9FUNKCIE

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

funkcia• relaciu R nazveme zobrazenie alebo funkcia,

ak platı((⟨x, y1⟩ ∈ R) ∧ (⟨x, y2⟩ ∈ R)) → (y1 y2)

• prıklady relaciı, ktore nie su funkciami:• {⟨1, 2⟩, ⟨1, 3⟩}

(nie je splnena podmienka definıcie pre x 1, y1 2, y2 3)• {⟨Jano, 180 cm⟩, ⟨Fero, 182 cm⟩, ⟨Jano, 178 cm⟩}

(podmienka neplatı pre x Jano, y1 180 cm, y2 178 cm)

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

príklady• {⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩}• {⟨1, 3⟩, ⟨2, 3⟩}• {⟨♥, 1⟩, ⟨♦, 2⟩, ⟨♣, 3⟩, ⟨♠, 4⟩}• {⟨Jano, 180 cm⟩, ⟨Fero, 182 cm⟩, ⟨Duro, 178 cm⟩}• {⟨x, x 1⟩ ∶ x ∈ ℕ}• {⟨x, 2x⟩ ∶ x ∈ ℕ}• {⟨⟨x, y⟩, x y⟩ ∶ x, y ∈ ℕ}• A pre ľubovoľnu triedu A• ∅• sin,

cos,exp,log

• stredova sumernosť (podľa daneho stredu),osova sumernosť (podľa danej osi),posunutie,otacanie

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

hodnoty a argumenty funkcie• ak f je funkcia a ⟨x, y⟩ ∈ f,

tak namiesto (jednoznacne urceneho) y pıseme f(x)• f(x) y teda znamena ⟨x, y⟩ ∈ f• f(x) nazyvame hodnota alebo výstup funkcie f v bode x• prıklady:

• ak f {⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩},tak f(1) 2 a f(2) 3

• ak g {⟨♥, 1⟩, ⟨♦, 2⟩, ⟨♣, 3⟩, ⟨♠, 4⟩},tak naprıklad g(♥) 1

• ak vyska {⟨Jano, 180 cm⟩, ⟨Fero, 182 cm⟩, ⟨Duro, 178 cm⟩},tak naprıklad vyska(Jano) 180 cm

• ak f {⟨x, 2x⟩ ∶ x ∈ ℕ},tak naprıklad f(0) 0, f(5) 10 ci f(100) 200

• ak sucet {⟨⟨x, y⟩, x y⟩ ∶ x, y ∈ ℕ},tak sucet(⟨2, 3⟩) 5 a sucet(⟨2, 0⟩) 2

• namiesto f(⟨x1, … , xn⟩) pıseme f(x1, … , xn)a x1, …, xn nazyvame argumenty alebo vstupy funkcie f• sucet(2, 3) 5

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

prvé a druhé zložky• nech relacia f na sucine A × B je funkcia• ak Y ⊆ B, tak

f 1[Y] {x ∈ A ∶ (∃y ∈ Y)⟨x, y⟩ ∈ f}{x ∈ A ∶ (∃y ∈ Y)f(x) y}{x ∈ A ∶ f(x) ∈ Y}

• platı tedaf(x) ∈ Y ↔ x ∈ f 1[Y]

• ak X ⊆ A, takf[X] {y ∈ B ∶ (∃x ∈ X)⟨x, y⟩ ∈ f}

{y ∈ B ∶ (∃x ∈ X)f(x) y}{f(x) ∶ x ∈ X}

• platı tedax ∈ X → f(x) ∈ f[X]

(nie vsak naopak)

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

definičný obor• nech relacia f na sucine A × B je funkcia• triedu f 1[B] nazyvame definičný obor funkcie f

a oznacujeme ju (f) (alebo (f))• platı teda

(f) {x ∈ A ∶ (∃y ∈ B)⟨x, y⟩ ∈ f}{x ∈ A ∶ (∃y ∈ B)f(x) y}

• definicny obor funkcie je teda trieda prvych zloziek vsetkych jej prvkov• prıklady:

• ak f {⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩},tak (f) {1, 2}

• ak f {⟨1, 3⟩, ⟨2, 3⟩},tak (f) {1, 2}

• ak nasledovnık {⟨x, x 1⟩ ∶ x ∈ ℕ},tak (nasledovnık) {x ∶ x ∈ ℕ} ℕ

• (sin) ℝ• (log) ℝ• ( ) ℝ ∖ {(2k 1) 2 ∶ k ∈ ℤ}

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

obor hodnôt• nech relacia f na sucine A × B je funkcia• triedu f[A] nazyvame obor hodnôt funkcie f

a oznacujeme ju (f) (alebo (f))• platı teda

(f) {y ∈ B ∶ (∃x ∈ A)⟨x, y⟩ ∈ f}{y ∈ B ∶ (∃x ∈ A)f(x) y}{f(x) ∶ x ∈ (f)}

• obor hodnot funkcie je teda trieda druhych zloziek vsetkych jej prvkov• prıklady:

• ak f {⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩},tak (f) {f(1), f(2)} {2, 3}

• ak f {⟨1, 3⟩, ⟨2, 3⟩},tak (f) {f(1), f(2)} {3}

• ak nasledovnık {⟨x, x 1⟩ ∶ x ∈ ℕ},tak (nasledovnık) {x 1 ∶ x ∈ ℕ} ℕ

• (sin) [ 1, 1]• (log) ℝ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

funkcia z triedy do triedy• ak f je funkcia a (f) A a (f) ⊆ B,

pıseme f ∶ A → Ba hovorıme, ze f je funkcia z triedy A do triedy B

• prıklady:• ak f {⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩},

tak f ∶ {1, 2} → {2, 3},ale aj f ∶ {1, 2} → {1, 2, 3}alebo f ∶ {1, 2} → ℕ,nie vsak f ∶ {1, 2} → {1, 2}

• ak nasledovnık {⟨x, x 1⟩ ∶ x ∈ ℕ},tak nasledovnık ∶ ℕ → ℕ ,ale aj nasledovnık ∶ ℕ → ℕ,nie vsak nasledovnık ∶ ℕ → {0, 1, 2, 3}

• ak sucet {⟨⟨x, y⟩, x y⟩ ∶ x, y ∈ ℕ},tak sucet ∶ ℕ × ℕ → ℕ,nie vsak sucet ∶ ℕ × ℕ → ℕ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

zložená funkcia• ak f ∶ A → B a g ∶ B → C, tak f ∘ g je funkcia z A do C

a pre kazde a ∈ A platı (f ∘ g)(a) g(f(a))• keďze f ⊆ A × B a g ⊆ B × C, platı (f ∘ g) ⊆ A × C• (⟨a, c1⟩ ∈ (f ∘ g)) ∧ (⟨a, c2⟩ ∈ (f ∘ g)),

akk (∃b1 ∈ B)((⟨a, b1⟩ ∈ f) ∧ (⟨b1, c1⟩ ∈ g)) ∧∧ (∃b2 ∈ B)((⟨a, b2⟩ ∈ f) ∧ (⟨b2, c2⟩ ∈ g))(podľa definıcie zlozenia),

akk (∃b1 ∈ B)(f(a) b1) ∧ (g(b1) c1)) ∧∧ (∃b2 ∈ B)(f(a) b2) ∧ (g(b2) c2))(lebo f a g su funkcie),

ztv ((∃b1 ∈ B)g(f(a)) c1) ∧ ((∃b2 ∈ B)g(f(a)) c2)(vlastnosť rovnosti),

ztv (g(f(a)) c1) ∧ (g(f(a)) c2)(kvantifikatory su irelevantne),

akk g(f(a)) c1 c2(prepis),

takze f ∘ g je funkcia,a ak a ∈ (f ∘ g), tak (f ∘ g)(a) c1 g(f(a))

• ak a ∈ A (f), tak existuje b z B, ze ⟨a, b⟩ ∈ f,keďze b ∈ B (g), existuje c, ze ⟨b, c⟩ ∈ g;takze podľa definıcie ⟨a, c⟩ ∈ f ∘ g, a teda (f ∘ g) A

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

zložená funkcia• prıklady:

• ak f {⟨1, 4⟩, ⟨2, 5⟩, ⟨3, 4⟩} a g {⟨4, 7⟩, ⟨5, 8⟩, ⟨6, 7⟩},tak f ∘ g {⟨1, 7⟩, ⟨2, 8⟩, ⟨3, 7⟩}

123

4

56

78

f g

• ak f ∶ ℝ → ℝ a g ∶ ℝ → ℝ,pricom f(x) x 1 a g(x) x2,tak (f ∘ g)(x) g(f(x)) g(x 1) (x 1)2a (g ∘ f)(x) f(g(x)) f(x2) x2 1

• ak f a g su osove sumernosti podľa navzajom kolmych osı,tak f ∘ g je stredova sumernosť podľa priesecnıka tychto osıa g ∘ f je ta ista stredova sumernosť

• ak f je stredova sumernosť v rovine , tak f ∘ f• ak f a g su posunutia, tak f ∘ g je tiez posunutie• ak f a g su zhodne zobrazenia, tak f ∘ g je tiez zhodne zobrazenie

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

iterácie funkcie• nech f je funkcia z A do A• potom vsetky relacie f(n) pre n ∈ ℕ su funkcie z A do A• pre kazde n ∈ ℕ a x ∈ A platı

f(n 1)(x) (f(n) ∘ f)(x) f(f(n)(x))• pre kazde n ∈ ℕ a x ∈ A platı

f(n)(x) f(f(f(… fn-krat

(x)… )))

• prıklad:• ak f ∶ ℕ → ℕ a f(x) x 1, tak platı:

• f(0)(x) ℕ(x) x• f(1)(x) f(x) x 1• f(2)(x) f(f(x)) f(x 1) x 2• f(3)(x) f(f(f(x))) f(x 2) x 3• …• f(n)(x) x n

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

surjekcia• nech f ∶ A → B;

hovorıme, ze funkcia f je surjekcia na triedu B(alebo skratene, ze je na triedu B alebo iba na B),a pıseme f ∶ A na→B,ak (f) B

• prıklady:• ak f {⟨1, 4⟩, ⟨2, 5⟩, ⟨3, 4⟩},

tak f je na mnozinu {4, 5},ale nie na mnozinu {4, 5, 6}

123

4

5

f123

456

f

• ak nasledovnık {⟨x, x 1⟩ ∶ x ∈ ℕ},tak nasledovnık je na mnozinu ℕ ,ale nie na mnozinu ℕ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

zloženie surjekcií je surjekcia• nech f ∶ A na→B a g ∶ B na→ C,

potom (f ∘ g) ∶ A na→ C

• vieme uz, ze f ∘ g je funkcia z A do C,z coho (f ∘ g) ⊆ C

• ukazeme este, ze (f ∘ g) ⊇ C:• nech c ∈ C• keďze g ∶ B na→ C, existuje b ∈ B, ze g(b) c• keďze f ∶ A na→B, existuje a ∈ A, ze f(a) b• potom (f ∘ g)(a) g(f(a)) g(b) c• takze c ∈ (f ∘ g)

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

injekcia• nech f ∶ A → B;

hovorıme, ze funkcia f je injekcia alebo prostá, a pıseme f ∶ A 1–1→B,ak relacia f 1 je funkcia

• t. j. funkcia f je injekcia,akk ((⟨y, x1⟩ ∈ f 1) ∧ (⟨y, x2⟩ ∈ f 1)) → (x1 x2),akk ((⟨x1, y⟩ ∈ f) ∧ (⟨x2, y⟩ ∈ f)) → (x1 x2),akk ((f(x1) y) ∧ (f(x2) y)) → (x1 x2),akk (f(x1) f(x2)) → (x1 x2) (y je len oznacenie tejto hodnoty),akk (x1 x2) → (f(x1) f(x2))

• prıklady:

123

456

f123

4

5

g

• ak f {⟨1, 4⟩, ⟨2, 6⟩, ⟨3, 5⟩}, tak f je injektıvna• ak g {⟨1, 4⟩, ⟨2, 4⟩, ⟨3, 5⟩}, tak g nie je injektıvna

(lebo g(1) g(2) 4, ale 1 2). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

inverzná funkcia• nech f ∶ A 1–1→B (t. j. relacia f 1 je funkcia);

potom f 1 nazyvame inverzná funkcia k funkcii f• ak f ∶ {4, 5} → {1, 2, 3} a f {⟨4, 1⟩, ⟨5, 3⟩},

tak f 1 {⟨1, 4⟩, ⟨3, 5⟩}

45

123

f

45

123

f 1

123

45

f 1

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

inverzná funkcia• (f 1) (f)• (f 1) (f)• (f 1) 1 f

• ako pri kazdej relacii• funkcia f 1 je injekcia

• keďze inverzna relacia k f 1 je f, co je funkcia• f(x) y, akk f 1(y) x

• t. j. ⟨x, y⟩ ∈ f, akk ⟨y, x⟩ ∈ f 1

• f ∘ f 1(f)

• ak f(x) y, tak (f ∘ f 1)(x) f 1(f(x)) f 1(y) x

• f 1 ∘ f (f)

• ak f(x) y, tak (f 1 ∘ f)(y) f(f 1(y)) f(x) y

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

zloženie injekcií je injekcia• nech f ∶ A 1–1→B a g ∶ B 1–1→ C,

potom (f ∘ g) ∶ A 1–1→ C

• vieme uz, ze f ∘ g je funkcia z A do C• nech a1, a2 ∈ A a platı (f ∘ g)(a1) (f ∘ g)(a2),

t. j. g(f(a1)) g(f(a2))• keďze g je injekcia, platı f(a1) f(a2)• keďze f je injekcia, platı a1 a2

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

bijekcia• nech f ∶ A → B;

hovorıme, ze funkcia f je bijekcia, a pıseme f ∶ A 1–1⟶na B,ak f je zaroven injekcia aj surjekcia na B

• bijekcia je popárovanie prvkov triedy A a triedy B:injektıvnosť zabezpecı, ze kazdy prvok z Ama iny par v B,surjektıvnosť zas, ze ziaden prvok z B nezvysi

• prıklady:• {⟨1, 4⟩, ⟨2, 6⟩, ⟨3, 5⟩} je bijekcia z {1, 2, 3} do {4, 5, 6}

123

456

• f ∶ ℕ → ℕ, kde f(n) n 1, je bijekcia z ℕ na ℕ• f ∶ ℕ → ℕ, kde f(n) 2n, je bijekcia z ℕ na mnozinu parnych cısel• log je bijekcia zℝ naℝ• A je bijekcia z triedy A na seba

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

zloženie bijekcií je bijekcia• nech f ∶ A 1–1⟶na B a g ∶ B 1–1⟶na C,

potom (f ∘ g) ∶ A 1–1⟶na C

• f ∶ A 1–1⟶na B znamena, ze f ∶ A 1–1→B a f ∶ A na→B

• g ∶ B 1–1⟶na C znamena, ze g ∶ B 1–1→ C a g ∶ B na→ C• potom (f ∘ g) ∶ A 1–1→ C a (f ∘ g) ∶ A na→ C,

takze (f ∘ g) ∶ A 1–1⟶na C

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

inverzná bijekcia• ak f ∶ A 1–1⟶na B, tak f 1 ∶ B 1–1⟶na A

• keďze funkcia f je injekcia, aj funkcia f 1 je injekcia• keďze funkcia f je surjektıvna na B,

platı (f) B,a teda (f 1) B

• keďze pre kazde a ∈ A platıf 1(f(a)) (f ∘ f 1)(a) A(a) a,funkcia f 1 je surjektıvna na A

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

postupnosť• postupnosťou prvkov triedy A nazyvame funkciu z ℕ do A• ak f je postupnosť, namiesto f(n) casto pıseme fn

a tento prvok nazyvame n. člen tejto postupnosti• postupnosť f zapisujeme aj (f0, f1, f2, … )

alebo (fn)n∈ℕ, (fn)n 0, ci (fn ∶ n ∈ ℕ)• klasicky zapis {fn}n 0 je vyrazne nesystemovy a zavadzajuci,

lebo na poradı prvkov zalezı,nejde predsa o mnozinu {f0, f1, … }

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .