1

887110 Introduction to Discrete Structures

ความสมัพนัธ์(Relations)

2

คู่อันดับ• คู่อันดับประกอบด้วยสมาชกิ 2 ตัว เขยีนแทนในรูป

(a,b) – โดยท่ี a เป็นสมาชกิตัวหน้า– และ b เป็นสมาชกิตัวหลัง

• ลำาดับของคู่อันดับมคีวามสำาคัญ– การสลับท่ีกันระหวา่งสมาชกิทัง้ 2 ของคู่อันดับ อาจทำาให้

ความหมายเปล่ียนไป• สมบติัของคู่อันดับ

1. (a , b) = (b, a) ก็ต่อเมื่อ a = b2 .ถ้า (a , b) = (c , d) แล้วจะได้วา่ a = c และ b = d3. ถ้า (a , b) (c , d) แล้วจะได้วา่ a c หรอื b d

3

ผลคณูคารที์เชยีน• นิยาม ผลคณูคารท์ีเชยีนของเซต A และ เซต B

คือ เซตใหมท่ี่มสีมาชกิเป็นคู่อันดับ (x, y) อันเกิดจากการการจบัคู่ทกุกรณีท่ีเป็นไปได้ จากสมาชกิ x ของเซต A และสมาชกิ y ของเซต B

• ผลคณูคารที์เชยีนของเซต A กับ เซต B เขยีนเป็นสญัลักษณ์คือ A x B (อ่านวา่ “A cross B”)

• สามารถเขยีนเป็นภาษาคณิตศาสตรไ์ด้ ดังนี้A x B = { (x , y) | x A ^ y B}

4

ตัวอยา่งโจทย ์กำาหนดให ้A = {a, b, c} และ B = {m, n} จงหา A x B

และ B x Aวธิทีำา จากโจทยส์ามารถเขยีนเป็นแผนภาพได้ ดังนี้

จากแผนภาพ เซต A จบัคู่ทกุกรณีกับเซต B ได้ผลลัพธ ์ดังนี้A x B = {(a, m) , (a, n) , (b, m) , (b, n) , (c, m) , (c, n)}B x A = {(m, a) , (m, b) , (m, c) , (n, a) , (n, b) , (n, c)}

abc

mn

A B

abc

mn

AB

A x B B x A

5

สมบติัของผลคณูคารที์เชยีน• กำาหนด A , B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

1. A x B ไมจ่ำาเป็นต้องเท่ากับ B x A• A x B = B x A ก็ต่อเมื่อ A = B หรอื A = หรอื B

= 2. A x = x A = 3. A x ( B C) = (A x B) (A x C)

(A B) x C = (A x C) ( B x C)4. A x (B C) = (A x B) (A x C)

(A B) x C = (A x C) ( B x C)

6

สมบติัของผลคณูคารที์เชยีน (ต่อ)• กำาหนด A , B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

5. A x (B - C) = (A x B) - (A x C)(A - B) x C = (A x C) - ( B x C)

6 .ถ้า A B แล้ว A x C B x C7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำากัดแล้ว

n(A x B) = n(A) . n(B)n(B x A) = n(B) . n(A)n(A x B) = n(B x A)

8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำากัด ซึ่ง B แล้ว A x B เป็นเซตอนันต์

7

ความสมัพนัธ ์(RELATION)

8

ความสมัพนัธท์วภิาค (Binary Relations)

• ความสมัพนัธท่ี์เราพบเหน็ทัว่ไป เชน่เป็นพอ่ของ เป็นแมข่องมากกวา่ น้อยกวา่เป็นสมาชกิของเป็นสบัเซตของล้วนแต่เป็นความสมัพนัธร์ะหวา่ง 2 สิง่ เราจะเรยีกวา่

ความสมัพนัธท์วภิาค• นิยาม กำาหนด A และ B เป็นเซตใดๆแล้ว R เป็น

ความสมัพนัธจ์ากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ R เป็นสบัเซตของ A x B เขยีนแทนด้วย R A x B

