92862644 Apostila de Exercicios Do Roberaldo

Macei-AL 2009

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia CTEC

Departamento de Engenharia Civil

FENMENOS DE TRANSPORTE I

Apostila de exerccios

Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo

Marianna Luna Sousa Rivetti

2

Parte I: Esttica dos fluidos

1. Propriedades dos fluidos

1.1 Exerccios resolvidos

1- Um lquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa especfica de 850 kg/m. Calcule:

a) A viscosidade cinemtica em unidades S.I. b) A viscosidade dinmica em unidades CGS.

Soluo: a)

b)

2- A viscosidade cinemtica de um leo 0,028 m/s e o seu peso especfico relativo 0,85. Determinar a viscosidade dinmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. Soluo:

3

No MK*S:

No SI:

No CGS:

3 A viscosidade dinmica de um leo 5x10-4 kgf.s/m e o peso especfico relativo 0,82. Determinar a viscosidade cinemtica nos sistemas MK*S, SI e CGS (g=10m/s; H2O=1000 kgf/m).

Soluo:

No MK*S e no SI:

No CGS:

4

4 O peso de 3 dm de uma substncia 23,5 N. A viscosidade cinemtica 10-5 m/s. Se g=10m/s, qual ser a viscosidade dinmica nos sistemas MK*S e SI.

Soluo:

No SI:

No MK*S:

5 So dadas duas placas planas paralelas distncia de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior fixa. Se o espao entre as placas for preenchido com leo (=0,1 St; =830 kg/m), qual ser a tenso de cisalhamento que agir no leo?

Soluo: Obs: =0,1 St= 10-5 m/s

5

6 Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30, sobre uma fina pelcula de leo. A velocidade da placa de 2 m/s constante. Qual a viscosidade dinmica do leo se a espessura da pelcula 2 mm?

Soluo: De acordo com a 2 Lei de Newton: Fr=m.a . Onde a= Assim: Px - = m.

20.sen 30 - = 0, pois a velocidade constante, ou seja, = 0 = 10 N/m

Sabemos que:

7 Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parbola tem seu vrtice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tenso de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centepoises.

6

Soluo: Obs.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm

Como o perfil de velocidade parablico: V(y)= a1+ a2y + a3 y

Condies de contorno: 1 V y=yo =Vmx = 2,5 m/s a1+ a2y0 + a3 y0=2,5 2 V y=0 = 0 a1=0

3 y=yo =0 a2 + 2y0 a3=0

Assim: a2y0 + a3 y0=2,5 Para y0= 10 cm= 0,1m 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5 a2 + 2y0 a3=0 a2 + 0,2 a3=0

a3= -250; a2=50

Perfil parablico obtido: V(y)= 50 y 250 y

Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m:

= 50-250y= 25

Tenso de cisalhamento:

7

8 Uma pequena esfera slida com 4,02 mm de dimetro e uma densidade relativa de 0,91 colocada em repouso num recipiente contendo um lquido cuja densidade relativa de 0,8. Sabendo que a esfera est submetida fora gravitacional (calculada atravs do produto da massa pela acelerao da gravidade), ao empuxo (que representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a fora de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a rea frontal de contato entre o slido e o fluido vezes a metade do produto do peso especfico do fluido e o

quadrado da velocidade, no caso de uma esfera: Afrontal= e ,

Fa = Cd. Afrontal. fluido. ). Calcule o tempo mnimo decorrido para a esfera

atingir a velocidade terminal. Soluo:

Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre:

Sabemos que: Fr=m.a

w- Fa- E = esfera. Volume.

w = m.g w= esfera. Volume. g

w= *. H2O .Volume. g

E= fluido. Volume

E= fluido.

Fa= Cd. Afrontal

fluido.

Fa= . . fluido.

Fa=

8

esfera. . g - - fluido. = esfera. .

= g -

Sendo a= g - , e b= teremos:

= a bV V = Vmx (1- e-bt)

Adotando V=99%Vmx:

s

9- Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina pelcula de leo de espessura h mm em um plano inclinado de um ngulo . Determine uma expresso para o comprimento do plano em funo da velocidade mxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no leo = c y1/3, onde c uma constante determinada pela condio de contorno da velocidade mxima no leo ser igual velocidade do bloco e y a distncia do plano no leo, 0 y h.

9

Soluo:

Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco.

