A Desigualdade de Bernoulli

Esta desigualdade devido ao matemtico suio Jacques Bernoulli e muito importante para estabelecer alguns teoremas de Clculo e Anlise Matemtica. Neste post, veremos esta desigualdade e algumas de suas aplicaes. Proposio 1: (Jacques Bernoulli) Dados ento com e ,

Demonstrao: Usaremos induo finita sobre . evidente que ela vlida para . Suponhamos ento que a expresso seja vlida e provaremos que ela tambm verdadeira para . De fato,

A prxima proposio uma generalizao desta desigualdade. Proposio para para Demonstrao: Considere a funo cuja derivada para dada por 2: Seja . Ento ; .

Caso i) : Neste caso, note Analisando a expresso , temos:

que

e

.

Pelo teste da primeira derivada, . Assim,

assume um mximo global em

Sendo a funo logartmica crescente, temos o resultado desejado para este caso. Caso ii) : Analisando novamente a expresso , obtemos:

Assim, pelo teste da primeira derivada, segue que mnimo global em , de modo que

assume um

Analisando a figura abaixo em que , podemos provar a desigualdade de Bernoulli. O coeficiente angular dado por

e Sendo , temos:

resultado pode ser obtido para Algumas Aplicaes da

.

Este mesmo de Bernoulli para todo

Desigualdade

Exemplo 1: Mostre que a sequncia . Resoluo: Fazendo Exemplo 2: na expresso Prove por que na expresso

, segue o resultado. . , temos

Resoluo: Substituindo

para todo segue que

. Por outro lado, fazendo

em

,

De

e

, obtemos a expresso

Aplicando o limite em ambos os lados e fazendo

, temos

donde

segue

o

resultado. ento Bernoulli, fato. .

Em muitos clculos de limites usamos o fato que se quando . Atravs da desigualdade de podemos demonstrar facilmente este Proposio 3: Se . Ento , e ento

Demonstrao: Seja

Para Assim,

, temos

donde segue o resultado.