РОБОЧИЙ ЗОШИТ 3...4 Практичне заняття 11. Диференціювання функцій двох змінних 2 Практичне заняття 12

1

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Аграрно-економічний коледж

Полтавської державної аграрної академії

РОБОЧИЙ ЗОШИТ №3

для практичних занять

з навчальної дисципліни

«Вища математика»

Розділи: «Диференціальне числення функції

багатьох змінних»

«Інтегральне числення»

«Диференціальні рівняння»

для студентів денної форми навчання

спеціальностей

5.03050901 «Бухгалтерський облік»,

5.03050801 «Фінанси і кредит»

ПОЛТАВА - 2012

2

Укладачі: Сувальська О.В. – викладач вищої категорії природничо-

математичних дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

Губарь Н.Л. – викладач вищої категорії, викладач-методист,

голова циклової комісії природничо-математичних дисциплін

Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

Рецензент: Семенюта А.Ю. – викладач природничо-математичних

дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

РОЗГЛЯНУТО І СХВАЛЕНО НА ЗАСІДАННІ

ЦИКЛОВОЇ КОМІСІЇ

ПРИРОДНИЧО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

ПРОТОКОЛ № ___ ВІД __________2012Р.

Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища

математика» для студентів спеціальностей «Бухгалтерський облік» та

«Фінанси і кредит» є зошитом з друкованою основою, побудованим згідно

вимог щодо проведення практичних занять та відповідно до програми

навчальної дисципліни у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації.

Робочий зошит №3 складається з передмови, тематичного плану

навчальної дисципліни, переліку практичних занять, практичних робіт з

розділів курсу «Диференціальне числення функції багатьох змінних»,

«Інтегральне числення», «Диференціальні рівняння», додатки.

Кожне практичне заняття містить тему, мету, питання для

самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки

розв’язання типових задач, завдання для практичного виконання та

самостійної роботи.

Самостійна робота в більшості передбачає індивідуальне виконання

завдань.

Робочі зошити №1 – №3 включають в себе 16 практичних занять

передбачених програмою і послідовно доповнюють один одного.

3

ЗМІСТ

Передмова…………………………………………………………………...... ...…4

Тематичний план вивчення дисципліни…………………………………...... ...…5

Перелік практичних занять………………………………………………….. .…..6

Розділ 5. Диференціальне числення функції багатьох змінних ……… ...…7

Практичне заняття №11. Диференціювання функцій двох змінних …….. .…..7

Практичне заняття №12. Знаходження екстремумів функцій двох

змінних .………………………………………………………………………

.….18

Розділ 6. Інтегральне числення ………………………………………….. ….31

Практичне заняття №13. Розв’язування вправ на інтегрування функцій… ….31

Практичне заняття №14. Обчислення визначених інтегралів.

Застосування визначеного інтегралу………..………………………………

….45

Розділ 7. Диференціальні рівняння ……………………………………… ….63

Практичне заняття №15. Розв’язування диференціальних рівнянь з

відокремлюваними змінними………………………………………………..

….63

Практичне заняття №16. Лінійні диференціальні рівняння першого

порядку ….........................................................................................................

….76

Список використаної та рекомендованої літератури………………………. ….92

4

Серед усіх наук, що відкривають людству

шлях до пізнання законів природи, наймогутніша,

найвеличніша наука – математика.

С. Ковалевська

Теорія без практики мертва та безплідна,

практика без теорії неможлива чи згубна. Для теорії

потрібні головним чином знання, для практики, крім

того, і вміння.

Академік О.М.Крилов

Передмова В сучасному суспільстві працевлаштування та досягнення мети будь-якою

людиною найчастіше тісно пов’язано з умінням вдосконалювати: свої

здібності, комунікабельність, фізичний стан, навички уважної розумової

творчої праці. Важливі також: цілеспрямованість, знання іноземних мов,

вільне володіння комп’ютерною технікою, навички логічно і коротко

виражати свої думки, організаційні здібності, культурний рівень.

Стратегічним напрямом розвитку освіти України в ХХІ столітті є

забезпечення інтелектуального і етичного розвитку людини на основі

залучення її в різноманітну, самостійну, доцільну діяльність у різних галузях

знань. Швидке оновлення знань, включаючи базові, ставить перед вищими

навчальними закладами завдання підготувати фахівців, здатних:

– адаптуватися до умов сучасного суспільства, які швидко змінюються;

– самостійно набувати необхідні для успішної роботи знання і навики,

застосовувати їх на практиці для вирішення різноманітних задач;

– самостійно, критично мислити, уміти бачити виникаючі в реальній

дійсності проблеми і шукати раціональні шляхи їх вирішення,

використовуючи сучасні технології.

Значну роль в підготовці сучасного конкурентоспроможного фахівця

відіграє процес вивчення математичних дисциплін.

Основним завданням курсу “Вища математика” є математичне

забезпечення спеціальної підготовки майбутніх економістів, а саме:

ознайомлення студентів з основами математичного апарату, необхідного при

розв’язанні теоретичних і практичних задач, пов’язаних з майбутньою

трудовою діяльністю; набуття студентами уміння самостійно вивчати

навчальну літературу з математики; розвиток логічного мислення і підняття

загального рівня математичної культури; прищеплення навичок

математичного дослідження прикладних завдань. Особлива увага при

вивченні вищої математики приділяється практичним заняттям.

Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища

математика» є зошитом з друкованою основою, призначений для

5

використання студентами економічних спеціальностей денної форми

навчання при вивченні окремих розділів курсу.

У робочому зошиті подано тематичний план вивчення дисципліни,

перелік практичних занять, практичні заняття з розділів курсу

«Диференціальне числення функції багатьох змінних», «Інтегральне

числення», «Диференціальні рівняння» додатки.

Кожне практичне заняття містить: тему, мету, питання для

самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки

розв’язання типових задач, добірку завдань для аудиторної та самостійної

роботи.

Для допомоги у підготовці до практичних занять, а також для виконання

самостійної роботи в зошиті подано список рекомендованої літератури.

Тематичний план вивчення дисципліни

№

п/п

Назва розділу, модуля,

теми програми

Обсяг годин

за робочою навчальною

програмою

Всь

ого

аудиторні, з

них

сам

ост

ійні

лекції

Практ

ичні

Вступ 2 2

1 Елементи лінійної алгебри 16 6 6 4

2 Аналітична геометрія 12 4 4 4

3 Вступ до математичного аналізу 10 4 2 4

4 Диференціальне числення функції однієї

змінної

22 4 8 10

5 Диференціальне числення функції

багатьох змінних

12 2 4 6

6 Інтегральне числення 22 4 4 14

7 Диференціальні рівняння 12 2 4 6

6

Всього 108 28 32 48

Перелік практичних занять

Назва розділу, теми практичного заняття Кількість

годин

Розділ 1. Елементи лінійної алгебри 6

Практичне заняття №1. Методи обчислення визначників.

Дії над матрицями 2

Практичне заняття №2. Розв’язування систем лінійних

рівнянь методом Крамера 2

Практичне заняття №3. Метод Гаусса та його застосування 2

Розділ 2. Аналітична геометрія 4

Практичне заняття №4. Обчислення елементів трикутника

за допомогою системи координат 2

Практичне заняття №5. Криві другого порядку. Пряма і

площина в просторі 2

Розділ 3. Вступ до математичного аналізу 2

Практичне заняття №6. Обчислення границь. Дослідження

функцій на неперервність 2

Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної 8

Практичне заняття №7. Обчислення похідних функцій та

диференціалів 2

Практичне заняття №8. Екстремум функції. Опуклість

графіка функції. Точки перегину 2

Практичне заняття №9. Розв’язування задач економіки за

допомогою екстремумів 2

Практичне заняття №10. Дослідження функцій та побудова

графіків 2

Розділ 5. Диференціальне числення функції багатьох

змінних 4

Практичне заняття №11. Диференціювання функцій двох

змінних 2

Практичне заняття №12. Знаходження екстремумів функцій

двох змінних 2

Розділ 6. Інтегральне числення 4

Практичне заняття №13. Розв’язування вправ на

інтегрування функцій 2

Практичне заняття №14. Обчислення визначених інтегралів.

Застосування визначеного інтегралу 2

Розділ 7. Диференціальні рівняння 4

Практичне заняття №15. Розв’язування диференціальних

рівнянь з відокремлюваними змінними 2

Практичне заняття №16. Лінійні диференціальні рівняння

першого порядку 2

7

Розділ 5. Диференціальне числення функції

багатьох змінних.

