บทที่ 6 งานและพลังงาน งานในความหมายทางฟสิกส เกี่ยวของกับงานเชิงกล เชนออกแรงกระทํา

ตอวัตถุ สงผลใหวัตถุยายตําแหนง เรียกวา ทํางาน พลังงานเปนความสามารถที่จะทํางาน วัตถุที่มีพลังงานสามารถทํางานได

พลังงานเปนปริมาณอนุรักษ พลังงานอยูไดหลายรูป เชน พลังงานกล พลังงานไฟฟา พลังงานความรอน พลังงานเคมี พลังงานนิวเคลียร อ่ืน ๆ พลังงานสามารถเปลี่ยนรูปได ไมสามารถสรางใหมหรือทําลายใหหายไปได

1. งานเนื่องจากแรงคาคงตัว งานหมายถึงผลของการออกแรงกระทํา กําหนดใหมีคาเทากับ แรง คูณ

กับการกระจัด ตามแนวแรง เชน มีแรง F กระทําตอวัตถุโดยทํามุม θ กับแนวระดับ แลววัตถุมีการเคลื่อนที่ตามแนวระดับ ไดระยะทาง S ดังรูป

งานจะมีคาเทากับ

θ

F

θcosF

S

SF )cos(W θ= θcosW FS=

งานเปนปริมาณสเกลาร เขียนเปนแบบเวกเตอรได เปนผลคูณสเกลาร

SFrr⋅=W

มีหนวยเปน จูล (Joule) Physics 825113

1

จาก θcosW FS= พิจารณา มุมระหวางแรงกับระยะกระจัด จะไดงานดังนี้

ถามุม FSFS

FSFSFS

−=°=°==°=°==°=°=

180cosW;180090cosW;90

0cosW;0

θθθ

S

F

S

F

θ

S

F

θ

N

f

W

y∆

x∆

1y

2y

2x

1x

θ mg

N

ผลของงานที่มีคาติดลบนี้ เปนเพราะแรงกับการเคลื่อนที่ไปคนละทางหรือเปนงานจากแรงตานนั่นเอง

FS=W

θcosW FS=

SfNgmFrrrrr⋅+++= )(W

SfF )cos(W −= θ

mgNF += jmggm ˆ−=

r

r

jyyixxS ˆ)(ˆ)(2112

−+−= jyixS ˆˆ ∆+∆=

r ymgSF ∆−=⋅=

rrg

W

Physics 825113

2

2. งานเนื่องจากแรงแปรคาได พิจารณาวัตถุมวล ที่ติดอยูกับปลายสปริงซึ่งมีคาคงตัว m k สปริงวาง

อยูบนพื้นลื่น มีปลายหนึ่งตรึงอยูกับผนัง ถาใชแรง aFr ดึงวัตถุทําใหสปริงยืด

อกไดการกระจัด จะเกิดแรงคืนตัวของสปริง(restoring force)เทากับ x aFr

− 0=x

1x

1kx− aFr

ความสัมพันธ ระหวางแรงจากสปริงและระยะยืดหรือระยะหดของสปริงเปนไปตามกฎของฮุก (Hooke’s law) ซ่ึงกลาววาแรงคืนตัวของสปริงเปนสัดสวนโดยตรงกับการกระจัด หรือเขียนในรูปสัญลักษณเปน

kxF −= โดยที่คา k เรียกวาคาคงตัวของสปริง มีหนวยเปนนิวตันตอเมตร ถาแรงจากสปริงทําใหเกิดการกระจัดเปนระยะนอย ๆ x∆ งานซึ่งเกิดจากสปริงมีคา

xkxxF ∆−=∆=∆W พิจารณาเมื่อการกระจัดคานอย ทําใหเกิดงานคา d จะเขียนสมการได dx W

dxkxFdxd −==W

Physics 825113

3

อินทริเกรตสมการไดวา ∫−=∫=∫ 2

1

2

1

2

1

WWW x

xxx

xdxkFdxd )(WWW 2

1212

221

12 kxkx −−=−= คางานเนื่องจากสปริงตามสมการ สามารถพิจารณาโดยใชกราฟความ

สัมพันธระหวางและการกระจัด

x∆ 1x 2x 1x 2x

kxF −=

F F F จะไดคาของงาน

)(W 212

1222

1 kxkx −−= สําหรับแรงแปรคาได ในหนึ่งมิติในกรณีทั่วไป จะไดงานนอยยิ่ง

Fdxd =W ∫=− 2

112 WW x

xFdx

งานเทากับพื้นที่กราฟความสัมพันธ ระหวางแรงและการกระจัด

W

F

1x 2xx

Physics 825113

4

3. งานเนื่องจากแรงสามมิติ

1P2P

s∆r∆

rrr ∆+

s∆θ

F

P

x

y

z

การเคลื่อนที่ของอนุภาคในสามมิติ งานเนื่องจากแรง Fr กระทําให

อนุภาคมีการกระจัด นิยามโดย rr∆

rF rr∆⋅=∆W

ถาแรง Fr ทํามุม θ กับการกระจัด rdr ในขณะที่ลิมิตของเวลาเขาใกลศูนย

จะทําให ds~dr dsFd θcosW=

งานทั้งหมดเกิดจากแรงกระทํา คือ r

∫=∫ ⋅= 2

1

2

1

W s s

r r

dsFcosrdF θr rr

∫ ⋅=∫ ⋅= rddtrdmrdF rr )(W 2

2

Physics 825113

5

4. งานและพลังงานจลน ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันขอที่ 2

dtvdmamFrrr

==Σ rถา

TF เปนสวนประกอบของแรง F ในทิศเดียวกับความเร็ว จะได vr

dtdvmF

T=

งานในชวงเวลาคานอยยิ่งสั้น ๆ dvmvdrdt

dvmdrFdT

===W งานทั้งหมดเมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากจุด A ไปสูจุด B คือ

∫∫ == B

A

v v

s s T dvmvdsFd (B)(A)

W 2

212

21W

ABmvmv −=

ผลคูณระหวาง 21 ของมวลของวัตถุกับความเร็วกําลังสองนี้เรียกวา พลังงาน

จลน ( kinetic energy , K ) ของวัตถุ 2

21W mv=

งานสุทธิ เทากับ การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน KKK

AB∆=−=ΣW

เรียกขอนี้วา ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน ( Work-energy theorem ) ถางานสุทธิเปนศูนย แสดงวา เคลื่อนที่ดวยขนาดความเร็วคงที่

Physics 825113

6

5. พลังงานศักยโนมถวง พิจารณาวัตถุมวล เคลื่อนที่จากจุด m ),(

111yxP ไปยังจุด ),(

222yxP

เวกเตอรตําแหนงของจุดทั้งสองและพิกัดสัมพัทธคือ

1P

2P

rr∆

1rr

2rr

x

y

z

jmg ˆ−

kzjyixr ˆˆˆ1111

++=r

kzjyixr ˆˆˆ2222

++=r

kzzjyyixxrrr ˆ)(ˆ)(ˆ)(12121212

−+−+−=−=∆rrr

แรงโนมถวงที่กระทําตอมวล คือ มีคาคงตัว จะไดงานของแรงโนมถวงเปน

m jmg ˆ−

rF rr∆⋅=W

g

)(W12g

yymg −−= ความสูงเพิ่มขึ้น งานที่ทําโดยแรงโนมถวงจะเปนลบ

แรงโนมถวงจะทําใหวัตถุเคลื่อนที่ลง ถามีแรงภายนอกกระทําใหวัตถุเคลื่อนที่ขึ้น แรงนี้จะมีทิศสวนกับทิศของแรงโนมถวง

Physics 825113

7

งานที่เกิดจากแรงภายนอกกระทําตอวัตถุภายใตแรงโนมถวง เรียกวา พลังงานศักยโนมถวง (gravitational potential energy) เทียบกับตําแหนง พลังงานศักยโนมถวงมีคา

)(U0

yymg −= เนื่องจาก rF rr

∆⋅=g

W )(W12g

yymg −−= ดังนั้นจะไดวา UUU ∆−=−−= )(W

12g

ถาให แทนงานที่ทําโดยแรงอื่น ๆนอกเหนือไปจากแรงโนมถวงตาม ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

W′

KKKAB

∆=−=ΣW จะไดวา

12gWW KK −=+′

212

1222

112)(W mvmvmgymgy −=−−′

)()(W

)()(W

1212

12

222

112

212

1222

1

mgymvmgymv

mgymgymvmv

+−+=′

−+−=′

ผลบวกของพลังงานจลนกับพลังงานศักยเรียกวา พลังงานกลรวม (total mechanical energy) , E

12W EE −=′

งานของแรงทั้งหมดนอกเหนือไปจากแรงโนมถวงเทากับการเปลี่ยนพลังงานกลรวมของวัตถุ ถา จะไดวา 0W =′

)()(1

212

12

222

1 mgymvmgymv +=+ พลังงานกลของวัตถุจะคงตัว คือหลักการอนุรักษพลังงานกล (principle of conservation of energy)

Physics 825113

8

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในสนามโนมถวงไมคงตัว เชนจรวดเคลื่อนที่สูงขึ้นไปจากผิวโลกมาก ๆ กรณีนี้ gr มีคาไมคงตัว ทําใหแรงโนมถวงและพลังงานศักยโนมถวงไมคงตัวไปดวย

r แรงโนมถวง g

F ที่โลกซึ่งมีมวล M กระทําตอวัตถุมวล อยูหางจากจุดศูนยกลางโลก

m

r

2rmMGF

g=

งานเนื่องจากแรงโนมถวงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้นจาก ไป คือ 1

r2

r

∫−= 2

12g

W rr r

drGmM

12g

W rGmM

rGmM −=

ถาแรงที่กระทําตอวัตถุใหเคลื่อนที่เปนแรงโนมถวงเทานั้น จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน งานเทากับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน จะไดวา

212

1222

1

12mvmvr

GmMr

GmM −=− เมื่อ และ เปนความเร็วของวัตถุที่ตําแหนง และ ตามลําดับ

1v

2v

1r

2r

2

222

1

1

212

1r

GmMmvrGmMmv −=−

ปริมาณ rGmM− คือ พลังงานศักยของวัตถุเนื่องจากแรงโนมถวงที่โลก

กระทําตอวัตถุ เรียกวาพลังงานศักยโนมถวง rGmMU

g−=

ถาให E แทนพลังงานกลรวมของวัตถุ จะได

rGmMmvUKE

g−=+= 2

21

จะเห็นไดวา พลังงานศักยขึ้นกับตําแหนง เปนพลังงานสัมพัทธกับตําแหนง

Physics 825113

9

6. พลังงานศักยยืดหยุน เมื่อสปริงยืดจากจุดสมดุลเปนระยะ งานเนื่องจากแรงคืนตัวของสปริง

กระทําคือ x

2W21kx−=

งานเนื่องจากแรงภายนอกกระทําตอสปริงเรียกวา พลังงานศักยยืดหยุนของสปริง เทากับ 2

21

0kxdxFU x

a =∫= ถาสปริงยืดออกจากระยะ ถึง งานของแรงคืนตัวของสปริงคือ 1 2x x

)()(W 212

1222

1el kxkx −−−=

UUU ∆=−−−= )()(W 12el ให เปนงานของแรง W′

aF ที่กระทําตอสปริง จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน งานเทากับการเปลี่ยนพลังงานจลน

)()(WWW

WW

212

1212

1222

1222

1el

el

kxmvkxmvUKK

K

+++=′∆+∆=−∆=′

∆=+′

ถา เปนศูนย พลังงานกลจะคงตัว นั่นคือ W′

)()( 222

1222

1212

1212

1 kxmvkxmv +=+

Physics 825113

10

7. แรงอนุรักษ แรงอนุรักษ (conservative force) คือ แรงที่มีสมบัติดังนี้ 1. ทําใหเกิดงานไมขึ้นกับวิถีทาง แตขึ้นกับตําแหนงเริ่มตนกับตําแหนง

สุดทายเทานั้น งานของแรงอนุรักษเมื่อกระทําตอวัตถุจนเคลื่อนที่ครบรอบจึงเปนศูนย 0=∫ ⋅ rdF rr

2. งานเทากับผลตางของพลังงานศักย ที่ตําแหนงเริ่มตนกับตําแหนงสุดทาย

3. พลังงานกลที่ตําแหนงตาง ๆ คงตัว แรงที่ไมมีสมบัติดังที่กลาวมา เรียกวา แรงไมอนุรักษ

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปสูจุดหนึ่ง ภายใตสนามโนมถวงโดยไดรับแรงกระทําเปนแรงโนมถวงเพียงแรงเดียว งานที่วัตถุทําขึ้นกับพลังงานศักยที่ตําแหนงเริ่มตนและตําแหนงสุดทาย ของการเคลื่อนที่ ไมขึ้นกับวิถีทางเคลื่อนที่ของวัตถุ ถาวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้น พลังงานจลนลดลงแตพลังงานศักยเพิ่มขึ้น ถาวัตถุเคลื่อนที่ต่ําลงมา พลังงานจลนเพิ่มขึ้น แตพลังงานศักยลดลง ดังนั้นเปนการ เปลี่ยนกลับไปกลับมาระหวางพลังงานจลนและพลังงานศักย แรงโนมถวงทําใหพลังงานกลของวัตถุคงที่ จึงเรียกแรงโนมถวงวา แรงอนุรักษ แรงสปริงพิจารณาเฉพาะจุดเริ่มตนและจุดสุดทายดังนั้นเปนแรงอนุรักษ

แรงเสียดทาน กอเกิดงานที่เปนลบ สวนทางกับการเคลื่อนที่ เมื่อเกิดการเคลื่อนที่ครบรอบ งานของแรงเสียดทานไมเปนศูนย ดังนั้น แรงเสียดทานเปนแรงไมอนุรักษ

Physics 825113

11

8. ความสัมพันธระหวางแรงอนุรักษกับพลังงานศักย rถา F เปนแรงอนุรักษทําใหวัตถุเคลื่อนที่จากจุด ไปยัง B ไดงาน A

r)(W ABAB UUrdFB

A

rr

−−=∫ ⋅=r

ตามรูป ทิศของ จะอยูในแนวสัมผัสกับวิถีการเคลื่อนที่ ขนาดของ เทากับ

rdr

rdr sdr ถา sF เปนสวนประกอบของ Fr ในทิศเดียวกับการกระจัด

จะได rdr dUdsFrdF s −==⋅rr

A s∆

rr∆

Arr

s∆θ

Fr

x

y

z

Brr

B

ABsF

dsdUFs −=

แสดงวาสวนประกอบของแรงอนุรักษในทิศใด ๆ หาไดจากคาลบของอนุพันธของพลังงานศักยเทียบกับตําแหนงในทิศนั้น และสามารถเขียนสม

การในรูปของพิกัดฉากสามมิติเปน

∂∂+

∂∂+

∂∂−= k

zUj

yUi

xUF ˆˆˆr

rrสามารถเขียนในรูปตัวดําเนินการเดล UF ∇−= ถา พลังงานศักย )(rU เปนฟงกชันของรัศมี แรงจะอยูในทิศของรัศมี ดังสมการ dr

dUF −=

Physics 825113

12

9. กําลัง (Power) กําลัง คือ อัตราการทํางาน หรืองานที่ทําไดในหนึ่งหนวยเวลา

ไดกําลังเฉลี่ย tP ∆∆= W

กําลังขณะใดขณะหนึ่ง dtd

tPt

WWlim0

=∆∆=

→∆

หนวยของกําลัง คือ จูลตอวินาที (J/s) เรียกเปนหนวยใหมวา วัตต (W) ในการบอกหนวยของกําลังที่มาก มักนิยมใชหนวยกิโลวัตต (kW) หนวยของงาน อาจบอกเปน กิโลวัตต-ช่ัวโมง งาน 1 กิโลวัตต-ช่ัวโมง เทากับงาน Joule6106.3 × หนวยของกําลัง ที่ไมใชหนวยเอสไอหนวยหนึ่ง คือ กําลังมา คาของหนึ่งกําลังมาเทากับ 764 วัตต ตามสมการ คาของงาน rF rr

∆⋅=∆W สามารถเขียนคาของกําลังตาม สมการไดในรูป

vFtrFt

rFPtt

rrrrrr⋅=∆

∆=∆∆⋅=

→∆→∆limlim

00

Physics 825113

13

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล