ESTATÍSTICA BÁSICA

(Prof. Carlos Eduardo Rocha dos Santos)Curso 40 horas

SUMARIO

1. Introdução Geral à Compreensão Estatística......................................................................03

2. Distribuição de Freqüência.................................................................................................09

3. Medidas de Centralidade ou de Tendência Central............................................................13

4. Medidas de Assimetria e Curtose.......................................................................................28

5. Principais Tipos de Representação Gráfica........................................................................30

6. Medidas de Dispersão ou de Variabilidade........................................................................38

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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA

1. Objeto da Estatística

Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão.

A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.

Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher à amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm.

Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. 

Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

2. Ferramentas Estatísticas

2.1 - O que é Estatística?

Segundo JURAN:1. É a ciência da tomada de decisão perante incertezas;2. Coleta, análise e interpretação de dados;3. É um “kit” de ferramentas que ajuda a resolver problemas;4. Base para a maior parte das decisões tomadas quanto ao controle da qualidade, assim como em quase todas as outras áreas da atividade humana moderna.

Vista dessa forma, a Estatística não deve ser confundida como uma disciplina isolada, e sim, compreendida como uma ferramenta ou um conjunto de ferramentas, disponível para a solução de problemas em diversas áreas do conhecimento.

Segundo FEIGENBAUM: “Precisão significativamente aumentada em produção de itens e produtos tem sido acompanhada pela necessidade de métodos aperfeiçoados para medição, especificação e registro dela. A estatística, denominada ciência das medições, representa uma das técnicas mais valiosas utilizadas nas quatro tarefas, e isso tem ficado cada vez mais evidente”.

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2.2 Definições Básicas da Estatística

1) FENÔMENO ESTATÍSTICO: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível da aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. A estatística dedica-se ao estudo desses fenômenos.

Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. Fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se verificam para o particular.

2) DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.3) POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.4) AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população.5) PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. 6) ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.7) ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo.8) VARIÁVEL: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributosVariável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de variável e se dividem em:Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18, abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.

2.3 Planejamento para Coleta e Análise de Dados

As ferramentas devem ser utilizadas de maneira eficiente para alcançar o sucesso. Para tanto, o processo deve incluir:1. planejamento cuidadoso da coleta de dados;2. análise de dados para tirar conclusões estatísticas e3. transição para a resposta ao problema técnico original.

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Segundo JURAN, alguns passos-chave são:1. Coletar informações anteriores suficientes para traduzir o problema de engenharia em problema específico que possa ser avaliado por métodos estatísticos;2. Planejar a coleta de dados:a. Determinar o tipo de dados necessários – quantitativos (mais custo, mais útil) e qualitativos;b. Determinar se quaisquer dados prévios estão disponíveis e são aplicáveis ao presente problema;c. Se o problema exigir uma avaliação de várias decisões alternativas, obter informações sobre as conseqüências econômicas de uma decisão errada.d. Se o problema exigir a estimação de um parâmetro, definir a precisão necessária para a estimativa; e. Determinar se o erro de medição é grande o suficiente para influenciar o tamanho calculado da amostra ou o método da análise de dados;f. Definir as suposições necessárias para calcular o tamanho da amostra exigido;g. Calcular o tamanho da amostra necessário considerando a precisão desejada do resultado, erro amostral, variabilidade dos dados, erros de medição e outros fatores;h. Definir quaisquer requisitos para preservar a ordem das medições quando o tempo for um parâmetro chave;i.Determinar quaisquer requisitos para coletar dados em grupos definidos – diferentes condições a serem avaliadas;j. Definir o método de análise de dados e quaisquer hipóteses necessárias;k.Definir os requisitos para quaisquer programas de computador que venham a ser necessários.3. Coletar dados:a. Usar métodos para assegurar que a amostra é selecionada de forma aleatória;b. Registrar os dados e também as condições presentes no momento de cada observação;c. Examinar os dados amostrais para assegurar que o processo mostra estabilidade suficiente para se fazer previsões válidas para o futuro.4. Analisar os dados:a. Selecionar os dados;b. Avaliar as hipóteses previamente estabelecidas. Se necessário, tomar atitudes corretivas (novas observações);c. Aplicar técnicas estatísticas para avaliar o problema original;d. Determinar se dados e análises adicionais são necessários;e. Realizar “análises de sensibilidade” variando estimativas amostrais importantes e outros fatores na análise e observando o efeito sobre as conclusões finais.5. Rever as conclusões da análise de dados para determinar se o problema técnico original foi avaliado ou se foi modificado para se enquadrar nos métodos estatísticos.6. Apresentar os resultados:a. Estabelecer as conclusões de forma significativa, enfatizando os resultados nos termos do problema original, e não na forma dos índices estatísticos usados na análise;b. Apresentar graficamente os resultados quando apropriado. Usar métodos estatísticos simples no corpo do relatório e colocar as análises complexas em um apêndice.7. Determinar se as conclusões do problema específico são aplicáveis a outros problemas ou se os dados e cálculos poderiam ser úteis para outros problemas.

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3. ESTATÍSTICA DESCRITIVAViu-se anteriormente um roteiro para coleta e análise de dados. As séries de dados, basicamente, são provenientes de duas fontes: os “dados históricos” e os “dados de experimentos planejados”.

Os dados históricos são séries de dados existentes e, em geral, analisar estatisticamente esses dados é mais econômico (tempo e despesas) se comparado com dados obtidos a partir de experimentos planejados. Mesmo com uma análise estatística complexa, em geral, pouco sucesso se obtém com tais dados. No controle de um processo, algumas razões para esse insucesso ocorrer são:1. As variáveis do processo podem estar altamente correlacionadas entre si, tornando impossível distinguir a origem de um determinado efeito.2. .As variáveis do processo podem ter sido manipuladas para controlar o resultado do processo.3. .As variáveis do processo têm abrangência pequena em relação ao intervalo de operação do processo.4. Outras variáveis que afetam o resultado do processo podem não ter sido mantidas constantes, e serem as reais causadoras dos efeitos observados no processo.Por essas razões, recomenda-se a análise de séries de dados históricos apenas para a indicação de variáveis importantes a serem observadas em um experimento planejado.

Os dados de experimentos planejados são coletados com o objetivo estudar e analisar um problema. São dados reunidos em diversas séries de variáveis com aparente importância em um processo, enquanto se mantém constantes (com valores registrados) todas as outras variáveis que possivelmente poderiam alterar o resultado. Aqui tratar-se-á de métodos práticos de organização de dados. Segundo SPIEGEL4: “A parte da estatística que procura somente descrever e analisar um certo grupo, sem tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior, é chamada estatística descritiva ou dedutiva.”Freqüentemente dois ou mais métodos de organização são utilizados para descrever com clareza dados coletados. Alguns desses métodos são: gráficos dos dados na ordem cronológica, distribuição e histogramas de freqüência, características amostrais, medidas de tendência central e medidas de dispersão.

4. SÉRIES ESTATÍSTICAS

TABELA: Resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática.

De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar:

um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; três pontos ( ... ) quando não temos os dados; zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de

determinado valor.

Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. "Salientamos que nestes documentos as tabelas não serão abertas devido a limitações do editor html".

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É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.

Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica.

a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.

ABC VEÍCULOS LTDA.

Vendas no 1º bimestre de 2002

PERÍODO UNIDADES VENDIDAS *

JAN/2002 2 0FEV/2002 1 0TOTAL 3 0

* Em mil unidades

.b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.

ABC VEÍCULOS LTDA.

Vendas no 1º bimestre de 2002

FILIAIS UNIDADES VENDIDAS *

São Paulo 1 3Rio de Janeiro 1 7TOTAL 3 0

* Em mil unidades

c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.

ABC VEÍCULOS LTDA.

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Vendas no 1º bimestre de 2002

MARCA UNIDADES VENDIDAS *

FIAT 1 8GM 1 2TOTAL 3 0

* Em mil unidades

Séries Conjugadas: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal.

ABC VEÍCULOS LTDA.

Vendas no 1º bimestre de 2002

FILIAIS Janeiro/2002 Fevereiro/2002São Paulo 1 0 3Rio de Janeiro 1 2 5TOTAL 2 2 8

* Em mil unidades

Obs: as séries heterógradas serão estudas no capítulo 2 ( distribuição de frequências ).

CAPÍTULO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

É uma ferramenta estatística apropriada para a apresentação de grandes massas de dados numa forma que torna mais clara a tendência central e a dispersão dos valores ao longo da escala de medição, bem como a freqüência relativa de ocorrência dos diferentes valores.

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Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.

É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições de seus valores).

Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados.

Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51

ROL: Tem-se um rol após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).

Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para um tabela de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:

Tabela 1

Dados Frequência

41 3

42 2

43 1

44 1

45 1

46 2

50 2

51 1

52 1

54 1

57 1

58 2

60 2

Total 20

Distribuição de frequência com intervalos de classe:Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.

Tabela 2

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Classes Frequências

41 |------- 45 7

45 |------- 49 3

49 |------- 53 4

53 |------- 57 1

57 |------- 61 5

Total 20

2.1 Elementos de uma Distribuição de Freqüência com classes

CLASSE: são os intervalos da variável simbolizada por i e o número total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k=5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i=3. Para a construção de uma tabela a partir de um dado bruto calcularemos o k através da Regra de Sturges" k=1+3,3logn (para n<25) ou k=n (para n>25).

LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número, limite superior de classe (Ls). Ex: em 49 |--- 53 Li3= 49 e Ls3= 53. O símbolo |--- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 não pertence à classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |--- 57.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe simbolizada por a = Ls - li. Ex: na tabela anterior a= 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuição de frequência c/ classe o c será igual em todas as classes. Para a construção de uma tabela a partir de um dado bruto temos: a=Ls-Li/K

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. Onde At = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo At = 60 - 41 = 19.

PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja, x3=(Li+Ls)/2.

Os dados brutos a seguir apresentam um conjunto de tempos para determinada operação.  

5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,2 6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7

10

6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7 7,1 7,1 7,2 7,2 7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 7,8 7,9 7,9 8 8 8,1 8,2 8,3 8,3 8,4 8,5 8,5 8,6 8,7 8,8 8,8 8,9 9 9,1 9,2 9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9,9 10 10,2 10,2 10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9

2.2 Regras para a elaboração de uma distribuição de freqüências com classes

1º Organize os dados brutos em um ROL.

2º Calcule a amplitude total At.

No nosso exemplo: At =14,9 – 5,1 = 9,8

3º Calcule o número de classes (K), que será calculado usando K = . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. Neste caso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8. No nosso exemplo: n = 80 dados, então , k=n = 8,9 .

4º Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:

No exemplo, a será igual a:

5º Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com frequência = 0 (zero).

6º   Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23.  

Intervalo de Classe

Freqüência Absoluta (fi) Freqüência

Acumulada (Fi)

Freqüência Relativa (fr)

Freqüência Acumulada (Fr)

05,10 |---| 06,33 13 13 16,25 16,2506,34 |---| 07,57 21 34 26,25 42,5007,58 |---| 08,81 22 56 27,50 70,0008,82 |---| 10,05 15 71 18,75 88,7510,06 |---| 11,29 4 75 5,00 93,7511,30 |---| 12,53 3 78 3,75 97,5012,54 |---| 13,77 1 79 1,25 98,7513,78 |---| 15,01 1 80 1,25 100

Total  80 - 100 -

Obs: Agrupar os dados em classes é uma importante ferramenta para resumir grandes massas de dados brutos, no entanto acarreta perda de alguns detalhes.

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Frequências simples ou absolutas (fi): são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.

Frequências relativas (fr): são os valores das razões entre as frequências absolutas de cada classe e a frequência total da distribuição. A soma das frequências relativas é igual a 1 (100 %).

Frequência simples acumulada de uma classe (Fi): é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determida classe.

Frequência relativa acumulada de um classe (Fr): é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.

CAPÍTULO 3 – MEDIDAS DE CENTRALIDADE

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Há várias medidas de tendência central, entretanto nesta apostila, será abordado o estudo de apenas aquelas que são mais significativas. As mais importante medidas de tendência central são: a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda.

3. Medidas de Centralidade

3.1 Média Aritmética=

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.

A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero. 

A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.

Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.

É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

Média aritmética – para dados não-agrupados (ou dados simples)

Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média aritmética simples de X, representada por x, é definida por: x1 + x2 + x3 + ... + xn xi

x = ------------------------------- ou x = ------- n n

xi : são os valores que a variável X assumen: número de elementos da amostra observada

Exemplo: A produção leiteira diária da vaca B, durante uma semana, foi de 10, 15, 14, 13, 16, 19, e 18 litros. Determinar a produção média da semana (a média aritmética).

xi 10 + 15 + 14 + 13 + 16 + 19 + 18 x = --------- x = ---------------------------------------------- = 15 litros n 7

Média aritmética – para dados agrupados

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Se os valores da variável forem agrupados em uma distribuição de freqüências será usada a média aritmética dos valores x1, x2, x3 ,..., xn ponderadas pelas respectivas frequências absolutas: f1, f2, f3 ,..., fn.

xi . ƒi x = ------------ , onde: n

xi : valores observados da variável ou ponto médio das classes ƒi: freqüência simples absoluta ƒi = n : número de elementos da amostra observada

A fórmula acima será usada para as distribuições de freqüências sem classes e com classes.

Média aritmética para dados agrupados sem classes (Média aritmética ponderada)

(Dados sem classes): Determinar a média aritmética da Tabela 5.4

Tabela 5.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casaisNúmero de filhos

( xi )Numero

de casais( fi )

xi . ƒi

xi . ƒi 117x = ----------- = ------ = 2,34 n 50

x = 2,3 filhos

0 61 16 2 93 84 35 36 37 2

Total () 50

Os 50 casais possuem, em média 2,3 filhos.

Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares

(Dados com classes): Determinar a média aritmética da Tabela 5.7

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas(em %) 1970.

Taxas (em %)Número deMunicípios

( fi )xi xi . ƒi

6 --- 16 2916 --- 26 2426 --- 36 1636 --- 46 1346 --- 56 456 --- 66 366 --- 76 276 --- 86 286 --- 96 1Total () 94

xi . ƒi

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x = ------------ = ---------- x = n

Dados agrupados:

Sem intervalos de classe

Consideremos a distribuição relativa de um canal de comunicação que está sendo monitorado pelo registro do nº de erros em um conjunto de caracteres (string) 1.000 bits. Dados para 34 desses conjuntos são vistos a seguir.

Nº de erros frequência = fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

total 34

Como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

..xi. ..fi. ..xi.fi .0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

total 34 78

onde 78 / 34 = 2,3 erros

Com intervalos de classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

..onde Xi é o ponto médio da classe.

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Exemplo: Calcular o número de molas fora de conformidade, em cada batelada de produção, com um tamanho igual a 40 conforme a tabela abaixo.

Nº de molas frequência = fi ponto médio = xi ..xi.fi. 50 |---- 54 4 52 208

54 |---- 58 9 56 504

58 |---- 62 11 60 660

62 |---- 66 8 64 512

66 |---- 70 5 68 340

70 |---- 74 3 72 216

Total 40 2.440

Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 molas

Propriedades da média aritmética

1ª propriedadeA soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula).

di = (xi - x ) = 0

onde: di são as distâncias ou afastamentos da média.

Em uma distribuição simétrica será igual a zero e tenderá a zero se a distribuição for assimétrica.

Idades ( xi ) di = xi - x

2 d1 = 2 – 6 = -44 d2 = 4 – 6 = -26 d3 = 6 – 6 = 08 d4 = 8 – 6 = +2 10 d5 = 10 – 6 = +4

0

2 + 4 + 6 + 8 + 10

x = ------------------------------- = 6 5

2ª propriedadeSomando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma variável,

a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante.

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Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média

Idades ( xi ) xi + 2

2 2 + 2 = 44 4 + 2 = 6 6 6 + 2 = 88 8 + 2 = 10

10 10 + 2 = 12 40

A nova média será: 40

x = ------ = 8. No caso, a média aritmética anterior ficou aumentada de 2. 5

3ª propriedadeMultiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma

constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante:

Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média

Idades ( xi ) xi x 2

2 2 x 2 = 44 4 x 2 = 8 6 6 x 2 = 128 8 x 2 = 16

10 10 x 2 = 20 60

A nova média será: 60

x = ------ = 12. No caso, a média aritmética anterior ficou multiplicada por 2. 5

4ª propriedade

A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos.

x1 = 10 n1 = 15 x2 = 18 n2 = 23

Então: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk ) xG = --------------------------------------------------- n1 + n2 + .... + nk

(10 . 15 ) + (18 . 23 ) xG = -------------------------------- = 14,84 15 + 23

5ª propriedade

A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da média aritmética é um mínimo.

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Idades ( xi ) di = (xi – x) di2 = (xi – x)2

2 d1 = 2 – 6 = -4 (– 4)2 = 16

4 d2 = 4 – 6 = -2 (– 2)2 = 4

6 d3 = 6 – 6 = 0 ( 0)2 = 0

8 d4 = 8 – 6 = +2 ( +2)2 = 4

10 d5 = 10 – 6 = +4 ( +4)2 = 16

0 40

De modo que: (xi – x)2 = 40 sendo este valor o menor possível. Isso significa que, se tomássemos outro valor que não a média (x), o resultado dessa operação seria maior que o obtido.

6ª propriedadeA média aritmética é atraída pelos valores extremos.

Considere os valores originais:xi : 2, 4, 6, 8, 10 x = 6

Se o primeiro valor xi for alterado para 0:xi : 0, 4, 6, 8, 10 x = 5,6

Se o último valor xi for alterado para 12:xi : 2, 4, 6, 8, 12 x = 6,4

MÉDIA GEOMÉTRICA = g É a raiz n-ésima do produto de todos eles.

Média Geométrica Simples: ou

Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números: Ea) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3) ....R: 60b) { 2, 2, 2 }........: = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) .. .R: 2c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4) ....R: 8

Média Geométrica Ponderada :

ou ..Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:

...xi... ...fi...

1 2

3 4

9 2

27 1

Total 9

= (12 * 34 * 92 * 271) (1/9)........R: 3,8296

18

MÉDIA HARMÔNICA - h

É o inverso da média aritmética dos inversos..Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados)

.. ou

.Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüências)

Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:

classes ....fi.... ....xi.... ........fi/xi........

1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1,00

3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1,00

5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1,33

7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0,50

9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0,20

total 20 4,03

Resp: 20 / 4,03 = 4,96

OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.

A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação:

g = ( .+ h ) /.2

Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:

z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }

Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600

19

Média geométrica= = 10,2587Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574

Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométricaMODATambém chamada de norma, valor dominante ou valor típico. É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

Mo é o símbolo da moda.

Desse modo, a força modal de remoção para um conector é a força mais comum, isto é, a força de remoção medida em um teste de laboratório para um conector.

.

A Moda quando os dados não estão agrupados

A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete.

Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.

Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.

Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.

.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais.

Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

.A Moda quando os dados estão agrupados

a) Sem intervalos de classe

Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência.

Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:

Temperaturas Frequência

0º C 3

1º C 9

2º C 12

3º C 6

20

Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequência.

.

b) Com intervalos de classe

A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Mo = ( Li+ Ls) / 2

onde Li = limite inferior da classe modal e Ls= limite superior da classe modal.

Exemplo: Calcule a resistência modal dos 33 resistores conforme a tabela abaixo.

Resistência (em ohms) Freqüência

54 |---- 58 9

58 |---- 62 11

62 |---- 66 8

66 |---- 70 5

Resp: a classe modal é 58|--- 62, pois é a de maior frequência. Li=58 e Ls=62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm (este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).

Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER:

Mo = Li + ((fmo - fant) / ( 2fmo – (fant + fpost))) x c

Li= limite inferior da classe modal

fmo = frequência da classe modal

fant =frequência da classe anterior à da classe modal

fpost =frequência da classe posterior à da classe modal

c = amplitude da classe modal

21

Exemplo:

Tabela 5.7 – Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.

