План практичних занять з дисципліни

«Нанофізика і фемтохімія в нетрадиційній енергетиці та

ресурсозбереженні»

Практичне заняття 1. Основи наноелектроніки.

1.1 Одиниці вимірювання Використовуючи фундаментальні константи q, h, k і m0, обчисліть: (a) квант провідності, q2/h, в Сіменсах (b) квант опору, h/q2, в Омах (c) теплову енергію kT при T=300 K в eV (d) швидкість v вільного електрона з кінетичною енергією m0v2/2 = 10 meV 1.2 Різниця функцій Фермі Показати, що різниця між двома функціями Фермі з різними електро-хімічними потенціалами μ0 і μ1,

та ,

може бути наближена як для різниці потенціалів, що не

перевищує kT: .

Практичне заняття 2. Балістична провідність.

1.3 Вироджені та невироджені провідники На лекції 1 було показано, що провідність може бути наведена в формі

Показати, що повна провідність G може буде наближена як

якщо щільність станів D(E) приблизно постійна на інтервалі в декілька kT навколо μ0. 1.4 Усереднення швидкості

f0(E ) = 1

exp ( E − μ0k T ) + 1

f1(E ) = 1

exp ( E − μ1k T ) + 1

f1(E ) − f0(E ) = (− ∂f0∂E )(μ1 − μ0)

μ1 − μ0 ≪ k T

G = ∫∞

−∞dE (−∂f0

∂E ) q 2 D2t

.

G = (q2 D2t )

E= μ0,

Розглянути електрони в провіднику, що мають швидкість v, однорідно розподілену в усіх напрямках у випадках (a) одномірного, (b) двомірного, (c) трьохмірного простору. Знайти середні значення і

Практичне заняття 3. Щільність станів.

2.1 Щільність станів Розглянути двомірні провідники з трьома різними відношеннями між енергією та імпульсом:

В кожному випадку знайти функції N(E) і D(E) та перевірити, чи задовільнюється умова

, де d = 2 - розмірність простору. 2.2 Провідність та щільність електронів Для кожного з трьох випадків вправи 2.1 знайти відношення між провідністю і щільністю електронів за низьких температур. Можна допустити, що фактор виродження g = 1.

Практичне заняття 4. Квантування провідності.

2.3 Щільність мод Для кожного з трьох випадків вправи 2.1 знайти M(E) із рівняння

і показати, що воно співпадає з формулой

2.4 Балістична провідність Чому дорівнює площа балістичного провідника, провідність якого дорівнює 10 q2/h, якщо він зроблен із такого матеріалу: (a) мідь з питомим опором 17е-9 Ом/м і довжиною вільного пробігу 40 нм? (b) кремній з питомим опором 2е-4 Ом/м і довжиною вільного пробігу 1 мкм?

Практичне заняття 5. Спінтроніка.

4.1 Тунельний магнетоопір

В лекції 4 ми отримали вираз , де

⟨ |vi |⟩ ⟨v2z ⟩ .

E( p) = Ec + p2

2m, E( p) = Ec + v0 p, E( p) = E2

c + v20 p2 .

D(E )ν (E )p(E ) = N(E )d

M(E ) = hDν2L {1, 2

π, 1

2 }

M(E ) = {1, 2 Wh/π , π

A(h/p)2 } .

MR = P2

1 − P2 , якщо Rch = 0 P ≡ R − rR + r

,

припускаючи, що будь-які два резистора, що підключені послідовно, дають сумарний опір R1+R2. Припускаючи, що тунельні резистори, що підключені послідовно, дають сумарний опір KR1R2, де K - константа, показати, що MR має додатковий фактор 2:

4.2 Нелокальний спіновий потенціал В лекції 4 ми обговорювали, як змінюється потенціал в нелокальній структурі. Показати, що спінова напруга, що заміряна зовнішнєю пробою, дається формулою

, де P1 і P2 - полярізації інжектуючого та вимірюючого контакта, і .

Практичне заняття 6. Спінтроніка.

4.3 Рівняння LLG Намагніченість магніту описується рівнянням Ландау-Ліфшица-Гілберта (LLG). При деяких спрощуючих умовах рівняння для z-компоненти магніту зводиться до:

Покажіть, що стійкі рішення цього рівняння виглядають так:

4.4 Струм перемикання Для магнітів, що перемикаються спіновим струмом Is в напрямку z, рівняння LLG має вигляд:

де NS - кількість спінів, що включає магніт, які пов'язані з намагніченістю насичення MS і обсягом V відношенням .

