Embed Size (px)
Citation preview
Egi mechanika tesztkerdesek
A hallgatok javaslatai
2008
1
1 Albert hajnalka
1. A tomegkozeppont koruli mozgast leırom1 ~s1 = k2m1m2
r2~rr,m2 ~s2 = −k2m1m2
r2~rr
mozgasegyenletek ekvivalensek a:
a) ~r = − µr3~r
b) ~r = − µr2~r
c) ~r = − µr3~r
ahol µ = k2(m1m2)
2. A Steffenszen-modszer milyen segedvaltozokat vezet be?
a) si = r−3i , i = 1, 2, . . . , n, sij = r−3
ij , i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j
b) si = r3i , i = 1, 2, . . . , n, sij = r3
ij, i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j
c) si = r2i , i = 1, 2, . . . , n, sij = r−2
ij , i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j
3. A Jacobi-Lagrange egyenlet n-test problema eseten:
a) I = 2U + 4h, ahol I az ossz tehetetlensegi nyomatek
b) I = 2U + 2h, ahol I az ossz tehetetlensegi nyomatek
c) I = 2U + 2h, ahol I az ossz tehetetlensegi nyomatek
4. A relatıv mozgas palyaegyenlete:
a) r = p1+e cos(u−w)
b) r = p1−e cos(u−w)
c) r = p1+e cos(u+w)
5. Energiaintegral:
a) T + V = h, h ∈ R allando
b) T − V = h, h ∈ R allando
c) T + U = h, h ∈ R allando
6. Tomegkozeppont integral:
a) m−→rc = −→a t+−→b , ahol −→a ,
−→b ∈ R allando vektorok,∀t ∈ I
2
b) m×−→rc = −→a t+−→b , ahol −→a ,
−→b ∈ R allando vektorok,∀t ∈ I
c) m−→rc = at−−→b , ahol a,
−→b ∈ R allando vektorok,∀t ∈ I
7. A haromtest problema:
a) harom pontszeru test meghatarozasa, ha rajuk csak a Newton-felegravitacios vonzoero hat
b) harom pontszeru test sebessegenek vizsgalata
c) Harom pontszeru test mozgasanak vizsgalata
8. A Laplace-integral:
a) ~r × ~c− µr~r = ~λ,~λ a Laplace-vektor
b) ~r × ~c+ µr~r = ~λ,~λ a Laplace-vektor
c) ~r × ~c− µr2~r = ~λ,~λ a Laplace-vektor
9. Az excentrikus anomalia a t ido fuggvenyeben a kovetkezo:
a) E − e sinE = n(t− τ)
b) E + e sinE = n(t− τ)
c) E − e cosE = n(t− τ)
10. A mozgas palyaja parabola, ha a numerikus excentricitas:
a) e = 1
b) e = 0
c) e ∈ (0, 1)
Minden kerdes eseten az a) valasz a helyes!
3
2 Bartha Ildiko
1. Az egi mechanika a csillagaszat azon aga, amely:
a) a Naprendszert alkoto termeszetes egitestek mozgasat vizsgalja
b) mesterseges egitestek mozgasat vizsgalja
c) a csillagok mozgasat tanulmanyozza
2. Kepler harmadik torvenye:
a) p2
a3 = 4Π2
µ
b) p2
a3 = µ4Π2
c) a3
4Π2 = µp2
3. Kepler hanyadik torvenye mondja ki azt, hogy a bolygok vezersugaraaz idovel aranyos teruletet surol?
a) Kepler I. torvenye
b) Kepler II. torvenye
c) Kepler III. torvenye
4. A haromtest-problema Newton-fele mozgasegyenletei:
a) mixi = ∂U∂xi,miyi = ∂U
∂yi,mizi = ∂U
∂zi,
ahol U = k2(m1m2
r12+ m2m3
r23+ m3m1
r31), rij = ‖−→rj −−→ri ‖.
b) mixi = ∂U∂xi,miyi = ∂U
∂yi,mizi = ∂U
∂zi,
ahol U = k2( m1m2m3∑i,j=1,3,i 6=j rij
), rij = ‖−→rj −−→ri ‖.
c) mixi = ∂U∂xi,miyi = ∂U
∂yi,mizi = ∂U
∂zi,
ahol U = k2(m1+m2
r12+ m2+m3
r23+ m3+m1
r31), rij = ‖−→rj −−→ri ‖.
