Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 1
บทท 12 ความเทากนทกประการ 12.1 นยาม ความเทากนทกประการ - รปสองรปเทากนทกประการ เมอรปหนงทบอกรปหนงไดสนทพอด ใชสญลกษณ “ ≅ ” แทนคาวา
เทากนทกประการ -
- สวนของเสนตรงสองเสนจะเทากนทกประการ เมอสวนของเสนตรงสองเสนนน ยาวเทากน
AB แทน สวนของเสนตรง AB และ ( )ABm แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB
จากนยาม ถา PQAB ≅ แลว ( ) ( )PQmABm =
- มมสองมมจะเทากนทกประการ เมอมมทงสองนนม ขนาดเทากน A แทน มม A และ m ( A ) แทน ขนาดของ A
จากนยาม ถา B ≅ Q แลว m (B) = m (Q) และเพอความสะดวกใช B = Q แทน m ( B ) = m ( Q )
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 2
- เสนตรงสองเสนตดกน มมตรงขามจะมขนาดเทากน
จากรป 1) ตรงขามกบ 2) ดงนน 1) = 2) 3) ตรงขามกบ 4) ดงนน 3) = 4) - ดานทยาวเทากนมมทมขนาดเทากนหรอจดททบกนไดสนท เรยกวา “สมนยกน”
จากรป จะไดวา AB สมนยกบ DE นนคอ AB = DE BC สมนยกบ EF นนคอ BC = EF CA สมนยกบ FD นนคอ CA = FD CBA) สมนยกบ FED) นนคอ CBA) = FED) ACB) สมนยกบ DFE) นนคอ ACB) = DFE) BAC) สมนยกบ EDF) นนคอ BAC) = EDF)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 3
ขอสงเกตเกยวกบความเทากนทกประการของรปตาง ๆ 1. รปสเหลยมมมฉากสองรปทมความยาวรอบรปยาวเทากนอาจจะไมเทากนทกประการกได เชน รปสเหลยมผนผาทมดานกวาง
6 ซม. และดานยาว 2 ซม. กบ สเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 4 ซม.จะมเสนรอบรปยาว 2 × (2 + 6) = 2 × (4 + 4) = 16 ซม. แตไมเทากนทกประการ
2. รปสเหลยมผนผาสองรปทมพนทเทากน อาจไมเทากนทกประการ เชน
พนทสเหลยมผนผา A = 6 × 10 = 60 ตารางหนวย พนทสเหลยมผนผา B = 5 × 12 = 60 ตารางหนวย ∴ พนทสเหลยมผนผา A = พนทสเหลยมผนผา B แตขนาดไมเทากน
3. รปสามเหลยมสองรปทมขนาดมมเทากนสามค รปสามเหลยมสองรปนอาจไมเทากนทกประการ เชน
4. รปวงกลมสองรปทมรศมเทากนจะเทากนทกประการ
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 4
ลองทาด จงเตมขอความลงในชองวางใหถกตอง (1)
กาหนด ABC ≅ EDC จด A สมนยกบ _______________ จด B สมนยกบ _______________
AC สมนยกบ _______________ CBA) สมนยกบ _______________
(2)
กาหนด PQR ≅ PSR จด Q สมนยกบ _______________ PQ สมนยกบ _______________ QR สมนยกบ _______________
QPR) สมนยกบ _______________ RQP) สมนยกบ _______________
(3)
กาหนด OAD ≅ OBC DO = _______________ AD = _______________ OA = _______________
ODA) = _______________ AOD ) = _______________ DAO) = _______________
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 5
(4)
กาหนด ก ≅ ข â = _______________ องศา b) = _______________ องศา x = _______________ ซม. (5)
กาหนด ก≅ ข â = _______________ องศา b) = _______________ องศา x = _______________ ซม.
y = _______________ ซม. z = _______________ ซม.
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 6
12.2 ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม มอย 3 แบบ คอ
- ดานมมดาน (ด.ม.ด.) - มมดานมม (ม.ด.ม.) - ดานดานดาน (ด.ด.ด.)
รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ด าน (ด.ม.ด.)
“มมอยระหวางดานสองคทยาวเทากน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะยาวเทากนทกประการ”
จากรป AB = DE (ดาน) CAB) = FDE) (มม) AC = DF (ดาน) ดงนน ABC ≅ DEF เพราะมความสมพนธกนแบบ ด.ม.ด. ตวอยางท 12.1 กาหนดให CBA) = DBA) และ BC = BD จงใหเหตผลวาเพราะเหตใด AC และ AD จงยาวเทากน
พจารณารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม ABD
1. CB = BD (โจทยกาหนดให) 2. CBA) = DBA) (โจทยกาหนดให)
3. AB = AB ( AB เปนดานรวม) 4. ABC ≅ ABD (ความสมพนธดาน – มม –ดาน) 5. AC = AD (คณสมบตการเทากนทกประการ)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 7
ตวอยางท 12.2 กาหนดให AO = BO และ CO = DO จงอธบายวา เพราะเหตใดรปสามเหลยม AOC และรปสามเหลยม BOD จงเทากนทกประการ
1. AO = BO (โจทยกาหนดให) 2. COA) = DOB) (เสนตรงสองเสนตดกน ขนาดของมมตรงขามเทากน) 3. CO = DO (โจทยกาหนดให) 4. AOC ≅ BOD (ความสมพนธดาน – มม –ดาน)
ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหลยมสองรปมความสมพนธแบบ ดานมมดาน
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 8
2. กาหนดให AD = CB และ DBCBDA )) = จงพสจนวาเพราะเหตใด สามเหลยม ADB จงเทากนทกประการกบสามเหลยม CBD
3. กาหนดให AB = BC และ DBCDBA )) = จงพสจนวา DADC =
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 9
4. กาหนดให AC = DE , EBCB = , BCA)
= BED)
จงพสจนวา CAB)
= EDB)
5. กาหนดใหเสนทแยงมม MO และ NP ของรปสเหลยม MNOP แบงครงซงกนและกนทจด Q จงพสจนวารปสเหลยม MNOP เปนรปสเหลยมดานขนาน
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 10
รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม (ม.ด.ม.)“ดานอยตรงกลางระหวางสองมมคทเทากนแลว สามเหลยมสองรปเทากน ทกประการ”
จากรป CBA) = RQP) (มม) BC = QR (ดาน) ACB) = PRQ) (มม) ดงนน ABC ≅ PQR (ความสมพนธมม – ดาน – มม) ตวอยางท 12.3 กาหนดให DCBC = , CDECBA )) = และ ECDACB )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด CECA=
1. CBA) = CDE) (โจทยกาหนดให) 2. BC = DC (โจทยกาหนดให) 3. ACB) = ECD) (โจทยกาหนดให) 4. ABC ≅ EDC (ความสมพนธมม – ดาน – มม) 5. ∴ CA = CE (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 11
ตวอยางท 12.4 กาหนดให AB = AC และ EBA) = DCA) จงอธบายวาเพราะเหตใด BE = CD และ AEB) = ADC)
พจารณารปสามเหลยม ABE และรปสามเหลยม ACD 1. EBA) = DCA) (โจทยกาหนดให)
2. AB = AC (โจทยกาหนดให) 3. EAB) = DAC) (เปนมมรวม) 4. ABE ≅ ACD (ความสมพนธ มม–ดาน-มม)
5. ∴ BE = CD (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ) 6. AEB) = ADC) (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 12
ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหลยมสองรปมความสมพนธแบบ มม – ดาน – มม (ม.ด.ม.)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 13
2. กาหนดให BADBAC )) = และ DBACBA )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด สามเหลยม ABD เทากนทกประการกบสามเหลยม CBD
3. กาหนดให BOAO = และ OBCOAD )) = จงอธบายวา เพราะเหตใด CBDA=
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 14
4. กาหนดให CABDBA )) = , BCAADB )) = และ ACBD = จงอธบายวา เพราะเหตใด CBDA=
5. กาหนดใหรปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมผนผา และ FCBEAD )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด สามเหลยม EDA จงเทากน
ทกประการกบสามเหลยม FBC
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 15
6. กาหนดให OP แบงครง QOR) และ QPORPO )) = จงอธบายวาเพราะเหตใด PQPR =
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 16
12.3 รปสามเหลยมหนาจว
คอ รปสามเหลยมทมดานประกอบมมยอดยาวเทากนและมมทฐานกางเทากน
รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ม BCAC = เรยก ดาน AC และ ดาน BC วาดานประกอบมมยอด เรยก ดาน AB วาฐาน เรยก CBA) และ CAB) วามมทฐาน และเรยก BCA) วา มมยอด
ขอสรปเกยวกบสามเหลยมหนาจว
1. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจว แบงรปสามเหลยมหนาจวออกเปนรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ 2. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวมขนาดเทากน 3. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจว แบงครงฐานของรปสามเหลยมหนาจว 4. เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยมหนาจวตงฉากกบฐานของรปสามเหลยมหนาจว
