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SISTEMAS EINFORMTICA

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Optimizacin econmica de sistemas

dinmicos con Stella: momento ptimo

de cosecha en el cultivo del salmnRecepcin: Febrero de 2008 / Aceptacin: Mayo de 2008

RESUMEN

El presente artculo desarrolla una serie de aplica-

ciones clsicas del tipo econmico-financieras en

tiempo continuo basadas en el programa Stella

(Isee Systems, Inc.). Los problemas analizados se

refieren bsicamente al modelamiento de los flujos

proyectados de ingresos, costos e inversiones, ysu capitalizacin al presente para estimar el Valor

Actual Neto, lo que i mplica que en muchos casos

sea necesario integrar numricamente. El docu-

mento muestra como Stella permite construir un

modelo de un modo simple, y a travs de l reali-

zar las simulaciones que entregan soluciones gr-

ficas, tales como en el caso de la decisin del

momento ptimo de cosecha, o la seleccin entre

proyectos alternativos, entre otros.

Palabras Clave: Valor actual neto, tiempo conti-

nuo, decisiones de inversin, simulaciones num-

ricas.

ECO NO MIC O PT IMIZAT IO N O F DYNAMIC

SYSTEMS USING STELLA: OPTIMAL PRODUC-

TION SCHEDULE IN SALMON CULTURE

ABSTRACT

The present article develops a number of classical

economic-financial applications in continuous time

based on the software Stella (Isee Systems, Inc.).

The problems under analysis basically deal with

modeling projected free cash flows and inves-

tments, and their Net Present Value estimation, a

process which in many cases may require numeri-

cal integration. The document shows how Stella

allows construction of a model in a simple fashion,

and with it to make simulations that give graphicalsolutions, as is the case of the decision of the op-

timal harvest time, or the selection between alter-

native projects, among others.

keywords: Net present value, continuous time, in-

vestment decisions, numerical simulations.

(1)Sergio Ziga

(1 ) Docente de la Escuela de Ingeniera Comercial. Universidad Catlica del Norte - Chile.E-mail: [email protected]

INTRODUCCIN

La gestin ptima de recursos y la optimizacin de los procesos pro-ductivos requiere destacar la importancia de las secuencias temporalesde produccin y el costo de oportunidad del capital, es decir, el valordel dinero en el tiempo, en sntesis, el clculo de Valor Actual Neto(VAN) en tiempo continuo. Es por esto que en este artculo mostramosla forma en que Stella, un programa de anlisis dinmico muy usadoen las reas de anlisis de ecosistemas, puede ser tambin usado enel anlisis econmico. A pesar de sus ventajas, programas de este tipono suelen ser usados por economistas, por lo que a travs de este ar-tculo ilustramos sus potencialidades ms bsicas.

Para esto, comenzamos por mostrar los fundamentos de dicho pro-grama definiendo sus principales componentes, luego se ilustra la formade escribir en Stella el comportamiento de una poblacin de conejos enbase a una ecuacin de comportamiento y, finalmente, se proporcionandos aplicaciones en las que se busca estimar el VAN de diferentes op-ciones de inversin.

EL PROGRAMA STELLA

Stella es un sistema de modelamiento dinmico en el cual pueden cons-truirse modelos relacionales creando diagramas grficos del sistema, yasignando los valores y funciones apropiadas en l. Las principales he-rramientas para crear un modelo en Stella son cuatro, y se explican enla Tabla N. 1. Existen muchos otros componentes y funciones en Stella;sin embargo, con los anteriores es suficiente para ilustrar nuestros cl-culos (para mayores referencias vase, por ejemplo, High PerformanceSystems, 2001).

Revista de la Facultad de Ingeniera IndustrialVol. 11(1): pp 78-84(2008) UNMSMISSN: 1560-9146 (Impreso) / ISSN: 1410-9993 (Electrnico)

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Como ilustracin bsica de la forma en que unaecuacin diferencia o sistema de ecuaciones sonescritas en Stella, consideremos que se tiene unaecuacin de comportamiento del nmero de conejosde una poblacin (P) a travs del tiempo, en la que

la tasa de crecimiento de la poblacin (k) dependede cuan cerca est dicha poblacin del nmero m-ximo capaz de soportar el medio ambiente (mximacapacidad sostenible) de conejos (M), en el sentidode que la tasa de crecimiento cae en la medida deque la poblacin se aproxime a M. La poblacin ini-cial de conejos es P(0)=10, y la ecuacin diferenciales escrita como:

Con una poblacin mxima de M=100 conejos yk=30%, el modelo en Stella puede ser represen-tado por el Diagrama 1. En este caso, inicialmenteel stock conejos contiene el nmero inicial de 10,mientras que M contiene la capacidad mxima delmedio de 100 conejos, y K contiene un compo-nente de la tasa de crecimiento igual a 30%. Elflujo contiene la ecuacin dada por K*(1-Cone-jos/M)*Conejos.

