า 2557 ิทยาลัิลปากรยศ · สมบัติพีชคณิตของฟังก์ชันยืนยงอัับทนดีส่งไปยังตััวมนเองของเฟนซ์มีการศึกษามาอย่าง

ความปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบของเฟนซ

โดย นางสาวเกศรนทร จนดาหนา

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรศกษา

ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

ปการศกษา 2557 ลขสทธของบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

สำนกหอ

สมดกลาง

ความปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบของเฟนซ

โดย นางสาวเกศรนทร จนดาหนา

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรศกษา

ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

ปการศกษา 2557 ลขสทธของบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

สำนกหอ


COREGULARITY FOR SEMIGROUPS OF ORDER-PRESERVING TRANSFORMATIONS

OF A FENCE

By

Miss Ketsarin Jendana

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree

Master of Science Program in Mathematics Study

Department of Mathematics

Graduate School, Silpakorn University

Academic Year 2014

Copyright of Graduate School, Silpakorn University

สำนกหอ


บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร อนมตใหวทยานพนธเรอง “ความปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบของเฟนซ ” เสนอโดย นางสาวเกศรนทร จนดาหนา เปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรศกษา

……........................................................... (รองศาสตราจารย ดร.ปานใจ ธารทศนวงศ)

คณบดบณฑตวทยาลย วนท..........เดอน.................... พ.ศ...........

อาจารยทปรกษาวทยานพนธ อาจารย ดร.รตนา ศรทศน คณะกรรมการตรวจสอบวทยานพนธ .................................................... ประธานกรรมการ (อาจารย ดร.ทวด มสนเทยะ) .................../ .................. / .................... .................................................... กรรมการ (อาจารย ดร.วรนทร ศรปญญา) .................../ .................. / .................... .................................................... กรรมการ (อาจารย ดร.รตนา ศรทศน) .................../ .................. / ....................

สำนกหอ


ง

55308302 : สาขาวชาคณตศาสตรศกษา คาสาคญ : เฟนซ /ฟงกชนยนยงอนดบ/กงกรป/ กงกรปปรกตบรบรณ เกศรนทร จนดาหนา : ความปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบของเฟนซ. อาจารยทปรกษาวทยานพนธ : อ.ดร.รตนา ศรทศน. 25 หนา. เฟนซ ;F เปนเซตอนดบ ซงแผนภาพของอนดบเปนทางเดนสลบขนลง เราให

;F F เปนเฟนซและให OT F เปนกงกรปของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองทงหมดของ F เราเรมตนวทยานพนธนโดยการศกษาความปรกตบรบรณของกงกรป OT F สาหรบเฟนซจากด F เราไดวา OT F ไมจาเปนตองเปนปรกตบรบรณ นนคอ OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ กตอเมอ 2F ยงไปกวานน เรายงจาแนกสมาชกปรกตบรบรณทงหมดใน F โดยท F เปนเฟนซจากด ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร ลายมอชอนกศกษา........................................ ปการศกษา 2557 ลายมอชออาจารยทปรกษาวทยานพนธ .........................................

สำนกหอ


จ

55308302 : MAJOR : MATHEMATICS EDUCATION

KEY WORDS : FENCES/ORDER- PRESERVING/SEMIGROUP/COREGULAR

KETSARIN JENDANA : COREGULALITY FOR A SEMIGROUP OF ORDER-

PRESERVING TRANSFORMATIONS OF A FENCE. THESIS ADVISOR : RATANA

SRITHAT, Ph.D. 25 pp.

A fence is an ordered set that the order forms a path with alternating orientation. Let

;F F be a fence and let OT F be the semigroup of all order-preseving self-mapping of

F . We being this thesis by studying the coregularity of the semigroup OT F . For any finite

fence F , we obtain that OT F need not be coregular, that is, OT F is coregular if and

only if 2F . Moreover, we characterize all coregular elements in OT F when F is finite.

Department of Mathematics Graduate School, Silpakorn University

Student's signature ........................................ Academic Year 2014

Thesis Advisor's signature ........................................

สำนกหอ


ฉ

กตตกรรมประกาศ

วทยานพนธฉบบนสาเรจลลวงไดดวยด เพราะความกรณาจาก อาจารย ดร.รตนา ศรทศน ทใหคาปรกษา คาแนะนา ทาใหโลกทศนทางวชาการของผวจยกวางขวางขน ชวยเตมเตมในจดออนตางๆ และแกไขในสวนทบกพรองจนทาใหวทยานพนธฉบบนสาเรจดวยด ขอกราบขอบพระคณอาจารยภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยศลปากรทกทานทไดประสทธประสาทวชา พรอมทงหยบยนโอกาสทางการศกษา และเปนกาลงใจใหจนทาใหลกศษยคนนพบความสาเรจ ขอกราบขอบพระคณอาจารย ดร.ทวด มสนเทยะ และอาจารย ดร.วรนทร ศรปญญา ประธานกรรมการ และกรรมการสอบวทยานพนธทกรณาใหคาแนะนาตรวจทานแกไขวทยานพนธ ขอขอบคณ เพอนๆ สาขาวชาคณตศาสตรศกษา สาหรบกาลงใจ นาใจ ความชวยเหลอตางๆและความจรงใจทมใหกนเสมอมา สดทายขอกราบขอบพระคณพอและแม พ ทมอบความรก การดแล และใหการสนบสนนชวยเหลอจนทาใหวทยานพนธฉบบนสาเรจเสรจสนลงดวยด

สำนกหอ


ช

สารบญ

หนา

บทคดยอภาษาไทย…………………………………………………………………....ง บทคดยอภาษาองกฤษ………………………………………………………………...จ กตตกรรมประกาศ………………………………………………………………........ฉ บทท 1 บทนา…………………………………………………………………….........1 2 ความรพนฐาน……………………………………………………………........3 2.1 บทนยามของเซตอนดบและทฤษฎบททเกยวของ ……………………........3 2.2 บทนยามของกงกรป…………………………………………………..........8 3 ความเปนปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบ ของเฟนซ………………………………………………………………...........10 รายการอางอง…………………………………………………………………….........24 ประวตผวจย…………………………………………………………………………...25

สำนกหอ


1

บทท 1

บทนา

ให X เปนเซตใดๆ และ T X เปนกงกรปของฟงกชนจาก X ไปยง X สาหรบการศกษาวชาพชคณตเอกภพ กงกรป T X เปนพชคณตทไดรบความนยมในการศกษาเปนอยางมาก นอกจากนยงมพชคณตอนๆ ทนาสนใจ ตวอยางเชน ปรภมเวกเตอร ปรภมทอพอโลย พชคณตเอกภาค เซตอนดบ กราฟ เปนตน

เราเรยกฟงกชน : X X วาอนตรสณฐานของ X ถา ยนยงการเปนโครงสรางของ X ตวอยางเชน ทกๆอนตรสณฐานของ X เปนฟงกชนตอเนอง ถา X เปนปรภมทอพอโลย ถา X เปนเซตอนดบแลวอนตรสณฐานของ X เปนฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงมนตวเอง นนคอ ถา x y แลว x y โดยท คอความสมพนธนอยกวาหรอเทากบปกต

สาหรบแตละเซตอนดบ X เราให OT X แทนกงกรปทเปนฟงกชนยนยงอนดบจาก X ไปยง X ทงหมด

กงกรปของอนตรสณฐานของ X ทงหมด ถกศกษากนอยางกวางขวาง

ใน [3] กลสกน (Gluskin) ไดพสจนวา ถา OT X และOT Y สมสณฐานกน แลวเซตอนดบ X และ Y สมสณฐานกนหรอปฎสณฐานกน

ใน [4] ฮกกน (Higgins) มเชล (Mitchell) และรสกส (Ruskuc) ไดพบวาแรงคของกงกรป T X มความสมพนธกบกงกรป OT X สาหรบบางโซ ;X X

ดวยเหตผลเหลาน แสดงใหเหนวาอนตรสณฐานของกงกรปสามารถใชกาหนดโครงสรางของพชคณตเรมตนได เพราะฉะนนกงกรปของอนตรสณฐานจงมความสาคญในการศกษาโครงสรางทางพชคณต

สำนกหอ


2

ในทฤษฎกงกรป แนวคดของความปรกตเปนหวขอทมการศกษาอยางแพรหลายและมผลงานวจยจานวนมากทศกษาความปรกตของกงกรป โดยเฉพาะอยางยงกงกรปของอตสณฐานของโครงสรางทางพชคณต สมาชกปรกตของกงกรปชนดหนง ซงเราจะศกษาในวทยานพนธน คอสมาชกปรกตบรบรณ เราเรยกสมาชก a ในกงกรป S วาสมาชกปรกตบรบรณ ถามสมาชก b S ททาให aba a bab และเรยก S วากงกรปปรกตบรบรณ ถาทกๆสมาชกของ S เปนสมาชกปรกตบรบรณ

กงกรปปรกตบรบรณถกแนะนาครงแรกโดยไบเจฟ (Bijev) และทอดอรอฟ (Todorov) [1] ในป 1980 พวกเขาพสจนวากงกรป S เปนกงกรปปรกตบรบรณกตอเมอ 3a a สาหรบทก a S ซงเหนไดชดวาสมาชก a ทอยในกงกรป S เปนสมาชกปรกตบรบรณกตอเมอ 3a a เฟนซ F เปนเซตอนดบ ;F ซงอนดบของ F สอดคลองเงอนไข

1 2 3 2 1 2 2 1< > ,..., ,m m ma a a a a a

หรอ

1 2 3 2 1 2 2 1> < ,..., ,m m ma a a a a a

สาหรบ 1,2,3,m และไมมความสมพนธอนนอกจากน โดยท 1 2 3, , ,F a a a สมบตพชคณตของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองของเฟนซมการศกษามาอยางยาวนาน ใน [2] เดมโทวค (Demetrovics) และรอนโยว (Ronyai) ไดศกษาโคลนของฟงกชนยนยงอนดบสาหรบเฟนซทงหมด ใน [5] รสเคาสก (Rutkowski) ใหหลกเกณฑสาหรบการนบจานวนของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองของเฟนซ F

ในวทยานพนธฉบบน จดประสงคหลกของเราคอการจาแนกความปรกตบรบรณของกงกรปของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองของเฟนซ F ในบทท 2 เราไดรวบรวมบทนยามและความรพนฐานซงใชในการศกษาวทยานพนธฉบบน

ในบทท 3 เราใหเงอนไขจาเปนและเพยงพอสาหรบการเปนกงกรปปรกตบรบรณของ OT F

นอกจากน ยงแสดงการจาแนกสมาชกปรกตบรบรณใน OT F อกดวย

สำนกหอ


3

บทท 2 ความรพนฐาน

ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามและความรพนฐานซงใชในวทยานพนธฉบบน

2.1 บทนยามของเซตอนดบและทฤษฎบททเกยวของ ในหวขอน เราจะกลาวถงบทนยามพนฐานของเซตอนดบและทฤษฎบททเกยวของ สาหรบวทยานพนธฉบบน เราใชสญลกษณ ran แทนเรนจของฟงกชน

บทนยาม 2.1.1 ให P เปนเซตทไมใชเซตวาง และ เปนความสมพนธทวภาค (binary relations) บน P นนคอ P P เรากลาววาความสมพนธ เปนอนดบ (order) บนเซต P ถาความสมพนธ สอดคลองสมบต 3 ขอตอไปน

1. สมบตสะทอน (reflexive) กลาวคอ x x สาหรบทกๆ x P 2. สมบตปฏสมมาตร (anti-symmetric) กลาวคอสาหรบแตละ ,x y P ถา x y และ

y x แลว x y 3. สมบตถายทอด (transitive) กลาวคอสาหรบแตละ , ,x y z P ถา x y และ y z

แลว x z เราเรยกคอนดบ ;P วาเซตอนดบ (ordered set) และถา P เปนเซตจากด จะเรยก ;P

วาเปนเซตอนดบจากด (finite ordered set) โดยจะเขยนแทน ,x y ดวยสญลกษณ x y

ตวอยาง 2.1.2 (1) พจารณาเซต ของจานวนจรงทงหมดและ คอความสมพนธนอยกวาหรอเทากบปกตของจานวนจรง เปนททราบแลววา เปนความสมพนธทสอดคลองสมบตสะทอน ปฏสมมาตร และถายทอด ดงนน ;; เปนเซตอนดบ

สำนกหอ


4

(2) พจารณาเซตอนดบ ;; ใดๆ และ คอความสมพนธนอยกวาปกตของจานวนจรง จะเหนวา <x x สาหรบทกๆ x เพราะฉะนน ไมมสมบตสะทอน จงไดวา ;; ไมเปนเซตอนดบ

แตละเซตอนดบสามารถแทนไดดวยแผนภาพ (diagrams) ซงการเขยนแผนภาพเราตองอาศยแนวคดจากบทนยามทจะกลาวดงตอไปน

บทนยาม 2.1.3 ให ;P เปนเซตอนดบและ ,x y P เรากลาววา x ถกปกคลมโดย y ( x covered by y ) เขยนแทนดวย x yy หรอ y xx ถา x y และไมมสมาชก z P ซง x z

y นนคอ ถา x z y แลว x z หรอ z y ให ;P เปนเซตอนดบ เราสามารถแทนแตละสมาชกของ P ดวยวงกลมเลก "o" และถามสมาชกของ P ถกปกคลมโดยอกหนงสมาชกของ P เราจะเชอมวงกลมของคสมาชกนนดวยเสนตรง นนคอ สาหรบแตละ ,x y P ซง x yy เราจะวาดเสนตรงเชอมวงกลม x ไปยงวงกลม y ในทศทางจากลางขนบน ภาพทไดจากกระบวนการดงกลาวของเซตอนดบ ;P ถกเรยกวาแผนภาพ (diagrams) ของเซตอนดบ

