วงกลม - Pakkred Secondary Schoolร ปท 1 ส วนประกอบของวงกลม จากร ปท 1 วงกลมม จ ดศ นย กลางท

ภาคตัดกรวย เล่ม 1 วงกลม | 1

วงกลม ถ้ากล่าวถึงวงกลม ในทางคณิตศาสตร์ถือว่าวงกลมเป็นเส้นโค้งท่ีสมบูรณ์ เครื่องมือเครื่องใช้ต่างๆ ที่พบเจอ ในชีวิตประจ้าวันของเรามักจะเป็นวงกลม เช่น จานข้าว ขันตักน ้า หน้าปัดนาฬิกา กระโถน เงินเหรียญ แก้วน ้า ล้อรถ เป็นต้น

ก ำเนิดวงกลม เมื่อน้าระนาบตัดกรวยเพียงข้างเดียว และระนาบนั นตั งฉากกับแกนของกรวย จะได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม


บทนิยำมเชิงเรขำคณิตของวงกลม วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับท่ีเป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี เรียกว่า จุดศูนย์กลำง (center) ของวงกลม และระยะทางดังกล่าวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลม

รูปที่ 1 ส่วนประกอบของวงกลม

จากรูปที่ 1 วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ C(h,k) รัศมียาว r หน่วย และสมมติให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนวงกลม เราจะสามารถหาสมการวงกลมได้จากการหาระยะทางระหว่าง C(h,k) และ P(x,y) ซ่ึง PC = r จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

22x - h + y - k = r

ยกก้าลัง 2 ทั งสองข้างของสมการ

จะได้ 2

222x - h + y - k = r

ดังนั น 222x - h + y - k = r

เป็นสมการของวงกลม


รูปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลม 1. สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และรัศมียาว r หน่วย คือ

2. สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) และรัศมียาว r หน่วย คือ

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และรัศมียาว 2 หน่วย พร้อมทั งเขียนกราฟ ของวงกลม

วิธีท ำ รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) คือ 2 2 2x +y =r

และ r = 2 จะได้ 2 2 2x +y =2


ตัวอย่ำงที่ 2 จงเขียนกราฟของสมการวงกลม 22x - 3 + y - 2 =16 พร้อมทั งบอกจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลม วิธีท ำ เราจะเขียนกราฟของสมการวงกลมได้ต้องรู้จุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม โดยเทียบกับ

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม 222x - h + y - k = r

22x - 3 + y - 2 =16 จากการเปรียบเทียบสมการ จะได้ h = 3 , k = 2 และ r = 4 ดังนั น วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุด (3,2) และรัศมียาว 4 หน่วย สามารถวาดกราฟได้ดังนี


ตัวอย่ำงที่ 3 จงเขียนกราฟของสมการวงกลม 22x + 4 + y - 3 = 9 พร้อมทั งบอกจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลม วิธีท ำ เราจะเขียนกราฟของสมการวงกลมได้ต้องรู้จุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม โดยเทียบกับ


22x + 4 + y - 3 = 9 จากการเปรียบเทียบสมการ จะได้ h = -4 , k = 3 และ r = 3 ดังนั น วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุด (-4,3) และรัศมียาว 3 หน่วย สามารถวาดกราฟได้ดังนี


ตัวอย่ำงที่ 4 จงเขียนกราฟของสมการวงกลม 22x - 2 + y = 4 พร้อมทั งบอกจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลม วิธีท ำ เราจะเขียนกราฟของสมการวงกลมได้ต้องรู้จุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม โดยเทียบกับ


22x - 2 + y = 4 จากการเปรียบเทียบสมการ จะได้ h = 2 , k = 0 และ r = 2 ดังนั น วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุด (2,0) และรัศมียาว 2 หน่วย สามารถวาดกราฟได้ดังนี


ตัวอย่ำงที่ 5 จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมในรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม พร้อมทั งเขียนกราฟเมื่อก้าหนดจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2,1) และรัศมียาว 4 หน่วย วิธีท ำ สมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) รัศมียาว r หน่วย

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมคือ 222x - h + y - k = r จากโจทย์จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,1) และรัศมียาว 4 หน่วย

จะได้สมการวงกลมเป็น 222x - 2 + y - 1 = 4

ดังนั นความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมคือ 22x, y R R x 2 y 1 16

สามารถวาดกราฟได้ดังนี


แบบฝึกทักษะที่ 1

1. จงหำสมกำรวงกลมเมื่อก ำหนดจุดศูนย์กลำงและรัศมีในแต่ละข้อต่อไปนี้

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,0) รัศมียำว 9 หน่วย ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,0) รัศมียำว 3 หน่วย ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,5) รัศมียำว 4 หน่วย ................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3 จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (-2,-3) รัศมียำว 3 หน่วย ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (2,3) รัศมียำว 8 หน่วย ................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5 ข้อ 1 ท ำได้ง่ำยมำก เรำมำท ำข้อต่อไป

กันเลยนะคะ


2. จงหำจุดศูนย์กลำงและควำมยำวรัศมีของวงกลมพร้อมทั้งเขียนกรำฟจำกสมกำรต่อไปนี้

1

22x - 1 + y - 3 = 4

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

2

22x + 3 + y + 2 = 9

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

......................................................................................... .......