1º) Identifica-se a classe (a de maior freqüência): Na Tabela é a 1ª classe: 6 --- 16 2º passo: Aplica-se a fórmula: li + ls 1º processo: Moda bruta: Mo = -------- 2sendo,li: limite inferior da classe modal = 6ls: limite superior da classe modal = 16

6 + 16 Mo = ----------- = 11% 2

Taxas (em %)Número deMunicípios

( fi )6 --- 16 29

24161343221

16 --- 2626 --- 3636 --- 4646 --- 5656 --- 6666 --- 7676 --- 8686 --- 96Total () 94

D1

2º processo: Fórmula de Czuber: Mo = LMo + -------------- x h(método mais elaborado) D1 + D2

sendo:LMo : limite inferior da classeh: intervalo da classe modalD1 : freqüência simples da classe modal freqüência simples anterior à da classe modal D2 : freqüência simples da classe modal freqüência simples posterior à da classe modal

Na Tabela 5.7, temos: 29LMo = 6 Mo = 6 + ------------- x 10 = 14,5%h = 10 29 + 5D1 = 29 0 = 29 D2 = 29 24 = 5 A taxa de urbanização mais freqüente ficou em torno de 14,5%.

Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade.

22

MEDIANA

A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Símbolo da mediana: Md

.A mediana em dados não-agrupados

Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.

Método prático para o cálculo da Mediana

Se a série dada tiver número ímpar de termos:

O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :

O elemento mediano será:..EMd = n + 1 / 2

Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana.

A mediana será o 5º elemento, ou seja, Md = 2

Se a série dada tiver número par de termos:

O elemento mediano será:..EMd = n / 2

Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a fórmula ficará: :..EMd = 10 / 2 = 5

Será na realidade (5º termo + 6º termo) / 2

23

A mediana será = (2+3) / 2, ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.

Notas:

Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série.

Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.

Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada.

Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

.

A mediana em dados agrupados

a) Sem intervalos de classe

Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.

Exemplo conforme tabela abaixo:

Variável xi Frequência fi Frequência acumulada

0 2 2

1 6 8

2 9 17

3 13 30

4 5 35

Total 35 -

Quando o somatório das frequências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :.

24

Como o somatório das frequências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..

Quando o somatório das frequências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :.

Exemplo - Calcule Mediana da tabela abaixo:

Variável xi Frequência fi Frequência acumulada

12 1 1

14 2 3

15 1 4

16 2 6

17 1 7

20 1 8

Total 8 -

Aplicando a fórmula acima teremos: [(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe

Devemos seguir os seguintes passos:

1º) Determinamos as frequências acumuladas ;

2º) Calculamos ;

3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à

. Tal classe será a classe mediana;

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:..Li + [(EMd - Fant) x c] / fMd

Li = é o limite inferior da classe mediana.

Fant = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.

25

fMd= é a frequência simples da classe mediana.

c = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Exemplo:

classes frequência = fi Frequência acumulada

50 |---- 54 4 4

54 |---- 58 9 13

58 |---- 62 11 24

62 |---- 66 8 32

66 |---- 70 5 37

70 |---- 74 3 40

Total 40 -

= 40 / 2 =.20..logo.a classe mediana será 58 |---- 62

Li = 58....... Fant = 13........... fMd = 11........... c = 4

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54

OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição.

Emprego da Mediana

Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.

26

CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE

Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade).

Distribuições simétricas

A distribuição das freqüências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média. Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 

 

Caso especial de uma distribuição simétrica

Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que se distribuem em forma de sino.

Distribuições Assimétricas

A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:

 

Distribuições com "caudas" longas 

27

Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 

1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 

2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana

3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana. 

São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas. Têm como características principais, o uso de escalas, a existência de um sistema de coordenadas, a simplicidade, clareza e veracidade de sua representação.

28

CAPÍTULO 5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

5.1 INTRODUÇÃO

A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos.A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. A vantagem de um gráfico sobre a tabela está em possibilitar uma rápida impressão visual da distribuição dos valores ou das freqüências observadas. Os gráficos propiciam uma idéia inicial mais satisfatória da concentração e dispersão dos valores, uma vez que através deles os dados estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis.

5.2 REQUISITOS FUNDAMENTAIS EM UM GRÁFICO:

a. Simplicidade: possibilitar a análise rápida do fenômeno observado. Deve conter apenas o essencial.b. Clareza: possibilitar a leitura e interpretações correta dos valores do fenômeno.c. Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenômeno observado.

5.3 TIPOS DE GRÁFICOS QUANTO A FORMA:

a. Diagramas: gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São mais usados na representação de séries estatísticas.

b. Cartogramas: é a representação sobre uma carta geográfica, sendo muito usado na Geografia, História e Demografia.

c. Estereogramas: representam volumes e são apresentados em três dimensões.

d. Pictogramas: a representação gráfica consta de figuras representativas do fenômeno. Desperta logo a atenção do público.

5.4 CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS QUANTO AO OBJETIVO

a. Gráficos de informação

O objetivo é proporcionar uma visualização rápida e clara da intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenômeno. São gráficos tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo possível, dispensando comentários explicativos.

