แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map : KM : K-map) · 2016. 11. 11. · 134 แผนผังคาร์โนห์ 8.2 การลดรูปฟังก์ชั่นโดยใช้แผนผังคาร์โนห์

แผนผงคารโนห 133

บทท 8 แผนผงคารโนห (Karnaugh Map : KM : K-map)

การลดรปสมการบลนหรอฟงกชน ใหสนทสด เราสามารถท าไดโดยการใชทฤษฎ

ของบลน แตเปนการยากในกรณทมหลายๆ ตวแปร การใชแผนผงคารโนห (Karnaugh Map : KM : K-map) ชวยในการแกปญหาจะเปนการงายกวา และจะมขอผดพลาดนอยกวา 8.1 การดดแปลงทฤษฎบลนไปเปนแผนผงคารโนห พจารณาการลดทอนสมการลอจกโดยใชทฤษฎบลนของสมการตอไปน

1. BAABBAAB )( 2. BCAABCBCAABC )( 3. CDABBCDACDBABCDA )( 4. ABAABCBACBACABABC

ทง 4 กรณทกลาวถงขางตน จะท าการลดทอนโดยใชทฤษฎบลนโดยตรง ซงสามารถดดแปลงไปเปน K-map โดยมหลกการดงน

1. ตองเปนสมการลอจกทอยในรป Canonical Sum หรอ Canonical Product เทานน 2. จ านวนเทอมในกลมทจะลดทอน = 2m เมอ m = 1, 2, 3, 4, … ดงนนการลดทอน

โดยวธ K-map สมาชกในกลมตองมจ านวนเทอมเปน 2, 4, 6, 8, 16, … เทอม 3. เขยนแทนแตละเทอมดวยเลขฐานสอง พจารณาเทอมคทมเลขฐานสองตางกนเพยง

บตเดยว สามารถท าการลดทอนไดโดยตดบตทตางกนออก บตทเหลอเปลยนกลบไปเปนตวแปรจะไดสมการผลการลดทอน

134 แผนผงคารโนห

8.2 การลดรปฟงกชนโดยใช แผนผงคารโนห 8.2.1 K-map ชนด 1 ตวแปร

เราสามารถทราบจ านวน Cell ของตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร ไดจากความสมพนธ คอ 2n โดยท n เปนจ านวนตวแปร นนแสดงวาตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร จะมจ านวน Cell เทากบ 21= 2 Cell แสดงดงรปท 8.1

รปท 8.1 แสดงตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร

ตวอยางตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร ในสภาวะมคาเอาตพตทแตกตางกนออกไป เราสามารถจ าแนกออกไดเปน 4 ลกษณะดวยกน แสดงดงรปท 8.2

รปท 8.2 ตวอยางของตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร


จากรปท 8.2 (ค) แสดงใหเหนวา ไมสามารถท าการลดรปฟงกชนใหต ากวานไดอก เนองจากในตาราง K-map ม “1” เพยงตวเดยว และถกวางอยใน Cell 1 ซงมคาก ากบต าแหนงเทากบ “1” (A=1) ท าใหผลลพธทเราได คอ F = A แสดงดงรปท 8.3

รปท 8.3 ตวอยางแสดงการลดรปฟงกชนดวยตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร

จากรปท 8.2 (ข) เราไมสามารถท าการลดรปฟงกชนนไดอกแลว เนองจากวาม “1” อยเพยงตวเดยว โดยท “1” วางอยใน Cell 0 มคาก ากบต าแหนงเทากบ “0” (A = 0) ท าใหเราได ผลลพธจาก K-map นคอ AF แสดงดงรปท 8.4

รปท 8.4 ตวอยางแสดงการลดรปดวยตาราง K-map ชนด 1 ตวแปร



จากรปท 8.5 จะประกอบดวย Minterm = 1 จ านวน 2 ตวดวยกน ซงถกวางอยใน Cell 0 และ Cell 1 ในรปท 8.5 แสดงใหเหนลกษณะของการวงรอบ 2 แบบเพอเปรยบเทยบกน การลดรปฟงกชนในรปท 8.5 (ข) เปนการวงรอบ Minterm 1 แยกกน แลวน าเอาคาผลลพธทไดจาก 2 วงรอบ มาบวกกนตามรปแบบ Canonical SOP ผลลพธท เราได เกดจากการน าเอา ผลลพธทง 2 วงรอบมาบวกกน คอ 1 AAF

