1

2

ค ำน ำ

แบบฝกทกษะ วชาคณตศาสตรพนฐาน (ค33101) ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 เรอง การวเคราะหขอมลเบองตน เลมน จดท าขนเพอพฒนาผเรยนใหมทกษะทางดานคณตศาสตร ทเนนเทคนคการเรยนแบบรวมมอ เพอนชวยเพอน เพอใหเกดทกษะการค านวณ ทกษะการแกโจทยปญหา ไดอยางถกตอง โดยใหความสมดลระหวางความรและคคณธรรม รวมทงควรใหเกดการเรยนรไดตลอดเวลา โดยจดสภาพแวดลอมและสอการเรยนร ทอ านวยความสะดวกตอการเรยน จงเกดการพฒนาแบบฝกทกษะการเรยนรแบบรวมมอ เพอนชวยเพอน โรงเรยนรองค า อ าเภอรองค า จงหวดกาฬสนธ

ตามวตถประสงคของหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 เพอพฒนาความร

ความเขาใจในการเรยนและฝกทกษะใหดยงขน มแบบฝกทกษะทงหมดจ านวน 6 แบบฝกทกษะ ดงน

แบบฝกทกษะ เลมท 1 เรอง การแจกแจงความถของขอมล

แบบฝกทกษะ เลมท 2 เรอง ฮสโทแกรมและแผนภาพตนใบ

แบบฝกทกษะ เลมท 3 เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

แบบฝกทกษะ เลมท 4 เรอง คากลางของขอมล

แบบฝกทกษะ เลมท 5 เรอง การวดการกระจายของขอมล

แบบฝกทกษะ เลมท 6 เรอง ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง

และคาการกระจายของขอมล

เลมนเปน แบบฝกทกษะ เลมท 3 เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

ซงผจดท าหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะจะเปนประโยชนตอผเรยน ผสอน ตลอดทงสามารถ

สงผลใหผเรยนมความรความเขาใจเกดทกษะคดค านวณแกโจทยปญหาและมผลสมฤทธทางการเรยนสงขน

เยาวเรศ ทพชรา

3

สำรบญ

เรอง หนำ

รายละเอยดของแบบฝกทกษะ ……………………………………………….……………………….………….. 1

ค าแนะน าส าหรบคร …………………………………………………………………………………………………… 2

ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ……………………………………………………………………………………………. 3

ขนตอนการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะ ……………………………...…………………………………………. 4

มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด ………………………………………………………………………….…………… 5

จดประสงคการเรยนร …………….…………………………..………………………….………………………….. 6

แบบทดสอบกอนเรยน ………………………………………………………………………………………………… 7

กระดาษค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………. 9

ใบความรท 3 .….……………………………………………………………………………………………………… 10

ตวอยางแบบฝกทกษะ ………………………………………………………………………………………………. 11

แบบฝกทกษะท .....…………………………………………………………………………………………………… 19

แบบทดสอบหลงเรยน …………………………………………………………………………………………….… 23

กระดาษค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………. 25

ภาคผนวก …………………………………………………………………………………………………..……………. 26

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ………………………………………………………………………………….…… 27

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ……….……………….………………………………………………….……..…... 28

เฉลยแบบฝกทกษะ …...……………………………………………………………………………………………… 29

บรรณานกรม …………………………………………………………………………………………………….……... 35

1

รำยละเอยดของแบบฝกทกษะ

ประกอบดวย

1. ค าแนะน าส าหรบคร 2. ค าแนะน าส าหรบนกเรยน 3. ขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะ 4. มาตรฐาน/ตวชวดและจดประสงคการเรยนร 5. แบบทดสอบกอนเรยน 6. ใบความร 7. แบบฝกทกษะ 8. แบบทดสอบหลงเรยน 9. เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน – หลงเรยน 10. เฉลยแบบฝกทกษะ แบบฝกทกษะคณตศาสตร ส าหรบนกเรยนมธยมศกษาปท 6 เลมท 3 เรองเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ ใชเวลาเรยน 2 ชวโมง

2

ค ำแนะน ำส ำหรบคร

แบบฝกทกษะเลมนเปนแบบฝกทกษะซงครผสอนสามารถน าไปใหนกเรยนศกษาไดดวยตนเอง โดยครปฏบตตามขนตอน ดงน 1. ศกษาคมอการใชแบบฝกทกษะใหรอบคอบ 2. ครเตรยมแบบฝกทกษะ เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 3. ครชแจง บทบาทและหนาทของผเรยน และก าหนดกตกาขอตกลงรวมกน 4. แจงจดประสงคการเรยนรในแตละแบบฝกทกษะใหนกเรยนทราบ 5. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ จ านวน 10 ขอ และตรวจผลการทดสอบบนทกคะแนนเปนหลกฐานไว 6. ครชแจงการด าเนนการในแบบฝกทกษะ เรองเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ กอนการศกษาใบความรและขณะทท าใบกจกรรมและการท าแบบฝกทกษะใหนกเรยนทราบทกขนตอน 7. ด าเนนการจดกจกรรมตามขนตอนการเรยนการสอนแบบฝกทกษะ 7.1 ขณะทนกเรยนปฏบตกจกรรมครเปนทปรกษาใหค าแนะน ากบกลมทมปญหา กระตนใหนกเรยนในแตละกลมดแลชวยเหลอกนภายในกลม เพอผลส าเรจของตนเองและกลม 7.2 ประเมนผลดานทกษะ/กระบวนการ และดานคณลกษณะอนพงประสงค จากการปฏบตกจกรรมระหวางเรยน รวมทงใหผเรยนบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน เพอน าไปสรปผลการจดกจกรรมการเรยนร 7.3 ระหวางปฏบตการสอนครตองสอดแทรกคณธรรมจรยธรรมและคานยม คณลกษณะ อนพงประสงคใหกบนกเรยน 8. เมอนกเรยนศกษาใบความรและท าแบบฝกทกษะ เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ ครบทกขอแลว จงใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน จ านวน 10 ขอ โดยคณครดแลควบคมไมใหนกเรยนเปดกลบไปดเนอหาทผานมาขณะท าแบบทดสอบ 9. ด าเนนการท าแบบทดสอบหลงเรยน