Diagrama de corpo livre:

Sabemos que:

Fr= w.sen - Fa

a=

Logo:

Fr=m.a - Fa =

- (m)

-

Condio de contorno:

Se y=h: V(y) = Vbloco= = c y1/3

V(y) =

10

Note que:

Voltando para a expresso obtida ao analisar a fora resultante teremos:

-

Seja e , teremos:

integrando teremos:

Seja :

2. Equao Geral da Esttica dos Fluidos (1-D)


1 Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule:

11

a) A presso efetiva do Gs 2; b) A presso efetiva do Gs 1, sabendo que o manmetro indica uma

presso de 15000 N/m3 ; c) A presso absoluta do Gs 1, considerando a presso atmosfrica

local igual a 730 mmHg.

Dados: leo = 8000 N/m3 , Hg = 133280 N/m3 , gua = 9800 N/m3

Soluo:

a) P1 = Pleo + Pgs e P2 = PHg + Pgua P1 = P2 leo . ( h1 + h2 ) + Pgs = Hg . h4 + gua . h3 8000 . (35 . 10-2) + Pgs = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2

Pgs = 32970 N/m3

b) Pgs 1 = Pgs 2 Pmanmetro Pgs 1 = 17970 N/m3

c) P2 = PHg + Pgua + Patm e P1 = Pgs 2 + Pleo + Pgs 1 PHg + Pgua + Patm Pgs 2 Pleo = Pgs 1 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 32970 -8000 . 35 . 10-2 = Pgs 1 Pgs 1 = 97294,4 N/m3

P abs gs 1 = 115265 N/m3

3. Forcas em superfcies planas


12

1 O tanque mostrado no esquema da figura contm um leo com massa especfica . Determine o mdulo da forca resultante exercida pelo leo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.

Soluo:

2)

2 A figura mostra um esquema de uma janela circular de dimetro D=2 m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela gua sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)

13

Soluo:

a) Em coordenadas polares: dA=r.d.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.sen

b)

Substituindo,

Temos ,

3 A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela gua sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)

14

Soluo:

a) Temos e

Substituindo,

b)

15

Substituindo,

Temos,

4 A figura mostra um esquema de um reservatrio com gua. A comporta retangular de altura L e largura B est articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constitudo de um material com massa especfica B, est imerso em gua. O cabo possui massa desprezvel. Estando a comporta na posio vertical, determine:

a) A forca resultante exercida pela gua sobre a comporta; b) O momento de forca, em relao ao ponto O, devido distribuio

de presses exercida pela gua; c) O volume mnimo V do bloco necessrio para manter a comporta na

posio vertical.

Soluo:

a)

16

b) Deve-se achar zf:

Temos,

Substituindo ,

Temos,

Em relao ao ponto O temos a distncia D, que igual a : D=H-zf

Calculando o momento,

c) Temos em relao ao ponto O,

17

Pelo D.C.L:

Sendo,

Ento fica assim,

Isolando V,

4. Equao Geral da Esttica dos fluidos em 2-D


4.1.1 Movimento Relativo Linear

18

1 Deve-se transportar um aqurio que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de gua voc pode deixar no aqurio de modo a ficar razoavelmente certo de que no transbordar no transporte?

Soluo:

Equao da superfcie livre: dP=0

Se no houver transbordamento:

No h transbordamento: Vi=Vf

19

Achando a altura da gua h: (1) = (2)

sabe-se que

Substituindo os valores,

Calculando o volume:

4.1.2 Movimento Relativo Circular 1 Um vaso cilndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com lquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante () em torno do seu eixo central. Aps um curto perodo, no h movimento relativo (o lquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rgido). Qual o valor de (rpm) para no haver transbordamento?

20

Soluo:

Equao da superfcie livre: dP=0

Se no houver transbordamento:

Substituindo os valores, (1)

No h transbordamento: Vi=Vf

Substituindo valores,

.

21

Achando o valor de : (1) = (2)

Parte II: Cinemtica e Dinmica dos Fluidos

5. Equao da continuidade e escoamentos


1- Considere um campo de escoamento incompressvel bidimensional dado pela funo corrente (x,y) = ax-ay, com a=3s-1 e x e y em metros.

a) Mostre que o escoamento irrotacional. b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. c) Qual a vazo que passa entre uma assntota e a linha de corrente

dada por =cte=2? Soluo: a) Um escoamento irrotacional quando xV=0

22

Sabemos que:

xV = x =0

-2a+2a=0

0=0 O escoamento irrotacional.

b)

Logo: c) Sabemos que a vazo dada pela diferena entre dois psis, ou seja, Q=

1- 2. Se 1= assntota e 2=2, teremos: Q= 2m/s. 2- Demonstre a Equao da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilndrica plana. Soluo:

23

Sabemos que: Taxa que entra Taxa que sai = Variao interna

+ - - =

+ - -

+ - - - - -

- =

=- - -

=- - -

Obs.: De acordo com a Regra do produto:

= = + Logo:

Desprezvel

24

+ + + = 0

+ + = 0

Desta forma, provamos que: + = 0 3- Demonstre a Equao da Continuidade e a Equao da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimenses. Soluo: Devemos lembrar que:

r=cos + sen j = -sen + cos j r. r=1 ; r . =0 . =1 ; r x = k

= -sen + cos j=

= - cos - sen j=

De acordo com a Equao da Continuidade: = 0, ou seja:

. = 0

+ = 0

=0

=0

=0

=0 + = 0 De acordo com a Equao da Irrotacionalidade: = 0, ou seja:

Equao da continuidade em coordenadas polares

25

x = 0

+ = 0

+

= 0

=0 , ou seja, - = 0 4- Qual o valor da acelerao de um escoamento cujo campo de velocidade dado por ? Esse escoamento real? Soluo:

Por no depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. No d para dizer se o fluido compressvel ou no, pois no temos informaes suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimenses.

a local= =0

a convectiva=

a convectiva= a convectiva=

Componentes da acelerao: ax= ay=

O escoamento s existir se a equao da Continuidade for

obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0.

+ = 0

Tende a zero, pois o escoamento no depende do tempo.

26

5- Seja . Veja se o escoamento desse fluido real. Em caso afirmativo, defina a equao de sua trajetria. Soluo:

O escoamento s existir se a equao da Continuidade for

obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0.

+ = 0

Encontrando a Equao da trajetria:

O escoamento no real.

O escoamento real.

Tende a zero, pois o escoamento no depende do tempo.

Equao da trajetria.

27

6- A superfcie matemtica do slido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposio de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geomtrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20km/h em direo ao monte, pergunta-se:

a) Qual a velocidade do vento na superfcie do monte em um ponto

verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazo do escoamento do vento entre duas superfcies

que passam pelos pontos de estagnao e (x=50; y=90)?

Soluo:

a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine formado pela superposio de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equao de Laplace podemos dizer que:

U/F = U + F =

Para =0:

Para =pi:

Logo:

28

0=

Para =0:

Para =pi/2:

Logo: V= 3,54 r + 5,56 e V = 6,59 m/s

b) Sabemos que:

x= r cos=50 r=130m y= r sen=120

tg= =1,18 rad

Na linha de corrente o =0 quando =0 e r=h=100:

0=

Sabemos que a vazo pode ser calculada atravs da diferena entre

dois psis, Q= o - a, sendo o o ponto de estagnao teremos o =0.

Q= o - a=

Q= 319 m/s

1112 m/s 1112 m/s

29

6. Equao da continuidade e escoamentos (continuao)

1 O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensvel e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionrio, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade.

Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (*=10-3) atinge 180 km/h; a temperatura externa 7,00C. Um barmetro dentro da cabana d uma leitura de 720mm de mercrio; a presso atmosfrica fora tambm de 720 mmHg. A cabana tem um dimetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a fora que tende a levantar a cabana das suas fundaes. Sabendo que

Soluo: cilindro: r=a

Sendo, D=6m L=24m a=3m

30

h=720mm=720.10-3m

Achar P1:

P=.g.h P1= *Hg.gua.g.h

Substituindo os valores, P1=9,6 Pa

V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s

Achar V2:

Vr=0 V=-2.U0.sen |V|=2.U0.sen

*=10-3 ento, =1 kg/m3

Achar :

= .g =9,8 N/m3

Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 z2=a.sen V1=U0 V2=2.U0.sen P1=9,6 Pa P2 Teremos ento,

Fica assim,

31

Achar Fa:

calculando,

obtm-se,

Achar Fs:

calculando,

obtm-se,

substituindo os valores,

2 Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi

medido com tubo de pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazo, sendo a=0,1m e 0ra.

Soluo:

32

r=0,3

Teremos,

Ento,

3 Dado um reservatrio com uma sada lateral,achar a vazo que sai quando o nvel do reservatrio no muda.(vazo ideal)

Soluo:

Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=z z2=0 V1=0 V2 P1=Patm P2=Patm

Videal=

Pela continuidade:

33

4 Um grande reservatrio, com 4,0m de altura de gua, em forma cilndrica com dimetro de 3,2m, possui um pequeno orifcio lateralmente na sua base com dimetro de 6,0 cm. O reservatrio encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifcio est aberto jorra gua a 2,0m de distncia do orifcio. O coeficiente de contrao do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatrio, assumindo que o nvel do reservatrio no varia por um tempo de 1,5 horas? b) Quanto tempo leva para o nvel do reservatrio diminua de 1,0m? c) Para o caso do item (b) a idealizao do item (a) vlida?