5. Hanyad rendu a haromtest problema mozgasegyenleteinek differencialegyenletrendszere es hanyad rendure redukalhato?
a) 18 es 6
b) 20 es 8
c) 18 es 10
6. Steffensen modszer:
4
a) az n-test problema megoldasa numerikus megkozelıtessel, hatvanysorokhasznalata
b) a kettest problema megoldasa numerikus megkozelıtessel
c) a haromtest problema ido szerinti derivaltjanak vizsgalata
7. A Steffensen-modszerrel megadott egyenletek szama a hely es sebessegkomponensekre:
a) 6n
b) 2n
c) n(n-1)
8. A korlatozott haromtest-problema eseten a Jacobi-integral:
a)(dxdt
)2+(dydt
)2= 2Ω + C
b)(dxdt
)2+(dydt
)2= 0
c)(dxdt
)2+(dydt
)2= Ω
9. A Lagrange-fele stabilitas szukseges feltetele:
a) h0 < 0
b) h0 > 0
c) h0 = 0
10. A harmas utkozesre melyik tetel ad szukseges feltetelt es mi az?
a) Weierstrass-Sundman, c = 0
b) Steffensen, c = 0
c) Kustaanheio-Stiefel, c 6= 0
Minden kerdes eseten az a) valasz a helyes!
5
3 Katona Kalman
1. Az n-test problema barmely megoldasa eseten letezik olyan hεR allando,amelyre
T + V = h, ∀tε[t0, tv],
ahol:
a.) T =∑n
i=1mi · −→vi 2
b.) T = 12·∑n
i=1mi · −→vi 2
c.) T = 12·∑n
i=1mi ×−→vi 2
2. A Lagrange-Jacobi egyenlet eseten, a rendszertehetetlensegi nyomateka:
a.) I =∑n
i=1mi · (xi + yi + zi)
b.) I = 12
∑ni=1mi · (x2
i + y2i + z2
i )
c.) I =∑n
i=1mi · (x2i + y2
i + z2i )
3. Az n-test problema barmely megoldasa eseten letezik olyan ~c allandovektor, amelyre
n∑i=1
(~ri ×mi · ~ri) = ~c, ∀tε[t0, tv].
a.) impulzusmomentum-integral
b.) energiaintegral
c.) tomegkozeppont-integral
4. Az n-test problemara vonatkozo Lagrange-Jacobi egyenlet felırhato akovetkezo alakban:
a.) R = 2 · U + 4 · h0
b.) R = 2 · U − 4 · h0
6
c.) R = 2 · U + h0
5. Az n-test problemara vonatkozo Lagrange-Jacobi egyenlet eseten az Ra kovetkezo alakban ırhato fel:
c.) R = 12·m∑n
i=1
∑nj=1j 6=imi ·mj · rij
b.) R = 14·m∑n
i=1
∑nj=1j 6=imi ·mj · r2
ij
c.) R = 12·m∑n
i=1
∑nj=1j 6=imi ·mj · r2
ij
6. A relatıv mozgas barmely megoldas eseten letezik olyan hεR allando,amelyre
1
2·(~r)2
− µ
r= h, ∀tε[t0, tv].
a.) impulzusmomentum-integral
b.) energiaintegral
c.) Laplace-integral
7. A tomegkozeppont koruli mozgast leırom1 · ~s1 = k2 · m1·m2
r2· ~rr, m2 · ~r2 = −k2 · m1·m2
r2· ~rr
mozgasegyenletek akovetkezo mozgasegyenlettel ekvivalensek:
a.) ~r = − µr3· ~r
b.) ~r = − µr3· ~r
c.) ~r = µr3· ~r
8. A tomegkozeppont koruli mozgast leırom1 · ~s1 = k2 · m1·m2
r2· ~rr, m2 · ~r2 = −k2 · m1·m2
r2· ~rr
mozgasegyenletek az
~r = − µr3· ~r mozgasegyenlettel ekvivalensek, ahol:
a.) µ = k2 · (m1 −m2)
b.) µ = −k2 · (m1 +m2)
c.) µ = k2 · (m1 +m2)
7
9. Elliptikus mozgas eseten a T sziderikus keringesi periodus negyzetenekes a palya a fel nagytengelye kobenek aranyara ervenyes a kovetkezoosszefugges:
T 2
a3=
4 · π2
µ
a.) Kepler I altalanosıtott tetele
b.) Kepler II altalanosıtott tetele
c.) Kepler III altalanosıtott tetele
10. Elliptikus mozgas eseten a mozgo pont v sebessegere ervenyes a kovetkezoosszefugges:
a.) v2 = µ · (2r− 1
a)
b.) v2 = µ · (2r
