อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 1

บทท 12 ความเทากนทกประการ 12.1 นยาม ความเทากนทกประการ - รปสองรปเทากนทกประการ เมอรปหนงทบอกรปหนงไดสนทพอด ใชสญลกษณ “ ≅ ” แทนคาวา

เทากนทกประการ -

- สวนของเสนตรงสองเสนจะเทากนทกประการ เมอสวนของเสนตรงสองเสนนน ยาวเทากน

AB แทน สวนของเสนตรง AB และ ( )ABm แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB

จากนยาม ถา PQAB ≅ แลว ( ) ( )PQmABm =

- มมสองมมจะเทากนทกประการ เมอมมทงสองนนม ขนาดเทากน A แทน มม A และ m ( A ) แทน ขนาดของ A

จากนยาม ถา B ≅ Q แลว m (B) = m (Q) และเพอความสะดวกใช B = Q แทน m ( B ) = m ( Q )

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 2

- เสนตรงสองเสนตดกน มมตรงขามจะมขนาดเทากน

จากรป 1) ตรงขามกบ 2) ดงนน 1) = 2) 3) ตรงขามกบ 4) ดงนน 3) = 4) - ดานทยาวเทากนมมทมขนาดเทากนหรอจดททบกนไดสนท เรยกวา “สมนยกน”

จากรป จะไดวา AB สมนยกบ DE นนคอ AB = DE BC สมนยกบ EF นนคอ BC = EF CA สมนยกบ FD นนคอ CA = FD CBA) สมนยกบ FED) นนคอ CBA) = FED) ACB) สมนยกบ DFE) นนคอ ACB) = DFE) BAC) สมนยกบ EDF) นนคอ BAC) = EDF)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 3

ขอสงเกตเกยวกบความเทากนทกประการของรปตาง ๆ 1. รปสเหลยมมมฉากสองรปทมความยาวรอบรปยาวเทากนอาจจะไมเทากนทกประการกได เชน รปสเหลยมผนผาทมดานกวาง

6 ซม. และดานยาว 2 ซม. กบ สเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 4 ซม.จะมเสนรอบรปยาว 2 × (2 + 6) = 2 × (4 + 4) = 16 ซม. แตไมเทากนทกประการ

2. รปสเหลยมผนผาสองรปทมพนทเทากน อาจไมเทากนทกประการ เชน

พนทสเหลยมผนผา A = 6 × 10 = 60 ตารางหนวย พนทสเหลยมผนผา B = 5 × 12 = 60 ตารางหนวย ∴ พนทสเหลยมผนผา A = พนทสเหลยมผนผา B แตขนาดไมเทากน

3. รปสามเหลยมสองรปทมขนาดมมเทากนสามค รปสามเหลยมสองรปนอาจไมเทากนทกประการ เชน

4. รปวงกลมสองรปทมรศมเทากนจะเทากนทกประการ

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 4

ลองทาด จงเตมขอความลงในชองวางใหถกตอง (1)

กาหนด ABC ≅ EDC จด A สมนยกบ _______________ จด B สมนยกบ _______________

AC สมนยกบ _______________ CBA) สมนยกบ _______________

(2)

กาหนด PQR ≅ PSR จด Q สมนยกบ _______________ PQ สมนยกบ _______________ QR สมนยกบ _______________

QPR) สมนยกบ _______________ RQP) สมนยกบ _______________

(3)

กาหนด OAD ≅ OBC DO = _______________ AD = _______________ OA = _______________

ODA) = _______________ AOD ) = _______________ DAO) = _______________

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 5

(4)

กาหนด ก ≅ ข â = _______________ องศา b) = _______________ องศา x = _______________ ซม. (5)

กาหนด ก≅ ข â = _______________ องศา b) = _______________ องศา x = _______________ ซม.

y = _______________ ซม. z = _______________ ซม.

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 6

12.2 ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม มอย 3 แบบ คอ

- ดานมมดาน (ด.ม.ด.) - มมดานมม (ม.ด.ม.) - ดานดานดาน (ด.ด.ด.)

รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ด าน (ด.ม.ด.)

