3

ดร.ศรชย ตนรตนวงศ

¤ โครงสรางทตานทานตอแรงอด กระทาตรงปลายทงสองขาง กระทาผานศนยถวงของรปตด

¤ สวนของโครงสรางทรบแรงอด• เสา (column)• top chord ของโครงสรางหลงคา/โครงสะพาน • คายน • สวนของปกคานทรบแรงอดของคานเหลกรปพรรณ

โครงสรางรบแรงดง VS. โครงสรางรบแรงอด

¤ แรงดงจะพยายามดงโครงสรางใหอยในแนวตรง¤ แรงอดจะพยายามทาใหโครงสรางแอน/โคง/โกงตว¤ รเจาะของตวยด

โครงสรางรบแรงดงจะลดเนอทหนาตดในการรบแรงดงในโครงสรางรบแรงอดจะสมมตใหตวยดแทนทรเจาะเตมทงหมด โดยไมตองลดเนอทของรเจาะออก

¤ ฉะนนในการคานวณออกแบบสวนของโครงสรางทรบแรงอดจะใชเนอทหนาตดทงหมดของรปตด (Ag)

หนวยแรงอดทเกดขน : fa = P/Ag

แรงอดทสวนโครงสรางรบได : P = FaAg

P: แรงอดตามแนวแกนบนเนอทหนาตดทงหมด (Ag)ทตงฉากกบแรง

fa: หนวยแรงอดทเกดขน แผกระจายสมาเสมอตลอดเนอทหนาตด

Fa: หนวยแรงอดทสวนโครงสรางจะสามารถรบได

รปตดของโครงสรางสวนรบแรงอด¤ ทฤษฎ: เลอกใชรปตดแบบใดกได ¤ ทางปฏบต:

☺รปตดทมจาหนายในทองตลาด ☺ การทารอยตอทปลายชนสวน☺ใชงานรวมกบโครงสรางอน

Note:

☻ กาลงรบแรงอดของ member เปนปฏภาคสวนกลบกบความยาว

☻อตราสวนชะลด/slenderness ratioความยาวของชนสวน : รศมไจเรชนของรปตด

☻โดยทวไปมกไมเลอกใชเหลกรปตดเปนทอนกลม/แบนเพราะอตราสวนความชะลดมคามาก

รปตดของโครงสรางสวนรบแรงอด

P P

PftA

└ Single-angle:ใชเปนคายน/รบแรงอดในโครงสราง/truss ขนาดเลกรศมไจเรชนนอย/ไมประหยดนก เมอตอกบแผนเหลกประกบอาจทาใหเกดโมเมนตตด

เพมขน เนองจากการเยองศนย

┴ Double-angle:ใชในโครงหลงคา/etc.คายนตานแรงลมในโครงสะพานปกต จะเลอกใชชนด unequal-leg angle โดยนาเอา

ขาดานยาวมาประกบหรอชนกน เพอทาใหรศมไจเรชนในแนวแกนทงสอง (x & y) เทา ๆ กน

pipe: เสารบหลงคาทางเดนเทา/เสาโรงรถ เหมาะสาหรบรบนาหนกนอย/ปานกลาง ขอด: รศมไจเรชนเทากนทกแกน

tube: เสารบหลงคาทางเดนเทา/เสาโรงรถ เหมาะสาหรบรบนาหนกนอย/ปานกลาง ตอปลายโดยการเชอม

พฤตกรรมการรบนาหนก & ลกษณะของการวบต

เมอ member รบนาหนก/แรงอด จะเกดการโกงตวเนองจากโมเมนตดด

เมอนาหนกบรรทกเพมขน จะโกงตวมากขน หากหนวยแรงอดสงสดทเกดขนบนหนาตดยงไมเกนกวา

หนวยแรงทขดจากดยดหยนของวสดทใช เมอลดนาหนกกระทา จะคอยๆคนตวสสภาพเดม

หากนาหนกเพมขนจนถงนาหนกวกฤต (critical stress)จะเรมสญเสยความมเสถยรภาพ และจะเรมวบต

สวนใหญเปนการวบตแบบการโกงเดาะทเกดจากการดด (flexural buckling)

compression member -- เสา

เสาสน (short column):

• เสาทมความยาวนอยเมอเทยบกบขนาดหนาตด• สามารถรบนาหนกไดจนกระทงหนวยแรงอดวกฤตท

เกดขนบนหนาตดของเสา ≥หนวยแรงอดจดคราก

• การวบตของเสาสนเปนลกษณะทรปตดของเสา ถกบบอดจนบดเบยวและเสยรป (crushing)

• โดยทวไป ถอวาหนวยแรงอดวกฤตบนหนาตด= หนวยแรงทจดคราก

เสายาวปานกลาง (intermediate column):