สวนการลดรปฟงกชนในลกษณะแสดงดงรปท 8.5 (ค) เราสามารถสรปไดโดยทนทเลยวาผลลพธเทากบ “1” เพราะทก Cell ของตาราง K-map มคา Minterm เปน “1” ความ แตกตางของการลดรปฟงกชนทยกขนมาเปรยบเทยบใหเหนดงรปท 8.5(ข) และ 8.5(ค) ท าใหเราพบวา ผลลพธทไดจากการลดรปฟงกชนนน ไมไดสนสดอยทการใชตาราง K-map เพราะเราจะตองน าผลลพธแตละวงรอบมาพจารณา เพอจดใหอยในรปแบบ Canonical SOP แตการลดรปฟงกชนดงแสดงในรปท 8.5 (ค) เราจะไดผลลพธการลดรปโดยการใชตาราง K-map อยางแทจรง เพราะฉะนน การวงรอบ เราจ าเปนอยางยงทจะตองวงรอบในครงหนงๆ ใหสามารถครอบคลม Minterm ไดจ านวนมากทสด และอยในกฎการวงรอบทถกตอง

8.2.2 K-map ชนด 2 ตวแปร K-map ชนด 2 ตวแปรจะประกอบดวยจ านวน Cell เทากบ 22 = 4 Cell พจารณาตาราง

K-map ชนด 2 ตวแปรไดดงรปท 8.6

รปท 8.6 ตารางแสดง K-map ชนด 2 ตวแปร


หลกการพจารณาผลลพธของวงรอบ 1. การเปรยบเทยบคาประจ าต าแหนงของ Cell

พจารณารปท 8.7 จะเหนวาม Minterm ทเปน “1” อยใน Cell 0 และ Cell 1 เราจะท า การวงรอบ Minterm เหลานเขาดวยกน เสมอนเปนการวงรอบ BA และ BA นนเอง ในการ วงรอบทง 2 Cell จะมตวแปร A ทถกท า Complement เหมอนกน (มเครองหมายบาร) เปนผลใหเราไมสามารถตดตวแปร A ทงได และอกตวแปรหนงคอ B เราจะเหนวา ใน Cell 0 มการ Complement ตวแปร B อย และไมถก Complement ใน Cell 1 เพราะฉะนนเราจ าเปนตองตดตวแปร B ทงไป ผลลพธทเราไดจากการวงรอบในครงนคอ AF


2. การเปรยบเทยบคาก ากบต าแหนงของ K-map

การพจารณาผลลพธของการวงรอบมหลกการงายๆ คอ ถาเมอไหรทคาก ากบต าแหนงของตวแปรในวงรอบนนๆ ตางกน เราสามารถตวตวแปรนนทงไปไดเลย จากรปท 8.8 (ก) หากเราพจารณาไปทตวแปร A จะเหนวา คาก ากบต าแหนงของตวแปร A มคาเปน “0” ในสวนของตวแปร B จะเหนวามทงทเปน “0” และ “1” นนหมายความวา วงรอบนคาก ากบต าแหนงของตวแปร B มคาไมเทากน จงตองตดตวแปร B ทงไป ผลลพธทเราจะได คอ AF การทตวแปร A ตองมเครองหมายบาร (Complement) เพราะวาคาก ากบต าแหนงของตวแปร A มคาเปน “0”



ขนตอนการลดรปฟงกชน

1. ใหพจารณาวา Minterm ของทก Cell ในตาราง K-map มคาเปฯ “1” หรอ “0” หรอไม ถาหากในตาราง K-map มคาเปน “1” ทก Cell สามารถสรปไดทนทวา ผลลพธของการลดรปฟงกชนมคาเทากบ “1” และผลลพธการลดรปฟงกชน จะมคาเปน “0” ถาหาก Minterm ในทก Cell มคาเทากบ “0”

2. ถาคา Minterm ในตาราง K-map ไมไดเปน “0” และ “1” ทก Cell เราจะตองพจารณาตอไปวา เราจะท าการวงรอบอยางไร เพอใหสามารถครอบคลม Minterm ทเปน “1” ใหไดมากทสด พจารณาตวอยางการวงรอบ Minterm ทเปน “1” ดงรปท 8.8 (ข)

รปท 8.8 (ตอ)