Diagrama 1:Modelo bsico de una poblacin de cone-jos en Stella

El cdigo matemtico subyacente en el modelo es elsiguiente:

Conejos(t) = Conejos(t - dt) +(Cambio_en_el_tiempo) * dtINIT Conejos = 10INFLOWS:Cambio_en_el_tiempo = k*(1-Conejos/M)*Conejosk = .3M = 100

Al realizar las iteraciones en Stella, estableciendopreviamente un horizonte de tiempo mximo deT=20, el resultado de la simulacin, es decir, la so-lucin de la ecuacin diferencial, se muestra en elGrfico N. 1, aprecindose la forma en que la po-blacin de conejos converge al punto de mxima

sostenibilidad a travs del tiempo.

Tabla N. 1:Componentes bsicos de un sistema dinmico en Stella

Explicacin Smbolo

Los montos son llamados stocks, y representan acumula-ciones. Estos montos estn influenciados por flujos de en-

trada y/o flujos de salida. Un ejemplo es el saldo en lacuenta bancaria.

Los Flujos estn definidos por una tasa (monto por unidadde tiempo). Los flujos influyen en los Stocks causando acu-mulaciones y/o agotamientos. Por ejemplo: el inters peri-dico que gana una cuenta bancaria.

Los converters son usados para ingresar parmetros oconstantes al sistema, o para hacer operaciones aritmticas,conversin de unidades, u otras necesidades matemticas.

Los connectors llevan flujos de informacin entre los compo-nentes, y estn representados por una flecha. En el ejemplode la derecha, un flujo se acumula continuamente en unstock, y el stock usa como informacin un parmetro de en-trada proporcionado por un converter, y la informacin delmismo stock.

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APLICACIONES ECONMICO-FINANCIERAS

DEL ANLISIS DINMICOSi bien Stella puede modelar eficientemente los sis-temas dinmicos de diversa ndole, en nuestro casoson de inters su aplicacin en modelos de decisineconmico-financieros en tiempo continuo. Para esto,asumamos que se est analizando la convenienciade realizar una inversin inicial (I0), la que consiste enla compra de una mquina, la que generar un flujoo caudal de beneficios continuamente a travs deltiempo de acuerdo a la funcin Y(t), y que tambin seobtendr un ingreso al final del horizonte de planea-cin, dado por V(T), es decir, un valor residual.

Formalmente, el valor actual neto (VAN) del benefi-cio en este caso es:

VAN = -I0 + Y(t)e -itdt + V(T) e-iT

donde eit es el factor de capitalizacin en tiempocontinuo (vase, por ejemplo: a Copeland y Weston,1988; y Reinhardt, 1973, para un desarrollo del VAN

en tiempo continuo). Las condiciones cerradas deptimo estn bien documentadas en la literatura(vase, por ejemplo: Clark, 1990; Anderson, 1977; yWilen, 1985), las que en general se obtienen igua-lando a cero la derivada parcial de VAN con res-

pecto a T, es decir:

lo que indica que se debe vender la mquinacuando la tasa de rendimiento marginal, dado por laventa del ingreso del final del periodo, V(T), ms losingresos en el momento T, sea igual a la tasa dedescuento o costo de oportunidad del capital.

Sin embargo, en muchos casos prcticos, las fun-ciones de comportamiento pueden llegar a ser com-plejas y muy difciles de trabajar algebraicamente.En estos casos, basta con obtener resultados a par-tir de simulaciones numricas, y en esto Stella cum-

ple un papel valioso. Para ilustrar eso, acontinuacin se propone y resuelve un ejemploprctico de un proyecto de inversin acucola en sal-mones en el sur de Chile.