9

ตัวอยา่งตัวอยา่ง กำาหนดให ้A = {a, b} และ B = {c} จงแสดงความสมัพนัธ์

จาก A ไป Bวธิทีำา จากขอ้กำาหนดท่ีวา่ r เป็นความสมัพนัธจ์าก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r

A x Bหมายความวา่ เซตอะไรท่ีเป็นสบัเซตของ A x B ถือเป็นความสมัพนัธทั์ง้

สิน้ดังนัน้ เราสามารถเขยีนความสมัพนัธจ์าก A ไป B แบบแจกแจงได้ ดังนี้

r1 = เพราะ เป็นสบัเซตของทกุเซต ดังนัน้ A x B แน่ๆr2 = {(a , c)} r3 = {b , c} r4 = { {a,b} , {a,c} } = A x B

ขอ้สงัเกต จำานวนความสมัพนัธทั์ง้หมดท่ีเกิดจาก A x B = 2 n(A x B)

= 2 n(A) x n(B)

10

สญัลักษณ์ในเรื่องความสมัพนัธ์ทวภิาค

• ถ้า R A x B เรยีกวา่ R เป็นความสมัพนัธจ์าก A ไป B

• ถ้า (a,b) R จะหมายถึง a สมัพนัธกั์บ b ด้วยความสมัพนัธ ์R สามารถเขยีนแทนด้วย aRb

• ถ้า (a,b) R จะหมายถึง a ไมส่มัพนัธกั์บ b ด้วยความสมัพนัธ ์R สามารถเขยีนแทนด้วย aRb

12

สว่นเติมเต็มของความสมัพนัธ ์(Complementary Relations)

• สว่นเติมเต็มของความสมัพนัธ ์แทนด้วยสญัลักษณ์ หรอื R

• นิยามของ เป็น ดังน้ี = {(a,b) | (a,b) R} = (A x B) – R

• ตัวอยา่ง กำาหนดให ้A = {1,2,3} และ R = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (1,2) , (1,3) , (2,3) จงหาสว่นเติมเต็มของ Rวธิทีำา A x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}ดังนัน้ = {(2,1) , (3,1) , (3,2)}

13

อินเวอรส์ของความสมัพนัธ ์(Inverse Relations)

• ให ้R เป็นความสมัพนัธจ์าก A ไป B อินเวอรส์ (Inverse) ของ R เขยีนแทนด้วย R-1

• R-1 คือ ความสมัพนัธจ์าก B ไป A• R-1 จะมสีมาชกิเป็นคู่อันดับ (y , x) โดยที่ (x ,

y) R• R-1 เขยีนเป็นภาษาคณิตศาสตรไ์ด้เป็น R-1 =

{(y , x) | (x , y) R}

14

ตัวอยา่ง• ตัวอยา่งท่ี 1 กำาหนดให ้R = {(1,2) , (3,4) ,

(5,6) } จงหาอินเวอรข์องความสมัพนัธน้ี์ วธิทีำา R-1 = {(2,1) , (4,3) , (6,5)}• ตัวอยา่งท่ี 2 กำาหนดให ้R = {(x,y) R x R | y =

} จงหา R-1

วธิทีำา ในสว่นเง่ือนไขใหเ้ปล่ียน x เป็น y เปล่ียน y เป็น xจะได้ R-1 = {(x,y) R x R | x = } R-1 = {(x,y) R x R | x2 = y – 3, x 0 }

ดังนัน้ R-1 = {(x,y) R x R | y = x2 + 3}

3x

3y

15

การแทนความสมัพนัธ์

16

การแทนความสมัพนัธ์นอกเหนือจากการแทนความสมัพนัธร์ะหวา่ง

เซต 2 เซตด้วยเซตของคู่อันดับแล้ว เรายงัสามารถแทนความสมัพนัธใ์นรูปแบบอ่ืนๆ ดังนี้1 .แทนด้วยกราฟระบุทิศทาง (directed

graph)2. แทนด้วยเมทรกิซ ์(matrix)

17

การแทนความสมัพนัธด้์วยกราฟระบุทิศทาง(directed graph)

