บทเรียนสําเร็จรูป · 2012. 1. 19. · หน วยท 2. ... 4. เมื่ือกคอเลําตอบแล ว ให ผู เรียนดูเลขหน

43

บทเรีรียนสําสําเร็ร็จรูรูป

บทเ ยน เ จ ป

ตามหลักเกณฑและวิธีการจัดการศึกษานอกโรงเรียนตามหลักเกณฑและวิธีการจัดการศึกษานอกโรงเรียน

หลักสูตรการศึกษาข้ันพ้ืนฐานหลักสูตรการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราชพุทธศักราช 2544 2544

หมวดวิชาคณิตศาสตหมวดวิชาคณิตศาสตรร

ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

เรื่องเรื่อง เซต เซต

หนวยท่ีหนวยท่ี 2 2

ความสัมพันธความสัมพันธของเซต

ของเซต

44

หนวยท่ีหนวยท่ีหนวยท่ี 2 22เร่ืองเร่ืองเร่ือง ความสัมความสัมความสัมพัพพัันธของนธของนธของเซตเซต เซต

จุดจุดจุดประสงคประสงคประสงคการเรียนรูการเรียนรูการเรียนรู

เมื่อผูเรียนเรียนจบเนื้อหาเรื่อง ความสัมพันธของเซตแลว ผูเรียนสามารถ 1. หาสับเซตของเซตท่ีกําหนดใหได 2. หาจํานวนสับเซตท้ังหมดของเซตท่ีกําหนดใหได 3. เขียนเพาเวอรเซตของเซตท่ีกําหนดใหได 4. บอกเอกภพสัมพัทธของเซตท่ีกําหนดใหได 5. เขียนแผนภาพเวนน - ออยเลอรแสดงความสัมพันธของเซตท่ีกําหนดใหได

สื่อการเรียนสื่อการเรียนสื่อการเรียน

บทเรียนสําเร็จรูป เรื่อง ความสัมพันธของเซต

คําแนะนําในการเรียนคําแนะนําในการเรียนคําแนะนําในการเรียน

ในการเรียนเนื้อหาจากบทเรียนสําเร็จรูปนี้ ผูเรียนจะตองปฏิบัติดังน้ี 1. ไมใหขีดเขียน หรือทําเคร่ืองหมายใด ๆ ทั้งส้ินลงในบทเรียนสําเร็จรูป 2. ในการเรียนบทเรียนสําเร็จรูปนี้ ใหผูเรียนอานและศึกษาในหนาแรก 3. ตอบคําถามทายเนื้อหา โดยเลือกคําตอบท่ีใหมา 4. เมื่อเลือกคําตอบแลว ใหผูเรียนดูเลขหนาที่ระบุไวทายคําตอบแลวเปดไปดูหนานั้น 5. ใหผูเรียนอานขอความในหนานั้น จะทําใหทราบวาคําตอบที่เลือกถูกหรือผิด ถาผิด

ใหทบทวนเน้ือหาในหนาน้ันอีกครั้ง จากน้ันเปดตอไปยังหนาท่ีบอกตอ ๆ ไป ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนจบหนวย

6. เนื้อหา และกิจกรรมตาง ๆ ที่ผูเรียนศึกษานี้เปนบทเรียนไมใชขอสอบ 7. ผูเรียนตองมีความซ่ือสัตยตอตนเอง โดยไมควรเปดดูเฉลยกอนท่ีจะตอบคําถาม

เพราะจะทําใหผูเรียนไมเขาใจเน้ือหาเทาท่ีควร 8. หลังจากเรียนจบหนวยแลว ใหผูเรียนทําแบบฝกหัดประจําหนวย พรอมทั้งตรวจ

คําตอบดวยตนเองจากเฉลยทายบทเรียน

45

สับเซตสับเซตสับเซต

บทนิยามบทนิยามบทนิยาม

กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A เปนสับเซตของ B

ก็ตอเม่ือสมาชกิทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B เขียนแทนดวย A ⊂ B

สัญลักษณ “ ⊂ ” อานวา เปนสับเซต

เชน A = {1, 2, 3}

B = {4, 3, 2, 1}

จะได A ⊂ B เพราะสมาชิกของ A เปนสมาชิกของ B

ลองคิด ลองทําลองคิด ลองทําลองคิด ลองทํา

ถาให C = {2, 4, 6, 8} และ D = {2, 4, 6, 8, 10} ขอใดถูกตอง

ก. D ⊂ C

ข. C ⊂ D

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 5 . 5. 5

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 13 . 1. 133

11

46

ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้

อีกครั้งนะคะอีกครั้งนะคะ

B = {x ⏐ x เปนจํานวนนับ และ 6< x < 14}

• ถา U = {1, 2, 3, …}

A = {2, 4, 6}

จะได B = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

ดังนั้น A ⊂ U เพราะสมาชิกทุกตัวของ A อยูใน U

B ⊂ U เพราะสมาชิกทุกตัวของ B อยูใน U

A กับ B ไมมีสมาชิกรวมกัน

สามารถเขียนแสดงความสัมพันธดวยแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้ U

เม่ือศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําลองคิดลองทําลองคิดลองทํา อีกคร้ังในหนา หนา หนา 17 1177

13 7 9 10 8 11 12

1 5

3

A

B

22

47

เกงมากคะท่ีตอบขอ เกงมากคะท่ีตอบขอ เกงมากคะท่ีตอบขอ ก กก

จากแผนภาพเวนนจากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ออยเลอร -

จะไดจะได U = {x ⏐x เปนจํานวนเปนจํานวนเต็มเต็ม} และ และ { ⏐ }U = x x

AA == {{--11,, --22,, --33,, ……,, --1100 }}

เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมเมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางขางลางไดเลยคะลางไดเลยคะ... จากกรอบ ...

แผนภาพเวนน - ออยเลอร

ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A ⊂ B จะเขียนไดดงัรูป

U


ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็มบวก} จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรท่ีกําหนดให ขอใดถูกตอง

ก. A = {1, 3, 5, 7} B = {x ⏐x เปนจํานวนค่ี และ 1 < x < 7}

ข. A = {1, 3, 5, 7} B = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ 1 ≤ x < 10}

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 14 .. 1144

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 17 .. 1177

B A

U

B A

33

48


B = {2, 4, 6} {∅ {P(B) = , 2} {, 4} {, 6},

{{22,, 44}},, {{22,, 66}},, {{44,, 66}},, {{22,, 44,, 66}}}}

จากกรอบ ...

เอกภพสัมพัทธ

บทนิยาม

เอกภพสัมพัทธ คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกท้ังหมดในขอบขายท่ีกําลัง

พิจารณาอยูในขณะนั้น เขียนแทนดวย U

เชน U = เซตของอักษรในภาษาอังกฤษ

A = เซตของสระในภาษาอังกฤษ

B = เซตของคําวา “Math” ดังนั้น A ⊂ U , B ⊂ U


กําหนดให A = {1, 2, 3, ..., 10} ขอใดเปนเอกภพสัมพทัธของ A

ก. U = {x ⏐x เปนจํานวนเตม็ลบ } ข. U = {x ⏐x เปนจํานวนเตม็บวก}

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 10 1

. 100.

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 20 . 2. 200

44

49



จากบทนยิามกลาวไววา ถากําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A เปนสับเซตของ B ก็ตอเม่ือสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B

จะเห็นไดวา

สมาชิกของ C ประกอบไปดวย 1, 3, 5, 7

สมาชิกของ D ประกอบไปดวย 3, 7, 5, 1, 9 ซ่ึงสมาชิกทุกตัวของเซต C เปนสมาชิกของเซต D


55

50


-

จะไดจะได A = {1, 3, 5} และ {A = 1, 3, 5} และ ≤ <{ ⏐ 5 x 1B = x x 33}}



ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A กับ B มีสมาชิก

บางตัวซํ้ากัน จะเขียนไดดังรูป

U

B A


ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็ม}

U

B A

จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรท่ีกําหนดให ขอใดถูกตอง

ก. A = {2, 4, 6, 8} B = {x ⏐x เปนจํานวนคู และ 8 < x < 18}

ข. A = {2, 4, 6, 8} B = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ 6 ≤ x < 10}

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 1616 .. 16

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 2323 .. 23 66

51

จากบทนยิาม

ถากําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A เปนสับเซตของ B ก็ตอเม่ือสมาชกิทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B

เซต A ไมเปนสับเซตของ B ถามีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของ A ท่ีไม

เปนสมาชิกของ B เขียนแทนดวย A ⊄ B

ซ่ึงสมาชิกทุกตัวของเซต C เปนสมาชิกของเซต D ดังนั้น C เปนสับเซตของ D เขียนแทนดวย C ⊂ D

แต สมาชิกอยางนอยหนึ่งตวัของ D คือ 9 ไมเปนสมาชิกของ C

ดังนั้น D จึงไมเปนสับเซตของ C เขียนแทนดวย D ⊄ C


77

52

ขข

B = {x⏐x 21 < <x 26}

B = {22, 23, 24, 25} B = 4

= 2n = 24 = 16

ดังนั้น A เปนสับเซตแทของ B

.. 1199

.. 1111188


53

ถามีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวของเซต A ไมเปนสมาชิกของ B หรือมีสมาชิกอยางนอย 1 ตวัของเซต B ไมเปนสมาชิกของ A เรากลาววา A ไมเทากับ B เขียน

แทนดวย A ≠ B

••

B = {8, 4, 1}

• •

เชน A = {1, 2} มีจํานวนสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2

B = {2, 2, 1} มีจํานวนสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2 ถือวา เซต A เทากับเซต B เขียนแทนดวย A = B


99

54


อีอีกครั้งนะคะกครั้งนะคะ

กําหนดเอกภพสัมพัทธ (U) เปนเซตของจํานวนนับ

ถา A = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ x ≤ 5} B = {x ⏐3 ≤ x + 2 ≤ 14 }

C = {x ⏐x เปนจํานวนนับท่ีหารดวย 6 ลงตัว }

จะเห็นไดวา A ⊂ U , B ⊂ U, C ⊂ U นั่นคือ ขอบขายท่ีกําลังพิจารณาอยูคือเซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิกท่ีเปน

จํานวนนับ

U = {1, 2, 3, …}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

ซ่ึงสมาชิกทุกตัวของ A เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ

ดังนั้น A ⊂ U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ซ่ึงสมาชิกทุกตัวของ B เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ

ดังนั้น B ⊂ U

C = {6, 12, 18, … } ซ่ึงสมาชิกทุกตัวของ C เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ

ดังนั้น C ⊂ U


1100

55

เกงมากคะท่ีตอบขอ เกงมากคะท่ีตอบขอ เกงมากคะท่ีตอบขอ ข ขข

AA == {{11,, 33,, 55,, 77}} และ และ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ดังนัน้ ดังนัน้ A เปนสับเซตแทของ เปนสับเซตแทของ C เพราะ เพราะ A ⊂ B แตแต A ≠ B A C ⊂ ≠A B A B

เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมเมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางขางลางไดเลยลางไดเลยคะคะ... จากกรอบ ...

• กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A = B ก็ตอเม่ือ A ⊂ B

และ B ⊂ A หรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา เซต A และเซต B จะเทากนักต็อเม่ือเซตท้ังสองเหมือนกนัทุกตัว เขียนแทนดวย A = B

เชน A = {1, 8, 4} และ B = {8, 4, 1}

จะได A = B เพราะ A ⊂ B และ B ⊂ A


ถาให A = {1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5} และ B = {1, 3, 1, 4, 4, 2, 5}

ขอใดถูกตอง ก. A = B

ข. B ≠ A

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 1818 .. 18.

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 9 99.

1111

56



กําหนดให

ดังนั้น A ⊂ U

U

U

A

2200

12

57


CC == {{22,, 44,, 66,, 88}} และ และ D = {2, 4, 6, 8, 10} {D = 2, 4, 6, 8, 10}

ดังนั้ดังนั้น C ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ เพราะสมาชิกทุกตัวของ C ⊂น C D C เปนสมาชิกของ เปนสมาชิกของ D D

เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมเมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางขางลางไดเลยลางไดเลยคะคะ... จากกรอบ ...

จะได A ⊄ B เพราะวา b เปนสมาชิกของ A แตไมเปนสมาชิกของ B และจะได B ⊄ A เพราะวา i เปนสมาชิกของ B แตไมเปนสมาชิกของ A

ลองคิด ลองทําลองคิด ลองทําลองคิด ลองทํา ถาให C = {a, e, i, o} และ D = {e, u, a, o, i} ขอใดถูกตอง

ก. D ⊄ C และ C ⊂ D

ข. D ⊂ C และ C ⊄ D ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 15 . 1

. 155

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 7 7. 7.

1133

58

ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้วนใหมจากกรอบขางลางนี้

อีกครั้งนะคะอีกครั้งนะคะ ลองทบท

A = {2, 4, 6, 8}

จะได B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10}

U 2

4 6

8 5

9 3 7

10 A

B


1144

59

กก

{C = a, e, i, e} {D = e, u, a, e, i}

⊂ C D C

D D C


ก. 24

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 2222 . 22.

. 8. 8

15

60



• ถา U = {1, 2, 3, …}

A = {3, 5, 7, 9}

U

66

B A

1166

9 8 3 7

10

5

61


จากแผนภาพเวนนจากแผนภาพเวนน-ออยเลอร ออยเลอร -

{A = 1, 3, 5, 7} และ

BB == {{xx ⏐⏐xx เปนจํานวนนับเปนจํานวนนับ และ และ 1 ≤ x < 10} 1 ≤ < x 10}



ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A กับ B ไมมีสมาชิก

รวมกัน จะเขียนไดดงัรูป


ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็ม}

.. 66

.. 22

A B

B

17

62

กก

A = B A 1, 2, 3, 4, 5 และ B 1, 2, 3, 4, 5

เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหเมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมมจากกรอบขางขางลางไดเลยคะลางไดเลยคะ... จากกรอบ ...

บทนิยาม

กําหนดให A เปนเซตใด ๆ เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตท่ีมีสมาชิกเปนสับเซตท้ังหมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A)

เขียนใหอยูในรูปเซต นั่นคือ P(A) = { x ⏐x ⊂ A }

วิธีเขียนเซต

ถา A เปนเซตใด ๆ ท่ีมีสมาชิก n ตัว การหาจํานวนสับเซตของ A = 2n การเขียนสับเซต จะตองเขียนเซตซ่ึงประกอบดวย

18

11.. เซตวางเซตวาง

22.. เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก 1 ตัวตัว 1

33.. เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก 2 ตัวตัว 2

44.. เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก n ตัว ตัว n

เชน A = {1, 2}

จะไดสับเซตของ A คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}

ก. P(B) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}

.. 442. 211.

63

A เปนสับเซตแทของ B ก็ตอเม่ือ สมาชิกทุกตัวของเซตA เปนสมาชิกของเซต B นั่นก็คือ เซต A เปนสับเซตของเซต B แต เซต A ไมเทากับเซต B นั่นก็คือเซต A มีจํานวนสมาชิกไมเทากับเซต B

เชน

A = {2, 4, 6, 8}

B = { x ⏐x เปนจํานวนคู และ 2 ≤ x ≤ 8 } จะได B = {2, 4, 6, 8}

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

ดังนั้น A ไมเปนสับเซตแทของ B เพราะ เซต A เทากับ B (เขียนแทนดวย A = B )

A เปนสับเซตแทของ C เพราะ สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ C แต

เซต A ไมเทากับ C (เขียนแทนดวย A ≠ C )


1199

64


AA == {{11,, 22,, 33,, ……,, 1100}} ดังนั้น เอกภพสัมพัทธของ ดังนั้น เอกภพสัมพัทธของ A คือคือ A

{ }U =



U

U

A

ลองคิด ลลองคิด ลลองคิด ลองทําองทําองทํา

A

จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรท่ีกําหนดให ขอใดถูกตอง

ตอบ ขอ กตอบ ขอ กตอบ ขอ ก . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 3 . 3. 3

ตอบ ขอ ขตอบ ขอ ขตอบ ขอ ข . เปดไปหนา เปดไปหนา เปดไปหนา 12 .. 1122 20

65

••• เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวเอง นัน่คือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A⊂A ••

เซตท่ีประกอบไปดวยสมาชิก 1 ตัว นั่นคือ {1}, {2}, {3} 2.

เม่ือศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําิดลองทําลองคิดลองทํา อีกคร้ังในหนา หนา หนา 18 ลองค 1188

21

66

ะ

จํานวนสับเซตของเซตจํานวนสับเซตของเซตจํานวนสับเซตของเซต = 2n

== 22nn

15

22

67

ขข

-

{A = 2, 4, 6, 8} และ

≤ <B = {x⏐x 6 x 10}

A B A

⊂A BB

จํานวนสับเซตของเซต จํานวนสับเซตของเซต = 2n

= 2n

A AP(A)

เอกภพสัมพัทธเอกภพสัมพัทธ คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชกิท้ังหมดในขอบขายท่ีคือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชกิท้ังหมดในขอบขายท่ี

กําลังพิจารณาอยูในขณะนั้น เขียนแทนดวย กําลังพิจารณาอยูในขณะนั้น เขียนแทนดวย U U

–-

23

68

2

2

ถามั่นใจแลวเชิญทําแบบฝกหัดประจําถามั่นใจแลวเชิญทําแบบฝกหัดประจําถามั่นใจแลวเชิญทําแบบฝกหัดประจํา

หนวยที่ หนวยที่ หนวยที่ 2 ไดเลยคะไดเลยคะไดเลยคะ

2

2244

Documents

บทเรียนสําเร็จรูป · 2012. 1. 19. · หน วยท 2. ... 4. เมื่ือกคอเลําตอบแล ว ให ผู เรียนดูเลขหน