ABRIL 1969

8/8/2019 ABRIL 1969

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IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND S Y S T E M S , VOL. P A S - 8 8 , NO . 4 , APRIL 1 9 6 9

Concepts of Synchronous Machine S t a b i l i t y a s

Affected by E x c i t a t i o n ControlFRANCISCO P . DEMELLO, SENIOR MEMBER, IEEE, AND CHARLES CONCORDIA, FELLOW, IEEE

A b s t r a c t - T h e p h e n o m e n a o f s t a b i l i t y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e su n d e r s m a l l p e r t u r b a t i o n s i s e x p l o r e d b y e x a m i n i n g t h e c a s e o f as i n g l e m a c h i n e c o n n e c t e d t o a n i n f i n i t e b u s t h r o u g h e x t e r n a lr e a c t a n c e .

T h e a n a l y s i s d e v e l o p s i n s i g h t s i n t o e f f e c t s o f t h y r i s t o r - t y p ee x c i t a t i o n s y s t e m s a n d e s t a b l i s h e s u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t a b i l i z i n gr e q u i r e m e n t s f o r s u c h s y s t e m s . T h e s e s t a b i l i z i n g r e q u i r e m e n t si n c l u d e t h e v o l t ag e r e g u la t o r g a i n p a r a m e t e r s a s w el l a s t h e t r a n s f e rf u n c t i o n c h a r a c t e r i s t i c s f o r a m a c h i n e s p e e d d e r i v e d s i g n a l s u p e r -p o s e d o n t h e v o l t a g e r e g u l a t o r r e f e r e n c e f o r p r o v i d i n g d a m p i n go f m a c h i n e o s c i l l a t i o n s .

I N T R O D U C T I O N

THE PHENOMENON o f s t a b i l i t y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n eo p e r a t i o n h a s r e c e i v e d a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n i n t h e p a s t

a n d w i l l r e c e i v e i n c r e a s i n g a t t e n t i o n i n t h e f u t u r e . A s e c o n o m i e si n s y s t e m d e s i g n a r e a c h i e v e d w i t h l a r g e r u n i t s i z e s a n d h i g h e rp e r u n i t r e a c t a n c e g e n e r a t i n g a n d t r a n s m i s s i o n e q u i p m e n t d e -s i g n s , m o r e e m p h a s i s a n d r e l i a n c e i s b e i n g p l a c e d o n c o n t r o l s t o

p r o v i d e t h e r e q u i r e d c o m p e n s a t i n g e f f e c t s w i t h w h i c h t o o f f s e tt h e r e d u c t i o n s i n s t a b i l i t y m a r g i n s i n h e r e n t f r o m t h e s e t r e n d si n e q u i p m e n t d e s i g n [ 1 ] .

C o n c u r r e n t w i t h t h e s e t r e n d s a r e i m p r o v e m e n t s i n c a l c u l a t i n gm e t h o d s a n d c o m p u t i n g c a p a b i l i t y w h i c h p e r m i t p r e d i c t i n gc o m p l e x d y n a m i c e f f e c t s [ 2 ] - [ 5 ] , p r o v i d i n g t h e m e a n s f o r d e -s i g n i n g c o n t r o l e q u i p m e n t w i t h t h e p r o p e r c h a r a c t e r i s t i c s .

Among s e v e r a l a s p e c t s o f s t a b i l i t y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n eo p e r a t i o n , a n i m p o r t a n t o n e i s t h e m o d e o f s m a l l p e r t u r b a t i o ns t a b i l i t y r e f e r r e d t o a s s t e a d y - s t a t e , d y n a m i c o r c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y . I n c r e a s i n g a t t e n t i o n h a s b e e n f o c u s e d r e c e n t l y o n t h ee f f e c t s o f e x c i t a t i o n c o n t r o l o n t h e d a m p i n g o f o s c i l l a t i o n s w h i c hc h a r a c t e r i z e t h e p h e n o m e n a o f s t a b i l i t y . I n p a r t i c u l a r , i t h a sb e e n f o u n d u s e f u l a n d p r a c t i c a l t o i n c o r p o r a t e t r a n s i e n t s t a -b i l i z i n g s i g n a l s d e r i v e d f r o m s p e e d , t e r m i n a l f r e q u e n i c y , o r p o w e r[ 6 ] , [ 7 ] s u p e r p o s e d o n t h e n o r m a l v o l t a g e e r r o r s i g n a l o f v o l t a g er e g u l a t o r s t o p r o v i d e f o r a d d i t i o n a l d a m p i n g t o t h e s e o s c i l l a t i o n s .

T h i s p a p e r d e a l s w i t h a n a n a l y s i s o f t h e p h e n o m e n a o f s t a b i l i t yo f s y n c h r o n o u s m a c h i n e s u n d e r s m a l l p e r t u r b a t i o n s b y e x a m i n i n gt h e c a s e o f a s i n g l e m a c h i n e c o n n e c t e d t o a l a r g e s y s t e m t h r o u g he x t e r n a l i m p e d a n c e . T h e o b j e c t o f t h i s a n a l y s i s i s t o d e v e l o p

i n s i g h t s i n t o e f f e c t s o f e x c i t a t i o n s y s t e m s a n d t o e s t a b l i s h a nu n d e r s t a n d i n g o f t h e s t a b i l i z i n g r e q u i r e m e n t s f o r s u c h s y s t e m s .By e x a m i n i n g a w i d e r a n g e o f s y s t e m a n d m a c h i n e p a r a m e t e r sa n d p r o b i n g i n t o c a u s e s a n d e f f e c t s , a l o g i c a l s e t o f g u i d e r u l e sa n d c o n c e p t s i s d e v e l o p e d t o e x p l a i n t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e ma n d t o a r r i v e a t a s e t o f r e c o m m e n d a t i o n s f o r s t a b i l i z i n g t h r o u g he x c i t a t i o n c o n t r o l . I n o r d e r t o l i m i t t h e s cop e o f t h i s p a p e r , t h ee x c i t a t i o n s y s t e m i n v e s t i g a t e d i s o n e w h i c h c o u l d b e c h a r a c t e r -

P a p e r 6 8 TP 1 2 9 - P W R , r e c o m m e n d e d a n d a p p r o v e d b y t h eP o w e r G e n e r a t i o n C o m m i t t e e o f t h e IEEE P o w e r G r o u p f o r p r e s e n -t a t i o n a t t h e IEEE W i n t e r P o w e r M e e t i n g , New Y o r k , N . Y . ,J a n u a r y 2 8 - F e b r u a r y 2 , 1 9 6 8 . M a n u s c r i p t s u b m i t t e d S e p t e m b e r1 8 , 1 9 6 7 ; m a d e a v a i l a b l e f o r p r i r n t i n g N o v e m b e r 2 9 , 1 9 6 7 .

T h e a u t h o r s a r e w i t h t h e G e n e r a l E l e c t r i c C o m p a n y , S c h e n e c -

t a d y , N . Y .

F i g . 1 . L i n e a r i z e d s m a l l p e r t u r b a t i o n r e l a t i o n s o f a s i n g l e g e n e r a t o rs u p p l y i n g a n i n f i n i t e b u s t h r o u g h e x t e r n a l i m p e d a n c e .

i z e d b y a s m a l l t i m e c o n s t a n t o f b e t w e e n 0 . 0 3 a n d 0 . 0 5 s e c o n dw h i c h i s t y p i c a l o f t h y r i s t o r - t y p e s y s t e m s .

T h e m e t h o d o f a n a l y s i s o f c o u r s e c a n e a s i l y b e e x t e n d e d t oe x c i t a t i o n s y s t e m s w i t h d i f f e r e n t d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s . I t i sb e l i e v e d t h a t f r o m t h i s a n a l y s i s c o v e r i n g a w i d e r a n g e o f c o n -d i t i o n s f o r t h e s i n g l e m a c h i n e c a s e , o n e c a n p r o j e c t r e c o m m e n -d a t i o n s f o r s t a b i l i z i n g m a c h i n e s i n m u l t i m a c h i n e s y s t e m s .

