�ของเซต (ต�อ)

2. เซตที่!�เที่!ยบเที่�าก�น (Equivalent Sets) - เซตสัองเซตจัะเท�ยบเท$าก�นก/ต$อเม�+อเซตท�.งสัองม�

จ0านวนสิ่มาชิ�กเท$าก�น แลืะ สัมาช้#กของเซตจ�บค1�ก�นได/พัอด!แบบหน��งต�อหน��ง

- เซต A เที่!ยบเที่�าก�บ เซต B เข�ยนแทนดื%วยสั�ญ่ลื�กษณี�เปี8น A B

- ต�วอย�าง A = {1,2,3,4,5} , B = {a, b, c, d, e} จัะไดื%ว$า A B แต$ เซตท�.งสัองม�จั1านวนสัมาช้#กเท$าก�น แลืะจั�บค6$แบบ 1:1 ไดื%พัอดื� ดื�งน�.น A B

- หมายเหต� 1 .ถ%า A = B แลื%ว A B2. ถ%า A B แลื%ว ไม$อาจัสัร�ปีไดื%ว$า A = B

13

แบบฝึ(กห�ดที่!� 4• เซตแต$ลืะข%อต$อไปีน�.เซตใดืบ%างท�+เท$าก�น

1. A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {5, 4, 3, 2, 1}

2. C = {x | x เปี8นจั1านวนเต/มค6$ท�+น%อยกว$า 10 }D = {2, 4, 6, 8}

3. E = {x | x เปี8นจั1านวนเต/ม แลืะ x2 = 49 } F = {7}

A = B

C ≠ D

E ≠ F

14

สิ่�บเซต (Subset)

ข/อก0าหนด •เซต A เป็�นสิ่�บเซตของเซต B ก/ต$อเม�+อ สัมาช้#กที่�กต�ว

ของเซต A เป็�นสัมาช้#กของเซต B เข!ยนแที่นด/วย A B•เซต A ไม�เป็�นสิ่�บเซตของเซต B ก/ต$อเม�+อ ม�สัมาช้#กบาง

ต�วของเซต A ไม�เป็�นสัมาช้#กของเซต B เข!ยนแที่นด/วย A B

ข/อควรจ0า• เปี8นสั�บเซตของท�กเซต น�+นค�อ ถ%า A เปี8นเซตใดืๆ

แลื%ว A (เซตว$างเปี8นสั�บเซตของท�กเซตเสัมอ)• เซตท�กเซตเปี8นสั�บเซตของต�วเอง น�.นค�อ ถ%า A เปี8น

เซตใดืๆแลื%ว A A

15

ต�วอย�างสิ่�บเซต• ต�วอย�างที่!� 1

A = {1, 2, 3}B = {1, 2, 3, 4, 5}ดื�งน�.น A B

• ต�วอย�างที่!� 2C = {x | x เปี8นจั1านวนเต/มบวก } = { 1, 2, 3,

…}D = {x | x เปี8นจั1านวนค�+} = {…, -3, -1, 0,

1, 3, …}ดื�งน�.น C D ( อ$านว$า C ไม$เปี8นสั�บเซตของ D)

16

สิ่�บเซต (ต�อ)

• น�ยามสิ่�บเซตแที่/ เซต A จัะเปี8นสั�บเซตแท%ของเซต B ก/ต$อเม�+อ A B แลืะ A B

• ต�วอย�างA = {1, 2, 3}B = {1, 2, 3, 4, 5}ดื�งน�.น A B

• จ0านวนสิ่�บเซต ถ%า A เปี8นเซตท�+ม�สัมาช้#ก n ต�ว จั1านวนสั�บเซตของเซต A จัะม� 2n เซต แลืะในจั1านวนน�.จัะเปี8นสั�บเซตแท% 2n – 1 เซต

17

แบบฝึ(กห�ดที่!� 5• จังห์าสั�บเซตท�.งห์มดืของเซตต$อไปีน�.

1. {1} , {1}

2. {1, 2} , {1}, {2} , {1,2}

3. {-1, 0, 1} , {-1}, {0}, {1}, {-1,0}, {-1,1},

{0,1}, {-1,0,1}

18

เพัาเวอร�เซต (Power Set)

• เพัาเวอร�เซตของเซต A ห์มายถ5ง เซตให์ม$ท�+ม�สัมาช้#กเปี8นสั�บเซตท�.งห์มดืของเซต A เข�ยนแทนดื%วยสั�ญ่ลื�กษณี� P(A)

• ต�วอย�างที่!� 1A = {1}สั�บเซตท�.งห์มดืของ A ค�อ {} , {1} ดื�งน�.น P(A) = { ,

{1} }

• ต�วอย�างที่!� 2B = สั�บเซตท�.งห์มดืของ B ค�อ ดื�งน�.น P(B) = {}

19

เพัาเวอร�เซต (Power Set)

• จั1านวนสัมาช้#กของเพัาเวอร�เซตของเซตจั1าก�ดืจัะเท$าก�บ 2n เม�+อ n เปี8นจั1านวนสัมาช้#กของเซตน�.น

• เช้$น ถ%าก1าห์นดืให์% A = {1, 2, 3}พับว$า เซต A ม�สัมาช้#ก 3 ต�วดื�งน�.น P(A) จัะต%องม�เท$าก�บ 23 ห์ร�อ 8 ต�ว

เข�ยนแจักแจังสัมาช้#ก ไดื%ดื�งน�. P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }

20

แบบฝึ(กห�ดที่!� 6• จังห์าเพัาเวอร�เซตของแต$ลืะเซตต$อไปีน�.

1. {5}{, {5} }

2. {0, 1}{, {0} , {1} , {0,1}}

3. {2, 3, 4}{, {2}, {3}, {4}, {2,3} , {2,4} ,

{3,4} , {2,3,4}}

21

การเข!ยนแผนภาพัเวนน� ออยเลุ่อร�–(Venn – Euler Diagrams)

• เปี8นการเข�ยนแผนภาพัแทนเซต เพั�+อท1าให์%เราสัามารถศุ5กษาเร�+องเก�+ยวก�บเซตไดื%ง$ายแลืะเข%าใจัไดื%ดื�ย#+งข5.น

• การเข�ยนแผนภาพัเวนน�น�.น จัะใช้%ร6ปีปี<ดืสั�+เห์ลื�+ยมม�มฉากแทน เอกภพัสั�มพั�ทธ์� (U) แลืะร6ปีปี<ดืวงกลืม ห์ร�อ วงร�แทนสั�บเซตของ เอกภพัสั�มพั�ทธ์�

UA B

22

แผนภาพัความสิ่�มพั�นธิ�ระหว�างเซต 1

• แผนภาพัแสัดืงความสั�มพั�นธ์�ระห์ว$างเซต A ก�บเซต B แบ$งเปี8นกรณี�ต$างๆ ไดื% 5 กรณี� ดื�งน�.

• กรณ์!ที่!� 1 (disjoint set) : เซต A แลืะ เซต B ไม$ม�สัมาช้#กซ1.าก�นเลืย

UA B

23



• กรณ์!ที่!� 2 (joint set) : เซต A แลืะ เซต B ม�สัมาช้#กซ1.าก�นบางสั$วน

UA B

24



• กรณ์!ที่!� 3 (A = B) : เซต A เท$าก�บ เซต B

UA B

25



• กรณ์!ที่!� 4 (A B) : เซต A เปี8นสั�บเซตแท%ของเซต B

UA

B

26



• กรณ์!ที่!� 5 (B A) : เซต B เปี8นสั�บเซตแท%ของเซต A

UB

A

27

แบบฝึ(กห�ด• จังเข�ยนแผนภาพัแทนเซตต$อไปีน�.เม�+อก1าห์นดืให์%เอกภพั

สั�มพั�ทธ์�เปี8น N1. A = {1,2,3,…,10}

B = {1,3,5,7,9}2. A = {1,2,3,…,10}

B = {1,3,5,7,9}C = {1, 3, 5}

3. A = {1,2,3,…,10}B = {1,3,5,}C = {2, 4, 6}

28

การกระที่0าก�นระหว�างเซต (Operation of set)

• หมายถึ�ง การกระท1าระห์ว$างเซตใดืๆดื%วยต�วกระท1า (Operation code)เก#ดืเปี8นเซตให์ม$ข5.น

• ต�วกระที่0าของเซต (Operation code)– ย6เน�ยน (Union)– อ#นเตอร�เซคช้�น (Intersection)– คอมพัลื�เมนต� (Complement)– ผลืต$าง (difference)

29

ย1เน!ยน (Union)

• การย6เน�ยนระห์ว$างเซต A ก�บเซต B จัะไดื%เซตให์ม$ท�+ม�สัมาช้#กปีระกอบไปีดื%วย สัมาช้#กท�.งห์มดืท�+ไดื%จัากเซต A ห์ร�อ สัมาช้#กท�.งห์มดืท�+ไดื%จัากเซต B

• สัามารถเข�ยนเปี8นภาษาคณี#ตศุาสัตร�ไดื%ดื�งน�.A B = { x | x A v x B}

30

แผนภาพัเวนน�แสิ่ดงการ Union

• ความสั�มพั�นธ์�ระห์ว$างเซต A ก�บเซต B แสัดืงโดืยแผนภาพัเวนน� 5 กรณี� โดืยพั�.นท�+แรเงาเปี8นผลืลื�พัธ์�ของ A B ดื�งน�.

UA B BA

U UA B

AB U A

B

U

31

ต�วอย�าง 1• ต�วอย�างที่!� 1 ก1าห์นดืให์% A = {1, 2, 3}

แลืะ B = {1,3,5,7} จังห์า A Bว�ธิ!ที่0า A B = {1,1,2,3,3,5,7} เห์ม�อนเอาสัมาช้#กมาเทรวมก�นย�บสัมาช้#กท�+ซ1.าก�น จัะไดื% A B = {1,2,3,5,7}

• ต�วอย�างที่!� 2 ก1าห์นดืให์% A = {1, 3}แลืะ B = {1,2,3,4} จังห์า A B

ว�ธิ!ที่0า จัะเห์/นว$า A B ดื�งน�.น A B = {1,2,3,4} น�+นค�อ ถ%า A B แลื%วจัะไดื% A B = B เสัมอ

32

อ�นเตอร�เซคชิ�น (Intersection)

• การอ#นเตอร�เซคช้�นระห์ว$างเซต A ก�บเซต B จัะไดื%เซตให์ม$ท�+ม�สัมาช้#กปีระกอบไปีดื%วย สัมาช้#กท�+ซ1.าซ%อนก�นของเซต A แลืะ เซต B

• สัามารถเข�ยนเปี8นภาษาคณี#ตศุาสัตร�ไดื% ดื�งน�.A B = { x | x A ^ x B}

33

แผนภาพัเวนน�แสิ่ดงการ Intersection

• ความสั�มพั�นธ์�ระห์ว$างเซต A ก�บเซต B แสัดืงโดืยแผนภาพัเวนน� 5 กรณี� โดืยพั�.นท�+แรเงาเปี8นผลืลื�พัธ์�ของ A B ดื�งน�.

UA B

UA B

AB U A

B

U

34


แลืะ B = {0, 2, 4} จังห์า A B แลืะ B Aว�ธิ!ที่0า A B = {2} เลื�อกเฉพัาะสัมาช้#กท�+ซ1.าซ%อนก�น

แลืะ B A = {2} จัะเห์/นว$า A B = B A (สัลื�บท�+ไดื%)

• ต�วอย�างที่!� 2 ก1าห์นดืให์% A = {1, 3, 5}แลืะ B = {2,4,6} จังห์า A B

ว�ธิ!ที่0า จัะเห์/นว$า A ก�บ B ไม$ม�สัมาช้#กซ1.าก�นเลืย ดื�งน�.น A B = {} ห์ร�อ A B =

35

คอมพัลุ่!เมนต� (Complements)

• ถ%า A เปี8นเซตใดืๆในเอกภพัสั�มพั�ทธ์� U คอมพัลื�เมนต�ของเซต A จัะไดื%เซตให์ม$ท�+ปีระกอบดื%วยสัมาช้#กในเอกภพัสั�มพั�ทธ์�ท�+ไม$เปี8นสัมาช้#กของเซต A

• สัามารถเข�ยนเปี8นภาษาคณี#ตศุาสัตร�ไดื% ดื�งน�.A’ = {x | x U ^ x A}

36

ต�วอย�าง• ต�วอย�างที่!� 1 ก1าห์นดืให์% U = {1,2,3,4,5}

แลืะ A = {1, 2, 3} จังห์า A’ว�ธิ!ที่0า A’ ไดื%มาจัากสัมาช้#กท�+อย6$ใน U แต$ไม$ไดื%อย6$ใน A

ดื�งน�.น A’ = {4, 5}

37

ผลุ่ต�าง (difference)

• ผลืต$างระห์ว$างเซต A ก�บเซต B จัะไดื%เซตให์ม$ท�+ม�สัมาช้#กปีระกอบไปีดื%วย สัมาช้#กท�กต�วท�+อย6$ในเซต A แต$ต%องไม$อย6$ในเซต B

• สัามารถเข�ยนเปี8นภาษาคณี#ตศุาสัตร�ไดื% ดื�งน�.A - B = { x | x A ^ x B}

38

แผนภาพัเวนน�แสิ่ดง Difference

• ความสั�มพั�นธ์�ระห์ว$างเซต A ก�บเซต B แสัดืงโดืยแผนภาพัเวนน� 5 กรณี� โดืยพั�.นท�+แรเงาเปี8นผลืลื�พัธ์�ของ A - B ดื�งน�.

UA B

UA B

AB U A

B

U

39


แลืะ B = {1, 2, 3} จังห์า A - Bว�ธิ!ที่0า A - B จัะไดื%เซตให์ม$ท�+ม�สัมาช้#กไดื%จัากเซต A แต$ไม$อย6$ในเซต B

ดื�งน�.น A – B = {5}• ต�วอย�างที่!� 2 ก1าห์นดืให์% A = {-3,-1,0, 1, 2, 3,

8} แลืะ B = {x | x I+ } จังห์า (A – B)

ว�ธิ!ที่0าA – B = {-3, -1, 0}

40

แบบฝึ(กห�ด• ก1าห์นดืให์% U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {0, 2, 4, 6, 8} , B = {1, 3, 5, 7} แลืะ C = {3, 4, 5, 6} จังเข�ยนเซตต$อไปีน�.แบบแจักแจังสัมาช้#ก

1. B CB C = {1, 3, 4, 5, 6, 7}2. A CA C = {4, 6}3. C’C’= {0, 1, 2, 7, 8}

41

แบบฝึ(กห�ด

• จัากแผนภาพัท�+ก1าห์นดื จังแรเงาสั$วนของพั�.นท�+เพั�+อแทนเซตต$อไปีน�.1. A B’2. A’3. A’ B

42

จ0านวนสิ่มาชิ�กของเซตจ0าก�ด• ถ%า A เปี8นเซตจั1าก�ดื สัามารถห์าจั1านวนสัมาช้#กของเซต A

ไดื% เข�ยนแทนดื%วย n(A) • ถ%า A แลืะ B เปี8นเซตจั1าก�ดืท�+อย6$ในเอกภพัสั�มพั�ทธ์� U แลื%ว– n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)– n(A – B) = n(A) – n(A B)– n(B – A) = n(B) – n(A B)

• ถ%า A, B แลืะ C เปี8นเซตจั1าก�ดืท�+อย6$ในเอกภพัสั�มพั�ทธ์� U แลื%วn(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

43

การหาจ0านวนสิ่มาชิ�กของเซต 2 เซต

การห์าจั1านวนสัมาช้#กของเซต 2 เซต สัามารถท1าไดื%โดืยการใช้%เทคน#คต$างๆเห์ลื$าน�.• เทคน#คท�+ 1 ใช้%สั6ตร n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)ข/อแนะน0า เห์มาะก�บการแก%ปี=ญ่ห์าท�+โจัทย�บอกจั1านวนสัมาช้#กในแต$ลืะเซต

มาให์%แลื%ว

• เทคน#คท�+ 2 ใช้%การแทนท�+ ท�ลืะสั$วนลืงไปีในแผนภาพัเวนน�

• เทคน#คท�+ 3 การแทนต�วแปีรลืงไปีท�ลืะสั$วนในแผนภาพัเวนน�ข/อแนะน0า กรณี�ท�+โจัทย�ไม$ไดื%บอกจั1านวนข%อม6ลืของแต$ลืะเซตมาตรงๆ เทคน#คน�.จัะช้$วยแก%ปี=ญ่ห์าไดื%ง$ายกว$าการใช้%สั6ตร