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 17
ตวอยางท 12.5 กาหนดให DBA) = DBC) และ BDA) = BDC) = 90๐ รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม เพราะเหตใด
วธทา พจารณารปสามเหลยม ABD และรปสามเหลยม CBD 1. DBA) = DBC) (โจทยกาหนดให) 2. BD = BD ( BD เปนดานรวม) 3. BDA) = BDC) (โจทยกาหนดให) 4. ABD ≅ CBD (ความสมพนธ มม–ดาน–มม) 5. AB = BC (คณสมบตการเทากนทกประการ) 6. DAB) = DCB) (คณสมบตการเทากนทกประการ) 7. รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (ดานประกอบมมยอดยาวเทากน) ตวอยางท 12.6 กาหนดให DB = EC , AB = AC และ DBA) = ECA) รปสามเหลยม ADE เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม
1. DB = EC (โจทยกาหนดให) 2. DBA) = ECA) (โจทยกาหนดให) 3. AB = AC (โจทยกาหนดให) 4. ABD ≅ ACE (ความสมพนธ ดาน–มม-ดาน) 5. AD = AE (ความเทากนทกประการของสามเหลยม)
6. EDA) = DEA) (ความเทากนทกประการของสามเหลยม) 7. รปสามเหลยม ADE เปนรปสามเหลยมหนาจว
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 18
ลองทาด 1. จากรปทกาหนดให จงหาคาตวแปรในแตละขอ โดยใชคณสมบตของรปสามเหลยมหนาจว
(1)
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา
(2)
a = _________________ องศา b = _________________ องศา c = _________________ องศา (3)
a = _________________ องศา
x = _________________ ซม.
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 19
(4)
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา (5)
a = _________________ องศา
b = _________________ องศา 2. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผา E เปนจดกงกลางของดาน DC สามเหลยม ABE เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม
เพราะเหตใด
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 20
3. กาหนดให ADE เปนรปสามเหลยมหนาจว ม AEAD = และ ECDB = รปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว หรอไม เพราะเหตใด
4. กาหนดให CABEAB )) = และ CBAEBA )) = รปสามเหลยม AEC เปนรปสามเหลยมหนาจวหรอไม เพราะเหตใด
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 21
รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ฉาก - ดาน – ดาน (ฉ.ด.ด) “มดานตรงขามมมฉากยาวเทากนและมดานประกอบมมฉาก ยาวเทากนหนงค รปสามเหลยมทงสองจะเทากนทกประการ”
ตวอยางท 12.7 กาหนดรปสามเหลยมหนาจว ABC โดย A) เปนมมยอด ถา AD ตงฉากกบ BC ทจด D จงพสจนวาสามเหลยม ABD เทากนทกประการกบ สามเหลยม ACD
พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ABD และ ACD จะไดวา 1. BDA) = CDA) (โจทยกาหนดให) 2. AB = AC ( ABC เปนสามเหลยมหนาจว) 3. AD = AD (ดานรวม) 4. ABD ≅ ACE (ความส มพนธ ดาน – มม - ดาน)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 22
รปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน - ดาน (ด.ด.ด.) “ดานยาวเทากนสามค ดานตอดานแลวรปสามเหลยมสอง รปน เทากนทกประการ”
จากรป DEAB = ; EFBC = ; FDCA= ∴ ABC ≅ DEF เพราะ มความสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน - ดาน (ด.ด.ด.) ตวอยางท 12.8 กาหนดให MPMO = และ NPNO = จงอธบายวาเพราะเหตใด รปสามเหลยม MNO และ รปสามเหลยม MNP จง เทากนทกประการ
1. MO = MP (โจทยกาหนดให)
2. NO = NP (โจทยกาหนดให) 3. MN = MN (ดานรวม) 4. MNO ≅ MNP (ความสมพนธ ดาน – ดาน - ดาน)
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 23
ตวอยางท 12.9 กาหนดให DF = EG และ EF = DG จงอธบายวา เพราะเหตใด EFD) = DGE)
1. DF = EG (โจทยกาหนดให) 2. EF = DG (โจทยกาหนดให) 3. DE = DE (ดานรวม) 4. MNO ≅ MNP (ความสมพนธ ดาน – ดาน - ดาน) 5. EFD) = DGE) (สามเหลยมสองรปเทากนทกประการ)
ลองทาด 1. ขอใดทรปสามเหล ยมสองรปมความสมพนธแบบ ดานดานดาน
อาจารย ณฐสทธ (อ.ปก)
www.hot-ed.co.th 24
2. กาหนดให NOMO = และ NPMP = จงอธบายวาเพราะเหตใด
(1) MOP ≅ NOP (2) OP ⊥ MN ทจด P
3. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผา จงอธบายวาเพราะเหตใด DBCBDA )) =