ตวอยาง 2.1.4 (1) พจารณาเซตอนดบ ;; เมอ คอความสมพนธนอยกวาหรอเทากบปกตของจานวนจรง แผนภาพของเซตอนดบนแสดงดงรปท 1

รปท 1

(2) พจารณาเซต , , ,P a b c d กบความสมพนธ , , , , , , , , ,a a b b c c a c a d , , ,b c b d เราสามารถสรางแผนภาพของเซตอนดบ ;P ไดดงรปท 2

3

2

1

สำนกหอ


5

c

a

d

b

หรอ

รปท 2

ขอสงเกต 2.1.5 แตละเซตอนดบอาจสรางแผนภาพไดมากกวาหนงแผนภาพ

บทนยาม 2.1.6 ให ;P เปนเซตอนดบและ ,x y P เรากลาววา x และ y สามารถเปรยบเทยบกนได (comparable) กตอเมอ ,x y หรอ y x ถา x y หรอ y x เปนเทจทงค เรากลาววา x และ y เปรยบเทยบกนไมได (non-comparable) โดยจะเขยนแทนดวยสญลกษณ x yy

ตวอยาง 2.1.7 (1) พจารณาเซตอนดบ ;; จะไดวาทกสมาชกใน สามารถเปรยบเทยบกนได ทงนเปนเพราะวา มสมบตไตรวภาค

(2) พจารณาเซตอนดบ ;; พบวาแตละคสมาชก ,a b ใน ซง a b ไมสามารถเปรยบเทยบกนได นนคอ a bb ตวอยางเชน ถา 1a และ 2b แลวจาก 1 2 และ 2 1 จะไดวา a bb

ตอไปจะกลาวถงการสงระหวางเซตอนดบ เพอใชในการตรวจสอบความสมพนธระหวางเซตอนดบ

บทนยาม 2.1.8 ให ; PP P และ ; QQ Q เปนเซตอนดบ และ เปนฟงกชนจาก P ไปยง Q เรากลาววา เปนฟงกชนยนยงอนดบ (order-preserving) จาก P ไปยง Q ถาสาหรบแตละ ,x y P ถา Px y แลว Qx y

ตวอยาง 2.1.9 (1) ให n และ : นยามโดย x nx สาหรบทกๆ x ตอไปจะแสดงวา เปนฟงกชนยนยงอนดบจากเซตอนดบ ;; ไปยงตวเอง เมอ คอความสมพนธนอยกวาหรอเทากบปกตของจานวนนบ สมมตให ,x y โดยท x y เนองจาก x y และ 0n จงไดวา nx ny โดยบทนยามของ จะไดวา x y ดงนน เปนฟงกชนยนยงอนดบ

c

a

db

สำนกหอ


6

(2) พจารณาเซตอนดบ ;P N และฟงกชน :f P N P N ทนยามโดย

1 ;

2 ;

;

f U

พจารณา 2,3A และ 1,2,3B เราทราบวา A B แต 2 1f A f B ดงนน f ไมเปนฟงกชนยนยงอนดบ

ทฤษฎบท 2.1.10 ให ; , ;P QP P Q Q และ ; RR R เปนเซตอนดบ และ : P Q และ :Q R เปนฟงกชนยนยงอนดบ แลว : P R: P R เปนฟงกชนยนยง

อนดบจากเซตอนดบ P ไปยง R ตอไปเราจะกลาวถงสมาชกลกษณะพเศษทนาสนใจของเซตอนดบ

บทนยาม 2.1.11 ให ;P เปนเซตอนดบ และ a P เรากลาววา (1) a เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลม (minimal element) ของ P ถาไมมสมาชกตวใดของ P ซงนอยกวา a นนคอ ถา x a แลว x a (2) a เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลม (maximal element) ของ P ถาไมมสมาชกตวใดของ P ซงมากกวา a นนคอ ถา a x แลว x a

ตวอยาง 2.1.12 พจารณาเซตอนดบ ;P ซงมแผนภาพแสดงดงรปท 3

รปท 3

ถา

ถา

แต

กรณอนๆ

c

a

d

b

ef

สำนกหอ


7

เหนไดชดวา ,a b เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมของ Q และม ,e f เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลมของ Q

ขอสงเกต 2.1.13 สมาชกใหญสดเฉพาะกลมและสมาชกเลกสดเฉพาะกลมไมจาเปนตองมเพยงตวเดยว

ลาดบตอไป เราจะใหบทนยามเซตอนดบทเรยกวาเปนเฟนซ

บทนยาม 2.1.14 ให ;P P เปนเซตอนดบ เรากลาววา P เปนเฟนซ (fence) ถาอนดบ มรปแบบความสมพนธสลบขนลง นนคอ

1 2 3< > < ...a a a หรอ 1 2 3> < > ...a a a เมอ 1 2 3, , ...P a a a

เราเรยกวา P วาเฟนซขน (up fence) ถา 1 2<a a และเรยก P วาเฟนซลง (down fence) ถา 1 2>a a โดยทวไป เรามกจะใชสญลกษณแทนเซตอนดบทเปนเฟนซดวย ;F F

ตวอยาง 2.1.15 (1) พจารณาเซต 1 2 3 4, , ,F a a a a ทมสมาชก 4 ตวและอนดบ 1 2 3 2 3 41, 2,3, 4= , | , , , , ,i ia a i a a a a a a

แผนภาพของเซตอนดบ ;F แสดงดงรปท 4

รปท 4

เนองจาก 1 2,a a ดงนน 1 2<a a เราจงไดวา ;F คอเฟนซลง

ตอไปพจารณาเซต 1 2 3 4= , , ,G b b b b ทมสมาชก 4 ตวและอนดบ 2 1 2 3 4 3= , | 1,2,3,4 , , , , ,i ib b i b b b b b b

แผนภาพของเซตอนดบ ;G แสดงดงรปท 5

1a

2a

3a

4a

สำนกหอ


8

รปท 5

เนองจาก 2 1,b b ดงนน 1 2>b b เราจงไดวา ;G คอเฟนซขน

ขอสงเกต 2.1.16 แตละสมาชก a ในเฟนซ F จะเปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลมหรอสมาชกเลกสดเฉพาะกลมเทานน

บทนยาม 2.1.17 ให ;P P เปนเซตอนดบ เรากลาววา P เปนเซตอนดบแบบตอเนอง(connected ordered set) ถาแตละคสมาชก a และ b ใน P จะม 1 n,…,a a P ซง

1 2 3 n= ... =a a a a a b หรอ 1 2 3 n= ... =a a a a a b

บทนยาม 2.1.18 ให P เปนเซตอนดบแบบตอเนอง และ ,a b P พจารณาเซต 1 1 2 1 2, = ,..., | = ... = = ... =a b n n nC a a P a a a a b a a a a b