9.1 เมอนกเรยนท าแบบทดสอบเหลงเรยนเสรจแลวจงใหนกเรยนตรวจค าตอบจากเฉลย โดยนกเรยนตองไดคะแนนไมนอยกวารอยละ 50 ของคะแนนเตม จงจะถอวาผานจดประสงคการเรยนรและท าแบบฝกทกษะเลมตอไป

9.2 เมอนกเรยนท าแบบทดสอบเหลงเรยนเสรจแลวจงใหนกเรยนตรวจค าตอบจากเฉลย โดย นกเรยนไดคะแนนต ากวารอยละ 50 ของคะแนนเตม จะถอวาไมผานจดประสงคการเรยนร นกเรยนตองกลบไปศกษาเนอหาใบความรและท าแบบฝกทกษะอกครง จากนนท าแบบทดสอบหลงเรยนใหไดคะแนนรอยละ 50 ขนของคะแนนเตม และท าแบบฝกทกษะเลมตอไป 10. บนทกคะแนนกอนเรยนและหลงเรยน เพอน าไปประเมนผลการจดการเรยนรตอไป

3

ค ำแนะน ำส ำหรบนกเรยน

แบบฝกทกษะเลมนเปนแบบฝกทกษะซงนกเรยนสามารถน าไปใหศกษาไดดวยตนเอง โดยครปฏบตตามขนตอนดงน 1. ศกษาตวชวด/จดประสงคการเรยนรส าหรบนกเรยนและบทบาทของนกเรยนเพอก าหนดทศทางในการจดการเรยนรใหเขาใจกอนลงมอศกษาแบบฝกทกษะ เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 2. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอประเมนความรพนฐานของผเรยน 3. ศกษารายระเอยดเนอหาจากใบความร ตวอยาง 4. ในการจดการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะนอาจศกษาเปนรายบคคลแบบฝกทกษะนนกเรยนอาจจะศกษาเปนรายบคคล หรอเปนกลมยอยกได 5. ขณะนกเรยนปฏบตกจกรรมแบบฝกทกษะ หากพบปญหาหรอขดของใดๆ สามารถขอค าปรกษาหรอค าแนะน าจากเพอน หรอครผสอน 6. เมอศกษาใบความรและท าแบบฝกทกษะครบทกขอแลว ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน จ านวน 10 ขอ โดยทนกเรยนตองมความซอสตยไมเปดกลบไปดเนอหาทผานมาขณะท าแบบทดสอบ 7. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนตองไดคะแนนไมต ากวารอยละ 50 ของคะแนนเตม จงจะถอวาผานจดประสงคการเรยนรและท าแบบฝกทกษะเลมตอไป

4

ขนตอนกำรเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะ

หมำยเหต การผานเกณฑ หมายถง นกเรยนสามารถท าแบบฝกทกษะ และแบบทดสอบหลงเรยน ไดคะแนนรอยละ 50 ของคะแนนเตม ขนไป

อำนค ำแนะน ำส ำหรบนกเรยน

ท ำแบบทดสอบกอนเรยน

กจกรรมกำรเรยนร ดงน

- ศกษำเนอหำ/ใบควำมร

- ศกษำตวอยำง

- ท ำแบบฝกทกษะ

ครแนะน ำ ชแนะ

ไมผำนเกณฑ

กำรประเมนผล ท ำแบบทดสอบหลงเรยน

ผำนเกณฑ ศกษำแบบฝกทกษะ เลมตอไป

5

มำตรฐำนกำรเรยนร/ตวชวด

สำระท 5 กำรวเครำะหขอมลและควำมนำจะเปน มำตรฐำน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมล ตวชวด 2. หาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน และเปอรเซนไทล ของขอมล

สำระท 6 ทกษะและกระบวนกำรทำงคณตศำสตร

มำตรฐำน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตร อน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค ตวชวด 1. ใชวธการทหลากหลายแกปญหา 2. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม 4. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอไดอยางถกตอง และชดเจน 5. เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ 6. มความคดรเรมสรางสรรค

6

จดประสงคกำรเรยนร

ดำนควำมร

หาเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถทก าหนดใหไดอยางถกตอง ดำนทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตร

แกปญหาเกยวเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถได ดำนคณลกษณะ

1. มระเบยบวนย มความคดรอบครอบ 2. ใฝเรยนร มงมนในการท างาน 3. มความซอสตยสจรต

ดำนสมรรถนะของผเรยน

1. มความสามารถในการแกปญหาทางคณตศาสตร 2. มความสามารถในการทกษะชวต สรางความสมพนธภาพในกลม 3. นกเรยนสามารถท าแบบทดสอบหลงเรยนผานเกณฑคะแนนรอยละ 50 ของคะแนนเตม

เวลาทใชในการจดกจกรรมการเรยนร จ านวน 2 ชวโมง

7

แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงควำมถ

ค ำสง จงท าเครองหมาย x ใหตรงกบค าตอบทถกตองเพยงค าตอบเดยว ลงในกระดาษค าตอบ

1. ขอมลทประมาณครงหนงทต ากวา หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร ก. เปอรเซนไทลท 2 ข. เปอรเซนไทลท 20 ค. เปอรเซนไทลท 50 ง. เปอรเซนไทลท 80

2. ขอมลทประมาณหนงในสทสงกวา หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร

ก. เปอรเซนไทลท 3 ข. เปอรเซนไทลท 15 ค. เปอรเซนไทลท 50 ง. เปอรเซนไทลท 75

3. ขอมลทนอยกวาอยประมาณ 8 ใน 10 หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร

ก. เปอรเซนไทลท 8 ข. เปอรเซนไทลท 10 ค. เปอรเซนไทลท 50 ง. เปอรเซนไทลท 80

จงใชขอมลตอไปนตอบค าถามขอท 4 – 6

30, 33, 6, 1, 1, 5, 20, 29, 4, 3, 5, 7, 7, 8, 7, 11, 10, 14, 15

4. เปอรเซนไทลท 50 ตรงกบขอใด ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 8

5. เปอรเซนไทลท 90 ตรงกบขอใด

ก. 20 ข. 29 ค. 30 ง. 33

6. เปอรเซนไทลท 83 ตรงกบขอใด ก. 16.6 ข. 25.4 ค. 26.4 ง. 27.4

8

จงใชขอมลตอไปนตอบค ำถำมขอท 7 – 8 คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบได ดงน

1 0 1 4 8 2 0 0 0 5 8 3 1 2 2 3 5 5 9 4 0 2 4 4 4 9 9 9 5 0 0 0 1 7

7. เปอรเซนไทลท 50 ตรงกบขอใด ก. 35 ข. 39 ค. 40 ง. 42

8. เปอรเซนไทลท 88 ตรงกบขอใด ก. 50 ข. 49 ค. 49.6 ง. 44.6

จงใชขอมลตอไปนตอบค าถามขอท 8 – 10 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยตารางแจกแจงความถ ดงน

คะแนน จ ำนวนนกเรยน(คน) 55 10 56 11 57 15 58 20 59 6 60 7

9. เปอรเซนไทลท 20 ตรงกบขอใด

ก. 55 ข. 56 ค. 57 ง. 58

10. เปอรเซนไทลท 55 ตรงกบขอใด ก. 57 ข. 58 ค. 59 ง. 60

สๆ ครบ

9

ผลการทดสอบ ไดคะแนน.....................คะแนน

ลงชอ.....................................ผตรวจ

กระดำษค ำตอบ

ค ำสง จงท าเครองหมาย x ใหตรงกบค าตอบทถกตองเพยงค าตอบเดยว

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผาน (5 คะแนนขนไป)

ไมผาน (ต ากวา 5 คะแนน)

ชอ – สกล ................................................................ ชน ....................... เลขท ....................

10

ใบควำมรท 3 เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงควำมถ

เปอรเซนไทล (Percentile)

เปอรเซนไทลเปนการแบงขอมลทเรยงจากนอยไปมาก ออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน ดงน

จะไดวาจะตองใชขดในการแบงขอมลทงหมด 99 ขด ซง ขดท 1 แทนเปอรเซนไทลท 1 (P1 ) ขดท 2 แทนเปอรเซนไทลท 2 (P2) ขดท 3 แทนเปอรเซนไทลท 3 (P3)

⋮ ขดท 99 แทนเปอรเซนไทลท 99 (P99)

เปอรเซนไทลของขอมลทไมไดแจกแจงความถ ก าหนดใหมขอมล N ตว มขนตอนในการหา เปอรเซนไทล ดงน

ขนตอนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก

ขนตอนท 2 หาต าแหนงของเปอรเซนไทลโดยใชสตร ต าแหนงของ 100

1

NrPr

เมอ r = ต าแหนงของเปอรเซนไทลทตองการหา N = จ านวนขอมล

ขนตอนท 3 น าต าแหนงไปเทยบขอมลทเรยงแลวคาทไดกจะไดเปนค าตอบ

11

ตวอยำงท 1 จงใชขอมล 28, 30, 50, 32, 32, 35, 36, 38, 40 หาเปอรเซนไทลท 40 วธท ำ

ขนตอนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 28, 30, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 50

ขนตอนท 2 หาต าแหนงของเปอรเซนไทลโดยใชสตร ต าแหนงของ 100

1

NrPr จะได

100

1

NrPr

100

1940

100

1040

4 ดงนนต าแหนงเปอรเซนไทลท 40 อยในต าแหนงท 4 หรอตวท 4 ของขอมลทเรยงจากนอยไปมาก ดงนนต าแหนงเปอรเซนไทลท 40 เทากบ 32 ****************************************************************************************************

ตวอยำงท 2 จงใชขอมล 1, 4, 6, 6, 6, 9, 11, 20, 24, 24, 29, 31, 33, 42 จงหาเปอรเซนไทลท 80 ขนตอนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 1, 4, 6, 6, 6, 9, 11, 20, 24, 24, 29, 31, 33, 42

ขนตอนท 2 หาต าแหนงของเปอรเซนไทลโดยใชสตร ต าแหนงของ 100

1

NrPr จะได

100

1

NrPr

100

11480

100

1580

12 จะไดต าแหนงเปอรเซนไทลท 80 อยในต าแหนงท 12 หรอตวท 12 ของขอมลทเรยงจากนอยไปมาก ดงนน ต าแหนงเปอรเซนไทลท 80 เทากบ 31

ขอควรระวง! บางคนเมอค านวณต าแหนงของเปอรเซนไทลออกมาแลวกคดวาเปนค าตอบของเปอรเซนไทลเลย ซงเปนสงทผด เราตองน าต าแหนงของเปอรเซนไทลทไดไปค านวณ อกรอบหนงนะคะเดกๆ อยาลม!!!

12

ตวอยำงท 3 ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จ านวน ตอไปน 6, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 30

เปอรเซนไทลท 25 มคาตางจากเปอรเซนไทลท 75 เทากบขอใดตอไปน วธท ำ

ขนตอนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 6, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 30

ขนตอนท 2 หาต าแหนงของเปอรเซนไทลโดยใชสตร ต าแหนงของ 100

1

NrPr จะได

ต าแหนงเปอรเซนไทลท 25 100

11925

100

2025

5 ดงนน เปอรเซนไทลท 25 เทากบ 12 ต าแหนงเปอรเซนไทลท 75

100

11975

100

2075

15 ดงนน เปอรเซนไทลท 75 เทากบ 23

จะได เปอรเซนไทลท 75 – เปอรเซนไทลท 25 = 23 – 15 = 9 ดงนน เปอรเซนไทลท 25 มคาตางจากเปอรเซนไทลท 75 เทากบ 11 **************************************************************************************************** ตวอยำงท 4 จงใชขอมล 28, 30, 50, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 22 หาเปอรเซนไทลท 50 วธท ำ ขนตอนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได 22, 28, 30, 32, 32, 35, 36, 38, 40, 50

ขนตอนท 2 หาต าแหนงของเปอรเซนไทลโดยใชสตร ต าแหนงของ 100

1

NrPr จะได

ต าแหนงเปอรเซนไทลท 50

100

11050

100

1150

5.5 ดงนน ต าแหนงเปอรเซนไทลท 50 อยในต าแหนงท 5.5 หรอตวท 5.5 ซงมวธการหาอย 2 วธ ดงน วธท 1 การเทยบบญญตไตรยางศ

13

จากต าแหนงเปอรเซนไทลท 50 อยในต าแหนงท 5.5 ซงอยระหวางต าแหนงท 5 และ ต าแหนงท 6 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 5 และต าแหนงท 6 คอ 32 และ 35 ตามล าดบ ต าแหนงทตางกน 6 – 5 = 1 คะแนนตางกน 35 – 32 = 3 ต าแหนงทตางกน 5.5 – 5 = 0.5 คะแนนตางกน 3(0.5) = 1.5 ดงนน P50 = 32 + 1.5 = 33.5

วธท 2 จากต าแหนงของเปอรเซนไทล 50 = 5.5 จะได P50 = ต าแหนงท 5 + (0.5)(ผลตางต าแหนงท 6 กบต าแหนงท 5) = 32 + (0.5)(35-32) = 32 + (0.5)(3) = 32 + 1.5 = 33.5 ดงนน P50 = 32 + 1.5 = 33.5

****************************************************************************************************

ตวอยำงท 5 จงใชขอมล 1, 1, 1, 4, 6, 8, 11, 15, 31, 42, 44, 51, 55, 60, 60, 62, 70, 88, 91, 93, 96, 96, 97, 99, 100 หาเปอรเซนไทลท 45 และ เปอรเซนไทลท 82 วธท ำ

1. หาเปอรเซนไทลท 45 (ใชวธการเทยบบญญตไตรยางศ)

ต าแหนงของ P45 100

12545

100

2645

7.11 P45 อยระหวางต าแหนงท 11 และ 12 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 11 และต าแหนงท 12 คอ 44 และ 51 ตามล าดบ

ขออธบำยเพมเตมนะคะ สมมตต าแหนงของเปอรเซนไทลทหาไดเปน 7.43 ซงเทากบ 7 + 0.43 สวนท 1 คอ เลข 7 จะเปนต าแหนงท 7 สวนท 2 คอเลข 0.43 จะตองน าไปคณกบผลตางระหวางต าแหนงท 7 กบต าแหนงท 8 แลวน าทงสองสวนบวกกน

ถำสงสยไปดตวอยำงตอไปเลยคะ

14

ต าแหนงทตางกน 12 – 11 = 1 คะแนนตางกน 51 – 44 = 7 ต าแหนงทตางกน 11.7 – 11 = 0.7 คะแนนตางกน 7(0.7) = 4.9 ดงนน P45 = 44 + 4.9 = 48.9

2. หาเปอรเซนไทลท 82 (ใชวธท 2)

ต าแหนงของ P82 100

12582

100

2682

32.21 P82 อยระหวางต าแหนงท 21 และ 22 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 21 และต าแหนงท 22 คอ 96 และ 96 ตามล าดบ