“มมอยระหวางดานสองคทยาวเทากน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะยาวเทากนทกประการ”

จากรป AB = DE (ดาน) CAB) = FDE) (มม) AC = DF (ดาน) ดงนน ABC ≅ DEF เพราะมความสมพนธกนแบบ ด.ม.ด. ตวอยางท 12.1 กาหนดให CBA) = DBA) และ BC = BD จงใหเหตผลวาเพราะเหตใด AC และ AD จงยาวเทากน

พจารณารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม ABD

1. CB = BD (โจทยกาหนดให) 2. CBA) = DBA) (โจทยกาหนดให)

3. AB = AB ( AB เปนดานรวม) 4. ABC ≅ ABD (ความสมพนธดาน – มม –ดาน) 5. AC = AD (คณสมบตการเทากนทกประการ)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 7

ตวอยางท 12.2 กาหนดให AO = BO และ CO = DO จงอธบายวา เพราะเหตใดรปสามเหลยม AOC และรปสามเหลยม BOD จงเทากนทกประการ

1. AO = BO (โจทยกาหนดให) 2. COA) = DOB) (เสนตรงสองเสนตดกน ขนาดของมมตรงขามเทากน) 3. CO = DO (โจทยกาหนดให) 4. AOC ≅ BOD (ความสมพนธดาน – มม –ดาน)

ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหลยมสองรปมความสมพนธแบบ ดานมมดาน

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 8

2. กาหนดให AD = CB และ DBCBDA )) = จงพสจนวาเพราะเหตใด สามเหลยม ADB จงเทากนทกประการกบสามเหลยม CBD

3. กาหนดให AB = BC และ DBCDBA )) = จงพสจนวา DADC =

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 9

4. กาหนดให AC = DE , EBCB = , BCA)

= BED)

จงพสจนวา CAB)

= EDB)

5. กาหนดใหเสนทแยงมม MO และ NP ของรปสเหลยม MNOP แบงครงซงกนและกนทจด Q จงพสจนวารปสเหลยม MNOP เปนรปสเหลยมดานขนาน

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 10

รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม (ม.ด.ม.)“ดานอยตรงกลางระหวางสองมมคทเทากนแลว สามเหลยมสองรปเทากน ทกประการ”

จากรป CBA) = RQP) (มม) BC = QR (ดาน) ACB) = PRQ) (มม) ดงนน ABC ≅ PQR (ความสมพนธมม – ดาน – มม) ตวอยางท 12.3 กาหนดให DCBC = , CDECBA )) = และ ECDACB )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด CECA=

1. CBA) = CDE) (โจทยกาหนดให) 2. BC = DC (โจทยกาหนดให) 3. ACB) = ECD) (โจทยกาหนดให) 4. ABC ≅ EDC (ความสมพนธมม – ดาน – มม) 5. ∴ CA = CE (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 11

ตวอยางท 12.4 กาหนดให AB = AC และ EBA) = DCA) จงอธบายวาเพราะเหตใด BE = CD และ AEB) = ADC)

พจารณารปสามเหลยม ABE และรปสามเหลยม ACD 1. EBA) = DCA) (โจทยกาหนดให)

2. AB = AC (โจทยกาหนดให) 3. EAB) = DAC) (เปนมมรวม) 4. ABE ≅ ACD (ความสมพนธ มม–ดาน-มม)

5. ∴ BE = CD (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ) 6. AEB) = ADC) (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 12

ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหลยมสองรปมความสมพนธแบบ มม – ดาน – มม (ม.ด.ม.)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 13

2. กาหนดให BADBAC )) = และ DBACBA )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด สามเหลยม ABD เทากนทกประการกบสามเหลยม CBD

3. กาหนดให BOAO = และ OBCOAD )) = จงอธบายวา เพราะเหตใด CBDA=

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 14

4. กาหนดให CABDBA )) = , BCAADB )) = และ ACBD = จงอธบายวา เพราะเหตใด CBDA=

5. กาหนดใหรปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมผนผา และ FCBEAD )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด สามเหลยม EDA จงเทากน

ทกประการกบสามเหลยม FBC

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 15

6. กาหนดให OP แบงครง QOR) และ QPORPO )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด PQPR =

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 16

12.3 รปสามเหลยมหนาจว

คอ รปสามเหลยมทมดานประกอบมมยอดยาวเทากนและมมทฐานกางเทากน

รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ม BCAC = เรยก ดาน AC และ ดาน BC วาดานประกอบมมยอด เรยก ดาน AB วาฐาน เรยก CBA) และ CAB) วามมทฐาน และเรยก BCA) วา มมยอด

ขอสรปเกยวกบสามเหลยมหนาจว

1. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจว แบงรปสามเหลยมหนาจวออกเปนรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ 2. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวมขนาดเทากน 3. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจว แบงครงฐานของรปสามเหลยมหนาจว 4. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจวตงฉากกบฐานของรปสามเหลยมหนาจว

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 17

ตวอยางท 12.5 กาหนดให DBA) = DBC) และ BDA) = BDC) = 90๐ รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม เพราะเหตใด