................................................................................................

................................................................................................

...................................................... ..........................................


แบบฝึกทักษะที่ 2 1. จงหำจุดศูนย์กลำงและรัศมีของวงกลมในแต่ละข้อต่อไปนี้

ข้อ ควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม จุดศูนย์กลำง รัศมี

ตัวอย่ำง 22x, y R R x 8 y 5 9 (-8,5) 3

1 22x, y R R x 4 y 5 9

2 22x, y R R x 3 y 6 4

3 22x, y R R x 2 y 1 16

4 22x, y R R x 6 y 9

5 2 2x, y R R x y 7 25

2. จำกจุดศูนย์กลำงและรัศมีของวงกลมในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหำควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม

ข้อ จุดศูนย์กลำง รัศมี ควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม

ตัวอย่ำง (-1,-2) 2 22x, y R R x 1 y 2 4

1 (0,2) 4

2 (-3,0) 3

3 (-2,5) 6

4 (4,6) 9

5 (-3,-4) 5


3. จำกกรำฟจงเขียนควำมสัมพันธ์ในรูปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

22x, y R R x 4 y 3 9

1

ตัวอย่ำง


3

2


5

4


รูปแบบทั่วไปของสมกำรวงกลม

ก้าหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) และมีรัศมี r หน่วย จะได้สมการวงกลมจากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม คือ

222x h y k r ..........................(1)

กระจายก้าลังสองสมบูรณ์ 2 2 2 2 2x 2xh h y 2ky k r

จะได้ 2 2 2 2 2x y 2xh 2ky h k r 0 ..........................(2)

จาก (2) สามารถจัดให้อยู่ในรูปของ 2 2x y Ax By C 0 ..........................(3)

เมื่อ A 2h , B 2k และ 2 2 2C h k r เรียกสมการวงกลมที่อยู่ในรูปแบบของ (3) ว่า

การหารูปแบบท่ัวไป ของสมการวงกลม

จากรูปแบบมาตรฐาน ของสมการวงกลม

รูปแบบทั่วไปของสมกำรวงกลม

รูปท่ัวไปของความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม คือ

2 2x y Ax By C 0


กำรหำจุดศูนย์กลำงของวงกลม

จำกรูปแบบท่ัวไปของสมกำรวงกลม

ก้าหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) และมีรัศมี r หน่วย

2 2x y Ax By C 0รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม คือ

เมื่อ A 2h , B 2k และ 2 2 2C h k r

จะได้ A

h2

และ B

k2

ดังนั นจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ A B

,2 2


กำรหำรัศมีของวงกลม จำกรูปแบบท่ัวไปของสมกำรวงกลม

ก้าหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) และมีรัศมี r หน่วย

รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม

คือ 2 2x y Ax By C 0

เมื่อ A 2h , B 2k และ 2 2 2C h k r

จาก 2 2 2C h k r

จะได้ 2 2

2A BC r

2 2

2 2

2A BC r

4 4

2 2

2 A Br - C

4 4

2 2

2 A B 4Cr -

4 4 4

2 2

2 A B - 4Cr

4


สรุปได้ว่ำ

รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม คือ 2 2x y Ax By C 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัว

มีจุดศูนย์กลาง (h,k) อยู่ที่ A B- , -2 2

และรัศมี 2 21r A B - 4C

2

เนื่องจาก r 0 ดังนั น 2r 0

จะได้ 2 2A B - 4C 0

ดังนั น

2 2A B - 4C

r4

2 21r A B - 4C

2

เพราะฉะนั นรัศมีของวงกลม คือ 2 21r A B - 4C

2 เมื่อ

2 2A B - 4C 0

การสังเกตลักษณะของกราฟวงกลมจาก รัศมี r

1. ถ้า 2r 0 เป็นกราฟของสมการวงกลม

2. ถ้า 2r 0 ไม่สามารถเขียนกราฟของสมการวงกลมได้

3. ถ้า 2r 0 กราฟจะเป็นจุด


แบบฝึกทักษะที่ 3 1. จงเติมค ำตอบลงในตำรำงต่อไปนี้ให้ถูกต้อง

ข้อ สมกำรวงกลม A B C จุดศูนย์กลำง รัศมี ตัวอย่ำง 2 2x y 6x 6y 2 0 -6 6 2 (3,-3) 4

1 2 2x y 8x 4y 16 0

2 2 2x y 6x 10y 30 0

3 2 2x y 6x 12y 41 0

4 2 2x y 8x 4y 11 0

5 2 2x y 10x 2y 23 0

2. จงหำจุดศูนย์กลำง และควำมยำวรัศมี พร้อมทั้งเขียนกรำฟของสมกำรวงกลม

1 2 2 - 4 8 16 0x y x y

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

......................................................................................... .......

................................................................................................

................................................................................................

...................................................... ..........................................


2 2 22 2 8 4 - 8 0x y x y

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

3 2 23 3 - 6 - 24 24 0x y x y

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

......................................................................................... .......

................................................................................................

................................................................................................

...................................................... ..........................................


4 2 2 10 10 46 0x y x y

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

......................................................................................... .......

................................................................................................

................................................................................................

...................................................... ..........................................

5 2 23 3 12 18 - 9 0x y x y

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

.............................................................. ..................................

................................................................................................


กำรหำสมกำรวงกลม การที่เราจะสามารถหาสมการวงกลมได้จะต้องมีพื นฐานความรู้ในเรื่องต่อไปนี

กำรหำสมกำรวงกลมต้องใช้ควำมรู้เรขำคณิตวิเครำะห์ ดังนี้

ระยะห่ำงระหว่ำงจุด 2 จุด 1 1P x , y และ 2 2Q x , y

2 2

1 2 1 2PQ x x y y

จุดกึ่งกลำงระหว่ำงจุด 2 จุด 1 1P x , y และ

2 2Q x , y

จุดกึ่งกลำง 1 2 1 2x x y y,

2 2

ควำมชันของเส้นตรง

2 11 2

2 1

y ym , x x

x x

จากรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม คือ 222x - h y - k r เมื่อ (h,k) คือจุดศูนย์กลาง และ r คือรัศมี

และสามารถเขียนสมการวงกลมในรูปทั่วไปได้ดังนี 2 2x y Ax By C 0 เมื่อ A, B และ C เป็นจ้านวนจริงใดๆ


กำรหำสมกำรวงกลมต้องใช้ควำมรู้เรขำคณิตวิเครำะห์ ดังนี้

ระยะห่ำงระหว่ำงจุดกับเส้นตรง

1 12 2

Ax By Cd

A B

ระยะห่ำงระหว่ำงเส้นตรง 2 เส้นที่ขนำนกัน

1 22 2

C Cd

A B

สมกำรเส้นตรงที่มีควำมชัน m และผ่ำนจุด 1 1x , y

1 1y y m x x


ตัวอย่ำงที่ 6 จงหาสมการและเขียนกราฟของวงกลมที่มีจุด (-10,-4) และ (4,-4) เป็นจุดปลาย ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม วิธีท ำ สมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) รัศมียาว r หน่วย จากโจทย์ มีจุด (-10,-4) และ (4,-4) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ 1 2 1 2x x y yC h,k ,

2 2

10 4 4 4

,2 2

6 8,

2 2

3, 4 จะได้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ C h,k 3, 4 และให้ r แทน รัศมีของวงกลม ดังนั น r = ระยะทางระหว่างจุด C 3, 4 และ 4, 4

จะได้ 2 2

1 2 1 2r x x y y

22r 3 4 4 4

22r 7 0

2r 7

r 7

สมการรูปแบบมาตรฐาน คือ 222x h y k r จะได้

ดังนั นสมการรูปแบบทั่วไปของวงกลม คือ 2 2x y 6x 8y 24 0

2 2 2

22

2 2

2 2

2 2

x 3 y 4 7

x 3 y 4 49

x 6x 9 y 8y 16 49

x y 6x 8y 9 16 49 0

x y 6x 8y 24 0


เขียนกราฟของวงกลม ได้ดังนี

ตัวอย่ำงที่ 7 จากสมการวงกลม 2 2x y 10x 4y 13 0 จงหาจุดศูนย์กลาง และความยาวรัศมี พร้อมทั งเขียนกราฟของวงกลม วิธีท ำ วิธีที่ 1 สมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(h,k) รัศมียาว r หน่วย จากโจทย์ A = 10, B = -4 และ C = 13

จะได้ A

h2

10

h2

h 5

B

k2


4

k2

k 2 ดังนั นจุดศูนย์กลาง C h,k 5,2

รัศมี 2 21r A B 4C

2

2 21r 10 4 4 13

2

1

r 100 16 522

1

r 642

1

r 82

r 4 ดังนั น กราฟของวงกลมนี มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด 5,2 และรัศมียาว 4 หน่วย

วิธีที่ 2 จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม 222x h y k r

จากสมการ 2 2x y 10x 4y 13 0

จะได้ 2 2x 10x y 4y 13

2 2 2 2 2 2x 2 5 x 5 y 2 2 y 2 13 5 2

22x 5 y 2 13 25 4

22x 5 y 2 16

2 22x 5 y 2 4

ดังนั น กราฟของวงกลมนี มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด 5,2 และรัศมียาว 4 หน่วย เขียนกราฟของวงกลมได้ดังนี


ตัวอย่ำงที่ 8 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ 0,0 และสัมผัสเส้นตรง 3x 4y 15 0 วิธีท ำ จากโจทย์สามารถวาดกราฟวงกลมเพื่อช่วยในการพิจารณาหาค้าตอบ ดังนี จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ C h,k 0,0 ความยาวรัศมีหาได้จาก ระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลาง 0,0 และ เส้นตรง 3x 4y 15 0

