1

ศิลปะทางคณิตศาสตร (MATH ART) โดย อ. บุญฤดี แสงจันทร สาขาวิชาคณิตศาสตร

คณิตศาสตรมิใชเปนวิชาท่ีเกี่ยวกับการคํานวณ การวดั การหาปริมาตร การเทากัน การไมเทากนั การสมมาตร การพิสูจนเอกลักษณและอ่ืน ๆ โดยใชตัวเลขและสัญลักษณเทานั้น คณิตศาสตรยงัเปนศาสตรท่ีเปนตนแบบของความงามของศิลปะหลาย ๆ ชนิด เชนศิลปะของอาคารสถานท่ี จิตรกรรม ปติมากรรม อนุสาวรีย ภาพพิมพ ภาพอุปกรณและเคร่ืองใชตาง ๆ สามารถนําสัญลักษณของเนื้อหาวิชาคณติศาสตรมาชวยในการออกแบบ เม่ือผูสรางออกแบบอยางงดงามและใสสีสันตาง ๆ เขาไปก็จะทําใหส่ิงนั้นมีความสวยงาม มีคุณคา มีเอกลักษณและเปนท่ียอมรับของบุคคลทั่วไป ผูเขียนขอยกตัวอยางสัญลักษณทางคณิตศาสตรที่เรานํามาสรางงานศิลปะที่มีความสวยงาม มีเอกลักษณที่เดนชัด ซึ่งแตละสถานท่ีผูออกแบบมีความภูมิใจเปนอยางยิ่ง ดังภาพที่ 1

ภาพท่ี 1 Gateway Arch

ภาพที่ 1 เปนตัวอยางของศิลปะทางคณิตศาสตร มีรูปทรง

พาราโบลาทางเรขาคณิตที่มีช่ือเรียกกันวา “Gateway Arch ” สรางในป

คศ. 1963-1965 และเปดใหใชในป คศ. 1967 ผูสรางตองการให เปน

อนุเสาวรียที่สวยงามและเปนสถานพักผอนสําคัญของเมืองเซนตหลุยส

รัฐมิซซูรี ประเทศสหรัฐอเมริกา มีความสูง 630 ฟุต ฐานทั้งสองขางหาง

กัน 630 ฟุต เชนกัน โครงสรางเปนสมการรูปโคง (Catenary Curve

Equation) มีสมการ y = kcosh(x/k) ซึ่ง cosh (x) = (ex + e-x)/2

Gateway Arch ต้ังอยูบนฝงของแมนํ้ามิสซิปซิปปเมืองเซนต

หลุยส สถาปนิกออกแบบทําดวยเหล็กกลา ผูชมสามารถขึ้นไปบน

Gateway Arch จะมองเห็นทิวทัศนรอบ ๆ เมืองเซนตหลุยส และสามารถ

เห็นความงามของแมนํ้ามิสซิปซิปปและบริเวณ รอบ ๆ ของรัฐอิลลินอยส

ขางบนของ Gateway Arch มีรานคา เปนที่พักผอน Gateway Arch

นับเปนปฏิมากรรูปทรงทางคณิตศาสตรที่สวยงามแหงหน่ึงและเปนความ

ภูมิใจของประชาชนชาวเมืองเซนตหลุยส ที่บุคคลผานไปมาไดเห็นและ

ประทับใจในภาพลักษณน้ี

ศิลปะทางคณิตศาสตรอีกแหงหน่ึงที่นําสัญลักษณทาง

คณิตศาสตรมาชวยในการตกแตง คือเมืองเมลเบิรน มลรัฐวิคตอเรีย

ประเทศออสเตรเลียซึ่งไดช่ือวาเปนเมืองคณิตศาสตร (City of Math) ดัง

ภาพที่ 2 RMIT Storey Hall เปนอาคารในมหาวิทยาลัย RMIT เมือง

เมลเบิรน ไดนําภาพสัญลักษณทางคณิตศาสตรรูปสามเหล่ียม รูป

สี่เหล่ียม รูปหาเหล่ียมและเสนโคงมาใชในการออกแบบฝาผนัง เพดาน

อาคารตึก บันไดทางขึ้นของอาคาร ภาพตาง ๆ ทําดวยหินและแกวสี

(quasicrystal designs) สถานที่ดังกลาวจัดเปนหองบรรยาย พิพิธภัณฑ

สําหรับนักศึกษา และโรงภาพยนตของมหาวิทยาลัย

ภาพที่ 2 อาคาร RMIT Storey Hall

2และที่เมืองเมืองเมลเบิรนเชนกันตึก Digital Harbour Port 1010 เปนที่ต้ัง

ของ Café Wall Illusion เปนตึกทรงสี่เหล่ียม ผนังของตึกทาสีดําขาวและ

รูปทรงสี่เหล่ียมผืนผาซิกแซกไปมา ภาพท่ีเห็นของผนังตึกดูเหมือนแตละ

ช้ันจะแยกออกจากกันทั้งขางบนและขางลาง แตจริง ๆ แลวเปนภาพลวง

ตา ตึก Digital Harbour Port 1010 สรางเสร็จเมื่อป ค.ศ 2006 นับวาเปน

อาคารแหงหน่ึงที่ใชสัญลักษณทางคณิตศาสตรเปนผนังของตึก

ภาพท่ี 3 อาคาร Café Wall Illusion.

และภาพของอาคารที่ใชรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการออกแบบอยางเดนชัดคือเปนรูปทรงเหล่ียมตาง ๆ เชนภาพอาคารอเนกประสงคที่เมืองเพิรท ประเทศออสเตรเลีย ดังภาพที่ 4

ภาพท่ี 4 อาคารอเนกประสงคท่ีเมืองเพิรท ประเทศออสเตรเลีย

ปจจุบันศิลปะและสถาปตยกรรมตาง ๆ ไดนํารูปทรงทางคณิตศาสตรมาชวยในการออกแบบเปนจาํนวนมาก ความจริง แลวคณิตศาสตรและศิลปะมีความสัมพันธกันอยางตอเน่ืองนับเวลาหลายพันป การนํารูปแบบของความสมมาตร (Symmetry) สัดสวน (Proportion) และการเช่ือมโยง (Translation) ซึ่งเปนพ้ืนฐานของคณิตศาสตรมาชวยในการกอสรางเปนศิลปะที่จะเห็นกันอยูเสมอ ดังเชนภาพในอดีตเมื่อสมัย 3, 000 ปลวงมาแลว ปรามิดในประเทศอียิปต กอสรางโดยอาศัยรูปทรงทางคณิตศาสตรเปนรูปสามเหล่ียม ดังภาพที่ 5

ภาพท่ี 5 ปรามิดในประเทศอียิปต ท่ีมีรูปทรงเปนรูปสามเหลี่ยม

ตอมาในสมัยเรอนาซองคป คศ. 1452-1519 จิตรกรที่มีช่ือเสียงโดงดัง จนเปนที่ยอมรับวาเปนจิตรกรเอกของโลกคนหน่ึง คือเลโอนารโด ดา วินชี (Leonardo da Vinci ) ผลงานของเลโอนารโด ดา วินชี มีมากมายและที่ขึ้นช่ือวามีความงามเลิศลํ้าคือภาพโมนาลิซา (Mona Lisa del Gioconda)

เลโอนารโด ดา วินชียังไดช่ือวาเปนนักคณิตศาสตร นักวิทยาศาสตร และวิศวกร เขารักวิชาเรขาคณิตเปนอยางยิ่ง เขาไดอุทิศเวลาเพื่อสรางภาพรูปหาเหล่ียมกลม (Polyhedral) จนเปนผลสําเร็จ ตนแบบที่เขาเขียนไวดังภาพที่ 6 (ภาพซายมือ) ปจจุบันเปนตนแบบรูปทรงเรขาคณิตที่มองเห็นไดหลายมิติดังภาพขวามือ

ภาพท่ี 6 รูปหาเหล่ียมกลม (Polyhedron) ท้ังในอดีตและปจจุบัน

ภาพที่ 7 มีช่ือเรียกวา “Circle Limit III” เปนภาพเขียนที่จิตรกร Maurits Cornelis Escher ชาวฮอลแลนด ( ค ศ.1898 – 1972) เปนผูออกแบบ ผลงานของ Escher มีภาพสวยงามหลายภาพ และภาพที่เปนศิลปะทางคณิตศาสตรดังภาพที่ 7 เปนรูปปลาวายนํ้า 5 ตัวมี 5 สี ปลาจะวายใหไปถึงขอบอยางไมมีที่สิ้นสุด (infinite) ปลาเหลาน้ันจะวายอยูในรูปกราฟไฮเพอรโบลิคในระนาบ (hyperbolic space) ถาเราสังเกตภาพใหดีเราจะเห็นรูปที่คลายสามเหล่ียม ขนาดเดียวกัน แตละ

3ดานจะมีมุม และในระนาบน้ีไมมีสี่เหล่ียมหรือสีเ่หล่ียมผืนผา ภาพของ Escher สวยงาม และออกมาในลักษณะที่แปลกที่เราไมเคยเห็นมากอน

ภาพท่ี 7 Circle Limit III

จากภาพศิลปะทางคณิตศาสตรดังกลาว เราอาจกลาวไดวาศิลปะทางคณิตศาสตรเปนผลผลิตของศิลปะในเชิงประดิษฐ ซึ่งขึ้นอยูกับพ้ืนฐาน การวางแผนงาน วิธีคิดและวิธีดําเนินการ ที่จะกอใหเกิดความหมาย คําอธิบายและคําพรรณนาทางคณิตศาสตร ความกาวหนาของศิลปะทางคณิตศาสตรมีอยางตอเน่ืองมาตามลําดับ จนหลายสถาบันทางการศึกษาไดบรรจุ MATH ART ในหลักสูตรการเรียนการสอนทางคณิตศาสตรในระดับอุดมศึกษา และนับต้ังแตป ค.ศ 1989 เปนตนมามีหลายหนวยงาน หลายประเทศไดใหความสําคัญของศิลปะทางคณิตศาสตรจัดนิทรรศการศิลปะทางคณิตศาสตร (MATHART EXHIBITION) และดําเนินจัดตอเน่ืองกันมาทุกปจนถึงปจจุบันน้ี ความกาวหนาของศิลปะทางคณิตศาสตรไดแตกแขนงจนเกิดศิลปะของคณิตศาสตรมากมาย ซึ่งเราไมเคยเห็นมากอนในอดีต จาก เว็บไซนในงานนิทรรศการศิลปะทางคณิตศาสตรของแตละหนวยงาน มีศิลปะทางคณิตศาสตรที่เปนภาพที่สวยงาม มีความหมายมากขึ้นกวาสมัยกอน และไดสรางคุณคาทางคณิตศาสตรเปนอยางยิ่ง ผูเขียนจึงใครขอนําเสนอศิลปะทางคณิตศาสตรในงานนิทรรศการศิลปะทางคณิตศาสตรบางภาพ เพ่ือใหทานผูอานไดพิจารณา เชนภาพที่ 8 เปนปฎิมากรทางเรขาคณิตสรางขึ้นที่มหาวิทยาลัยโตรอนโต ประเทศแคนนาดา โดย John Robinson เปนผูสราง ตกแตง รูปทรงปฎิมากร หลายช้ินที่มีสัญลักษณทางคณิตศาสตร ดังภาพที่ 8

ภาพท่ี 8 ศิลปะคณิตศาสตรของ John Robinson

ศิลปะแบบ L-system หรือบางครั้งอาจเรียกวา L-Art เปนผลงานของจิตรกร Aristid Lindenmayer เมื่อป คศ 1968

L-system หมายถึงการพัฒนาของเซลจําลองตาง ๆ ดวยสัญลักษณ เชนขบวนการทางชีววิทยาจําลองการเจริญเติบโตของพืช และเซลของพืชน้ันจะมีการแบงแยกเซลใหยอยลงไปอีก ขบวนการน้ีจะใชรูปแบบของคณิตศาสตร และโปรแกรมทางคอมพิวเตอรพัฒนาใหเกิดภาพที่สวยงาม ดังภาพที่ 9

ภาพที่ 9 ศิลปะทางคณิตศาสตรแบบ L-System

4 ศิลปะทางคณิตศาสตรสมัยใหมในรูป SYNETIC STRUCTURE ของ นาย Frederick G. Flowerday เมื่อป คศ. 1999 ประเทศสหรัฐอเมริกา Synectics Structure เปนคํามาจากภาษากรีกหมายถึงระบบโครงสรางที่ผสมผสานกันในกลุมหลาย ๆ กลุมเชนกลุมของวิทยาศาสตร กลุมคณิตศาสตรที่นํามารวมไวดวยกันเพ่ือประกอบกันเปนกลุมกอน และ

เอื้อประโยชนซึ่งกันและกัน Synetics ประกอบดวยสมาชิกหลาย

ประเภทต้ังแตโครงสรางที่มีรูปแบบจากสิ่งที่เล็กที่สุด ไปจนกระทั่งโครงสรางที่มีรูปแบบใหญ ๆ ขึ้นไป นอกจากน้ี Synectics ยังหมายถึงความสามารถในการรวมส่ิงที่แตกตางกันหรือสิ่งที่ยุงยากเขาไวดวยกัน เปนการกระตุนทางดานความคิดเห็นที่เปนอิสระ และเปนที่ ๆ สรางความคิดใหม ๆ ภาพ Synectics Structure นับเปนศิลปะคณิตศาสตรยุคใหมจริง ๆ

ภาพที่ 10 ศิลปะทางคณิตศาสตรแบบ Synetics Structure

ผลงานของการจัดนิทรรศการศิลปะทางคณิตศาสตรในที่ตาง ๆ ที่ผูเขียนช่ืนชอบมากเปนพิเศษคือผลงานของ Dr. George W. Hart ประเทศสหรัฐอเมริกา Dr. George W. Hart เปนจิตรกร นักปฎิมากร นักคณิตศาสตร วิศวกร นักวิจัย นักเขียน นักการศึกษาและโปรแกรมเมอรทางดานวิทยาศาสตร ปฎิมากรทางดานเรขาคณิตของ Dr. George W. Hart

ไดรับคําชมเชยและรางวัลเปนจํานวนมาก และ ที่ Dr. George W. Hart ภูมิใจมากคือเขาไดรับรางวัลจาก New York State Council for the Arts Individual Artist's Award ผลงานที่เดนมากท่ีสุดคือการวิเคราะหในหลายมิติของโครงสรางเรขาคณิตเชิงเสน (Linear Algebra) สวนงานเขียนเก่ียวกับการใชอุปกรณ Zome Geometry เปนงานเขียนที่เปนที่ยอมรับของนักวิชาการ งานเขียนน้ีทําใหผูอานเขาใจโครงสราง 3 มิติ ทางเรขาคณิตในระนาบ และสามารถเขาใจการนําไปประยุกตใช และเขาใจวิชาเรขาคณิตมากขึ้น ปจจุบัน Dr. George W. Hart กําลังเขียนผลงานประวัติศาสตรของศิลปะทางเรขาคณิต ผลงานของของ Dr. George

W. Hart ดังภาพที่ 11

ภาพท่ี 11 ผลงานของ Dr. George W. Hart

ปจจุบันคอมพิวเตอรเขามามีบทบาทมากขึ้น โปรแกรมคอมพิวเตอรสามารถทําใหเกิดภาพคณิตศาสตรขึ้นไดหลายมิติ และรูปที่สรางสามารถเปล่ียนแปลงไดทั้งภาพและสี หรืออาจใหมีการเคล่ือนไหวได (Animation) คอมพิวเตอรทําใหศิลปะทางคณิตศาสตรเติบโตขึ้นอยางรวดเร็ว โปรแกรมคอมพิวเตอรทางดานกราฟกก็เชนกันไดพัฒนาขึ้นมาเปนจํานวนมาก ผูใชสามารถเลือกใชตามวัตถุประสงคของงาน สําหรับโปรแกรมคอมพิวเตอรในงานดานคณิตศาสตรมีจํานวนมากเชนกัน เราสามารถเลือกเพ่ือการคํานวณอยางเดียวหรือเขียนภาพหรือกราฟอยางเดียวหรือใชทั้งการคํานวณพรอมเขียนกราฟดวยก็มีใหเลือกจํานวนมากเชนกัน ตัวอยางภาพศิลปะทางคณิตศาสตรที่มาจากโปรแกรมคอมพิวเตอรดังกลุมภาพที่ 12

5

ภาพท่ี 12 ศิลปะทางคณิตศาสตรจากโปรแกรมคอมพิวเตอร

งานของศิลปะทางคณิตศาสตร ถามีแบบแผนที่แนนอน แมนยํา

และมีการวางแผนกําหนดโครงสราง อยางเรียบรอยแลว สําหรับรูปแบบ

อาจจะขึ้นอยูกับพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร ฟสิกส เคมี ชีววิทยา หรือทาง

วิทยาศาสตรอื่น ๆหรือแบบจําลองทางเทคโนโลยี เมื่อนําเขาสูในระบบ

เทคโนโลยีสมัยใหมเชนคอมพิวเตอร คอมพิวเตอรทําใหเกิดภาพที่

สวยงาม และสามารถพัฒนางานศิลปะทางคณิตศาสตรไดมากขึ้น

แมวาจิตรกรจะบอกเราวาสัญลักษณบางอยางของคณิตศาสตร

เชนการสมมาตร การเทากัน การไมเทากัน สิ่งเหลาน้ีมักจะเก่ียวของกับ

ศิลปะ แตศิลปะจริง ๆ ไมตองการ การบวก การลบ การหารหรือการคูณ

แตอยางใด แตถาเราสังเกตใหดีเราจะพบวารูปทรงทางเรขาคณิตตาง ๆ

เชน สามเหล่ียม สี่เหล่ียม สี่เหล่ียมดานขนาน มักปรากฏบนรูปภาพเสมอ

และบางคร้ังจําเปนตองใชการคํานวณทางคณิตศาสตร เพ่ือใหภาพที่สราง

มีความสวยงาม สมมาตร สัดสวนถูกตอง ดังน้ันเราอาจกลาวไดวาศิลปะ

และคณิตศาสตรเก่ียวเน่ืองกัน แมวาเวลาจะเปล่ียนไปนานแคไหนศิลปะ

มักคูกับคณิตศาสตรเสมอ

MATH and MARTH

แหลงขอมูล

http://www.nps.gov/archive/jeff/arch-ov.htm http://www.maa.org/editorial/mathgames/ http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/mart.htm

http://www.a-r-m.com.au/news.php

http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/exsl/index.html http://www.georgehart.com/