จะได P82 = ต าแหนงท 21 + (0.32)(ผลตางต าแหนงท 22 กบต าแหนงท 21) = 96 + (0.32)(96 – 96) = 96 + (0.32)(0) = 96 + 0 = 96 ดงนน P82 = 96 **************************************************************************************************** ตวอยำงท 6 (o-net 52) พจารณาขอมลตอไปน

10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคยงกบขอใดตอไปนมากทสด

1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7 4. 16.0 วธท ำ เรยงขอมลจากนอยไปมาก ไดดงน 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18,

ต าแหนงของ P80 100

1880

100

980

2.7 P80 อยระหวางต าแหนงท 7 และ 8 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 7 และต าแหนงท 8 คอ 15 และ 18 ตามล าดบ

จะได P80 = ต าแหนงท 7 + (0.2)(ผลตางต าแหนงท 8 กบต าแหนงท 7 ) = 15 + (0.2)(18 – 15) = 15 + (0.2)(3) = 15 + 0.6

15

= 15.6 ดงนน P80 = 15.6 ซงมคาใกลเคยง 15.7

ตอบ ตวเลอก 3

**************************************************************************************************** ตวอยำงท 7 คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน

1 0 3 5 2 0 0 4 4 7 3 0 0 2 3 4 6 7 4 1 3 4 4 7 8 9 9 9 9 5 0 2 4 5 5

เปอรเซนไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด วธท ำ

ต าแหนงของ P50 100

13050

100

3150

5.15 P50 อยระหวางต าแหนงท 15 และ 16 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 15 และต าแหนงท 16 คอ 37 และ 41 ตามล าดบ

จะได P50 = ต าแหนงท 15 + (0.5)(ผลตางต าแหนงท 16 กบต าแหนงท 15 ) = 37 + (0.5)(41 – 37) = 37 + (0.5)(4) = 37 + 2 = 39 ดงนน P50 = 39 คะแนน ****************************************************************************************************

ตวอยำงท 8 คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนหองหนงแสดงเปนตาราง ดงน

สๆนะคะ

16

คะแนน จ ำนวนนกเรยน 21 5 22 4 23 8 24 12 25 11 26 3 27 1

เปอรเซนไทลท 40 และเปอรเซนไทลท 75 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด วธท ำ จะเหนวาขอมลอยในรปตารางแจกแจกความถทไมจดขอมลเปนอนตรภาคชน ซงจ านวนนกเรยนมทงหมด 44 คน

1. หาเปอรเซนไทลท 40

ต าแหนงของ P40 100

14440

100

4540

18 P40 อยในต าแหนงท 18 แตเนองจากขอมลเปนตารางแจกแจงความถดงนน ตองสรางตารางความถสะสมขนมาจะได

คะแนน จ ำนวนนกเรยน(คน)

ควำมถสะสม

21 5 5 22 4 9 23 8 17 24 12 29 25 11 40 26 3 43 27 1 44

จากตาราง จะพบวา

อยหนำถดไปครบ

17

คะแนน ควำมถสะสม ควำมหมำยของควำมถสะสม 21 5 ล ำดบ 1 – 5 22 9 ล ำดบ 6 – 9 23 17 ล ำดบ 10 – 17 24 29 ล ำดบ 18 – 29 25 40 ล ำดบ 30 – 40 26 43 ล ำดบ 41 – 43 27 44 ล ำดบ 44

จากตารางความถสะสมต าแหนงท 18 คอ 24 คะแนน ดงนน เปอรเซนไทลท 40 เทากบ 24 คะแนน

2. หาเปอรเซนไทลท 75

ต าแหนงของ P75 100

14475

100

4575

75.33 P75 อยระหวางต าแหนงท 33 และ 34 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 33 และต าแหนงท 34 คอ 25 และ 25 ตามล าดบ

ดงนน เปอรเซนไทลท 75 เทากบ 25 คะแนน

****************************************************************************************************

ตวอยำงท 9 ผลการทดสอบวดผลกลางภาคเรยนรายวชาคณตศาสตรเพมเตม ของนกเรยนจ านวน 24 คน ซงม คะแนนเตม 100 คะแนน เปนดงน 12, 30, 50, 47, 100, 33, 51, 61, 88, 10, 7, 59, 33, 20, 30, 55, 68, 89, 90, 95 , 57 , 78 , 45, 60

1. นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไร จงจะมนกเรยนประมาณครงหนงของชนไดคะแนนต ากวา 2. นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไร จงจะมนกเรยนประมาณหนงในสของชนไดคะแนนสงกวา

วธท ำ เรยงคะแนนจากนอยไปมากไดดงน 7, 10, 12, 20, 30, 30, 33, 33, 45, 47, 50, 51, 55, 57, 59, 60, 61, 68, 78, 88, 89, 90, 95, 100

1. คะแนนทมจ านวนนกเรยนไดต ากวาอยประมาณครงหนงของชน คอ เปอรเซนไทลท 50

18

ต าแหนง P50 100

12450

100

2550

5.12 P50 อยระหวางต าแหนงท 12 และ 13

จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 12 และต าแหนงท 13 คอ 51 และ 55 ตามล าดบ จะได P50 = ต าแหนงท 12 + (0.5)(ผลตางต าแหนงท 13 กบต าแหนงท 12 ) = 51 + (0.5)(55 – 51) = 51 + (0.5)(4) = 51 + 2 = 53 ดงนน P50 = 53 คะแนน นนคอ นกเรยนจะตองสอบได 53 คะแนนจงจะมนกเรยนประมาณครงหนงของชนไดคะแนนต ากวา