เรากลาววา d เปนระยะทาง (distance) จาก a ไป b บน P ถา ,min 1| a bd F F C ซงแทนดวยสญลกษณ ,d a b

บทนยาม 2.1.19 ให ;F F เปนเฟนซ และ S F เรากลาววาเซตอนดบ ; SS S เมอ 2

S F 2F เปนเฟนซยอย (subfence) ของ F ถา S เปนเฟนซ

2.2 บทนยามของกงกรป

ในหวขอน เราจะกลาวถงบทนยามและทฤษฎบทพนฐานตางๆ ของกงกรป

บทนยาม 2.2.1 กงกรป (semigroup) ;S S คอโครงสรางทประกอบดวยเซต S และตวดาเนนการทวภาค บนเซต S ทสอดคลองสมบตการเปลยนกลม นนคอ • • = • •a b c a b c สาหรบทกๆ , ,a b c S

1b

2b

3b

4b

สำนกหอ


9

ตวอยาง 2.2.2 (1) พจารณา ซงคอเซตของจานวนจรงกบการดาเนนการ + ซงคอการบวกปกต เราทราบวา + มสมบตการเปลยนกลม ดงนน ;; เปนกงกรป

(2) พจารณา ;; เมอ max , 2a b a b สาหรบทกๆ ,a b เลอก 3, 4, 5a b c จะไดวา 3 4 5 = 6 5 = 8 9 = 3 7 = 3 4 5 ดงนน ไมมสมบตการเปลยนกลม นนคอ

;; ไมเปนกงกรป

ตอไปเราจะใหบทนยามของสมาชกปรกตของกงกรป

บทนยาม 2.2.3 ให ;S เปนกงกรป เรากลาววาสมาชก a ในเซต S เปนสมาชกปรกต (regular element) ถามสมาชก x S ททาให a axa และเรยก a วาสมาชกปรกตบรบรณ (completely regular element หรอ coregular element) ถาม x S ททาให a axa xax เราจะเรยกกงกรป ;S วากงกรปปรกตบรบรณ (completely regular semigroup) ถาสมาชกทกตวของ S เปนสมาชกปรกตบรบรณ เหนไดชดวาสมาชกปรกตบรบรณจะเปนสมาชกปรกตเสมอ แตสมาชกปรกตไมจาเปนตองเปนสมาชกปรกตบรบรณ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.2.4 (1) พจารณาเฟนซ ;F F โดยท 1F และ :OT F F F โจะไดวา a a สาหรบ a F ดงนน 3 a a a เพราะฉะนน เปนสมาชกปรกตบรบรณ ดงนน OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ

(2) พจารณากงกรป ;; เมอ คอการคณปกตของจานวนจรง เลอก 2 จะไดวา 2 ไมเปนสมาชกปรกตบรบรณ สมมตวา 2 เปนสมาชปรกตบรบรณ จะไดวาม x โดยท 2 x 2 = 2 และ 2x x x เกดขอขดแยงเพราะวา 2 2 2x เสมอ ดงนน 2 ไมเปนสมาชกปรกตบรบรณ

ในป 1980 ไบเจฟและทอดอรอฟ [1] ไดใหเงอนไขในการตรวจสอบการเปนสมาชกปรกตบรบรณของกงกรป ดงแสดงในทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 2.2.5 [1] ให ;S S เปนกงกรป และ a S จะไดวา a เปนสมาชกปรกตบรบรณกตอเมอ

3a a

สำนกหอ


10

บทท 3 ความปรกตบรบรณสาหรบกงกรปของการแปลงทยนยงอนดบของเฟนซ

เปนททราบกนแลววา สาหรบเซตอนดบ X ฟงกชนเอกลกษณ xid และฟงกชนคาคงท aC ซงสงสมาชกทงหมดใน X ไปยง a เปนฟงกชนยนยงอนดบ เพราะวา

3x xid x x id x และ 3

a aC x a C x สาหรบทก x X เราจงไดวา xid และ aC เปนสมาชกปรกตบรบรณใน OT X พจารณาเฟนซ ;F ซงม 4 สมาชก ดงแสดงในรปท 1

รปท 1 พจารณาฟงกชน : F F นยามโดย a b d b และ c a เหนชดเจนวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ ดงนน OT F โดยบทนยามของ

3c c a b b a c ดงนน ไมเปนปรกตบรบรณและเพราะฉะนน OT F ไมเปนกงกรปปรกตบรบรณ ถาเฟนซ F มสมาชกเพยงตวเดยวแลว OT F เปนเซตของฟงกชนคาคงท ดงนน OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ ดวยเหตน เราจงสนใจศกษาความปรกตบรบรณของ OT F เมอ F เปนเฟนซจากด

3.1 สมาชกปกตบรบรณใน OT F และสมบตบางประการ ตอไปน เราจะตรวจสอบสมบตของสมาชกปรกตบรบรณใน OT F

b

a

d

c

สำนกหอ


11

สาหรบเซตอนดบยอย S ของเฟนซ F เราให : ; SS S โดยท 2:S S 2S ตอไปจะแสดงวาทกๆ ฟงกชนยนยงอนดบ ใน OT F ยนยงการเปนเฟนซยอยของ F

ทฤษฎบท 3.1.1 ให OT F และ S เปนเฟนซยอยจากดของ F แลว S เปนเฟนซยอยของเฟนซ F บทพสจน ให ;F F เปนเฟนซ ซง 0F เมอ |iF a i I

ให OT F และ S เปนเฟนซยอยของ F สมมตวา S ไมเปนเฟนซยอยของ F จะไดวา S ไมตอเนองกน ดงนนจะม ,m n

โดยท m n และ ,m na a S แต 1 ( 1), ,m m ka a S( 1)((a ( 1)((((( เมอ n m k สาหรบบาง k เนองจาก ,m na a S จะม ,u va a F และ u va a โดยท u ma a และ va

na สมมตวา u v จะม l โดยท v u l ตอไปจะแสดงวา “สาหรบทก w โดยท 1w ถา u wa F แลว 1, ,u w m ma a a

, m wa, m wam ” เนองจาก ua และ 1ua เปรยบเทยบกนได จงไดวา u ma a และ 1ua สามารถ

เปรยบเทยบกนได แต 1ma S ดงนน 1 1,u m ma a a ให k โดยท 1k และสมมตวา “ถา u ka F แลว 1, , ,u k m m m ka a a am ka, m, m, ”

เปนจรง สมมตวา ( 1)u ka F เพราะวา 1u ka ไมใชจดเรมตนของ F จงไดวา u ka F โดย

สมมตฐานจะไดวา 1, , ,u k m m m ka a a am ka, m, m, ดงนนจะม 0,1, 2,...,t k ซง u k m ta a เพราะวา u ka และ 1u ka เปรยบเทยบกนได ดงนน u ka และ 1u ka จงสามารถเปรยบเทยบกนได นนคอ m ta และ 1u ka สามารถเปรยบเทยบกนได ทาใหไดวา ( 1)u ka

