สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย€¦ · สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ระบบจ านวนจริง

สรปสตรคณตศาสตร ม.ปลาย

ระบบจ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง ก ำหนด a, b, c เปนจ ำนวนจรงใดๆ (a, b, c ∈ R)

การเทากนในระบบจ านวนจรง สมบตของกำรเทำกนในระบบจ ำนวนจรง มดงน

1. สมบตกำรสะทอน a = a

2. สมบตสมมำตร

ถำ a = b แลว b = a 3. สมบตกำรถำยทอด

ถำ a = b และ b = c แลว a = c 4. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน

ถำ a = b แลว a + c = b + c

5. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a = b และ c ≠ 0 แลว ac = bc

การแกสมการพหนามตวแปรเดยว 1. กำรแยกตวประกอบ

2. หำจำกสตร x =−b±√b2−4ac

2a

3. ทฤษฏบทเศษเหลอ 3.1. ทฤษฏบทเศษเหลอ กลำววำ “ถำหำรพหนำม P(x) ดวย x − a เมอ a เปนจ ำนวนจรงแลวเศษจำก

กำรหำรจะเทำกบ P(a)”

3.2. ทฤษฏตวประกอบ (factor theorem) ก ำหนดพหนำม P(x) และ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ แลว 3.2.1 ถำ x − a เปนตวประกอบของ P(x) แลว P(a) = 0

3.2.2 ถำ P(a) = 0 แลว x - a จะเปนตวประกอบของ P(x) 3.2.3 พอได a จำกขอ 3.2.2 กน ำไปหำรสงเครำะห

การไมเทากนในระบบจ านวนจรง

สมบตของกำรไมเทำกนในระบบจ ำนวนจรง มดงน

1. ถำ a, b เปนจ ำนวนจรงใดๆ จะไดวำ 1.1. a = b กตอเมอ a – b = 0

1.2. a > b กตอเมอ a – b > 0 1.3. a b และ c ∈ R แลว

a + c > b + c หรอ a + (-c) > b + (-c)

2.2. ถำ a > b และ c ∈ R ; c ≠ 0 แลว

ถำ c > 0 ; ac > bc ถำ c < 0 ; ac < bc

3. ให a, b, c, d ∈ R

3.1 ถำ a 

1

b

3.3 ถำ a 

1

b

3.4 ถำ a bd > 0

3.8 ถำ 0 < a 

b

d > 0

คาสมบรณของจ านวนจรง คำสมบรณ คอ |a| ระยะทำงบนเสนจ ำนวนจำก 0 ไปถง a

เง อนไขของคาสมบรณ

|x| = {x ; x > 00 ; x = 0

−x ; x < 0

∅ เปนเซตจ ำกด

และ ∅ ≠ ሼ∅ሽ ≠ ሼ0ሽ

สมบตของคาสมบรณ

คณสมบตของอสมการคาสมบรณ

ก ำหนดให a > 0 1. ถำ |p(x)| < a แลว –a < p(x) < a

2. ถำ |p(x)| ≤ a แลว –a ≤ p(x) ≤ a

3. ถำ |p(x)| > a แลว p(x) > หรอ p(x) < -a 4. ถำ |p(x)| ≥ a แลว p(x) ≥ หรอ p(x) ≤ -a

5. ถำ |p(x)| > |q(x)| แลว [p(x)]2 > [q(x)]2

เซต ชนดของเซต

1. เซตจ ำกด เชน {1, 2, 3, …, 100}

2. เซตอนนต เชน [0, 1] หรอ {1, 2, 3, ...} 3. เซตวำง (∅, {}) เปนเซตทไมมสมำชกอยเลย

4. เอกภพสมพทธ (𝜇) คอ เซตทประกอบดวยสมำชกทงหมด

ของสงทเรำตองกำร

การเขยนเซต

1. เขยนแบบแจกแจงสมำชก (Tubular form) มหลกกำรเขยน ดงน เขยนสมำชกทงหมดในวงเลบปกกำ

สมำชกแตละตวคนดวยเครองหมำยจลภำค (,)

สมำชกทซ ำกนใหเขยนเพยงตวเดยว

ในกรณทจ ำนวนสมำชกมำกๆ ใหเขยนสมำชกอยำงนอย 3 ตวแรก แลวใชจด 3 จด (Triple dot)

แลวจงเขยนสมำชกตวสดทำย

2. เขยนแบบบอกเงอนไขของสมำชก (Set builder form) หลกกำรเขยนมดงน เขยนเซตดวยวงเลบปกกำ

ก ำหนดตวแปรแทนสมำชกทงหมดตำมดวยเครองหมำย | (| อำนวำ “โดยท”) แลวตำมดวย

เงอนไขของตวแปรนน ดงรปแบบ {x | เงอนไขของ x}

1. |x| ≥ 0

2. |x| = |-x|

3. |xy| = |x||y|

4. ቚx

yቚ=

|x|

|y|

5. |x-y| = |y-x|

6. √x2 = |x|

7. |x|2 = x2

8. ถำ |a| < |b| แลว a2 < b2

9. |x+y| ≤ |x| + |y|

10. |x-y| ≥ |x| - |y|

11. |x+y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≥ 0

ตวอยำงเชน

การกระท าของเซต 1. กำรยเนยน (∪) คอกำรรวมกนของสมำชก เชน A ∪ B จะไดวำ

2. กำรอนเตอรเซคชน (∩) คอ กำรซ ำกนของสมำชก เชน A ∩ B จะไดวำ

3. ผลตำงเซต (-) คอเอำแคเซตใดเซตหนง ไมเอำเซตทซ ำกน เชน A - B จะไดวำ

4. กำรคอมพลเมนท (A’, Ac) คอ ไมตองกำรเซตนนๆ เชน A’ คอไมเอำเซต A

สบเซต

สบเซต คอ เซตยอย เชน A ⊂ B กตอเมอ สมำชกทกตวของ A เปนสมำชกของ B เชน

A = {1, 2, 3} สบเซตของ A คอ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅

ดงนน จ ำนวนสบเซตของ A = 2n(A)

พาวเวอรเซตหรอเซตก าลง P(A) = {สบเซตทงหมดของ A}

เชน A= {1, 2, 3} ดงนน P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}

ขอสงเกต

1. จ ำนวนสมำชกของ P(A) = n(P(A)) = 2n(A)

2. เมอ A เปนเซตจ ำกดและ n(A) = K จะได 2K

2.1 n(P(A)) = 2K

2.2 n(P(P(A))) = 22K

2.3 n(P(P(P(A)))) = 222K

ดงนน จ ำนวนสมำชกทต ำทสดของพำวเวอรเซตคอ P(A) = 20 = 1 = ∅

คณสมบตของการ Operation

∅ เปนสบเซตทเลกทสดของทกเซตและ

เซตทกเซตเปนสบเซตทใหญทสดของตวเอง

1. กฎกำรยบ 2. กฎกำรสลบท A ∩ A = A A ∩ B = B ∩ A

A ∪ A = A A ∪ B = B ∪ A

3. กฎกำรเปลยนหม 4. กฎกำรแจกแจง (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

5. กฎเดอรมอแกน (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

A – B = A – (A ∩ B) = A ∩ B’ = B’ – A’

สตรลดทอน

สตรจ านวนสมาชกของเซต

แผนภาพเวนส – ออยเลอร

(A’)’ = A ∅ = 𝒰

𝒰’ = ∅ A – B = A B’

A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅= A

A ∩ 𝒰 = A A ∪ 𝒰 = 𝒰

A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A’ ∪ B) = A ∩ B A ∪ (A’ ∩ B) = A ∪ B

(A ∪ B) ∩ (A U B’) = A (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A

• n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

• n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

• n(A’) = n(𝒰) - n(A) • n(A-B) = n(A) - n(A∩B)

เลขยกก าลง สมบตของเลขยกก าลง

ขอควรระวง

(a ± b)2 = (a2 ± b2) ใหใชก ำลงสองสมบรณหรอ ผลตำงก ำลงสอง

สมบตของรากท n

ก ำหนดให a, b เปนจ ำนวนจรงทมรำกท n และ n เปนจ ำนวนเตมบวกทมำกกวำ 1

1. aman = am+n

2.am

an = am−n

3. (am)n = amn เมอ amn ≠ amn

4. (ab)n = anbn

5. ቀa

bቁ

n=

an

bn เมอ b ≠ 0

6. a−n =1

an เมอ a ≠ 0

7. a0 = 1 เมอ a ≠ 0

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

4. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

5. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

6. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

1. ൫ √an

൯n

= a เมอ √an เปนจ ำนวนจรง

2. ൫ √ann൯ = ቐ

a เมอ a ≥ 0

a เมอ a < 0 และ n เปนจ ำนวนคบวก

|a| เมอ a < 0 และ n เปนจ ำนวนคบวก

3. √an

⋅ √bn

= √abn

4. ටa

b

n=

√an

√bn เมอ b ≠ 0

5. √amn= a

m

n

ฟงกชน ผลคณคารทเชยน

ให A และ B แทนเซตใด ๆ เขยนผลคณคำรทเชยนของ A และ B วำ A×B อำนวำ “A Cross B” จะไดวำ ผลคณคำรทเชยน ของ A และ B (A×B) คอเซตของคอนดบทมสมำชกตวหนำมำจำก A และสมำชกตวหลงมำจำก

B

สมบตทควรทรำบ

1. ถำ A มสมำชก m ตว และ B มสมำชก n ตว แลว A×B มสมำชก mn ตว n(A×B) = n(A)×n(B) 2. A×B ≠ B×A แตจะเทำกนกตอเมอ A = B, A = ∅, B =∅

3. A×∅ = ∅ = ∅×A

4. A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C), (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)

5. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C), (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)

6. A×(B−C) = (A×B)−(A×C), (A−B)×C = (A×C)−(B×C)

7. r แทน ควำมสมพนธทสอดคลองกบเงอนไขทตองกำรจำกผลคณคำรทเชยน ขอควรระวง!!!!

A∪(B×C) ≠ (A∪B)×(A∪C)

A∩(B×C) ≠ (A∩B)×(A∩C)

A−(B×C) ≠ (A−B)×(A−C)

ฟงกชน

การตรวจสอบฟงกชน

1. ควำมสมพนธแบบแจกแจงสมำชก โดยดวำสมำชกตวหนำจบคกบสมำชกตวหลงมำกกวำ 1 คหรอไม ถำจบคมำกกวำ 1 คจะไมเปนฟงกชน

เชน

r1 = {(1, 2), (2, 4), (6, 3), (7, 2), (9, 4)} เปนฟงกชน เพรำะไมมสมำชกตวหนำใดเลยทจบคมำกกวำ 1 ค r2 = {(2, 2), (2, 4), (4, 1), (5, 8), (7, 1)} ไมเปนฟงกชน เพรำะมสมำชกตวหนำทจบคกนมำกกวำ 1 ค คอ สมำชกตวหนำ 2 จบคกบ 2 และ 4

2. ควำมสมพนธทเปนสมกำร

เมอแทนคำ x ในสมกำร จะตองใหคำ y ออกมำเพยงคำเดยว ถำได y มำกกวำ 1 คำแสดงวำไมเปนฟงกชน เชน

r1 = {(x,y) ∈ R×R | y = x2}

เปนฟงกชน เพรำะเมอแทน x = 1 , 2 , 3 , … จะได y เพยง 1 คำเสมอ r2 = {(x,y) ∈ R×R | x = y2}

ไมเปนฟงกชน เพรำะเมอแทนคำ x = 1 จะได y มำกกวำหนงคำ คอ 1 และ -1

3. กรำฟของควำมสมพนธ ท ำไดโดยกำรลำกเสนตรงขนำนกบแกน y ถำตดมำกกวำ 1 จดแสดงวำไมเปนฟงกชน

A×B = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B}

โดเมน (Domain) คอ เซตของ x ทท ำให y หำคำได

เรนจ (Range) คอ เซตของ y ทท ำให x หำคำได

“โดเมน คอ x, เรนจ คอ y”

กรำฟ A เปนกรำฟฟงกชน เพรำะเมอลำกเสนขนำนกบแกน y แลวไดจดตดเพยง 1 จด

กรำฟ B ไมเปนกรำฟฟงกชน เพรำะเมอลำกเสนขนำนกบแกน y แลวไดจดตด 2 จด 4. กำรหำคำของฟงกชน หำไดจำก 3 วธ ไดแก

1) หำจำกเซตทแจกแจงสมำชก

2) อำนจำกกรำฟ และ 3) แทนคำในสมกำร โดยคำทหำไดจำกฟงกชนจะเปนคำ y

5. ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป y = f(x) = ax + b เมอ a,b ∈ R และ a ≠ 0

6. ฟงกชนก ำลงสอง

กรำฟของฟงกชนก ำลงสอง y = ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0 แล y = a(x-h)2 + k เปนกรำฟพำรำโบลำ แบงเปน 2 ชนด คอ

1) a < 0 จะเปนกรำฟพำรำโบลำคว ำ ใหคำสงสด

2) a > 0 จะเปนกรำฟพำรำโบลำหงำย ใหคำต ำสด

สมบตของพาราโบลา

1. จดยอด (vertex) หรอ จดวกกลบ (turning point) หำไดจำก V = ቀ−𝐛

𝟐𝐚,

𝟒𝐚𝐜−𝐛𝟐

𝟒𝐚ቁ

2. สมกำรแกนสมมำตรของกรำฟ คอ x = −𝐛

𝟐𝐚 และ

คำสงสดหรอต ำสดของฟงกชน คอ y = 𝟒𝐚𝐜−𝐛𝟐

𝟒𝐚

3. เมอ y = ax2 + bx + c จะได x = K เปนแกนสมมำตร แลว f(k+Δ) = f(k−Δ) กลำวคอ คำของ

ฟงกชนทอยหำงจำกแกนสมมำตรเทำกน จะมคำเทำกน 4. จดตดแกน x หำไดจำก ให y = 0 และ จดตดแกน y ให x = 0

7. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

คอ ฟงกชนทอยในรป f = {(x,y) ∈ R×R+ | y = ax, a > 0, a ≠ 1}

กรณท 1 ถำ 0 < a < 1 แลว f( x ) จะเปนฟงกชนลด

กรณท 2 ถำ a > 1 แลว f ( x ) จะเปนฟงกชนเพม

กำรหำคำของรำกทสองของ x ± 2√y และ ටx ± 2√y

จำก ൫√𝑎 + √𝑏൯ = 𝑥 + 2√y

൫√a൯2

+ 2√a√b + ൫√b൯2

= 𝑥 + 2√y

a + 2√a√b + 𝑏 = 𝑥 + 2√y

a + b + 2√ab = 𝑥 + 2√y

ටx ± 2√y = √a ± √b กตอเมอ a + b = x และ ab = y

8. ฟงกชนคำสมบรณ

คอ ฟงกชนทอยในรป y = |x – h| + k เมอ a, c เปนจ ำนวนจรง โดยม (h, k) เปนจดยอด กรณท 1 a > 0 จะไดกรำฟหงำย กรณท 2 a < 0 จะไดกรำฟคว ำ

อตราสวนตรโกณมต พจารณาสามเหลยม ABC

จำกรป ABC เปนรปสำมเหลยมทมมม C เปนมมฉำกและดำนตรงขำมมม A, B และ C ยำว a, b และ c

ตำมล ำดบ โดยยด มม B เปนมมหลกจะได

a เปนควำมยำวของดำนตรงขำมมม A หรอเรยกวำ “ขำม”

b เปนควำมยำวดำนประชดมม A หรอเรยกวำ “ชด”

c เปนควำมยำวดำนตรงขำมมมฉำก หรอเรยกวำ

“ฉำก”

อตราสวนของความยาวดานตางๆ

ขอสงเกต!!!

1. tan A = sin A

cos A และ cot A =

cos A

sin A

2. (sin A)(cosec A) = 1, (cos A)(sec A) = 1, (tan A)(cot A) = 1

3. sin2 A + cos2 A = 1 4. 1 + cot2 A = cosec2 A

5. tan2 A + 1 = sec2 A

การยบมมทตดลบ sin (-θ) = -sin θ

cos (-θ) = cos θ

tan (-θ) = -tan θ

ทฤษฏบทพธาโกรส

ให ABC เปนสำมเหลยมมมฉำก และ A,B,C

เปนควำมยำวดำนแตละดำนดงรป

“ดำนตรงขำมมมฉำก = ผลบวกก ำลงสองของดำนประกอบมมฉำก”

sin A = ขำม

ฉำก cos A =

ชด

ฉำก tan A =

ขำม

ชด

cosec A = 1

sin A sec A =

1

cos A cot A =

1

tan A

c2 = a2 + b2

อตราสวนตรโกณมตทควรทราบ

ล าดบและอนกรม ล าดบเลขคณต

ผลตำงรวม 𝐝 = 𝐚𝐧+𝟏 − 𝐚𝐧

พจนท n ของล ำดบเลขคณต คอ 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝

ล าดบเรขาคณต

อตรำสวนรวม 𝐫 =𝐚𝐧+𝟏

𝐚𝐧

พจนท n ของล ำดบเรขำคณต คอ 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏𝐫𝐧−𝟏

cos = X

sin = Y

สมบตของซกมา

สตรผลบวกทส าคญ

ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรม

เขยนแทนดวยสญลกษณ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = ∑ 𝐚𝐧𝐢=𝟏 𝐢

อนกรมเลขคณต

ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต สำมำรถหำไดจำกสมกำร

𝐒𝐧 =𝐧

𝟐[𝟐𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝] หรอ 𝐒𝐧 =

𝐧

𝟐(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧)

หมำยเหต ในกรณทเรำร Sn ตองกำรจะหำ an ไดจำกสมกำรน an = Sn – Sn-1 เมอ n ≠ 1 และ Sn = ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖

อนกรมเรขาคณต ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเรขำคณต สำมำรถหำไดจำกสมกำร

𝐒𝐧 =𝐚𝟏(𝐫𝐧−𝟏)

𝐫−𝟏 หรอ 𝐒𝐧 =

𝐚𝐧(𝐫−𝐚𝟏)

𝐫−𝟏 เมอ r ≠ 1

หรอจะใชสมกำร 𝐒𝐧 =𝐚𝟏(𝟏−𝐫𝐧)

𝟏−𝐫 หรอ 𝐒𝐧 =

𝐚𝟏−𝐚𝐧𝐫

𝟏−𝐫 เมอ r ≠ 1 ใชในกรณท r < 1

ความนาจะเปน

กฎการนบเบองตน

1. กฎกำรคณ ถำมเหตกำรณยอยเกดขน k เหตกำรณ (n1, n2, …, nk) และแตละเหตกำรณเกดขนภำยใตเงอนไขหลกและ

เงอนไขยอยเดยวกน จ ำนวนเหตกำรณทงหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk

2. กฎกำรบวก

ถำมเหตกำรณยอยเกดขน k เหตกำรณ (n1, n2, …, nk) และแตละเหตกำรณเกดขน ภำยใตเงอนไขหลกเดยวกน แตมเงอนไขยอยทตำงกน

จ ำนวนเหตกำรณทงหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk

แฟคทอเรยล (Factorial)

การสบเปลยน 1. กำรสบเปลยนเชงเสน (Linear Permutation)

สงของทมลกษณะแตกตำงกน n ชน

จ ำนวนวธในกำรสบเปลยน = n! วธ

กำรสบเปลยนเชงเสนของสงของทมบำงสงซ ำกน ในกรณทมส งของทมลกษณะเหมอนกน

จ ำนวนวธในกำรสบเปลยน = n!

n1!n2!n3!…nr! วธ

2. กำรสบเปลยนแบบวงกลม (Circular Permutation)

สงของมลกษณะแตกตำงกน n ชน

จ ำนวนวธในกำรสบเปลยน = (n-1)! วธ

การจดหมและการเปลยนล าดบ 1. กำรจดหม

2. กำรเปลยนล ำดบ

สมบตของการจดหม

ความนาจะเปน ให P(E) แทนควำมนำจะเปนของเหตกำรณ

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1

nCr =n!

(n−r)!r!= ቀ

nr

ቁ

nPr = nCr × r! =

n!

(n−r)!

1. ቀn1

ቁ = n

2. ቀn

n − 1ቁ = n

3. ቀnn

ቁ = 1

4. ቀn0

ቁ = 1

P(E) =n(E)

n(S)

สมบตของความนาจะเปนของเหตการณ 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 โดย P(E) = 0 หมำยถงไมมเหตกำรณนนเกดขน

2. P(S) = 1 หมำยถง ควำมนำจะเปนของแซมเปลสเปซเทำกบ 1 เสมอ 3. ถำ P(E’) แทนควำมนำจะเปนทเหตกำรณ E จะไมเกดขนแลว P(E) = 1 – P(E’)

สถต การหาคากลางขอมล

1. ขอมลไมแจกแจงควำมถ 1.1 คำเฉลยเลขคณต

ขอมล 1 ชด x =∑x

N

ขอมล k ชด xi =∑Nxi

∑N=

N1x1+N2x2+⋯+Nkxk

N1+N2+⋯+Nk

1.2 มธยฐำน (Median)

ขนตอนกำรหำมธยฐำน 1) เรยงล ำดบขอมลจำกนอยไปหำมำก

2) หำต ำแหนงขอมล โดยใชสตร n+1

2

3) ขอมลทต ำแหนงตรงกบสตร คอคำมธยฐำน 1.3 ฐำนนยม (Mode) คอ ขอมลทมคำซ ำกนบอยครงทสด

2. ขอมลแจกแจงควำมถ

2.1 คำเฉลยเลขคณต x =∑fxc

n

โดย f แทน ควำมถของอนตรภำคชนนนๆ

xc แทน จดกงกลำงชน Min + Max

2

n แทน จ ำนวนขอมล หรอควำมถสะสมชนสดทำย 2.2 มธยฐำน (Med)

ขนตอนกำรหำมธยฐำน

1) หำต ำแหนงขอมล โดยใชสตร N

2

2) น ำต ำแหนงของขอมลทได ไปเทยบกบควำมถสะสม วำอยในอนตรภำคชนใด

3) หำคำมธยฐำน โดยใชสตร Med = L + I (N

2−∑fL

fMed)

โดย L แทน ขอบลำงของชนทมมธยฐำนอย

I แทน ควำมกวำงของอนตรภำคชน

∑fL แทน ควำมถสะสมจนถงกอนหนำชนทมมธยฐำนอย

fMed แทน ควำมถของชนทมมธยฐำนอย

2.3 ฐำนนยม Mode = L + I ቀd1

d1+d2ቁ

โดย L แทน ขอบลำงของชนทมฐำนนยมอย (ชนทมควำมถสงสด)

I แทน ควำมกวำงของอนตรภำคชน d1 แทน ผลตำงของควำมถ ของชนทมควำมถสงสดกบชนกอนหนำ

d2 แทน ผลตำงของควำมถ ของชนทมควำมถสงสดกบชนถดไป

การวดต าแหนงขอมล 1. ขอมลไมแจกแจงควำมถ

1.1 ควอไทล (Quartile) ขนตอนกำรหำควอไทล

1) เรยงล ำดบขอมลจำกนอยไปมำก

2) หำต ำแหนงของควอไทลจำกสตร Qr =r(N+1)

4

3) ขอมลทต ำแหนงตรงกบสตร คอคำควอไทล

1.2 เดไซล (Decile) ขนตอนกำรหำเดไซล

1) เรยงล ำดบขอมลจำกนอยไปมำก

2) หำต ำแหนงของเปอเซนไทลจำกสตร Dr =r(N+1)

10

3) ขอมลทต ำแหนงตรงกบสตร คอคำเดไซล 1.3 เปอรเซนไทล

ขนตอนกำรหำเปอรเซนไทล 1) เรยงล ำดบขอมลจำกนอยไปมำก

2) หำต ำแหนงของเปอเซนไทลจำกสตร Pr =r(N+1)

100

3) ขอมลทต ำแหนงตรงกบสตร คอคำเปอรเซนไทล

2. ขอมลแจกแจงควำมถ

2.1 ควอไทล (Quartile) ขนตอนกำรหำควอไทล

1) หำต ำแหนงของควอไทลจำกสตร Qr =rN

4

2) Qr = L + I (rN

4−∑fL

fQ)

2.2 เดไซล (Decile)

ขนตอนกำรหำเดไซล

1) หำต ำแหนงของเดไซลจำกสตร Dr =rN

10

2) Dr = L + I (rN

10−∑fL

fD)

2.3 เปอรเซนไทล

ขนตอนกำรหำเปอรเซนไทล

1) หำต ำแหนงของเปอรเซนไทลจำกสตร Pr =rN

100

2) Pr = L + I (rN

100−∑fL

fP)

โดย L แทน ขอบลำงของชนทมควอไทล เดไซล เปอเซนไทลอย I แทน ควำมกวำงของอนตรภำคชน

∑fL แทน ควำมถสะสมจนถงกอนหนำชนทมมควอไทล เดไซล เปอเซนไทล

fQ,D,P แทน ควำมถของชนทมมควอไทล เดไซล เปอรเซนไทลอย

Q2 = D5 = P50 = Median

การวดการกระจายขอมล 1. พสย = Max – Min

2. สวนเบยงเบนควอไทล = Q3−Q1

2

3. สวนเบยงเบนเฉลย (M.D) = Σ|x−x|

N

4. สวนเบยงเบนมำตรฐำน (S.D.) = ට∑(x−x)2

N = ට

Σx2

N− x2

5. ควำมแปรปรวน (S.D.)2 = ∑(x−x)2

N

Documents

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย€¦ · สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ระบบจ านวนจริง