จากสูตร 1 12 2

Ax By Cr

A B

2 2

3 0 4 0 15r

3 4

0 0 15

r9 16

15

r25

15

r5

r 3 จะได้ รัศมีของวงกลมยาว 3 หน่วย ดังนั น สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ 0,0 และสัมผัสเส้นตรง 3x 4y 15 0 คือ

2 2 2x y 3

2 2x y 9

ตอบ 2 2x y 9


ตัวอย่ำงที่ 9 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางที่จุด A 6,8 และ B 2,4 วิธีท ำ จากโจทย์สามารถวาดกราฟวงกลมเพื่อช่วยในการพิจารณาหาค้าตอบ ดังนี เราสามารถหาจุดศูนย์กลางได้จาก จุดกึ่งกลางระหว่างจุด A 2,4 และ B 6,8 ดังนี

จากสูตรจุดกึ่งกลาง 1 2 1 2x x y y(h,k) ,

2 2

6 2 8 4(h,k) ,

2 2

8 12(h,k ) ,

2 2

(h,k) 4,6 จะได้จุดศูนย์กลางของวงกลม C(h,k) 4,6 ความยาวรัศมีหาได้จาก ระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลาง C 4,6 และ A 2,4

จากสูตร 2 2

1 2 1 2r x x y y

2 2r 4 2 6 4

2 2r 2 2 r 4 4 r 8

r 2 2 จะได้รัศมีของวงกลมยาว 2 2 หน่วย

8 2 2 2

2 2


ดังนั น สมการวงกลมที่มีจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางที่จุด A 6,8 และ B 2,4 คือ

222x 4 y 6 2 2

22x 4 y 6 8

ตอบ 22x 4 y 6 8

ตัวอย่ำงที่ 10 จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม 2 2x y 20 0 ที่จุด 2,4

วิธีท ำ จากสมการวงกลม 2 2x y 20 0

จะได้ 2 2x y 20 ดังนั น จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ C(h,k) 0,0 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด 0,0 และจุด 2,4 หาได้ดังนี


2 1

y ym

x x

4 0

m2 0

4

m2

m 2 ดังนั น ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด 0,0 และจุด 2,4 คือ 2 เส้นสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด 2,4 เป็นเส้นที่ตั งฉากกับรัศมีของวงกลม

จะได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสวงกลมคือ 1

2

สมการเส้นสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด 2,4 หาได้ดังนี

จากสูตร 1 1y y m x x

1

y 4 x 22

2 y 4 x 2 2y 8 x 2 2y 8 x 2 0 x 2y 10 0

ดังนั น สมการเส้นสัมผัสวงกลม 2 2x y 20 0 ที่จุด 2,4 คือ x 2y 10 0 ตอบ x 2y 10 0


ตัวอย่ำงที่ 11 จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม 22x 2 y 1 8 ที่จุด 5, 1

วิธีท ำ จากสมการวงกลม 22x 2 y 1 8 จะได้ จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ C(h,k) 2,1 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด 2,1 และจุด 5, 1 หาได้ดังนี


2 1

y ym

x x

1 1

m5 2

2

m3

ดังนั น ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด 2,1 และจุด 5, 1 คือ 2

m3

เส้นสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด 5, 1 เป็นเส้นที่ตั งฉากกับรัศมีของวงกลม

จะได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสวงกลมคือ 3

2

สมการเส้นสัมผัสวงกลมที่ผ่านจุด 5, 1 หาได้ดังนี

จากสูตร 1 1y y m x x

3

y 1 x 52

3

y 1 x 52

2 y 1 3 x 5

2y 2 3x 15 2y 2 3x 15 0 3x 2y 17 0 3x 2y 17 0

ดังนั น สมการเส้นสัมผัสวงกลม 22x 2 y 1 8 ที่จุด 5, 1 คือ

3x 2y 17 0 ตอบ 3x 2y 17 0


ตัวอย่ำงที่ 12 จงหาค่า m จากสมการวงกลม 2 2x y 4x 4y m 0 ที่มีรัศมียาว 5 หน่วย

วิธีท ำ จากสมการวงกลม 2 2x y 4x 4y m 0 เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม

จะได้ 2 2x 4x y 4y m

2 2 2 2 2 2x 2 2 x 2 y 2 2 y 2 m 2 2

22x 2 y 2 8 m

เนื่องจากสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) คือ 2 22(x h) y k r และจากโจทย์ จะได้ว่า รัศมี r 5

ดังนั น จะได้ 25 8 m

25 8 m m 8 25

m 17 ดังนั น ค่า m จากสมการวงกลม 2 2x y 4x 4y m 0 ที่มีรัศมียาว 5 หน่วย คือ -17 ตอบ -17