SIMULACIN DE UN CENTRO DE CULTIVO DESALMN

El caso del cultivo de salmn en Chile es uno deauge explosivo, aumentando desde niveles mnimosde 2000 toneladas en 1987 a 26 000 toneladas en el

ao 1990, para llegar a ser el segundo productormundial en el ao 2002, con 506 000 toneladas;cifra muy similar a la de Noruega, con 530 000 tone-ladas. En los ltimos cinco aos, el pas nrdico haincrementado la produccin de salmn cultivado encerca de 174 000 toneladas, y Chile lo ha hecho enpoco ms de 178 000, cubriendo un 38% del mer-cado mundial, apenas 1,5% menos que Noruega. Eltercer competidor es el Reino Unido, con un lejano7,8% del mercado mundial. Dada la magnitud deesta actividad, es comprensible que los resultadosde optimizar los procesos en distintas dimensionestenga un efecto econmico y social significativo en

el pas. De aqu surge el inters por aplicar un pro-grama de simulacin como Stella para analizardicha actividad, y por esta va sugerir mejoras ensus procesos, a travs de un modelo simplificado.

El insumo bsico del proceso productivo son lasovas de salmn, las que se obtienen utilizando va-rias tcnicas para el desove (entre abril y julio),siendo la ms sencilla la incisin abdominal. Luegode la eclosin de la ova se inicia el alevinaje, de-biendo permanecer stos alevines en incubadorasen agua dulce por un periodo que puede extenderse

hasta un ao, dependiendo de la especie. Antes deser trasladados a agua salada pasan por una seriede cambios fisiolgicos de adaptacin, siendo en-tonces trasladados a balsas-jaulas metlicas de15x15 m, 20x20 m, o de 30x30 m con flotadores depoliestireno expandido, introducindose reciente-mente las balsas-jaulas circulares de 30 m de di-metro. A partir de ese momento, los salmones soncultivados en el mar, siendo el alimento uno de lostemes ms relevantes, aplicndose distintas tcni-cas de alimentacin, tal como la manual, can, blo-wer/pontn o automtico. Despus de varios meses,se inicia el proceso de cosecha de los salmones yun proceso de extraccin de vsceras con equipos

Grfico N. 1:Comportamiento de la poblacinde conejos a travs del tiempo

t=T

t=0

V1 (T) + Y (T)

V (T) = i

Sergio Ziga

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dLtdt

(2) Las estimaciones de los parmetros que a continuacin se presentan, dependen de la especie de salmn y de las condiciones de cultivo y alimentacin, entre otras. Losvalores son proporcionados solo como referencia para la ilustracin.

Grfico N. 2:Evolucin de la longitud (mm)y peso (gr) del salmn tpico

dNtdt

Grfico N. 3:Evolucin de los sobrevivientes (N) yde la biomasa (gr)

100(C-5.5)t0.0135 Lt

Ft=

semiautomticos que succionan los tejidos. Se fina-liza con el fileteado, empaque, congelamiento y dis-tribucin.

Lo que haremos a continuacin es modelar el cultivo

de una cohorte estndar de salmn en Chile parauna jaula de tamao estandar, planteando comonico problema a resolver el momento ptimo de co-secha, es decir, cunto tiempo deben ser alimenta-dos los salmones en jaulas.

Froese, R. y D. Pauly (2007) proporcionan estima-ciones de las curvas de crecimiento (longitud) paralos salmones a travs del tiempo, por medio de lasiguiente ecuacin de von Bertalanffy2:

= g (L

- Lt) = 0,1 (38,9 - Lt)

Lo= 15 mm

donde Ltes la longitud de los salmones en mm enel mest;ges la tasa de crecimiento mensual;Lesla longitud asinttica (mxima) de la especie. L0esla longitud de los salmones al inicio del proceso deengorda en mar. Los mismos autores proporcionanuna ecuacin para transformar longitud (mm) a peso

(gr) para los salmones:

Wt= 0,0044Lt3,2635

Ambas curvas se muestran en el Grfico N. 2.

La sobrevivencia de los salmones tambin puedeser caracterizada por una ecuacin diferencial en laque el nmero de sobrevivientes (Nt) en cualquiermomento t> 0 disminuye de acuerdo a la tasa demortalidad mensual z, es decir:

= -zNt= 000625 Nt; N0 = 20.000

Se considera, adems, un valor inicial de salmones(juveniles) de N0=20.000 para una jaula de tamaoestndar.

Dadas estas las dos ltimas ecuaciones de peso y

de sobrevivencia, la biomasa en el momentotvienedada simplemente por el peso individual de los sal-mones en el mes t, multiplicado por el nmero desalmones sobrevivientes en ese mes. Con esto, labiomasa y la sobrevivencia se muestra en el GrficoN. 3. Ntese que si bien la biomasa llega a su m-ximo alrededor del mes 35, este no es el momentoptimo de cosecha desde el punto de vista econ-mico. En efecto, puesto que existe un costo de opor-tunidad o tasa de inters, dicho ptimo siempreocurre antes de que se maximice la biomasa.

El consumo de alimentos de los salmones puede serestimado a travs de la siguiente expresin, en queel alimento consumido mensualmente por los sal-mones, como un % de su propio peso (F):

dondeCes la temperatura del agua en grados Cel-cius (aproximadamente, 15), y es un parmetroque depende del tipo de alimento (= 0,0009 para

la dieta estndar).Fdisminuye en la medida que lossalmones crecen, de acuerdo al Grfico N. 4. De laexpresin anterior, solo L es funcin del tiempo, deacuerdo a la ecuacin de von Bertalanffy, anterior-mente descrita. Conociendo, entonces, la biomasa(B), el consumo de alimentos (F) y el precio del ali-mento, es posible calcular el costo mensual por ali-mentacin. Dicho costo de alimento se estima enUS$ 0,001/gr. Con esto, el costo mensual y el costoacumulado se muestran en el Grfico N. 4. Obvia-mente, el costo acumulado es siempre creciente,


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por cuando consiste del costo acumulado por ali-mentacin contingente a la cosecha de los salmo-nes en el mest.

El precio de venta de los salmones se estima en P=US$ 0,004 el gramo; y con esto, es posible estimarlos ingresos, dependiendo del mes en el cual sehaga efectivamente la cosecha de los salmones. Elingreso esperado (Y) por la venta de la biomasa delos salmones de la jaula en el mes t al precio P,

puede escribirse como:

Yt= BtP

Respecto a la inversin inicial, esta consiste funda-mentalmente en el valor de la balsa, que se estimaen US$ 22 000, con un valor residual de US$ 5000a los 48 meses, lo que implica una depreciacinmensual lineal de US$ 354,2. El Grfico N. 5 mues-tra la inversin inicial, el valor residual y el compor-tamiento del valor de mercado de dicha inversin atravs de tiempo, afecta a una tasa de depreciacinconstante.

Finalmente, resta calcular el Valor Actual Neto de laproduccin de jaula, y sobre esta base determinarel momento ptimo de cosecha. La expresin delVAN para este caso, asumiendo solamente comocostos relevantes los relacionados con la alimenta-

cin (VAN operacional), viene dada por la ecuacin:

VAN = -I0 + C(t)e -itdt + Y(T)e-iT + V(T)e-iT

la que contiene cuatro sumandos:

La Inversin Inicial (I0), dada por US$ 22 000.

El valor presente de los costos acumula-dos, es decir, la integral de t=0 a t=T, dondeTes el momento de la cosecha.

El valor presente de los ingresos (Y).

El valor presente del valor residual (V).

En los tres ltimos de ellos, se incluye un factor dedescuento en tiempo continuo, para lo cual se hausado la tasa mensual de 20%/12. El Grfico N. 6muestra el valor presente de los costos, los ingresosy finalmente el VAN. Es decir, se muestran en el gr-fico solamente los sumandos b) y c), por cuando los

sumandos a) y d) se mostraron en el Grfico N. 5.

El grfico muestra que hay un periodo de tiempo decosecha en la que se espera un VAN positivo, y estoocurre, aproximadamente, si el proyecto finalizaraentre los meses 11 y 26. En efecto, analizando laTabla N. 2, proporcionada por el propio programaStella, es posible concluir con mucha claridad el mo-mento exacto en trminos que la decisin correcta


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Grfico N. 4:Consumo de alimentos mensual,

como % de su propio peso (F), costo mensualpor alimentacin (US$)

Grfico 5:Valor de mercado de la inversin, inversininicial y valor de rescate de la inversin. Todos en US$

t=T

t=0

Grfico 6:Valor presente de los costos, ingresos porventa y VAN operacional del proyecto acucola como

funcin del mes de trmino del proyecto. Todos en US$

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es cosechar el mes 17, cuando el VAN de una jaulade tamao estndar es de US$ 2684.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