Покажіть, що мінімальний струм, необхідний для перемикання, задається формулой

Оцініть чисельне значення мінімального струму перемикання для магніту з та

параметром демпфування

MR = 2P2

1 − P2 .

Vs = P1P2IRse−L/λsf Rs = ρλsf /A

m̂m̂

(1 + α2)dmz

dt= (1 − m2

z )α γμ0(HK mz + H ) .

Fundamentals of Nanoelectronics, Part 1 (Basic), Week 2, Home Work

Copyright 2011 datta@purdue.edu All Rights Reserved

 

2

HW 4.3. LLG Equation: The magnetization m̂ of a magnet is described by the

Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) equation. With some simplifying conditions, the

equation for the z-component of m̂ for a magnet with its easy axis along the z-

direction reduces to

(1+! 2 )dmz

dt= (1"mz

2)!# µ0(HKmz + H )

Show that the stable solutions to this

equation look like

HW 4.4. Switching current: For magnets driven by a spin current IS in the z-

direction, the equation from HW 4.3 is replaced by

(1+! 2 )dmz

dt= (1"mz

2) !# µ0HKmz +

IS

qNS

$%&

'()

where NS is the number of spins comprising the magnet related to the saturation

magnetization MS and volume V by

NS = MSV / µB

Show that the minimum spin current needed to switch is given by

IS( )switching

= 2q!HKMSV

!

Estimate the numerical value for the minimum switching current for a magnet

with HKMSV = 2KuV = 2eV and damping parameter ! = 0.01.

(1 + α2)dmz

dt= (1 − m2

z )(α γμ0HK mz + IsqNs ),

NS = MSV /μB

(IS)switching = 2qαHK MSV

ℏ .

HK MSV = 2 eV

α = 0.01.

Практичне заняття 7. Термоелектрика.

5.1 Однорівневий пристрій У лекції 6 ми використовували прості аргументи, щоб показати, що для однорівневого пристрою коефіцієнти Зеєбека та Пельтьє, а також коефіцієнт теплопровідності є

Отримати ці результати формально, починаючи з транспортних коефіцієнтів

Зверніть увагу, що

5.2 Невироджені провідники Покажіть, що коефіцієнт Зеєбека S дається

для невиродженого провідника з

для якого функція Фермі наближується експоненціальною функцією

Практичне заняття 8. Термоелектрика.

5.3 Довжина хвилі електронів і довжина хвилі фононів Оцінити довжини хвиль Де Бройля для електрона (з ефективною масою m) і для акустичного фонона (зі швидкістю cS), кожна з яких має енергію, рівну kT.

5.4 Закон Стефана-Больцмана для фононів Аналогічно тому, як балістичний зарядовий струму на одиницю площини, що переноситься електронами, дорівнює

S = ε − μqT

, Π = ε − μT

, κ = 0.

G = ∫∞

−∞dE (−∂f0

∂E ) G (E ); GS = ∫∞

−∞dE (−∂f0

∂E ) E −μ0q T

G (E );

GP = ∫∞

−∞dE (−∂f0

∂E ) E −μ0q

G (E ); GQ = ∫∞

−∞dE (−∂f0

∂E ) (E −μ0)2

q 2TG (E ) .

S = GSG

, Π = ε − μ0q

, Gκ = GQ − GPGSG

.

S = kq (n + 1 − μ0

k T )

G (E ) = q2

h ( EE0 )

n

,

f (E, μ0) ≈ e(E−μ0)/kT .

( IA )ballistic

= qh ∫

∞

0dE ( M

A )el( f1(E ) −f2(E )),

ми можемо записати балістичний тепловий струм на одиницю площини, що переноситься фононами, як

Починаючи з цього співвідношення, отримайте закон Стефана-Больцмана для фононів:

Література:

1. S. Datta. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport. World Scientific, 2017. 2. Ю.А. Кругляк. Наноэлектроника "снизу - вверх", ТЭС, Одесса, 2015.

(IQ

A )ballistic= 1

h∫∞

0d(ℏω)( M

A )ph(n1(ω) − n2(ω)) .

(IQ

A )ballistic= π2k4

40c2s ℏ3 (T 41 − T 4

2 ) .