44

ต�วอย�างการหาจ0านวนสิ่มาชิ�กของ 2 เซต

ต�วอย�าง จัากการสัอบถามน�กเร�ยน 100 คน พับว$าน�กเร�ยน 60 คนช้อบเร�ยนว#ช้าฟิ<สั#กสั�, 30 คนช้อบเร�ยนว#ช้าคณี#ตศุาสัตร� แลืะช้อบเร�ยนท�.งฟิ<สั#กสั�แลืะคณี#ตศุาสัตร�จั1านวน 20 คน จงหา จั1านวนน�กเร�ยนท�+ไม$ช้อบท�.งสัองว#ช้าว�ธิ!ที่0า ให์% U แทนเซตของกลื�$มน�กเร�ยนท�+ถ6กสัอบถาม n(U) = 100 คน A แทนเซตของน�กเร�ยนท�+ช้อบว#ช้าฟิ<สั#กสั� n(A) = 60 คน B แทนเซตของน�กเร�ยนท�+ช้อบว#ช้าคณี#ตฯ n(B) = 30 คน แลืะ น�กเร�ยนท�+ช้อบเร�ยนท�.งฟิ<สั#กสั�แลืะคณี#ตฯ n(AB) = 20 คนจัากสั6ตร น�กเร�ยนท�+ไม$ช้อบเร�ยนท�.งสัองว#ช้า n[(AB)’] ห์าไดื%จัาก n[(AB)’] = n(U) – n(A U B) = 100 – 70 = 30 ดื�งน�.น น�กเร�ยนท�+ไม$ช้อบเร�ยนท�.ง 2 ว#ช้าม� 30 คน

45

แบบฝึ(กห�ด• จัากการสัอบถามพั$อบ%าน พับว$า ม�ผ6%ท�+ดื�+มช้าห์ร�อ

กาแฟิเปี8นปีระจั1าจั1านวน 120 คน ม�ผ6%ท�+ช้อบดื�+มช้า 60 คน ช้อบดื�+มกาแฟิ 70 คน จังห์าจั1านวนพั$อบ%านท�+ช้อบดื�+มท�.งช้าแลืะกาแฟิ

46

การหาจ0านวนสิ่มาชิ�กของเซต 3 เซต

• สั1าห์ร�บเทคน#คในการห์าจั1านวนสัมาช้#กของเซต 3 เซตก/สัามารถท1าในลื�กษณีะเดื�ยวก�นก�บกรณี�ของเซต 2 เซตไดื%

• ในกรณี�ท�+ต%องการแก%ปี=ญ่ห์าโดืยการใช้%สั6ตร สั6ตรท�+ใช้%แสัดืงไดื% ดื�งน�.

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)ข/อแนะน0าสิ่0าหร�บเที่คน�คน!6 จัะใช้%ไดื%เม�+อโจัทย�ก1าห์นดืจั1านวนของต�วแปีรต$างๆในสัมการมาให์%ครบ

47

ต�วอย�าง• ผลืการสัอบว#ช้าภาษาไทย สั�งคม แลืะคณี#ตศุาสัตร�ของ

น�กเร�ยน 45 คนเปี8นดื�งน�.– สัอบไดื%ท�.ง 3 ว#ช้า 18 คน– สัอบภาษาไทยไดื% 15 คน– สัอบคณี#ตศุาสัตร�ไดื% 9 คน– สัอบสั�งคมไดื% 13 คน– สัอบตกว#ช้าคณี#ต ก�บ สั�งคม 8 คน– สัอบตกว#ช้าคณี#ต ก�บ ภาษาไทย 7 คน– สัอบตกว#ช้าสั�งคม ก�บ ภาษาไทย 5 คนจงหาว�าผ1/สิ่อบตกที่�6ง 3 ว�ชิาม!ก!�คน

48

แบบฝึ(กห�ด• จัากการสั1ารวจัผ6%ถ�อห์�%นในตลืาดืห์ลื�กทร�พัย� จั1านวน

3000 คน พับว$า ม�ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ก, ข, แลืะ ค ดื�งน�.– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ก จั1านวน 200 คน– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ข จั1านวน 250 คน– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ค จั1านวน 300 คน– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ก แลืะ ข จั1านวน 50 คน– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ข แลืะ ค จั1านวน 40 คน– ผ6%ถ�อห์�%นบร#ษ�ท ก แลืะ ค จั1านวน 30 คนจัากจั1านวนผ6%ถ�อห์�%นท�+สั1ารวจั จังห์าจั1านวนผ6%ถ�อห์�%นที่!�ไม�ใชิ�ของสัามบร#ษ�ทน�.

49

เฉลุ่ย แบบฝึ(กห�ด

50

ม�ค1าถามไห์มค$ะ ?

Documents

887110 Introduction to Discrete Structures