• จะใชก้ารลากเสน้ความสมัพนัธจ์ากสมาชกิของเซตหนึ่งไปยงัสมาชกิของอีกเซตหนึ่ง

• ใชล้กูศรเป็นตัวกำาหนดทิศทางของความสมัพนัธ์• ตัวอยา่ง กำาหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R

= {(1,1) , (1,2) ,(1,3) ,(1,4)}1

2

3

4

18

การแทนความสมัพนัธด้์วยเมทรกิซ์(matrix)

• กำาหนดใหเ้ซต A = {a1,a2,a3,…am} และ B = {b1,b2,b3,…,bn} เราสามารถแทนความสมัพนัธ ์R ระหวา่ง 2 เซตนี้ด้วยเมทรกิซเ์ชงิตรรก (logical matrix) ขนาด m x n เมื่อ m คือ จำานวนสมาชกิของเซต A และ n คือ จำานวนสมาชกิของเซต B

• โดยแต่ละตำาแหน่งของ matrix (Mij) จะถกูแทนด้วย 0 ถ้า (ai,bj) R และแทนด้วย 1 ถ้า (ai,bj) R

19

ตัวอยา่ง• กำาหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1)

, (1,2) ,(1,3) ,(1,4)} สามารถแทนความสมัพนัธด์้วยเมทรกิซ ์ดังนี้

1234

1 2 3 41 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

20

ความสมัพนัธบ์นเซต

21

ความสมัพนัธเ์อกลักษณ์ (identity relation)

• ความสมัพนัธจ์ากเซต A ไปยงัตัวมนัเองเรยีกวา่ ความสมัพนัธบ์นเซต A

• ความสมัพนัธเ์อกลักษณ์ (identity relation) IA บนเซต A แสดง ดังน้ีIA = {(a,a) | a A}

• ตัวอยา่ง กำาหนดให ้A = {1,2,3,4} จงหาคู่อันดับในความสมัพนัธ ์R = {(a,b) | a < b}วธิทีำา จะได้วา่ R = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

22

ความสมัพนัธส์ะท้อน (reflexive)• ความสมัพนัธบ์นเซต A ใดๆ จะมคีณุสมบติั

สะท้อน (reflexive) ก็ต่อเมื่อ ทกุ x A , xRx• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} ใหพ้จิารณา

วา่ความสมัพนัธต่์อไปนี้เป็น reflexive หรอืไม่– R = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)} เป็น– R = {(1,1),(2,2),(3,3)} ไมเ่ป็น เพราะ

ไมม่ ี(4,4)• ความสมัพนัธบ์นเซต A เป็นความสมัพนัธไ์ม่

สะท้อน (irreflexive) ถ้า (a,a) R สำาหรบั a ทกุตัวท่ีเป็นสมาชกิของ A

23

ความสมัพนัธส์ะท้อน (reflexive) ต่อ

• ถ้า R เป็นความสมัพนัธส์ะท้อน – จุดทกุจุดในกราฟระบุทิศทางของ R จะมลีกูศรวน

เขา้หาตัว– สมาชกิในแนวทะแยงมุมของเมทรกิซข์อง R จะมค่ีา

เป็น 1 ทัง้หมด .1

.2

.3

.4

1234

1 2 3 41 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

24

ความสมัพนัธส์มมาตร (Symmetric)

• ความสมัพนัธบ์นเซต A ใดๆ จะมคีณุสมบติัสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ทกุ x,y A ถ้า xRy แล้ว yRx (หรอื R = R-1 )

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} ใหพ้จิารณาวา่ความสมัพนัธต่์อไปนี้เป็น symmetric หรอืไม่– R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} เป็น– R = {(1,3),(3,2),(2,1)} ไมเ่ป็น

25

ความสมัพนัธส์มมาตร (Symmetric) ต่อ

• ถ้า R เป็นความสมัพนัธส์มมาตรระหวา่ง 2 เซตใดๆ – กราฟระบุทิศทางของ R จะมลีกูศรเชื่อมระหวา่งคู่

อันดับนัน้ 2 ทิศทาง– เมทรกิซข์อง R จะมสีมมาตรเทียบกับแนวทะแยงมุม

.1

.2

.3

.4

1234

1 2 3 40 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

26

ความสมัพนัธป์ฏิสมมาตร (Antisymmetric)