+ 1a)
c.) v2 = µ · (1r
+ 1a)
Helyes valaszok:1.-b2.-c3.-a4.-a5.-c6.-b7.-a8.-c9.-c10.-a
8
4 Kook Laszlo
1. A Laplace vektor alakja:
(a) ~λ = −µr~r + ~rx~c
(b) ~λ = −µr
+ ~rx~c
(c) ~λ = −µr~r + ~rx~c
(d) ~λ = ~r + ~rx~c
2. A Lagrange - Jacobi egyenlet:
(a) I = U + h
(b) I = U + 2h
(c) I = 2U + h
(d) I = 2U + 4h
3. Kepler elso altalanosıtott torvenye:
(a) A kettest - problema eseten a P2 pontnak a P1 koruli relatıvpalyaja egy P1 fokuszu kupszelet
(b) A kettest - problema eseten a P2 pontnak a P1 koruli relatıvpalyaja egy P1 fokuszu hipebola
(c) A kettest - problema eseten a P2 pontnak a P1 koruli relatıvpalyaja egy P1 fokuszu parabola
(d) A kettest - problema eseten a P2 pontnak a P1 koruli relatıvpalyaja egy P1 sugaru kor
4. A Lagrange - fele stabilitas szukseges feltetele:
(a) h0 = 0(b) h0 < 0(c) h0 > 0(d) h0 = 1
9
5. Az n-test problema megoldasanak numerikus megkozelıteserehasznalt modszer:(a) Lagrange modszer(b) Steffensen modszer(c) Sundman modszer(d) Broucke modszer
6. A relatıv mozgas egyenlete:
(a) ~r = − µr2~r
(b) ~r = − µr3
(c) ~r = − rµ3~r
(d) ~r = − µr3~r
7. A T sziderikus keringes es n kozepmozgas kapcsolata:
(a) n = πT
(b) n = 2T(c) n = 2π
T
(d) n =√πT
8. Az elliptikus mozgas eseten az E excentrikus anomalia NEM elegıti kia kovetkezo osszefuggest:
(a) rcosv = a(cosE − e)(b) rsinv = a
√1− e2sinE
(c) r = a(1− ecosE)
(d) r = (1−√sinE)
9. A Jacobi integral:
(a) (dxdt
) + (dydt
) = 2Ω + C
(b) (dxdt
)2 + (dydt
)2 = 2Ω + C
(c) (dxdt
)2 + (dydt
)2 = Ω + C
(d) (dxdt
)2 + (dydt
) = 2Ω + C
10. Mit jelent az inklinacio?
(a) periodikus mozgas(b) palyaelhajlas(c) torzultsag(d) egyensulyi allapot
10
Megoldasok:1) (a)2) (d)3) (a)4) (b)5) (b)6) (d)7) (c)8) (d)9) (b)10) (b)
11
5 Kupas Erno
1. Az n-test problema eseten az energiaintegral kifejezeseben szereplo kinetikusenergia erteke:
a) T = 12
∑ni=1mi~v
2i
b) T = −12
∑ni=1mi~v
2i
c) T = k2∑
1≤i≤j≤nmimj
rij
d) T = −k2
2
∑i,j=1,n;i 6=j
mimj
rij
2. Az n-testre vonatkozo Lagrange-Jacobi egyenlet felırhato azR = 2U + 4h0 alakban, ahol:
a) R = 12m
∑ni=1
∑nj=1;i 6=j
mimj
r2ij
b) R = 12m
∑ni=1
∑nj=1;i 6=jmimjr
2ij
c) R = 2m∑n
i=1
∑nj=1;i 6=jmimjr
2ij
d) R = 2m∑n
i=1
∑nj=1;i 6=j
mimj
r2ij
3. Az n-test problema n ≥ 3 eseten a tanult tız elso integral (vagy skalariselso integral) felhasznalasaval az egyenletek
a) (2n−10)−ed rendu differencial-egyenletrendszerre transzformalhatok
b) (3n−10)−ed rendu differencial-egyenletrendszerre transzformalhatok
c) (4n−10)−ed rendu differencial-egyenletrendszerre transzformalhatok
d) (6n−10)−ed rendu differencial-egyenletrendszerre transzformalhatok
4. A ~ρ1 = ~0 feltetel eseten a pontok kozti rij = ‖~rj − ~ri‖ kolcsonostavolsagok kifejezese a Jacobi-koordinatak segitsegevel:
a) rij =∥∥∥~ρj − ~ρi +
∑j−1l=i
ml
Ml~ρl
∥∥∥ , 1 ≤ i < j ≤ n.
b) rij =∥∥∥~ρj − ~ρi +
∑j−1l=i
Ml
ml~ρl
∥∥∥ , 1 ≤ i < j ≤ n.
c) rij =∥∥∥~ρj − ~ρi +
∑j−1l=i Mlml~ρl
∥∥∥ , 1 ≤ i < j ≤ n.
d) rij =∥∥∥~ρj − ~ρi +
∑j−1l=i
~ρl
Mlml
∥∥∥ , 1 ≤ i < j ≤ n.
12
5. Az e =√
1 + 2h c2
µ2 osszefuggessel ertelmezett e numerikus excentricitas
parabola palyat ır le,ha:
a) e ∈ [0, 1)
b) e = 0
c) e = 1
d) e > 1
6. Az energiaintegral: T + V = h⇐⇒ (ekvivalens)
a) m1( ~r1)2
+ m2( ~r2)2
+ k2m1m2
r= h
b) m1( ~r1)2
+ m2( ~r2)2− k2m1m2
r= h
c) m1( ~r1)2
+ m2( ~r2)2
+ k2m1m2
r= h
d) m1( ~r1)2
+ m2( ~r2)2− k2m1m2
r= h
7. Az elliptikus mozgas eseten az E excentrikus anomalıa kielegıti a kovetkezoosszefuggeseket:(Keressuk meg melyik nincs helyesen felırva!)
a) rcosv = a(cosE − e),b) rsinv = a
√1− e2sinE,
c) r = a(1− ecosE),
d) tanv2
=√
1−e1+e
tanE2,
e) dvdE
=√
1−e21−ecosE
8. 1767-ben L. Euler azt a problemat vizsgalta, lehetseges-e haromtest-problema olyan megoldasa, amelyben a
a) tomegpontok kozti tavolsag negyzetesen valtozik
b) tomegpontok mindig egy egyenesbe esnek
c) tomegpontok mindig egy sıkba esnek
9. Milyen alakja van a Tisserand-kriteriumnak terbeli esetben?
a) 1a
+ 2n′
k
√a(1− e2) = konstans
b) 1a
+ 2n′
k
√a(1− e2)sini = konstans
13
c) 1a
+ 2n′
k
√a(1− e2)cosi = konstans
d) 1a
+ 2n′
k
√a(1− e2)tani = konstans
10. Ki bizonyitotta be, hogy a haromtest-problemanak nem letezik a 10−esklasszikus elso integraltol fuggetlen, tovabbi algebrai elso integralja?
a) H. Bruns
b) K. Sundman
c) L. Euler
d) Tisserand
Helyes valaszok:1-a2-b3-d4-a5-c6-b7-d8-b9-c10-a
14
6 Mathe Boglarka
1. Az Egi mechanika a Csillagaszat azon aga, amely...
a. a gravtitacios vonzoero figyelembevetelevel a kevestest rendszerekvalodi mozgasat tanulmanyozza.
b. az egitestek szerkezetet, fizikai tulajdonsagait es kemiai osszetetelettanulmanyozza.
c. a vilagegyetem egesszenek szerkezetet es fejlodeset tanulmanyozza.
d. a muszertechnika, asztrometriai meresi modszerek, hibaszamıtassalfoglalkozik.
e. csillagok, csillagrendszerek es csillagkozti anyag eloszlasanak esmozgasainak torvenyeit tanulmanyozza.
2. Az egy pontbol felmert sebesseg vektorok vegpontjainak mertani helye-meghatarozasa...
a. a sebesseg-hodografnak.
b. a valodi anomalianak.
c. a pericentrumnak.
d. az apocentrumnak.
3. Az energia integral ... allandosagat fejezi ki.
a. a mechanikai energia
b. a helyezeti energia
c. a mozgasi energia
d. a gravitacios energia
4. A v2 = µ(2r− 1
a) osszefuggessel kiszamolhato...
a. az elliptikus mozgas sebessege.
b. a kormozgas sebessege.
c. a hiperbolikus mozgas sebessege.
d. a parabolikus mozgas sebessege.
5. A Lagrange-Jacobi egyenlet: I = 2U + 4h, ahol U :
15
a. U = −Vb. U = 1
V
c. U = V + T
d. U = −T
6. A Lagrange-Jacobi egyenletben I , a rendszer tehetetlensegi nyomateka,melyik osszefuggessel szamolhato ki?
a. I =∑n
i=1mi(x2i + y2
i + z2i )
b. I =∑n
i=1mv2i
2
c. I = gh∑n
i=1mi
d. I = 12m
∑ni=1
∑n+1j=1mimjrij
7. Az r = d2rdt2
osszefugges, megadja...
a. a sebesseget.
b. a gyorsulast.
c. a mozgas palyajat.
d. az impulzust.