• การวบตจะเปนลกษณะของการโกงเดาะจากแรงดดในชวงอนอลาสตก (inelastic buckling)

• หนวยแรงอดวกฤตทเกดขนบนหนาตด มคาเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยนของวสด

• บางสวนของหนาตดอาจตองรบหนวยแรงอดวกฤตสงถงหนวยแรงทจดคราก

• แตบางสวนของหนาตดอาจรบหนวยแรงอดวกฤตไมถงจดคราก

เสายาว (long column):

• การวบตจะเปนลกษณะของการโกงเดาะจากแรงดดในชวงอลาสตก (elastic buckling)

• หนวยแรงอดวกฤตทเกดขนตลอดหนาตดมคาไมเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยน (proportional limit) ของวสด

ปจจยอนทมผลทาใหกาลงรบนาหนกของเสา

• ความโคงโกงงอของเสากอนทจะรบนาหนก (initial curvature)

• สภาพของการยดทปลายเสา• หนวยแรงอดคงคางจากการเยนตวไมสมาเสมอ

เมอผลตแบบรดรอน• อตราสวน ความกวาง ตอความหนา ของชนสวน• ตาแหนงของแรงอดทกระทาซงทาใหเสาตองรบ

แรงเยองศนยโดยบงเอญ

กาลงรบนาหนกของเสา

นาหนกวกฤตของเสายาวEuler Critical Load

Leonard Euler (1757) เสนอวธหากาลงรบนาหนกของเสาโดยตงสมมตฐาน:

• เสามแนวตรง• รบนาหนก/แรงอดตามแนวแกนไมเยองศนย

(axially loaded column)• หนาตดสมาเสมอ• วสดเนอเดยวกนตลอดความยาวเสา• ปลายทงสองขางของเสาแบบยดหมน (pin)

E = elastic modulus ของวสดI = moment of inertia ของรปตดรอบแกนรบโมเมนตดดL = ความยาวของเสา Pe= นาหนกวกฤต ททาใหเสาเกดการโกงเดาะเนองจากแรงดด

Euler formula: Pe = π2EI /L2

A = เนอทหนาตดเสา r = รศมไจเรชนI = Ar2

หนวยแรงอดวกฤตเฉลย Pe/A = π2E/(L/r)2

L/r = อตราสวนความชะลด (slenderness ratio)

• เสาทมความยาวเทากน กาลงรบนาหนกของเสาขนอยกบ ความแขงแรงของวสด (EI)

• ถาใชวสดชนดเดยวกน กาลงรบนาหนกของเสาเปนสดสวนโดยตรงกบ I

• โดยทวไป คา I รอบแกนทตงฉากกน ม 2 คา รอบแกนหลก x (Ix) มคามาก รอบแกนรอง y (Iy) มคานอย

• เสาทถกยดปลายทงสองขาง การโกงเดาะเนองจากแรงดดจะเกดรอบแกน y เสมอ

กาลงรบนาหนกของเสา = π2Ely / L2

• แตหากทาคายนระหวางชวงเสาในทศตงฉากกบแกน y ซงเปนการลดชวงความยาวของการโกงเดาะทางแกน y กาลงรบนาหนกของเสากจะเพมมากขน

• ผออกแบบสามารถเลอกระยะคายนทเหมาะสมทจะทาใหกาลงรบนาหนกทงสองแกนมคาเทากนได

สมการของออยเลอรใหคากาลงรบนาหนกของเสาทมอตราสวนความชะลดสง(เสายาว)ไดด

การโกงเดาะในชวงอลาสตกหนวยแรงอดวกฤตทเกดขนบนหนาตดเสาไมเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยนของวสด (Fp )

• ดงนน พกดตาสดของอตราสวนความชะลดทเสาจะเกดการโกงเดาะในชวงอลาสตก

L/r = (π2E/Fp)1/2

• นนคอ เมอเสามอตราสวนความชะลดเกนกวาคานเสาโกงเดาะในชวงอลาสตก

• เมอเสามอตราสวนความชะลดตากวาคาน เสาจะโกงชวงอนอลาสตก

นาหนกวกฤตของเสายาวปานกลาง

• เสายาวปานกลางจะเกดการโกงเดาะในชวงอนอลาสตกของวสดทใชทาเปนเสา

• ความสมพนธระหวางหนวยแรงอด vs. การหดตวของวสดในชวงนไมเปนเสนตรง เนองจากคาโมดลสในชวงนจะมคาลดลงตามขนาดของหนวยแรงอดทเพมขนตามลาดบ แตมไดเปนสดสวนกน

• ดงนน การคาดหมายกาลงรบนาหนกของเสาประเภทนจงไมสามารถใชคาโมดลสยดหยน E

ทฤษฎโมดลสสมผสTangent Modulus Theory

สมมตฐาน:• เสายงไมโกงตวจนกวาจะรบนาหนกถงนาหนกวกฤต

• ในขณะทเสาเกดการโกงเดาะ หนวยแรงอดวกฤตในเสาเปนไปตามคาโมดลสสมผส ET

ET = ความชนของเสน ความสมพนธระหวางหนวยแรงอดกบการหดตว

= คาโมดลสยดหยน เมอหนวยแรงอด=หนวยแรงทขดพกดยดหยน= มคาลดลงตามลาดบ เมอหนวยแรงอดเพมมากขน= 0 ทจดคราก

Freidrich Engesser หากาลงรบนาหนกของเสาโดยใชสมการออยเลอร แตแทนคาโมดลสยดหยน E ดวยคาโมดลสสมผส ET

กาลงรบนาหนกวกฤต Pcr = π2ETI / L2

ทฤษฎโมดลสลด Reduced Modulus Theory

สมมตฐาน:• ขณะทเสาเกดการโกงเดาะ

จะมทงหนวยแรงวกฤตทเพมขนทางดานหดตว และลดลงทางดานยดตวของเสา

• หนวยแรงอดวกฤตทเพมขนใหเพมตามคาโมดลสสมผส ET• หนวยแรงอดวกฤตทลดลงใหลดตามคาโมดลสยดหยน E• ถา ER= Reduced Modulus ซงเปนฟงกชนของ E และ ET

กาลงรบนาหนกวกฤต Pcr = π2 ERI / L2

• โดยท ER= 2EET/(E+ET ) สาหรบเสารปตด I หรอ WF(ทไมคดแผน web)

= 4EET/(√E+√ET)2 สาหรบเสารปตดสเหลยมผนผา

• เนองจากคาของ ER ขนอยกบ E และ ETบางครงจงเรยกทฤษฎนวา Double Modulus Theory

• การใชทฤษฎทงสองนยงยากพอสมควร เพราะคานาหนกวกฤตทโครงสรางจะรบไดตองสอดคลองกบคา ET ทเปลยนตามไปในขณะทเสาเกดการโกงเดาะ ซงตองใชวธพจารณาแบบ Trial & Error

ผลของการยดปลายเสาทมตอกาลงรบนาหนกของเสา

กาลงรบนาหนกของเสายาวทมสภาพการยดปลายเสาตางๆกน

1. เมอปลายเสาเปนแบบยดหมนทงสองขาง (ก)• นาหนกวกฤตของเสาหาไดโดยใชสมการของ Euler

2. เมอปลายเสาเปนแบบยดแนนทงสองขาง (ข)

• จดดดกลบ A และ C จะอยหางจากปลายทงสองเปนระยะL/4

• ดงนนสวนของเสา ABC จะคลายกบเสาในแบบแรก ซงมความยาวเสาเปน L/2

• นาหนกวกฤตของเสา:

Pe= π2EI/(L/2)2

= 4π2EI/L2

3. เมอปลายเสาขางหนงเปนแบบยดแนนและปลายเสาอกขางหนงเปนแบบยดหมน (ค)

• จดดดกลบ C จะอยทระยะ 0.7L หางจากปลาย A • สวนของเสา ABC จะคลายกบเสาในแบบแรกซงมความยาว

ของเสาเปน 0.7L• นาหนกประลยของเสา:

Pe= π2EI/ (0.7L)2

= 2π2EI/L2 (appx.)

4. เมอปลายเสาขางหนงเปนแบบยดแนนและปลายเสาอกขางหนงเปนแบบปลอยอสระ

• นาหนกประลยของเสา:Pe = π2EI/(2L)2

= π2EI/4L2

ดงนน สมการของออยเลอรจงเปนสมการทใชหานาหนกวกฤตของเสายาว เมอเสามลกษณะการยดปลายตางๆ

การโกงเดาะในชวงอลาสตก Pcr = π2EI/(KL)2

การโกงเดาะในชวงอนอลาสตก Pcr = π2ETI/(KL)2

K = ตวประกอบความยาวประสทธผล(effective length factor)KL = ความยาวประสทธผล (effective length)

Column Strength Curve

Bleich (1952):

สมการอยางงายทใชคานวณ หาหนวยแรงอดวกฤตเมอเสาโกงเดาะในชวงอนอลาสตก โดยพจารณาใหสวนโคงอยในรปสมการของโคงพาราโบลา

Fy-Fp2

(KL/r) p2Fy-

KLr

Fcr =

ถาหนวยแรงทขดพกดยดหยน Fp = Fy/2

Cc: อตราสวนความชะลดท Fp = √(π2E/Fp) = √(2π2E/Fy)

KL/r ≥ Cc :

• เสาโกงเดาะในชวงอลาสตก • หนวยแรงอดวกฤต = π2E / (KL/r)2

• อตราสวนปลอดภย = 23 / 12• หนวยแรงอดทยอมให = 12π2E / 23(KL/r)2

• ถา λc = (KL / rπ)√Fy / E หนวยแรงวกฤต = Fy / (λc)2

KL/r ≤ Cc :

• เสาโกงเดาะในชวงอนอลาสตก• หนวยแรงอดวกฤต =

• อตราสวนปลอดภย =

• หนวยแรงอดทยอมให =

Fy- Fy-(Fy / 2)cc

2

KLr

2=

2

1- 12

KL/rcc

Fy

53

+ 38

KL/rcc

- 18

KL/rcc

3

1- 12

KL/rcc

2

53 + 3

8KL/rcc

- 18

KL/rcc

3 Fy

Local Buckling

• อตราสวน ความกวาง: ความหนา(width-Thickness ratio)ของแตละชนสวนของเสามผลตอกาลงรบนาหนกของเสา

• Local Buckling (LB) : หากชนสวนใดชนสวนหนงบางเกนไป อาจเกดการโกงเดาะได กอนทโครงสรางทงหมดจะเกดโกงเดาะ (Overall Buckling)

Theory of Plates: หาอตราสวนสงสดระหวาง ความกวาง:ความหนาของชนสวน เพอปองกนไมใหเกด LB ทงในชวงอลาสตกหรออนอลาสตก

• แผนเหลกบางขนาดสเหลยมผนผา ยาว a กวาง b หนา t• แรงอดกระทาบนดานกวาง b ทศทขนานกบความยาว a • มสภาพของการยดขอบตาง ๆ กนคาสมประสทธ k

ของแผนแบนบาง เมอรบแรงอด

Theory of Plates: •สมการของหนวยแรงวกฤตชวงอลาสตก :

Fcr = kπ2E

12(1 - μ2)(b/t)2

หรอbt

=π2

12(1 - μ2)kEFcr

k = คาคงท ขนกบ• ลกษณะการรบแรง• อตราสวน a/b• การยดขอบ

E = โมดลสยดหยนของวสดμ = Poison Ratio

= 0.3 - เหลกทวไป

คาสมประสทธ k ของแผนแบนบาง เมอรบแรงอด

• หนวยแรงอดวกฤตในชวงอนอลาสตก • แทนคา E ในสมการขางตนดวย ET• เมอกาหนดคาของหนวยแรงอดวกฤตทตองการ จะสามารถหาอตราสวนสงสด ระหวางความกวาง:ความหนา ของชนสวนนน เพอปองกนการเกดการ LBได

ถาใหหนวยแรงอดวกฤต≥หนวยแรงทจดคราก (Fy) ดงนน

แตจากผลกระทบของหนวยแรงคงคางและการโคงงอเรมแรกของแผนเหลกทาใหตองปรบคาของ b/t เปน

bt≤

π2

12(1-μ2)kEFy

bt≤

π2

12(1-μ2)kEFy

0.70 = 0.67 kEFy

(เมอใช μ = 0.3)

unstiffened element:• ขอบขางหนงทขนานกบแนวแรงไมถกยด (ปลอยอสระ)• ขอบดานขางอกขางหนงทขนานกบแนวแรงถกยด

• k = 0.425 : b/t ≤ 0.45 E/Fy เหลกฉากเดยว

• k = 1.277 : b/t ≤ 0.75 เหลกแผนตงของรปตดตวท

• k = 0.70 (คาระหวาง 0.425 กบ 1.277): b/t ≤ 0.56 แผนเหลกปกคาน

E/Fy

E/Fy

ประเภทของรปตดของสวนโครงสรางทรบแรงอด (AISC/ASD/LRFD)

• Compact: ปกคานเชอมอยางตอเนองกบเหลกแผนตงตลอด

ทงความยาว อตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนด

• Noncompact: รปตดทไมสามารถจดเปนแบบ compact อตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนด

สาหรบรปตดแบบไมคอมแพค• Slender:

อตราสวน b/t > คาทกาหนดสาหรบรปตดแบบไมคอมแพค

• เพอปองกน LB ของสวนโครงสราง

การออกแบบโครงสรางรบแรงอด (AISC)

• อตราสวนความชะลด(KL/r) ≤ 200

• การออกแบบสวนโครงสรางรบแรงอด ดงสมการตอไปน สาหรบรปตดของสวนโครงสรางทมอตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนดใหสาหรบรปตดแบบ noncompact

ก) ขอบดานขางขางหนงทขนานกบแนวแรงไมถกยด (unstiffened element)

โดยทวไป ใช b/t ≤ 0.56 E/Fy

เหลกฉากเดยว/คทมแผนแทรก b/t ≤ 0.45 E/Fy

เหลกแผนตงของเหลกรปตวท b/t ≤ 0.75 E/Fy

ข) ขอบดานขางทงสองขางทขนานกบแนวแรงถกยด (stiffened element)

โดยทวไป ใหใช b/t ≤ 1.49 E/Fy

ทอเหลกรปตดสเหลยม b/t ≤ 1.40 E/Fy

• เหลกรปพรรณมาตรฐานทผลตสวนใหญไดทาตามขอกาหนดจงไมมปญหาเรอง LB

• ตองตรวจสอบสาหรบสวนโครงสรางทประกอบขนเอง (built-up section)

• เสาทมรปตดเปนแบบชะลด พจารณาออกแบบตามทมาตรฐาน AISC กาหนด

ไมนามากลาวไวในทน

การออกแบบโดยวธ ASDหนวยแรงอดทยอมใหบนหนาตดทงหมด (Ag) ขนอยกบ การโกงเดาะของเสาทงในชวงอลาสตกและอนอลาสตก โดยใชคาอตราสวนความชะลด [Cc = ] เปนตวกาหนด2π2E/Fy

• เมอ KL/r≤ Cc :

Fa =1- 1

2KL/rCc

2

53 + 8

3 KL/rCc

- 8KL/rCc

1 3Fy

•เมอ KL/r > Cc : Fa = 12π2E23(KL/r)2

L = ชวงความยาวของเสาทไมมคายนทางขาง ซม.r = รศมไจเรชน (min) ของพนทรอบแกนทเกดการโกงงอ ซม.E = โมดลสยดหยนของเหลก กก./ซม.2Fy = กาลงจดครากของเหลก กก./ซม.2K = ตวคณประกอบความยาวประสทธผลFa = หนวยแรงอดทยอมให กก./ซม.2

การออกแบบโดยวธ LRFD

กาลงรบแรงอดประลย φcPn = FcrAg

Pn = กาลงตานทานแรงอดประลย (nominal compressive strength)Ag= เนอทหนาตดทงหมดของสวนโครงสรางรบแรงอดFcr= หนวยแรงอดวกฤต

ขนกบ slenderness parameter : λc = (KL/rπ) Fy/E

• λc ≤ 1.5 : Fcr = (0.658 λ c^2)Fy = [exp(-0.419λc2)]Fy

• λc > 1.5 : Fcr = 0.877π2E(KL/r)2

= 0.877λc

2Fy

หนวยแรงอดวกฤตสาหรบการออกแบบโดยวธ LRFD

ตวอยางท 3.1 จงหากาลงรบนาหนกของเสาขนาด W350x136 โดยวธ ASD และวธ LRFD ซงยาว 6.0 เมตร ปลายทงสองขางเปนแบบยดหมนใชเหลกชนด A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2 E= 2x106 กก.ซม.2)

ตรวจสอบ Local Buckling

ขอกาหนด AISC

2,5000.56 15.842,000,000

=2,5001.49 42.14

2,000,000=

( / 2) 350 / 2 9.21 15.8419

f

f

bt

= = <OK

350 29.16 42.1412w

ht= = < OK

วธ ASD

2. หนวยแรงอดทยอมให :

Fa =1-

12 (KL/r

Cc)2

53 +3

8KL/r)(Cc

- 18 (KL/r )

3

Cc

Fy = 1150 กก./ซม2

3. กาลงรบแรงอดใชงาน (allowable compressive load):P = AgFa = (173.9)(1150) = 200,000 กก.

2 22 2 (2,000,000) 125.662,500C

Y

ECFπ π

= = =

1. KL/r = (1)(600)/8.84 = 68 < 125.66

วธ LRFD

1. Slenderness Parameter λc =KL/rπ

Fy

E= 0.764 < 1.5

ตวอยางท 3.3 จงคานวณหากาลงรบนาหนกของเสาขนาด W350x136 เมอมชวงความยาวประสทธผล (Effective Length: KL) ทางแกนหลก(major axis) เทากบ 12 เมตร และทางแกนรอง (minor axis) เทากบ 6 เมตร โดยใชมาตราฐาน AISC และใชเหลกชนด A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2 E= 2x106 กก./ซม.2)

วธทา W 350 x 136 ; Ag = 173.9 ตร.ซม.rx = 15.2 :ซม.ry = 8.84 ซม.width-thickness ratio = 35/(2 x 1.9) = 9.21

< (0.56 E/fy = 15.8) O.K.

2. หนวยแรงอดทยอมให :จาก KL/r = 78.9 < (Cc = 2π2E/Fy = 125.7)

Fa =1- 1

2 ( KL/rCc

) 2

53+ 38

KL/rCc

)-( 18

KL/rCc

) 3(Fy = 1073 กก./ตร.ซม.

3. กาลงรบแรงอดใชงาน (allowable compressive load) :P = AgFa = (173.9)(1073) = 186,595 กก.

วธ ASD

1. KxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9 KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก

วธ LRFD

1. KxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9 KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก

คา r ทใช ตองเปน r minimum

คา K ตามทฤษฎ vs. K ทใชในการออกแบบเสา

• อาจพจารณาเสมอนเปนเสาเดยว ทงทมการเซและไมมการเซ

• คาตามทฤษฎ < คาทใหใชในการออกแบบ • ในทางปฏบตจรงไมสามารถทาการยดปลายเสาไดตรงตาม

ทฤษฎ• มาตรฐาน AISC/ASD/LRFD แนะนาใหใชคา K = 1

สาหรบเสาในโครงเฟรมทไมมการเซทางขาง เวนแตจะทาการวเคราะหไดวา K < 1

• มาตรฐาน AISC/ASD/LRFD กาหนดใหตองวเคราะหหาคาของตว K สาหรบเสาในโครงเฟรมทยอมใหเซทางขาง แตทงนตอง ≥ 1

ตวคณประกอบความยาวประสทธผล (Effective Length Factor : K)

กาลงรบนาหนกของเสาในโครงเฟรม

• เสาในโครงเฟรม อาจโกงเดาะเนองจากแรงดดไดทงในชวงอลาสตกและอนอลาสตก เชนเดยวกบเสาเดยว

• Braced Frame: • มคายนสามารถตานแรงทางขางได• ไมเกดการเซทางขาง• เกดการโกงเดาะแบบ symmetrical

• Unbraced Frame: • ยอมใหมการเซทางขาง • เกดการโกงเดาะแบบ anti-symmetrical • กาลงรบนาหนกของเสาในนอยกวาเสาใน Braced Frame

กาลงรบนาหนกของเสาในโครงเฟรม

คาน & เสา วสดชนดเดยวกน:

G = ∑(Ic/Lc) / ∑(Ig/Lg)

• โครงสรางไมมการเซทางขาง:• K < 1• กาลงรบนาหนกนอยทสด ของเสาประมาณโดยสมมตให

K =1• โครงสรางมการเซทางขาง:

• K > 1 •วเคราะหคา K ใหไดกอน• กาลงรบนาหนกสงสด ของเสา ≤ π2EI/L2

K ของเสาในโครงเฟรม

Alignment

Chart

เมอปลายเสาเปนแบบยดหมน: G = 10 เมอปลายเสาเปนแบบยดแนน: G = 1

ในกรณททราบการยดปลายคานดานไกลทแนนอน ใหคณคา stiffness factor ของคาน ดวยคาตอไปน

•โครงสรางไมมการเซ :o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดหมน คณ 1.5o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดแนน คณ 2.0

•โครงสรางมการเซ:o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดหมน คณ 0.5o ปลายคานดานไกลแบบยดแนน คณ 0.67

ตวอยางท 3.4 จงหาชวงความยาวประสทธผลของเสาแตละตนในโครงเฟรมทแสดง ซงยอมใหเซทางขาง

วธทา หาคา Stiffness Factor ของคานและเสา

คาน B1: lg/Lg = 47800/600 = 79.67คาน B2 : lg/Lg = 23700/600 = 39.50เสา C1 และ C4 : lc/Lc = 20400/400 = 51.00เสา C2 และ C3 : lc/Lc = 20400/350 = 58.29

หาคา GA และ GB ทปลายบนและปลายลางของเสาแตละตนทพจารณา แลวใช Alignment Chart สาหรบโครงเฟรมทยอมใหเซทางขาง เพอหาคา Effective length factor : K โดยการลากเสนตรงเชอมระหวางคาของ GA และ GB กจะไดคา K ของเสาแตละตนดงแสดงในตารางตอไปน

เสา GA ทปลายบน GB ทปลายลาง Kx

C1 (51.0+58.29)/79.67 = 1.37 1(ปลายยดแนน)C2 58.29/39.5 = 1.48 1.37C3 1.48 1.37C4 1.37 10(ปลายยดหมน)

เสา GA ทปลายบน GB ทปลายลาง Kx

C1 (51.0+58.29)/79.67 = 1.37 1(ปลายยดแนน) 1.38

C2 58.29/39.5 = 1.48 1.37 1.44

C3 1.48 1.37 1.44

C4 1.37 10(ปลายยดหมน) 1.98

Ga Gb

No-Sway CaseK = 0.818

Equation = 0.00001

Sway CaseK = 1.438

Equation = 0.00009

1.371.48

No-Sway

Sway

Stiffness Reduction Factor : SRF

• Alignment Chart พฒนามาจากขอสมมตฐานตามทฤษฎ อลาสตกเพยงอยางเดยว

• ดงนนเมอจะนาไปใชกบเสาทจะเกดการโกงเดาะในชวงอนอลาสตก

หมายถงชวงท

ASD: fa > 0.26Fy

LRFD: Pu/A > 0.39Fy

ASD: fa > 0.26Fy

LRFD: Pu/A > 0.39Fy

slenderness parameter : λc = ( ) YKL Fr Eπ

ถา G’ = ∑(Ic/ Lc)∑(Ig/ Lg)

G = [ G’] [SRF]

Ic, Ig = โมเมนตอนเนอรเชยของเสาและของคานLc, Lg = ชวงความยาวของเสาและของคาน

SRF = Fa (inelastic) / Fa (elastic) สาหรบ ASD= Fcr (inelastic) / Fcr (elastic) สาหรบ LRFD

= 1.0 เมอเสาโกงเดาะในชวงอลาสตก

• มาตรฐาน AISC ใหปรบแกดวย Stiffness Reduction Factor : SRF ซงจะทาใหคาของตว G ทแตละปลายเสามคานอยลง

SRF สาหรบเหลก Fy = 2,500 ksc, E = 2,000,000 kscไดคานวณใหไวในตาราง 13 และ 14

วธการออกแบบโครงสรางสวนรบแรงอด

1. สมมตคาหนวยแรงอดทยอมให หรอคาของหนวยแรงวกฤต (แลวแตวธทจะใช) โดยอยาใหมคามากกวาหรอเทากบคาสงสดในสตรคานวณออกแบบ

2. หารนาหนกทกระทาดวยหนวยแรงอดทสมมตขนจากขอ 1 จะไดคาเนอทหนาตดของเสาทตองการโดยประมาณ

3. เลอกรปตด โดยใหมเนอทหนาตดอยางนอยเทากบเนอททหาไดจากขอ 2 และหาคารศมไจเรชนของรปตดทเลอกใช โดยพจารณาถงสภาพการคายนดวย

4. คานวณหาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย(แลวแตกรณ) ของรปตดทเลอกใช

5. ถาคาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย ทไดในขอ 4 มคาไมมากเกนกวาคาจรงประมาณ 2 ถง 3 เปอรเซนต กแสดงวาเลอกขนาดรปตดไดเหมาะสมแลว

6. แตคาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย มคามากกวาหรอนอยกวาคาจรงประมาณ 5% แสดงวาหนาตดทเลอกใชใหญไปหรอเลกไปกวาความตองการ จาเปนตองกลบไปพจารณาใหม

7. เมอไดรปตดทเหมาะสม ใหตรวจสอบเกยวกบการโกงเดาะเฉพาะแหง ซงอาจจาเปนตองเลอกรปตดใหมกได

ตวอยางท 3.6 จงออกแบบเสาเหลกรปพรรณทมหนาตดแบบปกกวาง(W-Shape) ยาว 5.0 เมตร ใหรบนาหนกบรรทกคงทใชงาน 41.5 ตน นาหนกบรรทกจรใชงาน 125 ตนตามมาตรฐาน AISD ใชเหลก A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2, E = 2x106

กก./ซม.2) เมอ

(ก) ปลายทงสองดานเปนแบบยดหมน (ข) ปลายทงสองดานเปนแบบยดแนน

วธทาออกแบบโดยวธ ASD

คานวณหานาหนกใชงานทเสาตองรบP = 41.5 + 125 = 166.5 ตน

(ก) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดหมน (K = 1.0)1. สมมตหนวยแรงอดทยอมให Fa = 1200 กก/ซม2

2. ตองการเนอทหนาตด Ag = P/Fa = 166500/1200 = 139 ซม2

3. เลอกรปตด W344 x 115Ag = 146 ซม2 , rmin = 8.78 ซม.b/t =10.88 < (0.56 E/Fy = 15.8)

4. หาหนวยแรงอดทยอมใหจรง (Fa) และกาลงรบแรงอดใชงานจาก KL/r = (1.0)(500)/8.78 = 56.95 < (Cc = 2π2E/Fy = 125.7)

Fa =1- 1

2 ( KL/rCc

) 2

53+ 38

KL/rCc

)-( 18

KL/rCc

) 3(Fy = = 1230 กก./ตร.ซม.

กาลงรบแรงอดใชงาน P = AgFa = (146)(1230) = 179580 กก.O.K.

(ข) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดแนน (K = 0.65)1. สมมตหนวยแรงอดทยอมให Fa = 1250 กก./ตร.ซม.2. ตองการเนอทหนาตด Ag = P/Fa = 166500/1250 = 133.2 ซม2

3. เลอกรปตด W390 x 107Ag = 136 ตร.ซม., rmin = 7.28 ซม., b/t = 12.2 < 0.56 E/Fy

4. หาหนวยแรงอดทยอมใหจรง (Fa) และกาลงรบแรงอดใชงาน

จาก KLrmin

=(0.65)(500)

7.28= 44.6 < Cc = 2π2E/Fy = 125.7

Fa =1- 1

2 ( KL/rCc

) 2

53+ 38

KL/rCc

)-( 18

KL/rCc

) 3(Fy = = 1306 กก./ซม2

กาลงรบแรงอดใชงาน : P = AgFa = (136)(1306) = 177616 กก.O.K.

ออกแบบโดยวธ LRFD

คานวณหานาหนกใชงานทเพมคาแลว (Factored Loads) ทเสาตองรบจาก Pu = 1.2D + 1.6Lนนคอ Pu = 1.2(41.5) + 1.6(125) = 250 ตน

(ก) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดหมน (K = 1.0)1. สมมตหนวยแรงอดวกฤต Fcr = 2000 กก./ซม2

2. ตองการเนอทหนาตด Ag= Pu/ φcFcr= 250000/(0.85 x 2000) = 147 ซม2

3. เลอกรปตด W 344 x 115Ag = 146 ซม2

rmin = 8.78 ซม.b/t = 10.88 < (0.56 E/Fy = 15.8)

4. หาหนวยแรงวกฤตจรง (Fcr) และกาลงรบแรงอดประลย (design strength)

KL/r = (1.0)(500)/8.78 = 56.95

λc = KL/rπ

Fy

E = 56.95π

25002x106

= 0.64 < 1.5

φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.64^2)(2500) = 1789 กก/ซม2

Design Strength : φcPn = Ag(φcFcr) = 146(1789) = 261000 กก.O.K.

(ข) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดแนน (K = 0.65)1. สมมตหนวยแรงอดวกฤต Fcr = 1900 กก./ซม2

2. ตองการเนอทหนาตด Ag = Pu/ φcFcr= 250000/(0.85x1900)= 131.6 ซม2

3. เลอกรปตด W390x107Ag = 136 ตร.ซม. rmin = 7.28 ซม.b/t = 12.2 < 0.56 E/Fy

4. หนวยแรงวกฤต (Fcr) และกาลงรบแรงอดประลย (design strength)

KLrmin

= (0.65)(500)7.28

= 44.6

λc = KL/rπ

Fy

E = 44.6π

25002x106

= 0.50 < 1.5

φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.64 2)(2500) = 1912 กก/ซม2

Design Strength : φcPn = Ag(φcFcr) = 136(1912) = 260000 กก.O.K.

ตวอยางท 3.7 จงออกแบบเสารปตดแบบปกกวาง เมอมชวงความยาวประสทธผล (Effective Length : KL) ทางแกนหลก (major axis) =12 เมตร และทางแกนรอง (minor axis) = 6 เมตร ใหรบแรงอดจากนาหนกบรรทกคงทใชงาน 41.5 ตนและจากนาหนกจรใชงาน 125 ตนโดยใชมาตรฐาน AISC เหลกชนด A36 (สมมตใช Fy =2500 กก/ซม.2,E = 2x106 กก./ซม.2)

วธทา

โดยใชวธ ASD

เสาตองรบแรงอด P = 41.5 + 125 = 166.5 ตน

1. เลอกหนาตด W350x136 ; Ag = 173.9 ตร.ซม. , rx = 15.2 ซม., ry = 8.84 ซม.,bf/2tf = 35/(2x1.9) = 9.21 < (0.56 E/Fy = 15.8)

2. หาอตราสวนความชะลดKxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9

แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก (major axis)

3. การคานวณหา Fa และกาลงรบแรงอดใชงานจาก (KxLx/rx = 78.9) < (Cc = 125.7)

Fa =1- 1

2 ( KL/rCc

) 2

53+ 38

KL/rCc

)-( 18

KL/rCc

) 3(Fy = = 1072 กก./ตร.ซม.

กาลงแรงอดใชงาน :P = AgFa = (173.9)(1072)/1000 = 186 ตน > 166.5 ตน

OK.

โดยใชวธ LRFD

เสาตองรบแรงอดใชงานทเพมคาแลว Pu = 1.2(41.5) + 1.6(125) = 250 ตน

1. เลอกหนาตด W350x136 : Ag = 173.9 ตร.ซม. rx = 15.2 ซม. ry = 8.84 ซม.bf/2tf = 35/(2x1.9) = 9.21 < (0.56 E/Fy = 15.8)

2. หาคาอตราสวนความชะลดKxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9

แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก3. คานวณหา φcFcr และกาลงรบแรงอดประลย

จาก KxLx/rx = 78.9

ดงนน

λc = KL/rπ

Fy

E = 78.9π

25002x106

= 0.89 < 1.5

φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.89^2)(2500) = 1527 กก/ซม2

φcPn = Ag(φcFcr ) = 173.9(1527) /1000 = 265.6 ตน > Pu = 250 ตน

หมายเหต คายนขางเสาตองรบแรงอดได ≥ 0.02 เทาของแรงอดในเสา