CARACTERÍSTICAS:

- deve conter título em letra de forma;

29

- as legendas podem ser omitidas, desde que as informações presentes possibilite a interpretação do gráfico.

b. Gráficos de análise

Estes gráficos fornecem informações importantes na fase de análise dos dados, sendo também informativos.

Os gráficos de análise, geralmente, vêm acompanhado de uma tabela e um texto onde se destaca os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela tabela.

5.5 PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS

5.5.1 GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS

São usados para representar séries temporais, principalmente quando a série cobrir um grande número de períodos de tempo.

Considere a série temporal: Tabela 4.1 Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

AnosQuantidade(1000 ton)

1984 8161985 9041986 1.2031987 1.1471988 1.2391989 1.5651990 1.6201991 1.8331992 1.9101993 1.8901994 1.903

Fonte: Fictícia

5.5.2 GRÁFICOS EM COLUNAS

30

É a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.

As regras para a construção são as mesmas do gráfico em curvas.As bases das colunas são iguais e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

Exemplo: Tabela 4.2 Produção de Soja do Município X - 1991-1995

AnosQuantidade

(ton.)1991 117.5791992 148.5501993 175.3841994 220.2721995 265.626

Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura

Para cada ano é construído uma coluna, variando a altura (proporcional a cada quantidade). As colunas são separadas uma das outras. Observação: O espaço entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna.

Uso do gráfico em colunas para representar outras séries estatísticas

Tabela 4.3 Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966

Regiões Fisiográficas Área(Km2)

Norte 3.581.180Nordeste 965.652Sudeste 1.260.057Sul 825.621Centro-oeste 1.879.965

Brasil 8.511.965Fonte: IBGE.

31

Obs: Na tabela as regiões são apresentadas em ordem geográficas. No gráfico as colunas são ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para a direita.

5.5.3 GRÁFICOS EM BARRASAs alturas dos retângulos são iguais e arbitrárias e os comprimentos são proporcionais

aos respectivos dados.As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espaço de forma que as

inscrições identifiquem as diferentes barras. O espaço entre as barras pode ser a metade (½) ou dois terços(2/3) de suas larguras.

As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente para facilitar a comparação dos valores. A categoria “outros” (quando existir) são representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra.

Outra representação gráfica da Tabela 4.3:

Tabela 4.4

Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995

32

Ramos de ensino MatrículasFilosofia, Ciências e Letras 44.802Direito 36.363Engenharia 26.603Administração e Economia 24.027Medicina 17.152Odontologia 6.794Agricultura 4.852Serviço Social 3.121Arquitetura e Urbanismo 2.774Farmácia 2.619Demais ramos 11.002Total 180.109

Fonte: Fictícia

OBS: Quando a variável em estudo for qualitativa e os nomes das categorias for extenso ou as séries forem geográficas ou específicas é preferível o gráfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da coluna.

5.5.4 GRÁFICO EM COLUNAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)

É um tipo de gráfico útil para estabelecer comparações entre as grandezas de cada categoria dos fenômenos estudados.

A modalidade de apresentação das colunas é chamada de Gráfico de Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaços sendo mais indicado quando a série apresenta um número significativo de categorias.

Exemplo: Tabela 4.5

33

Entrada de migrantes em três Estados do Brasil - 1992-1994Número de migrantes

AnosTotal

Estados

Amapá São Paulo Paraná1992 4.526 2.291 1.626 6091993 4.633 2.456 1.585 5921994 4.450 2.353 1.389 708

Fonte: Fictícia

5.5.5 GRÁFICO EM BARRAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)Útil quando a variável for qualitativa ou os dizeres das categorias a serem escritos são

extensos.Exemplo: Tabela 4.6 Importação Brasileira de vinho e champanhe proveniente de várias origens - 1994

Países Importação (1.000 dólares)Vinho Champanhe

Portugal 220 15Itália 175 25França 230 90Argentina 50 5Chile 75 20Espanha 110 16

Fonte: Fictícia

34

5.5.6 GRÁFICO EM SETORESÉ a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de raio qualquer, pôr

meio de setores com ângulos centrais proporcionais às ocorrências.É utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o total.O total da série corresponde a 360 (total de graus de um arco de circunferência).O gráfico em setores representam valores absolutos ou porcentagens complementares.As séries geográficas, específicas e as categorias em nível nominal são mais

representadas em gráficos de setores, desde que não apresentem muitas parcelas (no máximo sete).Cada parcela componente do total será expressa em graus, calculada através de uma

regra de três:

Total - 360Parte - x

Exemplo: Tabela 4.7 Produção Agrícola do Estado A - 1995

Produtos Quantidade (t)Café 400.000Açúcar 200.000Milho 100.000Feijão 20.000Total 720.000

Fonte: Fictícia

35

Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 4.7:

36

CAPÍTULO 6 - MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE

No capítulo 3 vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados.

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.

DESVIO PADRÃO ( S )

É a medida de dispersão mais empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por  S.

Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão. 

O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. 

A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.

37

Exemplo: Calcular o desvio padrão da população representada por  - 4 , -3 , -2 , 3 , 5

  Xi                      

- 4 - 0,2 - 3,8 14,44

- 3 - 0,2 - 2,8 7,84

- 2 - 0,2 - 1,8 3,24

3 - 0,2 3,2 10,24

5 - 0,2 5,2 27,04

Total - - 62,8

Sabemos que n = 5  e   62,8 / 5 = 12,56.

A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54

Quando os dados estão agrupados (temos a presença de frequências) a fórmula do desvio padrão ficará:

  ou  

Exemplo: Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo:

  Xi     f i   Xi . f i                . f i

0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82

1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26

2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12

3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67

4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83

 Total 30 63 - - - 32,70

Sabemos que fi = 30  e   32,7 / 30 = 1,09.

A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044

Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padrão seria a raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062

38

Obs: Nas tabelas de frequências com intervalos de classe a fórmula a ser utilizada é a mesma do exemplo anterior.

 

VARIÂNCIA ( S2 )

Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.

   

A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA

CVP: Coeficiente de Variação de Pearson

Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes limitações. Assim, um desvio padrão de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.

Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.

Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de CVP: Coeficiente de Variação de Pearson (é a razão entre o desvio padrão e a média referente aos dados de uma mesma série).

A fórmula do CVP = (S /   ) x 100    (o resultado neste caso é expresso em percentual, entretanto pode ser expresso também através de um fator decimal, desprezando assim o valor 100 da fórmula).

39

S2 =

Exemplo 1:

Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:

Discriminação    M É D I A    DESVIO PADRÃO

ESTATURAS 175 cm 5,0 cm

PESOS 68 kg 2,0 kg

Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade?

Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O resultado menor será o de maior homogeneidade (menor dispersão ou variabilidade).

CVP estatura = ( 5 / 175 ) x 100 = 2,85 %

CVP peso = ( 2 / 68 ) x 100 = 2,94 %.

Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão que os pesos.

Exemplo 2:

O risco de uma ação de uma empresa pode ser devidamente avaliado através da variabilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilísticas dos retornos, relativas a cada ação individual, possibilita a quem toma decisões perceber os diferentes graus de risco. Analise, abaixo, os dados estatísticos relativos aos retornos de 5 ações e diga qual é a menos arriscada?

Discriminação Ação A Ação B Ação C Ação D Ação E

Valor esperado 15 % 12 % 5 % 10 % 4 %

Desvio padrão 6 % 6,6 % 2,5 % 3 % 2,6 %

Coeficiente de variação 0,40 0,55 0,50 0,30 0,65

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Exercícios

1. Identifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguintes características das unidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia do Usuário do aplicativo Microsoft Excel: mês, tipo de produto, vendedor, região do país, unidades vendidas e total de vendas.2. É possível encontrar a seguinte série de desvios tomados em relação a média aritmética: 4, -3, 2, -7 e 5? Justifique.3. Dados dois grupos de pessoas, o grupo A com 10 elementos e o grupo B com 40 elementos. Se o peso médio do grupo A for de 80 kg e o do grupo B for de 70 kg então é verdade que o peso médio dos dois grupos considerados em conjunto é de 75 kg? Justifique.4. Um concurso realizado simultaneamente nos locais A, B e C, apresentou as médias: 70, 65 e 45, obtidos por 30, 40 e 30 candidatos, nessa ordem. Qual foi a média geral do concurso?5. Para um dado concurso, 60% dos candidatos eram do sexo masculino e obtiveram uma média de 70 pontos em determinada prova. Sabendo-se que a média geral dos candidatos (independente de sexo) foi de 64 pontos, qual foi a média dos candidatos do sexo feminino?6. Determinar a moda dos seguintes conjuntos:(6.1) 1, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e 11(6.2) 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5(6.3) 8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 10, 10, 15, 10, 16 e 10(6.4) 23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 187. Determinar a mediana dos seguintes conjuntos:(7.1) 9 14 2 8 7 14 3 21 1(7.2) 0,02 0,25 0,47 0,01 -0,30 -0.5(7.3) 1/2 3/4 4/7 5/4 -2/3 -4/5 -1/5 3/88. Para os conjuntos abaixo, determinar com aproximação centesimal, as seguintes medidas:(a) A amplitude (b) O desvio médio (c) A variância (d) O desvio padrão (e) O coeficiente de variação.(8.1) 0,04 0,18 0,45 1,29 2.35(8.2) -7/4 -1/3 3/5 7/20 1 4/39. Dados os seguintes conjuntos de valores:(a) 1 3 7 9 10 (b) 20 60 140 180 200 (c) 10 50 130 170 190.Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em (a), determinar, através das propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em (b) e (c).10. Quarenta alunos da PUC foram questionados quanto ao número de livros lidos no ano anterior.Foram registrados os seguintes valores:4 2 1 0 3 1 2 0 2 10 2 1 1 0 4 3 2 3 58 0 1 6 5 3 2 1 6 43 4 3 2 1 0 2 1 0 3(10.1) Organize os dados em uma tabela adequada.(10.2) Qual o percentual de alunos que leram menos do que 3 livros.(10.3) Qual o percentual de alunos que leram 4 ou mais livros.(10.4) Classifique a variável e o tipo de distribuição utilizada.

