คํานํา

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดรับมอบหมายจากกระทรวงศึกษาธิการใหพัฒนาหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 ของกลุมสาระ การเรียนรูคณิตศาสตร กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตร รวมทั้งสาระการออกแบบและเทคโนโลยี และสาระเทคโนโลยีสารสนเทศในกลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยี ตลอดจนจัดทําส่ือการเรียนรูตามหลักสูตรดังกลาว

คูมือครูเลมนี้ใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เพื่อใหครูผูสอนใชเปนแนวทางในการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรใหผูเรียนไดพัฒนาตนเอง นําความรูทางคณิตศาสตรไปพัฒนาชาติและเปนเครื่องมือ ในการเรียนรูคณิตศาสตรตลอดจนศาสตรอ่ืน ๆ ในระดับที่สูงขึ้นไป

ในการจัดทําคูมือครูเลมนี้ สสวท. ไดรับความรวมมืออยางดียิ่งจากคณาจารย ผูทรงคุณวุฒิ นักวิชาการและครูผูสอน จากหลายหนวยงานทั้งภาครัฐและเอกชน สสวท. จึงขอขอบคุณทุกทาน ไว ณ ที่นี้ และหวังเปนอยางยิ่งวาคูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนสําหรับครูผูสอนคณิตศาสตร ใหสามารถนําไปใชหรือปรับใชใหเหมาะสมกับศักยภาพของผูเรียน

หากมีขอเสนอแนะใดที่จะทําใหคูมือครูเลมนี้สมบูรณยิ่งขึ้นโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จักขอบคุณยิ่ง

(นายพิศาล สรอยธุหรํ่า) ผูอํานวยการ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คําชี้แจง

สาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดรับมอบหมายจากกระทรวงศึกษาธิการใหพัฒนาหลักสูตรกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชวงชั้นที่ 3 (มัธยมศึกษาปที่ 1–3) ชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4–6) ในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 นอกจากนั้นยังไดพัฒนาสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตรเพื่อใชประกอบหลักสูตรของชวงชั้นที่ 3 และ 4 อีกดวย

หนังสือเรียนและคูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตรของชวงชั้นที่ 3 จะมีดวยกันทั้งหมดอยางละ 6 เลม ไดแก หนังสือเรียนและคูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 และเลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 ตามลําดับ ทั้งนี้สถานศึกษาสามารถนําไปปรับใชใหเหมาะสมกับหลักสูตรของแตละสถานศึกษา

คูมือครูคณิตศาสตรเลมนี้จัดทําขึ้นเพื่อใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ใชเวลาในการเรียนการสอน 2 ช่ัวโมงตอสัปดาหตอภาค สวนหนาของเลมประกอบดวยคําชี้แจงการใชคูมือครู ในการใชคูมือครูขอใหอานคําชี้แจงการใชคูมือครูดังกลาวกอนที่จะศึกษารายละเอียดในแตละบท ในแตละบทของคูมือครูประกอบดวย คํานําประจําบท ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางการจัดการเรียนรู จุดประสงค (ประจําหัวขอ) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน กจิกรรมเสนอแนะ คําตอบของกิจกรรมหรือแบบฝกหัด

คณะผูจัดทําหวังวาคูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนคณิตศาสตร อยางไรก็ดีหากทานผูใชคูมือครูเลมนี้มีขอเสนอแนะประการใด โปรดแจงใหสาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีทราบ เพื่อปรับปรุงเอกสารใหสมบูรณยิ่งขึ้น ตอไป

(นางสาวจารุวรรณ แสงทอง) หัวหนาสาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

สารบัญ หนา

คํานําคําชี้แจงคําชี้แจงการใชคูมือครู กกําหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท่ี 1 สมบัติของเลขยกกําลัง 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1แนวทางในการจัดการเรียนรู 21.1 สมบัติของเลขยกกําลัง 2

จุดประสงค 2ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2

1.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง 3จุดประสงค 3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 31.3 สมบัติอ่ืน ๆ ของเลขยกกําลัง 4

จุดประสงค 4 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 5บทท่ี 2 พหุนามและเศษสวนของพหุนาม 17

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 17 แนวทางในการจัดการเรียนรู 18 2.1 ทบทวนพหุนาม 18

จุดประสงค 18ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 18

2.2 การคูณพหุนาม 19จุดประสงค 19เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 19ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 19

2.3 การหารพหุนาม 20 จุดประสงค 20 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 20

2.4 การบวกและการลบพหุนาม 21 จุดประสงค 21

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 212.5 การคูณพหุนาม 23

จุดประสงค 23เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 23ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 23

2.6 การหารพหุนาม 24จุดประสงค 24เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 24ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 24

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 25 กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 31บทท่ี 3 บทประยุกต 2 46 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 46 แนวทางในการจัดการเรียนรู 47 3.1 แบบรูปของจํานวน 47

จุดประสงค 47เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 47

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 473.2 ขายงาน 50

จุดประสงค 50เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 50ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 50

3.3 การประยุกตของเศษสวนและทศนิยม 51จุดประสงค 51

หนา

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 51 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 53ใบประกอบกิจกรรม 67คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 69

คําชี้แจงการใชคูมือครู

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีไดพิจารณาเห็นวา เพื่อใหการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพและบรรลุมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไวในหลักสูตรครบถวนทั้งสามดาน ไดแก ดานความรู ดานทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร และดานคุณธรรมจริยธรรมและคานิยม จึงไดจัดทําคูมือครูซ่ึงเสนอแนะแนวการจดักจิกรรมการเรยีนการสอนไวโดยละเอยีดเพือ่ใชควบคูกบัหนงัสอืเรียนสาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม 1 ช้ันมธัยมศกึษาปที ่2 ดงันัน้ครตูองศกึษาคูมอืครูใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏิบัติกิจกรรมเพื่อใหเกิดความพรอมในการสอนกอนเขาสอนทุกบทเรียน และดําเนินกิจกรรมตามที่เสนอแนะไว ครูอาจปรับเปลี่ยนกิจกรรมและวิธีจัดกิจกรรมการเรียนการสอนไดตามความเหมาะสมโดยคํานึงถึงศักยภาพของนักเรียนเปนสําคัญ

คูมือครูของแตละบทประกอบดวยหัวขอตอไปนี้ 1. ชือ่บทและหวัขอเร่ืองประจาํบท ระบจุาํนวนชัว่โมงทีใ่ชในการเรยีนการสอนของแตละบทและแตละหวัขอไวโดยประมาณ ครูอาจยืดหยุนไดตามที่เห็นสมควร 2. คํานําประจําบท บอกสาระสําคัญของบทเรียนทั่วไป ส่ิงที่ควรปฏิบัติและสิ่งที่ควรย้ํา

3. ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ในแตละบทเรียนจะระบุผลการเรียนรูที่คาดหวังรายปตามที่ปรากฏอยูในหนังสือคูมือการจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ครูตองคํานึงถึงเสมอวาจะตองจดักจิกรรมการเรยีนรูใหนกัเรยีนเกดิผลการเรยีนรูตามทีก่าํหนด เพือ่การวดัและประเมนิผลหลังจบการเรยีนการสอน ผลการเรียนรูที่ผานการประเมินนี้จะทําใหผูเรียนบรรลุผลตามมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นที่ 3 ดวย

4. แนวทางในการจัดการเรียนรู ในแตละหัวขอยอยของแตละบทไดใหรายละเอียดของหัวขอตอไปนี้

1) จุดประสงค ระบุไวเพื่อใหครูคํานึงถึงเสมอวาจะตองจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใหนักเรียนมีความรูและมีความสามารถตรงตามจุดประสงคที่วางไว ซ่ึงจะตองเกิดขึ้นระหวางเรียนหรือดําเนินกิจกรรม ครูตองประเมินผลใหตรงตามจุดประสงคและใชวิธีการประเมินผลที่หลากหลายเพื่อใหบรรลุถึงผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป

การประเมินผลที่หลากหลายอาจเปนการสังเกต การตอบคําถาม การทําแบบฝกหัด การทํากิจกรรม หรือการทดสอบยอย จุดประสงคใดที่ครูเห็นวานักเรียนสวนใหญยังไมผาน ในชั่วโมงตอไปครูควรนําบทเรียนนั้นมาสอนซอมเสริมใหม

ข

2) เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ในบางหัวขอไดระบุรายการกิจกรรมเสนอแนะหรือใบประกอบกิจกรรมไวดังรายละเอียดในขอ 6

3) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เปนสวนสําคัญของคูมือครูครูควรศึกษาและทําความเขาใจควบคูกับหนังสือเรียน เพื่อเตรียมจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใหสอดคลองกับจุดประสงคและเหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน

5. คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําถามทุกคําถามในกิจกรรมและแบบฝกหัดทุกขอมีคําตอบใหและบางขอมีเฉลยแนวคิดไวใหเพื่อเปนแนวทางในการหาคําตอบ บางขอมีหลายคําตอบแตใหไวเปนตัวอยางอยางนอยหนึ่งคําตอบ ทั้งนี้เพราะกิจกรรมหรือแบบฝกหัดที่ใหนักเรียนทําไดสอดแทรกปญหาที่เปดโอกาสใหนักเรียนไดสืบเสาะ สังเกต รวบรวมขอมูล วิเคราะห สรางขอความคาดการณและพิสูจนงาย ๆ การเฉลยคําตอบหรือการใหเหตุผลประกอบคําตอบไดคํานึงถึงพื้นฐานความรูและวุฒิภาวะของนักเรียนเปนหลัก การใหเหตุผลหรือคําอธิบายของนักเรียนอาจแตกตางจากที่เฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหัดครูควรพิจารณาอยางรอบคอบ ยอมรับคําตอบที่เห็นวามีความถูกตองและเปนไปได ถึงแมวาจะไมเหมือนกับคําตอบที่เฉลยไว ปญหาที่มีลักษณะเปนปญหาชวนคิด มีคําตอบอยูในสวนนี้ดวย 6. กิจกรรมเสนอแนะ บางบทเรียนไดเสนอแนะกจิกรรมทีพ่ฒันาทกัษะกระบวนการทางคณติศาสตรเพือ่ใหครูเลือกใช ในแตละกจิกรรมครอูาจปรบัเปลีย่นใหเหมาะสมกบัเวลาและความสามารถของนักเรียน

กอนดําเนินกิจกรรม ครูควรสนทนากับนักเรียนดวยบรรยากาศที่เปนกันเอง เพื่อใหเกิดความเขาใจและมองเห็นแงมุมตาง ๆ ของกิจกรรมที่จะทํา ไมควรดวนอธิบายหรือช้ีนําแนวคิด ขณะทํากิจกรรมครูตองสงเสริมใหนักเรียนไดมีโอกาสแสดงความคิดเห็นที่หลากหลาย ตลอดจนฝกฝนใหนักเรียนรูจัก วิเคราะหปญหา ตัดสินใจและหาขอสรุป ทั้งนี้ในบางกิจกรรมไดแสดงคําตอบไวในวงเล็บสีแดง

7. แบบฝกหัดเพิ่มเติม ในบางบทเรียนไดเตรียมแบบฝกหัดเพิ่มเติมไวใหครูเลือกหรือปรับใชใหเหมาะสมกับนักเรียนของตนเองและในบางขอไดแสดงคําตอบไวในวงเล็บดวยเชนกัน

ค

คําแนะนําการใชหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม คณิตศาสตร

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร ประกอบดวย1. เนื้อหาสาระ เนื้อหาสาระที่นําเสนอไวในหนังสือเรียนเลมนี้ เปนเนื้อหาสาระที่ใหความรูเสริม

และเพิ่มเติมจากเนื้อหาสาระในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร ทั้งในดานเนื้อหาคณิตศาสตรและดานทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ไดจัดกิจกรรมที่หลากหลายใหกับ

ผูเรียน เพื่อบูรณาการความรูตาง ๆ ที่มีอยูกับความรูใหมทั้งที่เปนความรูทางคณิตศาสตรและความรู ในศาสตรอ่ืน ๆ ตลอดจนสามารถนําไปใชในการแกปญหาได2. ตัวอยาง มีไวเสริมความเขาใจในเนื้อหาสาระและการนําไปใช3. แบบฝกหัดทายหัวขอ แบบฝกหัดที่นําเสนอไวมีหลายลักษณะ คือฝกทักษะการคิดคํานวณ แก โจทยปญหา ฝกวิเคราะห ใหเหตุผล และฝกหาขอสรุปเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ4. ปญหาชวนคิดหรือเร่ืองนารู เปนโจทยปญหาหรือสถานการณกระตุนใหนักเรียนไดใชความรูที่

เรียนมาเพื่อแกปญหาหรือหาขอสรุปใหม

เพื่อใหเกิดประสิทธิภาพสูงสุดในการใชหนังสือเรียน ครูควรปฏิบัติดังนี้1. ศึกษาเนื้อหาสาระและวิธีนําเสนอควบคูกับกิจกรรมของแตละเร่ืองที่เสนอแนะไวในคูมือครู ให

เขาใจอยางถองแท2. ทําแบบฝกหัดทายหัวขอและแสวงหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการหาคําตอบ โดยเฉพาะอยางยิ่งขอ

ที่มีวิธีคิดหรือคําตอบที่หลากหลาย ครูตองยอมรับคําตอบของนักเรียนเมื่อนักเรียนมีเหตุผลที่เหมาะสมมาประกอบคําตอบ

3. วางแผนการจัดการเรียนรูตลอดภาคเรียนใหครอบคลุมทุกเนื้อหาสาระและเหมาะสมกับเวลา4. ในการสอนเนื้อหาสาระแตละเรื่องไมควรดวนบอกนักเรียนทันที ควรใชวิธีการสอนผานกิจกรรม

หรืออภิปรายโตตอบ เพื่อใหนักเรียนสรุปความคิดรวบยอดดวยตนเองเทาที่จะสามารถทําได5. สรางสถานการณหรือโจทยที่สอดคลองกับเนื้อหาสาระในบทเรียนเพิ่มเติมจากสิ่งที่อยูใกลตัวหรือ

ภูมิปญญาทองถ่ิน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาสาระมากขึ้นและสามารถเชื่อมโยงความรูตาง ๆ เปนแนวทางในการประยุกตตอไป

กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1

ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 2

บทท่ี เร่ือง จํานวนชั่วโมง

1

2

3

4

สมบัติของเลขยกกําลัง

พหุนามและเศษสวนของพหุนาม

การประยุกตเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ

การประยุกตของการแปลงทางเรขาคณิต

14

18

16

12

รวม 60

บทที่ 1สมบัติของเลขยกกําลัง (14 ช่ัวโมง)

1.1 สมบัติของเลขยกกําลัง (2 ช่ัวโมง) 1.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง (8 ช่ัวโมง)

1.3 สมบัติอ่ืน ๆ ของเลขยกกําลัง (4 ช่ัวโมง)

การเสนอเนื้อหาเรื่องเลขยกกําลังในบทนี้ เร่ิมจากทบทวนบทนิยามของเลขยกกําลัง สมบัติของการคูณและสมบัติของการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนใด ๆ และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกจากนั้นจึงใชบทนิยามและสมบัติที่นักเรียนเคยทราบมาแลว แสดงใหเห็นผลการคูณและผลการหารที่เปนไปตามสมบัติของการคูณและสมบัติของการหารเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม นอกจากนี้ยังไดกลาวถึงสมบัติของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนเลขยกกําลัง ฐานอยูในรูปการคูณของจํานวนหลาย ๆ จํานวนและฐานอยูในรูปการหารของจํานวนหลาย ๆ จํานวน ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในบทนี้ ครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรมที่สอดแทรกความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับเลขยกกําลัง เชน การเพิ่มขึ้นหรือลดลงอยางรวดเร็วของจํานวนที่อยูในรูปเลขยกกําลังตามตัวอยาง การหาเงินรวมเมื่อคิดดอกเบี้ยทบตน สําหรับหัวขอ 1.3 ถาครูเห็นวานักเรียนยังไมพรอมหรือมีเวลาไมพอ ก็อาจไมนํามาสอนก็ได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. คูณและหารจํานวนที่เขียนอยูในรูปเลขยกกําลัง ที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มโดยใชบทนิยาม

และสมบัติของเลขยกกําลังและนําไปใชแกปญหาได2. คํานวณและใชเลขยกกําลังในการเขียนแสดงจํานวนที่มีคานอย ๆ หรือมาก ๆ ในรูป

สัญกรณวิทยาศาสตรได3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 สมบัติของเลขยกกําลัง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค เพื่อทบทวนความรูในเรื่องตอไปนี้

1. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก2. ใชสมบัติของเลขยกกําลังในการแกปญหา3. เขียนแสดงจํานวนทีมีคานอย ๆ หรือมาก ๆ ในรูป A × 10n เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n

แทนจํานวนเต็ม

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนความหมายและสมบัติของเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนใด ๆ และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก โดยย้ําวา เลขยกกําลังเปนจํานวนจึงสามารถบวก ลบ คูณและหาร เชนเดียวกับจํานวนครูอาจใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.1 เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่เคยเรียนแลว 2. สําหรับตัวอยางที่ 1 ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวา (-3)8 = 38 จึงเขียน 38 แทน (-3)8 ไดทั้งนี้เพราะจํานวนลบคูณจํานวนลบมีผลลัพธเปนจํานวนบวก สําหรับตัวอยางที่ 5 เปนโจทยปญหาที่ใชขอมูลจริงเกี่ยวกับพื้นที่และจํานวนประชากรของประเทศไทย ครูอาจบูรณาการความรูโดยใหนักเรียนหาขอมูลเกี่ยวกับพื้นที่และจํานวนประชากรในจังหวัดของนักเรียน เพื่อหาจํานวนประชากรเฉลี่ยตอพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร สําหรับแบบฝกหัด 1.1 ขอ 4 ครูควรสนทนาเพิ่มเติมใหนักเรียนรูจักพจนานุกรมและประโยชนของพจนานุกรม เพื่อเชื่อมโยงความรูซ่ึงเปนการสงเสริมการอานและการคนควา สําหรับแบบฝกหัด 1.1 ขอ 7 ครูอาจนํามาอภิปรายในชั้นเรียนดวยการยกตัวอยางมาวิเคราะหเพื่อสรุปวิธีพิจารณาจํานวนบวกที่เขียนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร วาจํานวนใดมากกวา 3. สําหรับกรอบความรู “คํานําหนาหนวย” เจตนาเพื่อใหเห็นประโยชนของเลขยกกําลังในการกําหนดหนวยการวัดที่ใชกันในทางวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

3

1.2 การดําเนินการของเลขยกกําลัง (8 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได2. ใชสมบัติของเลขยกกําลังในการแกปญหาได

3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก และ 1.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนการบวกและลบจํานวนเต็ม เพื่อตรวจสอบความรูพื้นฐาน ดูความพรอมกอนที่จะเรียนเรื่องเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก ใหนักเรียนไดลงมอืปฏิบตั ิ ไดสังเกตแบบรปูของความสมัพนัธของเลขชีก้าํลังของตวัตัง้ ตวัคูณ และผลคณูของเลขยกกาํลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกัน เพื่อนําไปสูการเรียนเกี่ยวกับสมบัติของการคูณเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 2. แบบฝกหัด 1.2 ขอ 4 ตองการใหนักเรียนหาคําตอบโดยวิธีลองแทนคาตัวแปร ประกอบกับการใชสมบัติของเลขยกกําลัง 3. ในการทํากิจกรรม “นารู” ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นแบบรูปของปริมาณยาที่เหลือในรางกาย

ทีม่ลัีกษณะเปนเลขยกกาํลังในรปู n

21

× 100 เมือ่ n แทนจาํนวนครัง้ทีล่ดทกุ 6 ช่ัวโมง ครูควรเชือ่มโยง

ความรูเกี่ยวกับการใชยา วายาทุกชนิดมีผลขางเคียงที่เกิดจากยาตกคางไมมากก็นอย ซ่ึงอาจเปนอันตรายตอรางกายได การใชยาทุกชนิดจึงตองปฏิบัติตามคําแนะนําของแพทย เภสัชกร หรือเอกสารกํากับยาอยางเครงครัด 4. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข และดําเนินการสอนเชนเดียวกับการคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 5. การสอนเพื่อนําไปสูขอสรุป เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ n แทนจํานวนเต็ม a-n = na

1

และ an = n-a1

ครูควรยกตัวอยางประกอบดวยการแทน a และ n ดวยจํานวนตาง ๆ ใหนักเรียนเห็นจริงเปนกรณี ๆ กอน

4

1.3 สมบัติอื่น ๆ ของเลขยกกําลัง (4 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนเลขยกกําลัง (am)n ใหอยูในรูป anm

(ab)n ใหอยูในรูป anbn

n

ba

ใหอยูในรูป n

n

ba

2. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกําลังที่มีฐานอยูในรูปการคูณหรือการหารของจํานวน หลาย ๆ จํานวนได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การเขียนเลขยกกําลัง เมื่อฐานเปนเลขยกกําลังและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ใหครูย้ําวาควรเขียนฐานซึ่งเปนเลขยกกําลังไวในวงเล็บ เพื่อใหเกิดความชัดเจน ในการสื่อสารและสื่อความหมาย เชนเมื่อฐานเปน 52 ถาเขียนเปนเลขยกกําลังที่มี 3 เปนเลขชี้กําลังใหเขียน (52)3

2. สําหรับแบบฝกหัด 1.3 ขอ 3 ตองการใหนักเรียนหาคําตอบโดยวิธีลองแทนคาตัวแปรประกอบกับความรูเร่ืองการแยกตัวประกอบและสมบัติของเลขยกกําลัง 3. แบบฝกหัด 1.3 ขอ 4 และขอ 5 เปนโจทยเชื่อมโยงความรูทางวิทยาศาสตร มุงใหนักเรียนฝกทักษะการคูณและการหารเลขยกกําลัง โดยการแทนคาตัวแปรตามที่โจทยกําหนด 4. กิจกรรม “เปนจริงหรือไม” มีคําถามสวนใหญที่สามารถตอบไดโดยใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับเลขยกกําลัง มีคําถามเพียงบางขอที่อาจตองใชการคํานวณและการใหเหตุผลประกอบ ถานักเรียนไมเขาใจ ครูตองยกตัวอยางเปนจํานวนมาประกอบคําอธิบายเพิ่มเติม เพื่อใหนักเรียนเห็นจริงในแตละกรณี 5. กิจกรรม “ดอกเบี้ยทบตน” แสดงใหเห็นการนําเลขยกกําลังไปใชในชีวิตประจําวัน ครูควรดําเนินการสอนตามลําดับที่เสนอไวในกิจกรรม ไมควรใหสูตรทันที ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนไดสังเกตแบบรูปของความสัมพันธที่นําไปสูสูตรการหาเงินรวม กราฟของความสัมพันธที่นําเสนอในหนา 30 แสดงใหเห็นวาในชวงแรก ๆ เงินรวมจะเพิ่มขึ้นอยางชา ๆ แตเมื่อเวลาผานไประยะหนึ่ง เงินรวมจะเพิ่มขึ้นอยางรวดเร็ว หากเปนการกูเงินยอมแสดงวาในระยะยาว เราตองจายดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอยางรวดเร็วเชนกัน

5

6. กิจกรรม “คิดเปนลานลาน” แสดงใหเห็นการใชเลขยกกําลัง ไปชวยในการเขียนหนวยเปนลานลาน ซ่ึงจะพบมากในดานสังคมศาสตร ทั้งมีการบวกและการลบเลขยกกําลังที่อยูในรูป A × 10n เมื่อn แทนจํานวนเต็มบวกโดยใชสมบัติการแจกแจง 7. สําหรับกจิกรรม “ไมเทากนั” มเีจตนาเพือ่ใหนกัเรยีนตระหนกัและไดหลักการเขยีนเลขยกกาํลังทีถู่กตอง ครูอาจยกตวัอยางอืน่ ๆ เพิม่เตมิ เพือ่ใหนกัเรยีนเกดิความเขาใจยิง่ขึน้ การหาคาํตอบในกจิกรรมนี้ไมจําเปนตองหาผลตางเปนจํานวนเต็ม อาจตอบในรูปของเลขยกกําลังก็ได 8. ในการทํากิจกรรม “ยิ้มญาติเยอะ” ครูอาจนํากิจกรรมปญหา “ชวนคิด” ทายหัวขอ 3.1 ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 มาเปรียบเทียบใหเห็นแบบรูปของการหาคําตอบที่เปนการบวกเลขยกกําลังในลักษณะทํานองเดียวกัน

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 27 2) (–5)3

3) (0.5)6 หรือ 6

21

4) (–3)2 หรือ 32

5) (–2)7 6) 2

52

7) 10-1 8) 2-4

9) 104 10) 100

11) a2 12) 2n

2. 1) (–4)4 หรือ 256 2) (–2)2 หรือ 4 3) 3 4) 1

5) 326 6) 0.0007

7) 4000 8) 30 9) a4 10) 2a3b11) 53n 12) 22n + 1

6

3 1) 2.9 × 1011 2) 7.3 × 10–9

3) 1.25 × 10–8 4) 4.251 × 104

5) 3 × 10-5 6) 5.22 × 10–3

7) 6.17 × 10–3 8) 4.7 × 10–9

9) 5.16 × 108 10) 5.78 × 109

11) 9.7 × 1010 12) 2.5 × 1013

4. ประมาณ 7.5 × 10-3 เซนติเมตร5. ประมาณ 6.42252 × 1023 กิโลกรัม6. ประมาณ 9.45 × 1012 กิโลเมตร7. เมื่อเขียนจํานวนบวกสองจํานวนในรูป A × 10n เมื่อ 1 < A < 10 และ n แทนจํานวนเต็ม การพิจารณาวาจํานวนใดมากกวา ใหพิจารณาดังนี้

1) ถาเลขชี้กําลังของ 10 ตางกัน จํานวนที่มีเลขชี้กําลังของ 10 มากกวา จะเปนจํานวนที่ มากกวา 2) ถาเลขชี้กําลังของ 10 เปน n เทากัน จํานวนที่มีตัวคูณของ 10n มากกวา จะเปนจํานวน ที่มากกวา

คําตอบปญหา “มีหรือไม”

มี คือ 2 เพราะ (2 – 2)2 – 3 = 0-1 และ 0-1 ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก

1. 1) 412 2) 21

3) 3-2 4) (–2)0

5) 30 6) (0.5)-1 หรือ -1

21

7) (0.5)-1 8) (-4)0

9) (-7)-2 10) (-3a)3

11) (-2)3n + 3 12) a2n

7

2. 1) 2.4 × 109 2) 4.8 × 100

3) 1 × 10-6 4) 6 × 101

3. 1) 4a-2 หรือ 2a

4 2) (4a)-1 หรือ 4a1

3) 3y 4) 6b3

5) 3a 6) 10

4. 1) 25 2) 0.25 × 10-2

5. ประมาณ 4 ลานลานบาท6. ประมาณ 40 ปแสง7. ประมาณ 4.75 × 10-2 เมตร

คําตอบปญหา “นารู”

6.25 มิลลิกรัม

แนวคิด เมื่อครบ 24 ช่ัวโมง จะมียาเหลืออยู 4

21

× 100 มิลลิกรัม

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข

1 1) 56 2) 3-3

3) 2–7 4) 7-1

5) 11–8 6) 130

7) (-10)4 หรือ 104 8) (0.2)-4

9) a5 10) 65n

8

2. 1) 5 × 10-4 2) 7.1 × 10-13

3) 9 × 10-9 4) 6.4 × 10-1

3. 1) 223 2) 3-8 หรือ 83

1

3) -37.5 4) 7-n หรือ n71

5) 4a2b3 6) 13a5b4c–1 หรือ cb13a 45

4. ประมาณ 3,780 ลานคน5. ประมาณ 1.5433728 × 108 ตารางกิโลเมตร6. ประมาณ 30.48 เมตร7. ประมาณ 167 เมตร8. ประมาณ 20,478 บีทียู

คําตอบแบบฝกหัด 1.3

1. 1) 1 2) 1

3) 56 4) 352

5) 814 6) 25 หรือ 32

7) 34 หรือ 81 8) 108

9) 4a-2 หรือ 2a4 10) 8

a-12 หรือ 128a

1

2. 1) 228 2) 81 × 222

3) 1 4) 404

5) 3 6) 1

7) a3b-3 หรือ 33

ba 8) 90

ab

9) 63m 10) n

27

หรือ n

n

27

9

3. 1) แทน m ดวย 1 และแทน n ดวย 3 2) แทน m ดวย 0 แทน n ดวย -5 และแทน p ดวย 54. ประมาณ 4.97 × 102 วินาที5. ประมาณ 3.62 × 10-28 จูล

คําตอบปญหา “คิด”

คําตอบคือ 64 และ 15,625แนวคิด 1,000,000 = 106

= (2 × 5)6

= 26 × 56

= 64 × 15,625

คําตอบปญหา “เปนจริงหรือไม”

1. เปนจริง เพราะ จํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย เมื่อยกกําลังศูนยจะเทากับ 1 2. ไมเปนจริง เพราะ ถา a = 0 แลว 00 ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร 3. ไมเปนจริง เพราะ 10-5 = 510

1 ซ่ึง 5101 > 0

4. ไมเปนจริง เพราะ -54 เปนจํานวนลบ แต (-5)4 เปนจํานวนบวก

5. เปนจริง เพราะ 2-2 = 221 =

2

21

= (0.5)2

6. ไมเปนจริง เพราะ 10010 = (102)10 = 1020 ซ่ึง 1020 < 10100

7. ไมเปนจริง เพราะ -4

73

= 4-

4-

73 = 4

4

37 =

4

37

8. เปนจริง เพราะ 210 > 102 ดังนั้น 210

102 > 10

2

210

9. ไมเปนจริง เพราะ 10a + 10a = 2(10a) ซ่ึง 2(10a) ≠ 20a

10. ไมเปนจริง เพราะ มี 101 + 100 = 10 + 1 = 11 ในขณะที่ 101 + 0 = 101 = 10

10

11. เปนจริง เพราะ a + b < 0 ดังนั้น 10a × 10b = 10a + b < 100 และ 100 = 1 นั่นคือ 10a × 10b < 112. ไมเปนจริง เพราะ เมื่อแทน a ดวย 2 และแทน b ดวย -2 แลว

102 × 10-2 = 102 + (-2) = 100 = 113. ไมเปนจริง เพราะ a10 × b10 = (a × b)10 ซ่ึง (a × b)10 ≠ (a × b)20

14. ไมเปนจริง เพราะ เมื่อแทน a ดวย 0 แทน b ดวย 1 แลว a – b < 0 และ 100 ÷ 101 = 10

1 < 1

15. ไมเปนจริง เพราะ มี 02 = 0

คําตอบกิจกรรม “ดอกเบี้ยทบตน”

1. ดอกเบี้ยเมื่อส้ินปที่สาม ประมาณ 788.13 บาท2. เงินรวมเมื่อส้ินปที่สอง ประมาณ 8,324.83 บาท

คําตอบกิจกรรม “คิดเปนลานลาน”

1. 29,200 ลานบาท2. 10,880 ลานบาท3. 3.4 พันลานบาท4. 13 หมื่นลานบาท5. 1001 หมื่นลานบาท

11

คําตอบปญหา “ไมเทากัน”

316 – 38 หรือ 38 (38 – 1)

แนวคิด เนื่องจาก 32 = 32

= 316

และ ((32)2)2 = 32 × 2 × 2

= 38

ดังนั้น 316 – 38 = 38 (38 – 1)

คําตอบปญหา “ยิ้มญาติเยอะ”

จํานวนบรรพบุรุษเกาชั่วคน มีทั้งหมด 1,022 คนแนวคิด

บรรพบุรุษ จํานวนคนหนึ่งชั่วคน 2สองชั่วคน 2 + 22

สามชั่วคน 2 + 22 + 23

ส่ีช่ัวคน 2 + 22 + 23 + 24

เกาชั่วคน 2 + 22 + 23 + … + 29

ดังนั้น บรรพบุรุษเกาชั่วคนของยิ้มมี 2 + 22 + 23 + … + 29 = 2 + 4 + 8 + … + 512 = 1,022 คน

ใชสมบัติการแจกแจง

.

.

....

22 4

12

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

13

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.1

1. จงบอกฐานและเลขชี้กําลังของเลขยกกําลังตอไปนี้1) 36 [3 เปนฐาน และ 6 เปนเลขชี้กําลัง]

2) (-7)2 [-7 เปนฐาน และ 2 เปนเลขชี้กําลัง]

3) -5

32

[ 3

2 เปนฐาน และ -5 เปนเลขชี้กําลัง]

4) (3a)2 เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ [3a เปนฐาน และ 2 เปนเลขชี้กําลัง] 5) (-9y)-3 เมื่อ y ≠ 0 [-9y เปนฐาน และ -3 เปนเลขชี้กําลัง]

6) -3

21

เมื่อ y ≠ 0 [ 2

1 เปนฐาน และ -3 เปนเลขชี้กําลัง]

2. จงหาผลคูณ1) 34 × 37 [311]2) (-2)5 × (-2)0 × (-2)2 [(-2)7]3) (5a2)(-3a4) เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ [-15a6]4) 7a3b × 2a5 b2 เมื่อ a และ b แทนจํานวนใด ๆ [14a8b3]

3. จงหาผลหาร

1) 27

33 [35]

2) 35

(-2)(-2) [(-2)2 หรือ 22]

3) 64

77 [7 -2]

4) 2

5

(-8)(-8) [(-8)3]

5) 3n2n

aa เมื่อ a ≠ 0 และ n แทนจํานวนเต็มบวก [a-n]

4. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1) 25,000,000 [2.5 × 107] 2) 0.000073 [7.3 × 10-5] 3) 58 × 106 [5.8 × 107]

4) 23.9 × 10-3 [2.39 × 10-2]5) 0.0049 × 107 [4.9 × 104]6) 550 × 10-9 [5.5 × 10-7]

yy

14

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนพิจารณาและสังเกตความสัมพันธของเลขชี้กําลังของตัวตั้งตัวคูณและผลคูณ เพื่อนําไปสูสมบัติของการคูณเลขยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

ใหนักเรียนเติมขอความใหสมบูรณตามตัวอยางในตาราง

การคูณเลขยกกําลัง ผลคูณ

1. 20 × 23 = 1 × 23 23 หรือ 20 + 3

2. 30 × 3-2 = 1 × 231 3-2 หรือ 30 + (-2)

3. 4-5 × 40 = ………………… [ 541 × 1] ………………… [4-5] หรือ [4-5 + 0]

4. 52 × 5-3 = ………………… [52 × 351 ] ………………… [5-1] หรือ [52 + (-3)]

5. 6-2 × 65 = ………………… [ 261 × 65] ………………… [63] หรือ [6-2 + 5]

6. 7-3 × 7-8 = ………………… [8

7×371 ] ………………… [7 - 11] หรือ [7-3 + (-8)]

15

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนพิจารณาและสังเกตความสัมพันธของเลขชี้กําลังของตัวตั้งตัวหารและผลหาร เพื่อนําไปสูสมบัติของการหารเลขยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

จงเติมขอความใหสมบูรณตามตัวอยางในตาราง

การหารของเลขยกกําลัง ผลหาร

1. 30

55 = 35

1 5-3 หรือ 50 – 3

2. 2-0

44 =

2411

42 หรือ 40 – (-2)

3. 05-

33 = ………………… [ 1

3 5-] ………………… [3-5] หรือ [3-5 – 0]

4. 3-2

77 = ………………… [

3

2

71

7 ] ………………… [75] หรือ [7 2 – (-3)]

5. 53-

33 = ………………… [ 53 3 3

1×

] ………………… [3-8] หรือ [3 -3 – 5]

6. 4-2-

55 = ………………… [5 -2 × 4-5

1 ] ………………… [52] หรือ [5 -2 – (-4)]

16

กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนพิจารณาและสังเกตความสัมพันธของเลขชี้กําลังของฐานกับเลขชี้กําลังของเลขยกกําลัง

จงเติมขอความใหสมบูรณตามตัวอยางในตาราง

เลขยกกําลัง เขียนเลขยกกําลังในรูปกระจาย ผลคูณ

1. (32)4 32 × 32 × 32 × 32 38 หรือ 32 × 4

2. (2-1)2 ……………..… [2-1 × 2-1] ……………..… [2-2] หรือ [2(-1)× 2]

3. (5-2)3 ……………..… [5-2 × 5-2 × 5-2] ……………..… [5-6] หรือ [5(-2)× 3]

4. ((-3)-2)4 ……………..… [(-3)-2 × (-3)-2 × (-3)-2 × (-3)-2] ……………..… [(-3)-8] หรือ [(-3)(-2)× 4]

5. (54)-3 ……………..… [ 444 5 5 51××

] ……………..… [5-12] หรือ [54 ×(-3)]

6. (7-2)-2 ……………..… [ 2-2- 7 71×

] ……………..… [74] หรือ [7(-2) ×(-2)]

บทที่ 2พหุนามและเศษสวนของพหุนาม (18 ช่ัวโมง)

2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ช่ัวโมง) 2.2 การคูณพหุนาม (4 ช่ัวโมง) 2.3 การหารพหุนาม (4 ช่ัวโมง) 2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ช่ัวโมง) 2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ช่ัวโมง) 2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ช่ัวโมง)

สาระของบทนี้เปนความรูตอเนื่องที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 ในบทนี้จะไดกลาวถึงการคูณระหวางพหุนามที่มีตัวแปรไมเกินสองตัว ดีกรีของผลลัพธไมเกิน 5 และการหารพหุนามดวยพหุนามที่มีตัวแปรเดียว สัมประสิทธิ์ของตัวตั้งตัวหาร ผลหารและเศษ เปนจํานวนเต็ม ทั้งเปนการหารลงตัวและไมลงตัว สําหรับเศษสวนของพหุนามจะกลาวถึงการบวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงายกลาวคือ ทั้งตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนามหรือเปนพหุนามที่มีไมเกินสองพจน มีตัวแปรเดียว มีดีกรีของพหุนามไมเกินสอง และถาพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวนมีตัวประกอบรวม สามารถหาตัวประกอบรวมนั้นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง สวนผลลัพธควรเปนพหุนามที่มีไมเกินสามพจนและจะตองทาํใหอยูในรปูของเศษสวนของพหนุามในรปูผลสําเรจ็ สําหรับการหาตวัประกอบรวมโดยการแยกตวัประกอบดวยวธีิอ่ืน ๆ นกัเรยีนจะไดเรียนในชัน้มธัยมศกึษาปที ่3 ครูควรใหนักเรียนทําแบบฝกหัดในเรื่องการบวก ลบ คูณ หารพหุนามและเศษสวนของพหุนามใหมากพอ เพราะเนื้อหาเหลานี้เปนพื้นฐานที่สําคัญของการเรียนพีชคณิตในชั้นที่สูงขึ้น ตัวอยางกิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติมในแตละหัวขอ มีไวเพื่อใหครูเลือกใชหรืออาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. บวก ลบ คูณ และหารพหุนามได 2. บวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงายได

18

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บวก ลบ พหุนามอยางงายได 2. คูณเอกนามกับพหุนามได 3. หารพหุนามดวยเอกนามได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนการบวก ลบ เอกนาม ทั้งที่เปนเอกนามที่คลายกันและไมคลายกันใหนักเรียนตอบปากเปลา เชน หาผลบวกหรือผลลบของเอกนามตอไปนี้ 1) 7x2 + (-5x2) 2) 8x – 10y 3) -5z3 + (-4z2) 4) -11y2 – 20y2

2. ในการทบทวนการบวกและการลบพหุนาม ครูอาจทบทวนวิธีการหาผลลัพธทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง รวมถึงวิธีการถอดวงเล็บซึ่งอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายและใหสังเกตวาในตัวอยาง เมื่อเขียนการลบพหุนามในแนวนอนจะเปลี่ยนการลบเปนการบวกดวยพจนตรงขามของตัวลบกอน เพื่อไมใหนักเรียนสับสนเกี่ยวกับเครื่องหมาย 3. ในการทบทวนการคูณระหวางเอกนามกับพหุนาม ครูควรทบทวนการคูณที่เปนทั้งการคูณเอกนามดวยพหุนามและการคูณพหุนามดวยเอกนาม ดังตัวอยางที่ 4 และตัวอยางที่ 5 และควรใหนักเรียนเขียนคําตอบในรูปพหุนามที่มีการเรียงดีกรีจากมากไปนอย 4. ในการทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนาม นอกจากครูจะทบทวนหลักการหารแลว ควรเนนถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร และผลหารดวย และควรใชคําถามที่ช้ีใหนักเรียนสังเกตวิธีการตรวจสอบผลหารจากความสัมพันธ ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร

19

ผลบวกของพจนหนาคูณพจนหลังกับพจนหลังคูณพจนหนา

(x)(-5) + (2)(x)

ผลคูณของพจนหนา(x)(x)

ผลคูณของพจนหลัง(2)(-5)

2.2 การคูณพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลคูณของพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 และแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ 2.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรยกตัวอยางการคูณระหวางพหุนามดีกรีหนึ่งกับพหุนามดีกรีหนึ่งในหนังสือเรียนแลวช้ีใหนักเรียนสังเกตวิธีใชพหุนามใดพหุนามหนึ่งเปนตัวตั้งและอีกพหุนามหนึ่งเปนตัวคูณโดยใชสมบัติการแจกแจงดวย ครูอาจใชเสนโยงใหเห็นพจนที่คูณกันโดยแยกพิจารณาการคูณทีละขั้นตอน เชน การหาผลคูณของ x + 2 กับ x – 5 ดังนี้

ขั้นที่ 1 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) x2 – 5x ขั้นที่ 2 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) 2x – 10

จะได (x + 2)(x – 5) = (x2 – 5x) + (2x – 10) = x2 – 5x + 2x – 10

= x2 – 3x – 10 หรือ = x2 + (-3x) + (-10)

2. ครูอาจใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ 2.2 ข เพื่อใหนักเรียนมีทักษะในการคูณและสังเกตไดวาผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง แตละพจนเกี่ยวของกับจํานวนใดที่คูณกัน ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นแบบรูปการคูณจากผลคูณ เชน (x + 2)(x – 5) ดังนี้

x2 + (-3x) + 10

3. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ประกอบการเรียนการสอนเพื่อใหนักเรียนเห็นภาพการคูณพหุนามเปนรูปธรรมโดยใชพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 4. การสอนวิธีคูณในแนวตั้ง ครูอาจตั้งคูณเหมือนการคูณจํานวนเต็มที่นักเรียนคุนเคยในลักษณะดังนี้ก็ได เชน

20

ตอบ -4x3 + 37x2 – 66x + 21

กอนที่จะตั้งคูณ ครูควรแนะนําใหนักเรียนเรียงดีกรีของพจนทั้งพหุนามตัวตั้งและพหุนามตัวคูณในลักษณะเดียวกันซึ่งนิยมเรียงดีกรีจากมากไปนอยและควรใหเรียงดีกรีของผลลัพธในทํานองเดียวกันดวย 4. ในแบบฝกหัด 2.2 ก ขอ 1 ขอยอย 16) มีการหาผลคูณ (x – 1)(x – 1)2 ครูอาจแนะนําใหหาผลคูณ (x – 1)2 ในแนวนอนเปน (x – 1)(x – 1) = x2 – 2x + 1 กอนแลวหาผลคูณ (x – 1)(x2 – 2x + 1)ในแนวตั้งก็ได 5. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.2 ค เพือ่ฝกทกัษะการบวก ลบ และคณูพหนุาม

2.3 การหารพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลหารของพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนามและเนนวา เอกนามตัวหารตองไมเปนศูนย จากนั้นจึงยกตัวอยางโจทยการหารพหุนามดวยพหุนามและใหขอตกลงกับนักเรียนเชนกันวา พหุนามตัวหารตองไมเปนศูนย 2. กอนใหตัวอยางการหารพหุนามดวยพหุนาม ครูควรทบทวนวิธีการหารจํานวนเต็มแบบการหารยาวกอน เพื่อใหเห็นวาวิธีหารพหุนามดวยพหุนามจะมีวิธีการที่คลายกับการหารยาวที่นักเรียนคุนเคยมาแลว 3. ครูควรย้ําถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผลหารและเศษในรูปของตวัตัง้ = (ตวัหาร × ผลหาร) + เศษ และควรแนะนาํนกัเรยีนใหมกีารตรวจสอบผลลพัธ โดยใชความสมัพนัธดงักลาว ในตัวอยางการหารพหุนามทุกตัวอยางไดแสดงการตรวจสอบผลลัพธไวใตคําตอบทุกตัวอยางครูควรนํามาอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียนเปนบางตัวอยางก็ได สําหรับแบบฝกหัดของนักเรียนจะแสดงการตรวจสอบผลลัพธหรือไม ใหอยูในดุลพินิจของครู

4x2 – 9x + 3 - x + 7 28x2 – 63x + 21-4x3 + 9x2 – 3x-4x3 + 37x2 – 66x + 21

×

21

4. นกัเรยีนสวนใหญจะขาดทกัษะในเรือ่งการลบและการหารพหนุาม ดงันัน้ครคูวรใหแบบฝกหดัในเรือ่งการหารใหมากพอ เพราะจะชวยใหนกัเรยีนมทีกัษะการลบพหนุามไปดวย ครูไมจาํเปนตองใหโจทยที่มีดีกรีสูงและควรใหสัมประสิทธิ์ของแตละพจนมีคาไมมาก สัมประสิทธิ์ของแตละพจนของผลหารหรือเศษในชั้นนี้ใหเปนจํานวนเต็มเทานั้น 5. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3 สําหรับเด็กที่ยังขาดทักษะการหารพหุนาม

2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนรูจักเศษสวนของพหุนามและเศษสวนพหุนามในรูปผลสําเร็จ

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก และ 2.4 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามหลาย ๆ ตัวอยาง ทั้งที่ตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนามหรือเปนพหุนาม พรอมทั้งย้ํากับนักเรียนวา พหุนามตัวสวนตองไมเปนศูนย 2. ครูควรยกตัวอยางพหุนามงาย ๆ ที่สามารถใชสมบัติของการแจกแจงในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ใหนักเรียนไดฝกเขียนในรูปการคูณของพหุนามกอน เชน 5x – 10 = 5(x – 2) 9x3 – 3x2 = 3x2(3x – 1) 4x2y + 2xy2 = 2xy(2x + y) ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก ประกอบดวย 3. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามอยางงายที่สามารถใชสมบัติการแจกแจง ทําใหตัวเศษและตัวสวนมีพหุนามหนึ่งเปนตัวรวมแลวนําพหุนามที่เปนตัวรวมนั้นไปหารตัวเศษและตัวสวน ซ่ึงจะสามารถทําใหเศษสวนของพหุนามนั้นเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได เชน

10 5x 6 3x

−

− = 2) 5(x 2) 3(x

−

−

= 53

4. ในการทําเศษสวนของพหุนามใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูควรย้ําใหระมัดระวังเกี่ยวกับนําตัวรวมไปหารตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนาม เชน

2x y4x + เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จแลว แตอาจมีนักเรียนเขาใจผิดและทอนตอ

ไปอีกไดเปน 2x y4x + = 2 + y ซ่ึงเปนวิธีการที่ผิด ดังนั้นครูจะตองย้ําใหนักเรียนเห็นวาพหุนามที่เปน

ตัวหารจะตองเปนตัวคูณรวมของตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนามนั้น เชน x + 3 ใน

2

1

22

3) x(x )3)(x (x 2

++ − 1 เมื่อนํา x + 3 ไปหารทั้งตัวเศษและตัวสวนแลวจะได x

x 2 1 −

4. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.4 ก และ 2.4 ข ใหนกัเรยีนฝกทกัษะในเรือ่งเหลานีเ้พิม่เตมิได

2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาผลคูณของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได 2. หาผลหารของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูยกตวัอยางการคณูเศษสวนของพหนุามดงัตวัอยาง แตอาจแบงใหตวัอยางและใหแบบฝกหดัเปน 2 ช่ัวโมง ไดตามความยากงายของโจทยและใหเหมาะสมตามระดับความสามารถของนักเรียน 2. ในการเขียนคําตอบถึงแมไมมีคําสั่งใหทําเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูก็ควรให

นักเรียนเขียนคําตอบเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ เชน 3 −+

x 1) 2x(x หรือ 3 −

+x

2x 2x 2 ก็ได

3. การสอนในเรื่องการหารเศษสวนของพหุนาม อาจดําเนินการในทํานองเดียวกันกับการคูณเศษสวนของพหุนามและอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5 เพื่อฝกทักษะการคูณ การหารเศษสวนของพหุนามและการนําไปใช

1

1

23

2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลบวกและผลลบของเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนการบวกและการลบเศษสวนที่ตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มกอนเพื่อใหนักเรียนไดเห็นวาการบวกและการลบเศษสวนของพหุนามจะที่เรียนตอไปนั้นมีวิธีการบวกและลบในทํานองเดียวกัน 2. ในกรณีที่พหุนามตัวสวนไมเทากัน ครูควรใหนักเรียนทําพหุนามตัวสวนใหเทากันโดยหาพหุนามมาคูณทั้งพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวน ไมควรบอกวาใหหา ค.ร.น. เพราะบทเรียนที่ผานมาไมเคยกลาวถึงการหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของพหุนาม 3. ครูควรสอนการบวกเศษสวนของพหุนามและใหทําแบบฝกหัดการบวกกอนจึงสอนการลบเศษสวนของพหุนาม ทั้งนี้เพราะเรื่องการลบพหุนามนักเรียนตองใชความรอบคอบในการถอดวงเล็บซึ่งอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายทําใหยุงยากขึ้น สําหรับการเขียนผลลัพธที่ไดจากการบวกหรือการลบเศษสวนของพหุนามนั้น ก็ควรใหนักเรียนทําใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จเชนกัน สําหรับนักเรียนระดับชั้นนี้ยอมใหเขียนคําตอบอยูในรูปการคูณของพหุนามไดดังเชนตัวอยางที่ 4 4. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6 เพื่อเสริมทักษะการบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม 5. สําหรับกรอบความรูเร่ือง แบบรูปกับพหุนาม ในตอนทายของบทเรียนนี้มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นแบบรูปของจํานวนที่สามารถนําไปหาขอสรุปในรูปทั่วไปซึ่งเปนพหุนามที่ใชตัวแปร นอกจากนั้นยังตองการเชื่อมโยงความรูเดิมของนักเรียนเกี่ยวกับการหาผลบวกของจํานวนนับที่มีรูปแบบดังเชน1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 ซ่ึงนักเรียนเคยหาโดยวิธีการจับคูมา แตยังไมเคยทราบมากอนวาสามารถหา

ผลบวกจํานวนนับตั้งแต 1 ถึง n ไดจากสูตร 21) n(n + เมื่อ n แทนจํานวนนับใด ๆ

24

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1) x2 + 9x – 5 และ 3x2 –3x –5 2) -4x2 + 5x – 3 และ 10x2 + 5x – 5

3) 7x2 + 5x + 9 และ -x2 – 9x +3 4) x2 + 3y2 + 3x + y และ x2 + 3y2 – 3x – y 5) 6xz + 6x - 6z2 และ 8xz – 4x + 6z2

6) y2z + 8y2 + yz และ 7y2z – yz – 6y2

7) -xy2 + 8x3 – 12x2y + 3y2 และ -xy2 + 6x3 – 8x2y – 3y2

8) 5x3 – 4x2 – 4x – 6 และ 13x3 – 6x2 + 4x –10 9) -6x3+ 4x2 + 8x – 3 และ 8x3 – 8x2 – 2x – 5 10) 2x3 + 6xy2 และ 6x2y + 2y3

2. 1) -24x + 3x2 2) 36x3 – 28x 3) 10x3 – 6x 4) 11x3 + 77x2

5) 18x – 30x2 – 42x3 6) x4 + x3 + x2

7) -16x3 + 18x4 8) 45x5 – 20x3

9) -14x5 + 13x4 10) 3x5 – 12x4 + 9x3 – 3x2

3. 1) 7 + 5x – x2 2) -9x2 + 6x + 5

3) -2x2 + 5x 4) -5 + 3x 5) -2x2 + 5x + 6 6) -3x3 – 7x2 – 7x 7) 7x2 – 10x + 5 8) 4x2y2 – 3x2y + 6x – 1

25

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. 1) x2 + 9x + 18 2) x2 + x – 2

3) x2 – 8x + 15 4) x2 + x – 6 5) x2 + 6x + 9 6) x2 – 1 7) x2 – 25 8) 2x2 – 5x + 2 9) 2x2 + 9x – 5 10) 6x2 + 11x + 3 11) 6x2 – 7x – 3 12) -15x2 + 7x + 2 13) -8y2 + 26y – 21 14) 7x3 + 14x2 + 4x + 8 15) x3 – x2 – x + 1 16) x3 – 3x2 + 3x – 1

17) 4x3 – 6x2 + 2x – 3 18) 12x3 – 36x2+ 27x

2. 1) 72x2 – 133x + 26 2) -30x3 + 84x2 – 70x + 196 3) -40x3 – 32x2 + 42x 4) 6x3 – 2x2 –38x – 30

5) -40x4 + 32x3+ 65x2 –52x 6) 3x4 + 26x2 – 40 7) -40x4 + 126x2 – 72 8) 18x4 + 65x2 + 7

9) 12x4 + 17x3 +6x2 10) x4 – x2

11) 42x4 – 20x3 – 150x2 12) 2x4 – 2x3 –x2 – x – 1 13) -11x4 –3x3 +83x2 +24x + 40 14) -4x4 + 51x3 – 122x2 + 91x – 8 15) -2y4 – 28y3 – 49y2 – 5y + 84 16) 3x5 + x3 – 3x2 – 1 17) 27x5 + 6x3 + 3x 18) x5 – x3 – x2 + 1

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข

1. 1) x2y + 5y 2) -2x2y + 6xy

3) 6x2y + 3xy2 4) 40x2y3 – 30x3y2

5) -2y2z + 2yz2 –8z3 6) -9y3z3 + 7y3z2 + 2y2 z3

7) 7x2 – 54y2 – 33xy 8) 60y4 – 120y3z + 55y – 110z 9) 14xy2 – 14x3 – 3xy3 + 3x3y 10) 20xy3 – x3y – 8x2y2

11) -44x3z+32x2z+66x2z2–64xz2+24z3 12) -27x4 – 36x3y –4xy3 + 42x2y2 + 5y4

26

13) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 14) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

15) x3 + y3 16) x3 – y3

คําตอบกิจกรรม “คิด” 1 : 14 แนวคิด พื้นที่ของสวนที่แรเงา เทากับ [ 2

1 (15x × 10y) – 21 (10x × 8y) – (10x × 2y) – 2

1 (5x × 2y)]

= 75xy – 40xy – 20xy – 5xy = 10xy

จะได แรเงาสวนที่ไมพื้นที่ของงาสวนที่แรเพื้นที่ของ = 140xy

10xy

= 141

คําตอบแบบฝกหัด 2.3

1. 1) -2 2) 3 เศษ 2 3) x – 2 4) x + 3 เศษ 36 5) 3x 6) 4x + 5 7) 4x – 2 เศษ 23 8) -3x + 8 9) 6x – 7 10) 4 เศษ -3x – 6 11) y2 – 5y + 3 12) 3y2 + 12y + 3 เศษ -40 13) 2x2 – 3x + 1 14) y2 + 2y – 1 เศษ -5 15) y2 – y + 1 เศษ -2 16) 4x2 – x + 6

17) 4y + 3 เศษ 3y + 8 18) 9y – 5 เศษ -2y + 19 19) -6x + 7 เศษ 9x + 4 20) 10x2 – 13x – 5 เศษ 16x + 4

2. 1) C = x – 2 D = 6x + 4 2) C = 5x2 – 6x + 7 D = 0 3) C = 4y + 6 D = 2y – 1 4) C = y + 5 D = -y + 6

27

3. 1) A = 5x3 – x2 + 16x + 14 2) A = -2x4 + 13x3 – 25x2 + 59x – 45 3) A = 24x4 + 32x3 – 6x2 + 9x – 1 4) A = -15x4 + x3 + 53x2 + 7x – 29

4. 1) ถูก 2) ผิด

3) ผิด 4) ผิด

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” A = x3 + 5x – 2 B = x3 – x2

C = x2 + 5x – 2 D = x2 – x E = 6x – 2 F = 6x – 6

คําตอบแบบฝกหัด 2.5

1.

1) 56x 2

2) -3

3

y4x

3) - 20ca 2

4) x

5) 5 −+

3x 5 2x 6) 7

2

7) 1 ++

x x 3x 2

8) 3y

9) 235x

1 10) y y2

2−

−6y

28

2.

1) 2ab1 2) 3y

10x

3) - 53 4)

3x3

5) 2x2 + 1 6) 3 y −3y

7) 1) 4(x 3

−

− )3x(x หรือ 4 4x

−

− 9x 3x 2 8) -8

9) (x + 1)(x – 1) หรือ x2 – 1 10) (x + 3)(x – 3) หรือ x2 –9

คําตอบแบบฝกหัด 2.6

1. 2x 2. x1

3. 103x 1 − 4. x

2

5. 1528x − 6. 1

7. 1 8. 5

9. 1 10. 6b13

11. 8x7- 12. 2xy

yx 2 2 +

13. 68x − 14. )2(x

17x 1 −

−

15. 1)5(x 3 5x 17x 2

−

− + หรือ 55x 3 5x 17x 2

−

− + 16. 25 26−5x

-

17. 6) 4)(x (x 7x

−

−−

+4 x 2

หรือ 242x x7x

2

−−

−− 4 x 218. 8

5

19. 3)12(x28x 2

15x

+− หรือ 3612x

28x 2

15x

+− 20. 1x

2x 2

3 x

−−−

29

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

30

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใชในเรื่องพื้นที่

กําหนดให รูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละรูปมีขนาดความยาวของดาน ดังนี้

ใหนักเรียนเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ โดยพิจารณาจากรูปที่กําหนดให1. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) AD ยาวเทากับ…………หนวย [x + 1 หนวย]2) AB ยาวเทากับ………….หนวย [x + 2 หนวย]

3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เทากับ………….หนวย [2(x + 1) + 2(x + 2) = 4x + 6 หนวย] 4) พื้นที่ของ ABCD เขียนในรูปการคูณของความยาวของดานไดเปน……….. [(x + 1)(x + 2) ตารางหนวย] 5) พื้นที่ของ ABCD เทากับ……………..ตารางหนวย [x2 + 3x + 2 ตารางหนวย] 6) ถาแทน x ดวย 7 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด [72 ตารางหนวย]

2. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส

1) PQ ยาวเทากับ…………..หนวย [x + y หนวย]2) PS ยาวเทากับ…………...หนวย [x + y หนวย]

3) ความยาวรอบรูปของ PQRS เทากับ…………….หนวย [4x + 4y หนวย] 4) พื้นที่ของ PQRS เขียนในรูปการคูณของ ความยาวของดานไดเปน [(x + y)(x + y) ตารางหนวย] 5) พื้นที่ของ PQRS เทากับ……………ตารางหนวย [x2 + 2xy + y2 ตารางหนวย]

x

x

C

1

D

A B1

1

x

x

S R

P Qy

y

x

x

x

1

x

y

11

yy

31

6) ถาแทน x ดวย 4 และแทน y ดวย 2 พื้นที่ของ PQRS จะเปนเทาใด [36 ตารางหนวย]3. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) AB ยาวเทากับ………………หนวย [x + y หนวย] 2) AD ยาวเทากับ………………หนวย [2y + 2 หนวย] 3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เทากับ……………..หนวย [2(x + y) + 2(2y + 2) หนวย] = ……………..หนวย [2x + 6y + 4 หนวย] 4) พื้นที่ของ ABCD เทากับ…………..ตารางหนวย หรือ…………..ตารางหนวย [(x + y)(2y + 2)] หรือ [2xy + 2x + 2y2 + 2y ตารางหนวย] 5) ถาแทน x ดวย 5 และแทน y ดวย 3 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด [64 ตารางหนวย]4. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) พื้นที่ของ PQRS เทากับผลคูณของพหุนาม …………….กับ……………. [2x + 1] กับ [x + 3] 2) พื้นที่ของ PQRS เทากับ …………….ตารางหนวย [2x2 + 7x + 3 ตารางหนวย]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก

จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x – 1)(x + 1) = …………………………….. [x2 – 1] 2. (x + 1)(x – 1) = …………………………….. [x2 – 1] 3. (x – 4)(x + 4) = …………………………….. [x2 – 16] 4. (x + 4)(x – 4) = …………………………….. [x2 – 16] 5. (2x – 1)(2x + 1) = …………………………….. [4x2 – 1] 6. (2x + 1)(2x – 1) = …………………………….. [4x2 – 1] 7. (3x – 2)(3x + 2) = …………………………….. [9x2 – 4]

x C

y

y

B1

D

A

1

y

x

Rx

P Q

1S

x

11

32

8. (3x + 2)(3x – 2) = …………………………….. [9x2 – 4] 9. (x – y)(x + y) = …………………………….. [x2 – y2]10. (x + y)(x – y) = …………………………….. [x2 – y2]11. (x + 1)(x + 1) = …………………………….. [x2 + 2x + 1]12. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 6x + 9]13. (x + 5)(x + 5) = …………………………….. [x2 + 10x + 25]14. (2x – 3)(2x – 3) = …………………………….. [4x2 – 12x + 9]15. (1 + 3x)(1 + 3x) = …………………………….. [1 + 6x + 9x2]16. (5 – 2x)(5 – 2x) = …………………………….. [25 – 20x + 4x2]17. (x + 2)2 = …………………………….. [x2 + 4x + 4]18. (3x – 1)2 = …………………………….. [9x2 – 6x + 1]19. (x – y) 2 = …………………………….. [x2 – 2xy + y2]20. (x + y) 2 = …………………………….. [x2 + 2xy + y2]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ข

จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x + 2)(x + 3) = …………………………….. [x2 + 5x + 6] 2. (x – 2)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 5x + 6] 3. (x – 2)(x + 3) = …………………………….. [x2 + x – 6] 4. (x + 2)(x – 3) = …………………………….. [x2 – x – 6] 5. (x + 3)(x + 3) = …………………………….. [x2 + 6x + 9] 6. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 6x + 9] 7. (x – 3)(x + 3) = …………………………….. [x2 – 9] 8. (x + 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 9] 9. (x + 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2 + 11x + 5]10. (x – 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2 – 11x + 5]11. (x – 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2 – 9x – 5]12. (x + 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2 + 9x – 5]13. (3x + 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2 + 14x + 8]14. (3x – 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2 – 14x + 8]15. (3x – 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2 + 10x – 8]

33

16. (3x + 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2 – 10x – 8]17. (2x + 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2 + 7x + 2]18. (2x – 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2 – 7x + 2]19. (2x – 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2 + x – 2]20. (2x + 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2 – x – 2]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ค

1. จงหาผลลัพธตอไปนี้ 1) (7x + 3) – (3x – x2) + (5x + 3x2) [4x2 + 9x + 3] 2) (7x2 + 1) + (7x + 1) – (2x2 + 8) [5x2 + 7x – 6]

3) (4x + 3) – (5x + 7) – (6x2 + 1) [-6x2 – x – 5]4) (4x2 + 1) – (8x – 1) + (x2 + 5) [5x2 – 8x + 7]5) 5x(x2 + 1) + 2x(3x2 + 3) – (x – 1) [11x3 + 10x + 1]

2. จงหาผลลัพธตอไปนี้ 1) 7x(x – 1) + (x + 1)2 [8x2 – 5x + 1]

2) (x)(x2 + 1) – (9x + 6)(x – 1) [x3 – 9x2 + 4x + 6] 3) (2x2 + 5x + 9) – 9(x + 1)2 [-7x2 – 13x]

4) 2x(x2 + 3) + (x + 5)2(3 – 4x) [-2x3 – 37x2– 64x + 75]5) 3x(3x2 + 2x + 2) – (x2 – 3x + 4) – (x – 1) [9x3 + 5x2+ 8x – 3]

3. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมคางหมูมีดานคูขนานยาว 5x + 1 เมตร และ 9x + 4 เมตร สูง 2x เมตร จงหาพื้นที่ของ ABCD [14x2 + 5x ตารางเมตร]

4. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีดานยาว 4x + 1 หนวย ถาตัดมุมแตละมุมเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาที่ กวาง x – 1 หนวย และ ยาว x + 2 หนวย จะเหลือพื้นที่อยูเทาใด [12x2 + 4x + 9 ตารางหนวย]

4x + 1

x + 2x – 1

D C

A B

4x + 1

34

5. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาที่เกิดจากการตัดพื้นที่มุมเปนรูปสี่เหล่ียม ผืนผาตามความยาวของแตละดานที่กําหนดใหดังรูป [15x2 – 3x – 8 ตารางหนวย]

6. ถังน้ําทรงลูกบาศกขนาดภายในแตละดานกวาง 3x + 4 เซนติเมตร ใสน้ําไวต่ํากวาขอบ x – 3 เซนติเมตร น้ําในถังมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร [18x3 + 111x2 + 200x + 112 ลูกบาศกเซนติเมตร]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3

จงหาผลหารของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x2 + 4x + 3) ÷(x + 1) = …………………………….. [x + 3] 2. (x2 – 4x + 3) ÷(x – 1) = …………………………….. [x – 3] 3. (x2 – 2x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [x + 1] 4. (x2 + 2x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [x – 1] 5. (x2 + 10x + 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x + 5] 6. (x2 – 10x + 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x – 5] 7. (x2 – 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x – 5] 8. (x2 – 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x + 5] 9. (2x2 + 7x + 6) ÷(2x + 3) = …………………………….. [x + 2]10. (2x2 – 7x + 6) ÷(2x – 3) = …………………………….. [x – 2]11. (2x2 + x – 6) ÷(x + 2) = …………………………….. [2x – 3]12. (2x2 – x – 6) ÷(x – 2) = …………………………….. [2x + 3]13. (3x2 + 10x + 3) ÷(3x + 1) = …………………………….. [x + 3]14. (3x2 – 10x + 3) ÷(3x – 1) = …………………………….. [x – 3]15. (3x2 – 8x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [3x + 1]

3x

3x4x

2

CD

A 4 B

35

16. (3x2 + 8x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [3x – 1]17. (6x2 + 11x + 4) ÷(2x + 1) = …………………………….. [3x + 4]18. (6x2 – 11x + 4) ÷(2x – 1) = …………………………….. [3x – 4]19. (6x2 – 5x – 4) ÷(3x – 4) = …………………………….. [2x + 1]20. (6x2 + 5x – 4) ÷(3x + 4) = …………………………….. [2x – 1]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก

จงใชสมบัติการแจกแจงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปการคูณของเอกนามกับพหุนาม หรือพหุนามกับเอกนาม ตัวอยาง 5x – 25 = 5(x – 5) หรือ (x – 5)(5) 1. 3x + 27 [3(x + 9) หรือ (x + 9)(3)] 2. 14x – 28y [14(x – 2y) หรือ (x – 2y)(14)] 3. 6x – 2y [2(3x – y) หรือ (3x – y)(2)] 4. 3y + 9xy [3y(1 + 3x) หรือ (1 + 3x)3y] 5. -x2 + x [(-x)(x – 1) หรือ (x – 1)(-x)] 6. 10x2 – 35 [5(2x2 – 7) หรือ (2x2 – 7)(5)] 7. 4x2 + 2x [2x(2x + 1) หรือ (2x + 1)(2x)] 8. x2 + 8x3y [x2(1+ 8xy) หรือ (1 + 8xy)x2] 9. -20x2 – 40x [(-20x)(x + 2) หรือ (x + 2)(-20x)]10. 2x2y – 16x2 [2x2(y – 8) หรือ (y – 8)(2x2)]11. 3x2y3 + x3y [x2y(3y2 + x) หรือ (3y2+ x)(x2y)]12. 15x3y2 – 5x2y2 [5x2y2 (3x – 1) หรือ (3x – 1)(5x2y2)]13. 3x2 – 6x + 12 [3(x2 – 2x + 4) หรือ (x2 – 2x + 4)(3)]14. 7y3 + 21y2 – 14y [7y(y2 + 3y – 2) หรือ (y2 + 3y – 2)(7y)]15. 2x2y + 5xy2 – xy [xy(2x + 5y – 1) หรือ (2x + 5y – 1)xy]

36

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ข

จงทําเศษสวนของพหุนามตอไปนี้เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ 1) 2 x

4 2x ++ [2]

2) 4x 210x 5

−

− [ 25 ]

3) 2x 14 7) 2(x

++ [1]

4) x x

x2

2

−

[ 1 x x−

]

5) 14 2x 7) 2x(x

++ [x]

6) 3y x 15y 5x

−

− [5]

7) 1) (x xy xy y x 2

−

− [1]

8) 6x 6x1) 3(x

3

2

+

+ [ 2x 1 ]

9) 2

2

2x 10y20y 4x

+

+ [2]

10) )2

2

22

x 5y 1)( (3x 25y 5x-

−+

+ [ 1 3x 5+

]

37

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5

1. จงหาผลคูณของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้ 1) 3

1 x − × 1 −+

x 1 x [ 3

1 x + ]

2) 1 2x 5 x +− × 5 −x

7 [ 1 +2x7 ]

3) 33 2x + × 12 8x

3 x +− [ 12

3 x − ]

4) 2x4 x − × 8 2x −

y3x 4 [ 2

y3x 2]

5) 2 x 7y-+

× 314y-4 2x + [

2y1 ]

2. จงหาผลหารของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้

1) 10y 4x 1) (x 2

−

+ ÷ 5y 2x −+1 x [ 2

1 x + ]

2) (x – 3)2 ÷ 1 x 3 x

+− (x – 3)(x + 1) หรือ x2 – 2x – 3

3) 52x 1− ÷

210x-10x 5 − [ 5

2x- 2]

4) 1 x 2x x 2

+−− 3 ÷ 1 −

−

2x 3 x [2x – 1]

5) 6 7x ++

+22x

4 2x ÷ 3 2x 2 x +− [ 2 −x

2 ]

3. ลูกตะกั่วทรงลูกบาศกมีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน x – 2 หนวย ถาตองการนําลูกตะกั่ว ดังกลาวมาหลอมเพื่อทําเปนตะกั่วทรงลูกบาศกลูกใหญที่มีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน 2x – 4 หนวย จะตองใชลูกตะกั่วทั้งหมดกี่ลูก (8 ลูก)4. เหล็กแทงทรงสี่เหล่ียมมุมฉากกวาง 2x2 + 2x หนวย ยาว 4x3 + 4x2 หนวย สูง 3x + 3 หนวย เมื่อนํา เหล็กมาหลอมแลวทําเปนลูกบาศกเล็ก ๆ ที่มีความยาวของแตละดานเปน x2 + x หนวย จะไดลูกบาศก ทั้งหมดกี่ลูก (24 ลูก)

38

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6

จงหาผลลัพธของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้

1. 3xx 2

+ x1 [ 3x

3 x 2 + ]

2. x – x1 [ x

1 x 2− ]

3. x4 –

2x2x [ x

2 ]

4. 2x

x 1 − + 2x3 [

22x5x 2 − ]

5. 3 z 6 − + z

4 [ 3z12 6z z 2 +− ]

6. 2yy 5 − + 3

2y [ 6y15 3y 4y 2

−+ ]

7. xx 3 + – 3x

1 2x + [ 3x8 x + ]

8. 1 2x 2 4x

++ – x

3 [ x3 2x − ]

9. 2x y− + yx

x2

++ xy [ 2

y 3x − ]

10. 2y 2x y))(x y(x

−

− + – 2x y+ [0]

11. yx 3−

+ yx 4+

[22 y x

y 7x −

− ]

12. 2 3x 4x 6x 2

−− – 2

1 2x − [ 21 2x + ]

13. 52y – 2y

y 1 + + y5 [ 10y

45 5y 4y 2 +− ]

14. 43x – 2

2x – x5 [ 4x

20 2x x 34−− ]

15. 22x 1 − – 3x

1 + 3x 1 + [ 6x

8x 2 2 x −− ]

บทที่ 3การประยุกตเก่ียวกับอัตราสวนและรอยละ (16 ช่ัวโมง)

3.1 อัตราสวน (4 ช่ัวโมง) 3.2 รอยละ (5 ช่ัวโมง) 3.3 การประยุกตเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ (7 ช่ัวโมง)

นักเรียนมีพื้นฐานความรูเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละมาแลวจากบทที่ 1 ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เนื้อหาในตอนตนเปนการทบทวนความรูเดิมที่เกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ แลวจึงขยายใหเห็นการนําอัตราสวนและรอยละไปใชแกโจทยปญหาที่ซับซอนขึ้น พรอมทั้งใหเห็นประโยชนที่นําไปใชในสวนของการประยุกต รูปแบบการนําเสนอเนื้อหาสาระในบทนี้มีทั้งที่เปนเนื้อหาโดยตรงและเปนกิจกรรม ลักษณะของกิจกรรมจะเนนทักษะการคิดคํานวณและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ครูควรใหนักเรียนไดปฏิบัติจริงและมีการอภิปรายรวมกันภายในกลุมเพื่อใหนักเรียนไดหาขอสรุปรวมกัน เนื้อหาสาระในหัวขอ 3.1 และหัวขอ 3.2 สวนใหญเปนเนื้อหาที่ซับซอน ครูควรเลือกสอนใหเหมาะสมกับพื้นฐานความรูและความพรอมของนักเรียน ควรจัดเวลาสําหรับนักเรียนทําแบบฝกหัดใหเหมาะสม สําหรับเนื้อหาสาระในหัวขอ 3.3 ครูควรจัดใหนักเรียนทุกคนไดเรียน เพื่อใหเห็นประโยชนที่นําความรูเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละไปใชในงานตาง ๆ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. ใชความรูเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละแกปญหาหรือสถานการณตาง ๆ ได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

40

แนวทางในการจัดการเรียนรู

3.1 อัตราสวน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจใชการถามตอบเพื่อทบทวนเกี่ยวกับอัตราสวน เชน ความหมายและสัญลักษณ แลวใหนักเรียนยกตัวอยางอัตราสวนที่ใชในชีวิตประจําวัน 2. สําหรับกิจกรรม “คิดอยางไร” ครูควรใหนักเรียนทําในชั้นเรียน เพื่อทบทวนเกี่ยวกับอัตราสวน โดยใหนักเรียนใชความรูสึกเชิงจํานวนมาวิเคราะหสถานการณตาง ๆ ครูอาจยกสถานการณเพิ่มเติม หรืออาจใหนักเรียนยกสถานการณแลวอภิปรายรวมกัน 3. สําหรับตัวอยางที่ 2 และตัวอยางที่ 3 ครูควรย้ําใหนักเรียนสังเกตเกี่ยวกับลําดับของจํานวนในสัดสวน เพื่อใหแนใจวาเปนอัตราที่เทากัน 4. สําหรับแบบฝกหัด 3.1 ก มีเจตนาใหนักเรียนไดทบทวนการหาคาของตัวแปรในสัดสวนและแกโจทยปญหาโดยใชสัดสวนตามความรูเดิม เพื่อใหนักเรียนมีความพรอมและมีพื้นฐานเพียงพอกอนทําโจทยปญหาที่ซับซอนขึ้น 5. สาระในหนังสือเรียนหนา 83 เปนสาระสําคัญที่นักเรียนทุกคนจะตองเขาใจเพื่อมีความคิดรวบยอดที่ถูกตองเกี่ยวกับอัตราสวน ครูควรอธิบายใหนักเรียนมีความเขาใจในเรื่องนี้กอน และอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมอีก สําหรับตัวอยางที่ 4 ตัวอยางที่ 5 และแบบฝกหัด 3.1 ข ครูอาจเลือกปฏิบัติดังนี้ 1) ถาครูเห็นวานักเรียนไมมีความพรอมที่จะเรียน อาจไมตองสอนและไมตองทําแบบฝกหัด 3.1 ข 2) ถาครูเห็นวานักเรียนมีความพรอมเพียงพอ หลังจากใหนักเรียนทําความเขาใจตัวอยางในหนังสือเรียนแลว ครูอาจเลือกแบบฝกหัด 3.1 ข บางขอใหนักเรียนชวยกันคิดเปนกลุมและนําเสนอแนวคิดรวมกันในชั้นเรียน 6. สําหรับกิจกรรม “ผิดตรงไหน” เสนอไวเปนตัวอยางของปญหาที่ตองการใหนักเรียนระมัดระวังในการนําสัดสวนมาแกโจทยปญหา ครูควรอธิบายใหนักเรียนเขาใจวาโจทยปญหานี้ไมสามารถนํา 42

x และ 2836 มาเขียนเปนสัดสวนได เพราะวาอัตราสวนทั้งสองไมใชอัตราสวนที่เทากัน เนื่องจาก

ผิดจากความเปนจริง คือ ถามีจํานวนคนงานกินขาวเพิ่มขึ้นจํานวนวันที่กินขาวนั้นจะนอยลง แตอัตราสวน

41

ที่จุกเขยีนมานัน้มคีวามหมายวา ถามจีาํนวนคนงานกนิขาวเพิม่ขึน้จาํนวนวนัทีก่นิขาวนัน้จะเพิม่ขึน้ดวย จากกจิกรรมนี้ครูจึงพึงระมัดระวังในการใหโจทยปญหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัดสวน ที่ในการหาคําตอบ จะตองตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ

3.2 รอยละ (5 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนดวยการสนทนาใหเห็นความสําคัญของรอยละตามที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 89 โดยอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมดวยก็ได และเพื่อใหนักเรียนเห็นประโยชนของการใชรอยละในชีวิตประจําวัน ครูอาจนํากลองหรือขวดบรรจุภัณฑอาหารสําเร็จรูปตาง ๆ ใหนักเรียนศึกษาและอภิปรายรวมกันวารอยละในขอมูลโภชนาการเกี่ยวกับอาหารเหลานั้น ใหขอมูลที่เปนประโยชนตอผูบริโภคอยางใดบาง เชน อาหารบางชนิดมีรอยละของแคลเซียมสูงในหนึ่งหนวยบริโภค จึงเหมาะสําหรับเด็กที่อยูในวัยเจริญเติบโตซึ่งควรรับประทานอาหารที่มีปริมาณของแคลเซียมมากเปนพิเศษ หรืออาจใหนักเรียนพิจารณาวาอาหารที่มีรอยละของไขมันสูงในหนึ่งหนวยบริโภคนั้น เหมาะสมกับนักเรียนที่จะเลือกรับประทานหรือไม ครูอาจนําบทความซึ่งเกี่ยวของกับรอยละที่ปรากฏในสื่อตาง ๆ มาใหนักเรียนพิจารณาวาเปนรอยละของจํานวนใด การแกปญหาที่เกี่ยวของกับรอยละนั้นตองใชการคํานวณในลักษณะใด เชนในปริมาณอาหาร 200 มิลลิกรัมมีขอมูลบงวามีไขมัน 10% จากขอมูลนี้นักเรียนมีความเขาใจวาอยางไร 2. สําหรับกิจกรรม “ยังตอบไดหรือไม” มีเจตนาเพื่อทบทวนการนําสัดสวนมาคํานวณเกี่ยวกับรอยละในทั้งสามลักษณะใหเขาใจอยางถองแท ตามที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 91 กอนที่จะสอนเรื่องรอยละที่มีความซับซอนขึ้นตอไป 3. สําหรับโจทยปญหาเกี่ยวกับของผสม ครูอาจเลือกปฏิบัติดังนี้ 1) สําหรับนักเรียนที่ยังไมพรอมจะเรียน ครูควรใหนักเรียนฝกทักษะการคิดคํานวณโจทยรอยละในสามลักษณะเพิ่มเติม และไมตองทําแบบฝกหัด 3.2 2) สําหรับนักเรียนที่มีความพรอม ครูควรบอกความหมายและยกตัวอยางของผสมกอนที่ครูจะใหตัวอยางการใชรอยละแกโจทยปญหาเกี่ยวกับของผสม สําหรับตัวอยางที่ 1 หนา 93 นําเสนอไว ไดเลือกใชสัดสวนที่สะดวกและรวดเร็วในการคิดคํานวณ ครูอาจเขียนสัดสวนในตัวอยางนี้เปนอยางอื่นได เชน 100

28 = 600x 700700+ ครูควรให

42

นักเรียนพิจารณาเปรียบเทียบกับสัดสวนที่แสดงไวในตัวอยางวา การคํานวณหาคาของตัวแปรในสัดสวนนี้มีความยุงยากมากกวาหรือไม อยางไร ตอจากนั้นครูควรแนะนํานักเรียนวา ในการทําโจทยใหพยายามเขียนสัดสวนที่งายและสะดวกในการคํานวณ ในตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 3 ไดเขียนสัดสวนหรือสมการโดยใชตัวแปรหนึ่งตัว แตตัวอยางที่ 4 ไดเขียนสัดสวนโดยใชตัวแปรสองตัว ทั้งนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาเราสามารถหาอัตราสวนที่แสดงการเปรียบเทียบตัวแปรทั้งสองไดโดยไมตองทราบคาที่แทจริงของตัวแปรทั้งสองนั้น การหา x : yโดยวิธีที่แสดงไวนาจะเปนไปตามหลักการของอัตราสวนมากกวาการหาโดยใชตัวแปรเพียงหนึ่งตัว 4. สําหรับกิจกรรม “หาไดไหม” มีเจตนาใหเห็นการเชื่อมโยงความรูเร่ืองอัตราสวนและรอยละที่นําไปใชในทางเรขาคณิต นักเรียนควรสังเกตเห็นวาอัตราสวนของพื้นที่ของ ∆ AEF ตอพื้นที่ของ∆ ABC ไมเทากับ 1 ตอ 2 เชนเดียวกับอัตราสวนของความยาวของดาน แตจะมีอัตราสวน เปน 1 ตอ 4 5. กิจกรรม “เทแลวเติม – เติมแลวเท” มีแบบรูปของปริมาณน้ําหวาน เปนแบบรูปในทํานองเดียวกันกับแบบรูปของปริมาณยาในรางกายตามกิจกรรม “นารู” ในเรื่องสมบัติของเลขยกกําลัง หนา 12ครูควรสังเกตไดวากิจกรรมที่มีแบบรูปในการคิดแกปญหาแบบเดียวกัน อาจสรางโจทยปญหาดวยสถานการณตาง ๆ กัน ครูอาจหาโจทยทํานองนี้เพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นความหลากหลายในการนําไปใช

6. สําหรับกจิกรรม “เปนอตัราสวนเทาใด” มเีจตนาใหเหน็โจทยปญหาระคนของเรือ่งอตัราสวนและรอยละที่ตองแกปญหาดวยการแจงนับตามกรณี และตองการใหเห็นวาคําตอบของปญหานี้มีไดหลายคําตอบ

3.3 การประยุกตของอัตราสวนและรอยละ (7 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. ใชอัตราสวนและรอยละแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. กิจกรรม “เปลี่ยนหนวยอุณหภูมิ” เปนตัวอยางหนึ่งที่ตองการแสดงใหนักเรียนเห็นการนําสัดสวนมาใชเพื่อหาความสัมพันธระหวางอุณหภูมิในระบบองศาเซลเซียสกับระบบองศาฟาเรนไฮต ครูอาจนําสนทนาเกี่ยวกับการพยากรณอากาศและรายงานภูมิอากาศในตางประเทศ ซ่ึงบางประเทศจะรายงานอุณหภูมิในระบบอาศาฟาเรนไฮต เชน สหรัฐอเมริกา ครูอาจนําเทอรโมมิเตอรที่บอกอุณหภูมิทั้งสองระบบใหนักเรียนดู และใหอานอุณหภูมิ ณเวลานั้นในทั้งสองระบบ เพื่อเปนขอมูลสําหรับการตรวจสอบการคํานวณโดยใชสูตรที่จะเรียนตอไป

43

ครูอาจใชการถามตอบประกอบคําอธิบายเพื่อใหนักเรียนไดขอสรุปวา อัตราสวนของจํานวนชองในระบบองศาเซลเซียสตอจํานวนชองในระบบองศาฟาเรนไฮตเทากับ 100 : 180 จนกระทั่งไดความสัมพันธเปน 5

C = 932 F − ซ่ึงเปนสูตรที่ใชไดไมวา C หรือ F จะแทนอุณหภูมิที่เปนบวกหรือลบ

ก็ตาม2. กิจกรรม “อัตราทดของเกียร” เปนอีกตัวอยางหนึ่งที่แสดงใหนักเรียนเห็นการนําอัตราสวน

มาใชในการบอกลักษณะเฉพาะและคิดคํานวณเกี่ยวกับจักรกล ครูอาจนําสนทนาเกี่ยวกับระบบเกียรของรถจักรยานยนตหรือรถยนต หรืออาจใหนักเรียนไปศึกษาเรียนรูที่แหลงการเรียนรูในทองถ่ิน เชน อูซอมรถใกลโรงเรียน ถาไมสะดวกครอูาจนาํรูปเกยีรของรถประเภทตาง ๆ ใหนกัเรยีนดปูระกอบคําอธิบาย 3. สําหรับกิจกรรม “มาตราสวน” ในสวนที่ใชในเครื่องถายเอกสารหรือคอมพิวเตอร ครูควรใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับขนาดสําเนา 100% วา หมายถึง การทําใหความยาวของทุกสวนในสําเนาเทากับความยาวของสวนที่สมนัยกันของรูปตนแบบ หรืออาจกลาวไดวารูปที่ไดในสําเนากับรูปตนแบบนั้นเทากันทุกประการ ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 เพื่อเสริมทักษะการคิดคํานวณเกี่ยวกับมาตราสวนใหกับนักเรียน 4. สําหรับกิจกรรม “ยอมุมและขยายมุม” ถามีเครื่องถายเอกสารครอูาจใหนกัเรยีนเขียนสวนของเสนตรง มุม และรูปเหล่ียมตาง ๆ พรอมทั้งกําหนดรอยละของการยอหรือการขยาย แลวใหนักเรียนปฏิบัติจริงเพื่อตรวจสอบวามีผลเปนไปตามบทเรียนหนา 108 – 110

5. สําหรับกจิกรรม “ไมบรรทดัมาตราสวน” มเีจตนาใหนกัเรยีนเหน็เครือ่งมอืทีอํ่านวยความสะดวกในการใชมาตราสวนกบังานชาง ครูอาจนาํสนทนาเกีย่วกบัอปุกรณหรือเครือ่งมอืทีช่างเขยีนแบบ ชางไมหรือชางกอสรางใชในการเขียนแบบ วามีเครื่องมืออะไรที่นักเรียนทราบพรอมใหยกตัวอยาง และครูอาจนําภาพอุปกรณเหลานี้มาใหนักเรียนดูประกอบการสนทนา สําหรับไมบรรทัดมาตราสวนครูควรนําของจริงมาใหนักเรียนดู ถาไมมีไมบรรทัดมาตราสวนครูควรสรางไมบรรทัดมาตราสวน เชน ไมบรรทัดมาตราสวน 1 : 20 ที่นักเรียนสามารถคิดตามไดโดยงาย เมื่อครูใชประกอบคําอธิบายและสาธิตการใชในการอานแบบหรือเขียนแบบ ไมบรรทัดมาตราสวน 1 : 75 หรือ 1 : 125 เพื่อใหนักเรียนเห็นประโยชนของการใชไมบรรทัดมาตราสวนในการอานแบบและเขียนแบบซึ่งสามารถอานความยาวไดทันที โดยไมตองคํานวณใหยุงยาก

ครูอาจนําแผนผังของบานหรือแผนผังของหองสมุดมาประกอบการสอน ซ่ึงครูอาจใชการสาธิต การถามตอบประกอบคําอธิบาย แลวใหนักเรียนชวยกันทําแบบฝกหัดกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

44

6. สําหรับกิจกรรม “แบบจําลอง” เจตนาใหนักเรียนเห็นประโยชนของมาตราสวนยอและมาตราสวนขยายที่ชวยใหผูสรางแบบสามารถประดิษฐช้ินงานจําลองไดเหมือนของจริงแตขนาดเล็กหรือใหญกวา ครูอาจนํานักเรียนไปศึกษาการจําลองสิ่งตาง ๆ ตามแหลงการเรียนรูใกลโรงเรียน เชน ศึกษาเจดยี รูปปนบคุคลสาํคญั ศลิปวตัถุตาง ๆ เพือ่ใหนกัเรยีนหาขนาดจรงิและเมือ่กาํหนดมาตราสวนยอใหสามารถคํานวณหาขนาดของรูปจําลองที่ตองการทําได ครูอาจนําวัตถุหรือส่ิงของจําลองที่มีขายตามทองตลาดซึ่งสวนใหญจะเปนของเด็กเลนที่บรรจุในกลองและบอกมาตราสวนยอกํากับไวที่กลอง แลวใหนักเรียนคํานวณหาขนาดสวนสัดของจริง ในการศึกษาการจําลองทั้งสองลักษณะนี้ครูควรใชการถามตอบประกอบคําอธิบายไปพรอม ๆ กัน ตามสาระที่เสนอไวในกิจกรรมนี้ เพื่อใหนักเรียนมีความรู ความเขาใจชัดเจนขึ้น สําหรับสาระที่กลาวถึงเรือพระที่นั่งสุพรรณหงส ครูอาจเชื่อมโยงความรูกับวิชาภาษาไทยโดยหาบทกาพยเหเรือฉบับเต็มบทมาใหนักเรียนไดเรียนรูเกี่ยวกับขบวนเรือในพระราชพิธีเสด็จทางชลมารค ครูอาจเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการจําลองตาง ๆ ซ่ึงเปนผลิตภัณฑในทองถ่ิน เชน ตุกตาจําลองอาชีพหรือการละเลนพื้นบาน พรอมทั้งแนะนําใหนักเรียนนําความรูนี้ไปเผยแพรตอชุมชนเพื่อปรับปรุงผลิตภัณฑของทองถ่ินใหไดมาตรฐานและมีสวนสัดเหมือนจริง 7. สําหรับกิจกรรม “อัตราสวนทอง” มีเจตนาขยายความรูเพิ่มเติมจากที่นักเรียนเคยทราบมาบางแลว ครูควรทบทวนเกี่ยวกับอัตราสวนทองและรูปสี่เหล่ียมผืนผาทอง หลังจากนั้นใหนักเรียนศึกษาถึงการสรางรูปสี่เหล่ียมผืนผาทองตามที่เสนอไวในกิจกรรมนี้ และตอเนื่องไปถึงกิจกรรม “อัตราสวนทองกับลําดับฟโบนักชี” และกิจกรรม “ลองทําดู” ซ่ึงเปนกิจกรรมที่ตองการแสดงใหเห็นการประมาณอัตราสวนทองโดยใชจํานวนในลําดับฟโบนักชี ตลอดจนการนําไปใชในงานชางตาง ๆ 8. สําหรับกิจกรรม “รูปสามเหลี่ยมทอง” เสนอไวเพื่อเพิ่มเติมความรูเกี่ยวกับอัตราสวนทองในรูปอื่น ๆ นอกจากรูปสี่เหล่ียมผืนผาทอง

9. สําหรับกรอบความรู “เร่ืองของ π” เสนอไวเปนความรูแกนักเรียนใหทราบวา π เปนอัตราสวนที่รูจักกับแพรหลายมากที่สุดในทางคณิตศาสตร เปนจํานวนที่มีเสนห เปนที่สนใจของนักคณิตศาสตรมาหลายยุคหลายสมัย และมีประโยชนในการคํานวณทางคณิตศาสตร วิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ครูควรใหนักเรียนไดศึกษากรอบความรูนี้ดวยตนเอง และอาจแนะนําใหศึกษาคนควาเพิ่มเติมจากแหลงความรูอ่ืน ๆ ในรายละเอียดเกี่ยวกับประวัติของ π และเทคนิคการคํานวณหาคาของ π เปนตน

45

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม

คําตอบกิจกรรม “คิดอยางไร”สถานการณที่ 1 ครอบครัวนิติถึงบานพักกอนสถานการณที่ 2 กวยเตี๋ยวของแพรจะออกรสเค็มมากกวาสถานการณที่ 3 1) สีเขียว B 2) สีเขียว C 3) สีสม B

คําตอบแบบฝกหัด 3.1 ก

1. 1) 18 2) 5

3) 72 4) 845

5) 13.44 6) 22. ประมาณ 67 วัน3. ขาวสาร 12 กระปองและลูกเดือย 2

14 กระปอง4. พนักงานชาย 240 คน และพนักงานหญิง 96 คน5. 150 บาท6. โรงเรียนกาวหนาศึกษามีนักเรียนมาสมัคร 714 คน และโรงเรียนคณิตวิทยามีนักเรียนมาสมัคร 770 คน7. น้ําตาลแดง 3 กิโลกรัมและน้ําตาลทรายแดง 2 กิโลกรัม

คําตอบแบบฝกหัด 3.1 ข

1.

1) 536 2) 5

3) 2 4) 92. พิษณุมียอดเงินฝาก 4,200 บาท และภูวนัยมียอดเงินฝาก 3,500 บาท3. พริกปน 30 กรัม เกลือ 120 กรัม และน้ําตาล 240 กรัม

46

4. สมโชกุน 60 กิโลกรัมและลิ้นจี่ 75 กิโลกรัม5. 1) มะกรูด 210 ผล และมะนาว 280 ผล 2) 7 : 86. เงินฝากของพิมพ 5,750 บาท และเงินฝากของพลอย 8,050 บาท7. 4 : 7 : 68. ไมเปนอัตราสวนเดิม แตเปนอัตราสวน 7 : 3 : 15

คําตอบปญหา “ผิดตรงไหน”

ผิดตรงที่นํามาเขียนเปนสัดสวน 42x = 28

36 ทั้งที่ 42x ≠ 28

36

ปญหานี้คํานวณไดโดยใชสัดสวนตามแนวคิดตอไปนี้แนวคิด เนื่องจากคนงาน 28 คน กินขาวจํานวนหนึ่งไดนาน 36 วัน

ดังนั้น คนงาน 1 คน กินขาวจํานวนนั้นไดนาน 28 × 36 วันถาใหคนงาน 42 คน กินขาวจํานวนนั้นไดนาน x วันดังนั้นคนงาน 1 คน กินขาวจํานวนนั้นไดนาน 42 × x วันเขียนสัดสวนไดดังนี้ 1 : (28 × 36) = 1 : (42 × x)

จะได 1 × (42 × x) = (28 × 36) ×1 x = 42

36 28×

ดังนั้น x = 24นั่นคือ คนงาน 42 คน กินขาวไดนาน 24 วัน

คําตอบปญหา “ยังตอบไดหรือไม”

1. 323 บาท2. 4,815 บาท3. รอยละ 454. 12%5. 26,000 บาท6. 50,000 บาท

47

คําตอบแบบฝกหัด 3.2

1. 19.5 กรัม 2. 35% 3. ใชอัลลอยดชนิดแรก 3

2166 กิโลกรัม และชนิดที่สอง 3183 กิโลกรัม

4. 48 ลิตร 5. 26 ขอ 6. 7

473 % 7. 32 คะแนน 8. 40 ลิตร 9.

1) ราคาตนทุนของเสื้อ 400 บาท และราคาตนทุนของกางเกง 300 บาท 2) กําไรเฉลี่ย 7

535 %10. อัตราสวนของจํานวนลูกกวาดเคลือบช็อคโกแลตตอจํานวนลูกกวาดเคลือบน้ําตาลโดยน้ําหนัก เปน 2 : 1

คําตอบกิจกรรม “หาไดไหม”

พื้นที่ของ ∆ AEF คิดเปนรอยละ 25 ของพื้นที่ของ ∆ ABC

แนวคิดอัตราสวนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีความสัมพันธกับอัตราสวน

ของความยาวของฐานและความสูงที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปนั้นพื้นที่ของ ∆ AEF = 2

1 × AE × EF

พื้นที่ของ ∆ ABC = 21 × AB × BC

ดังนั้น ABC พื้นท่ีของAEF พื้นที่ของ

∆∆

= BC AB 2

1EF AE 2

1

××

××

= BC ABEF AE

××

48

คําตอบกิจกรรม “หาไดไหม” (ตอ)

= ABAE × BC

EF

= 21 × 2

1

= 41

ดังนั้น ABC พื้นท่ีของAEF พื้นที่ของ

∆∆

= 10025

นั่นคือ พื้นที่ของ ∆ AEF คิดเปนรอยละ 25 ของพื้นที่ของ ∆ ABC

คําตอบกิจกรรม “เทแลวเติม – เติมแลวเท”

สวนผสมในครั้งที่ 4 เปนน้ําหวานเจือจาง 416 %

แนวคิด

ในครัง้ที ่4 จะมปีรมิาณน้าํหวาน 2 21

1 - 4

×

= 2 2

13

×

ถวยตวง ในน้าํหวานผสม 4 ถวยตวง

คิดเปนน้ําหวานเจือจาง 100 4

2 21

3

×

×

= 41

6 %

คําตอบกิจกรรม “เปนอัตราสวนเทาใด”

มีคําตอบไดหลายคําตอบ ตัวอยางคําตอบอัตราสวนของจํานวนวุนมะพราวตอจํานวนแปะกวยตอจํานวนลูกพลับแหงโดย

น้ําหนัก เปน 4 : 7 : 9 และ 8 : 9 : 3แนวคิด หาตนทุนของขนมผสมจํานวน 1 กิโลกรัม

เนื่องจากขายขนมผสมกิโลกรัมละ 120 บาท ไดกําไร 20% แสดงวาขนมผสม 1 กิโลกรัมมีตนทุน 100 บาท

ใชวิธีแจงนับหาสวนผสมแตละชนิดดังนี้

49

คําตอบกิจกรรม “เปนอัตราสวนเทาใด” (ตอ)

จะไดอัตราสวนของจํานวนวุนมะพราวตอจํานวนแปะกวยตอจํานวนลูกพลับแหงโดยน้ําหนัก เปน 200 : 350 : 450 = 4 : 7 : 9 และ 400 : 450 : 150 = 8 : 9 : 3

คําตอบกิจกรรม “เปลี่ยนหนวยอุณหภูมิ”

1. 1) 77oF 2) 239oF

3) 198.5oF 4) -26.5oF2. 1) 65oC 2) 135oC

3) -25oC 4) -77.5oC

สวนผสมแบบที่ 1

วุนมะพราว 200 40 1000200 × = 8

แปะกวย 350 160 1000350 × = 56

ลูกพลับแหง 450 80 1000450 × = 36

รวม 1,000 100

ปริมาณ (กรัม) ตนทุน (บาท)

สวนผสมท่ีแบบ 2

วุนมะพราว 400 40 1000400 × = 16

แปะกวย 450 160 1000450 × = 72

ลูกพลับแหง 150 80 1000150 × = 12

รวม 1,000 100

ปริมาณ (กรัม) ตนทุน (บาท)

50

คําตอบกิจกรรม “เปลี่ยนหนวยอุณหภูมิ” (ตอ)3. 84.6 oF4. -36.4 oF5. ประมาณ -45.5oC6. 20 oC7. 122 oF

คําตอบกิจกรรม “อัตราทดของเกียร”

1. ถาอัตราทดของเกียรเปน 1 แสดงวาเมื่อเฟองขับหมุนไป 1 รอบ เฟองตามจะหมุนไป 1 รอบ เชนกัน2. 1) 1.458 2) 1.68 3) 0.8 4) 1.53. 1) 40 ซ่ี 2) 40 ซ่ี4. 1) 49 ซ่ี 2) 29 ซ่ี5. จํานวนฟนของเฟองตาม 36 และจํานวนฟนของเฟองขับ 20 จะไดอัตราทดของเกียรเทากับ 20

36 = 1.8 จริง จํานวนฟนของเฟองตาม 63 และจํานวนฟนของเฟองขับ 35 จะไดอัตราทดของเกียรเทากับ 35

63 = 1.8 จริง

คําตอบกิจกรรม “มาตราสวน”

1. 7.5 กิโลเมตร2. 70 เซนติเมตร3. 8 กิโลเมตร4. 15.2 เซนติเมตร5. 25 กิโลเมตร6. 72 เซนติเมตร7. 24 เมตร

51

8. 3 เซนติเมตร

คําตอบทายตัวอยางการยอและการขยาย หนา 109

1. 12 เซนติเมตร2. 15 เซนติเมตร3. ความยาว 10.8 เซนติเมตรและความกวาง 6 เซนติเมตร4. ความยาว 7.5 เซนติเมตรและความกวาง 6 เซนติเมตร5. ดานประกอบมุมยอดยาว 9.6 เซนติเมตรและฐานยาว 6 เซนติเมตร เมื่อขยายรูปสี่เหล่ียมผืนผาเปนรูปขยาย 150% แลวพื้นที่ของรูปขยายจะไมเปน 150% ของพื้นที่ของรูปตนแบบ เพราะการขยายรูปสี่เหล่ียมผืนผาจะขยายทั้งดานยาวและดานกวางดานละ 150% ทําใหพื้นที่ของรูปขยายมากกวา 150%

คําตอบกิจกรรม “ยอมุมและขยายมุม”

1. ขนาดของมุมในรูป ก รูป ข และรูป ค ไมเปลี่ยนแปลง2. ไมเปลี่ยนแปลง3. ไมเปลี่ยนแปลง เพราะวา การยอมุมและขยายมุมของรูปเหล่ียม จะเปลี่ยนแปลงเฉพาะความยาวของ แขนของมุมเทานั้น

คําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

1. 1) ประมาณ 0.90 เมตร 2) ประมาณ 2 เมตร 3) ประมาณ 2.10 เมตร 4) ประมาณ 4.20 เมตร 5) 6 เมตร2. 1)

2)

A B

C D

52

3)

4)

3. คําตอบมีหลายคําตอบตามสภาพหองเรียน

คําตอบแบบฝกหัดทายกิจกรรม “แบบจําลอง”

1. 6 นิ้ว2. 2.25 เซนติเมตร3. ความยาว 0.85 เมตร หรือ 85 เซนติเมตร ความกวาง 0.275 เมตร หรือ 27.5 เซนติเมตร ความลึก 0.0875 เมตร หรือ 8.75 เซนติเมตร4. ความยาว 0.15 เมตร หรือ 15 เซนติเมตร ความกวาง 0.10 เมตร หรือ 10 เซนติเมตร5. ความกวาง 0.0812 เมตร หรือ 8.12 เซนติเมตร ความลึก 0.0248 เมตร หรือ 2.48 เซนติเมตร6. ความยาว 1.4515 เมตร หรือ 145.15 เซนติเมตร ความลึก 0.0315 เมตร หรือ 3.15 เซนติเมตร7. ความยาว 3 เมตร ความกวาง 1.25 เมตร ความสูง 1.50 เมตร8. ความกวาง 2.40 เมตร ความลึก 3.00 เมตร9. สวนสัดไมเหมือนเรือจริง เพราะวาใชมาตราสวนไมเทากัน ดังนี้ เรือจริง ความยาวของ

เรือจําลอง ความยาวของ = 17.501.05 = 1

0.06

เรือจริง องความกวางขเรือจําลอง องความกวางข = 2.60

0.20 ≈ 10.077

เรือจริง ความลึกของเรือจําลอง ความลึกของ = 2.60

0.15 = 10.06

E F

G H

53

คําตอบกิจกรรม “อัตราสวนทอง”

1. รูปสี่เหล่ียมผืนผาทองรูปที่ 1 ไดแก AFHD มี AD = 2 ซม.

รูปสี่เหล่ียมผืนผาทองรูปที่ 2 ไดแก BFHC มี BC = 5 ซม.

รูปสี่เหล่ียมผืนผาทองรูปที่ 3 ไดแก AFHD มี AD = 8 ซม.

D C H

FBA

2 ซม.

D C H

FBA

5 ซม.

A B F

HCD

8 ซม.

รูปสี่เหลี่ยมผืนผาทองรูปที่ 4 ไดแก BFHC มี BC = 13 ซม.

D C H

FBA

13 ซม.

55

2.

รูปที่ ความกวาง(ซม.)

ความยาว(ซม.) ความกวาง

ความยาวความยาว : 1

1 2 3 23 1.5 : 1

2 3 5 35 1.67 : 1

3 8 13 813 1.625 : 1

4 8 13 813 1.625 : 1

3. ใกลเคียง

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

1. 55, 89 และ 1442. 1)

(1) (2) (3)อัตราสวนที่กําหนดจากลําดับฟโบนักชี

เขียนเปนอัตราสวนที่จํานวนหลังเปน 1

สวนตางของจํานวนแรกของอัตราสวนในสดมภที่ (2) กับ 1.618

1 : 12 : 13 : 25 : 38 : 513 : 821 : 13

1.000 : 12.000 : 1[1.500 : 1][1.667 : 1][1.600 : 1][1.625 : 1][1.615 : 1]

1.618 – 1 = 0.618 2 – 1.618 = 0.382

[1.618 – 1.50 = 0.118][1.667 – 1.618 = 0.049][1.618 – 1.600 = 0.018][1.625 – 1.618 = 0.007][1.618 – 1.615 = 0.003]

2) สวนตางในสดมภที่ (3) ลดลงไปเรื่อย ๆ 3) อัตราสวนที่ไดตอ ๆ ไปนาจะเปนอัตราสวนที่ประมาณเปน 1.618 : 1 ได

56

3.

รูปที่ ความกวาง หนวย ความสูง หนวย

123456

50[80]0.8

[1.3]90

[1.5]

เซนติเมตร[เซนติเมตร]

เมตร[เมตร]

เซนติเมตรเมตร

[80]130[1.3]2.1

[150]2.5

เซนติเมตรเซนติเมตร

[เมตร]เมตร

เซนติเมตรเมตร

การหาคําตอบของรูปที่ 5 และรูปที่ 6 ใชความรูเกี่ยวกับการหาอัตราสวนที่เทากันกับอัตราสวนที่กําหนดให ซ่ึงในที่นี้เปนการนําจํานวนบวกไปคูณหรือหาร อัตราสวน 5 : 3 ในขอ 2 ขางตน

คําตอบกิจกรรม “รูปสามเหลี่ยมทอง”

จากรูปดาวทองนี้ จะมีรูปสามเหลี่ยมทอง 5 รูป

57

แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

58

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3

1.

บริเวณบานชั้นเดียวหลังหนึ่งแสดงเปนแผนผัง ไดดังรูป จงหาพื้นที่ของบานหลังนี้ โดยประมาณถาราคาคากอสรางเฉลี่ย ตารางเมตรละ 6,970 บาท คากอสราง บานหลังนี้ประมาณเทาไร [1,008,000 บาท]

2.

แผนผังของที่ดินแปลงหนึ่งเปนรูปสี่เหล่ียมคางหมู ดังรูป จงหาพื้นที่ของที่ดินแปลงนี้โดยประมาณ และ ถาคาถมที่เฉลี่ยตารางวาละ 233 บาท จงหาวาคาถมที่ เปนเงินประมาณเทาไร [111,141 บาท]

3.4 ซม.

1.9 ซม.

1.8 ซม.

มาตราสวน 1 ซม. : 10 วา

6 ซม.

D

E2.95 ซม.FGH

1.9 ซม.A 1 ซม.

มาตราสวน 1 ซม. : 2 ม.

C 5.1 ซม.

B

1.05 ซม.

บทที่ 4การประยุกตของการแปลงทางเรขาคณิต (12 ช่ัวโมง)

4.1 การประยุกตของการเลื่อนขนาน (3 ช่ัวโมง) 4.2 การประยุกตของการสะทอน (3 ช่ัวโมง) 4.3 การประยุกตของการหมุน (2 ช่ัวโมง) 4.4 เทสเซลเลชัน (4 ช่ัวโมง)

นกัเรยีนเคยมคีวามรูพืน้ฐานเกีย่วกบัการแปลงทางเรขาคณติในแบบของการเลือ่นขนาน การสะทอนและการหมุนมาแลว ในบทนี้จะไดกลาวถึงการประยุกตของการแปลงทางเรขาคณิตดังกลาว เพื่อใหนักเรียนไดเห็นตัวอยางการนําความรูเร่ืองเหลานี้ไปใชในอุปกรณและเครื่องมือใชสอย การออกแบบทางศิลปะ ตลอดจนการนําความรูไปใชในการแกปญหาและการใหเหตุผล ในบทนี้ไดยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นการนําสมบัติของการแปลงทางเรขาคณิตไปอธิบายและใหเหตุผลในโจทยปญหา หรือโจทยที่เปนสมบัติบางประการทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยทราบมาแลว เพื่อใหนักเรียนรูวาเราอาจพิสูจนปญหาเหลานั้นโดยใชความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตไดดวย แตจะไมเนนใหนักเรียนสามารถพิสูจนโดยใชความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิต ทั้งนี้เพราะนักเรียนยังมีพื้นฐานการพิสูจนทางเรขาคณิตไมมากพอ ในการจัดการเรียนการสอนบทนี้ ครูควรเตรียมสื่อหรืออุปกรณเพื่อประกอบการสอนไวลวงหนาเพื่อนํามาใชเปนสื่อใหนักเรียนไดเห็นวาสื่อเหลานั้น มีสวนใดบางที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตและเปนการแปลงในลักษณะใด นาํไปใชเปนประโยชนอยางไร กจิกรรมทีน่าํเสนอไวทกุกจิกรรมควรใหนกัเรยีนไดปฏิบตัจิริง เพือ่เพิม่พนูประสบการณและพัฒนาความคิดริเร่ิมสรางสรรค โดยเฉพาะเรื่องของเทสเซลเลชัน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน การสะทอนและการหมุน ในการสรางสรรคงานศิลปะหรือออกแบบ

60

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 การประยุกตของการเลื่อนขนาน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนานไปแกปญหาที่กําหนดใหได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูทบทวนสมบตัขิองการเลือ่นขนาน และใหนกัเรยีนชวยกนัสรปุสมบตัขิองการเลือ่นขนาน

พรอมทัง้ยกตวัอยางประกอบ 2. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการนําความรูเร่ืองการเลื่อนขนานไปใชในเครื่องมือใชสอย ดังตัวอยางในหนังสือเรียน และอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางเพิ่มเติม ครูอาจนําอุปกรณที่ใชการเลื่อนขนาน เชน แมแรงยกรถหรือกลองใสเครื่องมือชางมาสาธิตใหเห็นการทํางานของอุปกรณเหลานั้นที่แสดงการเลื่อนขนาน 3. ครูอาจใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนานชวยกันออกแบบลวดลายบนกระดาษกราฟดังตัวอยางในกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 และควรนําผลงานของนักเรียนเสนอบนปายนิเทศ เพื่อสงเสริมความคิดสรางสรรคและเสริมสรางเจตคติที่ดีตอการเรียนคณิตศาสตร 4. การอธบิายใหนกัเรยีนเหน็การใชความรูเกีย่วกบัการเลือ่นขนานไปพสูิจนขนาดของมมุ ตาม

ตวัอยางที ่2 นัน้ ครูอาจแสดงใหนกัเรยีนเหน็อยางเปนรูปธรรมวา B)Xm(E∧

= D)Ym(E∧

โดยใชกระดาษ

ลอกลายลอก BXE∧

แลวแสดงการเลื่อนมุมนั้นมาตามเวกเตอร XY ใหเห็นวา BXE∧

ทับ DYE∧

ไดสนิท 5. สําหรับตวัอยางที ่3 ครูอาจใหนกัเรยีนชวยกนัศกึษาตวัอยางนีเ้ปนกลุม และควรใหเวลานกัเรยีนทาํความเขาใจ จากนัน้ครนูาํการอภปิรายและใชการถามตอบเพือ่ใหนกัเรยีนเหน็การนาํความรูเกีย่วกบัการเลือ่นขนาน ไปใชแกปญหาตามสถานการณดงักลาว ครูอาจใหนกัเรยีนไดแนวคดิเพิม่เตมิและเหน็จรงิตามทีอ่ธิบายไวในหนงัสอืเรียน โดยทาํกจิกรรมตามขัน้ตอนตอไปนี้

61

ขัน้ท่ี 1 สราง XY ขนานกบั PQ ใหระยะหางของเสนขนานเทากบั 2 เซนตเิมตร บนกระดาษ กาํหนด จดุ A และจดุ B ดงัรูป

ครูใหขอตกลงกับนักเรียนวา XY และ PQ แทนริมฝงแมน้ํา จุด A และจุด B แทนตําแหนงที่ตั้งของหมูบานและใหแมน้ํากวาง 2 เซนติเมตร

ขั้นท่ี 2 ใหนักเรียนพับกระดาษตามรอย PQ แลวทบกระดาษใหรอยพับ PQ ทับ XY พอดี ดังรูป

A

B

X

P Q

Y

X P QY

62

ขั้นท่ี 3 ลาก AB ตัด XY เขียนจุดตัด C เหนือ XY และเขียนจุดตัด D ใต PQ ดังรูป

ขั้นท่ี 4 คล่ีกระดาษที่ทบออกจากกัน แลวลาก CD ดังรูป

ขั้นท่ี 5 ลาก BB ′ ขนานกับ DC และให BB′ = DC แลวลาก BC ′ ดังรูป สํารวจดูวา BA ′ ยาวเทากับความยาวของ AB ในขั้นที่ 3 หรือไม

A

B

X

P Q

Y

D

C

A

X P QYDC

B

A

B

X

P Q

Y

D

C

B′

63

ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวาจากกิจกรรม ขั้นที่ 3 AB เปนระยะที่ส้ันที่สุด ขั้นที่ 4 จะไดจุด C และจุด D เปนตําแหนงริมฝงแมน้ําที่ตั้งสะพาน ขั้นที่ 5 แสดงใหเห็นการเลื่อนขนาน DB ดวย DC ทําใหได BC ′ เปนภาพที่ไดจากการเล่ือนขนาน DB ซ่ึงจะไดวา AB′ เปนระยะที่ส้ันที่สุดซึ่งเทากับ AB จากกิจกรรมนี้ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวา วิธีการหาคําตอบในตัวอยางที่ 3 จึงทํายอนขึ้นมาจากขั้นที่ 5 โดยหาจุด B′ จากการเลื่อนขนานจุด B ดวยเวกเตอรที่ยาวเทากับความกวางของแมน้ําและตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําจากดานฝง B ไปดานฝง A กอน จึงจะไดผลตามมาดังขั้นที่ 4 และขั้นที่ 3 ตามลําดับ 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 ขอ 5 ครูอาจนํามาใหนักเรียนชวยกันทําในชั้นเรียน หรือใหนักเรียนไปชวยคิดแกปญหาเปนกลุม

4.2 การประยุกตของการสะทอน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถใชความรูเกี่ยวกับการสะทอนไปแกปญหาที่กําหนดใหได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก และ 4.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูทบทวนสมบัติของการสะทอน และใหนักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการสะทอน

พรอมทั้งยกตัวอยางประกอบ 2. ครูนาํสนทนาเกีย่วกบัการนาํความรูเร่ืองการสะทอนไปใช และอาจใหนกัเรยีนชวยกนัยกตวัอยางเพิ่มเติมจากในหนังสือเรียน 3. ครูอธิบายและใหความรูเร่ืองกฎของสเนลล เกี่ยวกับการสะทอนของแสงตามตัวอยางในหนังสือเรียน 4. สําหรับกิจกรรม “กระจกสูงเทาไร” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนเห็นสมบัติของการสะทอนตามกฎของสเนลล ครูอาจเตรียมกระจกเงาราบ 2 – 3 บาน ที่มีขนาดแตกตางกัน ใหนักเรียนไดสํารวจวา ถาใชกระจกเงาที่มีความสูงเพียงครึ่งหนึ่งของความสูงของนักเรียน ก็สามารถเห็นภาพเต็มตัวไดจริง และถาใชกระจกเงาที่มีความสูงนอยกวาครึ่งหนึ่งของความสูงของนักเรียน ก็จะไมสามารถเห็นภาพเต็มตัว 5. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก เพิ่มเติม เพื่อใหนักเรียนไดเห็นวา จํานวนภาพที่สมบูรณซ่ึงเปนภาพสะทอนในกระจกเงา จะมกีีภ่าพข้ึนอยูกบัขนาดของมมุทีว่างกระจก 2 บานนัน้เขาหากัน กิจกรรมนี้จะชวยใหนักเรียนมีความคิดรวบยอดในเรื่องการมองเห็นภาพในกลองสลับลายชัดเจนขึ้น 6. ครูอาจใหนักเรียนออกแบบลวดลายศิลปะโดยใชความรูเกี่ยวกับการสะทอนบนกระดาษกราฟในทํานองเดียวกันกับที่ทําในกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 และเสนอผลงานของนักเรียนบนปายนิเทศ

64

7. ครูตองใหนักเรียนทํากิจกรรม “ระยะใดสั้นที่สุด” กอนใหตัวอยางที่ 2 เพราะกิจกรรมนี้จะใหความรูและทําใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดในการนําแนวคิดนั้น ไปใชแกปญหาโจทยในลักษณะเดียวกันกับตัวอยางที่ 2 8. สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ขอ 1 อาจนํามาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียนดวย เพื่อใหนักเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบดวยปากเปลาแทนการเขียนอธิบาย 9. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข เพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางการสะทอนและการเลื่อนขนาน 10. กรอบความรูเร่ือง “กลองดูแห” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการนําความรูเร่ืองการสะทอนไปใชประดิษฐเปนกลองดูแหหรือกลองสองเหนือผิวน้ํา ครูอาจใชแผนภาพหนา154 ในหนังสือเรียนอธิบายใหเห็นวา การสะทอนสองครั้งดวยกระจกเงาที่ขนานกันในกลองดูแหเปนการเลื่อนขนานตามคําตอบที่นักเรียนสรุปไวในกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข ขอ 1 ขอยอย 7) ครูอาจทํากลองดูแหไวเปนตัวอยางและใหนักเรียนไดทดลองสองดู

4.3 การประยุกตของการหมุน (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถใชความรูเกี่ยวกับการหมุนไปแกปญหาที่กําหนดใหได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูทบทวนสมบัติของการหมุน และใหนักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการหมุน พรอมทั้ง

ยกตัวอยางประกอบ 2. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการนําความรูเร่ืองการหมุนไปใชในอุปกรณใชสอย ดังตัวอยางในหนังสือเรียน และอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยาง เพิ่มเติม 3. ครูอาจใหนักเรียนออกแบบลวดลายศิลปะโดยใชความรูเกี่ยวกับการหมุนบนกระดาษกราฟ ในทํานองเดียวกันกับที่ทําในกิจกรรมเสนอแนะ 4.1 พรอมทั้งเสนอผลงานของนักเรียนบนปายนิเทศ 4. สําหรับตัวอยางการพิสูจนหนา 159 ในหนังสือเรียน ครูอาจแสดงการหมุนใหนักเรียนเห็นโดยเขียนรูปที่โจทยกําหนดใหบนแผนโปรงใสแผนหนึ่ง แลวลอกรูป FAC∧ บนแผนโปรงใสอีกแผนหนึ่งใชเข็มหมุดปกยึดแผนใสทั้งสองแผนไวที่จุด A แสดงการหมุน FAC∧ ที่จุดหมุน A ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาดเทากับ E)Am(C∧ ซ่ึงทําให AC ทับ AE และ AF ทับ AB จะได FAC∧ ทับ BAE∧ ไดสนิท

65

4.4 เทสเซลเลชัน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถใชความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตออกแบบลวดลายเทสเซลเลชัน ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.4

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูสนทนาเกี่ยวกับลวดลายจากการปูกระเบื้อง อาจนําภาพถายหรือภาพจากหนังสือ วารสาร

ตาง ๆ หรือใชภาพในกิจกรรมเสนอแนะ 4.4 ก็ได แสดงใหนักเรียนเห็นลวดลายการปูกระเบื้องในอาคารหรือบนสนาม เพื่อใชนําเขาสูการใหความหมายของเทสเซลเลชัน 2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจเทสเซลเลชันปกติ” ควรใหนักเรียนทําตามขั้นตอนที่กําหนดไวในหนังสือเรียน ครูควรเตรียมกระดาษลอกลายและกระดาษสีสําหรับใหนักเรียนสรางเทสเซลเลชันปกติพรอมทั้งชี้ใหเห็นวาลวดลายปูกระเบื้องสวนใหญเปนเทสเซลเลชันปกติ และควรใชคําถามใหนักเรียนไดพิจารณาวา ลวดลายเทสเซลเลชันที่ไดมีความสัมพันธระหวางความยาวของดานและขนาดของมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติแตละรูปอยางไรบาง ซ่ึงนักเรียนควรตอบไดวา ความยาวของดานของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่นํามาเรียงตอกันเทากันทุกรูป และผลบวกของขนาดของมุมรอบจุดที่กระเบื้องตอกันเทากับ360 องศาพอดี และควรนําผลงานของนักเรียนติดบนปายนิเทศเพื่อสงเสริมความคิดริเร่ิมสรางสรรค 3. สําหรับกิจกรรม “กบของฉัน” “รูปหลอของใคร” และ “นกสวยของเธอ” เปนการสรางเทสเซลเลชันโดยใชการแปลงทางเรขาคณิต ครูควรใหนักเรียนศึกษาและลงมือปฏิบัติตามทุกกิจกรรมพรอมทั้งชี้ใหเห็นการใชสมบัติของการแปลงทางเรขาคณิตแตละแบบมาสรางรูปตนแบบ ครูควรใหนักเรียนวิเคราะหวาการสรางรูปตนแบบโดยใชความรูการแปลงทางเรขาคณิต ในลักษณะการเลื่อนขนาน การสะทอนหรือการหมุน จะตองสรางใหสวนใดเทากันทุกประการบาง เพราะจะตองคํานึงถึงการนํารูปตนแบบมาเรียงตอกันโดยไมมีชองวางดวย ครูควรใหนักเรียนออกแบบเทสเซลเลชันเปนงานกลุม และอาจใหเลือกออกแบบโดยใชการแปลงแบบใดแบบหนึ่งก็ได ทั้งควรไดนําเสนอผลงานเหลานี้ของนักเรียนตอชุมชนหรือเปนผลงานดานโครงงานคณิตศาสตรก็ได 4. สําหรับกิจกรรม “หมุนดินสอแลวไดอะไร” ครูควรใหนักเรียนศึกษาดวยตัวเองกอน หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันอภิปราย และหาขอสรุปเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในและมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ

ครูอาจใชคาํถามตอเนือ่งใหนกัเรยีนสามารถสรปุเปนขอความคาดการณไดวา ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่มี n เหล่ียม เทากับ 180 × (n – 2) องศา เมื่อ n แทนจํานวนดานของรูปหลายเหลี่ยมนั้นและผลบวกของขนาดของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ เทากับ 360 องศา

66

5. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 4.4 เพื่อเสริมสรางความคิดริเร่ิมสรางสรรคและเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบในตัวอยางที่ 3 หนา 139

ให YX เปนเวกเตอรที่มีขนาดเทากับความกวางของแมน้ํา และมีทิศทางตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําจากดาน A ไปดาน B จะสามารถหาตําแหนงของสะพานที่จุด D ทางดานฝง B กอนได โดยเลื่อนขนานจุด A ดวย YX ไปที่จุด A′ ลาก BA′ ตัดริมฝงแมน้ําดาน B ที่จุด D และสราง DC ตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําดาน A ที่จุด C จะไดจุด C และจุด D เปนที่ตั้งของสะพาน ดังรูป

สะพานนี้เปนสะพานเดียวกับที่หาไดในตัวอยาง

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

ใชได เพราะการสรางของชางเปนการเลื่อนไมฉากไปตามแนวไมบรรทัดซึ่งเปรียบไดกับเวกเตอรของการเลื่อนขนาน เสนที่สรางขึ้นจึงเปนเสนขนานดวย

A

D

Y C

X

A′

B

67

คําตอบแบบฝกหัด 4.1

1.

จากรูปจะไดวา A′B′C′D′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ABCD ซ่ึงเมื่อจุด A′ มีพิกัดเปน A′(7, 2) จะไดจุด B′, C′ และ D′ มีพิกัดเปน B′(3, 4), C′(7, 8) และ D′(13, 6) ตามลําดับ

2. ประมาณ 90 ตารางเซนติเมตร3.

พิสูจน เล่ือนขนาน ∆ DEA ดวยเวกเตอร ABจะได ∆ DEA ทับ ∆ CFB ไดสนิทดังนั้น พื้นที่ของ ∆ DEA เทากับพื้นที่ของ ∆ CFBจากรูปจะเห็นวา พื้นที่ของ ABCD เทากับ พื้นที่ของ ABCE + พื้นที่ของ ∆ DEA

= พื้นที่ของ ABCE + พื้นที่ของ ∆ CFB = พื้นที่ของ ABFE

นั่นคือ รูปสี่เหล่ียมดานขนาน ABCD มีพื้นที่เทากับพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมผืนผา ABFE

A B

D E FC

X0 2 4 6 8 10 12

Y

-2-4-6-8

2

4

6

A

B

D

C′

D′

A′(7, 2)

B′

8C

68

4. วิธีทํา

1. เล่ือนขนานจุด B เขาหาถนนไปที่จุด B′ ในทิศทางตั้งฉากกับริมถนนทั้งสองขาง เปนระยะ เทากับความกวางของถนน 2. ลาก BA ′ ตัดขอบถนนดานหมูบานวังเกาที่จุด D 3. สราง DC ตั้งฉากกับริมถนนอีกฝงหนึ่งที่จุด C จะได จุด C และจุด D เปนตําแหนงของสะพานลอยตามตองการ ตําแหนงที่สรางนี้ทําใหไดระยะทางสั้นที่สุด เพราะวา BC = B′D ซ่ึง DB′ และ DA อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ทําให BC + CD + DA ส้ันที่สุด

5. วิธีทํา

หมูบานพัฒนา

หมูบานวังเกา

B

A

C

D

B′

C

D

S

R

P

Q

C′

D′

หมูบาน

หมูบาน

แมน้ํา X

แมน้ํา Y

69

Q

P′

P

M R S N l

1. เล่ือนขนานจุด C เขาหาฝงแมน้ําไปที่จุด C′ ในทิศทางตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําทั้งสองขาง เปนระยะ เทากับความกวางของแมน้ํา X ดังรูป2. เล่ือนขนานจุด D เขาหาฝงแมน้ําไปที่จุด D′ ในทิศทางตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําทั้งสองขาง เปนระยะ เทากับความกวางของแมน้ํา Y ดังรูป3. ลาก DC ′′ ตัดริมฝงแมน้ําที่ติดกับหมูบาน C ที่จุด S และตัดริมฝงแมน้ําที่ติดกับหมูบาน D ที่จุด P ดังรูป4. สราง SR ตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําดานหมูบาน C ที่จุด R5. สราง PQ ตั้งฉากกับริมฝงแมน้ําดานหมูบาน D ที่จุด Q จะได จุด R และจุด S เปนตําแหนงของสะพานขามแมน้ําดานหมูบาน C จุด P และจุด Q เปนตําแหนงของสะพานขามแมน้ําดานหมูบาน D ตามตองการ ตําแหนงที่สรางสะพานทั้งสองนี้ทําใหไดระยะทางรวมสั้นที่สุด เพราะวา CX = C′Y และ QD = PD′ ซ่ึง YC′ , YP และ DP ′ อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ทําให CX + XY + YP + PQ + QDส้ันที่สุด

คําตอบกิจกรรม “กระจกสูงเทาไร”

ถาใชกระจกเงาที่มีความสูงนอยกวาครึ่งหนึ่งของความสูงของนักเรียน จะไมสามารถมองเห็นภาพเต็มตัวของนักเรียนได เพราะวาจะมีเสนปกติ m หรือเสนปกติ n ตามรูปหนา 146 เสนใดเสนหนึ่งหรือทั้งสองเสนไมอยูบนกระจกราบ

คําตอบกิจกรรม “ระยะใดสั้นที่สุด”

1. เทากันทุกประการ เพราะมีความสัมพันธกันแบบ ด.ม.ด. กลาวคือเมื่อจุด P′ เปนภาพที่ไดจาก การสะทอนจุด P จะไดวา PM = P′M, RMP ∧ = RMP ∧′ และ MR เปนดานรวม

70

2. เทากัน เพราะดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน3. เทากัน เพราะ PR = P′R4.

1) เทากัน เพราะ SP′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอน PS ดวยเสนสะทอน l2) เทากัน เพราะ PS = P′S3) P′R + RQ ส้ันกวา เพราะ RP′ และ RQ อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน4) PR + RQ ส้ันกวา เพราะ PR = P′R และ PS = P′S

5. ระยะจากจุด P ถึงจุด R และจากจุด R ถึงจุด Q

คําตอบแบบฝกหัด 4.2

1. 10 โตะ เพราะสามารถมองเห็นโตะที่อยูดานหลังผนังทึบทั้งหมด ดวยการสะทอน2. วิธีทํา

ใหเสนตรง m แทนแนวทางรถไฟและเปนเสนสะทอนจุด B′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด B ซ่ึงเปนตําแหนงที่ตั้งของตําบลบางปลา ลากเสน

ตอระหวางจุด B′ กับจุด A ตัดเสนตรง m ที่จุด Sจะได BS + SA = B′S + SA เปนระยะสั้นที่สุดนั่นคือ S เปนตําแหนงที่จะสรางสถานีรถไฟ เพื่อใหไดผลรวมของระยะทางสั้นที่สุด

3. ประมาณ 8π ตารางเซนติเมตร

ตําบลบางไทรA ตําบลบางปลา

SB

B′

m

71

4.

พิสูจน เนื่องจาก BE แบงครึ่ง ∧

ABCจะได m(

∧ABE ) = m(

∧CBE )

จะเห็นวา BA เปนภาพที่ไดจากการสะทอน BC ดวยเสนสะทอน BE นั่นเองทําใหไดวา m(

∧ABF ) = m(

∧CBF )

5.

พิสูจน จากรูป โดยสมบัติของรูปสี่เหล่ียมคางหมูหนาจั่วจะได จุด A เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด B ดวยเสนสะทอน EF จุด D เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด C ดวยเสนสะทอน EFดังนั้น m(

∧BAD ) = m(

∧ABC )

และ m(∧

ADC ) = m(∧

BCD )

คําตอบแบบฝกหัด 4.3

1. ไมเปน เพราะ ไมสามารถหมุนรูป F ที่อยูทางซายของจุด O ไปทับรูป F ที่อยูทางขวาของจุด O ไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป2.

1) ประมาณ 2 ตารางหนวย2) ประมาณ 10 ตารางหนวย

A B

CD

E

F CD

E

F

A

B

C

EF

72

3) ประมาณ 4 ตารางหนวย4) ประมาณ 4 ตารางหนวย5) ประมาณ 8 ตารางหนวย6) ประมาณ 16 ตารางหนวย

3. พิสูจน

1) m )BED( ∧ = m )AEC( ∧ เพราะ เมื่อกําหนดใหจุด E เปนจุดหมุน

หมุน ∧

BED ทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมขนาด 180 องศา จะได

∧BED ทับ

∧AEC ไดสนิทพอดี

นั่นคือ m(∧

BED ) = m(∧

AEC )2) m )(DEA∧ = m )CEB( ∧ เพราะ

เมื่อกําหนดใหจุด E เปนจุดหมุน หมุน

∧DEA ทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมขนาด 180 องศา

จะได ∧

DEA ทับ ∧

CEB ไดสนิทพอดี นั่นคือ m(

∧DEA ) = m(

∧CEB )

A

BC

D

E

73

4. พิสูจน

เมื่อกําหนดใหจุด E เปนจุดหมุน หมุน

∧BEA ทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมขนาด 180 องศา

จะได ∧

BEA ทับ ∧

DEC ไดสนิทพอดีนั่นคือ m(

∧BEA ) = m(

∧DEC )

A B

CD

E

74

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

75

กิจกรรมเสนอแนะ 4.1

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนออกแบบลวดลายตาง ๆ บนกระดาษกราฟ โดยใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน

ใหนักเรียนออกแบบลวดลายบนกระดาษกราฟมาหนึ่งแบบ โดยใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน

ตัวอยาง ลวดลายผา

ตัวอยาง ลวดลายเหล็กดัด

76

กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรโดยการสํารวจสังเกต หาแบบรูปและความสัมพันธ เพื่อสรางขอความคาดการณ

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้

อุปกรณ กระจกเงาราบ 2 บาน ฝาขวดน้ําหรือแทงยางลบ

ใหนักเรียนนํากระจกเงา 2 บาน วางทํามุมกันตามขนาดที่กําหนดใหในตาราง วางฝาขวดน้ําหรือแทงยางลบหนากระจกระหวางกระจกทั้งสองบาน ใหมองเห็นภาพในกระจกเงาแตละบาน นับจํานวนภาพที่เห็นในกระจกเงา แลวบันทึกจํานวนภาพในตารางแลวตอบคําถามตอไปนี้

กรณีที่ ขนาดของมุมระหวางกระจกเงา 2 บาน จํานวนภาพที่เห็นเฉพาะในกระจกเงา

12345

90o

45o

60o

30o

120o

1. ขนาดของมุมที่กําหนดให เกี่ยวของกับขนาด 360 o อยางไร2. จํานวนภาพที่หาไดในกรณีที่ 1 ถึงกรณีที่ 4 มีความสัมพันธกับขนาด 360 o หรือไมอยางไร3. ถาวางกระจกเงา 2 บานทํามุมกัน 72 o จะไดจํานวนภาพในกระจกเงากี่ภาพ4. ในกรณีที่กระจกเงา 2 บานทํามุมเปนมุมปาน เชน 120 o และ 150 o จํานวนภาพยังคงเปนไปตาม ความสัมพันธในขอ 2 หรือไม5. ถาวางกระจกเงา 2 บานทํามุมกันเปนมุมตรง จะไดจํานวนภาพในกระจกเงากี่ภาพ6. ถาวางกระจกเงา 2 บานขนานกัน จะไดจํานวนภาพในกระจกเงากี่ภาพ7. นักเรียนคิดวาจํานวนภาพที่ปรากฏในกระจกเงาจะมีความเกี่ยวของกับขนาดของมุมที่วางกระจกอยางไร จงอธิบาย

77

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก

กรณีที่ ขนาดของมุมระหวางกระจกเงา 2 บาน จํานวนภาพที่เห็นเฉพาะในกระจกเงา

12345

90o

45o

60o

30o

120o

375112

1. ขนาดของมุมที่กําหนดใหหาร 360 ไดลงตัว2. จํานวนภาพในกระจกเงานอยกวาผลหารที่ไดจาก จกระหวางกระขนาดของมุม

360 หนึ่งภาพ

3. 4 ภาพ4. ในกรณีที่วางกระจกเงาทํามุม 120o จํานวนภาพที่เห็นในกระจกเงา ยังคงเปนไปตามความสัมพันธ ในขอ 2 แตกรณีที่วางกระจกเงาทํามุม 150o จะเห็นภาพที่สมบูรณในกระจกเพียง 1 ภาพ5. 1 ภาพ6. มีมากมายนับไมถวน7. จํานวนภาพที่ปรากฏในกระจกเงาเกี่ยวของกับขนาดของมุมที่วางกระจกดังนี้ ถาให n แทนขนาดของมุมระหวางกระจกเงา 2 บาน จะไดจํานวนภาพที่ปรากฏเทากับ n

360 – 1 ภาพ

78

กิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นความสัมพันธระหวางการสะทอนและการเลื่อนขนาน

กําหนดเสนตรง 1l และ 2l เปนเสนสะทอนที่ขนานกัน และให ∆ ABC เปนรูปตนแบบ ใหนักเรียนพิจารณารูปที่กําหนดใหในแตละขอแลวตอบคําถามตอไปนี้

1. บนระนาบในระบบพิกัดฉาก กําหนด ∆ ABC อยูทางซายของเสนสะทอน 1l และ 2l

1) ∆ A1B1C1 เปนภาพที่ไดจาก ∆ ABC ดวยการแปลงแบบใด2) ∆ A2B2C2 เปนภาพที่ไดจาก ∆ A1B1C1 ดวยการแปลงแบบใด3) ∆ A2B2C2 เปนภาพที่ไดจาก ∆ ABC ดวยการแปลงแบบใด

4) เสนตรง 1l และ 2l อยูหางกันกี่หนวย 5) จุด A และ A2 อยูหางกันกี่หนวย 6) ระยะหางที่ไดในขอ 4 และขอ 5 สามารถเขียนแสดงความสัมพันธกันไดเปนอยางไร 7) นักเรียนคิดวาการสะทอนรูปตนแบบตอเนื่องกันดวยเสนสะทอนสองเสนที่ขนานกัน ผลที่ไดจะเปนการแปลงแบบใด จงอธิบาย

1l 2l

A

X

A1

B1 C1BC

A2

C2 B2

79

2. บนระนาบในระบบพิกัดฉาก กําหนด ∆ ABC เปนรูปตนแบบและ ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนาน ∆ ABC ดวย AA′ จงหาเสนสะทอน 1l และ 2l สองเสนที่ขนานกันซึ่งทําให ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอน ∆ ABC ตอเนื่องกันดวยเสนสะทอนทั้งสอง

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข

1. 1) การสะทอน ดวยเสนสะทอน 1l

2) การสะทอน ดวยเสนสะทอน 2l

3) การเลื่อนขนาน ดวย AA2 ที่ตั้งฉากกับ 1l และ 2l และขนาดเปน 12 หนวย 4) 6 หนวย 5) 12 หนวย 6) ระยะระหวางจุด A และจุด A2 เปนสองเทาของระยะระหวางเสนสะทอน 1l และ 2l

7) การเลื่อนขนานรูปตนแบบไปที่ภาพดวยเวกเตอรที่ตั้งฉากกับเสนสะทอนทั้งสอง และขนาด เปนสองเทาของระยะระหวางเสนสะทอนทั้งสอง

X

C′

A

B

C

A′

B′

80

2. ตําแหนงของเสนสะทอน 1l และ 2l เขียนไดแตกตางกัน ตัวอยาง

วิธีทํา 1. หาขนาดหรือความยาวของเวกเตอร BB′ 2. เนื่องจากเสนสะทอน 1l และ 2l จะอยูหางกันเทากับ 2

1 ของ BB′ ดังนั้น จึงเขียนเสนสะทอน 1l ใหตั้งฉากกับ BB ′ แลวเขียนเสนสะทอน 2l

ใหขนานกับ 1l และอยูหางจาก 1l เปนระยะ 21 BB′

จะได 1l และ 2l เปนเสนสะทอนที่ทําใหได ∆ A′B′C′ เปนภาพที่เกิดจากการสะทอน ∆ ABC ตอเนื่องกันดวยเสนสะทอนทั้งสอง ดังรูป

1l 2l

X

C′

A

B

C

A′

B′

81

กิจกรรมเสนอแนะ 4.4

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนออกแบบลวดลายปูกระเบื้อง ในลักษณะของเทสเซลเลชันเพื่อเสริมสรางความคิดริเร่ิมสรางสรรคและเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร

ใหนักเรียนออกแบบลวดลายปูกระเบื้องมาหนึ่งแบบ ในลักษณะของเทสเซลเลชัน

ตัวอยาง

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

นางปยรัตน จาตุรันตบุตร สถาบันราชภัฏสวนดุสิตนางสาวลัดดาวัลย เพ็ญสุภา มหาวิทยาลัยธรรมศาสตรนายปรีชา เนาวเย็นผล มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนางสาวสาคร บุญดาว มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนายสมนึก บุญพาไสว มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานครนางจรรยา ภูอุดม โรงเรียนดอนเมืองจาตุรจินดานางยุพิน พิพิธกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางจารุนี สูตะบุตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนายสมพล เล็กสกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางอารียา สุวรรณคํา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางเจริญศรี จันไพบูลย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวจันทรเพ็ญ ชุมคช สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวจารุวรรณ แสงทอง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปานทอง กุลนาถศิริ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชุลีพร สุภธีระ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชมัยพร ต้ังตน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวรจนา รัตนานิคม สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาววันดี ตีระสหกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการนางยุพิน พิพิธกุล นางปยรัตน จาตุรันตบุตรนางจารุนี สูตะบุตร นางสาวจารุวรรณ แสงทองนายสมพล เล็กสกุล นางชุลีพร สุภธีระ

ผูจัดพิมพตนฉบับนางสาวเสาวนีย ประมูลทรัพยนางสาวระภีพรรณ โคกแกว