บทท 1 สมดลกล 1. สมดลกล ( Mechanical Equilbrium )

สมดลกล หรอ สมดล (Equilibrium) คอ การทมแรงลพธมากระทำากบวตถแลววตถคงสภาพการเคลอนทหรอพดอกอยางวาไมมการเปลยนสภาพการเคลอนท กลาวคอ ถาวตถอยนงกยงคงสภาพนงหรอ ถาเคลอนทกจะเคลอนทดวยความเรวคงเดม ซงเปนไปตามกฎการเคลอนทของนวตน ขอท 1

*หมายเหต เงอนไขการเกดสมดลคอ F = 0 ( แรงขน = แรงลง , แรงซาย = แรงขวา)

และ M = 0 ( โมเมนตตาม = โมเมนตทวนเขมนาฬกา)* เสรม แรง

F = 10 N F = 5 N F = 5 N F

= 5 – 5 = 0 F = 10 – 10 =

0 F = 10 N หรอ 5 = 5 (

แรงซายเทากบแรงขวา ) หรอ 10 = 10 ( แรงขนเทากบแรงลง )

โมเมนต ( Moment) คอปรมาณทใชวดผลของการหมนรอบจดใดจดหนง ขนาดของโมเมนตหาไดจาก ผลคณของแรงกบระยะทางทตงฉากจากจดหมนถงแนวแรง

ก. ข. O A F

O B

F A

จากรป ก. และข. O เปนจดหมนโมเมนตของแรง M = แรง x ระยะ OA

หรอ M = F x lเมอ M คอ โมเมนตของแรง F l คอ ระยะทางจากจดหมนตงฉากกบแนวแรง

โมเมนตของแรงมหนวยเปน นวตน- เมตร( N- m ) โมเมนตเปนปรมาณเวกเตอร โมเมนตของแรงจะม 2 ทศทาง คอ โมเมนตตามเขมนาฬกา (รป ก.) และโมเมนตทวนเขมนาฬกา (รป ข.)

( จดหมน) O F ( จดหมน) O F

รป ก. โมเมนตตามเขมนาฬกา รป ข. โมเมนตทวนเขมนาฬกา สมดลแบงออกเปน 2 ประเภทคอ

1. สมดลสถต ( Static Equilibrium ) เปนสมดลของวตถขณะอยในสภาพอยนง เชน วางสมดไวบนโตะแลวสมดไมลม ขวดนำาทวางไวหลงตเยนแลวไมตกลงมาจากตเยน หรอกลาวไดวาวตถใดๆกตามทอยในสภาพอยนงเมอมแรงลพธมากระทำาแลววตถยงคงสภาพอยนงไวไดถอวาเปนสมดลสถต 2. สมดลจลน( Kinetic Equilibrium ) เปนสมดลของวตถขณะเคลอนทดวยความเรวคงตว เชน รถยนตวงไปตามถนนดวยความเรวคงตว กลองลงไมไถลลงไปตามพนเอยงดวยความเรวคงตวหรอกลาวไดวา วตถใดๆกตามทเคลอนทดวยความเรวคาหนงเมอมแรงลพธมากระทำากบแลววตถกยงคงเคลอนทดวยความเรวคงเดมถอวาเปนสมดลจลน นอกจากนนยงรวมไปถงการเคลอนทของ รอก กวาน ลอและเพลาทหมนรอบแกนซงวางอยในสภาพเดมดวยอตราการหมนคงตวดวย

2. สมดลตอการเคลอนท

การเคลอนทของวตถแขงแกรงอาจแบงไดเปน 2 แบบคอ1.การเคลอนทแบบเลอนท คอทกสวนเลอนไปในทางเดยวกน เชน

การผลกไมบรรทดแลวไมบรรทดเลอนไปขางหนาในทศทางเดยวกน

2.การเคลอนทแบบหมน คอมสวนเปนแกนหมนและสวนอนๆเคลอนทหมนรอบแกน เชน การ

เคลอนทของพดลม แตวตถบางทกเคลอนทแบบหมนและเลอนทไปพรอมๆกน เชน การเคลอนทของลกบอล

เมอพจารณาการเคลอนทเปนหลกอาจแบงสมดลของวตถได 3 ชนด คอ1. สมดลตอการเลอนท (Translational Equilibrium )

คอ วตถอยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงตว โดยไมเปลยนสภาพการเคลอนทตามกฎขอท 1 ของนวตน จะมคาแรงลพธหรอผลรวมของแรงลพธทกระทำาตอวตถทงหมดเปนศนย หรอเขยนไดวา F = 0

2. สมดลตอการหมน ( Rotational Equilibrium ) คอสมดลทเกดขนในขณะทวตถมอตราการหมนคงตว และไมเปลยนสภาพการหมน

3. สมดลสมบรณของวตถ คอสภาพทวตถนนเกดสมดลตอการเลอนท (อยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท)และ สมดลตอการหมน(ไมหมน) ไปพรอมๆกน แรงตางๆ ทกระทำาตอวตถเปนไปตามเงอนไข 2 ประการ คอ 1. แรงลพธเปนศนย หรอผลรวมของแรงทกแรงทกระทำาตอวตถเปนศนย ( F = 0 )

2. ผลรวมของโมเมนตของแรงทกแรงทกระทำาตอวตถเปนศนย ( M = 0 )

สมดลทเกดจากแรง 2 แรงเมอมแรงกระทำาตอวตถ 2 แรงแลววตถสมดลตอการเคลอนท( อยนงหรอ

เคลอนทดวยความเรวคงตว)ดงรป

F T

mgsin

F2 F1

mg ก. ข.

ค.

จากรป ไดวาแรงทงสองตองมความสมพนธกนดงน1. แรงทงสองตองมขนาดเทากน จากรป (ก.) F1 = F2 รป (ข.) T = mg และรป(ค.) F = mgsin 2. แรงทงสองตองมทศทางตรงกนขาม และอยในแนวเสนตรงเดยวกน3. แรงลพธ (F = 0) ของแรงทงสองเทากบศนย

1. จากรปวตถ A มมวล 10 กโลกรม วางอยบนพนเอยงลนอยากทราบวา มวล B จะมคาเทาไร มวล A จงอยนงได ( สมดล )

30๐

B A

2. วตถ A มวล 10 กโลกรม วางอยบนพนราบทมคาสมประสทธความเสยดทานสถต 0.2 จงหาของมวล B ทมากทสดทยงทำาให A อยนงได

3. จากรป ถารอกไมมความฝด W1 = 500 นวตน จงหาคา W2 ททำาให W1 และ W2 อยในสภาวะสมดลไดเมอผวทกผวเกลยง

(ก) (ข)( ค )

A

B

W1

W2

W2W1 W1

W2

สมดลของแรง 3 แรงเมอมแรงกระทำาตอวตถ 3 แรง แลววตถสมดลตอการเคลอนท( อยนง

หรอเคลอนทดวยความเรวคงตว) ดงรป

T1 F2

F1 T2

F1

F3 F3 F2 จากรป ไดวาแรงทงสามตองมความสมพนธกนดงน1. แรงทงสามตองพบกนทจดๆหนงเทานน หรอแรงทงสามขนานกนหมด2. แรงทงสามตองอยในระนาบเดยวกนเทานน3. ผลรวมของแรงคใดคหนงตองมขนาดเทากบแรงทสาม แตมทศทางตรงกนขาม4. ถาเขยนผลรวมแรงทงสามจะไดวา

F1+F2+F3 = 0หรอ F1+F2 = -F3

สมดลของแรงหลายแรง เมอมแรงกระทำาตอวตถหลายแรง แลวตถสมดลตอการเคลอนท(อยนง

หรอเคลอนทดวยความเรวคงตว) พบวา1. แรงเหลานนไมจำาเปนตองพบกนทจดๆเดยวกน เชนดงรป F1 F2

F3 F4

2. แรงเหลานนไมจำาเปนตองอยในระนาบเดยวกนเทานน เชน

w

จากรป จด A อยนง เมอมแรง F1,F2 ,F3,F4 กระทำาโดยแรงทง 4 ไมไดอยในระนาบเดยวกนเลย

3. เมอเขยนสมการผลรวมของแรง จะไดวา

F1+F2+F3+…+Fn = 0

เมอวตถอยในสภาพสมดลตอการเคลอนทพบวา F = 0 และยงพบอกวาไมวาจะหาผลรวมของแรงยอยในทศทางใดๆ กจะมแรงลพธในแนวนนๆ เทากบศนยดวย

F2 F1 จากรป เมอแรง F1 ,F2 , F3 และ F4 กระทำาตอวตถแลวถาวตถอยใน

สภาพสมดล แสดงวา F1 +F2 + F3 + F4

= 0 เมอแตกแรงเหลานนให อยในแกน x , y พบวา FX ( แรงลพธของ

แกน x ) ,Fy ( แรงลพธของ แกน y ) ตองมคาเทากบศนย เพราะวา

ถาFX และ Fy ไมเทากบศนย F3 F4 เมอรวมFX และ Fy เขาดวยกนจะไดแรงลพธ( F ) ไมเทากบ ศนย ดงนนอาจเขยนไดวาเมอวตถสมดลตอการเคลอนท

1. FX = 0 จะไดวา ผลรวมของแรงทางขวา = ผลรวมของแรงทางซาย

2. Fy = 0 จะไดวา ผลรวมของแรงพงขน = ผลรวมของแรงพงลง* หมายเหต

ในการแกปญหาสมดลตอการเคลอนท อาจใชแกนตงฉาก 2 แกนในแนวอนๆกไดผลเหมอนกนไมจำาเปนตองเปนแกน x , y เสมอไป

จากรปขางตน จะไดความสมพนธของแรงเมอวตถอยในสภาพสมดลตอการเคลอนทวา

1. FX = 0 ไดวา F1cos + F4 sin = F2sin + F3cos2. Fy = 0 ไดวา F1sin + F2cos = F3sin + F4 cos

ซงจากความรเรองสมดลตอการเคลอนท เราอาจนำาไปใชแกปญหาโจทยหาแรงทไมทราบคาไดดงจะได พบจากโจทยตวอยางตอไป

3. การหาแรงลพธและการรวมเวกเตอรโดยวธสรางรป

แรงเปนปรมาณเวกเตอร การหาแรงลพธของแรงยอยทงหมดทำาไดโดยการเขยนรปแบบหางตอหวตวอยางเชน แรง 2 แรงขนานไปทางเดยวกน A จากรป สมการ R = A + B

B ขนาด R = A + BA B ทศทาง R ไปทางเดยวกบ A และ B

R

แรง 2 แรงขนานไปในทศทางตรงกนขาม A จากรป สมการ R = A - B

B ขนาด R = A - BA ทศทาง R ไปทางเดยวกบทศของ

แรงทมคามากB

ในทนทศของ R ไปทางเดยวกบ A R

ความรทตองนำามาใช1. การแตกเวกเตอรหรอแตกแรง2. การหาเวกเตอรลพธหรอแรงลพธ

แรง 2 แรงทำามมกน

B R

BA A

จากรป สมการ R = A + B และขนาดของ R จะตองวดออกมา

แรง 3 แรงกระทำาตอวตถเดยวกน Q P S Q S R P จากรป สมการ R = P + Q + S

ขนาดของ R ไดจากการวดความยาวทศทางของ R มทศจากหางของแรงแรก ( จดเรมตน ) ถงหวลกศรของ

แรงสดทาย

**ถาแรง 3 แรงกระทำาตอวตถเดยวกน แลววตถอยในสภาวะสมดลจะไดรปสามเหลยมปด นนคอขนาดของ R ( แรงลพธ ) = 0 หรอไมมแรงลพธ ดงรป

B C B

O A A C

จากรป สมการ R = A + B + C = 0 ขนาดของ R = 0

แรงหลายแรงกระทำาตอวตถเดยวกน

A B

D C B C

A D Rจากรป สมการ R = A + B + C + D

ขนาดของ R ไดจากการวดความยาว** ถาแรงหลายแรงกระทำาตอวตถเดยวกน แลววตถอยในสภาวะสมดลจะ

ไดรปหลายเหลยมปด นนคอขนาดของ R ( แรงลพธ ) = 0 หรอไมมแรงลพธ ดงรป

B C C A D B E E D A

จากรป สมการ R = A + B + C + D + E = 0

ขนาดของ R = 0

*หมายเหต จากการหาแรงลพธโดยวธสรางรป แรงลพธ R จากรป ทไดกคอแรงททำาใหวตถเคลอนทและมความเรง แตถามแรงหลายแรงกระทำาตอวตถเดยวกน แลวแรงลพธ R = 0 แสดงวาวตถอยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท หรอกลาวไดอกอยางวาวตถอยในสภาวะสมดล

4. การหาแรงลพธ โดยวธคำานวณ

วธท 1 ใชการแตกแรงหรอแยกแรงการแตกแรงหรอแยกแรง คอการแยกแรง 1 แรงออกเปนแรงองคประกอบ 2 แรงซงตงฉากกน

อยตามแนวแกน x และแกน y

F F Fy = F sin

Fy

Fx Fx = F cos

F เปนขนาดของแรงทม F ทำามม กบแกนนอนหรอแกน xFx เปนขนาดของแรงตามแนวแกน x Fy เปนขนาดของแรงตามแนวแกน y

จากความรทางคณตศาสตร พจารณาจากรป FX = cos หรอFX = F cos

F

Fy = sin หรอ Fy = F sin F

ขนาดของแรงลพธหาไดจากสตร F = FX2 + Fy2

ทศทางของแรงลพธหาไดจากสตร tan = Fy Fx

ตวอยาง

F = 10 N Fy Fy = F sin30 ๐

O O FX FX = F cos30 ๐

FX = Fcos30 ๐ = 10 ( 0.866 ) = 8.66 นวตนFy = F sin30 ๐ = 10 ( 0.5 ) = 5 นวตนขนาดของแรงลพธหาไดจากสตร F = FX