การวงรอบ “1” ในครงแรก ท าใหเราไดคาเปน A ออกมา ซงอาศยหลกการพจารณาดงทไดกลาวมาแลว


3. เราไดท าการวงรอบ “1” ไป 1 วงรอบแลว ตอไปกใหพจารณาตอไปวา ยงเหลอ Minterm ทเปน “1” อกหรอไม ส าหรบตวอยางทยกมาประกอบการอธบาย ยงเหลอ “1” อย อก 1 ตวเพราะ ฉะนนเราจะตองท าการวงรอบ MInterm ตวทเหลอ โดยการวงรอบรวมกบ Minterm ทถกวงรอบไปแลวในครงแรก เพอตองการใหผลลพธของการลดรปมตวแปรนอย ทสด แสดงดงรปท 8.8 (ค) ผลการลดรปในวงรอบท 2 โดยอาศยการพจารณาตามหลกการลดรปฟงกชนในขางตน เราจะไดผลลพธ การลดรป คอ B

รปท 8.8 (ตอ)

4. เมอเราไดด าเนนการวงรอบ Minterm ทเปน “1” ในตาราง K-map ครบทกคาแลว

ตอไปจะเปนขนตอนของการน าเอาผลลพธทไดจากการวงรอบทงสองครง มาท าการบวกกน เพอจดใหอยในรปแบบ Canonical SOP จากการลดรปฟงกชนท งสองครง เราจะได

BAF ในการพสจนผลลพธของการลดรปฟงกชน เราสามารถตรวจผลลพธการลดรปฟงกชนไดโดยใชตารางความจรงหรอใชทฤษฎของบลน

ขอควรระวง ลกษณะการวงรอบ Minterm “1” ทไมถกตอง แสดงดงรปท 8.9

รปท 8.9 ตวอยางการวงรอบทไมถกตองในขนตน


ตวอยางท 8.1 การลดรปฟงกชน mBAf ),( (0, 1, 2) วธท า สรางตารางความจรงของฟงกชนทก าหนด

ABBABAf ),( ตอบ ABBABAf ),( ตวอยางท 8.2 การลดรปฟงกชน ABBABAf ),( วธท า

ABBABAf ),( ตอบ ABBABAf ),(


8.2.3 K-map ชนด 3 ตวแปร ตาราง K-map ชนด 3 ตวแปรจะประกอบดวยจ านวน Cell เทากบ 23 = 8 Cell พจารณาตาราง K-map ชนด 3 ตวแปรไดดงรปท 8.10

รปท 8.10 รปแบบของตาราง K-map ชนด 3 ตวแปร

รปท 8.11 (ก) เปนตวอยางตารางความจรงทเราก าหนดคาเอาตพต F ขนมา เพอจะใชศกษาวธการลดรปฟงกชน โดยใชตาราง K-map ชนด 3 ตวแปร เราสามารถด าเนนตาม ขนตอนเหมอนกบการลดรปฟงกชนดวยตาราง K-map ชนด 2 ตวแปร นนคอ การใสคา Minterm ทเปน “1” ของเอาตพต F ลงใน Cell ตางๆ ของตาราง K-map

ใหท าการวงรอบ “1” ใหไดจ านวนมากทสด (จ านวนของ “1” ในแตละวงรอบจะมคาเทากบ 2n โดยท n จะใหแทนจ านวนเตมบวกและศนย เชน 20 = 1 ตว, 21 = 2 ตว, 23 = 8 ตว เปนตน) ผลของการวงรอบในครงแรก เราจะไดผลลพธเทากบ A เพราะคาก ากบต าแหนงของตวแปร B มคาไมเทากน และตวแปร C กเชนเดยวกน ซงคาก ากบต าแหนงไมเทากนแสดงดงรปท 8.11 (ค) จากการสนสดของการวงรอบในครงแรก ท าใหยงเหลอ Minterm อยอกหนงตว เพราะฉะนนเราจะตองท าการวงรอบตอไปใหเสรจสน โดยท าการวงรอบ Minterm ตวทเหลอกบ Minterm ตวทถกวงรอบไปแลว เพอจดประสงคตองการใหหารวงรอบ Minterm ไดจ านวนมากทสด ผลลพธทไดจากการวงรอบครงท 2 คอ BC


รปท 8.11 ตวอยางการลดรปดวยตาราง K-map ชนด 3 ตวแปร

ขนตอนสดทายของการลดรปฟงกชนโดยใชตาราง K-map คอการน าเอาผลลพธทไดจากการลดรปในแตละวงรอบมาบวกกน จะได BCAF