11. O conjunto de dados abaixo representa uma amostra de 40 elementos:3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 2,885,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 4,155,28 5,41 7,77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 6,000,90 5,09 4,07 8,67 0,90 6,67 8,96 4,00 2,00 2,01

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(11.1) Agrupe os dados em uma distribuição de freqüências, considerando o limite inferior igual azero, o superior igual a 10 e utilizando cinco classes de mesma amplitude.(11.2) Construa um histograma de freqüências relativas.12. Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página conformetabela:(12.1) Qual o número médio de erros por página?(12.2) Qual o número mediano de erros por página?(12.3) Qual o número modal de erros por página?(12.4) Qual o desvio padrão do número de erros por página?Aluguéis Zona Urbana Zona Rural1 |----- 3 10 303 |----- 5 40 505 |----- 7 80 157 |----- 9 50 059 |----- 11 20 00 200 100

13.Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página conformetabela:(13.1) Qual o número médio de erros por página?(13.2) Qual o número mediano de erros por página?(13.3) Qual o número modal de erros por página?(13.4) Qual o desvio padrão do número de erros por página?

Erros Número de páginas0 251 202 33 14 1Total 50

14. Durante certo período de tempo o rendimento de 10 ações foram os que a tabela registra.(14.1) Calcule o rendimento médio.(14.2) Calcule o rendimento mediano.(14.3) Calcule o rendimento modal.(14.4) Calcule o desvio padrão do rendimento.(14.5) Calcule o coeficiente de variação do rendimento.

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Ação Taxa (%)1 2,592 2,643 2,604 2,625 2,576 2,557 2,618 2,509 2,6310 2,64

15. Uma região metropolitana tem 50 quarteirões com os seguintes números de casas por quarteirão:

2 2 3 10 13 14 15 15 16 16

18 18 20 21 22 22 23 23 25 25

26 27 29 29 30 32 36 42 44 45

45 46 48 52 58 59 61 61 61 65

66 66 68 75 78 80 89 90 92 97

(15.1) Construa, com os dados, uma distribuição de freqüências por intervalos fazendo com que as classes tenham amplitudes iguais a 14.(15.2) Calcule o número médio de casas por quarteirão.(15.3) Determine o número mediano de casas por quarteirão.(15.4) Calcule a variância do número de casas por quarteirão.(15.5) Calcule, pelos dois processos, o número modal de casas por quarteirão.16. De um levantamento feito entre 100 famílias resultou a tabela ao lado. Determine:(16.1) O número médio de filhos.(16.2) O número mediano de filhos.(16.3) O número modal de filhos.(16.4) O desvio padrão do número de filhos.

17. As informações abaixo dizem respeito a distribuição de três variáveis. Indique, justificando, qual delas tem média mais representativa.

Distribuição A Distribuição B Distribuição C

n = 200 n = 50  = 8 fx = 5000 fx = 500 fx = 3200 fx2 = 130000 fx2 = 5450 fx2 = 32000

18. Uma variável x tem média igual a 10 e variância igual a 16. Calcule a média e a variância da variável dada por y = (3x + 5) / 219. Os operários de um setor industrial têm, em uma época 1, um salário médio de 5 salários mínimos (sm) e desvio padrão de 2 sm. Um acordo coletivo prevê, para uma época 2, um aumento linear de 60%, mais uma parte fixa correspondente a 70% de um salário mínimo. Calcule a média e o desvio padrão dos salários na época 2.20. O que se pode dizer se fosse dada a informação de que o salário mediano de um conjunto de profissionais é de 6 sm?21. Um a comunidade A tem 100 motoristas profissionais cujo salário médio é de 5 sm. A comunidade B, com 300 desses profissionais, remunera-os com uma média de 4 sm.(21.1) É correto afirmar que A remunera melhor seus motoristas profissionais que B?

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Número de filhos Número de famílias 0 18 1 23 2 28 3 21 4 7 5 3Total 100

(21.2) Diante das informações disponíveis há garantia que os 100 salários individuais de A são maiores que os 300 de B? Por que?22. O departamento de pessoal de um certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela:(22.1) Determine o salário médio dos funcionários(22.2) Determinar a variância e o desvio padrão dos salários.(22.3) Determinar o salário mediano.(22.4) Determinar o salário modal pêlos critérios de King e Czuber.(22.5) Se for dado um aumento de 20% para todos os funcionários, qual será o novo salário médio e o novo desvio padrão dos salários?(22.6) Se for dado um abono de 0,5 s.m. a todos os funcionários como fica a média e o desvio padrão dos salários?

23. O que acontece com a média e o desvio padrão de um conjunto de dados quando:(23.1) Cada valor é multiplicado por 2.(23.2) Soma-se o valor 10 a cada valor.(23.3) Subtrai-se a média de cada valor.(23.4) De cada valor subtrai-se a média e em seguida divide-se pelo desvio padrão.24. A média aritmética entre dois valores é igual a 5 e a média geométrica igual a 4. Qual a média harmônica entre estes dois valores?

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Faixa salarial (s.m.) % de funcionários1 |---- 3 0,253 |---- 5 0,405 |---- 7 0,207 |--- 10 0,15Total 1,00