( 1) ( 1) 1 ( 1), , , , , ,m t m t m t m m m k m ka a a a a a aa a ดงนนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร เราพสจนไดวา “ถา u wa F แลว 1, , ,u w m m m wa a a am wa, m,a, m, ” เปนจรง เนองจาก n va a

u la ดงนน 1, , ,n m m m la a a am l,am, m, จงเกดขอขดแยง เพราะวา n m

สำนกหอ


12

โดยทฤษฎบท 3.1.1 จะไดวา ran F เปนเฟนซยอยของ F ถา เปนฟงกชนยนยงอนดบ

เรากลาวมาแลววา กงกรป OT F ของฟงกชนยนยงอนดบของเฟนซ F ไมจาเปนตองเปนกงกรปปรกตบรบรณ ดงนนทฤษฎบทตอไปนจะแสดงการจาแนกเฟนซ F ซงทาใหกงกรป OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ

ทฤษฎบท 3.1.2 ให ;F F เปนเฟนซจากด แลว OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ กตอเมอ 2F

บทพสจน สมมตวา OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ เราให a และ b เปนจดเรมตนและจดสนสดของ F ตามลาดบ

สมมตวา 2F ดงนนจะม u v และ w F โดยท u v w หรอ u v w โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา u v w จะไดวา , , , , 1,d a u d a w d a v

, 1d a v

ให : F F เปนฟงกชนทนยามโดย 1

1

; , < ,=

; , ,v d a x d a v

xw d a x d a v

ตอไปจะแสดงวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ ให ,x y F โดยท x y เหนไดชดวา x y ถา x y สมมตวา x y จะไดวา x เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลมและ , , 1d a y d a x

หรอ , , 1d a y d a x อยางใดอยางหนง นนคอ ,d y v w ถา , , 1d a x d a v แลว x v เพราะวา ,d y v w จงไดวา x y ถา , , 1d a x d a v แลว x w และ , 1 , 1d a x d a v เนองจาก x เปน

สมาชกคานอยสดเฉพาะกลม จะไดวา , , 1d a x d a v เพราะไมเชนนน x เปนสมาชกคามากสด เฉพาะก ลม ดงนน , , 1d a x d a v ซ งทา ให , 1 , 1d a x d a v เพราะว า

, , 1d a y d a x หรอ , , 1d a y d a x อยางใดอยางหนง ดงนน , ,d a y d a v 1 จงไดวา y w ดงนน x y ทาใหไดวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ

สำนกหอ


13

เนองจาก , , 1d a u d a v จงไดวา 3u u w w w u

ดงนน ไมเปนสมาชกปรกตบรบรณ จงเกดขอขดแยง เพราะวา OT F เปนกงกรปปกตบรบรณ เพราะฉะนน 2F ในทางตรงกนขาม สมมตวา 2F ถา 1F แลว OT F เปนเซตของฟงกชนคาคงท ดงนน OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ

สมมตวา ,F a b โดยท a b ให OT F จะไดวา 1ran หรอ 2ran ถา 1ran แลว เปนฟงกชนคาคงท ดงนน เปนปรกตบรบรณ ตอไปสมมตวา 2ran นนคอ ,ran a b ถา a b แลว b a เนองจาก

a b และ เปนฟงกชนยนยงอนดบ จะไดวา b a b a จงเกดขอขดแยง ดงนน a a และ b b นนคอ Fid เพราะฉะนน เปนปรกตบรบรณ

จากการพสจนขางตน เราไดวา OT F เปนกงกรปปรกตบรบรณ

สาหรบเฟนซ F ใดๆ เราเขยนแทนเซตของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองของเฟนซ F ซงเปนฟงกชนปรกตบรบรณทงหมด ดวยสญลกษณ COT F ทฤษฎบทตอไปนใหสมบตสาคญของ OT F ซงเปนสมาชกปรกตบรบรณเพอนาไปใชในการพสจนทฤษฎบทตอๆ ไป

ทฤษฎบท 3.1.3 ให COT F จะไดวา สอดคลองขอความตอไปน 1. ถา ,a b ran โดยท a b แลว b a 2. |ran เปนฟงกชนแบบหนงตอหนง และ 2 |ran ranid 3. ถา ,a b ran โดยท a b แลว a b 4. ถา ,a b ran โดยท a b และ a เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมแลว b เปน

สมาชกเลกสดเฉพาะกลม 5. ถา ,c d ran โดยท c d และ c เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลมแลว d เปน

สมาชกใหญสดเฉพาะกลม บทพสจน ให OT F

สำนกหอ


14

1. ให a ran โดยท a b สมมตวา b a จะไดวา a b เพราะไมเชนนน b a เนองจาก a ran จะม

x F ซง x a และ x a ทาใหไดวา 3x x a b a x

ดงนน ไมเปนปรกตบรบรณ จงเกดขอขดแยง 2. ให ,a b ran โดยท a b สมมตวา a b แลวจะม ,c d D ซง c d โดยท c a และ d b จากขอ 1 จะไดวา a c และ b d ตามลาดบ ดงนน c d จงเกดขอขดแยง โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา c a เนองจาก a ran จะไดวาม \x F a ซง

x a ดงนน 3x x a c a x ทาใหไดวา ไมเปนปรกตบรบรณ จงเกดขอขดแยง เพราะฉะนน |ran เปนฟงกชนแบบหนงตอหนง

ตอไปจะแสดงวา 2 |ran ranid โดยสมมตวา 2 |ran ranid จะไดวาม a ran โดย

ท 2 a a a เพราะวา a ran จะไดวาม \x F a ซง x a ดงนน 3x x a a x

ทาใหไดวา ไมเปนปรกตบรบรณ จงเกดขอขดแยง 3. ให ,a b ran โดยท a b เนองจาก เปนฟงกชนยนยงอนดบ และ a b จงได

วา a b เพราะวา |ran เ ปนฟงกชนแบบหนงตอหนง และ a b เพราะฉะนน a b ทาใหไดวา a b

4. ให ,a b ran โดยท a b และ a เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลม ถา 1ran แลว a b ดงนน b เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลม สมมตวา 1ran และ a เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลม สมมตวา b เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลม จะม ,a c ran ซง a c โดยขอ 2 จะไดวา

a b แต a b ดงนน b ไมเปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลม จงเกดขอขดแยง 5. พสจนไดในทานองเดยวกนกบขอ 4

เราทราบวาเรนจของฟงกชนยนยงอนดบทสงไปยงตวมนเองของเฟนซ F ซงเปนปรกตบรบรณจะเปนเฟนซยอยของ F เสมอ เราจงเกดคาถามวา “เมอใดทเฟนซยอยของ F จะเปนเรนจของฟงกชนดงกลาว” ในลาดบตอไปน เราจะตอบคาถามน

สำนกหอ


15

ตวอยาง 3.1.4 พจารณาเฟนซยอย S ของเฟนซ ;F F โดยท 1 2a ,a ,…,anS ให : F F เปนฟงกชนทนยามโดย

1 1 ; , ,= ;

a ; , > ,n n

a d a x d a ax x x S

d a x d a a

โดยท a เปนจดเรมตนของ F เหนไดชดวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ และ ran S ตอไปจะแสดงวา เปนปรกตบรบรณ ให x F ถา 1, < ,d a x d a a แลว 1x a เพราะวา 1 1a a ดงนน 3

1=x a

x ในทานองเดยวกน 3 = nx a x ถา 1, ,d a x d a a ถา x S แลว x x ซงทาให 3 =x x x ดงนน เปนปรกตบรบรณ

ตวอยาง 3.1.4 ใหทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.1.5 ให S เปนเฟนซยอยจากดของเฟนซ ;F F แลวจะม OT F ซงเปนฟงกชนปรกตบรบรณ และ ran S

พจารณาเฟนซยอย S ของ F ซง S เปนจานวนค ในทฤษฎบทตอไป จะแสดงใหเหนวา S สามารถเปนเรนจของฟงกชน OT F ทเปนสมาชกปรกตบรบรณและ |S ไมใชฟงกชนเอกลกษณได

ทฤษฎบท 3.1.6 ให n เปนจานวนค โดยท > 1n และให S เปนเฟนซยอยของเฟนซ ;F F โดยท nS สมมตวา 1 2, , nS a a a, na, และ a เปนจดเรมตนของ F ให : F F เปนฟงกชนทนยามโดย

1

( 1)

1

, , x < ,α = , =

, , x > ,

n

n k k

n

a d a d a ax a x a

a d a d a a

สำนกหอ


16

แลว OT F ซงเปนฟงกชนปรกตบรบรณ และ ran S นนคอจะม COT F ซง ran S และ |S Sid

บทพสจน เนองจาก n เปนจานวนค ดงนน 1a และ na ตางเปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลมหรอสมาชกคานอยสดเฉพาะกลมอยางใดอยางหนง สมมตวา 1 2 3 4 1n na a a a a an 111aa 1 จะไดวา ma เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม กตอเมอ m เปนจานวนค สงเกตวา x S กตอเมอ 1, x < ,d a d a a หรอ , >d a x

, nd a a จะแสดงวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ ให ,x y F โดยท x y ถา x y แลวโดยบทนยามของฟงกชน จะไดวา

=x y สมมตวา x y จะไดวา x เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม และ , =d a y d

1,a x หรอ 1, = ,d a y d a x อยางใดอยางหนง เนองจาก 1a เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม ดงนน 1 2,d x a ตอไปจะแสดงวา ถา x S จะไดวา y S สมมตวา y S จาก x y ซงทาให y เปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลม ดงนน

1, ny a a จะไดวาม 2, 4,6, , 1nk , 1, ซง ky a เนองจากม 1ka และ 1ka เทานนทสามารถ เป ร ยบ เ ท ยบ ky a จ ง ไดว า 1 1,k kx a a เ พร าะว า 2 1k n จ ง ไดว า 1 1, 1k k n ซงทาให 1 1,k ka a S เนองจาก S เปนเฟนซยอยของ F จงไดวา x S ซงทาใหเกดขอขดแยง ดงนน y S เราพจารณา x และ y ออกเปน 3 กรณ ดงตอไปน กรณ 1 x S จะไดวา y S ถา 1, < ,d a x d a a แลว 1, 1< ,d a x d a a เพราะวา 1 2,d x a จงไดวา

11, < ,d a x d a a เนองจาก , , 1d a y d a x หรอ , , 1d a y d a x จะไดวา 1, ,d a y d a a โดยบทนยามของฟงกชน จะไดวา = =nx a y ในทานองเดยวกน

เราพสจนไดวา 1= =x a y ถา , , nd a x d a a ดงนน x y กรณ 2 x S และ y S จะไดวา 1, nx a a ถา 1x a แลว 1 (1 1)= n nx a a a และเพราะวา y S จงไดวา

สำนกหอ


17

1, < , 1 , ,d a y d a x d a x d a a ซงทาให = =ny a x ในทานองเดยวกน เราพสจนไดวา 1= =y a x ถา nx a ดงนน x y กรณ 3 x S และ y S จะไดวาม 1, 2,3 ,k n,n, ซง kx a เพราะวา x y และ

1= ky a หรอ 1= ky a อยางใดอยางหนง โดยบทนยามของฟงกชน จะไดวา ( 1)= k n kx a a และ 1 ( 2)= k n ky a a หรอ 1= k n ky a a

อยางใดอยางหนง เพราะวา kx a เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม ดงนน k เปนจานวนค จาก n เปนจานวนค จงไดวา 1n k เปนจานวนค ดงนน ( 1)n ka เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม ซงทาให ( 1) 1n k n ka a และ ( 1) 1 ( 2)n k n ka a เปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลม เพราะฉะนน

( 1) ( 2)n k n k n ka a a เราจงไดวา x y จากการพสจนขางตน เราไดวา เปนฟงกชนยนยงอนดบ ตอไปจะแสดงวา เปนปรกตบรบรณ ให x F ถา 1, < ,d a x d a a แลว = nx a ซงทาให

31n nx x a a a x

สมมตวา 1, ,d a x d a a ถ า , , na x d a a แลว x S และ จะ ม 1, 2,3 ,k n,n, ซ ง kx a ดงนน

( 1)= k n kx a a ทาใหไดวา 3

( 1) ( 1)n k k n kx x a a a x ถา , d , nd a x a a แลว 1=x a ซงทาให

31 1nx x a a a x

เพราะฉะนน เปนปรกตบรบรณ

3.2 การจาแนกสมาชกปรกตบรบรณใน OT F

ในหวขอน จดมงหมายของเราคอการอธบายถงสมาชกปรกตบรบรณใน OT F เราเรมตนหวขอนโดยการพสจนบทแทรกตอไปน

สำนกหอ


18

บทแทรก 3.2.1 ให S เปนเฟนซยอยของเฟนซจากด ;F F และ COT F โดยท ran S สมมตวา 2 31= , , , , nS a a a a, na, n และ k la a โดยท ka และ la เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมหรอสมาชกมากสดเฉพาะกลมทงค ให w แลว สอดคลองตามเงอนไขตอไปน 1. สมมตวา 1 1k la a ถา k w Sa แลว k w l wa a w 2. สมมตวา 1 1k la a ถา k w Sa แลว k w l wa a

บทพสจน ให S เปนเฟนซยอยของเฟนซจากด ;F F และ COT F โดยท ran S

สมมตวา 2 31= , , , , nS a a a a, na, n และ k la a และให w 1. สมมตวา 1 1k la a และ k w Sa จะแสดงวา k w l wa a โดยใชการพสจน

แบบหลกอปนยเชงคณตศาสตรอยางเขม ถา 1w แลว 1k w k Sa a และ 1 1=k w k l l wa a a a

ตอไปให m โดยท m w และสมมตขอความ “ถา k ma S แลว k m l ma a ”

เปนจรง เพราะวา k wa S ดงนน 1 k w เนองจาก m w จงไดวา 2 w ซงทาให 1, 2w w

ดงนน 1 ( 1), ( 2)k w k w n ทาใหไดวา 1 2,k w k wa a S โดยสมมตฐานจะไดวา

1 1k w l wa a และ 2 2k w l wa a

เนองจาก 2 1 k wk w k wa a a หรอ 2 1 k wk w k wa a a อยางใดอยางหนง จะไดวา

2 1 k wk w k wa a a หรอ 2 1 k wk w k wa a a อยางใดอยางหนง ซงทาให k w l wa a เพราะวา 1 1k la a และ k la a จงไดวา

1 1k la a ดงนนโดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตรอยางเขม เราพสจนไดวา k m l ma a เปนจรง ในทานองเดยวกน เราพสจนไดวา ถา k wa S แลว k w l wa a

2. พสจนไดทานองเดยวกนกบขอ 1

ตอไปเราจะพสจนทฤษฎบท ซงจะเปนเครองมอหลกสาหรบการอธบายการเปนปรกตบรบรณของ ใน OT F ทฤษฎบท 3.2.2 ให S เปนเฟนซยอยของเฟนซ ;F F และ COT F โดยท ran S และ |S Sid ถา x S โดยท x y แลว , = ,d a x d y b โดยท a และ b เปนจดเรมตนและจดสนสด ตามลาดบ

สำนกหอ


19

บทพสจน ให S เปนเฟนซยอยของเฟนซ ;F F และ COT F โดยท ran S และ |S Sid

สมมตวา 2 31= = , , , , nS a a a a a b, na b, n โดยท 2 31= > na a a a a bna bn ให x ran โดยท x y และสมมตวา 1, , nk ld a a d a a ซง ka x และ

la y โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา 1, < , nk ld a a d a a จะไดวา 1k n l เรมตน เราพจารณากรณท k l จะไดวาม ,k la a ran โดยท = kx a และ = ly a ดงนน

, 0k ld a a ตอไป สมมตวา k l เพราะวา 1, ,nl kn l d a a d a a 0 จงไดวา 1n l นน

คอ 1l n เนองจาก 1 k l จงไดวา 2l ดงนน 2 1l n เพราะฉะนน 1 1, 1l l n ซงทาให 1 1,l la a S

ถา 1=ka a แลว 1ka S และ 1ka S เนองจาก 1 1l l la a a หรอ 1 1> <l l la a a จงไดวา 1 1 1l k la a a ทงนเปนเพราะวา เปนฟงกชนยนยงอนดบและ l ka a ดงนน |S ไมเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง จงเกดขอขดแยง เราจงไดวา 1k เพราะฉะนน

1 1,k ka a S ซงทาใหไดวา 1 1 1 1, ,l l k ka a a a กรณ 1 1 1l ka a โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 1 จะไดวา 1 1k la a แตจาก

11 =k ka a S และ 22 =k ka a S ดงนน 1 1 1k k l ka a a และ 2 2 2k k l ka a a

โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 1 จะไดวา 11l ka a และ 22l ka a ตามลาดบ เพราะวา 1k n l จงไดวา 1l k l n l n ซงทาให l k n ดงนน l ka S เนองจาก 1a เปน

สมาชกเลกสดเฉพาะกลมและโดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 4 จะไดวา 1l ka เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลม เพราะวา 1 l kl ka a ดงนน 1 1= l kl ka a a ซงทาให 2 2l k l ka a a ดงนน |S ไมเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง จงเกดขอขดแยง

กรณ 2 1 1=l ka a จะไดวา 1 1=l ka a ตอไปจะพจารณาระยะทางของ ,l nd a a ออกเปน 2 กรณ คอ

สำนกหอ


20

กรณ 2.1 , ,k l l nd a a d a a จะไดวา 1 l k n l ซงทาให 1 l l k l n l n นนคอ 1 l l k Sa a ดงนน = ll l k k l ka a a เนองจาก

=k la a และ k l l ka a ดงนน |S ไมเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง จงเกดขอขดแยง กรณ 2.2 , ,k l l nd a a d a a เนองจาก 1, ,l n kd a a d a a จะไดวา ,k ld a a

1, kd a a นนคอ 1 1l k k เพราะฉะนน 1n l k k ซงทาใหม 1,2,3...,m

l k โดยท ( 1)l k k m และ 1k m l ka a S เนองจาก =k m l ma a และ 11 1=l k k ka a a จะไดวา 1=l ma a จงเกดขอขดแยง เพราะวา 1l m

ตอไปพจารณากรณท k l โดยพจารณา k ออกเปน 3 กรณ ดงตอไปน กรณ 1 1k จะไดวา 1ka S และ 1ka S เนองจาก 1 2 1k ka a a a จะไดวา

1 1 2 1k l k ka a a a a a a ซงทาให 1 2=ka a โดยบทแทรก 3.2.1 ขอ 2 จะไดวา 1 1=w k w l w wa a a a สาหรบทกๆ 1,2,3..., 1w n ดงนน | = S Sid จงเกดขอขดแยง

กรณ 2 k n พสจนในทานองเดยวกบกบกรณ 1 กรณ 3 2 k n จะไดวา 1 1,k ka a S และ 1, 1k k เพราะวา k ka a

จงทาให 1 1 1 1, ,k k k ka a a a กรณ 3.1 1 1=k ka a โดยทฤษฎบทประกอบ 3.1.3 ขอ 1 จะไดวา 1 1=k ka a เนองจาก 1k n l n k จะไดวา ( 1) ( )k k k n k n ซงทาให 1 k

( 2), ( 1),k k k k k n ดงนน 2 1,k k k ka a และ k ka S จากสมมตฐาน จะไดวา 22 2=k k k ka a a และ 11 1=k k k ka a a

ตามลาดบ เพราะวา 1a เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมและโดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 4 จงไดวา 1k ka เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมดวย ดงนน 1 k kk ka a จาก เปนฟงกชนยนยงอนดบ จงไดวา

1 k kk ka a แตจาก 11k ka a เราจงได 2=k ka a เนองจาก 2k ka

k ka ดงนน |S ไมเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง จงเกดขอขดแยง กรณ 3.2 1 1=k ka a จะไดวา 1 1=k ka a ดงนนโดยบทแทรก 3.2.1 ขอ 2 เราไดวา

k u k ua a และ =k w k wa a สาหรบแตละ 1,2,3...,u n k และ 1,2,3..., 1w k เพราะฉะนน | =S Sid จงเกดขอขดแยง จากการพสจนขางตน เราไดวา 1, = ,k l nd a a d a a

สำนกหอ


21

ทฤษฎบทประกอบ 3.2.3 ให S เปนเฟนซยอยของเฟนซจากด ;F F และให COT F โดยท ran S แลว |S Sid กตอเมอ a a โดยท a เปนจดเรมตนของ S