ตวอยางท 8.3 BCACABABCCBACBAF ),,( วธท า แสดงดงรปท 8.12

รปท 8.12 การลดรปฟงกชนของตวอยางท 8.3

CBABCABCBAF ),,( CBACAB )( ตอบ CBACABCBAF )(),,(


ตวอยางท 8.4 mCBAF ),,( (0, 3, 4, 7) วธท า แสดงดงรปท 8.13


ตอบ BCCBCBAF ),,(


ตวอยางท 8.5 mCBAF ),,( (0, 1, 3, 4, 5, 7) วธท า แสดงดงรปท 8.14


ตอบ CBCBAF ),,(


8.2.4 K-map ชนด 4 ตวแปร K-map ชนด 4 ตวแปรจะประกอบดวยจ านวน Cell เทากบ 24 = 16 Cell พจารณา K-

map ชนด 4 ตวแปรไดดงรปท 8.15



ตารางความจรงในรปท 8.16 เปนการแสดงสภาวะของตวแปร A, B, C และ D มการก าหนด คาเอาตพต F เพอใชประกอบการท าความเขาใจ การลดรปฟงกชนดวยตาราง K-map ชนด 4 ตวแปร เมอเราไดใสคา Minterm ทเปน “1” ลงในตาราง K-map เรยบรอยแลว ขนตอนตอไปเปนการวงรอบ Minterm ทเปน ”1”

วงรอบครงท 1 ทเราท าการวงรอบ เปนการวงรอบ Minterm “1” จ านวน 4 ตวแปร ดวยกน ผลลพธทไดจากการวงรอบแรกน คอ CD จากผลลพธเราจะสงเกตเหนวา คาก ากบ ต าแหนงของตวแปร A มคาไมเทากน สวนคาก ากบต าแหนงของตวแปร B กมคาไมเทากนเชนกน เปนผลท าใหเราตองตดตวแปร A และ B ทงไป ส าหรบผลลพธจะไมมการ Complement เพราะคาก ากบต าแหนงของตวแปร C และ D มคาเปน “1” ทงค แสดงดงรปท 8.16 (ค)

วงรอบครงท 2 เราสามารถท าการวงรอบ Minterm “1” ได 4 ตวดวยกน เมอพจารณาวงรอบเราจะสงเกตเหนวา คาก ากบต าแหนงของตวแปร A มคาเทากน จงยงคงตวแปร A เอาไว สวนคาก ากบต าแหนงของตวแปร B มคาไมเทากน จงตดตวแปร B ทงไป ตอไปใหมาพจารณาคตวแปร CD จะเหนวาคาก ากบต าแหนงของตวแปร C มคาเทากน เราจงยงคงตวแปร C เอาไว สวนตวแปร D จะมคาก ากบต าแหนงไมเทากน เปนผลใหตองตดตวแปร D ทงไป ผลลพธของการลดรปในวงรอบน จะไดเทากบ AC แสดงดงรปท 8.16 (ง)

วงรอบครงท 3 จะเปนการวงรอบ Minterm เพยงจ านวน 2 ตว ซงอยใน Cell 1 เนองจาก Minterm จ านวน 2 ตวน ไมสามารถท าการวงรอบรวมกบ Minterm อนได จงจ าเปนท จะตองท าการวงรอบ Minterm แค 2 ตวเทานน ผลลพธทไดจากการวงรอบ คอ DCA เราไดท าการวงรอบไปแลว 3 วงรอบดวยกน ยงเหลอ Minterm อกหนงตวอยใน Cell 2 เมอพจารณาแลว “1” ตวน สามารถท าการวงรอบรวมกบ “1” ใน Cell 3, Cell 10, Cell 11 ได และเราจะเหนวาคาก ากบต าแหนงของตวแปร A ในวงรอบนมคาไมเทากน เราจงตองตดตวแปร D ทงไป ในสวนของผลลพธทไดจากการวงรอบในวงรอบน คอ CB ดงรปท 8.16 (ฉ)



รปท 8.16 ตวอยางการลดรปฟงกชนโดยตาราง K-map 4 ตวแปร


รปท 8.16 (ตอ)

เมอเราไดท าการวงรอบ Minterm ครบทกตว ตอไปเปนการพจารณาผลลพธของการลดรปของฟงกชนน หรอการน าผลลพธจากการวงรอบในแตละครง มาบวกกนตามรปแบบ Canonical SOP ซงเราจะได DCACBCDACF ตวอยางท 8.6 mDCBAf ),,,( (0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15) วธท า

ตอบ DBBDDCBAf ),,,(


ตวอยางท 8.7

DCBADCBACDBADCBADCBADCBADCBAf ),,,(

DCABCDBADCBADCBA วธท า

ตอบ DCBDCBAf ),,,( ตวอยางท 8.8 mDCBAf ),,,( (0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15) วธท า