Практичне заняття № 11.

Тема: Диференціювання функцій двох змінних.

Мета: узагальнити та систематизувати теоретичні знання з теми

«Диференціювання функцій двох змінних», набути навичок і вмінь

знаходити границю та неперервність функції двох змінних,

обчислювати частинні похідні функції двох змінних.

Питання для самопідготовки:

- Поняття функції багатьох змінних, двох змінних.

- Способи задання функції багатьох змінних.

- Область визначення функції двох змінних.

- Графік функції yxfz ; .

- Поняття границі функції двох змінних в точці. Неперервність функції

двох змінних.

- Поняття частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

- Частинні похідні другого порядку від функції двох змінних.

- Повний диференціал функції двох змінних.

План практичного заняття

1. Визначення границі та неперервності функції двох змінних

2. Знаходження частинних похідних функції двох змінних

Термінологічний словник ключових понять

Зв’язна множина — це множина точок, будь-які дві з котрих можна

сполучити ламаною так, щоб усі точки ламаної належали цій множині.

Обмежена множина — це множина, яка лежить повністю всередині

деякого кола скінченного радіуса.

8

-окіл точки );( 000 yxP — це множина точок, координати яких

задовольняють нерівність 22

0

2

0 )()( yyxx .

Внутрішня точка множини — це така точка, для якої існує -окіл, усі

точки якого належать множині.

Зовнішня точка — це така точка, для якої існує такий -окіл, усі точки

якого не належать множині.

Область — це множина, для якої виконуються умови:

1) кожна точка множини — внутрішня точка;

2) будь-які дві точки множини можна сполучити ламаною, усі точки якої

належать множині.

Межова точка області — це точка, будь-який окіл якої містить точки,

які належать і не належать області.

Межа — це сукупність усіх межових точок.

Замкнена область — це множина, до якої приєднані всі її межові точки.

Функція двох змінних yxfz ; вважається заданою, якщо кожній точці

множини D, що належить площині, поставлено у відповідність за деяким

законом одне і тільки одне дійсне число Rz .

Границя В функції двох змінних yxfz ; при 00 ;; yxyx — це число,

що задовольняє нерівність Byxf ; при будь-якому 0 , якщо для

нього існує таке , що 22

0

2

0 )()(0 yyxx .

Неперервна функція двох змінних yxf ; у точці );( 00 yx — це функція,

яка визначена на множині ,2RD і для якої

).;();( 00;;

lim00

yxfyxfyxyx

Диференційовна функція yxfz ; — це функція, повний приріст якої z

можна подати у вигляді yxyBxAz , де ,A B — числа, , —

нескінченно малі при 0, .

Повний приріст — це різниця );();( 0000 yxfyyxxf , де x , y —

прирости, що надаються точці );( 00 yx так, щоб точка );( 00 yyxx не

виходила за межі околу точки );( 00 yx .

Повний диференціал функції двох змінних — це головна лінійна частина

приросту функції, тобто yBxA або yzxz yx .

Повний диференціал функції двох змінних );( yxfz обчислюється за

формулою dyy

zdx

x

zdz

.

9

Завдання для практичного виконання:

Приклад 1. Знайти область визначення функції yxyxz 44ln 22 та

надати їй геометричну інтерпретацію.

Розв’язання.

1. Знайдемо область визначення функції аналітично

yxyxRyxD 4,04; 222 .

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають

на координатній площині, а саме: 422 yx ; xy 4 .

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок

2

3;

2

11P , 2;12P

розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 1).

x

y

O

Рис. 1

DP

1

22

02

3

2

14

44

10

4

9

4

1

2

3

2

1

.24

45212

22

DP

Приклад 2. Знайти область визначення функції двох змінних та надати їй

геометричну інтерпретацію:

а) yx

yxz

2;

б) 4 221 yxz ;

в) 4ln 22 yxz ;

г) 22sin yxz .


10

O

y=x

xO

x2O

xO

Рис. 2. а) Рис. 3. б) Рис. 4. в) Рис. 5. г)

Приклад 3. Обчислити yx

yx

yx 32lim

32

2;1;

.


11

Згідно з теоремами про арифметичні операції з границями, а також те,

що границя сталої дорівнює сталій, тобто

1lim2;1;

xyx

,

2lim2;1;

yyx

, маємо

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx 32lim

lim

32lim

2;1;

32

2;1;32

2;1;

4

9

232

21

3lim2lim

limlim 3

2;1;2;1;

3

2;1;

2

2;1;

yx

yx

yxyx

yxyx.

Приклад 4. Обчислити

xy

xy

yx 3sin

21lnlim

00

.


Візьмемо txy . Тоді з того, що 0;0; yx випливає 0t і задану

границю можна переписати у вигляді t

t

t 3sin

)21ln(lim

0

.

Приклад 5. Знайти границю функції 22

2

00

limyx

yx

yx

.


Для будь-якого 0 існує 0 (наприклад, ) таке, що для всіх точок

yx; , що задовольняють умову 22 yx і відрізняються від початку

координат, виконується нерівність

22

22

2

22

2

0 yxyyyx

x

yx

yx.

Отже, 022

2

00

lim

yx

yx

yx

.

Приклад 6. Знайти точки розриву функції двох змінних:

1) 22

3

yx

xu

;

2) yx

u22 sinsin

1

.


12

1. Функція 22

3

yx

xu

у точці x = 0, y = 0 не існує, тому вона має в цій точці

розрив. Знайдемо границю 22

3

00

limyx

x

yx

.

Для будь-якого 0 існує 0 , що для всіх точок yx ; , що

задовольняють умову 22 yx і відрізняються від початку координат,

виконується нерівність:

2. Функція yx

u22 sinsin

1

не існує, якщо 0sinsin 22 yx , тобто ,kx

1ky . Тому може бути, що вона має розрив. Знайдемо границю

yx

kykx

22 sinsin

1lim

1

.

Отже, функція yx

u22 sinsin

1

має в точці (0; 0) розрив.

Приклад 7. Знайти x

z

і

y

z

для функції yxyxz 23 sin yx lntg .


Знайдемо x

z

. Вважаючи, що const,y дістанемо:

x

xyxyxx

z2

22

cos

12cos3

.

При знаходженні y

z

вважаємо, що .constx Дістанемо:

yy

yxxy

z 1

2

1cos 23

.

Приклад 8. Знайти xz і yz для функції 22 xyyxz .


13

Приклад 9. Знайти повний диференціал для функції yxz lnln .


Повний диференціал функції двох змінних знаходиться за формулою

dyzdxzdz yx , де

yxz x

ln

1

;

yyxz y

1

ln

1

.

Отже,

dy

ydx

yxdz

1

ln

1.

Приклад 10. Знайти повний диференціал функції двох змінних:

yx

yxz

arctg .


Знайдемо x

z

і

y

z

.

Приклад 11. Знайти частинні похідні першого та другого порядків для

заданої функції

25ln yxz

14


Приклад 12. Перевірити рівність

yx

z2

xy

z

2

для функції 32 yyxz .


Знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку

Знайдемо похідні yx

z

2

, xy

z

2

і порівняємо їх

Приклад 13. Знайти повний диференціал функції yxf ; у заданій точці,

якщо:

15

1) 22

22

,yx

yxyxf

, а задана точка (1; 1); (0; 1);

2) y

xxyyxf ; , а задана точка (2; 1).


Домашня самостійна робота.

16

Завдання 1. Знайдіть частинні похідні першого та другого порядків для

заданих функції

1. xyz

2. 22 yxz

3. 2

2

y

xz

4. 272ln yxz


17

Завдання 2. Перевірте рівність

yx

z2

xy

z

2

для функцій

1257234),sin) 222 ухухуxzбyxzа

18


Тема: Знаходження екстремумів функцій двох змінних.


«Знаходження екстремумів функції двох змінних», набути навичок і

вмінь знаходити екстремуми функцій двох змінних.


- Поняття функції багатьох змінних, двох змінних.

- Поняття частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

- Частинні похідні другого порядку від функції двох змінних.

- Повний диференціал функції двох змінних.

- Максимум (мінімум) функції багатьох змінних.

- Необхідна і достатні умови локального екстремуму функції багатьох

змінних.

- Поняття умовного екстремуму. Метод множників Лагранжа.


1. Розв’язання вправ на знаходження екстремумів функцій двох змінних

2. Знаходження умовних екстремумів.

