กลศาสตรของไหล

อ.ดร. อรรถกฤต ฉตรภต

อทกพลศาสตร

อทกพลศาสตร เปนวชาทวาดวยการเคลอนทของของไหล

เราจะพจารณาของไหลทเปนอดมคต หรอ Ideal fluid ซงมคณสมบตสามอยางคอ

1. ตองมการไหลแบบคงตว (Steady flow)

2. การไหลตองเปนแบบไมหมน (Irrotational flow)

3. การไหลเปนแบบทอดไมได (Incompressible flow)

4. ไมมแรงเสยดทานภายในหรอไมมความหนด (Nonviscous flow)

สายกระแส

สาหรบการไหลทเปนการไหลแบบคงตว เรา

จะนยามสายกระแส หรอ Steam line ซงมวล

เลกๆของๆไหลทอยบนเสนนจะเคลอนท

ตามสายกระแส โดยมทศทางสมผสกบสาย

กระแส

สาหรบการไหลแบบคงตวสายกระแสจะไมตดกน

หลอดของการไหล

ในของไหลทกาลงเคลอนท เราสามารถ

ลากสายกรแสไดจานวนมาก ในกรณการ

ไหลแบบคงตว เราสามารถเลอกสาย

กระแสจานวนหนงหรอมดหนงซง

ประกอบกนเปนทอหรอหลอดดงรป เรา

เรยกทาหรอหลอดนวา หลอดของการไหล

หรอ tube of flow

สมการตอเนอง

v1

v2

P

Q

พจารณาหลอดการไหลดงรป ใหอนภาคทตาแหนง P และ Q มความเรว v1 และ v2ตามลาดบ ให A1 และ A2 เปนพนทหนาตดตงฉากกบสายกระแสทตาแหนง P และ Q

ในชวงเวลา Δt สวนของไหลเคลอนทไดระยะทางเทากบ vΔt ดงนนมวลของไหลท

ผานพนท A1 คอ

1 1 1 1 1 1m V A v tρ ρΔ = Δ = Δ

เมอ ρ1 คอความเขมขนทตาแหนง P ซง Δt จะตองมคานอยมากจนถอไดวา A1 และ v1 มคาคงท

v1

v2

P

Q

เมอ

1 11 1 1 1 1 10t

m dmA v A vt dt

ρ ρΔ →

Δ= ⎯⎯⎯→ =

Δ

0tΔ → ทตาแหนง P เราจะไดวา

และทตาแหนง Q เราจะไดวา2

2 2 2dm A vdt

ρ=

ปรมาณ และ

เรยกวา

ฟลกซมวล (Mass flux)

คอ มวลทผานพนท A1 และ A2 ตอเวลา 1

วนาท

1dm dt 2dm dt

v1

v2

P

Q

เนองจากเปนของไหลซงอดไมได 1 2ρ ρ ρ= =

และเนองจากไมมของไหลเขาหรออกจากหลอดของการไหล มวลของไหลทผาน

ภาคตดขวางใดๆตอหนงหนวยเวลา หรอ ฟลกซมวลจะมคาคงทเสมอ

นนคอ1 2dm dm

dt dt=

หรอ 1 1 2 2v A v Aρ ρ=

นนคอ Avρ = คาคงท

และ1 1 2 2A v A v=

ฟลกซมวล และ ฟลกซของปรมาตร

เราไดนยาม ฟลกซมวล (Mass flux) คอ มวลทผานพนท ตอเวลา 1 วนาท

mdmR Avdt

ρ= =

เราอาจจะนยามฟลกซของปรมาตรทไหลผานหรอ Volume flow rate ไดจาก

VdVR Avdt

= =

ทดสอบความเขาใจ

จากรป แสดงระบบทอสงนา พรอมทศทางและขนาดของอตราการไหลเขาและไหลออก

ของปรมาตรของๆไหลทตาแหนงตางๆ แสดงในหนวย (cm3/s) จงหาขนาดและทศทาง

ของ จงหาขนาดและทศทางของ x

x ?

การไหลมลกษณะคงตวไมมการสะสมของของไหลในทอ

( ) ( )4 8 4 5 2 6 021 8 0 13

xx x+ + + + − + =

+ − = → = − ไหลออกดวยอตรา 13 cm3/s

Daneil Bernoulli

เดเนยล แบรนล

ค.ศ. 1700 - 1782

ดาเนยล แบรนล นกคณตศาสตรซงเกดในฮอลแลนด

แตไปทางานอยในสวสเซอรแลนด ไดคดคนสมการท

ชอเดยวกบตวเขา คอ สมการแบรนล

หนงสอ Hydrodynamica

ซงแตงโดย แบรนล

ตพมพตงแตป ค.ศ. 1738

สมการของแบรนลล

พจารณาของไหลซงไมมความหนด ไหลแบบคงตวผาน

ทอ ซงทางซายมพนทหนาตด A1 และทางขวา A2โดยอยในระยะ y1 และ y2 ตามลาดบ และถอวาการ

ไหลอยในสถานะคงตว

กาหนดให

ของไหลท A1 มอตราเรว V1 และความดน p1

ของไหลท A2 มอตราเรว V2 และความดน p2

จากทฤษฎบทของงานและพลงงาน ผลทางของพลงงาน (จลนและศกย) จะเทากบงานททา

แรงทกระทาตอดานซายและดานขวามคาเทากบ p1A1 และ p2A2 ตามลาดบ เมอของไหล

เคลอนตว จากรป (a) ไปยง รป (b) งานททาทางดานซายและดานขวาคอ

1 1 1 1 2 2 2 2,W p A l W p A l= Δ = − Δ

1lΔ

2lΔ

งานลพธของการเคลอนทคอ

( )1 2 1 1 1 2 2 2W W W p A l p A l= + = Δ + − Δให

1 1 2 2V A l A lΔ = Δ = Δ

คอปรมาตรของของไหลทพจารณา ทางดานซายและขวา

ตามลาดบ ซงสามารถเขยนไดในรปของความหนาแนน

ของของไหล ρmVρ

Δ =

1lΔ

2lΔ

จากทฤษฎบทของงานและพลงงาน

( ) 2 21 1 1 2 2 2 2 2 1 1

1 12 2

p A l p A l mv mgy mv mgy⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ + − Δ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

จะได

( ) ( ) 2 21 2 2 1 2 1

1 12 2

mp p mg y y mv mvρ

− − − = −

หรอ

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

p v gy p v gyρ ρ ρ ρ+ + = + +

หรอ

21

12

p v gyρ ρ+ + = คงท

สมการแบรนล

สรปหลกการสาคญ

จากสมการตอเนอง1 1 2 2A v A v=

จะไดวา 12 1 1

2

Av v vA

= >

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

( )2 22 1 2 1 1

12

p p v v pρ= − − <

จากสมการแบรนล

จะไดวาพนทนอย (หรอ สายกระแสชดกน)

ความเรวจะมาก

ความดนจะนอย

แรงยกของปกเครองบน

F

v2

v1

ในการออกแบบปกเครองบนเราตองการใหเกด

แรงยกทปก จากรปจะเหนวาสายกระแสดานบน

ปกเครองบนจะอยชดกนมากกวาสายกระแส

ดานลางปก ซงหมายความวาความเรวลมเหนอ

ปกสงกวาความเรวลมใตปก

จากหลกของแบรนล แสดงวาความดนของ

อากาศใตปก จะสงกวาความดนอากาศเหนอปก

นนคอมแรงยกของปกเครองบนนนเอง

F

v2

v1

สมมตให v1 p1 และ v2 p2 เปนความเรวและแรงดนของอากาศ เหนอ และใต ปก

เครองบน ตามลาดบ จากสมการของแบรนล และ อนโลมวาปกเครองบนบางมากเราจะได

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

หรอ

( )2 22 1 1 2

1 02

p p v vρ− = − >

นนคอแรงดนใตปกเครองบนมคามากกวาเหนอ

ปกเครองบน ถาปกเครองบนมพนทใตปก

เทากบ A จะไดขนาดแรงยกขนทปกของ

เครองบนคอ

( ) ( )2 22 1 1 2

12

F p p A v vρ= − = −

โศกนาฏกรรมของยอดนกแขงรถ ไอตน เซนา

วนท 1 พฤษภาคม พ.ศ. 2537 ยอดนกแขงรถชาวบราซล ไอตน เซนา ประสบอบตเหตเสยชวต

ระหวางการแขงขน ซานมารโนกรงปร ณ. ประเทศอตาล

อบตเหต หรอ การฆาตวตาย ? เราจะใชฟสกสมาทาความเขาใจเหตการณครงนน

Down force กบรถยนต

air

2W

2W

sf

แรงกดหรอ Down force คอเคลดลบของรถแขงความเรวสง มนจะกดตวรถและยางรถยนต

เขากบพนถนน ทาใหรถแขงสามารถทจะเลยวเขาโคงไดดวยความเรวสง ถาสามารถ

ออกแบบรถ ทมแรงกดลงได มากถง 4 เทาของนาหนกรถ จะสามารถเขาโคงไดดวย

ความเรวทมากกวาถง 2 เทาตว ....

เชนกรณทรถจะเลยวซาย

2

s smvf N

rμ= =

แรงเขาส ศ.ก. แรงกด

Spoiler ผลกอากาศขนขางบน และอากาศกจะผลกรถให

ตดถนน ทาใหแรง N มคามากขน

Aerodynamics ของรถแขง F1

เพอทจะสรางแรงกด Downforce ใหกบรถแขง F1 วศวกรออกแบบใหใตทองรถ อยชด

กบพนถนนมากทสดเทาทจะทาได ซงอาจจะสงกวาพนถนนเพยงไมกมลลเมตร

เมอรถแขงวงดวยความเรว อากาศจะไหลผานรถทงดานบนและดานลาง

อากาศทไหลผานใตทองรถจะเทยบไดกบอากาศทไหลในทอซงพนทหนาตดลดลง

0A 1A

ความเรวของอากาศซงไหลผานใตทองรถ (พนทหนาตด A1) จะมคามากกวาทหนารถแขง ซง

จากสมการแบรนล เราจะพบวาความดนทใตทองรถจะมคาตากวาความดนบรรยากาศ

ทาใหมแรงกด down force เพมขน

แมวาการทาใหทองรถเตยลงใกลพนถนนจะทาใหรถวงเรวขน

แตมนกสามารถทาใหรถเสยการทรงตวไดเชนกน ในกรณทใตทองรถเตยเกนไป

จนมนไปแตะพนถนนเขา ...

ผเชยวชาญในวงการแขงรถ Formula 1 ตางเชอวา สาเหตททาใหรถของเซนาเสยการทรงตว

นาจะมาจากการทใตทองรถยนตต ากวาระยะปกตจนตดพนถนน ทาใหสญเสยแรงกดขณะท

เขาโคงดวยความเรวสง

ตวอยาง

เครองบนมมวล 6,000 กโลกรม และมพนทใตปก 60 ตารางเมตร ถาความดนใตปกเทากบ

ขณะบนในแนวระดบทความสง 4,000 เมตร จงหาความดนเหนอปก

เครองบน

50.60 10 Pa×

วธทา

แรงยกของปกเครองบนทงสองขางจะรบนาหนกของเครองบน

( )2 1F p p A= −แรงยกจากปกเครองบนหนงปกมคาเทากบ

( )( )

2 1

51

41

2 2

2 0.60 10 60 6,000 9.8

5.95 10 Pa

F p p A mg

p

p

= − =

× × − × = ×

= × ตอบ

Spoiler

air

2W

2W

sf

Spoiler ทาหนาทตรงกนขามกบปก

เครองบน (ปกเครองบนกลบหว) ผลกรถให

ตดถนน ทาใหแรง N มคามากขน

2

s smvf N

rμ= =

v นอย, p มาก

v มาก

p นอย

สาหรบรถแขงอาจจะเพม Down force ไดโดยใหใตทองรถอยใกลพนมากๆ อากาศจะ

ไหลผานรถทงดานบนและดานลาง อากาศทไหลผานใตทองรถจะเทยบไดกบอากาศท

ไหลในทอซงพนทหนาตดลดลง

0A 1A

ความเรวของอากาศซงไหลผานใตทองรถ (พนทหนาตด A1) จะมคามากกวาทหนารถแขง ซง

จากสมการแบรนล เราจะพบวาความดนทใตทองรถจะมคาตากวาความดนบรรยากาศ

ทาใหมแรงกด down force เพมขน

Venturi meter

มาตรเวนทร ดงทแสดงในรป เปน

เครองมอทใชวดอตราเรวของๆเหลว

ในทอ ถาของเหลวมความหนาแนน

ρ ไหลผานทอซงมพนทหนาตด Aและทคอคอดมพนทหนาตด a มมา

โนมเตอร รปตวยตดกบทอทาหนาทวดความดน

จากสมการแบรนลล ทจด 1 และ 2 จะได

ทาหนาทวดความดน

2 21 1 2 2

1 12 2

p v p vρ ρ+ = +

ดงนนผลตางของความดนจะได ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1

1 12 2

p p v v v Vρ ρ− = − = −

จากสมการตอเนองเราสามารถหา

เขยน v ในรป V ได

AV av=

หรอ Av Va

=

ความดนทตางกนระหวางจด 2 และ 1 คอ

22

1 2 2

1 12

Ap p Va

ρ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

นสตดรายละเอยดเพมเตมไดในหนงสอฟสกส ๑