ตอบ BADDCBAf ),,,(


8.2.5 K-map ชนด 5 ตวแปร K-map ชนด 5 ตวแปรจะประกอบดวยจ านวน Cell เทากบ 25 = 32 Cell พจารณาตาราง

K-map ชนด 5 ตวแปรไดดงรปท 8.17



EDBCAEDCBACDEBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAF ),,,,(

ABCDEEDABCEDABCEDCABCDEBAEDBCA สมการขางบนเปนอกสมการหนงทสามารถชชดไดวา การลดรปฟงกชนทมความส าคญอยางยงเพราะวาเปนฟงกชนทยาวและมตวแปรมาก การพจารณาการลดรปฟงกชนโดยอาศยตาราง K-map ชนด 5 ตวแปร สามารถด าเนนการลดรปตามขนตอนการลดรปทไดกลาวมาแลว ซงขนแรกสดเราจะตองน าคา Minterm ทเปน “1” ใสลงในตาราง K-map แสดงดงรปท 8.18

รปท 8.18 ตวอยางการใสคาลงในตาราง K-map ชนด 5 ตวแปร การวงรอบ Minterm ทเปน “1” ภายในตาราง K-map ใหพจารณาแยกระหวางวงรอบแตละ K-map โดยการค านงถงลกษณะการวงรอบทเหมอนกน แสดงดงรปท 8.19

รปท 8.19 ตวอยางการวงรอบ “1” ของตาราง K-map 5 ตวแปร


ขนตอนตอไปใหพจารณาเปรยบเทยบต าแหนงของวงรบทง 2 K-map โดยการปดคาก ากบต าแหนงของตวแปร A เอาไว ถาวงรอบใดอยในต าแหนงเดยวกนกสามารถท าการลดรปรวมกนได วงรอบแรกอยใน Cell 2, Cell 10, Cell 18 และ Cell 26 ท าใหไดผลการลดรปเทากบ

EDC แสดงดงรปท 8.20

รปท 8.20 ตวอยางการวงรอบรวมระหวางตาราง K-map ในการวงรอบครงแรก วงรอบตอไปกจะอาศยหลกการพจารณาเชนเดยวกบการลดรปในวงรอบแรก โดยการพจารณาคาก ากบต าแหนงระหวาง K-map ทงสอง โดยการปดคาก ากบต าแหนงของตวแปร A เอาไว ผลการลดรปในวงรอบทประกอบดวย Minterm ใน Cell 7, Cell 15, Cell 23 และ Cell 31 คอ CDE แสดงดงรปท 8.21

รปท 8.21 ตวอยางการวงรอบรวมระหวางตาราง K-map ในการวงรอบครงท 2


วงรอบ Minterm ใน Cell 0 และ Cell 1 ไมสามารถวงรอบรวมกบ Minterm ในตาราง K-map ทางขวามอ เพราะวาใน Cell 16 และ Cell 17 ไมม Minterm ทเปน “1” (Minterm เปน “0”) เพราะฉะนนจงด าเนนการลดรปฟงกชน เฉพาะภายในตาราง K-map ทางซายมอ ซงผลการลดรปเทากบ DCBA และอก 2 วงรอบทสามารถท าการลดรปฟงกชนรวมกนได คอ วงรอบทประกอบดวย Minterm ใน Cell 12, Cell 13, Cell 28 และ Cell 29 ผลการลดรปฟงกชนในวงรอบนเทากบ DBC แสดงดงรปท 8.22

รปท 8.22 ตวอยางการลดรปในการวงรอบครงท 3 และ 4

ผลลพธจากการลดรปฟงกชนทง 4 วงรอบทผานมา เราจะไดผลลพธของการลดรป คอ DCBADBCEDCCDEEDCBAF ),,,,(


ตวอยางท 8.9 mEDCABF ),,,( (1, 3, 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 20, 23, 25, 27, 28, 29, 31) วธท า

ตอบ EDCECADEBEEDCBAF ),,,,(


ตวอยางท 8.10 mEDCABF ),,,( (1, 2, 3, 5, 7, 8,10,12,14,16,17,19,21,23,24,25,26,27) วธท า

ตอบ CABEBAEDCCBAEBEDCBAF ),,,,(


ขอควรระวง จากตวอยางท 8.10 ลกษณะการวงรอบทผด แสดงดงรปท 8.23 กลาวคอลกษณะการวงรอบรวมทง 2 วงรอบ ไมไดอยในต าแหนงเดยวกน หรอวงรอบทงสอง ไมเปน Logic Adjacent กน จงไมสามารถท าการวงรอบรวมกนได