Soluo: H=4m D=3,2m Cc=0,9 t=1,5 horas=5,4 seg d=6cm r=3cm=3.10-2m Ab=rea do bocal AR=rea do reservatrio

-considera-se o reservatrio cheio

a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9

34

achar Cv:

temos que e que

substituindo os valores,temos

-ento,

achar Cd: Cd=Cv.0,9

achar Ab:

achar AR:

- t>1,5 horas: o nvel do reservatrio varia, vamos considerar Q0=0

35

Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variao interna 0 - . =

- . =

Desenvolvendo,

Ento,

(1)

achar a:

achar zeq:

-cosiderar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq

t=1,01.5,4 seg t=5,45 s ento, utilizando a equao (1)

teremos,

Substituindo os valores ,

36

b)Utilizando a equao,

obtemos,

5 Para o escoamento de um fluido com propriedades fsicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2 uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento devido a um gradiente de presso constante na direo X (dP/dX).

a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equao de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizaes de COUETTE,pode ser escrita como:

onde B uma constante que depende do gradiente de presso,a,Uo e da viscosidade. b) Ache uma expresso adimensional u, levando-se em conta as condies de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manomtrica de 20mmHg (*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazo desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 a velocidade medida no tubo de Pitot.

Soluo:

- Condies:

37

- Analisando equao de NAVIER-STOKES:

como,

substituindo temos,

ento,

a) Adimensionando:

temos,

substituindo,

38

derivando,

derivando novamente,

b) Condies de contorno:

1) U|y*=1=0

2) V|y*=-1=0

39

ento,

c)-achar U0:

manometria:

achar :

Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 z2=0 U0 V2=0 P1 P2


40

Para y=0 a velocidade mxima -dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua

substituindo em

temos,

-achar Vmx:

como j foi dito Vmx ocorre quando y=0, ento

-achar Q:

substituindo valores,

41

6 Usando o princpio da conservao de energia, determine o sentido do

escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual =8500 N/m3 e =0,05 kg/m.s e ache a vazo deste escoamento em litros por segundos.

Dado: PA=20 kPa PB=30 kPa L=40 m D=10 cm Inclinao da tubulao:30

Soluo:

Para analisar o sentido do escoamento preciso verificar em qual seo h maior energia, ento aplicaremos Bernoulli :

-pela equao da continuidade :

e

42

ento, consideramos ,

-analisando a energia no ponto A:

-analisando a energia no ponto B:

A energia em A maior que em B, o fludo escoa de A para B.

Calculando a vazo: -condies:

-analisando equao de NAVIER-STOKES:

como,

substituindo temos,

43

ento,

-condies de contorno:

3) V|r=0=Vmx c1=0

4) V|r=a=0

ento ,

-achar Q:

-achar K:

44

-achar Vmx:


7- Uma correia larga se movimenta num tanque que contm um lquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia vertical e ascendente e a velocidade da correia Vo. As foras viscosas provocam o arrastamento de um filme de lquido que apresenta espessura h. Note que a acelerao da gravidade fora o lquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equao para a velocidade mdia do filme de lquido a partir das equaes de Navier Stokes. Admita que o escoamento laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete.

Soluo:

45

Ns s consideraremos o componente na direo y do vetor velocidade porque a formulao do problema estabelece que o escoamento unidimensional (assim, u=w=0). A equao da

continuidade indica que . O regime do escoamento o

permanente e ento . Nestas condies ns encontramos que v= v(x). A aplicao da equao de Navier Stokes na direo x e na

direo z resulta em: e .

Este resultado indica que a presso no varia em qualquer plano horizontal. Ainda possvel concluir que a presso no filme constante e igual a presso atmosfrica porque a presso na superfcie do filme (x=h) a atmosfrica. Nestas condies, a equao do movimento na direo y fica reduzida a:

Integrando a equao acima chegaremos a:

Condies de contorno:

1 x=h=0:

A segunda integrao da equao, , fornece:

2 V x=0=V0: Desta forma:

46

A vazo em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade:

A velocidade mdia do filme pode ser definida como . Assim:

8- A gua escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de Pitot esto em um manmetro diferencial contendo um lquido com *=0,82. Achar uA e uB. Dados: A=3 ft; B=2 ft; g=32,17 ft/s.

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