8. Az impulzusmomentum integral megadhato, mint:
a. mv = c
b. r2 drdt
= c
c. r dvdt
= c
d. d2rdt2
= c
9. A Lagrange-fele stabilıtas szuksegesseg feltetele:
a. h0 ≥ 0
b. h0 ≤ 0
c. h0 < 0
d. h0 ≤ 1
10. Kepler I. altalanosıtott tetele:
16
a. A kettest problema eseten a P2 pontnak P1 koruli relatıv palyaja egyP1 fokuszu kupszelet.
b. A kettest problema eseten a P2 pontnak P1 koruli relatıv palyaja egykor.
c. A kettest problema eseten a P2 pontnak P1 koruli relatıv palyaja egyP2 fokuszu kupszelet.
d. A kettest problema eseten a P2 pontnak P1 koruli relatıv palyaja egyellipszis.
11. Ha mindenik helyes valasz egy pontot er, maximum 10 pontot erhetszel!Hanyast adnal magadnak?!
a. 4-en alul
b. 5-6 kozott
c. 6-7 kozott
d. 7-8 kozott
e. 9-10 kozott
Helyes valaszok :1-a2-a3-a4-a5-a6-a7-b8-b9-c10-a11-es valaszthato kerdes. Amennyiben a diak feltudja merni onalloan atudasat, megkapja a pontszamot ( es mindenekelott ”elarulja” tudasat), esamennyiben nem talalta el elvesztette a pontszamot.
17
7 Molnar Istvan
1. Milyen fizikai eszkozokkel vegeztek nagypontossagu mereseket 2000-ben, a Seattle-i Washington Egyetem kutatoi , a Newton fele gravitaciosallando meghatarozasara?
a.) tozios ingaval
b.) centrifugalis geppel
c.) Wertheim keszulekkel
2. Tetel(impulzusmomentum-integral): Az n-test problema barmely megoldasaeseten letezik olyan ~c allando vektor, amelyre:
a.) 12
∑ni=1miv
−2i = ~c
b.)∑n
i=1(~ri ×mi~r.i) = ~c
c.)∑n
i=1(mi~r.i · ~r..i ) = ~c
3. Az egi mechanikaban a Nemzetkozi mertekrendszerben (SI) (kg,m,s)egysegek helyett milyen sajatos egysegeket hasznalunk?
a.) Nap tomeg , csillagaszati egyseg, szolaris nap
b.) Fold tomeg , csillagaszati egyseg, kozep nap
c.) Nap tomeg , csillagaszati egyseg, kozep nap
4. A Naprendszer Laplace-fele invarianbilis sıkjanak szogkoordonatai G.Burkhardt(1982)szamıtasai szerint i=1o35
′13′′,86 es Ω=107o36
′30′′,8 ahol i es Ω:
a.) palyahajlas, leszallo csomo
b.) palyahajlas, felszallo csomo
c.) integracios allando, felszallo csomo
5. Az n tomegpontbol allo rendszer Lagrange-fele ertelmeben stabil ha:
a.) a pontok kozti osszes rij tavolsagnak veges also hatara van
b.) a pontok kozti osszes rij tavolsagnak veges felso hatara van
c.) a pontok kozti osszes rij tavolsagnak nincs veges hatara
6. A mozgasegyenletek elso integralja a kovetkezo:
a.) f(~r1, ~r2, ..., ~rn, ~r.1, ~r
.2, ..., ~r
.n, t) = c
18
b.) f(~r1, ~r2, ..., ~rn, ~r.1, ~r
.2, ..., ~r
.n, µ) = c
c.) f(~r1, ~r2, ..., ~rn, ~r.1, ~r
.2, ..., ~r
.n, rC) = c
7. Az ~rC = 1m
∑ni=1 ~r
. egyenlet:
a.) mozgasegyenlet
b.) a rendszer C tomegkozeppontjanak helyzetvektora
c.) pontrendszer ossztomege
8. A rendszer C tomegkozeppontja ...:
a.) nyugalomban van, vagyis ~a > ~0
b.) valtozo mozgast vegez, vagyis ~a < ~0
c.) egyenes vonalu ( ~a = ~0 ), egyenletes mozgast vegez ( ~a 6= ~0 )
9. Az I =∑n
i=1mi(x2i + y2
i + z2i ) :
a.) a rendszer tehetetlensegi nyomateka
b.) impulzusmomentum integral
c.) tomegkozeppont integral
10. Mit jelol E az E − e sinE = n(t− r) egyenletben?
a.) excentrikus anomalia
b.) valodi anomalia
c.) excentricitas
Helyes valaszok:1-a2-b3-c4-b5-b6-a7-b8-c9-a10-a
19
8 Molnar Laszlo
1. N-test problema eseten az impulzusmomentum integral:
a)∑n
i=1(~ri ×mi ~ri) = ~c ,∀t ∈ [t0, tv]
b)∑n
i=1(~ri ×mi~ri) = ~c ,∀t ∈ [t0, tv]
c)∑n
i=1(~ri ×mi~ri) = ~c ,∀t ∈ [t0, tv]
d)∑n
i=1(~ri ×mi ~ri) = ~c ,∀t ∈ [t0, tv]
2. Az n-test problema eseten a T+V=h energiaintegralban minek ne-vezzuk a T-t?
a) mozgasi vagy kinetikus energia
b) helyzeti vagy potencialis energia
c) mozgasi vagy potencialis energia
d) helyzeti vagy kinetikus energia
3. Az n-test problemara vonatlozo Lagrange-Jacobi egyenlet felirhato akovetkezo alakban
a) R = 2U + 4h0
b) R = U + 2h0
c) R = 4U + 2h0
d) R = 4U + 4h0 ,ahol R = 1
2m
∑ni=1
∑nj=1j 6=imimjr
2ij, m =
∑ni=1mi az ossztomeg
es ho ∈ R allando
4. A Jacobi-fele koordinatakra vonatkozo mozgasegyenletek az n-test prob-lema eseten:
a) ξi = Mi
miMi−1
∂U∂ξi
ηi = Mi
miMi−1
∂U∂ηi, i = 1, 2, ..., n
ζi = Mi
miMi−1
∂U∂ζi
b) ξi = 1mi
∂U∂ξi
ηi = 1mi
∂U∂ηi, i = 1, 2, ..., n
ζi = 1mi
∂U∂ζi
c) ξi = Mi
Mi−1
∂U∂ξi
ηi = Mi
Mi−1
∂U∂ηi, i = 1, 2, ..., n
ζi = Mi
Mi−1
∂U∂ζi
20
d) ξi = mi∂U∂ξi
ηi = mi∂U∂ηi, i = 1, 2, ..., n
ζi = mi∂U∂ζi
5. A haromtest problema eseten a tomegkozeppont integralok:
a)∑3
i=1mi ~ri = ~a,∑3
i=1mi~ri = ~at+~b
b)∑3
i=1mi~ri = ~a,∑3
i=1mi~vi = ~at+~b
c)∑n
i=1mi ~ri = ~a,∑n
i=1mi~ri = ~at+~b
d)∑n
i=1mi~ri = ~a,∑n
i=1mi~vi = ~at+~b ,
ahol ~a es ~b konstans ertekek
6. Mikor vizsgalta Euler, hogy lehetseges-e a haromtest-problema olyanmegoldasa, amelyben a tomegpontok mindig egy egyenesbe esnek?
a) 1967
b) 1972
c) 1975
d) 1977
7. Milyen kerdesre kereste Lagrange a valaszt 1972-ben?
a) Lehetseges-e a haromtest-problema olyan megoldasa, amelyben atomegpontok kozti tavolsagok aranya allando.
b) Lehetseges-e a haromtest-problema olyan megoldasa, amelyben atomegpontok mindig egy egyenesbe esnek.
c) Lehetseges-e a haromtest-problema olyan megoldasa, amelyben atomegpontok nem mindig egy egyenesbe esnek.
d) Lehetseges-e a haromtest-problema olyan megoldasa, amelyben atomegpontok kozti tavolsagok aranya nem allando.
8. Ki bizonyıtotta be, hogy c 6= 0 eseten tetszoleges idointervallumbancsak veges szamu kettos utkozes lehetseges?
a) Sundman
b) Bruns
c) Poincare
d) Euler
21
9. A haromtest-problema
a) nem integralhato
b) integralhato
c) differencialhato
d) nem differencialhato
10. Milyen nemzetisegu csillagasz Sundman?
a) Finn
b) Angol
c) Dan
d) Sved
Minden kerdes eseten a helyes valasz az a).
22
9 Pall Eva-Boglarka
Az elso ot kerdest ki kell egeszıteni, a tobbi kerdesnel pedig ki kell valasztania helyes valaszt!
Kerdes 1. Az n-test problema n szamu (n ≥ 2, n ∈ N), pontszeru testmozgasat vizsgalja ha rajuk csak a ........................................................................... hatnak.
Valasz: Newton-fele kolcsonos gravitacios vonzoerok
Kerdes 2. Kettest problema eseten a P2 pontnak a P1 pont koruli relatıvmozgasanak palyajat az r = p
1+e·cos vegyenlettel adjuk meg. Ekkor az e nu-
merikus excentricitas ertekei szerint a palya tıpusa a kovetkezo:
i. ......................., ha e = 0;
ii. ......................., ha e ∈ (0, 1);
iii. ......................., ha e = 1;
iv. ......................., ha e > 1;
Valasz: -
i. kor
ii. ellipszis
iii. parabola
iv. hiperbola
Kerdes 3. Az n-test problema eseten, a rendszer C tomegkozeppontjanaksebessege ........................ . Tehat a rendszer C tomegkozeppontja vagy........................................ vagy ........................................................ mozgastvegez.
Valasz: allando, nyugalomban van, egyenes vonalu egyenletes;
Kerdes 4. ..................................... kimondja, hogy a bolygok vezersugaraidovel aranyos teruleteket surol, azaz a .............................................. allando.
Valasz: Kepler II. torvenye, feluleti sebesseg;
23
Kerdes 5. A ........................................ egyenlet egy egyszeru alkalmazasaa Lagrange-fele stabilitas. Az n tomegpontbol allo rendszer Lagrange-feleertelemben stabil, ha a tomegpontok kozti osszes rij tavolsagnak letezik ........................................................... .
Valasz: Lagrange-Jacobi, veges felso hatara
Kerdes 6. Az n-test problema Newton-fele mozgasegyenleteinek alakja:
a. mi ~ri = k2∑j=1,nj 6=i
mimj
r3ij~rij, i = 1, 2, ..., n;
b. mi ~ri = k2∑j=1,nj 6=i
mimj
r3ij~rij, i = 1, 2, ..., n;
c. mi~ri = k2∑j=1,nj 6=i
mimj
r2ij~rij, i = 1, 2, ..., n;
d. mi ~ri = k2∑j=1,nj 6=i
mimj
r2ij~rij, i = 1, 2, ..., n;
Valasz: a!
Kerdes 7. Az n-test problema barmely megoldasa eseten letezik olyan h ∈ Ramelyre T + V = h, ∀t ∈ [t0, tv], ahol
a. T = 12
n∑i=1
mi~vi2 a rendszer potencialis energiaja, V pedig a kinetikus
energia;
b. T =n∑i=1
mi~vi2 a rendszer kinetikus energiaja, V pedig a potencialis en-
ergia;
c. T = 12
n∑i=1
mi~vi2 a rendszer kinetikus energiaja, V pedig a potencialis
energia;
d. T =n∑i=1
mi~vi2 a rendszer potencialis energiaja, V pedig a kinetikus en-
ergia;
Valasz: c!
24
Kerdes 8. Az n-test problema eseten a mozgas teljes ideje alatt ervenyes azun. Lagrange-Jacobi egyenlet, amelynek alakja:
a. I = 2U + 4h
b. I =n∑i=1
mi(x2i + y2
i + z2i )
c. m · I = U + 2h
d. I = 2U + 4h
Valasz: d!
Kerdes 9. A relatıv mozgas barmely megoldasahoz letezik, olyan ~λ ∈ R3
allando vektor (Laplace-vektor), amelyre:
a. ~λ =~r × ~c+ µr~r
b. ~λ =~r × ~c− µr~r
c. ~λ2 =~r × ~c+ µr~r
d. ~λ =~r × ~r − µr~c
Valasz: b!
Kerdes 10. Milyen palyaelemeket jelolnek a, e es Ω -val?
a. felnagytengely, excentricitas, felszallo csomo hossza;
b. felnagytengely, palyahajlas, pericentrum argumentuma;
c. pericentrumatmenet idopontja, excentricitas, palyahajlas;
d. palyahajlas, excentricitas, felszallo csomo hossza;
Valasz: a!
25
10 Ugron Sandor
Kerdes 1.Mikor stabil Lagrange ertelemben egy rendszer?
1. h0 = 0
2. h0 ? 0
3. h0 < 0
4. h0 = 0
Kerdes 2.A mozgas teljes ideje alatt ervenyes az I = 2U + 4h. Mi a h?
1. magassag
2. energiallando
3. idalallando
4. tehetetlensegi nyomatek
Kerdes 3.Az egycentrum problema mozgasegyenlete formailag melyikkel egyezik meg?
1. r = - lr3
r
2. r = - lr3
r
3. r = - lr2
r
4. r = - lr2
r
Kerdes 4.Minek a meghatarozasa az rmin = p
1+e?
1. pericentrumtavolsag
2. apocentrumtavolsag
3. palyahajlas
4. zero sebessegu kor
26
Kerdes 5.Minek a meghatarozasa az rmax = p
1−e?
1. pericentrumtavolsag
2. apocentrumtavolsag
3. palyahajlas
4. zero sebessegu kor
Kerdes 6.Mi a kettest problema eseten P2 pontnak P1 pont koruli palyaja?
1. kor
2. ellipszis
3. kupszelet
4. hiperbola
Kerdes 7.Ha a numerikus excentricitas, e = 0 akkor a mozgas palyaja?
1. ellipszis
2. kor
3. hiperbola
4. parabola
Kerdes 8.Mit jelol az I a Lagrange-Jacobi egyenletben?
1. tehetlensegi nyomatek
2. energiaallando
3. energiaintegral
4. tomegpont
Kerdes 9.A pericentrum es az apocentrum megfeleloje a Nap es a bolygok eseten?
27
1. perihelium es aphelium
2. pericentrum es aphelium
3. perihelium es apocentrum
4. perigeum es apogeum
Kerdes 10.A pericentrum es az apocentrum megfeleloje a Fold holdjainal?
1. perihelium es aphelium
2. pericentrum es aphelium
3. perihelium es apocentrum
4. perigeum es apogeum
28
11 Varadi Zsolt
1. A relatıv mozgas barmely megoldas eseten letezik olyan h ε R allando,amelyre
a.) 12
(~r)2
+ µr
= h
b.) 12
(~r)2
− µr
= h
c.) 12
(~r)− µ
r= h
2. Az elliptikus mozgas eseten az E excentrikus anomalia kielegıti a kovetkezoosszefuggest:
a.) r sin v = a(cosE − e)
b.) r cos v = (cosE−e)a
c.) r cos v = a(cosE − e)
3. Az E excentrikus anomalia a t idopont ismereteben az ... Kepler-egyenletbol hatarozhato meg.
a.) E − e sinE = n(t− τ)
b.) 1− e sinE = n(t− τ)
c.) E − e sinE = 1n(t− τ)
4. A bolygok es holdjaik mozgasanak vizsgalataban fontos szerepet jatszikaz n-test problemanak az az esete, amelyben:
a.) az egyik test sokkal kisebb tomegu a tobbinel.
b.) az osszes testnek azonos a tomege.
c.) az egyik test sokkal nagyobb tomegu a tobbinel.
5. A kettest problema eseten a P2 pontnak a P1 koruli relatıv palyaja egyP1 fokuszu kupszelet.
29
a.) Kepler II altalanosıtott tetele
b.) Kepler III altalanosıtott tetele
c.) Kepler I altalanosıtott tetele
6. Az 12(x2
1 + y21)− µ
r= h egyenlet:
a.) energiaintegral
b.) impulzusmomentum-integral
c.) mozgasegyenlet
7. Az n test problema eseten a mozgas teljes ideje alatt ervenyes az ... un.Lagrange - Jacobi - egyenlet
a.) I = 2U + 4h
b.) I = U + 4h
c.) I = U + h
8. A Lagrange - fele stabilitas nem mond semmit:
a.) a tomegpontok kozti maximalis tavolsagokrol
b.) a tomegpontok kozti osszes tavolsag veges hatararol.
c.) a tomegpontok kozti minimalis tavolsagokrol es a tomegpontokkozti lehetseges utkozesekrol.
9. A bolygok mozgasat vizsgalva P1 a ....., P2, P3, ..., Pn a bolygok.
a.) Fold
b.) Nap
c.) Hold
10. Milyen erteke kell legyen az e =√
1 + 2h c2
µ2 osszefuggessel ertelmezett
e numerikus excentricitasnak ahhoz, hogy ellipszis palyarol beszelhessunk?
30
a.) e ε [0, 1) ⇔ h ε [− µ2c2
)
b.) e = 1 ⇔ h = 0
c.) e > 1 ⇔ h > 0
Helyes valaszok:1.-b2.-c3.-a4.-c5.-c6.-a7.-a8.-c9.-b10.-a
31
