การวดการกระจายเปนการวดเพอหาความแตกตางของขอมลวามมากนอยเพยงใดในขอมลช ดหนงๆ ขอมล 2 ชดใดๆ อาจมคาเฉลยเทากนแตอาจมการกระจายทตางกนกได เชน ตวอยาง A ตวอยาง B 31 34 32 32 30 28 33 29 34 37

จะเหนวากลมตวอยาง A และ B มคาเฉลย X = 32 เทากน แตการกระจายของขอมลตางกน ในการ

วจยเรานยมน าเสนอผลการวเคราะหขอมลทงการวดแนวโนมสสวนกลางและการวดการกระจายคกน เชน ผวจยเสนอคาเฉลยคกบสวนเบยงเบนมาตรฐาน บางครงกเสนอคาสงสดและคาต าสดเอาไวดวย เพอใหผอานรายงานการวจยทราบลกษณะของขอมลชดเจนยงขน มธยฐานมกใชคกบสวนเบยงเบนควอรไทล และฐานนยมมกใชคกบพสยและอาจจะเสนอคาสงสดและคาต าสดเพมอกกได การวดการกระจายสามารถจ าแนกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ การวดการกระจายสมบรณและการวดการกระจายสมพทธ

บทท 4 การวดการกระจาย

การวดการกระจายสมบรณเปนการวดการกระจายของขอมลชดใดชดหนงทไมน าไปเปรยบเทยบกบขอมลชดอน และผลลพธทไดจะมหนวยเดยวกนกบหนวยของขอมลทก าหนด ทนยมใชม 5 วธ คอ

1) พสย (range) แทนดวยสญญาลกษณ R 2) พสยระหวางควอรไทล (interquartile range) แทนดวยสญญาลกษณ IQ.R. 3) สวนเบยงเบนควอรไทล (quartile deviation) แทนดวยสญญาลกษณ Q.D. 4) สวนเบยงเบนเฉลย (mean deviation) แทนดวยสญญาลกษณ M.D. 5) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรแทนดวย

สญญาลกษณ σ และสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางแทนดวยสญญาลกษณ S ตามทไดกลาวไวแลวในบทท 1

ถาน าสวนเบยงเบนมาตรฐานไปยกก าลงสองจะเรยกวา ความแปรปรวน (variance) ใชสญญา

ลกษณ σ2 และ 𝑆2 แทนความแปรปรวนของประชากรและความแปรปรวนของตวอยาง ตามล าดบ พสย เปนการวด การกระจายอยางหยาบๆ โดยหาจากผลตางระหวางขอมลตวทมคามากทสดกบขอมลตวทมคานอยทสดในขอมลชดนน คอ เมอ 𝒙𝒎𝒂𝒙 คอขอมลตวทมคามากทสด เมอ 𝒙𝒎𝒊𝒏 คอขอมลตวทมคานอยทสด

ตวอยางท 3.1.1 จงหาพสยของขอมลแตละชดตอไปน ชดท 1) 11, 8, 4, 5, 16, 19, 6 ชดท 2) 10, 4, 7, 7, 10, 7, 10, 17

วธท า 1) R = 19 – 4 = 15 ดงนนพสยของขอมลชดท 1 เทากบ 15 2) R = 17 – 4 = 13 ดงนนพสยของขอมลชดท 2 เทากบ 13

3.1 การวดการกระจายสมบรณ

R = 𝒙𝒎𝒂𝒙 - 𝒙𝒎𝒊𝒏

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel

ขอสงเกต

1) พสยค านวณมาจากขอมลเพยงสองตวเทานน ขอมลตวอนๆไมไดน ามาใชเลย ดงนนการวดการกระจายดวยพสยอาจไมดพอส าหรบขอมลชดนนกได

2) พสยเหมาะส าหรบใชวดการกระจายอยางคราวๆ พสยระหวางควอรไทล การวดการกระจายแบบนจะพจารณาถงความแตกตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1 เมอก าหนดให N เปนจ านวนทงหมด แลวจดเรยงขอมลจากนอยไปหามาก ก าหนดให

ต าแหนงของควอรไทลท 1 คอ 1

4(N + 1)

ต าแหนงของควอรไทลท 1 คอ 3

4(N + 1)

เมอ Q3 คอควอรไทลท 3 Q1 คอควอรไทลท 1

ตวอยางท 3.1.2 จงหาพสยระหวางควอรไทลของขอมลตอไปน 9, 8, 6, 8, 9, 9, 13, 8, 9, 9, 6, 8, 9, 4, 9, 6, 11, 9, 11, 8

โดยการใชฟงกชน “=MAX” ซงใหคามากทสด (maximum value) =MAX(11, 8, 4, 5, 16, 19, 6) 19 โดยการใชฟงกชน “=MIN” ซงใหคามากทสด (minimum value) =MAX(11, 8, 4, 5, 16, 19, 6) 4

Max

Min

!

IQ.R. = Q3 - Q1

วธท า จดเรยงขอมลตามล าดบคาจากนอยไปหามากไดดงน 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11, 13 Q1 Q3

ในทน N = 20 ดงนนต าแหนงควอรไทลท 1 คอ 1

4(20 + 1) =

21

4= 5.25 แสดง

วาควอรไทลท 1 คอขอมลทอยระหวางตวท 5 และตวท 6 นบจากขอมลทมคานอยเพราะฉะนน Q1 = 8

ในท านองเดยวกน ต าแหนงของควอรไทลท 3 คอ 3

4(20 + 1) =

60

4= 15.75 แสดง

วาควอรไทลท 3 คอขอมลทอยระหวางตวท 15 และตวท 16 นบจากขอมลทมคานอยเพราะฉะนน Q3 = 9 ดงนน IQ.R. = 9 – 8 = 1

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel

ตวอยางท 3.1.3 จากผตอบแบบสอบถาม 150 คน ใหความเหนเกยวกบปญหาภาวะเศรษฐกจของไทยในปจจบน ตามระดบความคดเหนทใหคะแนนเปน 5, 4, 3, 2, 1 พบวามขอมลดงน

โดยการใชฟงชน “=QUARTILE” ปอนขอมลลงในชอง Array และ Quart พมพ 1 แลวคลก OK จะใหคาควอรไทลท 1 8 โดยการใชฟงชน “=QUARTILE” ปอนขอมลลงในชอง Array และ Quart พมพ 3 แลวคลก OK จะใหคาควอรไทลท 3 9

Q1

Q1Q1

Q3

คะแนน (X) จ านวนผตอบ (f) 1 15 2 30 3 60 4 30 5 15

จงหาพสยระหวางควอรไทล

วธท า น าขอมลไปสรางตารางความถดงน

x f cf

1 15 15 Q3 2 30 45

3 60 105 Q3 4 30 135 5 15 150

เพราะวาต าแหนงของ Q1 คอ 1

4(150 + 1) = 37.75

แสดงวา Q1 = 2

และเพราะวาต าแหนงของ Q3 คอ 3

4(150 + 1) = 113.25

แสดงวา Q3 = 4 ดงนน IQ.R. = 4 – 2 = 2 สวนเบยงเบนควอรไทล หรอเรยกอกอยางหนงวา กงพสยระหวางควอรไทล ( semi-interquatrile

range) ในทางวจยมกน ามาใชกบงานวจยทเรยกวา เทคนคเดลฟาย (delphitechmique) เพอหาความ

สอดคลองของความคดเหนของผเชยวชาญ ซงจะตองด าเนนการอยางนอย 2 รอบ สวนเบยงเบนควอรไทล

หาไดโดยใชสตร

Q. D. =

Q3 − Q1

2

Q3 ของกลมขอมล N ตวทเรยงล าดบกนแลว คอ ขอมลท 75% ของจ านวนขอมลจะอยต ากวา

คานหรอเทากบคาน Q1 ของกลมขอมล N ตวทเรยงล าดบกนแลว คอ ขอมลท 25% ของจ านวนขอมล

จะอยต ากวานหรอเทากบคาน

ตวอยางท 3.1.4 จงหาสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลตอไปน 47, 51, 51, 54, 55, 56, 59, 59, 63 วธท า เนองจากขอมลไดจดเรยงล าดบจากคานอยไปหาคามากเอาไวแลว 47, 51, 51, 54, 55, 56, 59, 59, 63

Q1 Q3

ต าแหนงของ Q3 คอ 3

4(9 + 1) = 7.5

ดงนน Q3 = 59

และต าแหนงของ Q1 คอ 1

4(9 + 1) = 2.5

ดงนน Q1 = 51 จะได

Q. D.=Q3 − Q1

2=

59 − 51

2=

82

= 4

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel

โดยการใชฟงชน “=QUARTILE” ปอนขอมลลงในชอง Array และ Quart พมพ 1 แลวคลก OK จะใหคาควอรไทลท 1 51 โดยการใชฟงชน “=QUARTILE” ปอนขอมลลงในชอง Array และ Quart พมพ 3 แลวคลก OK จะใหคาควอรไทลท 3 59

Q1

Q3

สวนเบยงเบนเฉลย เปนการวดการกระจายทไดจากคาเฉลยของคาสมบรณ (absolute value) ของความตางระหวางขอมลแตละตวกบคาเฉลยของขอมลชดนน ซงคาความแตกตางเชนนนจะเรยกวา สวนเบยงเบน (deviation) มสตรสวนเบยงเบนเฉลยของประชากรและสวนเบยงเบนเฉลยตวอยาง ตามล าดบ สวนเบยงเบนเฉลยของประชากร

M.D. = ∑|x− µ|

N (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

M.D. = ∑f|x− µ|

N (กรณขอมลแจกแจงความถ)

สวนเบยงเบนเฉลของตวอยาง

M.D. = ∑|x− X |

n (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

M.D. = ∑f|x− X |

n (กรณขอมลแจกแจงความถ)

ตวอยางท 3.1.5 ประชากรกลมหนงเปน 2, 4, 6, 8, 10 วธท า

μ = 2+4+6+8+10

5

= 30

5

= 6

ดงนน M.D. = ∑|x− µ|

N

= |2−6|+|4−6|+|6−6|+|8−6|+|10−6|

5

=4+2+0+2+4

5 =

12

5 = 2.4

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel ขอสงเกต ผลบวกของสวนเบยงเบนของขอมลแตละตวกบคาเฉลยจะมคาเทากบ 0 เสมอ กลาวคอ ถาขอมลไม

แจกแจงความถ ∑ (x – µ) = 0 และ ∑(x – x ) = 0 หรอถาขอมลแจกแจงความถ ∑f(x - µ) = 0 และ

∑f(x - x ) = 0

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนการวดการกระจายทนยมใชกนมากทสด เพราะเปนการค านวณ มาจากขอมลทกตวทมอย โดยหาไดจากคาหลกรากทสองของคาเฉลยของสวนเบยงเบนยกก าลงสองและในการวจยจะมการน าเสนอสวนเบยงเบนมาตรฐานคกบคาเฉลยอยเสมอ และน าเอาสวนเ บยงเบนมาตรฐานไปยกก าลงสองจะเรยกคาทไดวา ความแปรปรวน มสตรการหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรและสวนเบยงเบนมาตรฐานของ²ตวอยาง ดงน สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร

σ = √∑(𝑥 − µ)² /N (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

𝜎 = √∑f(x− µ)²

N (กรณขอมลแจกแจงความถ)

ยงมสตรทดดแปลงมาจากสตรขางตน ซงเรานยมใชมากเพราะใชไดงายกวาโดยไมตองไปหาคาเฉลย µ กอน และใหผลลพธเทากน ดงน

𝜎 = √∑x2 − (∑xN

)² (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

σ = √∑fx2 − (∑fxN

)² (กรณขอมลแจกแจงความถ)

โดยการใชฟงกชน “=AVEDEV” ซงใหคาสวนเบยงเบนเฉลย (M.D)

=AVEDEV(2, 4, 6, 8, 10)

2.4 M.D

!

สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง

S = √∑(x− X )²

n−1 (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

S = √∑f(x− X )²

n−1 (กรณขอมลแจกแจงความถ)

สตรของ S เมอหารดวย n จะเอนเอยง (biased) มากกวาหารดวย n – 1 เมอน าไปประมาณคาของ

σ และยงมสตรทดดแปลงมาจากสตรขางตนซงนยมใชเพราะใชไดงายกวา โดยไมตองไปหาคาเฉลย X

กอน แตใหลพธเทากน คอ

S = √𝑛∑𝑥2− (∑𝑥)²

𝑛(𝑛−1 (กรณไมแจกแจงความถ)

S = √n∑fx2− (∑fx)²

n(n−1 (กรณขอมลแจกแจงความถ)

ตวอยาง 3.1.6 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของประชากรกลมหนงทมขอมลเปน 2, 3, 4, 5, 6, วธท า

สตร μ = ∑x

N =

2+3+4+5+6

5 =

20

5 = 4

สตร σ = √∑(𝑥− 𝜇)²

𝑁

= √(2−4)²+(3−4)²+(4−4 )²+(5−4)²+(6−4)²

5

= √4+1+0+1+4

5 =

10

5 =√2 ≈ 1.41421

และความแปรปรวนของขอมลชดน คอ σ² = 2

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel

ตวอยางท 3.1.7 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรกลมหนงทมเปนขอมลเปน 4, 5, 2, 8, 6 วธท า อาจใชสตรของ 𝜎 ทดดแปลงแลว ซงท าไดสะดวกกวาโดยไมตองหาคา μ กอนดงน

X X²

2 4

4 16 5 25

6 36

8 64

∑x = 25 ∑x² = 145

สตร 𝜎 = √∑𝑥²

N - (∑𝑥

𝑁)²

= √145

5 - (25

5)²

= √29 − 25

= √4 = 2

โดยการใชฟงกช น “=STDEVP” ซงใหคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร (σ)

=STDEVP(2, 3, 4, 5, 6,)

1.414214

โดยการใชฟงกช น “=VARP” ซงใหคาความแปรปรวนของประชากร σ²

=VARP(2, 3, 4, 5, 6,)

2

𝜎

σ²

ตวอยาง 3.1.8 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง 2, 4, 5, 6, 8 วธท า

x X²

2 4 4 16

5 25

6 36

8 64

∑x = 25 ∑ X² = 145

สตร S = √𝑛∑𝑥2− (∑𝑥)²

𝑛(𝑛−1

S = √5(145)− (25)²

5(5−1

= √275−625

5(4)

= √100

20 = √5 ≈ 2.236068

การประมวลผลดวยโปรแกรม Excel

โดยการใชฟงกชน “=STDEV” ซงใหคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง (s)

=STDEV(2, 4, 5, 6, 8,)

2.236068

โดยการใชฟงกชน “=VAR” ซงใหคาความแปรปรวนของตวอยาง (S²)

=VAR(2, 4, 5, 6, 8)

5

S

S²

ตวอยาง 3.1.9 จากผตอบแบบสอบถาม 150 คน ใหความเหนเกยวกบปญหาภาวะเศรษฐกจของไทยในปจจบน ตามระดบความคดเหนคะแนนเปน 5, 4, 3, 2, 1 พบวามขอมลดงน คะแนน (x) จ านวนผตอบ (f) 1 13 2 30 3 60 4 30 5 15 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน วธท า น าขอมลมาสรางตารางดงน

x f fx fx² 1 15 15 15 2 30 60 120 3 60 180 540 4 30 120 480 5 15 75 375 n = 150 ∑fx = 450 ∑ fx² = 1,580

สตร S = √n∑fx2− (∑fx)²

n(n−1

= √150(1,530)− (450)²

150(150−1

= √229,500−202,500

22,350

= √27,00

22,350

= √1.2080 = 1.089

ดงนนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน คอ 1.09 แสดงวาโดยเฉลยแลวขอมลแตละตว (X) จะเบยงเบนไปจากไปจากคาเฉลย X = 3.00 (จากตวอยางท 2.1.2) ประมาณ 1.09

จากทไดทราบมาแลววา สวนเบยงเบน หมายถงผลตางระหวางขอมลแตละตวกบคาเฉลยของขอมล

ชดนน ส าหรบลมตวอยาง สวนเบยงเบน คอ x - X และยงทราบอกกวาผลรวมของสวนเบยงเบนทงหมด

ในขอมลชดนนตองเทากบศนย คอ ∑(x - X ) = 0 สวนเบยงเบนนอกจากน าไปใชหาสวนเบยงเบนเฉลย

และสวนเบยงเบนมาตรฐานไดแลว สวนเบยงเบนยงมประโยชนอก อาท น าไปใชในการหาความเบ และการวดภาวะยอดมนหรอการวดเคอรโทซส (measure of kurtosis) เปนตน การวดเคอรโทซส คอการวดเสนโคงวามความสงมากนอยเพยงใด นอกจากทราบเสนโคงทเราเรยกวาเปนภาพระฆงหรอมลกษณะสมมาตร ไมเบแลว ยงมความจ าเปนตองทราบวามความสงเปนอยางไร ถาสงเกนไปหรอต าเกนไปกถอวาเ ปนโคง ทไมปรกตทง สน ถงแมวาจะสมมาตรแลวกตามโคงปรกตนอกจากจะสมมาตรแลวยงมความสงพอเหมาะ ซงเราจะไดศกษารายละเอยดเกยวกบโคงปรกตในบทท 5 ตอไป เสนโคงทมความสงเปนปรกตเรยกเสนโคงชนดเมโสเคอรตก (mesokurtic) เสนโคงทแบนราบกวาปรกตเรยกวาเสนโคงชนคแพลตเคอรตก (platykurtic) เสนโคงทสงกวาปรกตเรยกวาเสนโคงชนคเลปโตเคอรตก (leptokurtic) Mesokurtic piatykurtic leptokurtic

ภาพ 3.1.1

หมายเหต

การแปลความหมายของคาความเบและคาเคอรโทซส 1. คาความเบ < 0 หมายความวาโคงความถมลกษณะเบดานซายหรอเบดานลบ 2. คาความเบ = 0 หมายความวาโคงความถมลกษณะสมมาตรเปนภาพระฆง 3. คาความเบ > 0 หมายความวาโคงความถมลกษณะเบดานขวาหรอเบดานบวก 4. คาเคอรโทซส < 0 หมายความวาขอมลมการกระจายนอย โคงความถมลกษณะคอนขางสงโดง (leptokurtic)

5. คาเคอรโทซล = 0 หมายความวาขอมลมรการกระจายปรกต โคงความถมลกษณะคลายการแจกแจงปรกต (mesokurtic) 6. คาเคอรโทซล > 0 หมายความวาขอมลมการกระจายมาก โคงความถมลกษณะคอนขางแบน (platykurtic) จากทไดศกษาการวดการกระจายสมบรณทง 5 วธ ไดแก พสย พสยระหวางอวอรไทล สวนเบยงเบนควอรไทล หรอกงพสยระหวางควอรไทล สวนเบยงเบนเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานการวดการกระจายสมบรณทมทใชมากทสดในการวจย คอ สวนเบยงเบนควอรไทล ในกรณทโคงการแจกแจงความถมคาความเบไมมากนก (moderately skewed distribution) ไวดงน

สวนเบยงเบนเฉลย = 4

5 (สวนเบยงเบนมาตรฐาน)

สวนเบยงเบนควอรไทล = 2

3 (สวนเบยงเบนมาตรฐาน)

แตถาโคงสมมาตรหรอมการแจกแจงปรกต (normal distribution) แลว สวนเบยงเบนเฉลยและสวนเบยงเบนควอรไทล จะเทากบ 0.7979 และ 0.6745 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน ตามล าดบ

การวดการกระจายสมพทธเปนการวดการกระจายทใชเปรยบเทยบการกระจายซงกนและกนระหวางขอมลแตละชด อนเปนการขจดหนวยของการวดและอยในภาวะทสามารถน ามาเปรยบเทยบกนได ทนยมใชม 4 วธ คอ 1) สมประสทธของพสย (coefficient of range) 2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (coefficient of quartile deviation) 3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (coefficient of average deviation) 4) สมประสทธการแปรผน (coefficient of variation) สมประสทธของพสย หาไดจากสตรดงตอไปน สมประสทธของพสย = 𝑥max − 𝑥min 𝑥max + 𝑥min เมอ 𝑥max คอขอมลตวทมคามากทสด 𝑥min คอขอมลตวทมคานอยทสด

3.2 การวดการกระจายสมพทธ

ตวอยางท 3.2.1 จงหาสมประสทธของพสยของขอมล 14, 8, 7, 12

วธท า สมประสทธของพสย = 14 - 7 14 + 7 = 7 = 1 = 0.33 21 3

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล หาไดจากสตรดงตอไปน

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล = Q3 − Q1

Q3+ Q1

เมอ Q3 คอควอรไทลท 3 Q1 คอควอรไทลท 1

ตวอยางท 3.2.2 จากขอมล 39, 47, 53, 55, 57, 63, 71 จงหาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล

วธท า ต าแหนงของควอรไทลท 1 คอ 2 ดงนน Q1 = 47 และต าแหนงของควอรไทลท 3 คอ 6

ดงนน Q3 = 63 จะไดวา จงหาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล = Q3 − Q1 Q3 + Q1 = 63 - 47 63 + 47 = 16 110 = 0.145

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย หาไดจากสตรดงตอไปน -สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = mean deviation mean การหาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของประชากร ใชสตร สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = mean deviation µ

การหาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของตวอยาง ใชสตร สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = mean deviation X

ตวอยางท 3.2.3 สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของประชากร 2, 4, 6, 8, 10

วธท า จากตวอยางท 3.1.5 พบวาสวนของประชากรชดนเปน 2.4 และมคาเฉลย µ = 6 ดงนนสมประสทธของสวนเบยงเฉลย = mean deviation µ = 2.4 6 = 0.40

สมประสทธการแปรผน นยมท าเปนรอยละ มสตรดงน

C.V. = 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑎𝑛× 100%

การหาสมประสทธการแปรผนของประชากร ใชสตร

C.V. = 𝜎

𝜇× 100%

การหาสมประสทธการแปรผนของตวอยาง ใชสตร

C.V. = 𝑠

X × 100%

ตวอยางท 3.2.4 ประชากรกลมหนงเปน 2, 3, 4, 5, 6 จงหาสมประสทธการแปรผน

วธท า จากการหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานทเคยหาไวแลวในตวอยาง ท 3.1.6 จะไดวา µ = 4, 𝜎 = 1.41

จากสตร C.V. = 𝜎

𝜇× 100%

= 1.41

4× 100%

= 35.25%

ตวอยางท 3.2.5 ตวอยางกลมท 4, 5, 2, 8, 6 จงหาสมประสทธการแปรผน

วธท า จากการหาสวนเบยงเบนมาตรฐานทเคยหาไวแลวในตวอยางท 3.1.8 จะไดวา s = 2.23 และพบวา

ขอมลชดนมคาเฉลย X = 4+5+2+8+6

5 =

25

5 = 5

จากสตร C.V. = 𝑠

X × 100%

= 2.23

5× 100%

= 44.60%

ตวอยางท 3.2.6 โรงงานผลตหลอดภาพโทรทศนแหง ซงผลตหลอดภาพชนด A กบชนด B หลอดภาพชนด A มอายการใชงานเฉลย 1,490 ช วโมง และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 280 ช งโมง หลอดภาพชนด B มอายการใชงานเฉลย 1,870 ช วโมง และเบยงเบนมาตรฐาน 300 ช วโมง จงเปรยบเทยบวาหลอดภาพชนดใดมการกระจายของอายใชงานมากกวากน

วธท า 3.2.6 C.V. ของอายการใชงานของหลอดภาพชนด A =

𝜎

𝜇× 100%

= 280

1,490× 100%

= 18.79%

C.V. ของอายการใชงานของหลอดภาพชนด B = 𝜎

𝜇× 100%

= 300

1,870× 100%

= 16.04%

ดงนนหลอดภาพชนด A มการกระจายของอายการใชงานมากกวาหลอดภาพชนด B

ตวอยางท 3.2.7 รายไดจากการเกบภาษน ามนเบนซน ในป พ.ศ. 2553-2554 โดยเฉลยเปนเงน 2,257 ลานบาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 27 ลานบาท ในชวงเวลาเดยวกนรายไดจากการเกบภาษน ามนดเซลโดยเฉลยเปนเงน 2,853 ลานบาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 45 ลานบาท อยากทราบวาการกระจายรายไดจากการเกบภาษน ามนประเภทใดจะมากกวากน

วธท า C.V. ของภาษน ามนเบนซน = 𝑠

X × 100%

= 27

2,257× 100% = 1.19%

= 45

2,853× 100% = 1.57%

แสดงวารายไดรายไดจากภาษน ามนดเซลมการกระจายมากกวารายไดจากภาษน าน ามนเบนซน สรปไดวาการวดการกระจายนนเปนการค านวณดวาขอมลชดมความแตกตางกนมากนอยเพยงใด ซงมวธวดได 2 แบบ คอ การวดการกระจายสมบรณ ซงจะใชในกรณทตองการวดการกระจายของขอมลชดอน และการวดการกระจายสมพนธ ซงจะใชในกรณทตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตงแต 2 ชดขนไป ปรกตแลวการวดการกระจายจะใชคกบการวดแนวโนมสสวนกลาง เชน คาเฉลยคกบสวนเบยงเบนมาตรฐานมธยฐานคกบสวนเบยงเบนควอรไทล ฐานนยมมกใชคกบพสย และอาจจะเสนอคาสงสดและคาต าสดเพมอกกได

ในการวจย เมอเราวเคราะหขอมลโดยใชการวดแนวโนมสสวนกลางดวย X และการวดการ

กระจายดวย S นน ในขนตอนแปลความหมายจะแปลความหมายเฉพาะ X เทานน จะไมนยมแปลความหมายของ S เวนเสยแตวา S=0 กควรมหมายเหตไวใตตารางการน าเสนอดวย เชน กรณศกษาความคดเหนแสดงวาเกดจากทกคนมความเหนตรงกน หรออาจเกดจากมผแสดงความคดเหนตอเรองนนเพยงคน

เดยว ในกรณทคาของ S สงมากๆ จะเปนการบงบอกวาคา X ของขอมลชดนไมเหมาะทจะเปนตวแทนของขอมลชดนได ถาเปนเชนนผวจยควรน าเสนอเปนขอมลดบตามทผ ตอบ

3.3 การใชคาเฉลย ( X ) และสวนเบยงเบนมาตรฐาน (S) ในการวจย

แบบสอบถามใหมาจะดกวาไปใช x กลาวโดยสรปคอ คาของ s ทเขยนไวในตารางน าเสนอเปนการบง

การวากลมผตอบแบบมความเหนใกลเคยงกนหรอมความเหนแตกตางกนเทานน ตวอยางท 3.3.1 จากงานวจยตอนหนงไดถามความคดเหนและขอความเสนอแนะน าตอการด าเนนงานของภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยแหงหนง จากบณฑต 198 คน แบบสอบถามเปนชนดมาตรการประเมน 5 ระดบ คอ มากทสด (5) มาก (4) ปานกลาง (3) นอย (2) และนอยทสด (1) น าเสนอน าหนกความคดเหนโดยคาเฉลย

x และสวนเบยงเบนมาตรฐาน s ซงมการแปลความของคาเฉลยดงน

4.51-5.00 หมายถงเหมาะสมมากทสด 3.51-4.50 หมายถงเหมาะสมมาก 2.51-3.50 หมาถงเหมาะสมปานกลาง 1.51-2.50 หมายถงเหมาะสมนอย (ควรปรบปรง) จากประสบการณของบณฑตทเคยศกษาภายใตการด าเนนงานของภาควชา คณตศาสตร บณฑตทเคยภายใตการด าเนนงานของภาควชาวาเหมาะสมหรอไมระดบใด ดงปรากฏตามตารางตอไปน ตาราง คาเฉลยน าหนกความคดเหนของบณฑตตอการด าเนนงานของภาควชาคณตศาสตรในตารางตางๆ โดยจ าแนกตามลกษณะของกลมบณฑตทประกอบอาชพในปจจบน

บณฑต บณฑต การด าเนนงาน กลมอาชพผสอนคณตศาสตร กลมอาชพอนทไมสอนคณตศาสตร

x s แปลความ x s แปลความ

1.การปฐมนเทศผเขาศกษาปท 1 3.80 1.38 เหมาะสมมาก 3.80 1.71 เหมาะสมมาก 2. การจดแผนการเรยน 4.00 1.05 เหมาะสมมาก 3.80 1.02 เหมาะสมมาก 3. การจดอาจารยผสอน 3.80 1.02 เหมาะสมมาก 4.40 0.88 เหมาะสมมาก 4. วธสอนของอาจารย 2.60 0.96 ปานกลาง 2.70 1.02 ปานกลาง 5. การวดผลและการประเมนผล 2.80 1.08 ปานกลาง 2.90 1.19 ปานกลาง 6. วสดอปกรณ 3.70 0.98 เหมาะสมมาก 3.80 0.97 เหมาะสมมาก 7. การฝกสอน 2.90 0.84 ปานกลาง 3.00 1.11 ปานกลาง 8. การปลกฝงอดมคตและ ศรทธาในอาชพ 2.40 1.05 ควรปรบปรง 2.50 1.02 ควรปรบปรง

บณฑต บณฑต

การด าเนนงาน กลมอาชพผสอนคณตศาสตร กลมอาชพอนทไมสอนคณตศาสตร

x s แปลความ x s แปลความ

9. การใหค าแนะน าในการ ประกอบอาชพ 2.30 1.04 ควรปรบปรง 2.20 0.99 ควรปรบปรง 10. การตดตอหลงส าเรจ การศกษา 2.10 0.95 ควรปรบปรง 3.00 1.11 ปานกลาง จากตารางขางตนจะเหนวาโดยเฉลยแลวสงทบณฑตทง 2 กลม คอ กลมอาชพผสอนคณตศาสตรและกลมอาชพอนทไมสอนคณตศาสตร เหนวาภาควชาด าเนนการไดเหมาะสมมาก คอ การปฐมนเทศผเขาศกษาปท 1 การจดแผนการเรยน การจดการอาจารยผสอน และวสดอปกรณทใชในการเรยนการสอน สวนทด าเนนการไดเหมาะสมปานกลาง คอ วธสอนของอาจารย การวดผลและการประเมนผล การฝกสอน ทควรปรบปรง คอ การปลกฝงอดมคตและศรทธาในวชาชพ การใหค าแนะน าในการประกอบอาชพ สวนทบณฑตความเหนไมตรงกน คอ การตดตอหลงส าเรจการศกษา บณฑตกลมอาชพผสอนคณตศาสตรเหนวาควรปรบปรง แตบณฑตกลมอาชพอนทไมสอนคณตศาสตรเหนวาเหมาะสมปานกลาง

การแปลความจะไมนาน าเอา x แตละกลมมาเปรยบเทยบกนอนขาด จนกวาจะไดมการทดสอบ

สมมตฐานเสยกอนซงจะศกษาตอไป ตอนนถาจะเปรยบเทยบกควรจะเปรยบเทยบกนในกลมเทานน และการกลาวถงผตอบเราจะไมใชค าวาสวนใหญ แตใชค าวา โดยเฉลย เชน ในแบบสอบถามชนดมาตรการประเมนไดผบรหารไดใหผบรหารเสนอความตองการระดบของทกษะทครชางควรจะม ในเรองการ

แกปญหาอยางเหมาะสมกบสถานการณ โดยใหคะแนนเปน 3, 2, 1, 0 ผวจยไดวเคราะหหา x =2.62 ,

ความหมายวา มากทสด ตองแปลวา “โดยเฉลยแลวผบรหารตองการใหครชางมวธแกปญหาอยางเหมาะสมกบสถานการณมากทสด” อยาพยายามแปลความวาผ ตอบมความคดเหนตอเรองนน ๆ ขนาดเทาใดเปนอนขาด เพราะจะไมสอความหมายเลย การวเคราะหขอมลเปนการน าเสนอขอมลทเกบรวบรวมมาได แลวท าใหเขาใจงายเทานนตวเลขทน าเสนอจะมความหมายในตวเองอยแลว กอนจบบทนขอสรปขอแนะน าเพอการแปลความคาสถตจากตาราง ดงน

1) เมอน าเสนอขอมลดวยตารางแลวไมจ าเปนตองอานตารางซ าอก เพยงแตแปลความและช สงส าคญ ๆ ทเสนอไวใตตารางกเพยงพอแลว

2) อาจแปลความหมายทละตาราง หรอเสนอหลาย ๆตารางในเดยวกน แมแปลความไปพรอม ๆกนกได

3) ใชสวนสวนเบยงเบนมาตรฐาน (s) ประกอบการพจารณาลกษณะขอเทานน ไมตองแปลความ

ใหแปลความเฉพาะคาเฉลย ( x ) เทานน

4) ถา s = 0 แสดงวาขอมลชดนนไมมการกระจาย คอ คะแนนจ าในค าถามขอนนเทากน หรอผตอบแทนทกคนมความคดเหนตรงกนหมด เหตการณเชนนจะเกดนอยมากถากลมตวอยางมขนาดใหญพอ

5) ถาคาของ s มคามาก แสดงวาความคดเหนของผตอบแบบสอบถามในขอนนไมสอดคลองกน

หรอแตกตางกนคอนขางมาก จงท าใหคา x ในขอนไมอาจใชเปนตวแทนได

จงหาพสย สวนเบยงเบนควอรไทล สวนเบยงเบนเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปร ปรวนของขอมลทไดจาดการสมตวอยางตอไปน

(1) 3, 5, 7, 7, 5,7 (2) 6, 10, 16, 14, 10, 14 (3) 10, 12, 15, 17, 22, 15, 27 (4) 5, 5, 5, 5, 5

จงเปรยบเทยบการวดการกระจายของราคาขาวเลอกกบราคาขาวสารตอถงของรานคา 5 รานทเลอกมาตอไปน

โดยใช (1) สมประสทธของพสย (2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (4) สมประสทธการแปลผน

จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของประชากรตอไปน 32 32 33 35 36 12 16 18 10 12 14 15 16 17 17 38 39 41 43 47 21 22 22 23 24 18 19 20 21 21 จงหาแบบสอบถามการวจยเรอง ความคดเหนของอาจารยและขาราชการตอเปนสถาบนอดมศกษาในก ากบของรฐ (นอกระบบราชการ) ของมหาวทยาลยแหงหนง ซงเปนแบบสอบถามชนดมาตรการประเมน 5, 4, 3, 2, 1 โดยผวจยไดก าหนดความหมายของคาเฉลยไวดงน 4.51-5.00 หมายถงเหนดวยอยางยง 3.51-4.50 หมายถงเหนดวย

รานคาท 1 2 3 4 5 ราคาขาวเปลอก (บาท) 70 73 69 72 74

ราคาขาวสาร 114 110 112 115 116

ค าถามทายบทท 3

1

2

3

4

2.51-3.50 หมายถงไมแนใจ 1.51-2.50 หมายถงไมเหนดวย 1.00-1.50 หมายถงไมเหนดวยอยางยง

จากค าถามขอหนงถามวา มหาวทยาลยพรอมทจะเปลยนเปนสถาบนอดมศกษาในก ากบของรฐ (นอกระบบราชการ) มผตอบแบบสอบถามทงสน 50 คน ตามขอมลดงตอไปน

จงวเคราะหขอมลเพอหาขอมลคาตอไปน

(1) คาเฉลย ( x ) พรอมทงแปลความหมาย

(2) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s) (3) ความแปรปรวน (𝑠2)

คะแนน 5 4 3 2 1

จ านวน 4 10 20 64 52