รปท 8.23 ตวอยางการวงรอบทไมถกตองของตาราง K-map 5 ตวแปร


ตวอยางท 8.11 mEDCABF ),,,( (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31) วธท า

ตอบ DBAABDECEDCBAF ),,,,(


8.3 เทอมไมสนใจ (Don’t Care term) การออกแบบวงจรดจตอลในบางสภาวะ เราไมมความจ าเปนทจะตองก าหนดคา

เอาตพตใหกบสภาวะนนเปน “1” หรอ “0” นนกหมายถงวา ในสภาวะนนสามารถมคาเอาตพตเปน “1” หรอ “0” กได เพราะฉะนนแลว เราจะแทนลกษณะเหตการณเชนนดวยเงอนไข Don’t Care เพอเปนประโยชนตอการลดรปฟงกชน เราอาจจะก าหนด Don’t Care ใหใชสญลกษณแทนไดหลายอยาง เชน d แตในกรณนเราจะใชสญลกษณ โดยจะก าหนดให มคาเปน Minterm ทเปน “1” หาก อยในวงรอบ และจะก าหนดให เปน Minterm ทเปน “0” หากวา ตวนนอยนอกวงรอบ ตวอยางท 8.12 mCBAF ),,(1 (3, 7)+ (0, 2, 6) mDCBAF ),,,(2 (5, 6, 7, 8, 9)+ (10, 11, 12, 13, 14, 15) วธท า

ตอบ BCBAF ),,(1 BDBCADCBAF ),,,(2

ในตวอยางท 8.12 ใน Cell 2 และ Cell 6 ถกก าหนดให Minterm มคาเปน “1” เพอใหสามารถท าการวงรอบรวมกบ Minterm ทเปน “1” อก 2 ตว สวน ใน Cell 0 ถกก าหนดใหเปน Minterm ทมคาเปน “0” เพอไมเปนการเพมตวแปรในฟงกชนใหมจ านวนมากขนอก


8.4 K-map ชนด 6 ตวแปร และ n ตวแปร

จากการลดรปฟงกชนโดยใชตาราง K-map ทผานมาทงหมดตงแต 1 ตวแปรถง 5 ตวแปร การลดรปฟงกชนโดยใชตาราง K-map อยบนพนฐานของการลดรปฟงกชน โดยใชทฤษฎของบลน ในลกษณะของการแยกตวประกอบรวมทงสน การจดรปแบบของตาราง K-map โดยอาศยความเปน Logic Adjacent กนของแตละ Cell ทอยใกลกน เพอใหเกดความงายตอการลดรปฟงกชน เราจะสงเกตเหนไดวา คาก ากบต าแหนงทงแนวนอนและแนวตง ไดมาจากการประยกตรหสเกรย (Gray Code) ดวยกนทงสน เราจะน าเอาตารางของรหสเกรย มาท าความเขาใจตอการลดรปฟงกชนทมจ านวนตวแปรมากขนจนถง n ตวแปร (n คอจ านวนเตมบวกใดๆ)

รปท 8.24 ตารางจ านวนรหสเกรย 16 จ านวน


จากตารางในรปท 8.24 คาล าดบทแสดงใหเหนในตารางทง 2 ไดมาจากการพจารณา

b3b2 ของรหสเกรย ผลของการจดวางต าแหนงใหม แสดงดงตารางทางขวามอ ไมสามารถจดอยในนยามของรหสเกรยไดอกแลว ส าหรบลกษณะการพจารณาความเปน Logic Adjacent กนตงแต 0-15 การจดวางต าแหนงใหมของคาทแสดงในตารางทางขวามอ เราจะยดเอาคาในล าดบท 0 เปนหลก แลวจดวางคา จ านวนในล าดบท 1, 2 และ 3 ใหมความเปน Logic Adjacent หรอมระยะหางนอยทสด โดยเปรยบเทยบกบคาทวางอยในล าดบ 0 ตวอยางเชน เราไดจดวางคา “0100” ไวในต าแหนงแรกของล าดบท 1 ซงตรงกบต าแหนงแรกในล าดบ 0 คอ “0000” การจด “0100” ไวในต าแหนงแรกเพราะคา “0100” มความเปน Logic Adjacent กบคา “0000” ในล าดบ 0 โดยคา 0101, 0111 และ 0110 ไมมความเปน Logic Adjacent กบคา “0000” ส าหรบการจดวางต าแหนงใหมของล าดบอนๆ นน กสามารถพจารณาไดในลกษณะเดยวกน สวนการจดวางต าแหนงใหมในล าดบท 3 จะพบวาไมมความเปน Logic Adjacent กนเลยเมอเปรยบเทยบกบคาในล าดบ 0 เพราะฉะนน การจดใหเราพจารณาระยะหางทนอยทสด คอ 2 บต ตวอยางเชน การจดคา “1100” ไวในต าแหนงแรกของล าดบท 3 เพราะวาคาจ านวนอนๆ ในล าดบท 3 มระยะหางกบคา “0000” มากกวา 2 บต ทงนน จากการศกษาทผานมา เราจะพบวา Cell 0 กบ Cell 3 ของตาราง K-map ไมสามารถวงรอบรวมกนได กเนองมาจากสาเหตความไมไดเปน Logic Adjacent กนนนเอง

