หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com76 หล กคณ ตศาสตร ทฤษฎ บท 4.1.1 ส าหร บเซต และ ใดๆ จะได

04 ความสมัพนัธ ์

4.1 ผลคณูคารที์เซียน

ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ และให ้𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 เราเรยีก (𝑎, 𝑏) ว่า คู่อนัดบั (ordered

pair) 𝑎 และ 𝑏 และเรยีก 𝑎 ว่าสมาชิกตวัหน้า และเรยีก 𝑏 ว่าสมาชิกตวัหลงัของคู่อนัดบั (𝑎, 𝑏)

จะกล่าวว่าคู่อนัดบั (𝑎, 𝑏) และคู่อนัดบั (𝑐, 𝑑) เท่ากนั กต่็อเมือ่ สมาชกิตวัหน้า และสมาชกิตวัหลงัของแต่ละคู่อนัดบัมคี่าเท่ากนั นัน่คอื

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) กต่็อเมือ่ 𝑎 = 𝑐 และ 𝑏 = 𝑑

บทนิยาม 4.1.1 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ ผลคณูคารที์เซียน (Cartesian product) ของ 𝐴 และ 𝐵 คอื เซตของคูอ่นัดบั (𝑥, 𝑦) ทัง้หมดซึง่ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵 และเขยีนแทนดว้ย 𝐴 × 𝐵

นัน่คอื 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵}

ในกรณทีี ่𝐴 = 𝐵 จะเขยีนแทน 𝐴 × 𝐴 ดว้ย 𝐴2

บทที่

76 ห ลั ก ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

ทฤษฎีบท 4.1.1 ส าหรบัเซต 𝐴 และ 𝐵 ใดๆ จะไดว้่า 𝐴 × 𝐵 = ∅ กต่็อเมือ่ 𝐴 = ∅ หรอื 𝐵 = ∅ พิสจูน์ (⇒) สมมตวิ่า 𝐴 ≠ ∅ และ 𝐵 ≠ ∅ ดงันัน้ จะม ี𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵 นัน่คอื (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ดงันัน้ 𝐴 × 𝐵 ≠ ∅

(⇐) สมมตวิ่า 𝐴 × 𝐵 ≠ ∅ จะไดว้่าม ี(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵 ดงันัน้ 𝐴 ≠ ∅ และ 𝐵 ≠ ∅ ∎

หมายเหตุ จากทฤษฎบีท 4.1.1 จะสมมลูกบัขอ้ความ 𝐴 ≠ ∅ และ 𝐵 ≠ ∅ กต่็อเมือ่ 𝐴 × 𝐵 ≠ ∅

ทฤษฎีบท 4.1.2 ให ้𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐷 เป็นเซตใดๆ ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐷 แลว้ 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐶 × 𝐷 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝐴 ⊆ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐷 ให ้(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐵 เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐷 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐶 และ 𝑦 ∈ 𝐷 ตามล าดบั ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 × 𝐷 นัน่คอื 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐶 × 𝐷 ∎

ทฤษฎีบท 4.1.3 ส าหรบัเซต 𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐷 ใดๆ จะไดว้่า

(1) 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) (2) 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶)

(3) (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐶 × 𝐷) = (𝐴 ∩ 𝐶) × (𝐵 ∩ 𝐷)

(4) (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷)

พิสจูน์ (1) ให ้(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐶 ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) (3) ให ้(𝑥, 𝑦) ∈ (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐶 × 𝐷) ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 × 𝐷 ⇔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)

ตวัอย่าง 4.1.1. (1) ให ้𝐴 = {2, 3} และ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} จะไดว้่า 𝐴 × 𝐵 = {(2, 𝑎), (2, 𝑏), (2, 𝑐), (3, 𝑎), (3, 𝑏), (3, 𝑐)} 𝐵 × 𝐴 = {(𝑎, 2 ), (𝑎, 3 ), (𝑏, 2), (𝑏, 3), (𝑐, 2), (𝑐, 3)} 𝐴 × 𝐴 = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

(2) ℝ2 = ℝ × ℝ = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ ℝ และ 𝑦 ∈ ℝ}

ดงันัน้ ℝ2 คอืเซตของจดุบนระนาบนัน่เอง

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ 77

⇔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∩ 𝐷 ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) × (𝐵 ∩ 𝐷) (4) เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∪ 𝐷 โดยทฤษฎบีท 4.1.2 จะไดว้่า

𝐴 × 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷) ท านองเดยีวกนั จะไดว้่า 𝐶 × 𝐷 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷) ดงันัน้ (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐶 × 𝐷) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷) ∎

ตวัอยา่งต่อไป เราจะแสดงใหเ้หน็ว่า (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷) ⊈ (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐶 × 𝐷)

จากตวัอยา่ง 4.1.3 จะสงัเกตเหน็ว่าจ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 จะมคี่าเท่ากบัผลคณูของจ านวนสมาชกิของ 𝐴 และจ านวนสมาชกิของ 𝐵 เมือ่ 𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตจ ากดั

ตวัอย่าง 4.1.2. ให ้𝐴 = {1}, 𝐵 = {2}, 𝐶 = {3} และ 𝐷 = {4} ดงันัน้ 𝐴 × 𝐵 = {(1, 2)} และ 𝐶 × 𝐷 = {(3, 4)} นัน่คอื (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐶 × 𝐷) = {(1, 2), (3, 4)}

แต่ (𝐴 ∪ 𝐶) × (𝐵 ∪ 𝐷) = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)}

ตวัอย่าง 4.1.3. (1) ให ้𝐴 = {𝑎1, 𝑎2} และ 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3} จะไดว้่า 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎1, 𝑏3), (𝑎2, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎2, 𝑏3)}

ดงันัน้ จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 = 6 (2) ให ้𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3} และ 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4} จะไดว้่า 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎1, 𝑏3), (𝑎1, 𝑏4), (𝑎2, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎2, 𝑏3), (𝑎2, 𝑏4), (𝑎3, 𝑏1), (𝑎3, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3), (𝑎3, 𝑏4)}

ดงันัน้ จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 = 12 (3) ให ้𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} และ 𝐵 = {𝑏} จะไดว้่า

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎1, 𝑏), (𝑎2, 𝑏), (𝑎3, 𝑏), … , (𝑎𝑛, 𝑏)}

ดงันัน้ จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 = 𝑛


ทฤษฎีบท 4.1.4 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตจ ากดั ถา้ 𝑛(𝐴) = 𝑚 และ 𝑛(𝐵) = 𝑛 แลว้ 𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑚𝑛 เมือ่ 𝑛(𝐴) แทนจ านวนสมาชกิของเซต 𝐴

พิสจูน์ ให ้𝑛(𝐴) = 𝑚 และสมมตวิ่า 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚} เราจะพสิจูน์โดยหลกัอุปนยัเชงิคณติศาสตรบ์น 𝑛(𝐵) = 𝑛 เมือ่ 𝑛 เป็นจ านวนเตม็บวกใดๆ

ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 1 สมมตใิห ้𝐵 = {𝑏} ดงันัน้ 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎1, 𝑏), (𝑎2, 𝑏), (𝑎3, 𝑏), … , (𝑎𝑚, 𝑏)}

นัน่คอื จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 = 𝑚 × 1 ตวั ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ

ขัน้ตอนแบบอุปนยั ให ้𝑘 ≥ 1 สมมตวิ่า จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × 𝐵 เท่ากบั 𝑚𝑘 เมือ่ 𝑛(𝐵) = 𝑘 ให ้𝑛(𝐵) = 𝑘 + 1 สมมตวิ่า 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘, 𝑏𝑘+1} จะไดว้่า 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘} ∪ {𝑏𝑘+1} ดงันัน้ โดยทฤษฎบีท 4.1.3(2) จะไดว้่า 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × ({𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘} ∪ {𝑏𝑘+1}) = (𝐴 × {𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑘}) ∪ (𝐴 × {𝑏𝑘+1}) โดยสมมตฐิาน จะไดว้่าจ านวนสมาชกิของ 𝐴 × {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑘} เท่ากบั 𝑚𝑘 เนื่องจาก 𝐴 × {𝑏𝑘+1} = {(𝑎1, 𝑏𝑘+1) , (𝑎2, 𝑏𝑘+1) , … , (𝑎𝑚, 𝑏𝑘+1)} ดงันัน้ จ านวนสมาชกิของ 𝐴 × {𝑏𝑘+1} = 𝑚 และเนื่องจาก 𝑏𝑘+1 ≠ 𝑏𝑖 ส าหรบัทุก 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑘} ดงันัน้

(𝐴 × {𝑏1, 𝑏2 , … , 𝑏𝑘}) ∩ (𝐴 × {𝑏𝑘+1}) = ∅ นี้แสดงว่า จ านวนสมาชกิของเซต 𝐴 × 𝐵 = 𝑚𝑘 + 𝑚 = 𝑚(𝑘 + 1)

โดยการอุปนัยเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า 𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑚𝑛 ส าหรบัทุกจ านวน

เตม็บวก 𝑛 นัน่คอื 𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑚𝑛 เมือ่ 𝑛(𝐴) = 𝑚 และ 𝑛(𝐵) = 𝑛 ∎

เราสามารถขยายแนวคดิของผลคณูคารท์เีซยีนของเซตสองเซตใดๆ ไปสู่ผลคณูของเซตมากกว่า 2 เซตได ้ดงันี้

บทนิยาม 4.1.1 ให ้𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 เป็นเซตใดๆ และให ้𝑎1 ∈ 𝐴1, 𝑎2 ∈ 𝐴2, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴𝑛 เราเรยีก (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) ว่า 𝒏-ส่ิงอนัดบั (𝑛-tuple) ของเซต 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛

ผลคณูตรง (direct product) ของเซต 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 คอื เซตทีป่ระกอบไปดว้ย 𝑛-สิง่อนัดบั (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) โดยที ่𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 เมือ่ 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑛} เขยีนแทนดว้ย 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 หรอื ∏ 𝐴𝑖

𝑛𝑖=1 นัน่คอื

𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) | 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 ส าหรบัทุก 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ 79 แบบฝึกหดั 4.1

1. จงพสิจูน์ ทฤษฎบีท 4.1.3 (2), (3)

2. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ถ้าข้อความเป็นจริงให้แสดงการพิสูจน์ ถ้า

ขอ้ความเป็นเทจ็ ใหย้กตวัอยา่งคา้น เมือ่ให ้𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐷 เป็นเซตใดๆ

1) ถา้ 𝐴 ≠ ∅ และ 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐶 แลว้ 𝐵 = 𝐶

2) ถา้ 𝐵 ⊆ 𝐶 แลว้ 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐴 × 𝐶 3) ถา้ 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐶 แลว้ 𝐵 = 𝐶

4) (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = 𝐴 × (𝐵 × 𝐶)

5) ถา้ 𝐴 × 𝐵 ≠ ∅ แลว้ (𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 กต่็อเมือ่ 𝐴 = 𝐵)

6) ถา้ (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐵 × 𝐴) = ∅ แลว้ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

7) 𝐴 × (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶)

8) (𝐴 × 𝐵) − (𝐶 − 𝐷) = (𝐴 − 𝐶) × (𝐵 − 𝐶)

9) (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶)) = (𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶)) × (𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐶))

10) 𝐴 × ⋃ 𝐵𝑖 = ⋃ (𝐴 × 𝐵𝑖)𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

11) 𝐴 × ⋂ 𝐵𝑖 =𝑛𝑖=1 ⋂ (𝐴 × 𝐵𝑖)

𝑛𝑖=1


4.2 ความสมัพนัธ ์

บทนิยาม 4.2.1 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ จะกล่าวว่า 𝑟 เป็น ความสมัพนัธ์ (relation) จาก 𝐴 ไป 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝑟 ⊆ 𝐴 × 𝐵

กรณทีี ่𝑟 ⊆ 𝐴 × 𝐴 จะกล่าวว่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴

ข้อสงัเกต (1) เนื่องจาก ∅ ⊆ 𝐴 × 𝐵 และ 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐴 × 𝐵 ดงันัน้ ∅ และ 𝐴 × 𝐵 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 ดว้ย (2) จากบทนิยามของความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 คอืเซตยอ่ยของผลคณูคารท์เีซยีน 𝐴 × 𝐵 ดงันัน้ จ านวนความสมัพนัธท์ัง้หมดเท่ากบั 𝑛(𝑃(𝐴 × 𝐵))

ข้อตกลง ในกรณทีี ่(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 เรากล่าวว่า 𝑥 มคีวามสมัพนัธ ์𝑟 กบั 𝑦 และเขยีนแทนดว้ย 𝑥 𝑟 𝑦 และในทางตรงกนัขา้มถา้ (𝑥, 𝑦) ∉ 𝑟 เรากล่าวว่า 𝑥 ไมม่คีวามสมัพนัธ ์𝑟 กบั 𝑦

ตวัอย่าง 4.2.1. ให ้𝐴 = {2, 3, 5} และ 𝐵 = {1, 3, 4} ดงันัน้ 𝐴 × 𝐵 = {(2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 4)} ให ้ 𝑟1 = {(2, 1), (3, 3), (3, 4)}, 𝑟2 = {(2, 1), (3, 1), (5, 1)}, 𝑟3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 < 5}, 𝑟4 = {(2, 2), (3, 3), (5, 5)}

ดงันัน้ 𝑟1, 𝑟2 และ 𝑟3 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 แต่ 𝑟4 ไมเ่ป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵

ตวัอย่าง 4.2.2. ให ้ 𝐴 = {1, 2, 3, 4} และให ้ 𝑟 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1)}

จะไดว้่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น 𝐴 เนื่องจาก (1, 1) ∈ 𝑟 ดงันัน้ 1 𝑟 1 ท านองเดยีวกนั จะได้ว่า 2 𝑟 1 และ 2 𝑟 2 เป็นตน้

จะสงัเกตว่าความสมัพนัธ ์𝑟 บน 𝐴 คอืความสมัพนัธ ์≥ บนเซต 𝐴 นัน่เอง

ตวัอย่าง 4.2.3. ให ้< = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ | 𝑦 − 𝑥 ∈ ℕ } จะไดว้่า < เป็นความสมัพนัธบ์น ℤ นัน่คอื ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ < เราเขยีนแทนดว้ย 𝑥 < 𝑦


บทนิยาม 4.2.2 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธจ์ากเซต 𝐴 ไปเซต 𝐵 โดเมน (domain) ของ 𝑟 คอื เซตของสมาชกิตวัหน้าของคู่อนัดบัทัง้หมดใน 𝑟 เขยีน

แทนดว้ย 𝐷𝑟 หรอื 𝐷𝑜𝑚 𝑟 นัน่คอื 𝐷𝑜𝑚 𝑟 = {𝑥 ∈ 𝐴 | ม ี𝑦 ∈ 𝐵, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟}

จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑟 ⇔ ∃𝑦 ∈ 𝐵, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟

เรนจ ์(range) ของ 𝑟 คอื เซตของสมาชกิตวัหลงัของคู่อนัดบัทัง้หมดใน 𝑟 เขยีนแทนดว้ย 𝑅𝑟 หรอื 𝑅𝑎𝑛 𝑟 นัน่คอื

𝑅𝑎𝑛 𝑟 = {𝑦 ∈ 𝐵| ม ี𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟} จะไดว้่า

𝑦 ∈ 𝑅𝑎𝑛 𝑟 ⇔ ∃𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑟

ข้อสงัเกต (1) 𝐷𝑜𝑚 𝑟 ⊆ 𝐴 และ 𝑅𝑎𝑛 𝑟 ⊆ 𝐵

(2) 𝑟 ⊆ 𝐷𝑜𝑚 𝑟 × 𝑅𝑎𝑛 𝑟 แต่ 𝐷𝑜𝑚 𝑟 × 𝑅𝑎𝑛 𝑟 ≠ 𝑟

ตวัอย่าง 4.2.4. ให ้𝑟 = {(𝑥, 𝑥)| 𝑥 ∈ ℝ} จะไดว้่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น ℝ จะเหน็ว่าความสมัพนัธด์งักล่าวคอื = นัน่คอื ส าหรบัทุกจ านวนจรงิ 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ จะไดว้่า (𝑥, 𝑦) ∈ = กต่็อเมือ่ 𝑥 = 𝑦

ตวัอย่าง 4.2.5. จากตวัอยา่ง 4.2.1 จะเหน็ไดช้ดัเจนว่า 𝐷𝑟1= {2, 3}, 𝑅𝑟1

= {1, 3, 4}, 𝐷𝑟2

= {2, 3, 5}, 𝑅𝑟2= {1}, 𝐷𝑟3

= {2, 3} และ 𝑅𝑟3= {1}

ตวัอย่าง 4.2.6. ให ้𝑟 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ ℝ และ 𝑦 ∈ ℝ และ 𝑦 = 2𝑥 } จงแสดงว่า 𝐷𝑟 = ℝ และ 𝑅𝑟 = ℝ พิสจูน เนื่องจาก 𝑟 ⊆ ℝ × ℝ จงึไดว้่า 𝐷𝑟 ⊆ ℝ ให ้𝑥 ∈ ℝ เลอืก 𝑦 = 2𝑥 จะไดว้่า 𝑦 ∈ ℝ และ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 โดยบทนิยาม 4.2.2 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐷𝑟 ดงันัน้ ℝ ⊆ 𝐷𝑟 สรปุไดว้่า 𝐷𝑟 = ℝ เนื่องจาก 𝑟 ⊆ ℝ × ℝ จงึไดว้่า 𝑅𝑟 ⊆ ℝ

ให ้𝑦 ∈ ℝ เลอืก 𝑥 =𝑦2

จะไดว้่า 𝑥 ∈ ℝ และ 𝑦 = 2𝑥 ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 นัน่คอื 𝑦 ∈ 𝑅𝑟 ดงันัน้ ℝ ⊆ 𝑅𝑟 สรปุไดว้่า 𝑅𝑟 = ℝ


บทนิยาม 4.2.3 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 ความสมัพนัธ์ผกผนั (inverse relation) ของ 𝑟 คอื เซตของคู่อนัดบั (𝑦, 𝑥) ทัง้หมดซึง่

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 เขยีนแทนดว้ย 𝑟−1 นัน่คอื 𝑟−1 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐵 และ 𝑦 ∈ 𝐴 และ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑟}

ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟−1 ⇔ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑟

ข้อสงัเกต 𝑟−1 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐵 ไป 𝐴 นัน่คอื 𝑟−1 ⊆ 𝐵 × 𝐴

ทฤษฎีบท 4.2.1 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 จะไดว้่า

(1) 𝐷𝑟−1 = 𝑅𝑟 (2) 𝑅𝑟−1 = 𝐷𝑟

พิสจูน์ แบบฝึกหดั ∎

ตวัอย่าง 4.2.7. ให ้𝑠 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | |𝑥| + |𝑦| ≤ 1} จงพสิูจน์ว่า 𝐷𝑠 = [−1, 1] พิสจูน ให ้𝑥 ∈ 𝐷𝑠 จะไดว้่า 𝑥 ∈ ℝ และม ี𝑦 ∈ ℝ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑠 ดงันัน้ |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 นัน่คอื |𝑥| ≤ 1 − |𝑦| ≤ 1 หรอื −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ดงันัน้ 𝑥 ∈ [−1, 1] จะไดว้่า 𝐷𝑠 ⊆ [−1, 1]

ให ้𝑥 ∈ [−1, 1] จะไดว้่า −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 นัน่คอื |𝑥| ≤ 1 เลอืก 𝑦 =1−|𝑥|

2

จะไดว้่า 𝑦 ∈ ℝ เนื่องจาก |𝑥| ≤ 1 ดงันัน้ 1 − |𝑥| ≥ 0 จงึไดว้่า 1−|𝑥|

2≥ 0 นัน่คอื 𝑦 ≥ 0

ท าใหไ้ดว้่า |𝑦| = 𝑦 =1−|𝑥|

2≤ 1 − |𝑥| นัน่คอื |𝑥| + |𝑦| ≤ 1

ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑠 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐷𝑠 นัน่คอื [−1, 1] ⊆ 𝐷𝑠 ดงันัน้ [−1, 1] ⊆ 𝐷𝑠 สรปุไดว้่า 𝐷𝑠 = [−1, 1]

ตวัอย่าง 4.2.8. ให ้ 𝑟 = {(3, 𝑎), (4, 𝑏), (5, 𝑎)} ดงันัน้ 𝑟−1 = {(𝑎, 3), (𝑏, 4), (𝑎, 5)} จะไดว้่า 𝐷𝑟−1 = 𝑅𝑟 = {𝑎, 𝑏} และ 𝑅𝑟−1 = 𝐷𝑟 = {3, 4, 5}

ตวัอย่าง 4.2.9. ให ้ 𝑠 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ| 𝑦 = 𝑥2 + 3} ดงันัน้ 𝑠−1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥 = 𝑦2 + 3} เนื่องจาก 𝐷𝑠 = ℝ และ 𝑅𝑠 = [3 , ∞) ดงันัน้ 𝐷𝑠−1 = [3, ∞) และ 𝑅𝑠−1 = ℝ

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ 83 บทนิยาม 4.2.4 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 และ 𝑠 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐵 ไป 𝐶 ความสมัพนัธ์ประกอบ (composite relation) ของ 𝑟 กบั 𝑠 คอืความสมัพนัธจ์าก 𝐴

ไปยงั 𝐶 เขยีนแทนดว้ย 𝑠 ∘ 𝑟 ซึง่ก าหนดดงันี้ 𝑠 ∘ 𝑟 = {(𝑥, 𝑧) ∈ 𝐴 × 𝐶 | ม ี𝑦 ∈ 𝐵 ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 และ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑠}

ทฤษฎีบท 4.2.2 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐴 ไป 𝐵 และ 𝑠 เป็นความสมัพนัธจ์าก 𝐵 ไป 𝐶

จะไดว้่า (1) 𝐷𝑠∘𝑟 ⊆ 𝐷𝑟 และ 𝑅𝑠∘𝑟 ⊆ 𝑅𝑠

(2) (𝑠 ∘ 𝑟)−1 = 𝑟−1 ∘ 𝑠−1

พิสจูน์ (2) ให ้ (𝑥, 𝑦) ∈ (𝑠 ∘ 𝑟)−1 ⇔ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑠 ∘ 𝑟 ⇔ ม ี𝑧 ∈ 𝐵 ซึง่ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑟 และ (𝑧, 𝑥) ∈ 𝑠 ⇔ ม ี𝑧 ∈ 𝐵 ซึง่ (𝑧, 𝑦) ∈ 𝑟−1 และ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑠−1 ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟−1 ∘ 𝑠−1 ∎

แบบฝึกหดั 4.2

1. จงพสิจูน์ทฤษฎบีท 4.2.1 และทฤษฎบีท 4.2.2 (1)

2. ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏} และ 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น 𝑃(𝐴) ซึง่ก าหนดโดย

(𝑋, 𝑌) ∈ 𝑟 กต่็อเมือ่ 𝑋 ⊆ 𝑌

ส าหรบัทุก 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑃(𝐴) จงหา 𝑟, 𝑟−1, 𝐷𝑟 และ 𝑅𝑟

3. ให ้𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10} และ 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น 𝐴 ทีก่ าหนดโดย

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑟 กต่็อเมือ่ 2 หาร 𝑎 + 𝑏 ลงตวั

จงหา 𝑟, 𝑟−1, 𝐷𝑟 และ 𝑅𝑟

ตวัอย่าง 4.2.10. ให ้ 𝑟 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑎), (3, 𝑐), (4, 𝑑)} และ 𝑠 = {(𝑎, 𝑥), (𝑎, 𝑦), (𝑐, 𝑧), (𝑑, 𝑤)} ดงันัน้ 𝑠 ∘ 𝑟 = {(1, 𝑥), (1, 𝑦), (3, 𝑥), (3, 𝑦), (3, 𝑧), (4, 𝑤)}

และจะไดว้่า 𝐷𝑠∘𝑟 ⊆ 𝐷𝑟 และ 𝑅𝑠∘𝑟 ⊆ 𝑅𝑠


4. ให ้𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10} และ 𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์น 𝐴 ทีก่ าหนดโดย

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑠 กต่็อเมือ่ 𝑎 หาร 𝑏 ลงตวั หรอื 𝑏 หาร 𝑎 ลงตวั

จงหา 𝑠, 𝑠−1, 𝐷𝑠 และ 𝑅𝑠

5. จงหาโดเมนและเรนจข์องความสมัพนัธท์ีก่ าหนดใหต่้อไปนี้

1) 𝑟1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥 + 3𝑦 = 1} 2) 𝑟2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ |4𝑥 − 𝑦 = 0} 3) 𝑟3 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑥2 + 𝑦 = 2} 4) 𝑟4 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑦 ≤ 𝑥2 − 5} 5) 𝑟5 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 4} 6) 𝑟6 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑦 = √𝑥 − 3 } 7) 𝑟7 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑦 = |𝑥 − 2| + 3}

6. จงพจิารณาขอ้ความต่อไปนี้ ถ้าเป็นจรงิให้แสดงการพสิูจน์ ถ้าเป็นเทจ็ให้ยกตวัอย่างค้าน เมื่อ

ก าหนดให ้𝑟 และ 𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴

1) (𝑟−1)−1 = 𝑟

2) 𝑟 ⊆ 𝑠 กต่็อเมือ่ 𝑟−1 ⊆ 𝑠−1

3) 𝑟 ∪ 𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴

4) 𝑟 ∩ 𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴

5) 𝑟 − 𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴

6) (𝑟 ∪ 𝑠)−1 = 𝑟−1 ∪ 𝑠−1

7) (𝑟 ∩ 𝑠)−1 = 𝑟−1 ∩ 𝑠−1

8) 𝐷𝑟∪𝑠 = 𝐷𝑟 ∪ 𝐷𝑠

9) 𝐷𝑟∩𝑠 = 𝐷𝑟 ∩ 𝐷𝑠

10) 𝑅𝑟∪𝑠 = 𝑅𝑟 ∪ 𝑅𝑠

11) 𝑅𝑟∩𝑠 = 𝑅𝑟 ∩ 𝑅𝑠


4.3 ชนิดของความสมัพนัธ ์

ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ เนื่องจาก ∅ ⊆ 𝐴 × 𝐴 ดงันัน้ ∅ จงึเป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 เราเรยีก ความสมัพนัธน์ี้ว่า ความสมัพนัธว่์าง (void relation)

และท านองเดยีวกนั เราทราบว่า 𝐴 × 𝐴 ⊆ 𝐴 × 𝐴 ดงันัน้ 𝐴 × 𝐴 เป็นความสมัพนัธ์บนเซต 𝐴 เราเรยีก ความสมัพนัธน์ี้ว่า ความสมัพนัธเ์อกภพสมัพทัธ์ (universal relation)

ให ้ 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 จะเรยีก 𝑟 ว่า ความสมัพนัธเ์อกลกัษณ์ (identity

relation) บนเซต 𝐴 กต่็อเมือ่ แต่ละคู่อนัดบัในความสมัพนัธจ์ะมสีมาชกิตวัหน้าเท่ากบัสมาชกิตวัหลงั เขยีนแทนดว้ย 𝐼𝐴 นัน่คอื

𝐼𝐴 = {(𝑥, 𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐴}

บทนิยาม 4.3.1 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 เรากล่าวว่า 𝑟 มสีมบติัสะท้อน (reflexive) บน 𝐴 กต่็อเมือ่ ส าหรบัทุก 𝑎 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑟

𝑟 มสีมบติัสมมาตร (symmetric) บน 𝐴 กต่็อเมือ่ ส าหรบัทุก 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, ถา้ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑟 แลว้ (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑟

𝑟 มสีมบติัถ่ายทอด (transitive) บน 𝐴 กต่็อเมือ่ ส าหรบัทุก 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, ถา้ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑟 และ (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑟 แลว้ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑟

ตวัอย่าง 4.3.1. ให ้𝐴 = {2, 3, 5} จะไดว้่า {(2, 2), (3, 3), (5, 5)} เป็นความสมัพนัธ ์เอกลกัษณ์บน 𝐴 และ {(2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} เป็น ความสมัพนัธเ์อกภพสมัพทัธบ์น 𝐴

ตวัอย่าง 4.3.2. ให ้𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 } และ 𝑟 = {(𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑑, 𝑑), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑑), (𝑑, 𝑏), (𝑑, 𝑐), (𝑐, 𝑑)}

จะไดว้่าความสมัพนัธ ์𝑟 ไมม่สีมบตัสิะทอ้น เนื่องจาก (𝑒, 𝑒) ∉ 𝑟

แต่ 𝑟 มสีมบตัสิมมาตรและสมบตัถ่ิายทอด

ตวัอย่าง 4.3.3. ให ้𝐴 = {1, 2, 3, 4 } และ 𝑟 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)}

จะไดว้่า 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น สมมาตร และถ่ายทอดบน 𝑠 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 4), (1, 4), (4, 2)}

จะไดว้่า 𝑠 มสีมบตัสิะทอ้น และถ่ายทอดบน 𝐴 แต่ไมม่สีมบตัสิมมาตร


ทฤษฎีบท 4.3.1 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 จะไดว้่า

(1) 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น กต่็อเมือ่ 𝐼𝐴 ⊆ 𝑟

(2) 𝑟 มสีมบตัสิมมาตร กต่็อเมือ่ 𝑟−1 = 𝑟

(3) 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอด กต่็อเมือ่ 𝑟 ∘ 𝑟 ⊆ 𝑟

พิสจูน์ (1) (⇒) สมมตวิ่า 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น ให ้𝑥 ∈ 𝐴 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑟 นี้แสดงว่า 𝐼𝐴 ⊆ 𝑟

(⇐) สมมตวิ่า 𝐼𝐴 ⊆ 𝑟 ให ้𝑥 ∈ 𝐴 โดยสมมตฐิานและ (𝑥, 𝑥) ∈ 𝐼𝐴 จะได ้(𝑥, 𝑥) ∈ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น (3) (⇒) สมมตวิ่า 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอด ให ้(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 ∘ 𝑟 ดงันัน้ จะม ี𝑧 ∈ 𝐴 ซึง่ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑟 และ (𝑧, 𝑦) ∈ 𝑟 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 (⇐) สมมตวิ่า 𝑟 ∘ 𝑟 ⊆ 𝑟

ให ้(𝑥, 𝑧) ∈ 𝑟 และ (𝑧, 𝑦) ∈ 𝑟 ดงันัน้ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 ∘ 𝑟 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 นัน่คอื 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอด ∎


1. จงพสิจูน์ทฤษฎบีท 4.3.1(2)

2. จงตรวจสอบว่าความสมัพนัธ์ทที่ก าหนดให้ต่อไปนี้มสีมบตัิสะท้อน สมบตัิสมมาตร และสมบตัิ

ถ่ายทอดหรอืไม ่เพราะเหตุใด

1) ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} และ 𝑟 = {(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑑, 𝑑), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎)}

2) ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} และ 𝑟 = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑐), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑐)}

3) ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} และ 𝑟 = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑐)}

4) ให ้𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} และ 𝑟 = {(𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑑, 𝑑), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑎), (𝑎, 𝑑), (𝑑, 𝑎), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑑), (𝑑, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑑, 𝑐)}

ตวัอย่าง 4.3.4. ให ้𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ| |𝑥| + |𝑦| ≤ 1} จงตรวจสอบว่า 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น สมมาตร และถ่ายทอดหรอืไม่ วิธีท า เนื่องจาก (1, 1) ∉ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 ไมม่สีมบตัสิะทอ้นบน ℤ ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 นัน่คอื |𝑥| + |𝑦| ≤ 1

เนื่องจาก |𝑦| + |𝑥| = |𝑥| + |𝑦| ≤ 1 ดงันัน้ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 มสีมบตัสิมมาตรบน ℤ เนื่องจาก (−1, 0) ∈ 𝑟 และ (0, 1) ∈ 𝑟 แต่ (−1, 1) ∉ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 ไมม่สีมบตัถ่ิายทอดบน ℤ


3. ให ้𝐴 = {1, 2} จงหาความสมัพนัธบ์น 𝐴 ทัง้หมด ซึง่สมบตัต่ิอไปนี้

1) สะทอ้นและสมมาตร

2) สะทอ้นและถ่ายทอด

3) ไมส่ะทอ้นและไมส่มมาตร

4) ไมส่ะทอ้นและไมถ่่ายทอด

4. จงพจิารณาขอ้ความต่อไปนี้ว่าเป็นจรงิหรอืไม ่ถา้ขอ้ความเป็นจรงิใหแ้สดงการพสิูจน์ ถา้ข้อความ

เป็นเทจ็ใหย้กตวัอยา่งคา้น เมือ่ให ้𝑟, 𝑟1 และ 𝑟2 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 ซึง่ไมเ่ป็นเซตว่าง

1) 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น กต่็อเมือ่ 𝑟−1 มสีมบตัสิะทอ้น

2) 𝑟 มสีมบตัสิมมาตร กต่็อเมือ่ 𝑟−1 มสีมบตัสิมมาตร

3) 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น กต่็อเมือ่ 𝑟−1 มสีมบตัสิะทอ้น

4) ถา้ 𝑟1 และ 𝑟2 มสีมบตัสิะทอ้น แลว้ 𝑟1 ∪ 𝑟2 มสีมบตัสิะทอ้น

5) ถา้ 𝑟1 และ 𝑟2 มสีมบตัสิมมาตร แลว้ 𝑟1 ∩ 𝑟2 มสีมบตัสิมมาตร

6) ถา้ 𝑟1 และ 𝑟2 มสีมบตัถ่ิายทอด แลว้ 𝑟1 ∪ 𝑟2 มสีมบตัถ่ิายทอด

7) ถา้ 𝑟1 และ 𝑟2 มสีมบตัถ่ิายทอด แลว้ 𝑟1 ∩ 𝑟2 มสีมบตัถ่ิายทอด

8) ถา้ 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น แลว้ 𝑟𝑐 มสีมบตัสิะทอ้น

9) ถา้ 𝑟 มสีมบตัสิมมาตร แลว้ 𝑟𝑐 มสีมบตัสิมมาตร

10) ถา้ 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอด แลว้ 𝑟𝑐 มสีมบตัถ่ิายทอด

11) ความสมัพนัธ ์𝑅 บน ℤ นิยามดงันี้ ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑅 𝑦 กต่็อเมือ่ |𝑥 − 𝑦| < 1

จงพสิจูน์ว่า 𝑅 มสีมบตัสิะทอ้น สมบตัสิมมาตร และสมบตัถ่ิายทอด

5. ความสมัพนัธ ์𝑆 บน ℝ นิยามดงันี้ ส าหรบัทุกจ านวนจรงิ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑆 𝑦 กต่็อเมือ่ 𝑥 − 𝑦 ∈ ℤ

จงพสิจูน์ว่า 𝑆 มสีมบตัสิะทอ้น สมบตัสิมมาตร และสมบตัถ่ิายทอด

6. ความสมัพนัธ ์𝑇 บน ℤ นิยามดงันี้ ส าหรบัทุกจ านวนเตม็ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑇 𝑦 กต่็อเมือ่ 4 หาร 𝑥2 − 𝑦2 ลงตวั

จงพสิจูน์ว่า 𝑇 มสีมบตัสิะทอ้น สมบตัสิมมาตร และสมบตัถ่ิายทอด


4.4 ความสมัพนัธส์มมูลและผลแบ่งกัน้

บทนิยาม 4.4.1 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์นเซต 𝐴 จะเรยีก 𝑟 ว่า ความสมัพนัธส์มมลู (equivalence relation) บน 𝐴 กต่็อเมือ่ 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้น สมมาตร และถ่ายทอด

บทนิยาม 4.4.2 ให ้𝑟 เป็นความสมพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 และ 𝑎 ∈ 𝐴 ชัน้ 𝒓– สมมลูของ 𝒂 (𝑟–equivalence class of 𝑎) คอื เซตของสมาชกิทัง้หมดใน 𝐴 ซึง่มี

ความสมัพนัธ ์𝑟 กบั 𝑎 เขยีนแทนดว้ย 𝐸𝑎 หรอื [𝑎]𝑟 นัน่คอื 𝐸𝑎 = [𝑎]𝑟 = {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 𝑟 𝑎}

ข้อตกลง กรณีที่ความสมัพนัธ์สมมูลที่กล่าวถงึความสมัพนัธ์ 𝑟 เพยีงความสมัพนัธ์เดยีว จะนิยมเรยีก [𝑎]𝑟 ว่าชัน้สมมลูของ 𝑎 และเขยีนแทนดว้ย [𝑎]

จากตวัอยา่ง 4.4.1 𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ |∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑥 − 𝑦 = 3𝑘} เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ พจิารณาชัน้สมมลูของแต่ละจ านวนเตม็ จะไดช้ัน้สมมลูต่างๆ ดงันี้

[0] = {… , −6, −3, 0, 3, 6, 9, … } [1] = {… , −5, −2, 1, 4, 7, 10, … } [2] = {… , −4, −1, 2, 5, 8, 11, … } [3] = {… , −3, 0, 3, 6, 9, 12, … } [4] = {… , −2, 1, 4, 7, 10, 13, … } ⋮

ตวัอย่าง 4.4.1. ให ้𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ |∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑥 − 𝑦 = 3𝑘} จะไดว้่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ พิสจูน์ ให ้𝑥 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ เนื่องจาก 𝑥 − 𝑥 = 0 = 3(0) ดงันัน้ (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑟 นัน่คอื 𝑟 มสีมบตัสิะทอ้นบน ℤ

ให ้𝑥 และ 𝑦 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 จะไดว้่า มจี านวนเตม็ 𝑚 ซึง่ 𝑥 − 𝑦 = 3𝑚 ดงันัน้ 𝑦 − 𝑥 = −3𝑚 = 3(−𝑚) นัน่คอื (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 มสีมบตัสิมมาตรบน ℤ

ให ้𝑥, 𝑦 และ 𝑧 เป็นจ านวนเตม็ใดๆ ซึง่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑟 และ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑟 จะไดว้่า มจี านวนเตม็ 𝑘 และ 𝑚 ซึง่ 𝑥 − 𝑦 = 3𝑘 และ 𝑦 − 𝑧 = 3𝑚 ดงันัน้

𝑥 − 𝑧 = (𝑥 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑧) = 3𝑘 + 3𝑚 = 3(𝑘 + 𝑚) นัน่คอื (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑟 ดงันัน้ 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอดบน ℤ สรปุไดว้่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ 89 จะเหน็ไดว้่า

⋯ = [−6] = [−3] = [0] = [3] = [6] = ⋯ ⋯ = [−8] = [−5] = [1] = [4] = [7] = ⋯ ⋯ = [−7] = [−4] = [2] = [5] = [8] = ⋯

ทฤษฎีบท 4.4.1 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 และ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 จะไดว้่า [𝑎] = [𝑏] หรอื [𝑎] ∩ [𝑏] = ∅

พิสจูน์ สมมตวิ่า [𝑎] ∩ [𝑏] ≠ ∅ ดงันัน้จะม ี𝑥 ∈ [𝑎] ∩ [𝑏] นัน่คอื 𝑥 ∈ [𝑎] และ 𝑥 ∈ [𝑏] ดงันัน้ 𝑥 𝑟 𝑎 และ 𝑥 𝑟 𝑏 เนื่องจาก 𝑟 มสีมบตัสิมมาตร จะไดว้่า 𝑎 𝑟 𝑥

และเนื่องจาก 𝑟 มสีมบตัถ่ิายทอด จะไดว้่า 𝑎 𝑟 𝑏 ให ้𝑦 ∈ [𝑎] ดงันัน้ 𝑦 𝑟 𝑎 เนื่องจาก 𝑎 𝑟 𝑏 ดงันัน้ 𝑦 𝑟 𝑏 นัน่คอื 𝑦 ∈ [𝑏] ดงันัน้ [𝑎] ⊆ [𝑏] ท านองเดยีวกนั จะไดว้่า [𝑏] ⊆ [𝑎] ดงันัน้ [𝑎] = [𝑏] ∎

บทแทรก 4.4.2 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 และ 𝑎 ∈ 𝐴 จะไดว้่า 𝑎 จะเป็นสมาชกิของชัน้สมมลูเพยีงชัน้เดยีวเท่านัน้

พิสจูน์ เนื่องจาก 𝑎 𝑟 𝑎 จะไดว้่า 𝑎 ∈ [𝑎] ให ้[𝑥] และ [𝑦] เป็นชัน้สมมลูใดๆ ซึง่ 𝑎 ∈ [𝑥] และ 𝑎 ∈ [𝑦] จะไดว้่า 𝑎 ∈ [𝑥] ∩ [𝑦] นัน่คอื [𝑥] ∩ [𝑦] ≠ ∅ โดยทฤษฎบีท 4.4.1 จะไดว้่า [𝑥] = [𝑦] นี้แสดงว่า 𝑎 จะเป็นสมาชกิของชัน้สมมลูเพยีงชัน้เดยีวเท่านัน้ ∎

ทฤษฎีบท 4.4.3 ให ้ 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 และ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 จะไดว้่า 𝑎 𝑟 𝑏 กต่็อเมือ่ [𝑎] = [𝑏] พิสจูน์ แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 4.4.4 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 จะไดว้่า ⋃ [𝑎] = 𝐴𝑎∈𝐴 พิสจูน์ ให ้𝑥 ∈ ⋃ [𝑎]𝑎∈𝐴 โดยบทแทรก 4.4.2 จะไดว้่า ม ี𝑎0 ∈ 𝐴 ซึง่ 𝑥 ∈ [𝑎0] ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 𝑟 𝑎0 ดงันัน้ ⋃ [𝑎]𝑎∈𝐴 ⊆ 𝐴 ให ้𝑥 ∈ 𝐴 เนื่องจาก 𝑥 𝑟 𝑥 ดงันัน้ 𝑥 ∈ [𝑥] นัน่คอื 𝑥 ∈ ⋃ [𝑎]𝑎∈𝐴 นี้แสดงว่า 𝐴 ⊆ ⋃ [𝑎]𝑎∈𝐴 สรปุไดว้่า ⋃ [𝑎] = 𝐴𝑎∈𝐴 ∎


บทนิยาม 4.4.3 ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ ทีไ่มเ่ป็นเซตว่าง และ 𝐼 เป็นเซตดชันี และ ส าหรบัทุก 𝑖 ∈ 𝐼 ให ้𝑃𝑖 ≠ ∅ และ 𝑃𝑖 ⊆ 𝐴 จะเรยีก {𝑃𝑖| 𝑖 ∈ 𝐼} ว่าเป็น ผลแบ่งกัน้ (partition)

ของ 𝐴 กต่็อเมือ่ (1) ⋃ 𝑃𝑖 = 𝐴𝑖∈𝐼 (2) ส าหรบัทุก 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 จะไดว้่า 𝑃𝑖 = 𝑃𝑗 หรอื 𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗 = ∅

จากตวัอยา่ง 4.4.1 จะไดว้่ามชีัน้สมมลูทีต่่างกนัเพยีง 3 ชัน้ เท่านัน้คอื

[0] = {… , −6 , −3, 0, 3, 6, 9, … } [1] = {… , −5, −2, 1, 4, 7, 10, … } [2] = {… , −4, −1, 2, 5, 8, 11, … }

พิจารณา {[0], [1], [2]} จะได้ว่า [0] ∪ [1] ∪ [2] = ℤ และ [0] ∩ [1] = [0] ∩ [2] =

[1] ∩ [2] = ∅ จะไดว้่า เซตของชัน้สมมลูของความสมัพนัธส์มมลูเป็นผลแบ่งกัน้ของ ℤ

ในกรณีที ่𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซตใดเซตหนึ่งนัน้ จะไดว้่าจะมกีารแบ่งกลุ่มสมาชกิในเซตนัน้ๆ โดยทีแ่ต่ละกลุ่มของสมาชกิไม่มสีมาชกิซ ้ากนั ดงันัน้ จะไดผ้ลแบ่งกัน้ของเซตดงักล่าว ดงัทฤษฎบีทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 4.4.5 ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบนเซต 𝐴 จะไดว้่า {[𝑎] | 𝑎 ∈ 𝐴} เป็นผลแบ่งกัน้ของ 𝐴

พิสจูน์ โดยทฤษฎบีท 4.4.4 จะไดว้่า ⋃ [𝑎]𝑎∈𝐴 = 𝐴 ให ้𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 โดยทฤษฎบีท 4.4.1 จะไดว้่า [𝑎] = [𝑏] หรอื [𝑎] ∩ [𝑏] = ∅ นี้แสดงว่า {[𝑎] | 𝑎 ∈ 𝐴} เป็นผลแบ่งกัน้ของ 𝐴 ∎

ตวัอย่าง 4.4.2. ให ้ 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (1) ให ้{𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} เมือ่ 𝐴1 = {1, 3, 5, 7}, 𝐴2 = {2, 4, 6} และ 𝐴3 = {8, 9, 10} เนื่องจาก 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = 𝐴 และ 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅, 𝐴1 ∩ 𝐴3 = ∅ และ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = ∅ ดงันัน้ {𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} เป็นผลแบ่งกัน้ของ 𝐴 (2) ให ้{𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4} เมือ่ 𝐴1 = {1, 3, 5, 7}, 𝐴2 = {2, 4, 6}, 𝐴3 = {7, 8} และ

𝐴4 = {9, 10} เนื่องจาก 𝐴1 ≠ 𝐴3 และ 𝐴1 ∩ 𝐴3 ≠ ∅

ดงันัน้ {𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4} ไมเ่ป็นผลแบ่งกัน้ของ 𝐴 (3) ให ้{𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} เมือ่ 𝐴1 = {1, 3, 5, 7, 9}, 𝐴2 = {4, 6} และ 𝐴3 = {8, 10} จะไดว้่า {𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} ไมเ่ป็นผลแบ่งกัน้ของ 𝐴 เพราะว่า 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ≠ 𝐴



1. จงพสิจูน์ทฤษฎบีท 4.4.3

2. จงพจิารณาความสมัพนัธต่์อไปนี้ว่ามสีมบตัสิะทอ้น สมมาตร และถ่ายทอดหรอืไม่

1) 𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥 ≥ 𝑦} 2) 𝑠 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑥𝑦 = 0} 3) 𝑡 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℕ × ℕ | 2|(𝑥 + 𝑦) } 4) 𝑣 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ||𝑥 − 𝑦| < 3} 5) 𝑢 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ | 𝑥 − 𝑦 ∈ ℤ} 6) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑥2 + 𝑦2 = 1} 7) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ |𝑥 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 1} 8) 𝑇 = {(𝐴, 𝐵) ∈ 𝑃(ℤ) × 𝑃(ℤ) | 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅} 9) 𝑈 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℕ × ℕ |𝑥 + 𝑦 เป็นเลขคี ่}

10) 𝑉 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ | 𝑥

𝑦∈ ℤ }

3. ให ้𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ × ℤ |∃𝑘 ∈ ℤ , 𝑥 − 𝑦 = 4𝑘}

จงพสิจูน์ว่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ และหาชัน้สมมลูทัง้หมดของ 𝑟

4. ให ้𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น ℤ ซึง่นิยามโดย ส าหรบัจ านวนเตม็ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑟 𝑦 กต่็อเมือ่ 3𝑥 − 5𝑦 เป็นจ านวนคู่

จงแสดงว่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ และหาชัน้สมมลูทัง้หมดของ 𝑟

5. ให ้𝑠 เป็นความสมัพนัธบ์น ℤ ซึง่นิยามโดย ส าหรบัจ านวนเตม็ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑠 𝑦 กต่็อเมือ่ 𝑥2 + 𝑦2 เป็นจ านวนคู่

จงแสดงว่า 𝑠 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ และหาชัน้สมมลูทัง้หมดของ 𝑠

6. ให ้𝑅 เป็นความสมัพนัธบ์น ℤ ซึง่นิยามโดย ส าหรบัจ านวนเตม็ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑅 𝑦 กต่็อเมือ่ 4 หาร 𝑥 + 3𝑦 ลงตวั

จงแสดงว่า 𝑅 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℤ และหาชัน้สมมลูทัง้หมดของ 𝑅

7. ให ้𝐴 = ℕ × ℕ และ 𝑟 เป็นความสมัพนัธบ์น 𝐴 ซึง่นิยามดงันี้

(𝑎, 𝑏) 𝑟 (𝑐, 𝑑) กต่็อเมือ่ 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐

จงพสิจูน์ว่า 𝑟 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน 𝐴 และจงหา [(3, 7)] และ [(7, 12)]


8. ให ้𝑡 เป็นความสมัพนัธบ์น ℝ ซึง่นิยามโดย ส าหรบัจ านวนจรงิ 𝑥, 𝑦 ใดๆ

𝑥 𝑡 𝑦 กต่็อเมือ่2𝑥2 + 1 = 2𝑦2 + 1

จงแสดงว่า 𝑡 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℝ และหาชัน้สมมลูทัง้หมดของ 𝑡

9. ให ้𝑇 เป็นความสมัพนัธบ์น ℝ × ℝ ซึง่นิยามโดย ส าหรบัคู่อนัดบั (𝑥, 𝑦) และ(𝑎, 𝑏) ใดๆ

(𝑥, 𝑦) 𝑇 (𝑎, 𝑏) กต่็อเมือ่ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑏2

จงแสดงว่า 𝑇 เป็นความสมัพนัธส์มมลูบน ℝ × ℝ และจงหา [(0, 0)] และ [(1, 0)]

10. จงพสิจูน์ว่า {(𝑛, 𝑛 + 1] | 𝑛 ∈ ℕ} เป็นผลแบ่งกัน้ของ (1, ∞)

Documents

หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com76 หล กคณ ตศาสตร ทฤษฎ บท 4.1.1 ส าหร บเซต และ ใดๆ จะได