2. คะแนนทมนกเรยนไดสงกวาคานอยประมาณหนงในสของชน หมายถง แบงขอมลทงหมดออกเปนสสวนเทาๆกน ซงตรงกบเปอรเซนไทลท 75

ต าแหนง P75 100

12475

100

2575

75.18 P50 อยระหวางต าแหนงท 18 และ 19

จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 18 และต าแหนงท 19 คอ 68 และ 78 ตามล าดบ จะได P50 = ต าแหนงท 18 + (0.75)(ผลตางต าแหนงท 19 กบต าแหนงท 18 ) = 68 + (0.75)(78 – 68) = 68 + (0.75)(10) = 68 + 7.5 = 75.5 ดงนน P75 = 75.5 คะแนน นนคอ นกเรยนจะตองสอบได 75.5 คะแนนจงจะมนกเรยนประมาณหนงในสของชนไดคะแนนสงกวา

แบบฝกทกษะ

19

เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงควำมถ ค ำสง จงแสดงวธท าหาค าตอบ

1. จากการส ารวจน าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 29 คน เปนดงน 21 30 25 19 30 32 21 36 40 18 20 22 21 22 26 29 33 31 30 21 23 33 39 25 21 20 18 31 21

จงหาเปอรเซนไทลท 30 เปอรเซนไทลท 50 และเปอรเซนไทลท 72 วธท ำ ...................................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .................................................................... .......................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ....................................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ................................................. .......................................................................................................................................................... .................... .............................................................................................................. ................................................................ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................................. ................................. ................................................................................................. .............................................................................

2. คะแนนสอบวชาสงคมศกษาของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน

ชอ – สกล ................................................................ ชน ....................... เลขท ....................

20

2 1 3 4 4 5 3 1 1 1 5 7 9 9 4 0 2 8 9 9 9 5 7 7 8 8 9 6 7

จงหาเปอรเซนไทลท 25 เปอรเซนไทลท 58 และเปอรเซนไทลท 75 วธท ำ ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .................................................................... .......................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ....................................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .................................................................... .......................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ....................................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ................................................. .......................................................................................................................................................... .................... .............................................................................................................. ................................................................

3. คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนหองหนงแสดงเปนตาราง ดงน

21

คะแนน จ ำนวนนกเรยน 90 1 91 2 92 6 93 11 94 18 95 23 96 30 97 21 98 11 99 9

100 2

จงหาเปอรเซนไทลท 40 และเปอรเซนไทลท 90 วธท ำ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .................................................................... .......................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ....................................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ................................................. .......................................................................................................................................................... .................... .............................................................................................................. ................................................................ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................................. ................................. ................................................................................................. .............................................................................

4. ถาเปอรเซนไทลท 40 ของคะแนนสอบวทยาศาสตร คอ 78 คะแนน และมนกเรยน 8 คนมคะแนน เทากบหรอนอยกวา 78 คะแนน อยากทราบวามนกเรยนกคนทมคะแนนมากกวา 78 คะแนน

22

วธท ำ ............................................................................................................................. ................................................. .......................................................................... .................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. .................................................

5. ในการสอบครงหนงมนกเรยน 9 คน ทไดคะแนนสอบวชาคณตศาสตรเทากบหรอนอยกวา 25 คะแนน ถาเปอรเซนไทลท 25 เทา 25 คะแนน จงหานกเรยนทงหมดทเขาสอบ วธท ำ ............................................................................................................... ............................................................... ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................. ................................ .................................................................................................. ............................................................................ ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................................................................. ............................................. ..................................................................................... ......................................................................................... ............................................................................................................................. .................................................

6. ถามนกเรยน 20 คน จากนกเรยนทงหมด 25 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 92 คะแนน อยากทราบวาเปอรเซนไทลของคะแนน 92 คะแนนเทากบเทาใด

วธท ำ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................................ .................................. ................................................................................................ .............................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ................................................................................. ........................................................................................... ..

แบบทดสอบหลง เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงควำมถ

23

ค ำสง จงท าเครองหมาย x ใหตรงกบค าตอบทถกตองเพยงค าตอบเดยว ลงในกระดาษค าตอบ

1. ขอมลทประมาณหนงในสทสงกวา หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร ก. เปอรเซนไทลท 75 ข. เปอรเซนไทลท 50 ค. เปอรเซนไทลท 15 ง. เปอรเซนไทลท 3

2. ขอมลทประมาณครงหนงทต ากวา หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร

ก. เปอรเซนไทลท 80 ข. เปอรเซนไทลท 50 ค. เปอรเซนไทลท 20 ง. เปอรเซนไทลท 2

3. ขอมลทนอยกวาอยประมาณ 8 ใน 10 หมายถงเปอรเซนไทลทเทาไร

ก. เปอรเซนไทลท 8 ข. เปอรเซนไทลท 10 ค. เปอรเซนไทลท 50 ง. เปอรเซนไทลท 80

จงใชขอมลตอไปนตอบค าถามขอท 4 – 6

30, 33, 6, 1, 1, 5, 20, 29, 4, 3, 5, 7, 7, 8, 7, 11, 10, 14, 15

4. เปอรเซนไทลท 83 ตรงกบขอใด ก. 16.6 ข. 27.4 ค. 26.4 ง. 25.4

5. เปอรเซนไทลท 90 ตรงกบขอใด

ก. 20 ข. 30 ค. 29 ง. 33

6. เปอรเซนไทลท 50 ตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 8 ค. 7 ง. 5

จงใชขอมลตอไปนตอบค ำถำมขอท 7 – 8 คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน

24

1 0 1 4 8 2 0 0 0 5 8 3 1 2 2 3 5 5 9 4 0 2 4 4 4 9 9 9 5 0 0 0 1 7

7. เปอรเซนไทลท 88 ตรงกบขอใด ก. 50 ข. 44.6 ค. 49.6 ง. 49

8. เปอรเซนไทลท 50 ตรงกบขอใด ก. 39 ข. 35 ค. 42 ง. 40

จงใชขอมลตอไปนตอบค าถามขอท 8 – 10 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรองนกเรยนหองหนงแสดงดวยตารางแจกแจงความถดงน

คะแนน จ ำนวนนกเรยน(คน) 55 10 56 11 57 15 58 20 59 6 60 7

9. เปอรเซนไทลท 55 ตรงกบขอใด

ก. 57 ข. 58 ค. 59 ง. 60

10. เปอรเซนไทลท 20 ตรงกบขอใด

ก. 55 ข. 56 ค. 57 ง. 58

กระดำษค ำตอบ

25

ผลการทดสอบ ไดคะแนน.....................คะแนน

ลงชอ.....................................ผตรวจ

ค ำสง จงท าเครองหมาย x ใหตรงกบค าตอบทถกตองเพยงค าตอบเดยว

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผาน (5 คะแนนขนไป)

ไมผาน (ต ากวา 5 คะแนน)

ชอ – สกล ................................................................ ชน ....................... เลขท ....................

26

ภาคผนวก

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

27

ขอ ตอบ

1 ค 2 ง 3 ง 4 ค 5 ค 6 ข 7 ก 8 ก 9 ข

10 ข

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ถกกนบำงไหมเอย?

28

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง เปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงควำมถ

ขอ ตอบ

1 ก 2 ข 3 ง 4 ง 5 ข 6 ค 7 ก 8 ข 9 ข

10 ข

ใครผำนบำงเอย ?

29

1. จากการส ารวจน าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 29 คน เปนดงน 21 30 25 19 30 32 21 36 40 18 20 22 21 22 26 29 33 31 30 21 23 33 39 25 21 20 18 31 21

จงหาเปอรเซนไทลท 30 เปอรเซนไทลท 50 และเปอรเซนไทลท 72 วธท ำ เรยงขอมลจากนอยไปมาก จะได

18 18 19 20 20 21 21 21 21 21 21 22 22 23 25 25 26 29 30 30 30 31 31 32 33 33 36 39 40

ต าแหนง P30

100

12930

100

3030

9 P30 อยในต าแหนงท 9 ซงมคาเทา 21 กโลกรม

ดงนน P30 = 21 กโลกรม

ต าแหนง P50 100

12950

100

3050

15 P50 อยในต าแหนงท 15 ซงมคาเทา 25 กโลกรม

ดงนน P50 = 25 กโลกรม

ต าแหนง P72 100

12972

100

3072

6.21 P72 อยระหวางต าแหนงท 21 และ 22

จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 21 และต าแหนงท 22 คอ 30 และ 31 ตามล าดบ จะได P72 = ต าแหนงท 21 + (0.6)(ผลตางต าแหนงท 22 กบต าแหนงท 21 ) = 30 + (0.6)(31 – 30) = 30 + (0.6)(1) = 30.6

30

ดงนน P72 = 30.6 กโลกรม

2. คะแนนสอบวชาสงคมศกษาของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน 2 1 3 4 4 5 3 1 1 1 5 7 9 9 4 0 2 8 9 9 9 5 7 7 8 8 9 6 7

จงหาเปอรเซนไทลท 25 เปอรเซนไทลท 58 และเปอรเซนไทลท 75 วธท ำ

ต าแหนง P25 100

12425

100

2525

25.6 P25 อยระหวางต าแหนงท 6 และ 7 จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 6 และต าแหนงท 7 คอ 31 และ 31 ตามล าดบ

จะได P25 = ต าแหนงท 6 + (0.25)(ผลตางต าแหนงท 7 กบต าแหนงท 6 ) = 31 + (0.25)(31 – 31) = 31 + (0.25)(0) = 31

ดงนน P25 = 31 กโลกรม

ต าแหนง P58 100

12458

100

2558

5.14 P58 อยระหวางต าแหนงท 14 และ 15

จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 14 และต าแหนงท 15 คอ 42 และ 48 ตามล าดบ จะได P58 = ต าแหนงท 14 + (0.5)(ผลตางต าแหนงท 15 กบต าแหนงท 14 ) = 42 + (0.5)(48 – 42) = 42 + (0.5)(6) = 42 + 3 = 45

ดงนน P58 = 45 กโลกรม

31

ต าแหนง P75

100

12475

100

2575

75.18 P75 อยระหวางต าแหนงท 18 และ 19

จากขอมลทเรยงพบวาขอมลต าแหนงท 18 และต าแหนงท 19 คอ 49 และ 57 ตามล าดบ จะได P75 = ต าแหนงท 18 + (0.75)(ผลตางต าแหนงท 19 กบต าแหนงท 18 ) = 49 + (0.75)(57 – 49) = 49 + (0.75)(8) = 49 + 6 = 55

ดงนน P75 = 55 กโลกรม

3. คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนหองหนงแสดงเปนตาราง ดงน

คะแนน จ ำนวนนกเรยน 90 1 91 2 92 6 93 11 94 18 95 23 96 30 97 21 98 11 99 9

100 2

จงหาเปอรเซนไทลท 40 และเปอรเซนไทลท 90 วธท ำ สรางตารางแจกแจงความถได ดงน

คะแนน จ ำนวนนกเรยน ควำมถสะสม 90 1 1

32

91 2 3 92 6 9 93 11 20 94 18 38 95 23 61 96 30 91 97 21 112 98 11 123 99 9 132

100 2 134

ต าแหนง P40 100

113440

100

13540

54

P40 อยในต าแหนงท 54 ดงนน P40 = 95 คะแนน

ต าแหนง P90 100

113490

100

13590

5.121

P90 อยระหวางต าแหนงท 121 และ 122

ดงนน P90 = 98 คะแนน

4. ถาเปอรเซนไทลท 40 ของคะแนนสอบวทยาศาสตร คอ 78 คะแนน และมนกเรยน 8 คนมคะแนน เทากบหรอนอยกวา 78 คะแนน อยากทราบวามนกเรยนกคนทมคะแนนมากกวา 78 คะแนน วธท ำ

จากโจทย P40 = 78 คะแนน มนกเรยน 8 คนมคะแนนเทากบหรอนอยกวา 78 คะแนน

33

นนคอ P40 อยในต าแหนงท 8

จาก ต าแหนง P40 100

140

N

100

1408

N

140800 N 201N 19N

นนคอมนกเรยนทงหมด 19 คน

ดงนน มนกเรยน 11 คนทไดมำกกวำ 78 คะแนน

5. ในการสอบครงหนงมนกเรยน 9 คน ทไดคะแนนสอบวชาคณตศาสตรเทากบหรอนอยกวา 25 คะแนน ถาเปอรเซนไทลท 25 เทา 25 คะแนน จงหานกเรยนทงหมดทเขาสอบ วธท ำ

จากโจทย P25 = 25 คะแนน มนกเรยน 9 คน ทไดคะแนนสอบวชาคณตศาสตรเทากบหรอนอยกวา 25 คะแนน นนคอ P25 อยในต าแหนงท 9

จาก ต าแหนง P25 100

125

N

100

1259

N

125900 N 361N 35N

ดงนน มนกเรยนทงหมด 35 คน

6. ถามนกเรยน 20 คน จากนกเรยนทงหมด 25 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 92 คะแนน อยาก ทราบวาเปอรเซนไทลของคะแนน 92 คะแนนเทากบเทาใด วธท ำ จากโจทย มนกเรยน 20 คน จากนกเรยนทงหมด 25 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 92 คะแนน นนคอ แบงขอมลออกเปน 5 กลม กลมละ 5 คน ดงรป

34

5 คน 5 คน 5 คน 5 คน 5 คน

ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 92 คะแนน ดงนน 92 คะแนน ตรงกบ เปอรเซนไทลท 80

บรรณำนกรม

กระทรวงศกษาธการ. (2551). หลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพฯ : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด. กวยา เนาวประทป. (2556).เทคนคกำรเรยนคณตศำสตร : สถต. กรงเทพฯ : ส านกพมพฟสกสเซนเตอร.

35

บรชย ศรมหาสาคร. (2547). แผนกำรจดกำรเรยนรทเนนผเรยนเปนศนยกลำง(พมพครงท 2). กรงเทพฯ : บคพอยท. ยพน พพธกลและสรพร ทพยคง. (2550). ชดกจกรรมพฒนำกำรวเครำะหเสรมสรำงคณธรรม เยาวด วบนยศร. (2549). กำรวดผลและสรำงแบบทดสอบผลสมฤทธ (พมพครงท 6). กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. วมลรตน สนทรโรจน. (2549). นวตกรรมเพอกำรเรยนร. กรงเทพฯ : ส านกพมพชางทอง. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2555). กำรวดผลประเมนผลคณตศำสตร. กรงเทพฯ : ซเอดยเคชน. ________. (2558). หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน คณตศำสตร เลม 3 ชนมธยมศกษำปท 4-6

กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551 (พมพครงท 8). กรงเทพฯ : โรงพมพ สกสค. ลาดพราว.

สมนก ภททยธน. (2551). เทคนคกำรสอนและรปแบบกำรเขยนขอสอบแบบเลอกตอบ วชำคณตศำสตรเบองตน (พมพครงท 3). กาฬสนธ : โรงพมพประสานการพมพ. ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา. (2551).ตวชวดและสำระกำรเรยนรแกนกลำง กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551.กรงเทพฯ : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทยจ ากด. สรพร ทพยคง. (2545). หลกสตรและกำรสอนคณตศำสตร. กรงเทพฯ : บรษทพฒนา คณภาพวชาการ (พว.).

http://rathcenter.com/Exam/Onet/ONET5202.pdf คนเมอวนท 17 มถนายน 2560