• ความสมัพนัธบ์นเซต A ใดๆ จะมคีณุสมบติัปฏิสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ab , ถ้า (a,b)R แล้ว (b,a) R

• หมายความวา่ ทกุๆคู่ท่ี a กับ b ไมเ่ท่ากัน ถ้า (a,b) เป็นสมาชกิของ R แล้ว (b,a) ต้องไมเ่ป็นสมาชกิของ R

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} R ท่ีมีคณุสมบติัปฏิสมมาตร เชน่– R = {(1,1)} เพราะความสมัพนัธน์ี้ไมม่ ีa

ท่ีไมเ่ท่ากับ b นับวา่เป็นได้เลย– R = {(1,3),(3,2),(2,1)} ม ี3 คู่อันดับท่ี a b

โดยแต่ละคู่อันดับ (a,b) ไมม่ ี(b,a)

27

ความสมัพนัธไ์มส่มมาตร (asymmetric)

• ความสมัพนัธบ์นเซต A ใดๆ จะมคีณุสมบติัไม่สมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ a,b A , ถ้า (a,b)R แล้ว (b,a) R

• หมายความวา่ ทกุๆคู่ (a,b) ท่ีเป็นสมาชกิของ R จะต้องไมม่คีู่อันดับ (b,a) ท่ีเป็นสมาชกิของ R

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} R ใดบา้งที่มีคณุสมบติัไมส่มมาตร– R = {(1,3),(3,2),(2,1)} มี– R = {(4,4), (3,3) ,(1,4)} ไมม่ ีเพราะม ี2 คู่ท่ี

ไมใ่ช ่คือ (4,4) และ (3,3)

28

ความสมัพนัธถ่์ายทอด (transitive)

• ความสมัพนัธบ์นเซต A ใดๆ จะมคีณุสมบติัถ่ายทอด (transitive) ก็ต่อเมื่อทกุ x,y,z A , ถ้า xRy และ yRz แล้ว xRz

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} ใหพ้จิารณาวา่ R ต่อไปนี้มคีณุสมบติัถ่ายทอดหรอืไม่– R = {(1,1) ,(1,2) ,(2,2) ,(2,1), (3,3)} เป็น– R = {(1,3) ,(3,2) ,(2,1)} ไมเ่ป็น ด้วย

เหตผุลท่ีวา่• ม ี(1,3) , (3,2) แต่ไมม่ ี(1,2) • ม ี(3,2) , (2,1) แต่ไมม่ ี(3,1)

29

ความสมัพนัธถ่์ายทอด (transitive) ต่อ

• ความสมัพนัธถ่์ายทอดไมส่ามารถสงัเกตจากกราฟระบุทิศทางหรอืเมทรกิซไ์ด้ง่ายนัก

• ตัวอยา่งกราฟระบุทิศทางของความสมัพนัธ์ถ่ายทอดแสดงได้ ดังนี้

.1

.2

.3

.4

.1

.2

.3

.4

.1

.2

.3

.4

30

ความสมัพนัธส์มมูล(EQUIVALENCE RELATION)

31

ความสมัพนัธส์มมูล (Equivalence Relations)

• ถ้าความสมัพนัธ ์R มคีณุสมบติัสะท้อน(reflexive) สมมาตร(symmetric) และ ถ่ายทอด(transitive) เราจะกล่าววา่ R เป็นความสมัพนัธส์มมูล

• ตัวอยา่ง กำาหนด A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)} จงตรวจสอบวา่ R เป็นความสมัพนัธ์สมมูลหรอืไม ่วธิทีำา เราต้องทำาการตรวจสอบคณุสมบติัทัง้ 3 ด้าน ดังนี้- reflexive ม ีเพราะ (1,1) , (2,2) ,(3,3) , (4,4)- symmetric ม ีเพราะ (1,2) , (2,1)- transitive ม ีเพราะ ม ี(1,2) , (2,1) แล้ว (1,1) , และ (2,1) , (1,2) แล้ว (2,2)ดังนัน้ R เป็นความสมัพนัธส์มมูล