ตอไปเราจะน าเอาคาทไดจากการจดรปใหม ดงแสดงในรปท 8.24 มาสรางเปนตาราง

K-map 6 ตวแปร จากรปแบบของตาราง K-map ทไดศกษากนมา จะด าเนนการแบงจ านวนตวแปรออกเปน 2 สวน คอ ตวแปรทอยในแนวตง และตวแปรทอยในแนวนอน ทงนทงนน การแบงจ านวนตวแปรจะเปนไปในลกษณะทแนวตงมากกวาแนวนอน หรอตรงกนขาม หรอ เทากนขนอยกบความพงพอใจของผวเคราะห และออกแบบ เพอความหลากหลายในการท าความเขาใจตาราง K-map จ านวน 6 ตวแปร เราจะมการก าหนดใหจ านวนตวแปรในแนวตงและแนวนอนมจ านวนเทากนเปนกรณแรก และกรณท 2 เราจะก าหนดใหตวแปรในแนวตงเปน 4 ตวแปร และทเหลออก 2 ตวแปร อยในแนวนอน ดงแสดงในรปท 8.25 และ 8.26 ตามล าดบ


รปท 8.25 ตวอยางตาราง K-map จ านวน 6 ตวแปร ในรปแบบทก าหนดใหแนวตง และแนวนอนมจ านวนตวแปรเทากน [F(A,B,C,D,E,F)]


รปท 8.26 ตาราง K-map จ านวน 6 ตวแปร ในรปแบบทก าหนดใหแนวตงประกอบดวย 4 ตวแปร และแนวนอนประกอบดวย 2 ตวแปร [F(A,B,C,D,E,F)]


ใหพจารณาตาราง K-map จ านวน 6 ตวแปร ดงแสดงในรปท 8.25 และ 8.26 จะเหนวาไดขยายมาจากตาราง K-map จ านวน 2 ตวแปร และการวงรอบเพอการลดรปฟงกชน ใหท าความเขาใจวา จะตองเปน Cell ทเปน Logic Adjacent กนเทานน และจะท าการลดรปฟงกชนในตวอยางท 8.13 ตวอยางท 8.13 เราจะด าเนนการลดรปฟงกชนตอไปน 1. mFEDCBAf ),,,,,(1 (1, 2, 3, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 19, 24, 26, 35, 39, 43, 47,

49, 51)+ (4, 6, 12, 14, 20, 22, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62)

2. (17, 20, 32, 35, 36, 40, 44, 49, 51, 52, 56, 57, 60) + (7, 9, 11, 15, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 39,

41, 43, 47, 55, 59, 63) 3. myyyyCBAf ),,,,,,( 01233

(0, 4, 8, 12, 17, 19, 21, 23, 24, 34, 38, 42, 46, 49, 51, 53, 55, 56, 58, 64, 68, 95, 96, 98, 102, 106, 122,127) + (9, 11, 25, 27, 41, 43, 57, 59,, 67, 69, 71,72, 73, 75, 76, 78, 79, 81, 83, 85, 87, 88, 89, 91, 92, 94, 97, 99, 101, 103, 104, 105, 107, 108, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 121, 123, 124, 126)

วธท า

จากตวอยางแรกของการลดรปฟงกชน นอกเหนอจากการพจารณาความเปน Logic Adjacent ของคา “1” ในแตละ Cell แลว เพอรกษาผลประโยชนของการวงรอบทสงสด ใน ขนตนเราควรพจารณา “1” ของทง 4 สวนของตาราง K-map ตวอยางเชน การวงรอบ “1” ใน Cell 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 34, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 47 เพอใหเหลอตวแปรนอยทสด โดยจ าเปนทเราจะตองก าหนดให ใน Cell ทตองวงรอบรวมมคาเปน “1” จากนนกด าเนนการพจารณาระหวาง 2 สวนของตาราง K-map ซงอาจจะเปนสวนของมนเอง เชน ตวอยางการ วงรอบ “1” ใน Cell ท 1 และ 3 กบ 17 และ 19

myyyyYXf ),,,,,( 01232


ขอท 1 ขนตอนท 1


ขนตอนท 3

ตอบ FDCBFDCAFCEBFEDCBAf ),,,,,(1

ขอท 3 ของตวอยางท 8.13 เปนฟงกชนจ านวน 7 ตวแปร เพราะฉะนนเราจะเลอกแบงจ านวนตวแปรทางแนวตงเปนจ านวน 4 ตวแปร และในแนวนอนจ านวน 3 ตวแปร ดงแสดงใหเหนในขนตอนการลดรปฟงกชน การพจารณาวงรอบ “1” ในขนตน เราควรพจารณา รวมกนทง 8 สวนของตาราง K-map และ 4, 2, 1 ตามล าดบ

เมอเราไดทราบถงโครงสรางและทมาของตาราง K-map ตลอดจนขอก าหนดของ การวงรอบ “1” เพอลดรปฟงกชน คงจะไมเปนเรองยากอกแลวส าหรบการลดรปดวยตาราง K-map ทมจ านวนตวแปรมากๆ แตถงแมวาเราจะมความเขาใจและสามารถลดรปฟงกชนทมจ านวนตวแปรมากๆ ไดแลว การจะน าไปสประสทธผลอนสงสดของการออกแบบไมเปน เชนนน ระบบดจตอลมขอจ ากดหลายอยาง ทท าใหตวมนไมสามารถเปนระบบใหญได ถาหากเราตองการออกแบบระบบดจตอลทมความซบซอน และมการจดการดานขอมลจ านวนมาก คงเปนเรองทไมดแน ถาเราจะตองใชระบบดจตอล (ระดบความเหมาะสม ไมมเกณฑตดสนทตายตว ขนอยกบความตองการของผออกแบบ โดยอาศยปจจยตางๆ ตดสน เชน ความสะดวกในการออกแบบ งบประมาณ ความงายตอการใชงาน เปนตน สงเหลานลวนเปนเงอนไขทางการตลาดทงสน) เราควรจะหนไปใหความสนใจกบไมโครโปรเซสเซอร หรอไมโครคอนโทรลเลอร หรอ ไมโครคอมพวเตอรตอไป


ขอท 2 ขนตอนท 1 ขนตอนท 2


ขนตอนท 3

ตอบ 0201010101232 ),,,,,( yyXYyyYXyyYXyyYXyyyyYXf 12301230123 yyYyyyyXyyyyyY


ขอท 3 ขนตอนท 1 (8 สวน)


ขนตอนท 2 (4 สวน)


ขนตอนท 3 (2 และ 1 สวน)

ตอบ ACyyCyyyyCByyCByyyyCBAf 0103010101233 ),,,,,,( ByyyCyyyCAByy 12312323


แบบฝกหดท 8

1. จงลดทอนสมการลอจกตอไปน โดยวธ KM ใหเขยนค าตอบทงในรป SOP และ POS (ก) )7,5,1,0(m)C,B,A(f (ข) )6,2,1,0(m)C,B,A(f 2. จงลดทอนสมการลอจกตอไปนดวยวธ KM (ก) ACBABC)A,B,C(f (ข) )AC)(ABC)(AB)(BC()A,B,C(f 3. ลดทอนสมการลอจกตอไปนโดยวธ KM (ก) )31,29,27,25,24,23,21,18,16,15,13,8,7,5,2,0(m)E,D,C,B,A(f (ข)

)28,25,17,13,8,7,5,0(d)31,30,29,24,16,15,14,12,11,9,1(m)E,D,C,B,A(f 4. จงลดทอนสมการลอจกทมหลายเอาตพตโดยวธ KM

(ก) )7,6,3(m)C,B,A(f

)3,1,0(m)C,B,A(f

2

1

(ข) )15,14,13,9,5(m)D,C,B,A(f

)15,14,13,11,10,5(m)D,C,B,A(f

)13,11,10,9,5(m)D,C,B,A(f

3

2

1

Documents

แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map : KM : K-map) · 2016. 11. 11. · 134 แผนผังคาร์โนห์ 8.2 การลดรูปฟังก์ชั่นโดยใช้แผนผังคาร์โนห์