Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ปรภมสามมต (3-1)
จดในระนาบสองมต (2D) ประกอบดวยคอนดบ (x, y)จดในปรภมสามมต ประกอบดวย สามสงอนดบ (x, y, z)O = (0, 0, 0) แทนจดกำาเนด
ระนาบ xy = {(x, y, z) | z = 0}, ระนาบ xz = {(x, y, z) | y = 0}, ระนาบ yz = {(x, y, z) | x = 0} โดยทกระนาบตงฉากกนทกคจดในปรภมเขยนแทนดวย P(a, b, c) แสดงดวยภาพดงน
สตรของระยะ:กำาหนดให P1(x1, y1, z1) และ P2(x2, y2, z2) แทนจดในปรภมสามมต
∣P1P2∣=√(x1−x2)2+( y1− y2)
2+(z1−z2)2
สมการทรงกลมทมจดศนยกลางอยท (h, k, l) และรศมคอ r เขยนไดในรปของ(x−h)
2+( y−k )
2+(z−l )
2=r
2
1. จงลงจด (0.5, 2), (4.0, -1), (2, 4.5) และ (1, -1.2) บนระนาบสองมต
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________2. จงอธบายพรอมรางผวโคงในปรภมสามมตของวตถทเขยนแทนดวยสมการ x + y = 1.
3. จงแสดงวาสามเหลยมทมจดมมเปน P(-2, 4, 0), Q(1, 2, -1) และ R(-1, 1, 2) คอสามเหลยมดานเทา
4. จงหาสมการทรงกลมทผานจดกำาเนดและมจดศนยกลางอยทจด (3, 2, 1)
เวกเตอร (3-2)
เวกเตอรทมจดเรมตนทจด A และจดปลายทจด B เขยนแทนดวย v=ABกำาหนดจด A(x1, y1, z1) และ B(x2, y2, z2),
v=AB=( x2−x1 , y2− y1 , z 2−z 1)
ความยาวหรอขนาดของเวกเตอร v = (v1, v2, v3) คอ |v|=√v1
2+v2
2+v3
2
ถา a=(a1,a2,a3) และ b=(b1, b2, b3) และ c เปนสเกลาร แลว
a+ b=(a1+b1 , a2+b2 , a3+b3), c a=(ca1 , c a2 , c a3)
เวกเตอรมาตรฐานไดแก i=(1 ,0 ,0) , j=(0 ,1 ,0) , k=(0 ,0 ,1)
ดงนน, v=v1 i +v 2 j+v3 k
สมบตของเวกเตอรถา a , b และ u เปนเวกเตอรในปรภมสามมต และ c, d คอสเกลาร แลว
1. a+ b= b+ a
2. a+( b+ u)=(a+b)+ u
3. a+ 0= a
4. a+(−a)= 0
5. c(a+ b)=c a+c b
6. (c+d) a=c a+d b
7. (c d) a=c (d a)
8. 1 a= a1. จงหาผลบวกของเวกเตอรทกำาหนด พรอมแสดงกราฟของเวกเตอรดงกลาว (3, -1, 2), (2, 0, 1), (-1, 1, 0), (0, 2, 1)
2. จงหาเวกเตอรหนวยทมทศเดยวกบเวกเตอร (3, -4, 0)
3. ถา v ชไปยงจตภาพแรกและทำามม π3
กบแกน x และ ∣v∣=2, จงเขยนสวนประกอบ
ของเวกเตอร v
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ผลคณจด (DOT product)ถา a=(a1,a2,a3) and b=(b1, b2,b3) แลว
a⋅b=a 1b1+a2b 2+a3b3
สมบตของผลคณจด
1. a⋅a=∣a∣2
2. a⋅b=b⋅a
3. a⋅( b+ c)= a⋅b+ a⋅c
4. (k a)⋅b=k (a⋅b)= a⋅k b
5. 0⋅a=a
สตรอกรปแบบคอ a⋅b=|a||b|cos(θ)
ถา a⋅b=0 แลว เวกเตอรทงคตงฉากกนถา a⋅b>0 แลว เวกเตอรทงคทำามมแหลมกนถา a⋅b<0 แลว เวกเตอรทงคทำามมปานกน3. จงหาคาของ a⋅b และมมของเวกเตอรเมอ a=(1,1, 1) and b=(−1, 1,0) .
มมแสดงทศทาง
cos(α) =a1
∣a∣
cos(β) =a
2
∣a∣
cos(γ) =a3
∣a∣
ภาพฉาย
ภาพฉายสเกลารของ b บน a คอ compa(b)=a⋅b
|a|
เวกเตอรภาพฉายของ b บน a คอ proja(b)=a⋅b
|a|2a
4. จงหาเวกเตอรภาพฉายของเวกเตอร (2, 1, -1) บน (0, 2, 1)
5. จงแสดงวา i⋅ j= i⋅k= j⋅k และ i⋅i= j⋅ j= k⋅k=1
6. จงหาคา b ททำาใหเวกเตอร (-6, b, 2) และ (b, b2, b) ตงฉากกน?
เวกเตอร (3-3)ผลคณไขว (Cross product)กำาหนดเวกเตอร a=(a1,a2,a3) and b=(b1,b2,b3) , ผลคณไขวของ a and b
คอ a×b=(a2b3−a3b2 , a3 b1−a1b 3 ,a1b2−a 2b1)
มคาเทากบการคำานวณดเทอรมเนนตของ ∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣ทฤษฎบท:เวกเตอร a× b ตวฉากกบเวกเตอร a และ b
ถา θ คอมมระหวางเวกเตอร a and b จะไดวา |a× b|=|a||b|sin (θ)
ทฤษฎบท:เวกเตอรสองเวกเตอร a , b ขนาดกน กตอเมอ a×b=0 1. จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดอยท P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1), R(1, -1, 1)
ทฤษฎบท
1. a×b=−b×a
2. (k a)× b=k ( a×b)= a×(k b)
3. a×( b+ c)=a×b+a×c
4. ( a+ b)× c=(a×c)+( b×c )
5. a⋅( b× c)=(a× b)⋅c
6. a×( b× c)=(a⋅c) b−(a⋅b) c
2. สมมตวา a≠ 0
2.1 ถา a⋅b=a⋅c , แลวจรงหรอไมท b= c ?
2.2 ถา a× b=a× c , แลวจรงหรอไมท b= c ?
2.3 ถา a× b=a× c and a⋅b=a⋅c , แลวจรงหรอไมท b= c ?
3. จงแสดงวา (a−b)×(a+ b)=2(a× b)
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ปรมาตรของทรงเหลยมดานขนานปรมาตรของทรงเหลยมดานขนานทสรางจากเวกเตอร a , b , c คอV=A h=|b× c||a||cos (θ)|=|a⋅(b× c )|
4. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร เพอแสดงวาเวกเตอรทงหมดรวมระนาบa=(1, 4,−7) , b=(2,−1, 4) , c=(0,−9, 18)
5. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรเพอตดสนวา จดทงหมดอยบนระนาบเดยวกน P(1, 0, 1), Q(2, 4, 6), R(3, -1, 2) และ S(6, 2, 8)
สมการของเสนและระนาบ (3-4)เสนตรง L เกดจากจด r0 = (x0, y0, z0) และเวกเตอรแสดงทศทาง v=(a ,b , c) ทขนานกบเสนตรง เรยก สมการทไดวา สมการเชงเวกเตอร (The vector equation)
(x , y , z )=(x0, y0, z0)+ t(a ,b , c) . สมการองพาราเมทรกซเสรม (The parametric equation): x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.เมอเรากำาจดพารามเตอร t, สมการสมมาตร (the symmetric equations) เขยนไดเปน
Case , a≠0,b≠0, c≠0,x−x0
a=y− y0
b=z−z0
c
case , a=0,b≠0,c≠0, x=x0,
y− y0
b=z−z0
c
case , a≠0,b=0,c≠0, y=y 0,
x−x0
a=z−z
0
c
case , a≠0,b≠0,c=0, z=z0,
x−x0
a=y− y0
b
case , a=0,b=0,c≠0, x=x 0, y=y0
case , a=0,b≠0,c=0, x=x0, z=z0
case , a≠0,b=0,c=0, y= y 0, z=z0
เมอ a = b = c = 0, สมการดงกลาวแทนไดดวยจดเพยงจดเดยว1. จงหา สมการเวกเตอร และสมการองพารามเตอรของเสนตรง ทผานจด (3, 2, 0) และขนานกบ
3 i −2 j+ k .
สวนของเสนตรง (line segment) จาก r0 to r1 กำาหนดไดเปนr (t)=(1−t) r0+ t r1 ,0≤t≤1.
เสนตรงสองเสนเบ ถาเสนตรงทงสองไมตดกน และไมขนานกน2. จงพสจนวาเสนตรงสองเสน L1 และ L2 เบหรอไมL1:x = 3 – t, y = 1 + 2t, z = 1 – t, L2:x = 1 + t, y = 3 – 4t, z = t.
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________ระนาบถา n=(a ,b , c) , r=(x , y , z) and r0=(x0, y0, z0) แลว
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0or ax + by + cz – d = 0
เรยก สมการเชงเสนของระนาบทม n แทน เวกเตอรนอรมล (the normal vector)3. จงหาสมการของระนาบทผานจด (1, 2, 0) กบเวกเตอรนอรมล n=(2 ,1 ,1) จงหาจดตดของทกแกน พรอมรางระนาบน?
4. จงหาสมการระนาบทผานจด P(1, 2, -1), Q(0, 2, 1), R(3, 0, -1)?
5. จงหาจดตดระหวางเสนตรง x = 2t, y = 1 – t, z = 3 + t กบระนาบ 2x – 3y + z = 1
6. จงหามมระหวางระนาบ x + y + z = 2 และ x – 3y + 2z=1?
สมการเสนตรงและระนาบ (3-5)สองระนาบขนานกน กตอเมอ เวกเตอรนอรมลขนานกน1. จงหาสตรของระยะ D ระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax + by + cz = d
2. จงหาระยะระหวางระนาบทขนานกนของ x + y – z = 5 กบ 2z – 2y – 2x = 1?
3. จงตดสนวาขอความตอไปน ขอความใดเปนจรงหรอเทจ3.1. เสนตรงสองเสนทขนานกบเสนตรงเสนทสาม ตองขนานกน3.2. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบเสนตรงเสนทสาม ตองขนานกน3.3. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบเสนตรงเสนทสาม ตองตงฉากกน3.4. เสนตรงสองเสนทขนานกบระนาบ ตองขนานกน3.5. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบระนาบ ตองขนานกน3.6. เสนตรงสองเสนทตงฉากกบระนาบ ตองตงฉากกน3.7. สองระนาบทขนานกบเสนตรง ตองขนานกน3.8. สองระนาบทตงฉากกบเสนตรง ตองขนานกน3.9. สองระนาบทตงฉากกบเสนตรง ตองตงฉากกน
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________4. จงหาสมการองตวแปรเสรมและสมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด (6, 1, -3) และ (2, 4, 5).
5. จงตดสนวา เสนตรงทผานจด (-4, -6, 1) และ (-2, 0, -3) ขนานกบเสนตรงทผานจด (10, 18, 4) และ (5,3, 14)?
6. จงหาสมการเวกเตอรของสวนของเสนตรงจาก (2, -1, 4) ไปยง (4, 6, 1)
7. จงหาสมการของระนาบผานจด (1, -3, -2) และตงฉากกบเวกเตอร <1, -2, 0>
8. จงหาสมการของระนาบทผานจดกำาเนด และ (-2, 4, 0) และ (5, 1, 3)
9. จงหาสมการของระนาบทผานจด (1, -1, 1) และมเสนตรง x = 2y = 3z อยในระนาบ
10. จงหาจดตดของเสนตรง ทผานจดสองจด (1, 0, 1) และ (4, -2, 2) กบระนาบ x + y + z =6 ?
11. จงหาสมการระนาบทประกอบดวยจดทหางจากทงสองจด (1, 1, 0) และ (0, 1, 1) เปนระยะเทากน
12. จงหาระยะจากจด (2,-1,4) ไปยงระนาบ 4x – 6y + z = 5
ฟงกชนคาเวกเตอรและเสนโคงสามมต (3-6)ฟงกชนคาเวกเตอร หรอเวกเตอรฟงกชน คอการสงเซตของจำานวนจรง ไปยงเซตของเวกเตอรr (t )=( f (t ), g(t ) , h(t ))= f (t ) i + g(t ) j+h(t ) k
โดเมนของเวกเตอรฟงกชน คออนเทอรเซกชนของโดเมนของทกสวนประกอบของเวกเตอรลมตของเวกเตอรฟงกชน r (t) คอ
limt→a
r (t )=(limt→a
f (t ) , limt→a
g(t ) , limt→a
h(t ))
1. จงหาโดเมนของ r (t )=(√t+1 , ln (4−t ) ,0)
2. กำาหนดให r (t)=(et−4 ,sin (t−4)
2
t−4,t
2−8 t+16
∣t−4∣) จงหา lim
t→4
r ( t )?
การตอเนองของเวกเตอรฟงกชนเวกเตอรฟงกชน r (t) ตอเนอง ถา lim
t→a
r (t )= r (a)
3. จงแสดงเสนโคงสามมตของเวกเตอรฟงกชน r (t )=(t ,1−t ,2+3 t )
4. จงรางเสนโคงสามมตของเวกเตอรฟงกชน r (t )=cos(t ) i +sin (t ) j+t k
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________อนพนธและปรพนธของเวกเตอรฟงกชนอนพนธ r ' ( t) ของเวกเตอรฟงกชน r (t) นยามโดย
d r (t )
dt= r ' (t)= lim
h→0
r (t+h)− r (t )
h.
ถา r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) แลว r '(t )=( f ' (t ) , g ' (t ) ,h ' (t ))
5. จงหาอนพนธของ r (t )=t3i +t e
−tj+cos(5t ) k
6. จงหาเวกเตอรเสนสมผสหนวย r (t)=t3i +t e
−tj+cos(5 t ) k ทจดทมคา t = 0
7. จงหาสมการองตวแปรเสรมของสมการเสนสมผสกบเสนโคงฮลกซ x = cos(t), y = 2sin(t), z = t ทจด (0, 2, /2)π
หลกเกณฑการหาอนพนธของเวกเตอรฟงกชนd (u(t )+ v (t))
dt=u ' (t)+ v ' (t )
d (c u (t ))
dt=c u ' (t)
d ( f (t) u(t))
dt= f ' (t ) u(t )+ f ( t) u ' (t )
d (u(t )⋅v(t ))
dt=u ' (t )⋅v (t)+ u(t)⋅v ' (t )
d (u(t )×v (t ))
dt=u ' (t)× v (t)+ u( t )× v ' (t)
d (u( f (t )))
dt= f ' (t ) u ' ( f (t ))
d (u(t )+ v (t))
dt=u ' (t)+ v ' (t )
อนทกรลอนทกรลจำากดเขตของเวกเตอรฟงกชนทตอเนอง r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) นยามโดย
∫a
b
r (t )dt=(∫a
b
f (t )dt ) i +(∫a
b
g (t )dt ) j+(∫a
b
h(t )dt ) k8. กำาหนดให r (t)=cos(−t ) i+sin (2 t ) j+ t k จงหา ∫
0
π /2
r (t )dt
เวกเตอรฟงกชนและเสนโคงสามมต (3-7)1. จงแสดงวา ถา r (t) เปนเวกเตอรฟงกชนซง r ' ' (t ) มคา แลวd ( r(t )× r ' (t ))
d t= r (t )× r ' ' (t )
2. ถา r (t)≠0 , จงแสดงวา d |r (t )|
d t=r (t )⋅r ' (t )
|r (t )|
ความยาวของสวนของเสนโคงและความโคงความยาวของเสนโคงในสามมต r (t)=( f (t ) , g (t) , h(t )) นยามโดย
L=∫a
b
√ ( f '(t ))2+( g ' (t))
2+(h ' (t ))
2dt=∫
a
b
|r ' (t )|dt
3. จงหาความยาวของสวนของเสนโคงของฮลกซตามสมการเวกเตอรr (t)=sin (t ) i−cos(t) j+ t k จากจด (0, -1, 0) ไปยงจด (0, -1, 2)
ฟงกชนความยาวของเสนโคง
ฟงกชนความยาวของเสนโคง s นยามโดย s(t )=∫a
t
|r ' (u)|du
โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส d s (t )
dt=|r ' (t )|
ความโคงของเสนโคงคอ κ=∣d Td s ∣ เมอ T (t)=r ' (t )
∣r ' ' (t)∣หรอ
κ=|T ' (t )||r ' (t )|
4. จงแสดงวา ความโคงของวงกลมรศม a คอ 1/a
ชอ ________________________________________ รหสนสต ____________
ทฤษฎบท:ความโคงของเสนโคงของเวกเตอรฟงกชน r (t) ไดเทากบ|r ' (t )× r ' ' (t )|
|r ' (t )|3
5. จงหาความโคงของลกบาศกบด (t, t2, t3) ณ จดใดๆ และ และทจดกำาเนด (0, 0, 0)
เวกเตอรนอรมลสำาหรบเสนโคง r (t) , มเวกเตอรมากมายไมจำากดทตงฉากกบเวกเตอรสมผสหนวย T (t )
แตสำาหรบทก t ซง |T (t )|=1 จะไดวา T (t )⋅T ' (t )=0
เวกเตอรนอรมลหลกหนวย นยามไดโดย N (t )=T (t )
|T (t )|
เวกเตอรไบนอรมลนยามไดโดย B(t )=T (t )×N (t )
6. จงหาเวกเตอรนอรมลหลกหนวย และเวกเตอรไบนอรมลของฮลกซr (t )=(cos (t ) ,sin (t ) , t )
7. จงหาเวกเตอร T (t) , N (t ) , B (t ) ของ r (t)=(t 2, 2 t3
3,t ) ทจด (1, 2/3, 1)
8. จงหาเวกเตอรสมผสหนวย และเวกเตอรนอรมลหลกหนวยของr (t )=( 2sin (t ) ,5 t ,2cos(t ))
9. จงหาจดในเสนโคง y = ln x ทมความโคงสงสด?