Este artculo ilustra la forma en que el programa deanlisis dinmico Stella permite ser aplicado en pro-blemas de decisiones de inversin financiera entiempo continuo. El anlisis en tiempo continuo es

necesario en una gran cantidad de aplicaciones fi-nancieras prcticas, especialmente del tipo biol-gico, forestal, acucola y ganadero, en los que sedesea determinar, por ejemplo el momento ptimode cosecha. En tales casos, la biomasa a travs deltiempo, puede modelarse en base a curvas de cre-cimiento en longitud y peso de un individuo tpico,multiplicado por el nmero de sobrevivientes de lacohorte en cada momento. A su vez, la mayor partelos costos pueden modelarse en funcin de esa bio-masa, tales como el consumo de alimento, consumode energa elctrica, etc., de modo que surgen na-

turalmente curvas o funciones del tiempo. Sobreesta base, a travs de Stella es posible encontrarcon relativa sencillez los momentos ptimo de cose-cha, mnimo costo, mximo VAN y otros parmetrosde inters.

En adicin, si bien algunos de los resultados anterio-res tambin pueden ser encontrados a travs de unprograma de clculo numrico, Stella tiene comoventaja la sencillez de sus componentes grficos,los que evitan tener que digitar cdigos extensos, ypermiten modificar partes del sistema sin tener querevisar algebricamente en cada paso de un cdigolas implicancias de la modificacin. Finalmente, un

programa como el mostrado permite implementargrandes y complejos sistemas aplicando las herra-mientas de sensibilizacin y criterios del tipo what ifque vienen incorporadas, entre otras, por lo quepuede ser una herramienta valiosa para investiga-

dores y administradores.

REFERENCIAS

1. Anderson, L. (1977). The Economics of FisheriesManagement. The Blackburn Press. New Jersey.

2. Clark, C. (1990). Mathematical Bioeconomics.The Optimal Management of Renewable Resour-ces. John Wiley and Sons, Inc.

3. Copeland, T. y Weston, F. (1988). Financial The-ory and Corporate Policy. Addison-Wesley Pu-blishing Co. 3ra. Ed.

4. Froese, R. y Pauly, D. Editors. (2007). FishBase.World Wide Web electronic publication. www.fis-hbase.org, version (11/2007).

5. High Performance Systems, Inc (2001). Introduc-tion to Systems Thinking, STELLA.

6. Reinhardt, U.E. (1973). Break-Even Analysis forLockheeds Tri Star: An Application of Financial

Theory. Journal of Finance 32:821-838.

7. Wilen, J. (1985). Bioeconomics of RenewableResource Use. Handbook of natural Resourceand Energy Economics. Vol I, edited by A.V. Kne-ese and J.L. Sweeney. Elsevier Science Publis-hers.

ANEXO

Cdigo usado para estimar el momento ptimo de

cosecha en Stella

Costo(t) = Costo(t - dt) + (Costo_mensual_2) * dtINIT Costo = 0

INFLOWS:Costo_mensual_2 = costo_mensL(t) = L(t - dt) + (crecim) * dtINIT L = 15

INFLOWS:crecim = g*(Linf-L)N(t) = N(t - dt) + (- Sobreviv) * dtINIT N = 20000


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Tabla N. 2:VAN operacional del cultivode 1 jaula de salmones, segn mes de

cosecha (US$)

Mes decultivo

Valor Actual Neto(US$)

13 1.539,59

14 2.022,39

15 2.368,53

16 2.586,21

17 2.684,54

18 2.673,11

19 2.561,65

20 2.359,8221 2.076,99

22 1.722,12

23 1.303,66


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OUTFLOWS:Sobreviv = M*NValor_de__Mercado(t) = Valor_de__Mercado(t - dt)+ (- deprec) * dtINIT Valor_de__Mercado = 22000

OUTFLOWS:deprec = 354.2VPCosto(t) = VPCosto(t - dt) + (VPCosto_mensual)* dtINIT VPCosto = 0

INFLOWS:VPCosto_mensual = costo_mens*exp(-tasa*time)Beta = 0.00009Biomasa = N*peso

C = 15costo_mens = Biomasa*F/100*PFF = (3000*Beta*(C-5.5))/(0.0135*L)g = 0.1Ingresos = Biomasa*P

Inv_Inicial = INIT(Valor_de__Mercado)Linf = 38.9M = 0.00625P = 0.004peso = 0.0044*L^3.2635PF = 0.001tasa = .2/12VAN = -Inv_Inicial - VPCosto + (Ingresos+VRes-cate)*exp(-tasa*time)VRescate = ENDVAL(Valor_de__Mercado)

Sergio Ziga

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