3. Розв’язування задач на найбільше та найменше значення


Функція двох змінних yxfz ; вважається заданою, якщо кожній точці

множини D, що належить площині, поставлено у відповідність за деяким

законом одне і тільки одне дійсне число Rz .

Межова точка області — це точка, будь-який окіл якої містить точки,

які належать і не належать області.

Межа — це сукупність усіх межових точок.

Безумовний екстремум — це мінімум або максимум функції ),( yxfz .

19

Якщо для всіх точок yx, околу точки (х0, y0) виконується нерівність

00 ,, yxfyxf 00 ,, yxfyxf , тоді ця точка 00 , yx називається точкою

максимуму (мінімуму) функції yxfz , .

Умовний екстремум — це екстремум функції ),,( yxfz що досягається за

умови, що змінні x і y пов’язані рівнянням 0),( yx .


Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

b

y

a

xz

22

22

0,0 ba .


Спочатку знайдемо критичні точки, тобто точки в яких частинні похідні

першого порядку рівні нулю

a

xz x ,

b

yz y

0

0

b

xa

x

.

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

Знайдемо частинні похідні другого порядку xxz , xyz , yyz :

az xx

1 , 0xyz ,

bz yy

1 .

У точці (0; 0) обчислимо значення других похідних

.1

;0;1

2

22

2

2

by

zС

yx

zВ

ax

zА OOO

Обчислимо ,012 ab

ВАС причому 0A .

Отже в точці О функція має мінімум.

02

0

2

00;0

22

min ba

zZ

Відповідь. 00;0min zZ .

Приклад 2. Знайти екстремум функції

4347

2

1 yxyxxyz .


1) Знайдемо частинні похідні першого порядку:

20

2) Користуючись необхідними умовами, знаходимо стаціонарні точки:

04

47

12

1

2

1

03

47

3

2

12

1

xy

xy

або

1416

1888

yx

yx.

Стаціонарна точка 20,21M .

3) Знайдемо похідні другого порядку:

3

22

2

x

z

,

2

12

2

y

z

,

12

12

yx

z

.

0144

1

3

1

12

1

2

1

3

22

2

BAC .

Оскільки 0A , то в точці M функція має максимум:

2824

20

3

2120214720

2

21max

z .

Приклад 3. Знайти екстремум функцій.

1) ;52 2223 yxxyxz

2) yyxez x 222


21

22

Приклад 4. Знайти екстремум функції xyz за умови, що x і y

задовольняють рівняння 0532 yx .


Розглянемо функцію Лагранжа 532 yxxyu .

Маємо:

2 y

x

u,

3 x

y

u.

Із системи рівнянь (необхідні умови екстремуму)

0532

03

02

yx

x

y

знаходимо 12

5 ,

4

5x ,

6

5y .

Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа:

02

2

x

u

, 1

2

yx

u

, 0

2

2

y

u

dxdyud 22 .

Знайдемо перший диференціал функції yx, : .32 dydxd

Диференціали dx і dy задовольняють умову

.2

3

;032

dydx

dydx

При виконанні цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці

6

5;

4

5 є додатно визначеною квадратичною формою, бо

dydyud2

322 23 dy .

23

Отже, в точці

6

5;

4

5 функція xyz досягає найбільшого значення

24

25.

Приклад 5. Із усіх прямокутних трикутників із заданою площею S знайти

такий, гіпотенуза якого найкоротша.

z

х

y

Рис. 1


Нехай x і y — катети трикутника, а z — гіпотенуза. Задача

зводиться до знаходження найменшого значення функції 22 yx

за умовою, що x і y задовольняють рівняння ,2

Sxy

або

рівняння ,02 Sxy бо 222 yxz .

Розглянемо функцію Sxyyxu 222 .

yxx

u

2 , xy

y

u

2 .

Оскільки 0x , 0y , із системи рівнянь

Sxy

xy

yx

2

02

02

дістаємо розв’язок

syx 2 , 2 .

Таким чином, гіпотенуза найкоротша, якщо катети трикутника рівні між

собою.

Приклад 6. Знайти найменше та найбільше значення функції

xyyxxz 242 223 в області, обмеженій параболою 2xy , прямою у=4 та

віссю Оу (х≥0).


Зобразимо на рисунку область D, обмежену

параболою 2xy , прямою у=4 та віссю Оу (х≥0).

Знаходимо стаціонарні точки функції. Маємо

xyZ

yxxZ

y

x

22

286

'

2'

Згідно з необхідними умовами існування екстремуму

функції двох змінних одержуємо систему рівнянь

Рис. 2

xy

yxx

xy

yxx

22

0286

022

0286 22

0660286 22 xxxxx

.1,001 21 xxxx

24

В середині області D 0x , тому

0

0

xy

x.

Стаціонарна точка О(0;0) належить області D, тому обчислюємо значення

000200402 223 OZ .

Тепер проведемо дослідження функції на межі області D. Рівняння

сторони ОА х=0 , і на відрізку ОА функція Z приймає вигляд 2yZ . Знайдемо

найбільше і найменше значення цієї функції однієї змінної у на замкненому

відрізку 4;0 : 2yZ ; 0020'2' yyZyZ .

Отже, 0AZ .

Аналогічно знаходимо найбільше і найменше значення функції Z на

відрізку АВ: 2;0,4 xy . Маємо

1684242442 23223 xxxxxxZ

2;02,3

20'886' 21

2 xxZxxZ

Звідси

27

16216

27

111316

27

432481616

3

28

3

24

3

22

3

223

ZMZ

321616161616282422223

ZBZ

Знайдемо найбільше і найменше значення функції Z на кривій ОВ. На

параболі 2xy функція Z приймає вигляд

2;0,4242 243423 xxxxxxxZ .

000)2(40'84' 23 yxxxZxxZ .

Звідси 00 Z .

Отже, задана функція Z має найбільше значення в точці В(2;4), найменше

значення в точці О(0;0) на межі області.

00;0)(min

324;2)(max

ZOZZ

ZBZZ

D

D

Приклад 7. Знайти найбільше значення функції yxyxz 42 у

трикутнику, обмеженому прямими х = 0, у = 0, 6 yx .


25

26


Завдання 1. Знайти найменше та найбільше значення функції yxfz ,

в заданій замкненій області (№ варіанту – остання цифра порядкового

номера по журналу).

1. 4422 xyyxz у квадраті 40,40 yx

2. yxxyyxz 26422 у трикутнику, обмеженому координатними

осями Ох та Оу та прямою xy 4

3. 142 22 xyyxz у квадраті 20,11 yx

4. yxxyz 2 у прямокутнику 40,30 yx

5. 1642 22 xxyyxz у трикутнику, обмеженому координатними

осями Ох та Оу та прямою 3 yx

6. 2333 xyyxz у прямокутнику 30,20 yx

7. xyyxz 333 у квадраті 40,40 yx

8. 5642 22 xxyyxz у трикутнику, обмеженому координатними

осями Ох та Оу та прямою 2 yx

9. yxxyxz 32 у прямокутнику 30,20 yx

10. 2422 xyyxz у квадраті 40,22 yx


27

28

Завдання 2. Підприємство випускає вироби двох типів, послідовно

обробляючи їх спочатку в цеху А, а потім у цеху В.

2040

60

80100120

140

160

180

х2

20 40 60 80 100 120 140 1600 180 200

М1

М2

М3

f(0) = 0х1 Обробка кожного виробу першого типу триває 7 год у цеху А та 5 год у

цеху В; обробка кожного виробу другого типу триває 8 год у цеху А та 9 год

у цеху В. Цех А може працювати протягом кварталу не більш як 1100 годин, а

цех В — не більш як 900 год. Відомо, що підприємство за кожний із виробів

першого та другого типу дістає прибуток відповідно 200 і 300 у. о.

Визначити, скільки виробів кожного типу потрібно випускати за квартал,

щоб забезпечити найбільший прибуток.


29

30

31

Розділ 6. Інтегральне числення.


Тема: Розв’язування вправ на інтегрування функцій.

Мета: узагальнити та систематизувати теоретичні знання з теми «Основні

методи інтегрування», набути навичок і вмінь обчислювати

невизначені інтеграли методом безпосереднього інтегрування, методом

заміни змінної, методом інтегрування за частинами.


- Поняття первісної та невизначеного інтеграла.

- Властивості невизначеного інтеграла.

- Таблиця інтегралів.

- Метод безпосереднього інтегрування.

- Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

- Метод інтегрування за частинами.


1. Обчислення інтегралів методом безпосереднього інтегрування.

Знаходження умовних екстремумів.

2. Обчислення інтегралів методом заміни змінної.

3. Обчислення інтегралів методом інтегрування за частинами.


Первісна даної функції — функція, похідна від якої дорівнює даній

функції.

xfxF '

Інтегрування функції — знаходження первісних функції.

Невизначений інтеграл від даної функції — загальний вигляд всієї

множини первісних даної функції.

dxxf )( = F(x)+C

32

Інтегрування безпосереднє — метод інтегрування, що базується на

основних властивостях невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів.

Інтегрування підстановки — метод інтегрування за формулою

duuf

dudxx

uxdxxxfdxxg

''

CxFCuF .

Інтегрування частинами — метод інтегрування, що базується на

формулі vduuvudv .

«Неінтегровні» інтеграли — існують, але через основні елементарні

функції не виражаються.

dxex

2

, x

xsin,

x

dx

ln, dxx

2cos


Приклад 1. Використовуючи перетворення

baxdbaxfa

dxbaxfa

adxbaxf

1,

знайти такі інтеграли:

1. dxe

x

2 ; 2. dxx

452 ; 3. 310x

dx; 4.

dx

x

3

3cos .


1) dxe

x

2

CeCedxe

xxx

222 2

2

1

1

2) dxx

452

3) 310x

dx

4)

dxx

3

3cos

33

Приклад 2. Розклавши підінтегральні функції за формулою

dxxgdxxfdxxgxf ,

знайти такі інтеграли:

1. xdxtg 2 .

2.

dx

xx

x22

2

1

21.

3. dxxx

x22 cossin

2cos.


1) xdxtg 2

Ctgxxdx

xxdxtg

2

2

cos

11

2)

dx

xx

x22

2

1

21

3) dxxx

x22 cossin

2cos

Приклад 3. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграли:

1.

43

2

94x

dxx, 2. xdxe x cossin .


1)

43

2

94x

dxx

C

xC

xx

xd

x

dxx

333343

3

43

2

9436

1

943

1

12

1

94

94

12

1

94

2) xdxe x cossin

34

Приклад 4. Знайти невизначені інтеграли. Результати перевірити

диференціюванням.

а)

dxx

x

4

3

1, б)

dx

x

x

3

3lg


а)

dxx

x

4

3

1

Використовуючи метод підстановки та таблицю інтегралів, дістанемо:

Cx

Cuu

du

dxxdu

dxxdu

xu

dxx

x

2

12

4

1

4

4

4

1

1

4

3

3

4

4

3

Отриманий результат перевіримо диференціюванням

4

33

4

'4

4

'4

14

14

11

12

1

2

1

2

1

x

xx

xx

xC

x

б)

dx

x

x

3

3lg

Приклад 5. Знайти невизначені інтеграли методом заміни змінної:

35

1) 12xx

dx, 2) xdxx 4sin4cos32


1)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

11

1

111

1

1

;1

1 tt

dtt

t

t

t

dtt

tt

dtt

dtt

dx

tx

xx

dx

.1

arcsinarcsin1 2

Cx

Ctt

dt

2) xdxx 4sin4cos32

Приклад 6. Знайти невизначені інтеграли методом інтегрування за

частинами:

1) xdxx 4sin ,

2) xdxx 2cos

3) xdxxarctg

4) dxex x32


1) xdxx 4sin

36

Cxxx

dxxx

xxxdxvxdxdv

dxduxuxdxx

16

4sin

4

4cos

4

4cos

4

4cos

4

4cos4sin4sin

4sin

2) xdxx 2cos

3) xdxxarctg

4) dxex x32

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів

37

Приклад 7. Знайти інтеграл

dx

xx

x

23

12

3

. Отриманий результат

перевірити диференціюванням.


Так як під знаком інтеграла маємо неправильний дріб, то спочатку

виділимо його цілу частину

23

573

23

122

3

xx

xx

xx

x

Розкладемо правильний дріб на елементарні дроби. Маємо

12

2

12

)2()1(

1212

57

23

572

xx

BABxAx

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

xx

x

Звідси маємо систему рівнянь

2

9

57

7

527

7

52

7

B

A

B

BA

BB

BA

BA

BA

Отже, підінтегральна функція має вигляд

1

2

2

93

23

573

23

122

3

xxx

xx

xx

xx

x

Використавши формулу інтегрування суми функцій та таблицю інтегралів

отримаємо:

Cxxxx

dxx

dxx

dxxdxdxxx

xdxxx

x

1ln22ln932

1

2

2

93

1

2

2

93

23

1

2

2

3

Отриманий результат перевіримо диференціюванням

23

1

23

5767

23

994269323

23

1922233

2

9

1

231

2

91

1

23

2

2)2ln(9)1ln(23

2

2

3

2

3

2

223

2

2

2

xx

x

xx

xxx

xx

xxxxxxx

xx

xxxxx

xxx

xx

xCxxx

x

Самостійне розв’язування вправ.

І варіант ІІ варіант

Знайти невизначені інтеграли:

1)

2

25x

dx 1)

249 x

dx

2) )ln1( 2 xx

dx 2)

xdxe x 32

38

3) xdxx ln4 3) dxxe x2



Завдання. Знайти неозначені інтеграли. Результати перевірити

інтегруванням Розв’язати приклади згідно свого варіанту (№ варіанту –

порядковий номер по журналу).

1. а)

dxx

xln1; б) xdxx 5sin5cos323

;

39

в) xdxxarctg 2 ; г)

dx

xx

x

34

42

3

.

2. а)

dx

xx

xx

sin

cos44

3

; б) )ln1( 2 xx

dx;

в)

dxxe

x

2

2

; г)

dx

xx

x

32

52

3

.

3. а) 8

3

1 x

dxx; б) 22

2

)1( x

x

e

dxe;

в) xdxx 3sin ; г)

dx

xx

x

6

42

3

.

4. а) dxx

e xctg

2sin 2

2

; б) dxx

x

1;

в) xdxx ln3; г)

dx

xx

x

56

52

3

.

5. a) 3

2

4 x

dxx; б)

xdxe x 32

;

в) xdxx ln4 ; г) dx

x

x

42

3

.

6. а)

dx

ex

exx

x

3

23; б)

dxx

xarctg2

2

41

2;

в) xdxx 2cos ; г)

dx

xx

x

65

62

3

.

7. а)

dxx

dxx

4

3

1; б)

dx

x

x

3

)3lg(;

в) xdxx 4sin ; г)

dx

xx

x

23

12

3

.

8. а) dx

x

dxx6

2

1; б) xdxe x 3cos3sin

;

в) dxx

x3

ln; г)

dx

xx

x

65

22

3

.

9. а) dxxe x 34

; б) 6

2

1

5

x

dxx;

в) xdxx ln4; г)

dx

xx

x

2

22

3

.

40

10. а) xdxx 2cos2sin545 ;б) xx

dx2ln

;

в) dxxe x2; г)

dx

xx

x

6

32

3

.

11. а) xdxctg5 ; б) xx

dx

2ln1;

в) dxxe x3; г)

dx

xx

x

23

32

3

.

12. а) x

xdx

2sin1

2sin; б) 23

3

)1( x

x

e

dxe;

в) dxxe x4 ; г)

dx

xx

x

54

22

3

;

13. а) xdxxcossin3 ; б) xdxx 4sin4cos32 ;

в) xdxx 2sin ; г)

dx

xx

x

32

12

3

.

14. а) 8

3

1 x

dxx; б) 241

2

x

dxxarctg;

в) xdx2arcsin ; г) 21102

3

xx

dxx;

15. а) 6

2

1 x

dxx

; б) 3ln xx

dx;

в) xdxx ln2 ; г)

dx

xx

x

65

72

3

;

16. а) 9

sec2

2

xtg

xdx; б) xdxx 2cossin ;

в) xdxx ln3 ; г)

dx

xx

x

84

52

3

;

17. а) x

x

e

dxe2

2

4; б) dxxx 92 )4( ;

в) xdxarctg4 ; г)

dx

xx

x

149

42

3

.

18. а) 310

4

x

dxx

; б) )1(ln 2 xx

dx;

в) xdxx 2sin ; г)

dx

xx

x

76

32

3

;

41

19. а) x

xdx

cos2

sin; б)

dx

x

xtg

3cos

312 ;

в) dxxe x ; г)

dx

xx

x

42

22

3

.

20. а)

dxx

e x

12

12

; б) dxxe x4cos4sin ;

в) 2

ln

x

xdx; г)

dx

xx

x

23

22

3

.

21. а)

dxx

xln3; б) xdxx 5sin5cos523

;

в) xdxxarctg3 ; г)

dx

xx

x

54

42

3

.

22. а)

dx

xx

xx

sin

cos44

3

; б) )ln1( 2 xx

dx;

в)

dxxe

x

3

2

; г)

dx

xx

x

32

62

3

.

23. а) 8

3

1

4

x

dxx; б) 22

2

)1( x

x

e

dxe;

в) xdxx 2sin ; г)

dx

xx

x

6

52

3

.

24. а) dxx

e xctg

2sin 2

2

; б) dxx

x

1;

в) xdxx ln3; г)

dx

xx

x

56

82

3

.

25. a) 3

2

4 x

dxx; б)

xdxe x 32

;

в) xdxx ln4 ; г) dx

x

x

52

3

.

26. а)

dx

ex

exx

x

3

23; б)

dxx

xarctg2

2

91

3;

в) xdxx 3cos ; г)

dx

xx

x

65

72

3

.

27. а)

dxx

dxx

4

3

1

2; б)

dx

x

x

3

)3lg(;

42

в) xdxx 5sin ; г)

dx

xx

x

23

42

3

.

28. а) dx

x

dxx6

2

1; б) xdxe x 2cos2sin

;

в) dxx

x3

ln; г)

dx

xx

x

65

12

3

.

29. а) dxxe x 34

2 ; б) 6

2

1

3

x

dxx;

в) xdxx ln4; г)

dx

xx

x

2

72

3

.

30. а) xdxx 2cos2sin545 ; б) xx

dx2ln

2;

в) dxxe x3; г)

dx

xx

x

6

42

3

.


43

44

45


Тема: Обчислення визначених інтегралів. Застосування

визначеного інтегралу.


«Визначений інтеграл, його властивості та методи обчислення», набути

навичок і вмінь обчислювати визначені інтеграли різними методами.

Розглянути основні застосування визначеного інтегралу в геометрії,

фізиці, економіці, набути навичок і вмінь обчислювати площі фігур,

довжини дуг кривої, об’єми тіл обертання, роботу сил за допомогою

визначеного інтегралу.


- Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу.

- Поняття криволінійної трапеції, інтегральної суми.

- Поняття визначеного інтеграла.

- Властивості визначеного інтеграла.

- Формула Ньютона-Лейбніца.

- Методи заміни змінної та інтегрування частинами у визначеному

інтегралі.

- Наближені методи обчислення визначених інтегралів.

- Обчислення площі плоскої фігури, обмеженої лініями за допомогою

визначеного інтеграла.

- Застосування визначеного інтеграла в геометрії та фізиці.

- Застосування визначеного інтеграла в економіці.


1. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца,

методом заміни змінної та методом інтегрування за частинами.

2. Обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл обертання.

46

3. Фізичні застосування визначеного інтеграла.

4. Застосування визначеного інтеграла в економіці.


Криволінійна трапеція — плоска фігура, що обмежена лініями:

0 xfy , у = 0, х = а, х = b.

Інтегральна сума — сума виду

n

i

ii xf1

.

Визначений інтеграл — границя інтегральної суми при 0max ix .

n

i

ii

n

n

n

b

a

xfsdxxf1

00limlim

Інтегровна функція — функція, для якої існує визначений інтеграл.

Геометричний зміст визначеного інтеграла — b

a

dxxf (при 0xf )

чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої лініями xfy ,

0,, ybxax .

Формула Ньютона-Лейбніца — метод інтегрування визначеного

інтегралу, якщо відоме значення відповідного невизначеного інтегралу.

aFbFxFdxxfb

a

b

a

.

Заміна змінної у визначеному інтегралі — метод інтегрування

визначеного інтегралу за формулою dtttfdxxf

b

a

' , де ba ,

Інтегрування частинами — метод інтегрування визначеного інтегралу за

формулою

b

a

b

a

b

a

vduuvudv .

Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею інтегрування —

інтеграл виду x

a

dttf .

Наближенні методи обчислення визначенного інтегралу — методи

обчислення за

1) формулою прямокутників

,)(1

0

1

0

n

ii

b

a

n

ii

yn

abxydxxf або .)(

11

n

ii

b

a

n

ii y

n

abxydxxf ,

2) формулою трапецій

47

1

102

1)(

n

iin

b

a

yyyn

abdxxf ,

3) формулою Сімпсона

.......26

)( 1231224220

m

b

a

mm yyyyyyyym

abdxxf .

Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями xfy ,

0,, ybxax (при 0xf ) визначається формулою b

a

dxxfS )( . Якщо

0)( xf , то .)(

b

a

dxxfS

Площа фігури, обмеженої лініями )(xfy , .,),( bxaxxgy ( )()( xgxf )

для ];[ bax обчислюється за формулою

b

a

dxxgxfS .)()(

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної

трапеції, утвореної лініями у=f(x), y=0, x=a, x=b обчислюється за формулою

b

a

dxxfV 2 .

Об’єм тіла ,yV утвореного обертанням навколо осі Оу фігури,

обмеженої лініями х = 0, 0 yx , cy , dy —

d

c

y dyyV2

.

Довжина дуги АВ кривої у= xf , bxa , обчислюється за формулою

b

a

dxs 2'y1

Шлях, пройдений точкою за відрізок часу 21;tt , обчислюється за

формулою:

2

1

)(

t

t

dttfS .

Сумарні витрати Sвит. споживачів наближено дорівнюють визначеному

інтегралу 0

0

вит. )(

Q

dQQfS

Надлишок споживача Sнад. — це різниця між витратами споживача, які

можуть бути і реальними витратами в умовах ринку:

Q

QPdQQfS0

00над. )(

Додаткова вартість виробника – 0

0

00вигода )(

Q

dQQfQPS .

48


Приклад 1. Обчислити інтеграли за формулою Ньютона-Лейбніца:

1) 2

1

2dxx , 2)

2

1

3 12 dxxx , 3)

1

0

2

35 110

3

2

2dx

xx

xx, 4)

3

1

3

1dx

xx .


1) 2

1

2dxx

Знайдемо невизначений інтеграл Cx

dxx 3

32 . За формулою Ньютона-

Лейбніца маємо:

3

12

3

1

3

2

3

332

1

32

1

2 x

dxx .

2)

2

1

3 12 dxxx

3)

1

0

2

35 110

3

2

2dx

xx

xx,

4)

3

1

3

1dx

xx .

49

Приклад 2. Обчислити інтеграли методом заміни змінної у визначеному

інтегралі 1)

2

2cos1

sin2dx

x

x, 2)

1

0

3.

2

4

2dx

x

x


1)

2

2cos1

sin2dx

x

x

За формулою заміни змінної маємо:

12122

2cos1sin

12

cos1cos1

cos1

sin2 2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

uu

du

uxdxdu

uxudx

x

x

2)

1

0

3.

2

4

2dx

x

x

Приклад 3. Обчислити визначені інтеграли методом інтегрування за

частинами: 1) 2

0

2cos

dxxx , 2) 1

0

dxxarctgx .


1) 2

0

2cos

dxxx

За формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі маємо:

2

00

22

0

2sin2

12sin

22sin2

1;

2cos,

2cos

xdxxx

xvdxdu

xdxdvxu

dxxx

.2

1

2

1

2

1

2

1

0cos2

10sin0cos

2

1sin

22

12cos

2

12sin

2

1

0

2

xxx

50

2) 1

0

dxxarctgx

Приклад 4. Обчислити визначений інтеграл

1

0

2 1744

13dx

xx

x,


Обчислимо спочатку відповідний невизначений інтеграл

dx

xx

xdx

xx

x

4

174

13

1744

13

22

4

17

4

1

4

1

2

12

13

4

1

2 xx

dxx

;2

1

;2

1

42

1

13

4

12

tx

dtdxtx

x

dxx

48

1

44

3

4

12

33

4

1222 t

dt

t

tdtdt

t

t

C

x

xxCt

t2

2

1

arctg16

1

4

17ln

8

3

2arctg

16

14ln

8

3 22

.4

12arctg

16

11744ln

8

3 2 Cx

xx

Знайдемо значення заданого інтеграла, використовуючи формулу

Ньютона-Лейбніца

51

Приклад 5. Обчислити наближено при n=10 за формулами

прямокутників, трапецій, Сімпсона такий інтеграл: 2

1

2lnx

dxI .


Поділимо проміжок [1; 2] на 10 рівних частин, тобто візьмемо 1,010

12

x та

складемо таку таблицю значень функції x

y1

:

хі уі хі уі

х0 = 1,0 у0 = 1,00000 х6 = 1,6 у6 = 0,62500

х1 = 1,1 у1 = 0,90909 х7 = 1,7 у7 = 0,58824

х2 = 1,2 у2 = 0,83333 х8 = 1,8 у8 = 0,55556

х3 = 1,3 у3 = 0,76923 х9 = 1,9 у9 = 0,52632

х4 = 1,4 у4 = 0,71429 х10 = 2,0 у10 = 0,50000

х5= 1,5 у5 = 0,66667

За формулою лівих прямокутників (n=10)

71877,018773,71,0...10 9210

yyyyab

I .

За формулою правих прямокутників (n=10)

66877,068773,61,0...10 1021

yyyab

I .

За формулою трапецій (n=10)

69377,093773,61,0...210 921

100

yyy

yyabI .

За формулою Сімпсона n=2m=10

.69315,079456,2030

142

56975318642100

yyyyyyyyyyy

abI

52

Згідно з таблицею натуральних логарифмів 693147,02ln I , і отже,

найбільш точним виявилось обчислення за формулою Сімпсона.

Приклад 6. Обчислити площу фігури, обмеженої віссю Ох і лінією

у=х2-2х.


Зробимо малюнок.

Знайдемо границі інтегрування, тобто

абсциси точок перетину графіків функцій

у=х2-2х і у=0. Для цього розв’яжемо

систему:

2,0

0)2(020

2 2

2

хх

хххху

хху

Тепер знайдемо шукану площу за форму-

Рис.1. лою

b

a

dxxfxfS )( 21 . Маємо:

3

114

3

8)04()08(

3

1

22

3

1))2(0(

2

0

22

0

3

2

0

2 x

xdxxxS

Отже S=1 1/3 кв. од.

Відповідь. S=1 1/3 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої даними лініями.

Зробити креслення.

223;13 õóõõó


Знаходимо точки перетину даних ліній:

2

2

3

13

ху

хху

53

Отже, точки перетину даних ліній мають координати 0;3À і 9;0 D .

Побудуємо графіки даних функцій.

Графіком функції 23 õó – є парабола з вершиною в точці 0;3À .

Вітки параболи напрямлені вниз.

Дослідимо функцію 132

õõó .

1) ОДЗ: ;x .

2) Дослідимо функцію на парність (непарність):

xyxyõõxy 132

функція ні парна, ні непарна.

3) Перетин з осями: )9;0(90 Dyx

0;3)0;1(3;10 21 AiCxxy

4) Функція неперервна при ;x .

5) Знайдемо похідну функції

133322331322

xxxxxxxxy

3;3

1

0)13)(3(0

21

xx

xxy

Функція зростає при ;3/13;õ і

спадає при 3/1;3 õ .

27

139

3/1

min

min

y

x

0

3

max

max

y

x

Зробимо креслення

Рис.2.

54

Знайдемо площу замкненої фігури на відрізку 0;3 .

dxxxx

0

3

22133

Відповідь: ..75,6 îäêâ .

Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням дуги синусоїди

xу sin навколо осі Ох для х є [0;π].


Візьмемо дугу синусоїди, зображену на рис.3

Для якої х0 .

Рис.3

Маємо

0

2sin xdxV

Відповідь : куб.од.)(2

2.

Приклад 9. Тіло рухається прямолінійно з швидкістю )/(1,0 3 смtv .

Обчислити шлях, пройдений тілом за перші 10 с.


55

Застосовуючи формулу 2

1

)(

t

t

dttfS , знаходимо шуканий шлях:

Приклад 10. Яку роботу потрібно виконати, щоб розтягнути пружину на

5 см, якщо сила 100 Н розтягує її на 1 см?

Розв'язання.

Згідно закону Гука, пружна сила F, яка діє на пружину зростає

пропорційно розтягу х пружини, тобто F = kх. Для визначення коефіцієнта

пропорційності, маємо F = 100 Н, х = 0.01 м.

Звідси 100 = k∙0.01, тобто k= 10000.

Отже F = 10000х. Тоді шукана робота рівна

А= Джxxdx 5.12500010000

05,0

0

05.0

0

2 .

Приклад 11.Знайти денний виробіток Р за робочий день тривалістю 8

годин, якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за емпіричною

формулою

)3/6.1/2.0()( 0

2

0

2

0 ttttPtfP ,

де t - час(год), Р0 - розмірність продуктивності (одиниця продукції за год.),

t0- розмірність часу (год). Ця формула відображає реальний процес роботи

(рис.4).

Рис.4


Продуктивність спочатку зростає,

досягаючи максимального значення

всередині робочого дня, при t=4, а потім

спадає.

Денний виробіток становитиме

Р =Р0t0 dttttt

8

0

0

2

0

2 )3/6.1/2.0( =

56

Приклад 12. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом

росту його випуску

yt

yK

1

,

де y - приріст випуску цього обладнання за час t , а у - рівень його

виробництва за одиницю часу на момент t. Знайти загальну кількість

обладнання, виготовленого до моменту часу t, вважаючи що К - відома

постійна величина, одиниця часу - рік, а в початковий момент часу t=0 рівень

річного виробництва обладнання був у0.


Вважаючи, що у - неперервна функція від t, знайдемо границю

)'(ln'1

lim0

yy

y

yt

yk

t

.

Інтегруючи останній вираз в межах від 0 до t, маємо

kty

y

0

ln , або kteyy 0 .

Сумарна кількість обладнання, виготовленого за час t, буде рівна

Y(t)=

t

ktt

kt eyk

eyk

dtty0

00

0 )1(11

)( .

Тоді, наприклад, при k=0.05 ( 5% щорічний темп росту) загальна кількість

обладнання, виготовленого за 10 років

Y(10)=20y0(e0.5

-1)13 y0,

причому рівень виробництва за вказаний період збільшився майже на

65%.


Завдання 1. Знайти інтеграли:

1. .1

1

0

323

dxee xx , 2.

1

0

xx ee

dx, 3.

e

xdxx0

ln , 4.

1

0

24 x

dx.


57

58

Завдання 2. Розв’язати приклад згідно свого варіанту (№ варіанту –

остання цифра порядкового номеру по журналу): Обчислити площу фігури,

обмеженої даними лініями. Зробити креслення.

1. y = (x+3)2(х-1); y =-(x+3)

2. 2. y =(x+4)

2(х-1); y =-(x+4)

2.

3. y = (x+2)2(х+1); y = (x+2)

2. 4. y =(x+4)

2(х+1); y = (x+4)

2.

5. y = (x-5)2(х+1); y = (x-5)

2; 6. y =(x-2)

2(х+1); y =4(x+1)

2.

7. y = (x+3)2(х+1); y = (x+3)

2. 8. y =(x-2)

2(х+1); y = (x-2)

2.

9. y = (x+2)2(х-1); y =-(x+2)

2. 10. y =(x-3)

2(х+1); y = (x-3)

2.


59

60

Завдання 3. Розв’язати задачу. Фонди однієї організації зростають

завдяки щорічним кампаніям літніх таборів для малозабезпечених.

Витрати на кампанію становлять 10000 грн. щодня. Відомо, що внески

великі на початку кампанії, надалі вони спадають. Функція, що описує

одержання внесків за один день, має вигляд:

с(t)=-100t2+20000, де t – дні, с(t) – внески за день.

Організація хоче максимально збільшити отриману суму доходів.

Визначте:

а) скільки часу треба проводити кампанію для отримання максимальної

суми доходу?

б) чому дорівнюють загальні витрати на кампанію?

в) чому дорівнюють загальні внески?

г) чому дорівнює дохід, що очікується?


61

62

63

Розділ 7. Диференціальні рівняння.


Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлю-

ваними змінними.

Мета: Закріпити отримані теоретичні знання з теми «Диференціальні

рівняння», набути навичок і вмінь розв’язувати диференціальні

рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними, однорідні

диференціальні рівняння І порядку.


- Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

- Поняття диференціального рівняння першого порядку.

- Загальний і частинний розв’язки диференціального рівняння.

- Задача Коші.

- Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними

змінними.

- Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.


1. Розв’язування диференціальних рівнянь з відокремленими та

відокремлюваними змінними.

2. Розв’язування однорідних диференціальних рівнянь І порядку.


Диференціальне рівняння – рівняння, в яке входять: незалежна зміна х,

шукана функція у та її похідні або диференціали.

F(х,у,у’)=0, F(х,у,у’’)=0

Порядок диференціального рівняння – порядок старшої похідної або

диференціала, що входить у дане рівняння.

64

Розв'язок або інтеграл диференціального рівняння – функція, яка

перетворює диференціальне рівняння в тотожність.

Загальний розв'язок диференціального рівняння – розв'язок, до якого

входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння.

Частинний розв'язок диференціального рівняння – розв'язок, знайдений

із загального при різних числових значеннях довільних сталих.

Задача Коші – задача знаходження частинного розв’язку диференціаль-

ного рівняння при заданих початкових умовах.

Диференціальне рівняння з відокремленими змінними – ДР виду

0 dyyNdxxM .

Загальний розв’язок ДР з відокремленими змінними подається так:

, CdyyNdxxM

Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними – ДР виду

02211 dyyNxMdxxMyN .

Однорідне диференціальне рівняння – ДР, яке можна подати у вигляді

.

x

yfy


Приклад 1. Знайти ортогональні траєкторії гіпербол .Cxy


Складемо ДР сім’ї гіпербол. Виключимо С з рівняння .Cxy

Диференціюємо рівняння за х:

.,0x

yyyyx

Для ортогональних ліній .1

,1

1

2

1

2y

yk

k

Приходимо до ДР:

222,,,

1 22

Cxyxdxydy

y

xy

x

y

y

.

Знаходимо сім’ю ортогональних ліній .22 Cxy

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок рівняння х (1 +y2 )dx=уdу.


Відокремивши змінні, маємо:

21 y

ydyxdx

65

Інтегруємо обидві частини цього рівняння;

Cyx

y

ydyxdx

ln2

11ln

2

1

2

1

22

2

Оскільки довільна стала С може набувати будь-яких числових значень, то

для зручності дальших перетворень замість С ми написали Cln2

1.

Потенціюючи останню рівність, дістанемо 22 1ln yCx . Це і є загальний

розв'язок даного рівняння.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок ДР .2 2xyy


Приклад 4. Розв’язати задачу Коші для диференціального рівняння

(1+x2)dy+ydx=0, при початкових умовах y(1)=1.


66

Підставивши в загальний розв’язок Cartgxy ln початкові умови y=1

при x=1, одержимо:

ln(1)=−arctg(1)+C

0=−π/4+C

С=arctg(1)

С=π/4.

Отже після підстановки знайденого значення C у загальний інтеграл,

знайдемо частинний інтеграл – розв’язок задачі Коші

lny=−arctgx+π/4

Приклад 5. Знайдемо загальний розв’язок ДР x

yy .


67

Приклад 6. Знайдемо загальний розв’язок ДР 2

2

x

yy .


Дане диференціальне рівняння можна розглядати і як рівняння з

відокремлюваними змінними, і як однорідне. Розв’яжемо його як однорідне

ДР.

Візьмемо uxy , тоді uxuy

x

dx

uu

du

uudx

dux

uuxu

2

2

2

,

,

.

Інтегруючи ДР з відокремленими змінними, знаходимо загальний розв’язок:

,1

,lnln1

ln,2

Cxu

uCx

u

u

x

dx

uu

du

,1

1

Cxu

,1

1

Cxx

y

.1 Cx

xy

Приклад 7. Знайдемо розв’язок однорідного ДР 0222 yxyyx .


ДР можна записати у вигляді xy

yxy

2

22 ,

x

y

y

xy

22 .

Вводимо заміну uxy .

68

Приклад 8. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

0 yxbуха і частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові

0yy при 0xx .

0,3;0sin2cos 00 xyxyxy .


ДР можна записати у вигляді xyxy sin2cos , тоді відокремивши змінні

отримаємо

Отже загальний розв’язок диференціального рівняння буде

x

Cy заг 2cos

.

Використавши початкову умову 30 y , знайдемо частинний розв’язок

69

3

30cos

cos

2

2

C

C

x

Cy

Частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

xy зчас 2cos

3

Відповідь: x

Cy заг 2cos

;x

y зчас 2cos

3

Приклад 9. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

1) yx

yxy

2'

2) x

yyx

x

yxy sinsin'


70



1. Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь.

а) ху'-у=0 а) у2dx+xdy=0

б) y’=1+y2

б) y’-xy=0

2. Знайти частинний розв’язок ДР, який задовольняє початковій умові

0yy при 0xx .

0,2;0sincos 00 xyxуxy

2,0;0sin 00

xyxyy


71

72


Виконати завдання згідно свого варіанту (№ варіанту – остання цифра

номера по журналу):.

Завдання 1. Розв’язати диференціальне рівняння з відокремлюваними

змінними.

73

1. 0'1 2 xyyx

2. (sinx)y’=ylny

3. y’=ex+y

4. ysinxdx+cosxdy=0

5. ey(1+x

2)dy-2x(1+e

y)dx=0

6. (1+x)dy=2ydx

7. xydx+(x+1)dy=0

8. (1+x)dx-xdy=0

9. xy’+y=y2

10. dy-xy(y+2)dx=0


74

Завдання 2. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального

рівняння а(х) у' + b(x) y = 0 і частинний розв'язок, який задовольняє

початковій умові у = у0 при х = х0 ,

1. xy' + y = 0; y0 = 0, x0 = 1.

2. y'cosx – 2y sinx = 0 ; y0 = 3, x0 = 0.

3. y'cosx + y sinx = 0 ; y0 = 2, x0 = 0.

4. y′ - 2y = 0; y0 = 1/4, x0 = 0.

5. y' – 4xy = 0; y0 = 3/4, x0 = 0.

6. y' – y sinx = 0; y0 = 3, x0 = /2.

7. y' + 2xy = 0; y0 = 5, x0 = 0.

8. y' + y = 0; y0 = 2, x0 = 0.

9. (1 + x2)y' – 2xy = 0

; y0 = 5, x0 = – 2.

10. xy' – 3y = 0 ; y0 = 5, x0 = 0.


75


Тема: Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

76

Мета: Закріпити отримані теоретичні знання з теми «Диференціальні

рівняння», набути навичок і вмінь розв’язувати лінійні диференціальні

рівняння І порядку та ті, що зводяться до них.


- Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

- Поняття диференціального рівняння першого порядку.

- Загальний і частинний розв’язки диференціального рівняння.

- Задача Коші.

- Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними

змінними.

- Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

- Неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку.

- Метод Бернуллі.

- Метод варіації сталої.


1. Розв’язування неоднорідних диференціальних рівнянь І порядку.

2. Розв’язування диференціальних рівнянь, що зводяться до лінійних ДР І

порядку.


Диференціальне рівняння – рівняння, в яке входять: незалежна зміна х,

шукана функція у та її похідні або диференціали.

F(х,у,у’)=0, F(х,у,у’’)=0

Порядок диференціального рівняння – порядок старшої похідної або

диференціала, що входить у дане рівняння.

Розв'язок або інтеграл диференціального рівняння – функція, яка

перетворює диференціальне рівняння в тотожність.

Загальний розв'язок диференціального рівняння – розв'язок, до якого

входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння.

77

Частинний розв'язок диференціального рівняння – розв'язок,

диференціального рівняння, що не містить довільної сталої.

Задача Коші – задача знаходження частинного розв’язку диференціаль-

ного рівняння при заданих початкових умовах.

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними — рівняння, в

якому можна відокремити змінні.

Диференціальні однорідні рівняння — рівняння першого порядку з

однорідною правою частиною.

Диференціальні рівняння в повних диференціалах — диференціальні

рівняння, що визначаються повним диференціалом деякою функцією.

Лінійні диференціальні рівняння — рівняння лінійно залежить від

невідомої функції і її похідної.


Приклад 1. Знайти розв’язок ДР 03 dyyxydx у повних

диференціалах.


yyxM , , 3, yxyxN , x

N

y

M

.

Рівняння можна подати у вигляді dyyxyd 3 .

Звідси знаходимо інтеграл ДР Cy

xy 4

4

.

Приклад 2. Знайти розв’язок ДР 022 dyyxydxxyx у повних

диференціалах.


78

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок ДР

.2xyyx


Маємо неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язок

будемо шукати у вигляді добутку функцій .vuy Підставляючи, дістаємо

рівняння

.2xuvvuvux

Зведемо це рівняння до системи ДР:

.

,0

2xvux

uvvxu

Із першого рівняння 0 vvx знаходимо:

,,,x

dx

v

dv

x

v

dx

dv

x

vv

.,lnln, 1 xvxvx

dx

v

dv

Із другого рівняння маємо:

,,, 2221

dxxuxuxxux .3

3

cx

u

Знаходимо розв’язок:

.3

, 13

xc

xyuvy

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок ДР

.2sin

x

x

x

yy


79

Приклад 5. Розв’язати лінійне ДР 2x

yy .


Шукаємо розв’язок за методом Бернуллі:

,uvy .2x

uvvuvu

Зводимо рівняння до системи ДР:

.lnln,,

2

01

xvx

dx

v

dv

x

vv

vu

uvx

vu

.1,,2,2

1,

1 22 Cxx

yCxuxux

ux

v

80

Приклад 6. Розв’язати лінійне ДР xyxy 22 методом Бернуллі.


Приклад 7. Знайти методом Лагранжа розв’язок неоднорідного лінійного

ДР

.1 2xxyy


Спочатку знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР:

,0 xyy

,xydx

dy

,xdxy

dy

,xdxy

dy

,ln2

ln2

Cx

y

.2

2x

Cey

81

Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді 2

2x

exCy

.

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо

,1 2222

222

xxCxCCx

ex

x

ex

x

ex

або

.1,1 2222

22

dxexxCexC

xx

x

Використаємо формулу інтегрування частинами:

.

,

, 222222

2222

2

dxexxe

xvdxdv

xedueudxe

xxxxx

Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:

,12222

222

CxedxexdxexC

xxx

., 21

21

2

222 xxx

eCxxyeCxexy

Приклад 8. Знайти розв’язок ДР xyx

y 21

методом Лагранжа.


82


xfyxbóõà і частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові

0yy при 0xx .

0,3;2sin2cos 00 xyxyxy .


Нехай uvy , тоді vuvuy . Підставивши це в рівняння, отримаємо:

12sin2coscos

2sin2cos

xvxvuxvu

xuvxvuvu

Підберемо функцію v так, щоб 0sin2cos xvxv

83

xv

xv

xv

x

xdx

v

dv

x

xdx

v

dv

x

xv

dx

dv

2

2

cos

1

cos

1lnln

cosln2ln

cos

sin2

cos

sin2

cos

sin2

Підставимо функцію v в рівняння (1), отримаємо:

Cxu

xdxdu

xdxdu

xu

xx

u

sin2

cos2

cos2

cos2

2coscos

12

Отже загальний розв’язок диференціального рівняння буде

x

C

x

x

xCxuvyçàã 222 coscos

sin2

cos

1sin2 .

Використавши початкову умову 30 y , знайдемо

3

30cos0cos

0sin2

coscos

sin2

22

22

C

C

x

C

x

xy

Частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

xx

xyç÷àñ 22 cos

3

cos

sin2

Відповідь: x

C

x

xyçàã 22 coscos

sin2 ;

xx

xyç÷àñ 22 cos

3

cos

sin2


xfyxbóõà і частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові

0yy при 0xx .

00 ,0;sin xyxxyyx .


84

85

Приклад 11. Знайти розв’язок ДР Бернуллі xy

xy

y

12

.


Візьмемо y

z1

,

xzxz , xzxz .

Знайдемо розв’язок лінійного ДР за методом Бернуллі. Нехай

., xuvxvuvuuvz

Записуємо систему ДР:

xvx

dx

v

dvvx

dx

dv

xxvu

uvxvulnln,,

0

,

xv , xxu 2 , x

u1

, Cxu ln ,

Cxxz ln .

Остаточно маємо шуканий розв’язок: Cxx

y

ln

1.

Приклад 11. Знайти розв’язок ДР Бернуллі 22 yyxy .


86



Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння xfyxbóõà

і частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові 0yy при 0xx .

0,2;1sincos 00 xyxуxy

2

,0cos;sinsin 00

xyxxyy


87

88


Завдання. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального

рівняння а(х) у' + b(x) y = 0 і частинний розв'язок, який задовольняє

початковій умові у = у0 при х = х0 , згідно свого варіанту (№ варіанту –

остання цифра номера по журналу):

1. xy' + y = 21

2

x

x

; y0 = 0, x0 = 1.

2. y'cosx – 2y sinx = 2 ; y0 = 3, x0 = 0.

3. (x + 1)y′ - 3y = ex (x + 1)

4; y0 = 1, x0 = 0.

4. y′ - 2y = 3x – 1; y0 = 1/4, x0 = 0.

5. y' – 4xy = x ; y0 = 3/4, x0 = 0.

6. y' – y sinx = e- cosx

sin2x; y0 = 3, x0 = /2.

7. y' + 2xy = 2

2 xxe ; y0 = 5, x0 = 0.

8. y' + y = 21 x

e x

; y0 = 2, x0 = 0.

89

9. (1 + x2)y' – 2xy = (1 + x

2)

2 ; y0 = 5, x0 = – 2.

10. xy' – 3y = x4e

x ; y0 = 5, x0 = 0.

11. xy' + 2y = x

1; y0 = 1, x0 = 3.

12. 2y′ - 6y + x2 = 0; y0 = 0, x0 = 0.

13. xy′ + y = xsinx; y0 = 0, x0 = π.

14. y′ + xy = x3; y0 = 0, x0 = 0.

15. y′cosx + y sinx = 1; y0 = 1, x0 = 0.

16. y′ - y sinx = sinx cosx; y0 = 0, x0 = π/2.

17. y'cosx + y sinx = 1 ; y0 = 2, x0 = 0.

18. y′ + 21

2

x

y

= 3)1(

1

x

x

; y0 = 0, x0 = 0.

19. y′ + 13

2

x

yx = x

2 + x

5; y0 = 0, x0 = 0.

20. y′ + y = e-x

; y0 = 0, x0 = 0.

21. y' – 5xy = x ; y0 = 3/4, x0 = 0.

22. y' – y sinx =2e- cosx

sin2x; y0 = 3, x0 = /2.

23. y' + 4xy = 2

2 xxe ; y0 = 5, x0 = 0.

24. y' + 3y = 21 x

e x

; y0 = 2, x0 = 0.

25. (1 + x2)y' – 2xy = (1 + x

2)

2 ; y0 = 5, x0 = – 2.

26. xy' – 2y = x4e

x ; y0 = 5, x0 = 0.

27. xy' + 4y = x

1; y0 = 1, x0 = 3.

28. 2y′ - 3y + x2 = 0; y0 = 0, x0 = 0.

29. xy′ + 2y = xsinx; y0 = 0, x0 = π.

30. y′ + 3xy = x3; y0 = 0, x0 = 0.


90

91

Список використаної та рекомендованої

літератури

92

Основна

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів, Т.1.-

К.:НАУ,2002.

2. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів:“Новий

світ–2000”,2004. 3. Бугір, М. К. Математика для економістів: посібник / М. К. Бугір. – К. :

Академія, 2003. – 520 с.

4. Долгіх, В. М. Вища математика для економістів. Ч. 1. Алгебра та

математичний аналіз: навч. посібник для самостійного вивчення дисципліни :

у 2 ч. / В. М. Долгіх, Т. І. Малютіна ; Державний вищий навчальний заклад

“Українська академія банківської справи Національного банку України”.

Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. 97 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. –

К.:А.С.К., 2001.

6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Збірник задач з вищої математики. –

К.:А.С.К., 2001.

7. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика.

Практикум. .-К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

8. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Довідник для

студентів вищих навч.закладів: Навч. посібник. 2-е вид., виправлене і доповн.

-К.: Діал.,2003.

9. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр

“Академія”, 2002.

10. Валєєв К. Г., Джалладова І. А., Лютий О. І. та ін. Вища математика:

Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. /— Вид. 2-ге, перероб. і доп. —

К.: КНЕУ, 2002. – 606 с.

11. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-

х ч. — К.: КНЕУ, 2001. — Ч. 1. — 546 с.

Додаткова

12. Алгебра і початки аналізу: В 2-ч./Под ред. Яковлєва Г.М. – К.:

13. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.

Высш.шк..,1990.

14. Добржицкая И.Т. Краткое руководство к решению задач по высшей

математике. – Минск, 1971.

15. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – К.: Вища шк..,

1985

16. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. пособие для втузов. – М.:

Высш. шк.., 1990.

Documents

РОБОЧИЙ ЗОШИТ 3...4 Практичне заняття 11. Диференціювання функцій двох змінних 2 Практичне заняття 12