2 + Fy2 จะไดวา = (8.66) 2 + ( 5 ) 2

= 74.99 + 25 = 99.99ทศทางของแรงลพธหาไดจากสตร tan = FX จะไดวา

Fy tan = 8.66

= 1.73 5

= tan-1 1.73 = 59.97 ๐ กบแกน x

ตอบ ขนาดของแรงลพธเทากบ 99.99 และ ทศทางของแรงลพธเทากบ 59.97 ๐ กบแกน x

วธท 2 ใชทฤษฎสเหลยมดานขนาน

ถานำาแรง 2 แรงมาเขยนรปตามทฤษฎสเหลยมดานขนานจะไดดงรป

B B

R

A Aจากทฤษฎสามารถหาขนาดของแรงลพธ R ไดจากสตรR2 = A2 + B2 + 2AB cos

พสจนสตร จากรป X = B sin Y = B cos

B R B X A Y

ตามรป และ Pythagorus ( รปสามเหลยมมมฉาก , รปใหญ )R2 = (A + Y)2 + X2

= (A + B cos )2 + (B sin )2

= A2 + 2AB cos + B2 cos2 + B2 sin2 = A2 + 2AB cos + B2 ( sin2 + cos2 )

จากตรโกณ sin2 + cos2 = 1 ดงนนจะไดวา R2 = A2 + B2 + 2AB cos

และหาทศของ R หรอมม ไดจากสตรtan = B sin A + B cos

พสจนสตร จากรป tan = X A + Yซง X = B sin , Y = B cos

ดงนนจะไดวา tan = B sin A + B cos

ตวอยาง มแรง 2 แรงขนาด 8 นวตน และ 6 นวตน โดยทำามม 120 ๐ กบจด O ดงรป จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ

6 นวตน 120 ๐

8 นวตนวธทำา หาขนาดและทศทางของแรงลพธโดยใชทฤษฎสเหลมดานขนาน จะไดรป

B = 6 นวตน 120 ๐ A = 8 นวตน

จากสตร R2 = A2 + B2 + 2AB cos R2 = ( 8 )2 + ( 6 )2 + 2(8)(6) cos 120 ๐

= 64 + 36 + 96 cos (180 ๐- 60 ๐) = 100 + 96 (- cos 60 ๐) = 100 – (96 )(0.5)

R2 = 100 – 48 = 52 R = 52 = 7.2 นวตนหามม จาก tan = 6 sin 120 ๐

8 + 6 cos120 ๐

= 6 sin( 180 ๐ – 60 ๐ ) 8 + 6 cos( 180 ๐ – 60 ๐ ) = 6 sin 60 ๐

8 + 6(- cos 60 ๐ ) = 6 ( 0.866)

8 + 6 (- 0.5 ) tan = 5.19 = 1.03 5

= tan-1 1.03 = 45.8 ๐ กบแกน xตอบ ขนาดของแรงลพธเทากบ 7.2 นวตน และมทศทางทำามม 45.8 ๐ กบแกน x

วธท 3 ใชกฎของ cos

B R B A A

จากกฎของ cos สามารถหาขนาดหรอความยาวของ R ไดเทานนการใชกฎของ cos เราใชดานตรงขามมม และใชสตรเปน - ซงจะใชสตร R2 = A2 + B2 - 2AB cos ( คอมมภายในสามเหลยมและอยตรงขามกบ R)

ตวอยาง

5 N R 5 N 60 ๐ 120 ๐

10 N 10 Nจากสตร R2 = A2 + B2 - 2AB cos แทนคาไดวา R2 = 102 + 52 – 2(10)(5) cos120 ๐

= 125 – 2(10)(5)(-1 ) 2 R = 175 นวตน

= 13.2 นวตน

วธท 4 ใชกฎ sin หรอ ทฤษฎลาม ( Lami Theorem ) เมอมแรงสามแรงมากระทำาตอวตถรวมกนทจด ๆหนง และอยในสภาวะสมดล จะไดวา อตราสวน

ของแรงตอ sine มมตรงขามยอมเทากน Q P

R

ตามรปแรง P ,Q , R อยในสภาวะสมดล จากทฤษฎของลาม จะไดวา P = Q = R sin sin sin

บทแทรกของทฤษฎของลาม กลาววา เมอม 3 แรงมากระทำารวมกนทวตถหนงแลวทำาใหวตถอยในสภาวะสมดล รปสามเหลยมใดกตามทมดานทงสามตงฉากกบแนวของแรงทงสามนนตามลำาดบแลวดานทงสาม ของรปสามเหลยมนน ยอมเปนสดสวนโดยตรงกบแรงซงมแนวตงฉากกบดานนนตามลำาดบ

Q B

C P

R A

จากรปไดวา P = Q = R AB BC CA

ตวอยาง เชอกเสนหนงผกวตถมวล 6 กโลกรม ปลายอกขางหนงตรงตดกบฝาผนง ออกแรงดงวตถไปในแนวระดบดวยแรง P ทำาใหเสนเชอกเอยงทำามม 60 ๐ กบฝาผนง จงหาแรงตงของเชอกและแรง P ทใชดง

60 ๐

T 60 ๐

P

W = 60 N

วธทำา ใชกฎ sin หรอ ทฤษฎลาม จากรปจะได T = P = W

Sin90 ๐ Sin120 ๐ Sin150 ๐

T = P = 60 1 sin(180 ๐ - 60 ๐) sin(180 ๐ - 30 ๐)T = P = 60

sin60 ๐ sin30 ๐

T = 6 = 120 นวตน 0.5 P = 60 sin 60 ๐ = 60

(0.866) = 103.92 นวตน sin30 ๐ 0.5

ตอบ แรงตงเชอก T เทากบ 120 นวตน และแรง P ทดงเทากบ 103.92 นวตน

6

*ทบทวน จากคณตศาสตร sin(A B) = sinAcosB cosAsinB

cos(A B) = cosAcosB + sinAsinB

วธท 5 ใชทฤษฎสามเหลยมแทนแรง

กลาววา ถามแรงสามแรงมากระทำารวมกนทจดๆหนง และแรงทงสามแรงอยในสภาวะสมดล

ขนาดและทศทางของแรงทงสามสามารถแทนไดโดยดานทงสามของสามเหลยมรปหนง เมอดานทงสามของรปสามเหลยมนนขนานกบแนวแรงทงสามตามลำาดบ C

Q P A B R รปแสดงความสมพนธของแรงกบสามเหลยมแทนแรง

เมอ AB // P , BC // Q และ CA // R จะไดวา P = Q = R AB BC CA

ตวอยาง คาน AB ยาว 0.5 เมตร เสยบอยกบซอกกำาแพงทจด A ทปลาย B มเชอก BC ผกตดกบกำาแพงทจด C โดย BC ยาว 2.5 เมตร และ AC ยาว 0.5 เมตร นำากอนนำาหนก 4 กโลกรม ผกตดทปลาย B ดงรป จงหาแรงตงเชอก BC

4

C C T NB B 0.25 m B 0.5 m 0.5 m 40 N

A Aวธทำา จากรป ใชทฤษฎสามเหลยมแทนแรง จะได

T = 40 BC AC T = 40 0.25

0.5 T = 20 Nตอบ แรงตงเชอก BC เทากบ 20 นวตน4. C จากรป AB เปน

คานเบายาว 10 เมตร มวตถผกไวท T จด B และ BC เปนเสนลวดผกโยงคานไวกบฝาผนง 30 ๐ เมอระบบสมดล จงหาคาแรงตงในเสนลวด T A B และ แรงปฎกรยาของบานพบทจด A

โดยใชวธแตกแรง , กฎของ sine , สามเหลยมแทนแรง วธท 1 แตกแรง

C T T sin 30 ๐

30 ๐ T cos 30 ๐ R

40

A R W = 40 N W = 40 N

เมอระบบสมดล จะไดทแกน Y ; Fy = 0 , T sin 30 ๐ = W

T ( 1 ) = 40 2 T = (40)(2) = 80 นวตน

ทแกน X ; Fx = 0 , T cos 30 ๐ = Rแทนคา T จะได 80 ( 3 ) = R

2ดงนน R = 40 3 นวตน วธท 2 กฎของ sine T R

W = 40 Nเมอระบบสมดล F = 0 จะได T = R = W sin90 ๐ sin120 ๐ sin150 ๐

T = R = 40

1 sin60 ๐ sin30 ๐

T = 40 = 80 นวตน 1/2

R = 40 3/2 1/2ดงนน R = 40 3

วธท 3 สามเหลยมแทนแรง C

W T A R B

จากโจทย AB = 10 m AC = tan 30 ๐

AB AC = 10 tan 30 ๐ = 10 (1/3) = 10/3 m

AB = cos 30 ๐ BC

BC = 10 = 20 m 3/2 3เมอระบบสมดล จะได

R = T = W AB BC AC

R = T = 40 10 20/3 10/3ดงนน R = 403 นวตน

T = 80 นวตน

5. วตถมวล 10 กโลกรม แขวนดวยเชอกตดกบเพดาน เมอออกแรงดงวตถมทศขนานกบแนวระดบจนทำาให เชอกเอยงทำามม 37 ๐ กบแนวดง จงหา

ก. ความตงในเสนเชอกข. แรงทใชดงวตถ

ค. ถาเชอกทนแรงตงไดมากทสด 200 นวตน จะออกแรงดงตามแนวระดบจนเชอกทำามมเทาไร เชอกจง ขาดพอด

วเคราะหโจทย 1. เขยนรป แลวใสแรงกระทำาตอวตถ

2. แตกแรง ใหอยในแกนตงฉาก 2 แกน3. หาความสมพนธของแรงบนแกนแตละแกนจาก F = 0

วธทำา หา (ก) และ(ข) ไดจาก F = 0ในแนวดง T cos37 ๐ = mg

37 ๐ T (4/5) = 100

T Tcos37 ๐

T = 125 N 37 ๐

ในแนวระดบ F = T sin 37 ๐ T sin37 ๐ F

= 125(3/5) F = 75 N

mgดงนน ความตงในเสนเชอกเทากบ 125 นวตน แรงทใชดงวตถเทากบ 75 นวตน หา (ค) เมอ T = 200 N

Tcos37 ๐

T T sin 37 ๐ F

mgจาก F = 0ในแนวดง T cos = mg

200 cos = 100 cos = ½

= 60 ๐

ดงนน เชอกจะขาดพอดเมอเชอกทำามม 60 ๐ กบแนวดง6. วตถหนก W เทากบ 5000 นวตนวางอยบนพนและผกดวยเชอกเบายาว L เทากบ 5 เมตร ออกแรง F ในแนว

ระดบดงวตถใหสงจากพน 1 เมตร ดงรป จงหาวาแรง F มขนาดกนวตน

L L 5 m4 m T 3 m 1 m F 1m W วธคด จากรปควรใชทฤษฎสามเหลยมแทนแรง F/ 3 = W/4

F = (5000/4) (3) F = 3,750 นวตน

7. นำาเชอกเบามา 3 เสนผกเขาดวยกน ดงรป จงหาแรงตงเชอกทง 3 เสน

T1 37 ๐ T2

30 cm 40 cm

T3

วธคด ใชการแตกแรง T1 T2

37

37๐

53 ๐

60 sin37 ๐ 60 cos37 ๐

60 N จาก F = 0 ไดวา T1 = 60 cos37 ๐ และ T2 = 60 sin 37 ๐

T1 = 60(4/5) = 48 N T2 = 60 (3/5) = 36 N

สวน T3 = 60 Nตอบ ดงนน แรงตงของเชอก T1 = 48 N, T2 =36 N, T3 = 60 N

WW

6 kg

8. มวล 20 กโลกรม แขวนดวยเชอก 2 เสน ทำามมกบเพดาน ดงรปขางลาง จงหาแรงตงเชอกของ T1, T2

30 ๐ 60 ๐

T2 T1

วธคด ใชการแตกแรง หรออาจคดแบบคอมมระหวาง T1 และ T2 เทากบ 90 ๐

อาจเขยนรปไดอกแบบคอ

T1 sin60 ๐ T2 T1

T2 sin30 ๐ T1

T2 30 ๐ 60 ๐

60 T2cos 30 ๐ T1 cos60 ๐ 200sin60 ๐ 200cos60 ๐

W = 200 N 200 N

จาก F = 0 จาก F = 0

ในแนวแกน X ; T1 cos60 ๐ = T2cos 30 ๐ ไดวา T1 = 200sin60 ๐

T1(1/2) = T2(3/2) = 200(3/2) = 1003 = 173.2 N T1 = 3 T2 ……..(1) T1 = 173.2 N ในแนวแกน Y ; T1 sin60 ๐ + T2 sin30 ๐ = 200 และ T2 = 200cos60 ๐

20

แทนคา T1 จะได (3 T2)(3/2) + T2(1/2) = 200 = 200(1/2) T2 = 100 T2 = 100

Nแทนคา T2 ในสมการ(1); T1 = 1003 = 173.2 Nตอบ ดงนนแรงตงเชอก T1 และ T2 มคาเทากบ 173.2 นวตน และ 100 นวตน ตามลำาดบ

9. จากรปมวล 10 กโลกรม แขวนดวยเชอก 2 เสน ยาว 1.5 เมตร และ 2 เมตร จดแขวนเชอกหางกน 2.5 เมตรจง หาความตงเชอกแตละเสน

2.5 m

A B A T1 2.5 m T2 B

2 m 1.5 m T1 T2 1.5 m 2 m

C C

W = 100 N

วธคด จากรป ใชบทแทรกของทฤษฎของลามจาก T1 = T2 = 100

BC AC ABไดวา T1 = (100)(BC)

AB = (100)(2)

2.5 T1 = 80 N

10 kg

และ T2 = (100)AC AB

T2 = (100)(1.5) 2.5

T2 = 60 Nตอบ ดงนน T1 และ T2 มคาเทากบ 80 นวตนและ 60 นวตน ตามลำาดบ

10. มวล 10 กโลกรม แขวนดวยเชอก 2 เสน ทำามมกบเพดานดงรป จงหาอตราสวนของขนาดแรงตงในเชอก(T1) ตอแรงตงในเชอก(T2)

A 30 ๐ 60 ๐ B T1 T2

T1 T2

C 30

100cos30 ๐ W= 100 N 100sin30 ๐

วธคดท 1 ใชการแตกแรงเนองจาก T1 ตงฉากกบ T2 แตกแรงไดดงรปจาก F = 0ไดวา T1 = 100sin30 ๐ …..(1)และ T2 = 100cos30 ๐ …...(2)

(1) (2) ; T1 = tan 30 ๐

T2= 1/3

วธคดท 2 ใชบทแทรกของทฤษฎของลาม เนองจาก ABC เปนมมฉาก จะไดรปดงน

T1 T2 A 30 60 B จากรป จะ

ไดวา T1 = T2

10

BC AC

C T1 = BC = tan 30 ๐

T2 AC

T1 = 1/3

60 N T2

ตอบ ดงนน อตราสวนของ T1 และ T2 เทากบ 1/3

11. วตถมวล 2 กโลกรม ผกเชอกกบเพดานดงรป จงหาแรงตงในเชอกทตดกบเพดาน

2Tcos30 ๐

A 60 60 B T T

C 30 30 Tsin30 ๐ Tsin30 ๐

20 Nวธคด ใชการแตกแรง จากรปจะไดวา

จาก F = 0ในแนวดง 2Tcos30 ๐ = 20

2T(3 / 2) = 20T = 11.55 N ตอบ ดงนนแรงตงเชอกเทากบ 11.55 นวตน12. จากรป ระบบอยในสภาพสมดล W จะมคาเทาไร

A D T1 T1sin37 ๐ T3sin53 ๐ T3

2

37 ๐ B C 53 ๐ 37T2 T2 53 T3cos53 ๐ T1cos37 ๐ B C

60 N W

วธคดท 1 จากรป ใชการแตกแรง หา T2 กอน(พจารณาทจด B) จะได วธคดท 2 ใชทฤษฎลาม จากรป

จาก F = 0ในแนวดง; T1sin37 ๐ = 60 …..(1)

T1 T3ในแนวระดบ; T1cos37 ๐= T2 …..(2) 37 T2 T2 53(1) (2); tan37 ๐ = 60 (tan37 ๐ = 3/4)

T2T2 = (60)(4/3) = 80 N จะไดวา W = T2 = T3

หา W (พจารณาทจด C) จะไดวา sin127 ๐ sin143 ๐ sin90 ๐

จาก F = 0 W = T2ในแนวดง; W = T3sin53 ๐ .…...(3) sin(180-53) sin(180-37)ในแนวระดบ; T2 = T3cos53 ๐ ……(4) W = T2 …..(1)(3) (4) ; W = tan53 ๐ (tan53 ๐ = 4/3) sin53 ๐ sin37 ๐

T2 W = (80)(4/3) = 106.67 N ซง T2 หาไดจาก T2 = 60

sin127 ๐ sin143 ๐ ตอบ ดงนน W มคาเทากบ 106.67 นวตน T2 = 60

60 W

60 W

W

(ขอนสามารถใชทฤษฎของลามได) sin(180-53) sin(180-37)

T2 = 60 (sin53 ๐= 4/5)

sin53 ๐ sin37 ๐ (sin37 ๐=3/5)

T2 = 80 N

เอา T2 แทนคาใน(1)จะไดวา

W = 80 4/5 3/5

W = 80(5/3)(4/5) = 106.67 N

13. วตถหนก 40 นวตน และ W ผกไวดวยเชอก และอยในสภาวะสมดลในลกษณะดงรป ถาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางวตถกบพนเทากบ 0.4 จงหา W ทมากทสดทจะทำาใหวตถทงสองยงคงอยนงเชนเดม

37 ๐

T3 T1 T2

วธทำา 37 ๐

T3sin37 ๐ T3

T1 T1 A 37 T3cos37 ๐

T2 fS T2

W

40

W

40

จะหา W ตองหา T1 จาก F = 0ไดวา T1 = fS

= N= 0.4 (40)

T1 = 16 Nพจารณาทจด A จาก F = 0

ไดวา T3cos37 ๐ = T1 …..(1)T3sin37 ๐ = T2 …..(2)

(2)(1) ; T3sin37 ๐ = T2 T3cos37 ๐ T1 tan 37 ๐ = T2 (tan37 ๐ = 3/4 )

T1T2 =16(3/4) = 12 N

พจารณาท W จาก F = 0W = T2

W = 12 Nตอบ ดงนนคา W ทมากทสดทจะทำาใหวตถทงสองยงอยนงมคา 12 นวตน

14. วตถหนก 20 นวตน แขวนไวดวยเชอกคลองผานรอกทไมคดความฝด ปลายอกขางหนงของเชอกผกกบวตถหนก 25 นวตน ซงวางอยบนพนเอยงดงรป เมอปลอยไวอยางอสระปรากฎวาวตถทวางบนพนเอยง เคลอนทขนพนเอยงไดพอด จงหาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางพนกบวตถ

25 N 20N

37 ๐

วธทำา จากโจทยวตถเคลอนทขนพนเอยงไดพอด แสดงวาวตถอยในสภาพสมดล และแรงเสยดทานสถต(fS)

มทศทางลงตามพนเอยงพจารณาทวตถหนก 20 นวตน N

ไดวา F = 0 T T = 20 N 25 N fS

Tพจารณาทวตถหนก 25 นวตน 25 sin37 ๐

20 Nไดวา F = 0 37 ๐

25cos37 ๐

T = 25 sin37 ๐ + fS

20 NT = 25 sin37 ๐ + SNT = 25 sin37 ๐ + S(25 cos37 ๐)

เมอ ( sin37 ๐ = 3/5, cos37 ๐ = 4/5 ) แทนคาจะได20 = 25(3/5) + S (25) (4/5) 20 = 15 + 20 SS = 0.25

ตอบ ดงนนคาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางพนกบวตถเปน 0.25

15. มวล m วางบนพนเอยงซงทำามม 30 ๐ กบแนวระดบ ถาวดไดวามวลนนไถลลงพนเอยงดวยความเรง 1/8 g สมประสทธความเสยดทานจลนระหวางมวลนนกบพนจะเปนเทาไร

a

30 ๐

วธทำา a mg sin30 ๐ fK

30 ๐ N mgcos30 ๐

m

m

จากรป F = mamg sin30 ๐ - fK = m(g/8)mg sin30 ๐ - K mgcos30 ๐ = m(g/8)½ - K (3/2) = 1/8K = 0.43

ตอบ ดงนนสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางมวลกบพนเทากบ 0.43

16. วตถหนก W แขวนไดดวยเชอกดงรป ถาแรงดงในเสนเชอกตามแนวระดบเปน 30 นวตน จงหานำาหนก W

53 ๐

T1 30 N

วธทำา T1sin53 ๐ T1

30 N 53 ๐ T1cos53 ๐

Wจาก F = 0ไดวา T1sin53 ๐ = W ….(1)และ T1cos53 ๐ = 30 …..(2)(1)(2) ; tan53 ๐ = W/30(tan53 ๐= 4/3) W = (30)(4/3)

W = 40 Nตอบ ดงนน นำาหนกของวตถเทากบ 40 นวตน17. ไมทอนหนงหนก 30 นวตน แขวนหอยดวยเชอก 2 เสน ดงรป จงหาแรงตงในเชอกทงสอง

W

53 ๐

37 ๐

A B

เนองจาก T1 และ T2 ตงฉากกน T1

T2 ควรแกปญหาโดยการแยกนำาหนก 30 N ใหอยในแนว T1 และ T2

53 ๐

วธทำา จาก F = 0 A Bไดวา T1 = 30 sin53 ๐ 53 ๐

(sin53 ๐= 4/5) T1 = 30(4/5) = 24 N 30cos53 ๐ 53 30sin53 ๐

และ T2 = 30 cos53 ๐ 30 N(cos53 ๐= 3/5)T2 = 30(3/5) = 18 Nตอบ ดงนน แรงตงในเชอกทงสองเทากบ 24 และ 18 นวตน ตามลำาดบ

18. แขวนมวล 50 กโลกรม ไวดงรป จงหาอตราสวนของ T1:T2

T1

45 ๐ T2

วธทำา ใชทฤษฎของลาม ใชการแตกแรงT1cos45 ๐

T1 T1 45 ๐

135 ๐ 135 ๐ T2 T1sin45 ๐ T2

500 N 500 N

50 kg

ทฤษฎของลามจาก T1 = T2

sin90 ๐ sin135 ๐

T1 = 2T2

การแตกแรงจาก F = 0

T1sin45 ๐ = T2

T1 /T2 = 2ตอบ ดงนน อตราสวนของ T1 : T2 เทากบ 2

19. จากรป จงคำานวณหาก. มวล m จะมคามากทสดไดเทาใด โดยระบบยงสมดลไดข. มม มคาเทาไร

= 0.25

วธทำา

T1 T2cosT2

T1 T1 T2sin

mg f T1

ก. จาก F = 0พจารณาท m ; T1 = mgพจารณาท 8 kg ; T1 = f = N

= (0.25)(80) = 20 N(1) = (2) ; mg = 20

8 kg

m

m 8 kg

m = 2 kgตอบ ดงนน มวล m มคามากทสด 2 กโลกรมข. พจารณาทรอก จาก F = 0(แนวระดบ); T2sin = T1 …(3)(แนวดง); T2cos = T1 …(4)(3)(4); tan = 1

= 45 ๐

ตอบ ดงนน มม เทากบ 45 ๐

19. เชอกเบาเสนหนงยาว 20 เมตร. มปลายขางหนงผกกบจดๆหนง บนผวทรงกลมลกหนงและปลายขางหนงผก ไวกบจดบนกำาแพง ซงปราศจากความเสยดทาน ถาทรงกลมมรศม 20 เมตร. และหนก 20 นวตน จงหาแรงตงในเสนเชอกและแรงปฏกรยาทกำาแพงกระทำาตอทรงกลม

T

NA C

20 N

วธทำา C Tcos T

203 m 40 m T sin C

NAA 20 m B

20 Nท C จาก F = 0(แนวดง) ; Tcos = 20

T(203) = 20

40 T = 403 = 23.09 N(แนวระดบ) ; NA = T sin

= (403)(20/40) = 203 NA = 11.55 Nโจทยขอนอาจใช ทฤษฎ แทนแรงกไดจาก T = NA = 20

40 20 203ไดวา T = 40 = 23.09 N

3และ NA = 20/3 = 11.55 N

5. จดศนยกลางของมวล(C.M.) และจดศนยถวง(C.G.)5.1. จดศนยกลางของมวล (Center of mass) “ C.M.” คอ

จดทเสมอนเปนทรวมของมวลทงกอน ซงจดนอาจจะอยในหรอนอกวตถกได การหาจดศนยกลางมวล หาไดโดยการออกแรงกระทำาตอวตถใหเคลอนทตามแนวแรงถาวตถไมหมนแสดงวาแนวแรงนนผานจดศนยกลางมวล กระทำาหลายๆแนวแรงจะพบวาแนวแรงเหลานน จะตดกนทตำาแหนงๆหนง ซงนนกคอ จดศนยกลางมวล“ C.M.” นนเอง

F O รปท 1

แสดง การหาจดศนยกลางของมวล

F F

จากรป จด O เปนจดทแนวแรง F กระทำาผานแลววตถไมหมนโดยวตถเคลอนทตามแนวแรง F ดวยความเรง a ดงนน จด O จงเปนจดศนยกลางมวล (C.M.)

**NOTE

ระบบ(มวลทงสองเทากน)

ระบบ(มวลสองกอนไมเทากน)

1. การพจารณาจดศนยกลางมวล (C.M.) ไมจำาเปนตองเปนของวตถกอนเดยว อาจเปนของระบบท

ประกอบดวยวตถหลายกอนกได

C.M. C.M. วตถกอนเดยว ระบบทประกอบดวยวตถมากกวา 1 กอน

2. ระบบทมวตถหลายกอน จดศนยกลางมวล( C.M.) จะอยระหวางวตถเหลานนโดยจะคอนไปทางกอนทมมวลมากกวา

C.M.

C.M.

3. ถาออกแรงกระทำากบวตถ โดยใหแนวแรงผานจด C.M. วตถจะเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยววตถจะไมหมน

4. ถาออกแรงกระทำากบวตถ โดยแนวแรงไมผานจด C.M. วตถจะเคลอนทแบบเลอนทและเคลอนทแบบหมนดวย

5. เมอขวางหรอรอนวตถออกไป โดยลกษณะการเคลอนทของวตถจะเคลอนทแบบเลอนทและแบบหมนดวย ดงนนจด C.M. ของวตถจะเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยวไมมการหมน สวนจดอนๆทไมใชจด C.M. จะเคลอนททงแบบเลอนทและหมนดวย

Motion

m m M m

AB Rotation

จากรปทจด A คอจด C.M. สวน B เปนจดใดๆทไมใช จด C.M. ซงบรเวณ ทจด B จะเคลอนทแบบเลอนทและแบบหมน แตทจด A จะเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยว

จดศนยกลางของมวลของวตถรปตางๆ1. คานตรงสมำาเสมอ จด C.M. อยทจดกงกลางคาน2. รปทรงกระบอก จด C.M. อยทจดกงกลางของเสนแกนกลางของ

ทรงกระบอก3. รปสเหลยมลกบาศก จด C.M. อยทจดกงกลางของสเหลยม

ลกบาศก4. รปทรงกลม จด C.M. อยทจดกงกลางของทรงกลม5. แผนรปสามเหลยมสมำาเสมอ จด C.M. อยทจดตดของเสน

มธยฐานทงสาม6. แผนรปสเหลยมดานขนานสมำาเสมอ จด C.M. อยทจดตดของเสน

ทแยงมมทงสอง7. แผนกลมสมำาเสมอ จด C.M. อยทจดศนยกลางของแผนกลม8. รปกรวยเหลยม จด C.M. อยในแนวเสนแกนของกรวยเปนระยะ ¼

ของความสงจากฐาน9. รปกรวยกลมตน จด C.M. อยในแนวเสนแกนของกรวยเปนระยะ ¼

ของความสงจากฐาน10. รปกรวยกลมกลวง จด C.M. อยในแนวเสนแกนของกรวยเปน

ระยะ 1/3 ของความสงจากฐาน

5.2 . จดศนยถวง (Center of gravity) “C.G.” คอ จดทเสมอนเปนทรวมของนำาหนกของวตถทงกอน ซง

จดนอาจจะอยในหรอนอกวตถกได การหาจดศนยถวงของวตถหาไดโดยการแขวนวตถนนในแนวลกษณะตางๆกนในแนวดง โดยแนวของนำาหนกของวตถจะตดกนทจดๆหนง ซงนนกคอ จดศนยถวง “C.G.” ดงรป

O

mg mg mg

จากรป จด O เปนจดทแนวของนำาหนกหรอ mg ตดกนไมวาแขวนวตถในลกษณะใดกตาม ดงนน จด O จงเปนจดศนยถวง (C.G.)

จดศนยถวงของวตถรปตางๆ1. คานตรงสมำาเสมอ จด C.G. อยทจดกงกลางคาน2. วตถแผนกลม จด C.G. อยทจดศนยกลางของวงกลม3. วตถแผนรปสเหลยมดานขนาน จด C.G. อยทจดตดของเสนทแยง

มม4. วตถแผนรปสามเหลยม จด C.G. อยทจดของเสนมธยฐาน5. วตถทรงกลม จด C.G. อยทจดศนยกลางของทรงกลม6. วตถรปทรงกระบอก จด C.G. อยทจดกงกลางของเสนแกนของ

ทรงกระบอก7. วตถรปสเหลยมลกบาศก จด C.G. อยทจดศนยกลางของสเหลยม

ลกบาศก8. วตถรปกรวยตน จด C.G. อยในแนวเสนแกนของกรวยเปนระยะ ¼

ของความสงตรงจากฐาน

*หมายเหต ทบนผวโลกบรเวณทมคา g สมำาเสมอ ตำาแหนงของจด C.M.และจด C.G. จะอยทตำาแหนงหรอจดเดยวกน แตถาเปนบนดวงดาวหรอบรเวณใดกตามทมคา g ไมสมำาเสมอ จด C.G.จะเปลยนไปจากเดมแต จด C.M. จะยงคงอยทตำาแหนงหรอจดเดมเสมอ

สรป

จด C.M. เปน จดทเสมอนเปนทรวมของมวลทงกอน จด C.G. เปน จดทเสมอนเปนทรวมของนำาหนกของวตถทงกอน ทบนผวโลกบรเวณทมคา g สมำาเสมอ ตำาแหนงของจด C.M.และจด

C.G. จะอยทตำาแหนงหรอจด เดยวกน(แตจดทงสองมความหมายแตกตางกน) แตถาเปนบนดวงดาวหรอบรเวณใดกตามทมคา g ไม สมำาเสมอ จด C.G.จะเปลยนไปจากเดม แต จด C.M. จะยงคงอยทตำาแหนงหรอจดเดมเสมอ จด C.M.และจด C.G. อาจอยนอกเนอวตถกได เชน แหวน หรอ วตถ

กลวง การหาตำาแหนง C.M. หาไดจากการใชแรงกระทำาทวตถถาวตถไมหมน

แสดงวาแนวนนผานจด C.M. การหาตำาแหนง C.G. หาไดโดยการแขวนวตถนนในแนวลกษณะตางๆ

กนในแนวดง โดยแนวของนำาหนกของวตถจะตดกนทจดๆหนง ซงนนกคอ จดศนยถวง “ C.G.”

5.3การหาตำาแหนงของจดศนยกลางมวลทระบบประกอบดวยมวลยอยๆ หลายๆมวล

ในระบบซงประกอบดวยมวลยอยๆหลายๆมวล เชน m1, m2, m3 , …,mn มจดศนยกลางมวลแตละ

มวลอยท (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , ….,(xn,yn) ตามลำาดบy

y3 m3 yn mn y2 m2

y1 m1

xn x1 x3 x2รปแสดงตำาแหนงระบบพกดฉากของมวลยอย m1, m2 , m3 ,…., mn

จากรป ในการหาตำาแหนงของจดศนยกลางมวลของระบบซงอยทตำาแหนง ( xcm , ycm ) สามารถหาไดจากสมการ ดงน xcm = m1x1 + m2x2 + m3x3 + …+ mnxn

m1 + m2 + m3 + …+mnycm = m1y1 + m2y2 + m3y3 + …+ mnyn

m1 + m2 + m3 + …+mnเมอ xcm เปนตำาแหนงของจดศนยกลางมวลตามแกน x

ycm เปนตำาแหนงของจดศนยกลางมวลตามแกน y

ตวอยางท 1 มวล 5 กโลกรม และมวล 25 กโลกรม อยหางกน 3 เมตร จงหาจดศนยกลางมวลของระบบมวลทงสองอยทใดวธทำา 1. วาดรปแสดงตำาแหนงของมวลทงสอง

2. เมอร m1 = 5 kg , m2 = 25 kg , x1 = 0 , x2 = 3 m ตองการหา xcm

5 kg 25 kg Xcm

X1 3 m X2

จาก xcm = m1x1 + m2x2 = 5(0) + 25 (3)

m1 + m2 5 + 25 xcm = 2.5 เมตร

ตอบ ดงนน จดศนยกลางของระบบอยหางจากมวล 5 กโลกรมเปนระยะ 2.5 เมตร

ตวอยางท 2 จากรป จงหาจดศนยกลางมวลของระบบซงประกอบดวย มวล m , 2m และ 3m

y 4a วธทำา เมอรวา m1 = m , m2

= 2m , m3 = 3m , x1 = a ,y1= a 2m 3m ,x2 = a , y2 = 3a, x3 = 5a , y3 = 3a ตองการหา xcm , ycm

2a จาก xcm = m1x1 + m2x2 + m3x3 a m m1 + m2 + m3

= m(a) + 2m(a) + 3m(5a) a m + 2m + 3m

xcm = 3aและ ycm = m1y1 + m2y2 + m3y3

m1 + m2 + m3 = m(a) + 2m(3a) + 3m(3a) = 2.67a

m + 2m + 3mตอบ ดงนนจดศนยกลางมวลของระบบอยทตำาแหนง( 3a , 2.67a )

ตวอยางท 3 จากรป จงหาจดศนยกลางมวลของแผนโลหะสมำาเสมอ 3 m y 3 m

1 m (1.5 ,3.5 ) 4 m 3 m 4 m

3 m ( 2 , 1.5)

4 m 4 m Xวธทำา เมอร A1 = 3 4 m2 , A2 = 1 3 m2 , x1 = 2 , x2 = 1.5 , y1 = 1.5 , y2 = 3.5 ตองการหา xcm , ycm

จาก xcm = A1x1 + A2x2 A1 + A2

= (3 4)(2) + (1 3)(1.5)

(3 4) + (1 3) xcm = 1.9 m

และ ycm = A1y1 + A2y2 A1 + A2

= (3 4)(1.5) + (1 3)(3.5) (3 4) + (1 3)

ycm = 1.9 mตอบ ดงนน จดศนยกลางมวลของแผนโลหะนอยทตำาแหนง (1.9 , 1.9)

ตวอยางท 4 จากรป จงหาตำาแหนง C.G. (2-X) X (1-X)

Om 2 เมตร

วธทำา จากรป จด C.G. หรอ O เปนจดหมน(M = 0 )m(2-X) + m(1-X) = 2m(X)

X = 3/4 mตอบ ดงนน ตำาแหนงของจด C.G. เทากบ 3/4 เมตร

6. โมเมนต ( Moment)โมเมนต คอ ปรมาณทใชวดผลของการหมนรอบจดใดจดหนง โดย

ขนาดของโมเมนตจะขนอยกบขนาดของแรงและระยะหางของแนวแรงจากจดหมน หรอกลาวไดอกอยางวา ขนาดของโมเมนตหาไดจาก ผลคณของแรงกบระยะทางทตงฉากจากจดหมนถงแนวแรง โดยเขยนสมการไดดงน

คาโมเมนตของแรง = แรง ระยะทางทตงฉากจากจดหมนถงแนวแรง

M = F l

เมอ M คอ โมเมนตของแรง F คอ แรงทกระทำาตอวตถ

l คอ ระยะทางทตงฉากจากจดหมนถงแนวแรง

m m mm

หนวยของโมเมนต ในระบบ SI คอ นวตน-เมตร (N - m) โมเมนตเปนปรมาณเวกเตอร

ก. ข. ค.

O A F l

O B O A

F A

F

จากรป ก ,ข และค. O เปนจดหมนโมเมนตของแรง F = แรง x ระยะ OA

หรอ M = F x l

ตวอยาง จากรป จงหาโมเมนตของแรงทกระทำาตอวตถ เมอ O เปนจดหมนของวตถนน

100 N 2 m 53 ๐ 30 O 2 m O O 2 m

50 N 50 Nรป ก. รป ข.

รป ค.จากรป (ก) ไดวา

จาก M = F x l = 50 2

M = 100 N-mดงนน โมเมนตของแรง รป (ก) มคาเทากบ 100 นวตน-เมตร

จากรป (ข) ไดวา

l = 2sin30 ๐

30 ๐ O 30 ๐ 2 m 50 N

จาก M = F x l = 50 2 sin30 ๐

= 502(1/2)M = 50 N-m

ดงนน โมเมนตของแรง รป (ข) มคาเทากบ 50 นวตน- เมตรขอ(ข) อาจหาคาโมเมนตไดอกวธหนงคอการแยกแรงใหผานจดหมนและตงฉากกบแนวผานจดหมน ดงรป

50cos30 ๐ O 30 ๐ 2 m

50 N 50sin30 ๐

จาก M = F x l = 50sin30 ๐ 2 = 50(1/2) 2M = 50 N-m

ดงนนโมเมนตของแรงเทากบ 50 นวตน - เมตร

จากรป (ค) ไดวา 100 N 100 sin53 ๐

100 cos53 ๐ 53 ๐

O 2 m

จาก M = F x l = 100sin53 ๐ 2 = 100(4/5) 2M = 160 N- m

ดงนน โมเมนตของแรงเทากบ 160 นวตน - เมตร

6.1 ประเภทของโมเมนตเมอวตถถกกระทำาในแนวทไมผานจดหมนหรอจดศนยกลางมวล พบวา

วตถจะเกดหมนโดยทศทางการหมนของวตถมดวยกน 2 ทศทาง จงแบงประเภทของโมเมนตของแรงเปน 2 ประเภทคอ

1. โมเมนตตามเขมนาฬกา2. โมเมนตทวนเขมนาฬกา

การหาโมเมนตลพธเมอมแรงหลายแรงมากระทำา

F2 F1

B O A รปแสดง แรงกระทำาตอวตถหลายแรงรอบจดหมน O C

F3

จากรป มแรง F 1 , F2 และ F3 กระทำาตอวตถ โดยมจด O เปนจดหมน และมระยะทางทตงฉากจากจดหมน O ไปยงแนวแรง F 1 , F2 และ F3 เปนระยะ OA , OB และ OC ตามลำาดบ เมอพจารณาผลการหมนของแรง F 1 , F2 และ F3 พบวาสามารถแยกได 2 พวก คอ แรง F 1 และ F3 เปนแรงทพยายามจะหมนวตถใหหมนไปทศทางทวนเขมนาฬกา สวนแรง F2 เปนแรงทพยายามจะหมนวตถ ใหหมนในทศทางตามเขมนาฬกาซงเราสามารถหาโมเมนตของแตละแรงไดดงน

โมเมนตตามเขมนาฬกา (M2) = F2 (OB)

ในกรณทมแรงหลายแรงมากระทำาตอวตถ การหาโมเมนตลพธจะหาไดอยางไร

โมเมนตทวนเขมนาฬกา (M1) = F1 (OA) (M3) = F3 (OC)

โมเมนตลพธ (M) = M1 + M2 + M3

M = -F1(OA) + F2(OB) - F3(OC)*หมายเหต

เครองหมาย บวก(+) และ ลบ(-) แสดงทศทางของการหมนบวก(+) แทน ทศทางการหมนตามเขมนาฬกาลบ(-) แทน ทศทางการหมนทวนเขมนาฬกา

1. ไมเมตรมวลนอยมากแขวนดวยเชอกไวในทสเกล 50 ซม. ปรากฎวาไมเมตรวางอยในแนวราบ มแรง 25 นวตน กระทำาทสเกล 20 ซม. และมแรง 40 นวตน กระทำาทสเกล 70 ซม. โดยแรงทงสอง มทศทางลงในแนวดง จงหาโมเมนตของแรงทกระทำาตอไมเมตร

0 20 50 70 10025 N 40 N

วธทำา ในทจดหมนคอจดทแขวนไมเมตรจาก M = F lไดวา M ตาม = 40 0.2

= 8 N- mและ M ทวน = 25 0.3

= 7.5 N – mดงนน M = 8 + (-7.5) M = 0.5 N- m ( ตาม )

ตอบ ดงนน โมเมนตของแรงทกระทำาตอไมเมตรเทากบ 0.5 นวตน เมตร –ในทศทางตามเขมนาฬกา

2. คานตรงสมำาเสมอ AB ยาว 4 เมตร มแรง 50 นวตน กระทำาทปลาย B ในแนวทำามม 37 ๐ และมแรง 20 นวตน กระทำาทจด C หางจาก A เปนระยะ 2 เมตร ดงรป จงหาโมเมนตของแรงทงสองรอบจด A

50 N4 m C 37 ๐

A B

20 Nวธทำา 50 sin37 ๐

4 m CA B 50 cos37 ๐

2 m 20 N

จาก M = F lไดวา M ตาม = 20 2

= 40 N – mและ M ทวน = 50 sin37 ๐ 4

= 120 N- mดงนน M = 40 + (-120)

= - 80 N- m M = 80 N- m ( ทวน )ตอบ ดงนน โมเมนตของแรงทงสองรอบจด A เทากบ 80 นวตน- เมตร ในทศทางทวนเขมนาฬกา3. คาน AB มแรงกระทำาดงรป จงหา

4 m1 m 1 m

150 N A O B

30 ๐

30 ๐

150 N 100 N

ก. โมเมนตรอบจด A ข. โมเมนตรอบจด B

4 m 150 sin30 ๐

1 m 1 m A O B

150cos30 ๐

150 sin30 ๐ 100 N(ก.) หาโมเมนตรอบจด A

วธทำา เมอจด A เปนจดหมนจาก M = F lไดวา M ตาม = (150sin30 ๐ 1) + (100 2)

= 275 N – mและ M ทวน = 150 sin30 ๐ 4

= 300 N- mดงนน M = 275 + (-300) = - 25 N- m

M = 25 N- m ( ทวน )ตอบ ดงนน โมเมนตของแรง รอบจด A เทากบ 25 นวตน เมตร ในทศ–ทวนเขมนาฬกา

(ข) หาโมเมนตรอบจด Bวธทำา เมอจด B เปนจดหมน

จาก M = F lไดวา M ตาม = 0และ M ทวน = (100 2) + (150sin30 ๐ 3)

= 425 N- mดงนน M = 0 + (-425) = - 425 N- m

M = 425 N- m ( ทวน )ตอบ ดงนน โมเมนตของแรง รอบจด B เทากบ 425 นวตน เมตร ในทศ–ทวนเขมนาฬกา

7. สภาพสมดลตอการหมน (Rotational Equilibrium)

เปนสภาพเมอวตถไมมการหมน กคอวตถจะอยนงหรอเปนการหมนทมอตราเรวคงท เชน วตถหมนอย

บนพนทไมมแรงเสยดทาน โดยออกแรงกระตนครงแรก วตถกหมนอยกบทดวยอตราเรวคงท แตในทนจะกลาวเฉพาะวตถทไมมการหมนหรออยนงเทานน

l l l l /2

A O B A O C B

F F F 2F

(ก) (ข)รป (ก) และ (ข) แสดงแรงกระทำาตอคานใหคานอยในแนวระดบ

จากรป(ก) และ (ข) คาน AB แขวนเชอกในแนวดง ใหคานอยในแนวระดบจด O เปนจดแขวนเชอก ณ กงกลางคานสมำาเสมอพอด จากรป(ก) เมอวตถถกแรง F กระทำา ณ จด A และจด B ปรากฎวาคานยงคงอยนงโดยไมมการหมนและยงวางตวอยในแนวระดบ เมอหาคาโมเมนตของแรงรอบจด O พบวา

โมเมนตตามเขมนาฬกาเกดจากแรง ณ จด B (M1) = F lโมเมนตทวนเขมนาฬกาเกดจากแรง ณ จด A (M2) = F lโมเมนตรวม ( M ) = M1 + M2

= ( F l ) – ( F l )= 0

ดงนนโมเมนตรวม ( M ) = 0

จากรป(ข) เมอออกแรง F กระทำา ณ จด A และแรง 2F กระทำา ณ จด C ปรากฎวาคานยงคงวางตวอยในแนวระดบได โดยไมหมนเมอหาคาโมเมนตของแรงรอบจด O พบวา

โมเมนตตามเขมนาฬกาเกดจากแรง ณ จด C (M1) = 2F l /2 = F l

โมเมนตทวนเขมนาฬกาเกดจากแรง ณ จด A (M2) = F lโมเมนตรวม ( M ) = M1 + M2

= ( F l ) – ( F l )= 0

ดงนนโมเมนตรวม ( M ) = 0

ดงนนจงสรปไดวา เมอวตถอยในสภาพสมดลตอการหมนโมเมนตรวมของแรงรอบจดหมนจะมคา

เทากบศนย ผลทตามมากคอ โมเมนตตามเขมนาฬกา = โมเมนตทวน

เขมนาฬกา

จากรป (ก) แรงทกระทำาตอคานยงมอก 1 แรง คอ แรงตงเชอก ซงพบวาเมอคานเบาและอยนงแรงตงเชอก T มคาเทากบ 2F ( แรงขน = แรงลง )

T = 2F

A B F l l F

เมอเราให A เปนจดหมนพบวาโมเมนตตามเขมนาฬกา (M1) = F 2 l โมเมนตทวนเขมนาฬกา (M2) = T l = 2F l

โมเมนตรวม ( M ) = M1 + M2

= ( 2F l ) – ( 2F l )ดงนนโมเมนตรวม ( M ) = 0

หรอถาให B เปนจดหมนพบวาโมเมนตตามเขมนาฬกา (M1) = T l = 2F lโมเมนตทวนเขมนาฬกา (M2) = F 2 lโมเมนตรวม ( M ) = M1 + M2

= ( 2F l ) – ( 2F l )ดงนนโมเมนตรวม ( M ) = 0

ในขณะเดยวกนจากรป (ข) ถาเปลยนใหจด A หรอจด B เปนจดหมนผลกคอ โมเมนตรวม( M ) รอบจด

นนๆ = 0สภาพสมดลทสมบรณ คอสภาพทวตถนนเกดสมดลตอการเลอนท

(อยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท)และ สมดลตอการหมน(ไมหมน) ไปพรอมๆกน เชน จากรป(ก) รป(ข) พบวา แรงลพธเปนศนย ( F = 0 )และผลรวมของโมเมนตทกระทำาตอวตถเปนศนย ( M = 0 ) ดวย การหาคาโมเมนตรวมรอบจดหมนใดๆ ผลทไดมคาเหมอนกน กคอ ผลรวมของโมเมนตตามเขมนาฬกาเทากบผลรวมของโมเมนตทวนเขมนาฬกา

M ตาม = M ทวน

*หมายเหต ถาวตถไมสมดลตอการเลอนท( วตถเคลอนทดวยความเรง) แตวตถสมดลตอการหมน(วตถไมหมน) การคดโมเมนตรวมตอง คดรอบจดศนยกลางมวล (C.M.) เทานน

หลกการแกปญหาในเรองสมดลทสมบรณ 1.วาดรปแลวใสแรงทกระทำาตอวตถทพจารณาใหครบทกแรง 2. ลองแกปญหาดวยเรอง สมดลแรงจาก F = 0 ถาแกไมไดกจะไดความสมพนธระหวางแรงดวยกน

3.ใชเรองโมเมนตแกปญหาแตใหพจารณาการเลอกจดหมนใหดๆ

1. คานสมำาเสมอ AB ยาว 3 เมตร หนก 10 นวตน ทปลาย A และปลาย B มกอนนำาหนกแขวนไว 10 และ 20

นวตน ตามลำาดบ ทจดหางจากปลาย A เปนระยะ 1 และ 2 เมตร แขวนกอนนำาหนก 20 และ 10 นวตน ตามลำาดบ ถาแขวนคานนดวยเชอกเบาเสนหนงจะตองแขวนเชอกทตำาแหนงใด คาน AB จงวางตวในแนวระดบได

วธทำา T3 m x

A D C E B

1 m 1 m 10 N 20 N 10 N 10 N 20 N

จาก F = 0T = 70 N

สมมตใหตำาแหนงแขวนเชอกอยทจด O ซงอยหางจด A เทากบ x ให A เปนจดหมน จะไดวา

M ตาม = M ทวน

(201) + (101.5) + (102) + (203) = 70 x x = 115/70 = 1.64 m

ตอบ ดงนนตองแขวนเชอกหางจากปลาย A เทากบ 1.64 เมตร

* หมายเหต การแกปญหาโจทยการหาตำาแหนง แขวนเชอกใหคานสมดลตองคดใหจดหมนอยทปลาย A หรอปลาย B เทานนอยาใชจดบนคานเปนจดหมนเพราะถาวาดรปใสตำาแหนงผดโมเมนตของแรง T อาจผด(ผดททศทางการหมน) แตถาใช A หรอ B เปนจดหมน ถาวาดรปผดทศทางของโมเมนตของแรง T ยงถกตอง

2. คานเบายาว 4L แขวนกอนวตถดงรปและแขวนคานกบเพดาน จงหาขนาดของมวล m ททำาใหคานวางตวอย

ในแนวระดบได

L L L LO

วธทำา ใหจด O เปนจดหมนเพราะ จะตดปญหาเรองแรงตงเชอกท O จาก M ตาม = M ทวน

mL = 2L + 4(2L) + 5(3L) m = 25 kg

ตอบ ดงนน มวล m มขนาดเทากบ 25 กโลกรม

3. คานสมำาเสมอยาว 120 เซนตเมตร หนก 30 นวตน วางบนโตะใหปลายขางหนงพนขอบโตะ 20 เซนตเมตร จงหาวาจะตองใชตมนำาหนกเทาใดมาแขวนทปลายนโดยทอนไมไมกระดกตกจากขอบโตะ

วธทำา O 60 cmA D 20 cm B

30 N

ให AB เปนคานยาว 120 cm มนำาหนก 30 NW เปนตมนำาหนกทนำาไปแขวนทปลาย B ซงพนขอบโตะ 20 cm

จากรป OB = 60 cm , DB = 20 cmOD = 60 – 20 = 40 cm

วตถสมดลตอการหมนใหจด D เปนจดหมน จะไดผลรวมของโมเมนตทวนเขมนาฬกา = ผลรวมของโมเมนตตามเขมนาฬกา

(30)(OD) = (W) (DB)(30)(40) = W(20) W = (30)(40)/20 W = 60 N

ตอบ ดงนนนำาหนกทนำาไปแขวนเทากบ 60 นวตน

5k 4k 2k m

w

8. แรงขนาน (Parallel Forces)

แรงขนาน คอ แรงทมแนวแรงแตละแรงขนานกนหมด การหาแรงลพธของแรงขนานแบงออกเปน 2 แบบ คอ

1. แรงขนานพวกเดยวกน คอ แรงขนานทมทศไปทางเดยวกน ดงรป

A C B

P Q R

รปแสดงตำาแหนงแรงลพธของแรงขนานพวกเดยวกน

โดย C เปนตำาแหนงของแนวแรงลพธ R เปนขนาดของแรงลพธ

ขนาดของแรงลพธหาไดจาก R = P + Qและตำาแหนงของแรงลพธหาไดจาก P(AC ) = Q(BC )

2. แรงขนานตางพวกกน คอ แรงขนานทมทศสวนทางกน

QC A B

R P รปแสดงตำาแหนงแรงลพธของแรงขนาน

ตางพวกกน

โดย C เปนตำาแหนงของแนวแรงลพธ R เปนขนาดของแรงลพธ

ขนาดของแรงลพธหาไดจาก R = P – Q (P Q)หรอ R = Q – P (Q - P)

และ ตำาแหนงของแรงลพธหาไดจาก P(AC ) = Q(BC )

* หมายเหต (1) แรงขนานพวกเดยวกน จด C อยระหวางแนวแรงทงสอง แรงขนาน

ตางพวกกน จด C อยเลยแนวแรงทง สองไปทางใดทางหนง(2) จด C อยใกลแรงทมขนาดมากเสมอ

ตวอยางท 1 แรงขนาน 2 แรงมขนาด 10 และ 15 นวตน กระทำาทจด A และ B ซงหางกน 10 ซม. มทศทางไปทางเดยวกน จงหาขนาดและตำาแหนงของแรงลพธวธทำา 10 cm

A C BX (10-X)

10 N R 15 N

ขนาดของแรงลพธหาไดจาก R = P + Q= 10 + 15 = 25 N

และตำาแหนงของแรงลพธหาไดจาก P(AC ) = Q(BC )10(X) = 15 (10-X)

X = 6 cmตอบ ดงนน แรงลพธมขนาด 25 นวตน อยระหวางแรงทงสองหางจากแรง 10 นวตน 6 เซนตเมตรตวอยางท 2 แรงขนาน 2 แรง มขนาด 21 และ 7 นวตน กระทำาทจด A และ B ตามลำาดบ มทศทางสวนทางกน A และ B หางกน 10 ซม. จงหาขนาดและตำาแหนงของแรงลพธ

วธทำา 7 N C A 10 cm B

R X 21 N

ขนาดของแรงลพธหาไดจาก R = P - Q= 21 - 7 = 14 N

และตำาแหนงของแรงลพธหาไดจาก P(AC ) = Q(BC )21(X) = 7 (10+X)

X = 5 cmตอบ ดงนน แรงลพธมขนาด 14 นวตน อยหางจากแรง 21 นวตน 5 เซนตเมตร

9. แรงคควบ (Couple)9.1 แรงคควบ คอ แรงขนาน 2 แรง ทมขนาดเทากน แตมทศทาง

ตรงกนขาม ดงรป

F l

F l F F

รป แสดงแรงคควบโดย F คอ แรงคควบ

l คอระยะหางระหวางแรงคควบ

9.2 โมเมนตแรงคควบจากรป คานสมำาเสมอ AB ถกแรง

คควบ F กระทำา l F ท A และ B ซงหางกน l ม O เปนจดกงกลางคาน

A O B เมอวตถถกแรงคควบ F กระทำา พบวาวตถจะเกด

การหมน จากรปวตถจะหมนตามเขมนาฬกา F เมอคดโมเมนตของแรงคควบ จะไดวาเมอให O เปนจดหมน จะได

M ตาม = (Fl /2) + (Fl /2) = F l ทศตามเขมนาฬกา

เมอให A เปนจดหมน จะไดM ตาม = F l ทศตามเขมนาฬกา

เมอให B เปนจดหมน จะไดM ตาม = F l ทศตามเขมนาฬกา

แสดงวาโมเมนตของแรงคควบมคาเทากบแรงคณดวยระยะหางระหวางแนวแรงทงสองโดยไมคำานงถงจดหมน

ดงนน โมเมนตแรงคควบ = แรง ระยะหางของแนวแรงทงสอง

MC = F l

หนวยของโมเมนตแรงคควบ คอ นวตน เมตร – (N- m)

สรปทฤษฎของแรงคควบ1. ผลบวกของโมเมนตของแรง 2 แรง ซงทำาใหเกดแรงคควบหนงรอบจด

ใดๆในระนาบเดยวกน ยอมเปนจำานวนคาคงตวและจะมคาเทากบโมเมนตของแรงคควบนน

2. แรงคควบ 2 ค มากระทำารวมกนบนวตถชนหนงในระนาบเดยวกน มโมเมนตเทากน และหมนตรงขามกน แรงคควบทงสองนนจะอยในสภาพสมดล

3. แรงคควบหลายคมากระทำารวมกนบนวตถชนหนงในระนาบเดยวกนจะสามารถแทนไดโดยแรงคควบคหนง ซงโมเมนตเทากบผลบวกของโมเมนตของแรงคควบเหลานน

ตวอยาง ตามรปแรงคควบ 10 นวตน กระทำาทคาน AB ซงยาว 2 เมตร ทปลายทงสองของคาน จงหาโมเมนต

ของแรงคควบน10 N 2 m

A B 10 N

วธทำา จาก MC = F l

= (10)(2)MC = 20 N - m

ตอบ ดงนน โมเมนตของแรงคควบเทากบ 20 นวตน เมตร มทศทวนเขม–นาฬกา

1. จากรป จงหาขนาดของโมเมนตของแรงคควบ และทศของการหมนของวตถ

120 N5 cm 60 ๐

60 ๐

120 Nวธทำา จากรป 120 sin 60 ๐

5 cm 60 ๐

60 ๐ 120 sin 60 ๐

จาก MC = F l = (120 sin 60 ๐)(5 10 - 2) = 600 10 – 2(3 /2) N – m

MC = 3 3 N – mตอบ ดงนน โมเมนตของแรงคควบเทากบ 3 3 นวตน เมตร มทศทวน–เขมนาฬกา

2. ชายคนหนงขบรถหกพวงมาลยเลยวขวา ทำาใหเกดโมเมนตทพวงมาลย 200 นวตน- เมตร ถาพวงมาลยม เสนผานศนยกลาง 40 ซม. จงหาแรงทมอแตละขางดงพวงมาลย

วธทำา จากโจทยร MC = 200 N-m , l = 40 cm ตองการหา F

จาก MC = F l200 = F 0.4

F = 500 Nตอบ ดงนน แรงทมอแตละขางดงพวงมาลยเทากบ 500 นวตน

3. จากรปคาน AB ยาว 1 เมตร มแรงคควบ 20 นวตน กระทำาทปลายทงสอง ถาตองการใหคาน AB หยดหมนตองออกแรงคควบกระทำาท C , D ซงหางกน 40 ซม. เทาไร

20 N A

D F 1 m 40 cm

F C

B 20 N

วธทำา คานหยดหมนแสดงวาสมดล ตองการหา Fจาก M = 0

พจารณาโมเมนตรอบจดใดๆกได เพราะแรงเหลานเปนแรงคควบMC ตาม = MC ทวน(20)(1) = (F)(0.4) F = 50 N

ตอบ ดงนนแรงท C , D มขนาดเทากบ 50 นวตน

10. การคำานวณเกยวกบแรงกระทำาตอกลองบนพนขรขระ

พจารณาแรงทกระทำาตอกลองทวางบนพนขรขระและแรงทกระทำาตอกลองเมอไดรบแรงดนจากภายนอก ดงรป

W

(ก) จากรป(ก) กลองสเหลยมวางบนพนนงๆ พบวา มแรง กระทำาตอกลอง 2 แรง คอ W (นำาหนกของกลอง) และ N (แรงปฏกรยาทพนดนกลอง) โดย N = W

N

(ข) F จากรป(ข) เมอออกแรง F ดนกลองสงจากพน h แลว

กลองยงอยนงๆ พบวามแรงกระทำาตอกลองอก 3 แรง

h คอ fS (แรงเสยดทาน) , W และ N โดย

fS fS = F N N = W

ในทนแรง fS กบ F ประพฤตตวเปนแรงคควบ กอใหเกดโมเมนตในทศตามเขมนาฬกาแตกลองไมหมน แสดงวาตองมแรงคควบอกค คอ N และ W ซงกอใหเกดโมเมนตในทศทวนเขมนาฬกาโดยมขนาดเทากน ดงนนแนวแรง N ตองเลอนออกไปจากแนวกงกลางเดมไปทางขวา ( แนวแรง N อาจเลอนไดทงซายและขวาของแนวกงกลางขนอยกบทศของโมเมนตของแรง F โดย N จะอยในแนวทกอใหเกดโมเมนตตรงขามกบ F )จากรปถาวตถ ไมลมหรอไมหมนแสดงวา MC(N,W) = MC(F,fS)

N d = fS hหรอ W d = F h

การพจารณาวาวตถจะลมหรอยงไมลม เมอถกแรง กระทำาโดยวตถสมดลตอการเลอนท(นงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท) โดยใหแนว N อยทขอบ ดงรป แลวพจารณาโมเมนตของแรงคควบของ N , W กบโมเมนตของแรงคควบ F, fS

W

d

W

d

F

h fS

N1. MC( N , W ) MC( F, fS ) แสดงวาวตถยงไมลมแลวจรงๆ แนว

นำาหนก W ยงไมออกนอกฐาน2. MC( N , W ) = MC( F, fS ) แสดงวาวตถกำาลงจะลมเพราะแนวนำา

หนก W อยแนวเดยว กบ N พอดและ N อยทขอบพอด

3. MC( N , W ) MC( F, fS ) แสดงวาวตถลมไปแลวเพราะแนวนำาหนก W ออกนอกฐาน

ลองมาพจารณารปทง 4 รปF F

Fh

fS fSfS

N d N N N

ก. ข. ค.ง.

จากรป รป (ก)และ(ข) วตถยงไมลม เมอมแรง F กระทำาจะเกดแรงคควบ 2 ค คอ N กบ W และ F กบ fS ทำาใหวตถเกดการหมน โดยแรงคควบ N กบ W เกดโมเมนตทวนเขม และแรงคควบ F และ fS เกดโมเมนตตามเขมนาฬกาวตถ ไมลมดงนนจะไดวา MC( N , W ) MC( F, fS )

W

W

W

W

W

รป (ค) วตถเกดการสมดลครงสดทาย เพราะแนวนำาหนก W อยแนวเดยวกบ Nวตถกำาลงจะลมดงนนจะไดวา

MC( N , W ) = MC( F, fS )รป (ง) วตถลม เพราะแนวนำาหนก W ออกนอกฐาน

วตถลมไปแลวดงนนจะไดวาMC( N , W ) MC( F, fS )

สวนวตถทวางบนพนเอยง และวตถจะลมเมอแนวนำาหนกผานจด N ดงรป และพนเอยงทำามม กบแนวราบ X

l

Nให X เปนความกวางของวตถทวางบนพนเอยง

l เปน ความสงของวตถวตถจะลมพอด พนเอยงจะทำามม กบแนวราบจากรป tan = X/2 = X / l

l /2จะเหนไดวา วตถจะลมไดยากถาฐานกวางและมสวนสงนอย ซงในเรองนจะ

นำาไปใชในการบรรทกของ การสรางรถยนต การทรงตวของสงตางๆ

* หมายเหต 1. N จะเลอนจากแนวกลางไดไกลทสด แคขอบของวตถนน2. ถาวตถไมสมดลตอการเลอนทการพจารณาเรองของโมเมนตตองใช

จดศนยกลางมวล(C.M.)เทานน เปนจดหมนจะใชจดอนๆไมไดเดดขาด

การพจารณาวาวตถเลอนหรอยงเมอถกแรง F กระทำา ใหพจารณาทคาของแรงกระทำา F กบแรงเสยดทานสถตสงสด fS(max)

1. F fS(max) แสดงวาวตถนนไมเลอนและ f ขณะนนกเทากบ F2. F = fS(max) แสดงวาวตถนนกำาลงจะเลอนและ f ขณะนนกมากทสด

(fS(max) = SN)

3. F fS(max) แสดงวาวตถนนเลอนไปแลวและ f ขณะนนเปน fk (แรงเสยดทานจลน = kN)

ตวอยาง กลองใบหนงกวาง 1 เมตร สง 2 เมตร มวล 10 กโลกรม วางอยบนพนระดบ ซงมคาสมประสทธของความเสยดทาน 0.4 ก. จะตองออกแรงกระทำาตอกลองเทาไรจงจะเรมเคลอนทข. ตองออกแรง 40 นวตน ในแนวราบสงจากพนเทาไร กลองจงยงไมลม

วธทำา1m

F F = 40 N h

2 m fS fS

N(ก) กลองเรมเคลอนท

จาก F = 0 F = fS = SN

= (0.4)(100) F = 40 N

ตอบ ดงนนตองออกแรงกระทำาตอกลอง 40 นวตน

(ข) กลองเรมลม N ตองอยทขอบจาก M = 0

เนองจาก F , fS และ W , N เปนแรงคควบ ดงนนจดใด ๆ เปนจดหมนกไดMC ตาม = MC ทวนF h = W 0.540 h = 100(0.5)

h = 1.25 mตอบ ดงนน ตองออกแรง 40 นวตน สงจากพนมากทสด 1.25 เมตร

W W

A

B

A

B

A

B

A

B 0.6 m

11. การคำานวณเกยวกบแรงปฏกรยาทบานพบของประตหรอหนาตาง

1. แรงปฏกรยาท บานพบอนบน กระทำาตอประตหรอหนาตาง จะดงไมใหประตหรอหนาตางหงายออก

2. แรงปฏกรยาท บานพบอนลาง กระทำาตอประตหรอหนาตาง จะผลกไมใหขอบลางของประตหรอหนาตาง เบนเขา

3.ถาบานพบตวใดรบนำาหนก จะมแรงปฏกรยาอก 1 แรงมทศพงขนในแนวดง

RA FB RA FB FA NA FA NA NA

NBNB NB

W FB RB W W FB RB

ตวบนรบนำาหนก ตวลางรบนำาหนก รบนำาหนกทงสองตว

ตวอยาง หนาตางขนาดสมำาเสมอหนก 50 นวตน จดศนยกลางมวลหางจากแนวบานพบ 0.6 เมตร บานพบตดกบกำาแพงในแนวดงหางกน 0.8 เมตร จงหาแรงปฏกรยาทบานพบแตละตว เมอก. บานพบตวบนรบนำาหนกตวเดยวข. บานพบตวลางรบนำาหนกตวเดยวค. บานพบทงสองรบนำาหนกเทากน

วธทำา (ก) FA RA

NA

0.8 mNB

W = 50 Nจาก F = 0 (แนวดง) RA = W = 50 N(แนวระดบ) NA = NB

จาก M = 0พจารณาโมเมนตรอบจด A (หรอ จด B กได)

M ตาม = M ทวน

50 0.6 = NB 0.8 NB = 37.5 N NA = 37.5 Nหา FA ; จาก FA = NA

2 + RA2

FA = (37.5)2 + (50)2 = 62.5 Nตอบ ดงนนแรงปฏกรยาทบานพบตวบนและตวลางเปน 62.5 และ 37.5 นวตน ตามลำาดบ

(ข) NA A

0.8 mNB

FB RB W = 50 N

จาก F = 0 (แนวดง) RB = W = 50 N(แนวระดบ) NA = NB

จาก M = 0พจารณาโมเมนตรอบจด B (หรอ จด A กได)

M ตาม = M ทวน

50 0.6 = NA 0.8 NA = 37.5 N NB = 37.5 Nหา FB ; จาก FB = NB

2 + RB2

FB = (37.5)2 + (50)2 = 62.5 N

0.6 m

B

ตอบ ดงนนแรงปฏกรยาทบานพบตวบนและตวลางเปน 37.5 และ 62.5 นวตน ตามลำาดบ

(ค) FA RA

NA0.8 m

NB FB

RB W = 50 N

จาก F = 0 (แนวดง) RA + RB = 50 N

เมอ RA = RB = 25 N(แนวระดบ) NA = NB

จาก M = 0พจารณาโมเมนตรอบจด A (หรอ จด B กได)

M ตาม = M ทวน

50 0.6 = NB 0.8 NB = 37.5 N NA = 37.5 Nหา FA , FB ; จาก FA = NA

2 + RA2

FA = (37.5)2 + (25)2 = 45.07 NFB = NB

2 + RB2

FB = (37.5)2 + (25)2 = 45.07 Nตอบ ดงนนแรงปฏกรยาทบานพบตวบนและตวลางเปน 45.07 นวตน เทากน

12. เสถยรภาพของสมดลเสถยรภาพของวตถ คอ ความสามารถในการทรงตวอยไดของวตถ

ณ ตำาแหนงใดตำาแหนงหนง ลกษณะ สมดลของวตถ แบงออกเปน 3 ประเภท

A0.6 mB

(1) (2) (3)

1. สมดลแบบเสถยร (Stable Equilibrium) คอ การสมดลของวตถซงเมอมแรงมากระทำากบวตถจากตำาแหนง สมดล แลวเมอแรงนนหยดกระทำา วตถนนจะสามารถกลบมาอยตำาแหนงสมดลเดมของมนได ดงรปท 12. สมดลแบบไมเสถยร(Unstable Equilibrium) คอ การสมดลของวตถ ซงเมอมแรงมากระทำากบวตถจาก ตำาแหนงสมดลแมเพยงเลกนอย วตถนนจะเปลยนไปอยตำาแหนงอน และจะไมกลบมาอยในตำาแหนงสมดล เดมอก ดงรปท 23. สมดลแบบสะเทน (Neutral Equilibrium) คอ การสมดลของวตถซงเมอถกแรงกระทำาวตถจะเปลยน ตำาแหนงไป แตเมอหยดออกแรงกระทำาตอวตถจะอยในลกษณะนน เชน รปกรวยทเอาขางลง ทรงกระบอกท วางตามแนวนอน ดงรปท 3

การพจารณาประเภทของสมดลอาจพจารณาจากตำาแหนงจดศนยกลางมวลของวตถทเปลยนไป เมอถกแรงกระทำา

1. สมดลแบบเสถยร จดศนยกลางมวลสงขน2. สมดลแบบไมเสถยร จดศนยกลางมวลตำาลง3. สมดลแบบสะเทน จดศนยกลางมวลเทาเดม

13. การนำาหลกสมดลไปประยกตในชวตประจำาวนพบวามการนำาหลกสมดลของแรงและโมเมนตมาประยกตใชประโยชนอยาง

กวางขวาง เชน ใชเปนตวชวยผอนแรงตางๆ ไดแก คานงด , กวาน , ลอและเพลา , พนเอยง , ไขควง , คมตดลวด , ลม , รอก, สกร เปนตน

คานFO

r R F P

W

หลกของเครองผอนแรง หรอ เครองกลโดยใชเงอนไขสมดลตอการหมน จะไดผลบวกทางคณตศาตรของโมเมนตของแรงรอบจด P มคาเปนศนย ดงนน

F R = W r

เมอ F = แรงทกระทำาหรอแรงพยายามW = แรงตานหรอแรงทไดR = ระยะจากแนวแรง F ถงจดหมน Pr = ระยะจากแนวแรง W ถงจดหมน P

R/r = เรยกวา การไดเปรยบเทยบเชงกลทางทฤษฎ (MA)W/F = เรยกวา การได เปรยบเทยบเชงกลทแทจรง(MA)

เมอไมมเเรงเสยดทาน R/r = W/Fเมอมแรงเสยดทาน R/r W/F

คาน ม 3 ประเภท คอ1. คานอนดบท 1 โดยคานประเภทน จะมจดหมนอยระหวาง แรงทกระทำา(F) กบ แรงตาน(W ) เชน คม , กรรไกร , ชะแลงงดตะป เปนตน

F P

W2. คานอนดบท 2 โดยคานประเภทน จะมแรงตาน(W) อยระหวางจดหมนกบ แรงทกระทำา(F) เชน รถเขนดน ,มดตดกระดาษ , ททบกลวยป ง เปนตน

F P

W

3. คานอนดบท 3 โดยคานประเภทน จะมแรงกระทำา(F) อยระหวางจดหมนกบ แรงตาน(W) ซงคานชนดนจะเสยเปรยบเชงกล เชน แหนบถอนหนวด , คมคบถาน , ตะเกยบ เปนตน

PF W

รอก (Pulley)รอก คอ เครองกลชนดหนงทชวยผอนแรง หรอบางชนดไมผอนแรง แตอำานวยความสะดวกใน

การเคลอนยายวตถอยางเชน รอกเดยวตายตว รอกมลกษณะทำาดวยไมหรอโลหะขางๆ วงลอ จะทำาเปนรองสำาหรบคลองเชอกตรงกลาง

ชนดของรอก รอกแบงออกเปน 2 ชนด คอ รอกเดยว (Single pulley) และ รอกพวง(Combination of pulley )

1. รอกเดยว ยงแบงไดอก 2 ชนด คอ- รอกเดยวตายตว(Single fixed pulleys) ใชแขวนตด

เพดานดงรป

ให F เปนแรงดงเชอกหรอแรงพยายาม

W เปนนำาหนกของวตถ T เปนแรงตงเชอก

จากรป F = W T F

การไดเปรยบเชงกล (M.A.) = W = 1 F

- รอกเดยวเคลอนท ชวยผอนแรงแตในทางปฏบต เราจะใชรอกเดยวตายตวชวย แลวจงจะ ดงเชอกไดสะดวก ดงรป

จากรป ถาไมคดนำาหนกของรอก

T 2T = W F T = W/2

T และจากรป T = F F = W/2

การไดเปรยบเชงกล (M.A.) = W = 2 F

2. รอกพวง แบงได 3 ชนด- รอกพวงระบบท 1 ใชเชอกเทากบจำานวนรอก

T4 T4

T3 F T2 T3

T1 T2

T1

จากรป รอกตวท 1 2T1 = WT1 = W/2

รอกตวท 2 2T2 = T1

W

1

5

2

3

4

w

T2 = T1/2 = W/22

รอกตวท 3 2T3 = T2

T3 = T2/2 = W/23

รอกตวท 4 2T4 = T3

T4 = T3/2 = W/24

ซง T4 = F F = W/24 (รอกม 4 ตว)

ถารอกมทงหมด n ตว F = W/2n

การไดเปรยบเชงกล ( M.A.) = W/F = 2n

- รอกพวงระบบท 2 ประกอบดวยรอก 2 ตบ ตบบนตดเพดาน ตบลางเคลอนทใชเชอกเสนเดยวกนคลองรอก การคลองอาจเรมตนจากตบบน หรอตบลางกได

FT

T T

T T

W

จากรป รอกเกลยงและระบบอยในสภาพสมดล5T = W T = W/5

และ T = F F = W/5ถา จำานวนเชอกเทากบ n F = W/n

การไดเปรยบเชงกล ( M.A.) = W/F = n

- รอกพวงระบบท 3 รอกพวงระบบท 3 คลายกบรอกพวงระบบท 1 แตตางจากระบบท 1 ตรงทเหมอนควำาลง

T4

T3T2

T1 F

จากรป เมอรอกทกตวไมมแรงเสยดทานและไมคดนำาหนกของรอก T1 + T2 + T3 + T4 = Wแต T1 = F , T2 = 2F , T3 = 4F , T4 = 8Fเมอนำา T1 , T2 , T3 , T4 ไปแทนคา จะไดวา

F + 2F + 4F + 8F = W

4

3

2

1

W

15F = W F = W/15

ถารอก ม n ตว F = W 2 n – 1

การไดเปรยบเชงกล (M. A.) = W/F = 2n – 1

พนเอยงพนเอยง คอ พนราบซงเชอมระหวางจด 2 จดทมระดบแตกตางกน ซงนำามาใชผอนแรงในการ

ทำางาน พนเอยงยงลาดเอยงมาก กยงทำาใหพนเอยงนนผอนแรงมากขน เครองกลประเภทนไดแก บนได , บนไดเลอน , แผนไมกระดาษทพาดทายรถบรรทก

h F

Wจากหลกของงาน งานทให = งานทเครองกลให

F l = W hเมอให l = ความยาวของระนาบเอยง

h = ความสงของระนาบเอยงW = แรงตานF = แรงพยายาม

การไดเปรยบเชงกล (M.A.) = W/F = l / h

ลมลม คอ พนเอยงทบรรจบกนเปนสนคม ลมตางกบพนเอยงตรงทลมเปนพนเอยงทเคลอนทได ลมทำา

l

h

ดวยวตถแขง บางครงม 2 หนา เชน ขวาน , สว , บางครงม 4 หนา เราลมใชสำาหรบผา แหวะวตถใหแยกจากกน

F L

W W

เมอให F = พยายามทกระทำาใหลมเคลอนทเขาไปในวตถW = แรงตานทานของเนอวตถL = ความกวางของหวลม หรอระยะทเนอวตถแยกจากกนh = ความยาวของลม หรอระยะทลมจมลกลงไปในเนอวตถ

จากหลกของงาน งานทปอนแกเครองกล = งานทเครองกลทำาให F h = W L

การไดเปรยบเชงกล ( M.A.) = W/F = h / L สกร

สกร คอ พนเอยงทพนอยรอบแกนโลหะ ลกษณะเวยนเปนเกลยวรอบตว เครองกลทจดอยในจำาพวก

สกร ไดแก แมแรง , ตะป , สวาน , กอกนำา เปนตน

W

R P (Pitch)

F

เมอให F = แรงพยายามทใหW = แรงตานบนวตถP = ระยะหางระหวางเกลยวR = รศมทแรงพยายามทำาใหสกรหมน 1 รอบ

เมอหมนสกร 1 รอบ เปนระยะทาง = 2R สกรจะเคลอนทได 1 เกลยวจากหลกของงาน งานทใหแกเครองกล = งานทเครองกลทำาได

F 2R = W P

การไดเปรยบเชงกล (M.A.) = W/F = 2R / P

ลอและเพลาลอรศมใหญ เพลามรศมเลกมแกนรวมกน ใชเชอก 2 เสน พบกลบทางกน ลอและเพลาหมนทาง

เดยวกน เครองกลประเภทนไดแก กวานสมอเรอ , กวานตกนำาจากบอ , โมหน เปนตน

R r

r R

F W F

ให F = แรงพยายามW = แรงตานR = รศมของลอr = รศมของเพลา

หลกของงาน งานทใหแกเครองกล = งานทเครองกลทำาได F 2R = W 2rF R = W r

สวนการหากวานใชหลกเดยวกบลอและเพลา ตางกนตรงทR = ความยาวของคนกวานr = รศมของเสากวาน

การไดเปรยบเชงกล (M.A.) = W/F = R / r

W

การไดเปรยบเชงกล (Mechanical Advantage) หรอเขยนยอ M.A. คออตราสวนระหวางแรงตานกบแรงพยายาม

M. A. = W/F ไมมหนวย

ถา M.A. = 1 แสดงวาเครองกลอำานวยความสะดวกแตไมผอนแรง M.A. 1 แสดงวาเครองกลชวยผอนแรงและไดเปรยบเชงกล M.A. 1 แสดงวาเครองกลไมชวยผอนแรงและยงเสยเปรยบเชงกล

ประสทธภาพ (Efficiency) คอ อตราสวนระหวางการไดเปรยบเชงกลทแทจรงกบการไดเปรยบเชงกลทางทฤษฎ ซงเขยนเปนสมการไดวา

Eff = MA(แทจรง) 100%MA(ทฤษฎ)

Eff = แรงทไดจรง 100%แรงทควรได

14. สภาพยดหยน

สภาพยดหยน (Elasticity) เปนสมบตของวตถทเมอถกแรงกระทำา วตถจะเปลยนรปรางไปจากเดมและ

เมอแรงกระทำานนหมดไป วตถจะกลบคนสสภาพเดม แตมวตถหลายชนดเมอถกแรงกระทำาแลวรปรางของวตถจะเปลยนไปเลยไมสามารถกลบคนสสภาพเดมได ทเปนเชนนอาจเนองมาจากวตถนนมสภาพยดหยนนอยยกตวอยางเชน ยางรดกบ ดนนำามน เมอวตถทงสองชนดถกแรงกระทำา ปรากฎวายางจะกลบคนสสภาพไดดแตดนนำามนจะไมกลบคนสสภาพเดม เปนตน

ในกรณทวตถเปลยนรปรางไปอยางถาวรโดยผววตถไมมการฉกขาดหรอแตกหกดงตวอยางดนนำามน เราจะเรยกสมบตอยางนวา สภาพพลาสตก ( Plasticty) วตถหลายชนดมทงสภาพยดหยนและสภาพพลาสตกในตวเอง โดยจะมสภาพยดหยนเมอแรงกระทำามคานอย และมสภาพพลาสตกเมอแรงทกระทำามคามาก

การหาความสมพนธระหวางขนาดของแรงทใชดงสปรงกบระยะยดของสปรง

เมอใหสปรงวางตวในแนวราบ ปลายขางหนงถกตรงแนน แลวออกแรงดงทปลายอกขางหนง ทำาให

สปรงยดออกไปเรอยๆ เมอเขยนกราฟระหวางขนาดของแรงทใชดงสปรง (F) กบระยะทสปรงยดออก (X) จะไดกราฟ ดงรป

รปกราฟ ระหวางขนาดของแรงดงกบความยาวทสปรงยดออก

จากกราฟสรปไดดงน1. กราฟในชวง oa เปนเสนตรง แสดงวา F X เปนไปตามกฎของ ฮก (Hooke ’ s Law) จด a เปนจดสดทายท F X เรยกจด a วา ขดจำากดการแปรผนตรง (proportional limit) ถาออกแรงดงสปรงมากวาแรงทจด a แรงกระทำา F จะไมแปรโดยตรงกบระยะยด X อกตอไป2. ถาออกแรงเลยจด a แตไมเลยจด b พบวาเมอแรงกระทำาหมดไป สปรงจะกลบคนสสภาพเดมได แตถาออก แรงกระทำามากกวาแรงทจด b หลงจากแรงกระทำาหมดไป สปรงจะไมสามารถกลบคนสสภาพเดมได จงเรยก จด b วา ขดจำากดสภาพยดหยน (elastic limit)3. ถาออกแรงตงแตจด b เปนตนไป สปรงจะเปลยนรปรางไปอยางถาวรและถาดงตอไปอกจนถงจด c จดนเรยก วา จดคราก (yield point) ซงเปนจดทความยาวของสปรงเพมขนอยางรวดเรว ขณะทแรงดงเพมขนอกเพยง เลกนอย เมอออกแรงดงตอไปจนเลยจด d ซงเปนจดทเสนวตถขาด จดนเรยกวา จดแตกหก (brealing point)

ก. กอนสปรงถกดง ข.สปรงถกยดจนใกลขดจำากดสภาพยดหยน

ค. สปรงถกยดจนเกนขดจำากดสภาพยดหยน

ชวง o b เรยกวา การผดรปแบบยดหยน (elastic deformation) และสภาพของวตถในชวง ob

เรยกวา สภาพยดหยน ซงเปนสมบตของวตถทมการเปลยนรปรางเมอมแรงมากระทำา และเมอหยดออกแรงกระทำา วตถจะสามารถกลบคนสสภาพเดมไดอก

ชวง b d เรยกวา การผดรปแบพลาสตก (plastic deformation) ซงเปนสมบตของวตถทเปลยนรปรางไปอยางถาวร โดยวตถยงไมฉกขาดหรอแตกหก

วตถสวนใหญจะมทงสภาพยดหยนและสภาพพลาสตกในตวเองโดยจะมสภาพยดหยนเมอมแรงกระทำาขนาดนอยๆ และจะมสภาพพลาสตกเมอแรงทกระทำามขนาดมาก แตมวตถบางชนดมแตสภาพพลาสตก

แรงททำาใหวตถผดรปจากความรเรองสภาพยดหยนของวตถ ทำาใหทราบวา เมอมแรงมากระทำากบวตถ พบวารปรางของ

วตถจะเปลยนแปลงไป ตามทศทางของแรงทกระทำา โดยวตถเหลานนจะประพฤตตามกฎของฮก ถาแรงทกระทำามขนาดไมมากเกนไป โดยแรงมขนาดนอยกวา ขดจำากดสภาพยดหยน เชน ลวด ,โลหะ , แกว , พลาสตก เปนตน แตมวตถบางชนดทไมเปนไปตามกฎของฮก เชน ดนนำามน , หมากฝรง เพราะเมอมแรงกระทำาเพยงเลกนอยรปรางจะเปลยนไปอยางถาวร

โดยทวไปแลวแรงทกระทำาตอวตถมผลทำาใหวตถมรปรางเปลยนไป ม 3 แบบ ไดแก

1. แรงดง (tensile forces) เปนแรงทกระทำาตอวตถ มผลทำาใหความยาวของวตถเพมขน

2. แรงอด (forces of compression) เปนแรงทกระทำาตอวตถ มผลทำาใหความยาวของวตถลดลง

3. แรงเฉอน (shear forces) เปนแรงทกระทำาบนผววตถ มผลทำาใหผววตถเลอนไปหรอรปรางวตถบดรป รางไปจากเดม ตามแนวยาว แรงทกระทำานเรยกวา แรงบด (forces of torsion) ซงเปนแรงเฉอนชนด หนง

F F F F F F

รป ก. แรงดง รป ข. แรงอด รป ค. แรงเฉอน

14.1 ความเคนและความเครยดเมอนำาวตถแขวนเขากบเสนลวดในแนวดง ดงรป

F F

F = mg F

F

mg F

Fรปแสดง แรงในเสนลวด

เมอพจารณาสวนของเสนลวดทถกแรงดงจากนำาหนก วตถทแขวนดงรป การทเสนลวดยงรบนำาหนกของวตถอยไดนน ยอมแสดงวาเสนลวดจะตองมแรงภายในหรอแรงระหวางโมเลกลเพมขนเพอทจะยดโมเลกลของเสนลวดไมใหเสนลวดขาดออกจากกน แรงยดระหวางโมเลกลทเพมขนนเรยกวา แรงเคน

แรงเคนทเกดขนจะกระทำาในแนวตงฉากกบพนทหนาตดของวตถ แรงเคนจะกระจายสมำาเสมอบนพนทหนาตดของวตถนน ในกรณแรงเคนในเสนลวดกคอ แรงดงในเสนลวดนนเอง

อตราสวนระหวางแรงเคนตอพนทหนาตดทตงฉากนเรยกวา ความเคนตามยาว (longitudinal stress)แทนดวยสญลกษณ (อานวา ซกมา sigma) และเขยนเปนความสมพนธไดวา

= F Aเมอให เปนความเคน(N/m2 หรอ Pa)

F เปนแรงเคน( N)A เปนพนทหนาตดของเสนลวด (m2)

ความเคน ( stress )เมอออกแรงกระทำาตอวตถ อตราสวนระหวางแรงกระทำาตอพนท เรยกวา ความเคน เปนปรมาณ

สเกลาร โดยทวไปความเคนม 2 ชนด ไดแก ความเคนตามยาวและความเคนเฉอน

ความเคนตามยาว (longitudinal stress) แบงได 2 ชนด คอ ความเคนแบบดง (tensile stress)ซงแรง F กระทำาตอวตถในลกษณะดงใหยดออก กบ ความเคนแบบอด ( compression stress ) ซงแรง F กระทำาตอวตถในลกษณะอดใหหดสนลง

สวน ความเคนเฉอน (shear stress ) นน แรง F ทกระทำาตอวตถจะทำาใหวตถบดเบอนรปรางไปจากเดม

F F

รป ก. ความเคนแบบดง รป ข. ความเคนแบบอด

F FF

Fรป ค . ความเคนเฉอน

จากการศกษาเมอมแรงภายนอกมากระทำาตอวตถทมความยดหยน วตถนนจะมการเปลยนแปลงรปรางไป การเปลยนแปลงรปรางของวตถนอาจจะเปนการเปลยนความยาว ปรมาตร หรอเกดการโคงงอหรอบดกได อตราสวนระหวางขนาดรปรางทเปลยนไป กบขนาดรปรางเดม นเราเรยกวา ความเครยด (strain)

ในกรณของวตถทเปนเสน เชน สปรง , ยางยด หรอเสนลวด ขนาดรปรางทเปลยนไป คอ ความยาว เราจงเรยก ความเครยดชนดนวา ความเครยดตามยาว (longitudinal strain) แทนดวยสญลกษณ (อานวา เอพซลอน epsilon)

LO L

F F

พจารณาจากรป เสนลวดมความยาวเดม LO เมอมแรงขนาดเทากนสองแรงมาดงทปลายแตละขางของเสนลวดในทศตรงกนขามกนเสนลวดจะยดออก Lจากนยาม ของความเครยดตามยาวเขยนเปนความสมพนธไดวา

= L LO14.2 ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด

เมอใชแรงดงเสนลวดทยดปลายขางหนงไว แลวบนทกขนาดของแรงดงกบความยาวของเสนลวดทเปลยนไป โดยแรงทดงเสนลวดไมใหขนาดของแรงเกนขดจำากดของการเเปรผนตรงของเสนลวด แลวนำาขนาดของแรงดงกบความยาวของเสนลวดทเปลยนไป ไปคำานวณหาความเคนตามยาว () และความเครยดตามยาว() ซงจะไดความสมพนธดงกราฟ

รปกราฟ ความสมพนธระหวางความเคนตามยาวและความเครยดตาม

ยาว

จากรปกราฟ ขางตน พบวา ความเคนตามยาวจะแปรผนตรงกบความเครยดตามยาว นนคอ อตราสวนของความเคนตามยาวและความเครยดตามยาวของวตถชนดหนงๆ จะมคาคงตว ซงเรยกวา มอดลสของยง (Young ’ s modulus ) แทนดวยสญลกษณ Y และเขยนความสมพนธไดวา

Y =

หรอ Y = F/A หรอ Y = F. LO

L/LO A . L

มอดลสของยง มหนวยเปน นวตนตอตารางเมตร (N/m2) วตถทมมอดลสของยงสงแสดงวา วตถนนทนตอการเปลยนแปลงความยาวได หรอเปลยนความยาวไดนอยขณะทมความเคนมาก

เนองจากความเคนและความเครยดมดวยกนหลายแบบ อตราสวนระหวางความเคนและความเครยดของวตถชนดหนงๆ ซงมคาคงตวจะเรยกวา มอดลสสภาพยดหยน ( Modulus of elasticity) โดยวตถตางชนดกนจะมมอดลสสภาพยดหยนตางกน และวตถชนดเดยวกนจะมมอดลสสภาพยดหยนไดหลายแบบ เชน มอดลสของยง , มอดลสเฉอน( sherar modulus) วตถทมมอดลสเฉอนสง แสดงวาวตถนนทนตอการทำาใหผงหนงเลอนไปบนอกผวหนง และมอดลสเชงปรมาตร (bulk modulus) วตถทมคามอดลสเชงปรมาตรสง แสดงวาวตถนนทนตอการเปลยนแปลงปรมาตร ซงรายละเอยดในการหาจะไดศกษาในระดบสงตอไป

จากความรทวา มอดลสสภาพยดหยนและขดจำากดของสภาพยดหยนเปนสมบตเฉพาะตวของวตถ ความรเหลานจงนำาไปใชประโยชนในดานวศวกรรม เชน ในการเลอกวตถเพอใชเปนโครงสรางอาคาร , สะพานหรอชนสวนของเครองจกรกล นกวศวกรผออกแบบจะตองเลอกวตถทมสมบตสภาพยดหยนเหมาะสมกบงานโดยวตถทมมอดลสสภาพยดหยนสงจะทนตอแรงภายนอกไดมาก หรอทำาใหรปรางเปลยนไดยาก สวนความเคนทขดจำากดสภาพยดหยนจะบอกใหทราบวา วตถนนทนตอแรงภายนอกมากทสดไดเพยงใด เพอใหกลบสสภาพเดมได ดงนนในการใชวตถทใชทำาเปนโครงสรางอาคาร สะพาน หรอชนสวนของเครองจกรกล จำาเปนตองเลอกใชวตถททนตอแรงกระทำาไดมาก ซงหมายความวา วตถนนจะตองมมอดลสสภาพยดหยนสงและขดจำากดสภาพยดหยนสงดวย วตถดงกลาวไดแก เหลกกลา และโลหะผสม เปนตน

ตารางแสดง คามอดลสยดหยนของวตถบางชนด

ชนดของวตถ มอดลสของยง( 10 10

N/m2 )

มอดลสเฉอน( 10 10

N/m2)

มอดลสเชงปรมาตร

( 10 10

N/m2)

อะลมเนยมทองเหลองทองแดงเหลกกลาทงสเตนแกวควอรตซนำาปรอท

7.09.1112035

6.5-7.85.6--

2.53.54.28.414

2.6-3.22.6--

7.06.1141620

5.0-5.52.7

0.212.8

1. ในการทดลองหาคามอดลสโดยใชนำาหนก 450 กโลกรม แขวนไวทปลายเสนลวดเหลกยาว 2 เมตร พนท หนาตด 0.15 ตารางเมตร ปรากฎวาลวดยดออก 0.3 เซนตเมตร จงหาความเคน ความเครยด และคามอดลส ของยง ของลวดเหลกนวธทำา จากโจทยร m = 450 kg , LO= 2 m , A = 0.15 cm2 หรอ 0.1510 – 4 ,L = 0.3 cm หรอ 0.3 10 – 2 m ตองการหา , และ Y

หา ; จาก = F/A (F = mg) F = (450)(10)

0.1510 – 4

= 3 10 8 N/m2

หา ; จาก = L/ LO

= 0.3 10 – 2

mg 2 = 1.5 10 – 3

หา Y ; จาก Y = / = 3 10 8/ 1.5 10 – 3

Y = 2 10 11 N/ m2

ตอบ ดงนน ความเคนเทากบ 3 10 8 นวตนตอตารางเมตร , ความเครยดเทากบ 1.5 10 – 3 และคามอดลสเทากบ 2 10 11 นวตนตอตารางเมตร

2. เสาคอนกรตตนหนงรบนำาหนกไดสงสด 20,000 กโลกรม และจะหดตวลง 3 มลลเมตร ถาเสาคอนกรตนม ฐานกวาง 10 เซนตเมตร ยาว 20 เซนตเมตร สง 4.5 เมตร จงหาคามอดลสของเสาตนน

วธทำา จากโจทยร m = 2 10 4 kg , L = 3 10 – 3 m , A = 1020 10- 4 m2 , LO = 4.5 m ตองการหา Y

จาก Y = / = F/A (F = mg) L/ LO= F . LO = (2 10 4 )(10)

(4.5)L . A (3 10 – 3)

( 1020 10- 4) Y = 1.5 10 10 N/ m2

ตอบ ดงนน คามอดลสของเสาตนนเทากบ 1.5 10 10 นวตนตอตารางเมตร3. จากกราฟระหวางความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของเสนลวดเสนหนง จงหาคามอดลสของ ยงของลวดเสนนมคาเทาใด ( 10 6N/m2 )

1000 800 600 400 200

0 ( 10 - 3N/m2 ) 1 2 3 4วธทำา จาก Y = slope

= 800 10 6

4 10 – 3

= 2 1011 N/m2 Y = 2 10 11 N/ m2

ตอบ ดงนน คามอดลสของเสาตนนเทากบ 2 10 11 นวตนตอตารางเมตร

15. ความทนแรงของวตถความทนแรง (Strength) เปนสมบตของวตถทบอกใหทราบความ

สามารถในการตานทานความเคนของวตถนนๆ หาไดจากแรงสงสดตอหนงหนวยพนทกอนทวตถจะเกดการแตกหก ในกรณทเปนความเคนดงสงสด จะเรยกวา ความทนแรงตง (tensile strength) ในทำานองเดยวกน สำาหรบความเคนอดสงสดและความเคนเฉอนสงสด จะเรยกวา ความทนแรงอด (compressive strength) และความทนแรงเฉอน (shear strength)ตามลำาดบ

ตารางแสดง ความทนแรงของวตถบางชนดวตถ ความทนแรงดง

( 108 N/m2)ความทนแรงอด

( 108 N/m2)ความทนแรง

เฉอน( 108 N/m2)

เหลกลาเหลกหลอทองเหลองอะลมเนยมคอนกรตไมกระดก

5.01.72.52.0

0.020.41.3

5.05.52.52.00.2

0.351.7

2.51.72.02.0

0.020.05

-

การดงเปนเสน (ductile) เปนสมบตของวตถทถกทำาใหมความยาวเพมขนไดงายหรอทำาใหขนรปไดงายโดยไดรบความเคนไมมากนก วตถทมสมบตนจะมชวงการผดรปแบบพลาสตกยาว เชน ทองแดง ตะกว เปนตน

ความเปราะ (brittle) เปนสมบตของวตถซงเมอไดรบความเคน เกนคาขดจำากดของความยดหยนจะแตกไดงาย วตถทมสมบตเชนนจะมชวงการผดรปแบบพลาสตกสน เชน แกว , เซรามก วตถทเปราะไมไดหมายความวาไมมความทนแรงหรอมความออน แกวเปนวตถทเปราะแตมความทนแรง

ดงสงใกลเคยงอะลมเนยม สวนเซรามกกเปนวตถทเปราะแตมความทนแรงดงสง ซงสงกวาโลหะหลายชนดอก