18

การทดลองท่ี 2

การวัด ความคลาดเคลื่อน และเครื่องวัดความยาวอยางละเอียด

วัตถุประสงค

1. ศกึษาวธิใีชเวอรเนียรคาลิปเปอรและไมโครมเิตอรไดอยางถูกตอง

2. ศกึษาการวเิคราะหหาความคลาดเคล่ือนจากการวัดได

หลักการและทฤษฎี

เวอรเนยีรคาลปิเปอร ( Vernier Caliper )

เวอรเนียรคาลิปเปอร เปนเครื่องมอืที่ใชวัดขนาดของวัตถุโดยมสีเกลอยูสองชนิดคอืสเกลหลัก

และ สเกลเวอรเนียร ซ่ึงสามารถอานความยาวไดละเอยีดกวาไมบรรทัดธรรมดา รูปลักษณะของเวอร

เนียรแสดงไวในรูปที่ 2.1

รูปท่ี 2.1 สวนประกอบของเวอรเนียร คาลิปเปอร

สเกลหลกั สเกลเวอรเนยีร

19

รปูท่ี 2.2 เวอรเนียรคาลิปเปอร

ความสัมพันธระหวางสเกลเวอรเนียรกับสเกลหลักน้ัน ปกติในชวงความยาวทีเ่หมาะสมคาหน่ึง

จะมชีองสเกลหลักนอยกวาจํานวนชองของสเกลเวอรเนียอยู 1 ชองเสมอ น่ันคอื

( N – 1 )S = N V

หรอื

S – V = S / N

เมื่อ S คอืความยาวของ 1 ชองบนสเกลหลัก

V คอืความยาวของ 1 ชองบนสเกลเวอรเนียร

N คอืจํานวนชองทัง้หมดบนเสกลเวอรเนียร

คา S – V หรอื S / N เรยีกวา ความละเอยีดของเครื่องมอื (Least count ) ถา S – V มคีายิ่ง

นอย ความละเอยีดของการอานจะยิ่งดีขึ้น เชน ถา S – V มคีา 0.1 มม. ก็จะสามารถ อานคาความ

ยาวไดละเอยีดถึงทศนิยมหน่ึงตําแหนงในหนวยมลิลิเมตร แตถา S – V มคีา 0.01 มม. ก็จะอาน

ความยาวไดแมนยําถึงทศนิยมสองตําแหนงในหนวยมลิลิเมตร

cm

S = ชองที่เลก็ที่สดุบนสเกลหลัก (ในที่นี้เทากับ 0.1 cm หรอื 1 mm)

N = จํานวนชอง บนสเกลเวอรเนยีร ในที่นี้นบัจาก 0 – 10

ซ่ึงไดในทีน่ี้มีทัง้หมด 20 ชอง

A B

ชองท่ีเห็นวาตรงกนัมากท่ีสุด

20

วิธกีารอานเวอรเนยีร

1. หาความละเอียดของเวอรเนยีร ดูรูปที่ 2.2 ประกอบ

ความละเอยีดของเวอรเนียรหาไดโดยนําความยาวของชองที่เล็กที่สุดบนสเกลหลัก(S) หารดวย

จํานวนชองบนสเกลเวอรเนียร(N)

ความละเอยีดของเวอรเนียร = NS = ( 0.1 cm / 20 ) = 0.005 cm

2. ในการอานเวอรเนยีรคาลปิเปอร พจิารณาจากรูปที่ 2.2 ใหอานคาความยาวบนสเกลหลักกอน

โดยสังเกตวา ขดี 0 ของสเกลเวอรเนียร (ตําแหนง A ในรูป2.2 ) อานคาไดเทาไหร ซ่ึงจากในรูปจะเหน็

วา อานคาบนสเกลหลักได 1.2 cm บวกกับ เศษของความยาว ที่เลยจาก 1.2 cm อกีคาหน่ึง

3. เศษของความยาว ที่เลยจาก 1.2 cm. หาไดจากสเกลเวอรเนียร โดยสังเกตขดีของสเกล

เวอรเนยีรท่ีตรงกับขดีบนสเกลหลักท่ีสดุในที่น้ีคอืตําแหนง B จากน้ันใหนับ จํานวนชองจาก 0

ถงึ B บนสเกลเวอรเนียร(จากรูปนับได 11 ชอง) จากน้ันนําจํานวนชองไปคูณกับความละเอยีดของ

เครื่องมอืจะได เศษของความยาว ที่เลยจาก 1.2 cm

จากรูป 2.2 คาความยาวทีว่ัดได อานคาไดดังน้ี

คาความยาวท่ีวัดได = 1.2 cm. + เศษของความยาว

= 1.2 cm.+ (จํานวนวนชองจาก 0- B) (ความละเอียด)

= 1.2 cm. + 11 cm. 20

1.0

= 1.255 cm.

21

ไมโครมเิตอร ( Micrometer )

ไมโครมเิตอร เปนเครือ่งมอืสําหรับวัดขนาดอยางละเอยีด ปกติใชกับวัตถุที่มขีนาดเล็กกวา

50 มม. ลงมา ลักษณะของไมโครมเิตอร แสดงดังรูปที่ 2.3

รูปท่ี 2.3 ไมโครมเิตอร

สเกล สเกลเวอร

A

B

mm

ท่ีปรับแบบอิสระตอแรง

22

สวนประกอบของไมโครมเิตอร

ไมโครมเิตอรประกอบดวย

1. สเกลหลัก (สเกลที่ติดอยูกับแกนของไมโครมิเตอร ใหดูรูปที่ 2.3 ประกอบ) ชองสเกลจะมทีัง้

ดานบนและดานลางของ เสนแกนกลาง แตละชองยาว 1.0 มม.สเกลจะแบงครึ่งซึ่งกันและกัน

2. สเกลเวอรเนียร (สเกลที่อยูบนทรงกระบอกที่หมุนได) แบงเปน 50 ชอง อยูรอบตัวหมุน

เมื่อหมุนไมโครมเิตอรไป 1 รอบ สเกลหลักจะเคล่ือนที่ไปไดระยะทาง 0.5 มม. ซ่ึงสเกลเวอรเนียร

เคล่ือนที่ ไป 50 ชอง ดังน้ัน 50 ชองบนสเกลเวอรเนียรมคีาเทากับ 0.5 มม. หรอื หน่ึงชองของสเกล

เวอรเนียรมคีาเทากับ 0.5 / 50 มม. เทากับ 0.01 มม. เราเรยีกคาน้ีวา ความละเอียดของเครื่องมอื

ขอควรระวังในการใชไมโครมเิตอร

เน่ืองจาก เครื่องมอืวัดที่ความละเอยีดสูง มักมคีวามบอบบาง และงายตอการสูญเสียความ

แมนยํา ในการใชไมโครมเิตอร เมื่อกอนจะถึงวัตถุที่วัด ใหหมุนที่ปรับแบบอสิระตอแรงกดดูรูป 2.3

เมื่อมแีรงกด เกลียวในการหมุนจะไมบบีตัวเขาอกี ทาํใหรักษาเครื่องมอืวัดใหเกิดการใชงานไดเปนปกติ

และอายุการใชงานยาวนาน

ในกรณีที่ ปลายวัดทัง้สองของไมโครมเิตอรติดกันแลว แตสเกลเวอรเนยีร ไมชี้ท่ีเลขศูนย

เน่ืองจากเกิดการคลาดเคล่ือนของเครื่องมอืซ่ึงเรยีกวา Zero Error สามารถแกโดยเก็บคาคลาดเคล่ือน

แลวนําไปแกกับการวัดที่อานได

วิธกีารอานไมโครมเิตอร ดูรปูท่ี 2.3 ประกอบ

ว ิธกีารอานคลายกับการอานคาจากเวอรเนียร คอื จะตองทราบความละเอยีดของเครื่องมอืกอน

1. การหาความละเอียดของไมโครมเิตอร

ความละเอยีดของไมโครมเิตอรเทากับ ระทางที่ขอบของสเกลเวอรเนียรเคล่ือนที่ไดเมื่อหมุน

สเกลเวอรเนียรครบ 1 รอบ (S) หารดวย จํานวนชองของสเกลเวอรเนียร(N)

ความละเอยีดของไมโครมเิตอร = S / N

23

2. การอานความยาวท่ีวัดดวยไมโครมเิตอร

การอานไมโครมเิตอรมจุีดที่ตองพจิารณาอยูสองจุดคอื จุด A และ B ดังรูปที่ 2.3 โดยในการ

อานคาความยาวใหอานคาจากสเกลหลักกอน โดยดูที่จุด A กอนวาขอบของไมโครมเิตอร

อานไดระยะทางเทาไหร ซ่ึงจากรูป 2.3 ขอบของไมโครมเิตอร อานคาบนสเกลหลักได

เทากับ 6.5 mm + สวนท่ีเกนิ สวนที่เกินมาน้ัน สามารถพจิารณาไดจาก สเกลเวอร

เนยีร โดยดูวาขดีที่เทาไรตรงกับ เสนแกนกลางของสเกลหลัก ในรูปที ่2.3 คอืจุด B ซ่ึงจะ

อยูระหวางขดีที่ 45 กับ 46 ดังน้ันเราตองประมาณดวยสายตา ในที่น้ีคอืประมาณ 45.5

เมื่อนํา 45.5 ไปคูณกับความละเอยีดของไมโครมเิตอรเราก็จะได สวนท่ีเกนิ

ดังน้ันความยาวทีว่ัดไดจากไมโครมเิตอรตามรูปที่ 2.3 จะเทากับ

ความยาวทีอ่านได = 6.5 mm + สวนที่เกิน

= 6.5 mm + (45.5 NS ) mm

หมายเหตุ ในกรณีที่สเกลเวอรเนียร ตรงพอดกีับเสน ตรงแกนกลาง ตัวอยางเชน 40

ใหนิสิตเติม .0 ทาย 40 เปน 40.0 กอนนําไปคูณกับความละเอยีด

การหาความคลาดเคลื่อนจากการวัด

ในการวัดปรมิาณใดๆน้ัน ถาตองการใหการวัดมคีวามนาเชื่อถือ หรอืมคีวามแมนยําจะตองทํา

หลายๆ ครัง้ แตคาที่วัดแตละครัง้อาจไมเทากัน ซ่ึงแสดงวาการวัดมคีวามคลาดเคล่ือนหรอืความ

แปรปรวน ดังน้ันการนําเสนอขอมูลหรอืคาที่วัดไดจึงอยูในรูปของ คาเฉล่ีย (Mean) พรอมทัง้ความ

คลาดเคล่ือน ของคาที่วัดน้ันๆดวย ขณะเดียวกันการบันทกึและการนําเสนอขอมูล จํานวนตัวเลข

จะตองไมเกินความจําเปน กลาวคอืจะตองมเีพยีง เลขนัยสําคัญ เทาน้ัน

ปกติการทดลองใดๆ ถาจะใหไดคาเฉล่ียที่ถูกตอง จํานวนขอมูลที่รวบรวมมาน้ัน จะตองมี

จํานวนมาก ซ่ึงในทางสถิติเรยีกวา ประชากร แตในทางปฏบิัติ การรวบรวมขอมูลอาจทําไดเพยีง

บางสวนเทาน้ัน ซ่ึงเรยีกวาตัวอยาง (Sample) ดังน้ันเพื่อใหคาเฉล่ียและความแปรปรวนของตัวอยาง

สามารถอธบิายประชากรได สมการของความแปรปรวนของตัวอยางจึงเปนดังน้ี

24

1

)(1

2

n

xxn

ii

2s (1)

เมื่อ 2s เปน ความแปรปรวนของตัวอยาง

ix เปน ขอมูลตัวอยาง

x เปนคาเฉล่ียของขอมูล = n

xn

ii

1

n คอืจํานวนขอมูลตัวอยางทัง้หมด

โดยที่คาการกระจาย (Dispersion) ของขอมูลตัวอยางที่เรยีกวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

(Standard deviation) ไดจากสมการตอไปน้ี

1

n

ii

1

2

n

( x x )σ

n 1s

(2)

เมื่อ s เปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอยาง บางครัง้ใชสัญลักษณเปน 1nσ

เมื่อเราทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราสามารถคํานวณคาความคลาดเคล่ือนมาตรฐาน ( ) ไดโดย

นําสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หารดวยคารากที่สองของจํานวนขอมูล ดังแสดงดังสมการที่ (3)

nsα (3)

ในการแสดงผลการวัดเราจะบอกคาเฉล่ียและคาความคลาดเคล่ือน เชนการวัดปรมิาณ x

xxx

ในบางกรณีปรมิาณที่วัดไดอาจมหีลายคา ซ่ึงจะมคีาเฉล่ียและคาความคลาดเคล่ือนเฉพาะของแตละ

ปรมิาณเชน

xxx

yyy

zzz

เมื่อนําปรมิาณที่มคีวามคลาดไปคาํนวณตอจะทําใหเกิดความคลาดเคล่ือนใหมซ่ึงสามารถ

คํานวณไดดังตารางที่ 1

25

ผลลัพธที่ไดจาก คาของ α

1 yx ) ( 22x yαα

2 yx ) ( 22yx αα

3 xk ; k=คาคงที่ xαk

4 yx )() ( 2x

22y

2 αyαx

5 zyx 222 ) () () ( yxαzxαzyα zyx

6 nx )(

x1n α)xn (

7 ) ( n21 x ...., ,x ,x f 2n

2n

222

21

21 αx / f .........αx / f αx / f )()() ( 2

ตารางท่ี 1 คาความคลาดเคลื่อนมาตรฐานรูปแบบตาง ๆ

ตัวอยาง การหาคาความเคลื่อนมาตรฐาน

ตัวอยางท่ี 1 จากการทดลองวัดขนาดของทรงกระบอก ไดขอมูลดังตาราง

เสนผานศูนยกลาง; d (cm.) d (cm.)

ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 เฉลี่ย

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1n (cm.)

ความคลาดเคลือ่นมาตรฐาน

a (cm.)

1.175 1.305 1.215 1.232 0.004 0.003

ความสูง; h (cm.) h (cm.)

ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 เฉลี่ย

สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1n (cm.)

ความคลาดเคลือ่นมาตรฐาน

c (cm.)

3.415 3.440 3.485 3.447 0.001 0.001

จากตาราง สามารถเขยีน เสนผานศูนยกลาง ในรูป ddd คอื 1.232 0.003 cm และ

ความสูงในรูป hhh คอื 3.447 0.001 cm

ดังน้ัน การคํานวณหาปรมิาตร ( V ) และความคลาดเคล่ือนมาตรฐานของปรมิาตร (α v)

ทรงกระบอกน้ี แสดงไดดังน้ี

26

หาปรมิาตรของทรงกระบอก (V)

จาก hdV 2

4

แทนคา จะได 2 3(1.232 ) (3.447 ) 4.110 4

V cm cm cm

หาความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

จากตารางที่ 1 คาความคลาดเคล่ือนมาตรฐาน ตามสมการในขอ 7 ฟงกชัน หรอื

ความสัมพันธของตัวแปรที่เราตองการหา คอื ปรมิาตร (V) ซ่ึงปรมิาตรของทรงกระบอกจะขึ้นอยูกับ

เสนผานศูนยกลาง (d) ความสูง (h) ซ่ึงเขียนเปนสมการ คือ f(d,h) = V = hd4π 2 ดังน้ัน

ความคลาดเคล่ือนมาตรฐาน สามารถหาได ดังน้ี

2 2 2 2d h

V Vα ( ) α ( ) αd h

หรอื 2 2 2 2 2d h

V Vα ( ) α ( ) αd h

ในที่น้ีจะแยกหาอนุพันธเทยีบกับตัวแปรแตละตัว

1(2)4 2

2π( d h )f V 4 d h dhd d d

2 0 2(1)4 4

2π( d h )f V 4 d h dh h h

แทนคาตางๆ ในสมการ 2 2 2 2 2v d h

V Vα ( ) α ( ) αd h

จะได

2V

2 22 2 2

d hπ πd h α d α2 4

2V

2 22 22π π(1.232) (3.447) 0.003 (1.232) 0.001

2 4

26.771 1.192 22 2(0.003) (0.001)

0.0004126 + 0.0000014

6 0.000414 cm

27

ดังน้ัน

2 30.000414 0.02035 v v cm

เน่ืองจากเครื่องมอืที่ใชในการวัด มคีวามละเอยีดถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 จะได ความคลาด

เคล่ือนที่เกิดขึ้น จึงมคีาเปน 0.020 cm3

ดังน้ัน ปรมิาตรทรงกระบอก คอื vV ซ่ึงมคีาเทากับ 34 .1 1 0 0 .0 2 0 c m

จะสังเกตเห็นวาหนวยของปรมิาตรและความคลาดเคลื่อน มหีนวยเดยีวกัน

ตัวอยางท่ี 2 ปรมิาตรรูปทรงส่ีเหล่ียมดังรูป 2 มคีวามกวาง xxx cm ความยาว

yyy cm ความสูง zzz cm ถาให f เปนฟงกชั่นแทนปรมิาตรของรูปทรงส่ีเหล่ียมจะ

ไดวา ( , , )f x y z V xyz

yzx

xyzxf

)(

xzy

xyzyf

)(

xyz

xyzzf

)(

แทนคา ตามสูตรที่ 7 ในตารางที ่1 จะได ความคลาดเคล่ือนมาตรฐานของปรมิาตร

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )V x y zy z x z x y

ดังน้ันจะไดปรมิาตรของทรงส่ีเหล่ียม เทากับ

VV zyxVV cm3

จะสังเกตเห็นวาตัวอยางในขอนี้สามารถคํานวณหาความคลาดเคลื่อนไดโดยตรงจากสูตรท่ี 5

ในตารางท่ี 1 เนื่องจากปรมิาตร คํานวณไดจาก zyx

x y

z

รูปที ่2

28

อุปกรณการทดลอง

1. เวอรเนียรคาลิปเปอร 1 อัน

2. ไมโครมเิตอร 1 อัน

3. วัตถุตัวอยาง 1 ชุด

วิธกีารทดลอง

1. เวอรเนยีรคาลปิเปอร

1.1 ใชเวอรเนียรคาลิปเปอร วัดขนาดของวัตถุที่กําหนดให ดานละ 3 ครัง้ ควรเปล่ียน

ตําแหนงในการวัดทุกครัง้

1.2 คํานวณคาเฉล่ีย ( x ) สวนเบีย่งเบนมาตรฐาน ( s ) และความคลาดเคล่ือนมาตรฐาน ( )

1.3 คํานวณปรมิาตรของวัตถุ (V ) ที่กําหนดให และความคลาดเคล่ือนมาตรฐาน ( )

โดยศกึษาจากตัวอยางประกอบ

2. ไมโครมเิตอร

2.1 ใชไมโครมเิตอรวัดขนาดวัตถุที่กําหนดให และบันทกึผลการทดลอง

สมการสําหรับคํานวณหาปรมิาตร

ปรมิาตรทรงส่ีเหล่ียม = กวาง x ยาว x สูง

ปรมิาตรทรงกลม = (4/3)r3

= (1/6)d3 เมื่อ d คอื เสนผานศูนยกลาง r คอื รัศม ี

ปรมิาตรทรงกระบอก = r2h

= (1/4) d2h เมื่อ d คอื เสนผานศูนยกลาง

h คอื ความสูง

r คือ รัศม ี