วธทา พจารณารปสามเหลยม ABD และรปสามเหลยม CBD 1. DBA) = DBC) (โจทยกาหนดให) 2. BD = BD ( BD เปนดานรวม) 3. BDA) = BDC) (โจทยกาหนดให) 4. ABD ≅ CBD (ความสมพนธ มม–ดาน–มม) 5. AB = BC (คณสมบตการเทากนทกประการ) 6. DAB) = DCB) (คณสมบตการเทากนทกประการ) 7. รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (ดานประกอบมมยอดยาวเทากน) ตวอยางท 12.6 กาหนดให DB = EC , AB = AC และ DBA) = ECA) รปสามเหลยม ADE เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม

1. DB = EC (โจทยกาหนดให) 2. DBA) = ECA) (โจทยกาหนดให) 3. AB = AC (โจทยกาหนดให) 4. ABD ≅ ACE (ความสมพนธ ดาน–มม-ดาน) 5. AD = AE (ความเทากนทกประการของสามเหลยม)

6. EDA) = DEA) (ความเทากนทกประการของสามเหลยม) 7. รปสามเหลยม ADE เปนรปสามเหลยมหนาจว

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 18

ลองทาด 1. จากรปทกาหนดให จงหาคาตวแปรในแตละขอ โดยใชคณสมบตของรปสามเหลยมหนาจว

(1)

a = _________________ องศา

b = _________________ องศา

(2)

a = _________________ องศา b = _________________ องศา c = _________________ องศา (3)

a = _________________ องศา

x = _________________ ซม.

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 19

(4)

a = _________________ องศา

b = _________________ องศา (5)

a = _________________ องศา

b = _________________ องศา 2. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผา E เปนจดกงกลางของดาน DC สามเหลยม ABE เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม

เพราะเหตใด

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 20

3. กาหนดให ADE เปนรปสามเหลยมหนาจว ม AEAD = และ ECDB = รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว หรอไม เพราะเหตใด

4. กาหนดให CABEAB )) = และ CBAEBA )) = รปสามเหลยม AEC เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม เพราะเหตใด

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 21

รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ฉาก - ดาน – ดาน (ฉ.ด.ด) “มดานตรงขามมมฉากยาวเทากนและมดานประกอบมมฉาก ยาวเทากนหนงค รปสามเหลยมทงสองจะเทากนทกประการ”

ตวอยางท 12.7 กาหนดรปสามเหลยมหนาจว ABC โดย A) เปนมมยอด ถา AD ตงฉากกบ BC ทจด D จงพสจนวาสามเหลยม ABD เทากนทกประการกบ สามเหลยม ACD

พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ABD และ ACD จะไดวา 1. BDA) = CDA) (โจทยกาหนดให) 2. AB = AC ( ABC เปนสามเหลยมหนาจว) 3. AD = AD (ดานรวม) 4. ABD ≅ ACE (ความส มพนธ ดาน – มม - ดาน)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 22

รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน - ดาน (ด.ด.ด.) “ดานยาวเทากนสามค ดานตอดานแลวรปสามเหลยมสอง รปน เทากนทกประการ”

จากรป DEAB = ; EFBC = ; FDCA= ∴ ABC ≅ DEF เพราะ มความสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน - ดาน (ด.ด.ด.) ตวอยางท 12.8 กาหนดให MPMO = และ NPNO = จงอธบายวาเพราะเหตใด รปสามเหลยม MNO และ รปสามเหลยม MNP จง เทากนทกประการ

1. MO = MP (โจทยกาหนดให)

2. NO = NP (โจทยกาหนดให) 3. MN = MN (ดานรวม) 4. MNO ≅ MNP (ความสมพนธ ดาน – ดาน - ดาน)

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 23

ตวอยางท 12.9 กาหนดให DF = EG และ EF = DG จงอธบายวา เพราะเหตใด EFD) = DGE)

1. DF = EG (โจทยกาหนดให) 2. EF = DG (โจทยกาหนดให) 3. DE = DE (ดานรวม) 4. MNO ≅ MNP (ความสมพนธ ดาน – ดาน - ดาน) 5. EFD) = DGE) (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)

ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหล ยมสองรปมความสมพนธแบบ ดานดานดาน

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 24

2. กาหนดให NOMO = และ NPMP = จงอธบายวาเพราะเหตใด

(1) MOP ≅ NOP (2) OP ⊥ MN ทจด P

3. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผา จงอธบายวาเพราะเหตใด DBCBDA )) =

อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)

www.hot-ed.co.th 25

4. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมหนาจ ว และ AEAD = , CEBD = จงใหเหตผลวา เพราะอะไร CEABDA )) =

5. กาหนดให CADB = และ BCAD = จงอธบายวา เพราะเหตใด CBADAB )) =