บทพสจน เหนไดชดวา a a ถา |S Sid ในทางตรงกนขาม สมมตวา a a ถา เปนฟงกชนคาคงท จะไดวา S = ran = a ซงทาให |S Sid ตอไปจะสมมตวา ไมเปนฟงกชนคาคงท ให b เปนจดสนสดของ S จะไดวา a b และ , 0d a b ถา |S Sid จะไดวา

, , 0d a b d a a โดยทฤษฎบท 3.2.2 จงเกดขอขดแยง ดงนน |S Sid

สงเกตวา ถาทง x และ y เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมหรอสมาชกใหญสดเฉพาะกลมในเฟนซ F แลวระยะทางของ ,d x y เปนค ในขณะท ถา x เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมแต y เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลมหรอ x เปนสมาชกใหญสดเฉพาะกลมแต y เปนสมาชกเลกสดเฉพาะกลมในเฟนซ F แลว ,d x y เปนค

ตอไปพจารณาฟงกชน ในกงกรป OT F ซงจานวนสมาชกของ ran เปนจานวนค ทฤษฎบท 3.2.4 ใหเงอนไขทจาเปนและเพยงพอสาหรบการเปนสมาชกปรกตบรบรณของ ทสอดคลองสมบตขางตน ทฤษฎบท 3.2.4 ให ;F F เปนเฟนซและ OT F ซง = nran

สาหรบบางจานวนค n สมมตวา 1 2, ,..., nran a a a แลว เปนสมาชกปรกตบรบรณ กตอเมอ =i ia a

สาหรบทกๆ 1,2,3...,i n

บทพสจน ให ;F F เปนเฟนซและ OT F ซง = nran สาหรบบางจานวนค n สมมตวา 1 2, ,..., nran a a a และ เปนปรกตบรบรณ สมมตวา 1,2,3...,i n โดยท =i ja a สาหรบบาง 1,2,3..., \j n i โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะไดวา 1, = ,i j nd a a d a a สมมตวา 1a เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม จาก ran เปนจานวนค ดงนน na เปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลม

สำนกหอ


22

ถา ia เปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลม โดยทฤษฎบทประกอบ 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา ja เปนสมาชกคามากสดเฉพาะกลม ทาใหไดวา 1, id a a และ ,j nd a a เปนจานวนคและคตามลาดบ ดงนน 1, ,i j nd a a d a a จงเกดขอขดแยง ถา ia คอสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม โดยทฤษฎบทประกอบ 3.1.4 ขอ 4 จะไดวา ja เปนสมาชกคานอยสดเฉพาะกลม ทาใหไดวา 1d a ,a i และ ,j nd a a เปนจานวนคและคตามลาดบ เพราะฉะนน 1, ,i j nd a a d a a จงเกดขอขดแยง ในทางตรงกนขาม สมมตวา =i ia a สาหรบทกๆ 1,2,3...,i n ให x F สมมตวา = kx a สาหรบบาง 1,2,3...,k n จะไดวา

3 = = = = =k k kx x a a a x ดงนน เปนปรกตบรบรณ สดทายน เราแสดงการจาแนก ใน OT F ซงเปนฟงกชนปรกตบรบรณทมจานวนสมาชกของเรนจเปนจานวนค ทฤษฎบท 3.2.5 ให ;F F เปนเฟนซและ OT F ซง = nran สาหรบบางจานวนค n สมมตวา 1 2, ,..., nran a a a แลว เปนปรกตบรบรณ กตอเมอ สอดคลองขอความตอไปนขอใดขอหนง

1. =i ia a สาหรบทกๆ 1,2,3...,i n หรอ 2. 1=i n ia a และ 1 = in ia a โดยท 1,2,3...,i n

บทพสจน ให ;F F เปนเฟนซและ OT F ซง = nran สาหรบบางจานวนค n สมมตวา 1 2, ,..., nran a a a และ เปนปรกตบรบรณ จะไดวาม 1,2,3...,i n ซง

i ia a และ =i ja a สาหรบบาง 1,2, , \j n i\ i, \ ตอไปจะแสดงวา 1=i n ia a โดยท 1,2,3...,i n ให 1,2,3...,i n โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะไดวา 1, = ,i j nd a a d a a ซงทาให 1i

n j ดงนน 1j n i เพราะฉะนน 1= =i j n ia a a ในทานองเดยวกน โดยทฤษฎบทประกอบ 3.1.4 ขอ 1 เราไดวา 1 = in ia a

ในทางตรงกนขาม สมมตวา สอดคลองเงอนไข i หรอ ii

สำนกหอ


23

เรมตน พจารณากรณท สอดคลองเงอนไข i นนคอ =i ia a สาหรบทกๆ 1,2,3...,i n ให x F และสมมตวา = kx a สาหรบบาง 1,2,3...,k n ทาใหไดวา

3 = = = = =k k kx x a a a x ดงนน เปนปรกตบรบรณ สดทาย พจารณากรณท สอดคลองเงอนไข ii นนคอ 1=i n ia a และ 1 = in ia a โดยท 1,2,3...,i n ให x F และสมมตวา = kx a สาหรบบาง 1,2,3...,k n ทาใหไดวา

31= = = =k kn kx x a a a x

ดงนน เปนปรกตบรบรณ

สำนกหอ


24

รายการอางอง

[1] Bijev, G., and Todorov, K. (1980). “Coregular semigroup.” Notes on Semigroups VI, no.

31: 1-11.

[2] Demetrovics, J., and Ronyai L. (1989). “Algebraic properties of crowns and fences.” Order, no. 6: 91-99.

[3] Gluskin, L. M. (1961). “Isotone transformation semigroup.” Usp. Mat. Nauk, no. 5: 157-

162.

[4] Higgins, P. M., Mitchell, D. and Ruskuc, N. (2003). “Generating the full transformation

semigroup using order-preserving mappings.” Glasgow Math. J, no. 45: 557-566.

[5] Rutkowski, A. (1992). “The formular for the number of order-preseving selfmappings of a

fence.” Order , no 9: 127-137.

สำนกหอ


25

ประวตผวจย ชอ-สกล นางสาว เกศรนทร จนดาหนา ทอย 348/5 หม 2 ตาบลสระค อาเภอสวรรณภม จงหวดรอยเอด

45130 ประวตการศกษา

พ.ศ. 2551 สา เ รจการศกษาปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร จากมหาวทยาลยศลปากร พระราชวงสนามจนทร นครปฐม

พ.ศ. 2555 ศกษาตอระดบปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรศกษา บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร พระราชวงสนามจนทร นครปฐม

สำนกหอ


Documents

า 2557 ิทยาลัิลปากรยศ · สมบัติพีชคณิตของฟังก์ชันยืนยงอัับทนดีส่งไปยังตััวมนเองของเฟนซ์มีการศึกษามาอย่าง