ศึกษำตัวอย่ำงมำเยอะแล้ว ลองไปท ำแบบฝึกทกัษะ

กันเลยนะครับ


แบบฝึกทักษะที่ 4 1. จงแสดงวิธีท ำและหำค ำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหารูปแบบทั่วไปของสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (4,-2) และมีแกน X เป็นแกนสัมผัส


2. จงหาสมการและความยาวของรัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดก้าเนิด (0,0) และมีจุด P(3 , 4) อยู่บนเส้นรอบวง


3. จงหาสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย สัมผัสแกน X และ แกน Y โดยจุดศูนย์กลางอยู่ในจตุภาคท่ี 4


4. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C (4 , 1) และเส้นรอบวงผ่านจุด P (-1 , 3)


5. จงหาสมการวงกลมเมื่อจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่จุด A (1,2) และ B (7,10)


6. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1 , 2 ) และสัมผัสเส้นตรง 3x + 4y + 4 = 0


7. จงหาสมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม 3x2 + 3y2 - 2x - 16y – 52 = 0 ที่จุด (2 , -2)


8. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม (x - 4)2 + (y - 1)2 = 10 ที่จุด (3 , 4)


9. จงหาสมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 6x + 4y – 19 = 0 ที่จุด P (1 , 2)


10. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ 2, 5 และผ่านจุดตัดของเส้นตรง x y 2 0 และ x y 8 0


แบบทดสอบหลังเรียน

ค ำชี้แจง : 1. แบบทดสอบหลังเรียนนี เป็นแบบทดสอบปรนัยเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จ้านวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 30 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกค้าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว แล้วท้าเครื่องหมายกากบาท (×) ทับตัวอักษร ก ข ค หรือ ง ลงในกระดาษค้าตอบ 3. เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผิดได้ 0 คะแนน

1. สมการวงกลม 22x 1 y 2 64 จุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีตรงกับข้อใด 1) จุดศูนย์กลางคือ 1,2 และความยาวรัศมี 8 หน่วย 2) จุดศูนย์กลางคือ 1,2 และความยาวรัศมี 8 หน่วย 3) จุดศูนย์กลางคือ 1, 2 และความยาวรัศมี 8 หน่วย 4) จุดศูนย์กลางคือ 1, 2 และความยาวรัศมี 8 หน่วย

2. สมการวงกลม 2 2x y 16x 16y 64 0 จัดให้อยู่ในรูปของสมการวงกลมรูปแบบมาตรฐาน ตรงกับข้อใด

1) 22x 8 y 8 64

2) 22x 8 y 8 64

3) 22x 8 y 8 64

4) 22x 8 y 8 64 3. สมการวงกลมที่มีจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่ 1,3 และ 7, 5 คือข้อใด

1) 2 2x y 6x 2y 22 0

2) 2 2x y 8x 8y 22 0

3) 2 2x y 8x 8y 22 0

4) 2 2x y 6x 2y 22 0


4. จากรูปที่ก้าหนดให้มีสมการวงกลมตรงกับข้อใด

1) 22x 2 y 2 4

2) 22x 2 y 2 4

3) 22x 2 y 2 4

4) 22x 2 y 2 4 5. จากรูปที่ก้าหนดให้มีสมการวงกลมตรงกับข้อใด

1) 22x 3 y 1 5

2) 22x 3 y 1 5

3) 22x 3 y 1 25

4) 22x 3 y 1 25


6. สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 4, 2 และสัมผัสกับเส้นตรง 3x 4y 5 0 ตรงกับข้อใด

1) 2 2x y 4x 2y 11 0

2) 2 2x y 4x 2y 11 0

3) 2 2x y 8x 4y 11 0

4) 2 2x y 8x 4y 11 0

7. จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ 2 22x 2y 10x 8y 8 0

1) จุดศูนย์กลางคือ 5,2

2 และรัศมีคือ

57

2

2) จุดศูนย์กลางคือ 5,2


5

2

3) จุดศูนย์กลางคือ 5, 2


5

2

4) จุดศูนย์กลางคือ 5, 2


57

2

8. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม 2 2x y 8x 11 0 เมื่อก้าหนดจุดสัมผัสคือ 3,2 1) x 2y 1 0 2) x 2y 1 0 3) x 2y 1 0 4) x 2y 1 0

9. จากรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม 22x 3 y 1 5 เปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปของ

สมการวงกลม 2 2x y Ax By C 0 ตรงกับข้อใด

1) 2 2x y 6x 2y 5 0

2) 2 2x y 6x 2y 5 0

3) 2 2x y 6x 2y 5 0

4) 2 2x y 6x 2y 5 0 10. วงกลมวงหนึ่งมีจุดตัดของเส้นตรง 2x y 3 0 และ x y 3 0 เป็นจุดศูนย์กลาง และวงกลมผ่านจุด 3,1 วงกลมนี มีสมการตรงกับข้อใด

1) 22x 2 y 1 25

2) 22x 2 y 1 25

3) 22x 2 y 1 25

4) 22x 2 y 1 25


ภำคผนวก


เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1

1. จงหำสมกำรวงกลมเมื่อก ำหนดจุดศูนย์กลำงและรัศมีในแต่ละข้อต่อไปนี้

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,0) รัศมียำว 9 หน่วย

จากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม 2 2 2x y r

จะได้ 2 2 29x y

2 2 81x y

1

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,0) รัศมียำว 3 หน่วย

จากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม 2 2 2x y r

จะได้ 22 2 3x y

2 2 3x y

2

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (0,5) รัศมียำว 4 หน่วย จากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม

222x h y k r

จะได้ 2220 5 4x y

2 25 16x y

3 จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (-2,-3) รัศมียำว 3 หน่วย จากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม

222x h y k r

จะได้ 2 2 22 3 3x y

222 3 9x y

4

จุดศูนย์กลำงอยู่ท่ี (2,3) รัศมียำว 8 หน่วย จากรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม

222x h y k r

จะได้ 2222 3 8x y

222 3 64x y

5 ข้อ 1 ท ำได้ง่ำยมำก เรำมำท ำข้อต่อไป

กันเลยนะคะ


2. จงหำจุดศูนย์กลำงและควำมยำวรัศมีของวงกลมพร้อมทั้งเขียนกรำฟจำกสมกำรต่อไปนี้

1

22x - 1 + y - 3 = 4

จากโจทย์ 22x - 1 + y - 3 = 4 เปรียบเทียบกับรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม

222x - h + y - k = r จะได้ h=1 , k = 3

และ 2 4r

2r ดังนั นจุดศูนย์กลาง คือ , 1,3C h k C รัศมี 2r

2

22x + 3 + y + 2 = 9

จากโจทย์ 22x + 3 + y + 2 = 9 เปรียบเทียบกับรูปแบบมาตรฐานสมการวงกลม

222x - h + y - k = r จะได้ h= -3 , k = -2

และ 2 9r

3r ดังนั นจุดศูนย์กลาง คือ , 3, 2C h k C รัศมี 3r



1. จงหำจุดศูนย์กลำงและรัศมีของวงกลมในแต่ละข้อต่อไปนี้

ข้อ ควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม จุดศูนย์กลำง รัศมี

ตัวอย่ำง 22x, y R R x 8 y 5 9 8,5 3

1 22x, y R R x 4 y 5 9 4, 5 3

2 22x, y R R x 3 y 6 4 3,6 2

3 22x, y R R x 2 y 1 16 2, 1 4

4 22x, y R R x 6 y 9 6,0 3

5 2 2x, y R R x y 7 25 0,7 5

2. จำกจุดศูนย์กลำงและรัศมีของวงกลมในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหำควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม

ข้อ จุดศูนย์กลำง รัศมี ควำมสัมพันธ์ซึ่งมีกรำฟเป็นวงกลม

ตัวอย่ำง (-1,-2) 2 22x, y R R x 1 y 2 4

1 (0,2) 4 2 2x, y R R x y 2 16

2 (-3,0) 3 22x, y R R x 3 y 9

3 (-2,5) 6 22x, y R R x 2 y 5 36

4 (4,6) 9 22x, y R R x 4 y 6 81

5 (-3,-4) 5 22x, y R R x 3 y 4 25


3. จำกกรำฟจงเขียนควำมสัมพันธ์ในรูปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

22x, y R R x 4 y 3 9

22x, y R R x 6 y 4 16

1

ตัวอย่ำง


22x, y R R x 4 y 5 16

22x, y R R x 4 y 4 16

3

2


22x, y R R x 3 y 2 9

2 2x, y R R x y 3 9

5

4


เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3 1. จงเติมค ำตอบลงในตำรำงต่อไปนี้ให้ถูกต้อง

ข้อ สมกำรวงกลม A B C จุดศูนย์กลำง รัศมี ตัวอย่ำง 2 2x y 6x 6y 2 0 -6 6 2 3, 3 4

1 2 2x y 8x 4y 16 0 -8 4 -16 4, 2 6

2 2 2x y 6x 10y 30 0 6 10 -30 3, 5 8

3 2 2x y 6x 12y 41 0 -6 12 41 3, 6 2

4 2 2x y 8x 4y 11 0 -8 4 11 4, 2 3

5 2 2x y 10x 2y 23 0 10 2 -23 5, 1 7

2. จงหำจุดศูนย์กลำง และควำมยำวรัศมี พร้อมทั้งเขียนกรำฟของสมกำรวงกลม

1 2 2 - 4 8 16 0x y x y

จาก

A 4

h 22 2

และ

B 8

k 42 2

จะได้จุดศูนย์กลาง C h,k 2, 4

เนื่องจาก 2 21r A B 4C

2

จะได้ 2 21r 4 8 4(16)

2

1

r 16 64 642

1

r 162

r 2


2 2 22 2 8 4 - 8 0x y x y

จาก 2 22 2 8 4 - 8 0x y x y น้า 2 หารตลอดสมการ

จะได้ 2 2 4 2 - 4 0x y x y

เนื่องจาก

A 4

h 22 2

และ

B 2

k 12 2

ดังนั นจุดศูนย์กลาง C h,k 2, 1


2

จะได้ 2 21r 4 2 4( 4)

2

1

r 16 4 162

1

r 362

r 3


3 2 23 3 - 6 - 24 24 0x y x y

จาก 2 23 3 - 6 - 24 24 0x y x y น้า 3 หารตลอดสมการ

จะได้ 2 2 2 8 8 0x y x y


A 2

h 12 2

และ

B 8

k 42 2

ดังนั นจุดศูนย์กลาง C h,k 1,4


2

จะได้ 2 21r 2 8 4(8)

2

1

r 4 64 322

1

r 362

r 3


4 2 2 10 10 46 0x y x y


A 10

h 52 2

และ

B 10

k 52 2



2

จะได้ 2 21r 10 10 4(46)

2

1

r 100 100 1842

1

r 162

r 2


5 2 23 3 12 18 - 9 0x y x y

จาก 2 23 3 12 18 - 9 0x y x y น้า 3 หารตลอดสมการ

จะได้ 2 2 4 6 3 0x y x y


A 4

h 22 2

และ

B 6

k 32 2



2

จะได้ 2 21r 4 6 4( 3)

2

1

r 16 36 122

1

r 642

r 4



1. จงแสดงวิธีท ำและหำค ำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหารูปแบบทั่วไปของสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (4,-2) และมีแกน X เป็นแกนสัมผัส วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี

จาก 222x h y k r

จากโจทย์จะได้ 222x 4 y 2 2

2 2x 8x 16 y 4y 4 4

2 2x y 8x 4y 20 4

2 2x y 8x 4y 20 4 0

2 2x y 8x 4y 16 0 ดังนั น รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (4,-2) และมีแกน X

เป็นแกนสัมผัส คือ 2 2x y 8x 4y 16 0


2. จงหาสมการและความยาวของรัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดก้าเนิด (0,0) และมีจุด P(3 , 4) อยู่บนเส้นรอบวง วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี จากโจทย์สามารถหารัศมีของวงกลมได้จากระยะทางระหว่างจุดก้าเนิด (0,0) และจุด P(3 , 4)

เนื่องจาก 2 2

1 2 1 2r x x y y

จะได้ 2 2r 3 0 4 0

r 9 16 r 25

r 5 เนื่องจากสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดก้าเนิด คือ 2 2 2x y r ดังนั น สมการวงกลมที่มจีุดศูนย์กลางที่จุดก้าเนิด (0,0) และมีจุด P(3 , 4) อยู่บนเส้นรอบวง

คือ 2 2x y 25


3. จงหาสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย สัมผัสแกน X และ แกน Y โดยจุดศูนย์กลางอยู่ในจตุภาคท่ี 4 วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี จากรูปวาดเราจะได้ว่าจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 3, 3 และรัศมียาว 3 หน่วย เนื่องจากรูปมาตรฐานสมการวงกลมเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่ h,k

คือ 222x h y k r

จะได้ 2 22x 3 y 3 3

22x 3 y 3 9 ดังนั น สมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย สัมผัสแกน X และ แกน Y โดยจุดศูนย์กลาง

อยู่ในจตุภาคท่ี 4 คือ 22x 3 y 3 9


4. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(4,1) และเส้นรอบวงผ่านจุด P(-1,3) วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี จากโจทย์สามารถหารัศมีของวงกลมได้จากระยะทางระหว่างจุดก้าเนิด (4,-1) และจุด P(-1,3)


1 2 1 2r x x y y

จะได้ 2 2r 4 1 1 3

2 2r 3 2

r 9 4

r 13 เนื่องจากรูปมาตรฐานสมการวงกลมเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่ h,k


จะได้ 222x 4 y 1 13

22x 4 y 1 13 ดังนั น สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(4,1) และเส้นรอบวงผ่านจุด P(-1,3)

คือ 22x 4 y 1 13


5. จงหาสมการวงกลมเมื่อจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่จุด A (1,2) และ B (7,10) วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี จากโจทย์สามารถหาจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยการหาจุดกึ่งกลางของ A และ B ดังนี

เนื่องจาก 1 2 1 2x x y y

C h,k ,2 2

จะได้

1 7 2 10C h,k ,

2 2

C h,k 4,6 สามารถหารัศมีของวงกลมได้จากระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลาง 4,6 และจุดปลาย ของเส้นผ่านศูนย์กลาง 1,2 ดังนี


1 2 1 2r x x y y

จะได้ 2 2r 4 1 6 2

2 2r 3 4 r 9 16



จะได้ 222x 4 y 6 5

22x 4 y 6 25 ดังนั น สมการวงกลมเมื่อจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่ที่จุด A(1,2) และ B(7,10)

คือ 22x 4 y 6 25


6. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1,2) และสัมผัสเส้นตรง 3x + 4y + 4 = 0 วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี จากโจทย์เราจะหารัศมีของวงกลมได้จากระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นสัมผัสวงกลม

ได้ดังนี

1 12 2

Ax By Cr

A B

2 2

3 1 4 2 4r

3 4

3 8 4

r25

15

r5

15

r5



จะได้ 222x 1 y 2 3

22x 1 y 2 9 ดังนั น สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1,2) และสัมผัสเส้นตรง 3x + 4y + 4 = 0

คือ 22x 1 y 2 9


7. จงหาสมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม 3x2 + 3y2 - 2x - 16y – 52 = 0 ที่จุด (2,-2)

วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี

จากสมการ 2 23x 3y 2x 16y – 52 0 น้า 3 หารตลอดสมการ

จะได้ 2 2 2x 16yx y – 17 0

3 3


A BC h,k ,

2 2

จะได้

2 163 3C h,k ,

2 2

2 1 16 1C h,k ,

3 2 3 2

1 8

C h,k ,3 3


หาความชันของรัศมีจากสูตร

2 1

2 1

y ym

x x

82

3m3 2

82

3m1

8 6

m3

14

m3

เพราะฉะนั นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม คือ 3

14

จากสมการเส้นตรง 1 1y y m x x

จะได้ 3

y 2 x 214

3

y 2 x 214

น้า 14 คูณตลอดสมการ จะได้ 14y 28 3 x 2

14y 28 3x 6

14y 28 3x 6 0

3x 14y 22 0

ดังนั น สมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม 3x2 + 3y2 - 2x - 16y – 52 = 0 ที่จุด (2,-2) คือ 3x 14y 22 0


8. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม (x - 4)2 + (y - 1)2 = 10 ที่จุด (3,4) วิธีท ำ เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี


2 1

2 1

y ym

x x

4 1m

3 4

3m

1

m 3

เพราะฉะนั นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม คือ 1

3


จะได้ 1

y 4 x 33

น้า 3 คูณตลอดสมการ จะได้ 3y 12 x 3

x 3y 12 3 0

x 3y 9 0

ดังนั น สมการเส้นสัมผัสวงกลม (x - 4)2 + (y - 1)2 = 10 ที่จุด (3,4) คือ x 3y 9 0


9. จงหาสมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 6x + 4y – 19 = 0 ที่จุด P(1,2) วิธีท้า เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี


A BC h,k ,

2 2

จะได้

6 4C h,k ,

2 2

C h,k 3, 2


2 1

2 1

y ym

x x

2 2m

1 3

2 2m

1 3

m 1 เพราะฉะนั นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม คือ 1


จะได้ y 2 1 x 1

y 2 x 1

y 2 x 1 0

x y 3 0

ดังนั น สมการเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 6x + 4y – 19 = 0 ที่จุด P(1,2) คือ x y 3 0


10. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ 2, 5 และผ่านจุดตัดของเส้นตรง x y 2 0 และ x y 8 0 วิธีท้า เราสามารถวาดรูปประกอบการหาค้าตอบได้ดังนี หาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ดังนี x y 2 0 1

x y 8 0 2 น้า 1 2 ; 2x 6 0

2x 6

6

x2

x 3 น้า x 3 แทนใน 1 จะได้ 3 y 2 0

y 3 2 y 5 เพราะฉะนั น จุดตัดของเส้นตรง x y 2 0 และ x y 8 0 คือ 3,5 ระยะทางระหว่าง 2, 5 และ 3,5 คือรัศมีของวงกลม


1 2 1 2r x x y y

จะได้ 2 2r 2 3 5 5

2 2r 5 10

r 25 100 r 5 5


เนื่องจากรูปมาตรฐานสมการวงกลมเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่ h,k


จะได้ 222x 2 y 5 5 5

22x 2 y 5 125 ดังนั น สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ 2, 5 และผ่านจุดตัดของเส้นตรง x y 2 0 และ x y 8 0

คือ 22x 2 y 5 125


บรรณำนุกรม

กมล เอกไทยเจริญ. (2555) . คู่มือคณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 (สาระเพ่ิมเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ ภาคตัดกรวย. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์ เจริญ ภูภัทรพงศ์ และศรีลัดด้า ภูภัทรพงศ์. (2555). คู่มือและเทคนิคคิดลัด โจทย์ คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 ค01,ค042 ..กรุงเทพฯ : Science Center. จักรินทร์ วรรณโพธ์ิกล้าง. (2554). คณิตศาสตร์ เพ่ิมเติม ม.4 ภาคเรียนท2 ี่ . กรุงเทพฯ : พ.ศ. พัฒน้า. . (2556). คณิตศาสตร์ เพ่ิมเติม ม.4-6 เล่ม 2. กรุงเทพ : พ.ศ. พัฒนา.

Documents

วงกลม - Pakkred Secondary Schoolร ปท 1 ส วนประกอบของวงกลม จากร ปท 1 วงกลมม จ ดศ นย กลางท