วชา คณตศาสตรธรกจ (3000-1403)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 3

ดเทอรมแนนต

ความหมายของดเทอรมแนนต

ดเทอรมแนนต คอกลมของจ านวนจรงทเขยนอยภายใน

เครองหมาย โดยจ านวนแตละจ านวนเรยกวา

สมาชกของดเทอรมแนนต

ก าหนดให A เปนเมทรกซ จาก A = aij m×n

ดเทอรมแนนตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ A หรอ det A

ถา A เปนเมทรกซทมขนาด(มต) 2 × 2

หรอ A = a11 a12 แลวดเทอรมแนนตของ A

a21 a22

เขยนแทนดวย A หรอ det A = a11 a12

a21 a22

ดเทอรมแนนตอนดบหนง

ดเทอรมแนนตอนดบหนง นยาม ก าหนดให A = a11 1×1 แลว det A = a11

ตวอยาง ก าหนดให A = 4 และ B = -3 จงหา det A , det Bวธท า det A = 4

det B = -3

ดเทอรมแนนตอนดบสอง

ดเทอรมแนนตอนดบสอง

นยาม ก าหนดให A = a11 a12

a21 a22 2×2

แลว det A = ( a11a22 ) – ( a21a1 2)

ตวอยาง ก าหนดให A = 2 3

1 4

จงหา det A

วธท า

ตวอยาง ก าหนดให A = -1 -9 จงหา det A1 3

วธท า det A = -1 -90 3

= (-1)(3) - (0)(-9)= -3 - 0 = -3

ดเทอรมแนนตอนดบสาม

ดเทอรมแนนตอนดบสาม นยาม ก าหนดให A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 3×3

แลว det A = ( a11a22 a33 ) + ( a12a 23 a31) + ( a13a21 a32 )- ( a31a22 a13 ) - ( a32a23 a11 ) - ( a33a21 a12 )

หรอสามารถหาไดดงน

การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซทมขนาด(มต) 3 × 3

โดยการน าหลกท 1 และหลกท 2 ตอทายดวยหลกท 3 แลว

ใชการคณทแยงโดยถอหลกวา ถาคณทแยงมมผลคณ

เปนบวก ผลคณทแยงขนใหคาผลคณเปนลบ

ตวอยาง ก าหนดให A = 1 4 3

2 1 3

4 3 2

จงหา det A

วธท า

ขอสงเกต

1. ในการหาคาของ det (kA) = k n detA

ตวอยาง ถา A = 1 4

6 -2

จงหา det 3A

วธท 1

A = 1 4

6 -2

3A = 3 1 4 = 3 12

6 -2 18 -6

det 3A = (3)(-6) - (18)(12) = -18 -216

= -234

วธท 2A = 1 4

6 -2 det A = (1)(-2) - (6)(4) = -2 -24

= -26det (kA) = k n detAdet 3A = 3 2 (-26)

= -234

2. ในการหาคาdet (AB ) ไมตองหา AB สามารถหาไดจาก

det(AB) = detA detB

ตวอยาง A = 2 3 B = -3 2

1 -4 4 -5

จงหา det (AB)

วธท 1

A = 2 3 B = -3 2

1 -4 4 -5

AB = 2 3 -3 2 = 6 -11

1 -4 4 -5 -19 22

det (AB) = (6)(22) - (-19 )(-11)

= 132 -209

= -77

วธท 2

A = 2 3 B = -3 2

1 -4 4 -5

det (A) = (2)(-4) - (1 )(3) = -8 -3 = -11

det (B) = (-3)(-5) - (4 )(2) = 15 - 8 = 7

det(AB) = detA detB

= (-11)(7) = -77

3. ในการหาคาdet (Am ) ไมตองหา Am สามารถหาไดจาก

det(Am ) = ( det A) m

ตวอยาง A = 2 3

1 -4

จงหา (det A2 )

วธท 1

A = 2 3

1 -4

A 2 = 2 3 2 3 = 7 -6

1 -4 1 -4 -2 19

( det A2 ) = (7)(19) - (-2 )(-6)

= 133 -12

= 121

วธท 2A = 2 3

1 -4 det( A ) = (2)(-4) - (1 )(3)

= -8 -3 = -11det(A2 ) = ( det A) 2

= ( -11) 2

= 121

4. ในการหา det At ไมจ าเปนตองหา At

เพราะวา det A = det At

ตวอยาง ก าหนดให A = 2 -4 จงหา det A1 5

วธท า det A = 2 -41 5

= (2)(5) - (1)(-4)= 10 - (-4)= 10 + 4= 14

ตวอยาง ก าหนดให A = 2 -4 จงหา det At

1 5 วธท า det At = 2 1

-4 5 = (2)(5) - (1)(-4)= 10 - (-4)= 10 + 4 = 14

ตวอยาง ก าหนด A เปนเมทรกซทมขนาด 2×2

และ det A = -3

จงหา 1. det (4A)

2. det ( 5A3 )

3. det (-A. At)

วธท า1. det (4A) = 42 det (A) = 16 (-3) = -48 2. det ( 5A3 ) = 52 det ( A3 )

= 52 det ( A)3

= 25 (-3) 3

= 25(-27)= -675

3. det (-A. At) = det (-A). det(At)

= (-1)2.det(A) det(A)

= (-1)2 (-3)(-3)

= (1)(9)

= 9

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชดเทอรมแนนต

เราสามารถน าความรเรองดเทอรมแนนต มาชวยใน

การแกระบบสมการเชงเสน ซงเรยกวา การแกระบบสมการ

เชงเสนโดยใชดเทอรมแนนต หรอการแกระบบสมการ

เชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร (Cramer’s rule)

การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปรโดยใชดเทอรมแนนตรปทวไปของแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ax + by = d1 …………..(1)

cx + dy = d2 …………..(2)สามารถจดระบบสมการเชงเสนสองตวแปรใหอยในรป AX =B ไดดงน

a b x = d1

c d y = d2

ซงเรยก A = a b วา เมทรกซสมประสทธ

c d

X = x วา เมทรกซตวแปร

y

B = d1 วา เมทรกซคาคงตว

d2

และให D แทนดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของ

ตวแปรโดยใชสมประสทธของ x และ y เปนหลกท 1 และ 2

ตามล าดบ

Dx แทนดเทอรมแนนตทไดจากการแทนหลกท 1 ของ D

ดวยคาคงตวหลกท 1 ของ B

Dy แทนดเทอรมแนนตทไดจากการแทนหลกท 2 ของ D

ดวยคาคงตวหลกท 2 ของ B

แกระบบสมการเชงเสนสองตวแปรโดยใชดเทอรมแนนตD = a b

c d = ad - bcDx = d1 b

d2 d = dd1 - bd2

Dy = a d1

c d2 = ad2 - cd1

ค าตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปรคอ X = Dx D และ Y = Dy

D

ตวอยาง จงแกระบบสมการโดยใชดเทอรมแนนต

X – Y = 1

2X – 3Y = 5

วธท า 1 -1 X = 1

2 -3 Y 5

จะได D = 1 -1 = (1)(-3) - (2)(-1) = -3+2 =-1

2 -3

Dx = 1 -1 = (1)(-3) - (5)(-1) = -3+5 = 25 -3

Dy = 1 1 = (1)(5) - (2)(1) = 5 - 2 = 32 5

ค าตอบของระบบสมการคอ X = Dx = 2 = -2 D -1 และ Y = Dy = 3 = -3 D -1

การแกระบบสมการเชงเสนสามตวแปรโดยใชดเทอรมแนนต

การแกระบบสมการเชงเสนสามตวแปรโดยใชดเทอรมแนนตรปทวไปของแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร a1x + b1y + c1z = d1 ………….(1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………..(2) a3x + b3y + c3z = d3 ……………..(3)

สามารถจดระบบสมการเชงเสนสามตวแปรใหอยในรปสมการเมทรกซ AX =B ไดดงน

a1 b1 c1 = x = d1

a2 b2 c2 = y = d2

a3 b3 c3 = z = d3

และให D แทนดเทอรมแนนตของเมทรกซสมประสทธของ

ตวแปรโดยใชสมประสทธของ x , y และ z เปนหลกท 1 , 2

และ 3 ตามล าดบ

Dx แทนดเทอรมแนนตทไดจากการแทนหลกท 1 ของ D

ดวยคาคงตวหลกท 1 ของ B

Dy แทนดเทอรมแนนตทไดจากการแทนหลกท 2 ของ D

ดวยคาคงตวหลกท 2 ของ B

Dz แทนดเทอรมแนนตทไดจากการแทนหลกท 3 ของ D

ดวยคาคงตวหลกท 3 ของ B

แกระบบสมการเชงเสนสามตวแปรโดยใชดเทอรมแนนต ไดดงนa1 b1 c1

D = a2 b2 c2

a3 b3 c3

d1 b1 c1

Dy = d2 b2 c2

d3 b3 c3

Dy = a1 d1 c1 และ Dz = a1 b1 d1

a2 d2 c2 a2 b2 d2

a3 d3 c3 a3 b3 d3

=

ค าตอบของระบบสมการคอ X = Dx D Y = Dy

D

และ Z = Dz D

ตวอยาง จงแกระบบสมการโดยใชดเทอรมแนนต

X + 2Y + Z = 2

2X - Y - Z = 3

4X + Y+ 2Z = 0

วธท า 1 2 1 X 2

2 -1 -1 Y = 3

4 1 2 Z 0

จะได D = 1 2 12 -1 -1 4 1 2

= ( -2 – 8 + 2 ) - ( -4 -1 + 8 ) = -8 – 3 = -11

2 2 1 Dx = 3 -1 -1

0 1 2 = ( -4 + 0 + 3 ) - ( 0 - 2 + 12 ) = -1 - 10 = -11

จะได Dy = 1 2 1 2 3 -1 4 0 2

= ( 6 – 8 + 0 ) - ( 12 + 0 + 8 ) = -2 – 20 = -22

1 2 2D z= 2 -1 3

4 1 0= ( 0 + 24 + 4) - ( -8 + 3 + 0 ) = 28 - ( -5) = 33

ค าตอบของระบบสมการคอ X = Dx = -11 = 1 D -11 Y = Dy = -22 = -2 D -11

Z = Dz = 33 = -3 D -11

ขอขอบคณภาพจาก Internet