32

ชัน้สมมูล (Equivalence Classes)

• ถ้า R เป็นความสมัพนัธส์มมูลบนเซต A แล้ว ชัน้สมมูลของ R คือ เซตท่ีประกอบไปด้วยทกุๆสมาชกิ x A โดยที่ x สมัพนัธกั์บ a ด้วยความสมัพนัธ ์R

• เขยีนแทนด้วย [a] = {xA | x R a} หรอื x A , x [a] <-> x R a

33

ชัน้สมมูล (Equivalence Classes) ต่อ

• ตัวอยา่ง กำาหนดให ้A = {0,1,2,3,4} และกำาหนดความสมัพนัธ ์R บนเซต A ดังนี้ R = {(0,0),(0,4),(1,1),(1,3),(2,2),(4,0),(3,3),(3,1),(4,4)} จงหาชัน้สมมูลของ R

• วธิทีำา [0] = {x A | xR0} = {0,4} (มคีู่อันดับ (0,0) , (4,0))

[1] = {x A | xR1} = {1,3} (มคีู่อันดับ (1,1) , (3,1))

[2] = {x A | xR2} = {2} (มีคู่อันดับ (2,2))

[3] = {x A | xR3} = {1,3} (มคีู่อันดับ (1,3) , (3,3))

[4] = {x A | xR4} = {0,4} (มคีู่อันดับ (0,4) , (4,4))นัน่คือ [0] = [4] และ [1] = [3]

34

ผลแบง่กัน้ (Partition)• ผลแบง่กัน้ของเซต S คือกลุ่มของเซตยอ่ย ท่ีมี

คณุสมบติัต่อไปน้ี– ไมใ่ชเ่ซตวา่ง– แต่ละเซตยอ่ยมสีมาชกิต่างกัน– เมื่อนำาเซตยอ่ยทัง้มารวมกัน (Union) จะเท่ากับเซต

S• กำาหนด S = {1,2,3} ผลแบง่กัน้แต่ละแบบ

เป็นการแบง่เซต S ออกเป็นสว่นยอ่ย (สบัเซต) ดังภาพ1

2

3 12

3

35

ตัวอยา่ง• กำาหนดให ้S = {1,2,3} จงหาผลแบง่กัน้

ทัง้หมดของ Sวธิทีำา ผลแบง่กัน้ทัง้หมดของ S มดีังน้ีแบง่ 1 สว่น s1 = {{1,2,3}}แบง่ 2 สว่น s2 = {{1,2} , {3}} , s3 = {{1,3} , {2}} , s4 = {{1} , {2,3}}แบง่ 3 สว่น s5 = {{1} , {2} , {3}}

36

ความสมัพนัธป์ระกอบ (Composite Relation)

• เป็นผลของการสรา้งความสมัพนัธใ์หมจ่ากความสมัพนัธท์ี่มอียูเ่ดิม

• กำาหนดให ้A,B,C เป็นเซต R A x B และ Q B x C แล้ว Q R เป็นความสมัพนัธป์ระกอบจาก A ไป C

• Q R = {(x,z) | x A, zC และม ีy B ซึ่ง xRy และ yRz}

• เราอาจมองความสมัพนัธป์ระกอบ Q R วา่เป็นความสมัพนัธร์ะหวา่งสมาชกิของเซต A และ C โดยมสีมาชกิของเซต B เป็นตัวเชื่อมระหวา่งกลาง

37

ตัวอยา่ง• กำาหนดให ้A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4} และ C =

{1,2} โดย R = {(1,1),(1,3),(2,1),(3,4)} และ Q = {(1,1),(3,1),(3,2)} จงหา Q R วธิทีำา เราอาจใชก้ารวาดกราฟระบุทิศทาง เพื่อชว่ยดเูสน้ความสมัพนัธ์1. .1 1.2. .2 2. .13. .3 3. .2.4 4.จากแผนภาพจะได้วา่ Q R = {(1,1),(1,2),(2,1)}

38

มคีำาถาม

ไหมค่ะ