D Y N A M I C S OF A S I N G L E MACHINE C O N N E C T E D TO A

L A R G E SYSTEM-FUNDAMENTAL C O N C E P T S

B l o c k D i a g r a n m R e l a t i o n s

T h e p h e n o m e n a o f s t a b i l i t y a n d d a m p i n g o f s y n c h r o n o u sm a c h i n e s f o r t h e m o d e o f s m a l l p e r t u r b a t i o n s c a n b e e x a m i n e dw i t h t h e a i d o f b l o c k d i a g r a m s r e l a t i n g t h e p e r t i n e n t v a r i a b l e s o fe l e c t r i c a l t o r q u e , s p e e d , a n g l e , t e r m i n a l v o l t a g e , f i e l d v o l t a g e ,a l n d f l u x l i n k a g e s . T h e r e l a t i o n s i n t h e b l o c k d i a g r a m s d i s c u s s e di n t h i s p ap er a p pl y t o a 2 - a x i s m a c h i n e r e p r e s e n t a t i o n w i t h af i e l d c i r c u i t i n t h e d i r e c t a x i s b u t w i t h o u t a m o r t i s s e u r e f f e c t s .A l t h o u g h a m o r e r i g o r o u s r e p r e s e n t a t i o n s h o u l d i n c l u d e a m o r t i s -s e u r o r s o l i d i r o n e d d y c u r r e n t e f f e c t s i n b o t h a x e s , t h i s s i m p l e rr e p r e s e n t a t i o n i s s u f f i c i e n t t o e s t a b l i s h t h e b a s i c e f f e c t s a n dd e v e l o p c o n c e p t s .

T h e b a s i c p h e n o m e n o n i n q u e s t i o n i s t h e s t a b i l i t y o f t h e

t o r q u e -a n g l e l o o p , i . e . , t h e b e h a v i o r o f t h e r o t o r a n g l e a n d s p e e d f o l l o w -i n g a s m a l l d i s t u r b a n c e s u c h a s a m e c h a n i c a l t o r q u e d i s t u r b a n c e .A l t h o u g h t h e w h o l e s u b j e c t c a n b e a n d h a s b e e n e x p l o r e d b yv a r i o u s s t a b i l i t y a n a l y s i s t e c h n i q u e s s u c h a s R o u t h ' s c r i t e r i o n[ 8 ] , e i g e n v a l u e a n a l y s e s [ 4 ] , e t c . , c o n s i d e r a b l e v a l u e i s f o u n d i na n a l y z i n g t h e p h e n o m e n a i n t h e l i g h t o f e l e m e n t a r y s e r v o -m e c h a n i s m a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e t h e o r y , t h e r e b y d e v e l o p i n ga n i n s i g h t i n t o t h e b a s i c e l e m e n t s t h a t c a u s e v a r i o u s e f f e c t s .We w i l l a t t e m p t t o r e l a t e t h e f a m i l i a r c o n c e p t s o f s m a l l

p e r t u r b a t i o n s t a b i l i t y o f a s i n g l e m a c h i n e s u p p l y i n g a n i n f i n i t eb u s t h r o u g h e x t e r n a l i m p e d a n c e t o t h e e l e m e n t s a n d r e l a t i o n ss h o w n i n F i g . 1 . T h e s e r e l a t i o n s a n d b l o c k d i a g r a m h a v e b e e nt r e a t e d p r e v i o u s l y i n [ 9 ] . T h e p a r a m e t e r s i n t h e s e r e l a t i o n s a r e

l i s t e d i n t h e A p p e n d i x . T h e y a r e d e r i v e d b y s m a l l p e r t u r b a t i o n

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DEMELLO AND CONCORDIA: SYNCHRONOUS MACHINE STABILITY AND EXCITATION CONTROL

a n a l y s i s o n t h e f u n d a m e n t a l s y n c h r o n o u s m a c h i n e e q u a t i o n s ,a n d h e n c e a r e f u n c t i o n s o f m a c hi n e a n d s y s t e m i m p e d a n c e s a sw e l l a s o p e r a t i n g p o i n t .

T h e p a r a m e t e r s o f F i g . 1 a r e d e f i n e d a s f o l l o w s :

c h a n g e i n e l e c t r i c a l t o r q u e f o r a c h a n g e i nr o t o r a n g l e w i t h c o n s t a n t f l u x l i n k a g e s i n t h ed a x i s

c h a n g e i n e l e c t r i c a l t o r q u e f o r a c h a n g e i nd - a x i s f l u x l i n k a g e s w i t h c o n s t a n t r o t o r a n g l e

i m p e d a n c e f a c t o r

f o r t h e c a s e w h e r e t h e e x t e r n a l i m p e d a n c e i sa p u r e r e a c t a n c e X e

1 A E qKK 4 = q d e m a g n e t i z i n g e f f e c t o f a c h a n g e i n r o t o r a n g l e

K 5 A e t |Ae

A E Q '

c h a n g e i n t e r m i n a l v o l t a g e w i t h c h a n g e i nr o t o r a n g l e f o r c o n s t a n t E '

c h a n g e i n t e r m i n a l v o l t a g e w i t h c h a n g e i nE q ' f o r c o n s t a n t r o t o r a n g l ef i e l d o p e n c i r c u i t t i m e c o n s t a n t

T d 8 ' = K 3 T & ' e f f e c t i v e f i e l d t i m e c o n s t a n t u n d e r l o a d .

I t i s i m p o r t a n t t o r e c o g n i z e t h a t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f K 3w h i c h i s o n l y a f u n c t i o n o f t h e r a t i o o f i m p e d a n c e s , a l l o t h e rp a r a m e t e r s c h a n g e w i t h l o a d i n g , m a k i n g t h e d y n a m i c b e h a v i o ro f t h e m a c h i n e q u i t e d i f f e r e n t a t d i f f e r e n t o p e r a t i n g p o i n t s .S i n c e t h e s e p a r a m e t e r s c h a n g e i n r a t h e r c o m p l e x m a n n e r , i t i s

d i f f i c u l t t o r e a c h g e n e r a l c o n c l u s i o n s b a s e d o n p a r a m e t e r v a l u e sf o r o n e o p e r a t i n g p o i n t o n l y .

P e r f o r m a n c e w i t h C o n s t a n t d - A x i s F l u x L i n k a g e sR e t u r n i n g t o F i g . 1 , l e t u s f i r s t l o o k a t t h e p o r t i o n s h o w n i n

F i g . 2 , w h i c h i s p e r t i n e n t f o r t h e c o n d i t i o n o f c o n s t a n t f l u xl i n k a g e s i n t h e d a x i s .

T h i s p o r t i o n s h o w s a t o r q u e - s p e e d - a n g l e l o o p w h i c h g i v e s r i s et o a n a t u r a l p e r i o d o f o s c i l l a t i o n c o , , = a / 3 7 7 K1/M r a d / s . N e -g l e c t i n g d a m p i n g d u e t o e l e c t r i c a l l o a d c h a r a c t e r i s t i c s , we n o t e

t h a t t h i s t o r q u e - s p e e d - a n g l e l o o p i s a p u r e o s c i l l a t o r w i t h z e r o

d a m p i n g m u c h l i k e a s p r i n g - m a s s s y s t e m . T h e l i g h t e r t h e ma-c h i n e ( s m a l l e r M) a n d t h e h i g h e r t h e t r a n s i e n t s y n c h r o n i z i n gp o w e r

c o e f f i c i e n t K 1 , t h e h i g h e ri s

t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y .F r o m t h e r e l a t i o n s i n t h e A p p e n d i x , w e n o t e t h a t K 1 i s d e c r e a s e db y i n c r e a s i n g s y s t e m a n d m a c h i n e r e a c t a n c e s . I t i s a l s o a f f e c t e db y m a c h i n e l o a d i n g i n a s o m e w h a t p e c u l i a r m a n n e r d u e t ot r a n s i e n t s a l i e n c y e f f e c t s .

I n m o s t p r a c t i c a l c a s e s K 1 i s p o s i t i v e g i v i n g r i s e t o o s c i l l a t i o n s .I t i s p o s s i b l e i n v e r y u n u s u a l c a s e s o f v e r y l o n g t i e s a n d r e l a t i v eh i g h l o a d i n g o n t h e s e t i e s t o h a v e K 1 g o n e g a t i v e . I n t h e s e c a s e s ,e v e n i f w e w e r e t o m a i n t a i n c o n s t a n t f l u x l i n k a g e s i n t h e d a x i s ,t h e m a c h i n e w o u l d b e u n s t a b l e i n a r e a l r o o t s t a b i l i t y s e n s e ,i . e . , t h e m a c h i n e a n g l e w o u l d r u n a w a y m o n o t o n i c a l l y a n d e x p o -n e n t i a l l y w i t h t i m e . A l t h o u g h w i t h s p e c i a l s t a b i l i z i n g i n t h ec o n t r o l o f e x c i t a t i o n , i t i s p o s s i b l e t o r e n d e r s o m e o f t h e s es y s t e m s s t a b l e , t h e y a r e p r i m a r i l y o f a c a d e m i c r a t h e r t h a n

p r a c t i c a l i n t e r e s t .

F i g . 2 . L i n e a r i z e d t o r q u e - a n g l e r e l a t i o n s h i p s f o r t h e c on di t io n o f

t h e c o n s t a n t f l u x l i n k a g e s i n t h e d a x i s .

ms ~ A

Ln D - rATD L-.J

F i g . 3 . T o r q u e - a n g l e l o o p d e f i n i n g s y n c h r o n i z i n g t o r q u e s A T . a n dd a m p i n g t o r q u e s A T D .

D a m p i n g T o r q u e s , S y n c h r o n i z i n g T o r q u e s - D a m p i n g R a t i o

B e f o r e i n t r o d u c i n g t h e e f f e c t s o f f i e l d l o s s e s a n d e x c i t a t i o nc o n t r o l , i t i s d e s i r a b l e t o d e v e l o p a f e w s i m pl e c on c ep t s r e l a t i n gt h e b e h a v i o r o f t h e s e c o n d - o r d e r s y s t e m o f F i g . 3 w h i c h i n t r o -d u c e s a d a m p i n g t e r m D .

I n t h i s s y s t e m , d a m p i n g i s p r o v i d e d b y d e v e l o p i n g a n e g a t i v et o r q u e p r o p o r t i o n a l t o a n d i n t i m e p h a s e w i t h s p e e d p a . T h er e s u l t i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s

S 2 + ( D / M ) S + ( K i 3 7 7 / M ) = 0 ( 1 )

g i v i n g r i s e t o d a m p e d o s c i l l a t i o n s w i t h f r e q u e n c y ' , , Vi - ta n d d a m p i n g r a t i o r w h e r e

W n = V K 1 3 7 7 , v = 2 D / V K 1 M 3 7 7 .O n e f o r m o f i n s t a b i l i t y i s a p p r o a c h e d a s t h e d a m p i n g r a t i o

g o e s t o z e r o . F o r n o r m a l v a l u e s o f d a m p i n g r a t i o s , t h e f r e q u e n c yo f o s c i l l a t i o n i s n o t m a t e r i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e v a l u e f o r z e r od a m p i n g r a t i o . F o r c o n c e i v a b l e r a n g e s o f i n e r t i a , i m p e d a n c e s ,a n d l o a d i n g v a l u e s , t h i s f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n w i l l b e i n t h en e i g h b o r h o o d o f 0 . 5 t o 2 Hz w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f e x t r e m ev a l u e s o f u p t o 4 Hz a t t h e h i g h e n d a n d 0 . 1 Hz a t t h e l o w e n d .

A t t h i s p o i n t i t i s a p p r o p r i a t e t o i n t r o d u c e t h e c o n c ep t o fs y n c h r o n i z i n g a n d d a m p i n g t o r q u e s . A t a n y g i v e n o s c i l l a t i o nf r e q u e n c y , b r a k i n g t o r q u e s a r e d e v e l o p e d i n p h a s e w i t h t h em a c h i n e r o t o r a n g l e a n d i n p h a s e w i t h t h e m a c h i n e r o t o r s p e e d .T h e f o r m e r a r e t e r m e d s y n c h r o n i z i n g t o r q u e s a n d t h e l a t t e r

d a m p i n g t o r q u e s . T h et o r q u e

o s c i l l a t i o n s d e v e l o p e d b y a n yp a r t i c u l a r m e a n s c a n b e b r o k e n d o w n i n t o t h e s e c o m p o n e n t s f o ra n i n s i g h t a s t o t h e i r e f f e c t o n s t a b i l i t y .

S t a b i l i t y c a n b e e n d a n g e r e d b y a l a c k o f e i t h e r o r b o t h s y n -c h r o n i z i n g a n d d a m p i n g t o r q u e s . T h e t r a d i t i o n a l s t a b i l i t y c r i -t e r i o n w i t h w h i c h i n d u s t r y i s m o s t a c q u a i n t e d c o n c e r n s t h e t e s t sf o r p o s i t i v e s y n c h r o n i z i n g t o r q u e s w h i c h d e t e r m i n e w h e t h e r o rn o t f o r c e s w i l l b e s e t u p t o r e s t o r e t h e r o t o r a n g l e o f t h e m a c h i n ef o l l o w i n g a n a r b i t r a r i l y s m a l l d i s p l a c e m e n t o f t h i s a n g l e . Noc o r r e s p o n d i n g l y s im pl e g u i de r u l e s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o t e s tf o r t h e p o s s i b i l i t y o f a n o t h e r f o r m o f i n s t a b i l i t y w h i c h w o u l da r i s e f o r c a s e s w h e r e d a m p i n g t o r q u e s b e c a m e n e g a t i v e . T h i sl a t t e r f o r m o f i n s t a b i l i t y i s b e c o m i n g i n c r e a s i n g l y i m p o r t a n t a sm a c h i n e s t a b l e o p e r a t i o n i s m o r e t h a n e v e r d e p e n d e n t o n a u t o -

m a t i c c o n t r o l o f e x c i t a t i o n .

K =T eAb| E q f

K I A E , I

K 3

X d ' + X eK 3 = X d + X e

Xd+Xe

3 1 7


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IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS, A PRIL 1969

P e r f o r m a n c e w i t h C o n s t a n t F i e l d V o l t a g eI n t r o d u c i n g n o w t h e e f f e c t s o f f i e l d l o s s e s , w e r e f e r t o F i g . 4

w h i ch a dd s t h e a r m a t u r e r e a c t i o n t e r m s e x p r e s s e d a s a d e -m a g n e t i z i n g i n f l u e n c e w i t h i n c r e a s i n g r o t o r a n g l e t h r o u g h t h eb l o c k K 4 .

E x a m i n e n o w t h e c o n t r i b u t i o n o f t o r q u e d u e t o t h i s e f f e c ts h o w n b y t h e d a s h e d l i n e s i n F i g . 4 .

T h e e f f e c t o f t h i s c o m p o n e n i t o f t o r q u e c a n b e d e s c r i b e d b y t h ee x p r e s s i o n

AT K 2 K 4 K 3

A S due to AEqf 1+S T d , j K 3( 2 )

T h e s e c o e f f i c i e n t s are a l w a y s p o s i t i v e , h e n c e we n o t e t h a t a t

s t e a d y s t a t e or zero o s c i l l a t i o n f r e q u e n c i e s , t h i s d e m a g n e t i z i n gc o m p o n e n t o f t o r q u e i s - K 2 K 4 K 3 ) A b w h i c h i s o p p o s e d i n s i g nt o t h e t r a n s i e n t s y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n t d i s c u s s e d i n t h ep r e v i o u s s e c t i o n , + K 1 I A .

T h e f a m i l i a r s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y c r i t e r i o n w i t h c o n s t a n t

f i e l d v o l t a g e d e f i n e s t h e s t a b i l i t y l i m i t as t h e c o n d i t i o n f o r w h i c ht h e s t e a d y - s t a t e s y n c h r o n i z i n g p ow e r c o e f f i c i e n t K1- 2 K 4 K 3is z e r o .

We n o t e t h a t a t very h i g h o s c i l l a t i o n f r e q u e n c i e s , w > > 1 / K 3 T& '

( n o t e t h a t l / K 3 T s ' = 1 / T d , ' ) , t h e p h a s e a n g l e o f t h e t o r q u ec o m p o n e n t i n q u e s t i o n g i v e n b y ( 2 ) i s p l u s 9 0 d e g r e e s w h i c hmeans t h a t a t t h e s e h i g h f r e q u e n c i e s , t h e s e t o r q u e s a re a l m o s t

e n t i r e l y d a m p i n g t o r q u e s . T h e m a g n i t u d e o f t h e t o r q u e s , o fc o u r s e , g e t s a t t e n u a t e d w i t h i n c r e a s i n g f r e q u e n c y . F o r t y p i c a lm a c h i n e a n d s y s t e m p a r a m e t e r s r e s u l t i n g i n o s c i l l a t i o n f r e -q u e n c i e s o f a b o u t 1 H z , t h e f i e l d w o u l d o n l y c o n t r i b u t e a d a m p i n gr a t i o o f b e t w e e n 0 . 0 3 a n d 0 . 0 5 .

I n t e r m s o f t i m e d o m a i n b e h a v i o r , t h e s e r i e s o f t r a c e s i n F i g . 5

h e l p d e s c r i b e t h e s i g n i f i c a n c e o f t he v a ri ou s e f f e c t s d i s c u s s e d so

f a r . T h e p l o t s are t h e t i m e response o f m a c h i n e a n g l e f o l l o w i n g a

s m a l l s t e p c h a n g e i n m e c h a n i c a l t o r q u e .F i g . 5 ( a ) s h o w s t h e case o f c o n s t a n t E q ' a n d K 1 > 0 e s -

t a b l i s h i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c o s c i l l a t i o n s w i t h zero d a m p i n g . A sm e n t i o n e d b e f o r e , d a m p i n g d u e t o l o a d c h a r a c t e r i s t i c s i s ne-

g l e c t e d i n t h e s e d i s c u s s i o n s .F i g . 5 ( b ) s h o w s t h e e f f e c t o f t h e f i e l d d e m a g n e t i z i n g r e s u l t i n g

i n t h e same t y p e o f o s c i l l a t i o n s w i t h s l i g h t d a m p i n g s u p e r p o s e don a m o n o t o n i c d r i f t as t h e m a c h i n e e s t a b l i s h e s new s t e a d y - s t a t ef l u x l e v e l c o n d i t i o n s . T h i s case i s f o r K1-K 2 K 4 K 3 > 0 , i . e . ,t h e m a c h i n e h a s s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y or s t a b i l i t y u n d e r c l o s e

m a n u a l c o n t r o l i n t h e t r a d i t i o n a l sense ( p o s i t i v e zero f r e q u e n c ys y n c h r o n i z i n g power c o e f f i c i e n t ) .

F i g . 5 ( c ) i l l u s t r a t e s t h e a n g l e response f o r t h e case w h e r e t h e

m a c h i n e i s o p e r a t i n g w i t h c o n s t a n t f i e l d v o l t a g e b e y o n d t h e

s t e a d y - s t a t el i m i t . H e r e we c o n t i n u e t o se e t h e

o s c i l l a t i o n s ;h ow e ve r, t he y a re s u p e r i m p o s e d on a m o n o t o n i c a l l y u n s t a b l e

c o m p o n e n t . F o r s u c h an o p e r a t i n g p o i n t , s t a b l e o p e r a t i o n c a n

o n l y b e a c h i e v e d b y s u p e r i m p o s i n g t h e e f f e c t s o f e x c i t a t i o n

c o n t r o l w h i c h c a n c e l o u t t he u ns t ab le m o n o t o n i c c o m p o n e n t .O p e r a t i o n i n t h i s r e g i o n u n d e r r e g u l a t o r c o n t r o l h a s b e e n r e -

f e r r e d t o as o p e r a t i o n w i t h d y n a m i c s t a b i l i t y or c o n d i t i o n a l

s t a b i l i t y . P r o v i d i n g s t a b i l i t y b y e x c i t a t i o n c o n t r o l r e q u i r e s can-

c e l l i n g o u t t h e m o n o t o n i c i n s t a b i l i t y w i t h o u t d e t e r i o r a t i n gd a m p i n g or g i v i n g r i s e t o n e g a t i v e d a m p i n g . T h e s e e f f e c t s w i l lb e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

F i n a l l y , F i g . 5 ( d ) s h o w s t h e b e h a v i o r f o r t h e rare case w h e r eK1 i s very s m a l l or n e g a t i v e a n d t h e s y s t e m m a n i f e s t s i n s t a b i l i t yw i t h o u t o s c i l l a t i o n s even u n d e r a s s u m p t i o n o f c o n s t a n t d i r e c t

a x i s f l u x l i n k a g e s E q , ' .

I

IIIII--i

F i g . 4. T o r q u e - a n g l e l o op i nc l u d i n g d i r e c t a x i s f i e l d e f f e c t s .

Eq CONSTANT Efd = CONSTANT Efd= CONSTANT E q ' - C O N S T A N T rK1 > 0 Kr-KI K3 K4>O K i -K2K3K4<0 K i <O

t _-

( a ) ( b ) (c ) ( d )F i g . 5 . T y p i c a l responses o f r o t o r a n g l e f o l l o w i n g s m a l l s t e p i n c r e a s e s

i n m e c h a n i c a l t o r q u e .

E F F E C T S OF V O L T A G E R E G U L A T O R S

B l o c k D i a g r a m R e l a t i o n s

T h e e f f e c t o f t he v ol t a ge r e g u l a t o r on d a m p i n g a n d s y n -

c h r o n i z i n g t o r q u e s w i l l now b e a n a l y z e d b y r e f e r r i n g t o t h eb l o c k d i a g r a m o f F i g . 6 w h e r e t h e a d d i t i o n a l necessary r e l a t i o n sb e t w e e n E q ' a n d e t , 6 a n d e t , a n d E f d a n d e t h a v e b e e n i n c l u d e d .

I n t h i s t r e a t m e n t , we are c o n s i d e r i n g a s i m p l e v o l t a g e regu-

l a t o r - e x c i t a t i o n s y s t e m , i . e . ,

AEfd/Aet =-K/ ( 1 + STe) ( 3 )

w i t h a g a i n K 6 a n d s m a l l t i m e c o n s t a n t T f as m i g h t b e t y p i c a lo f t h y r i s t o r - t y p e e x c i t e r s .By means o f s m a l l p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s , t h e t e r m i n a l v o l t a g e

d e v i a t i o n s Aet c a n b e r e l a t e d t o c h a n g e s i n a n g l e A S t h r o u g h t h ep r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r K 5 a n d t o c h a n g e s i n f l u x l i n k a g e s A E q '

b y t h e p r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r K 6 .From t h e r e l a t i o n s i n t h e A p p e n d i x , i t c a n b e s e e n t h a t K 6

i s a l w a y s p o s i t i v e a l t h o u g h i t s m a g n i t u d e g e t s r e d u c e d w i t hl o a d i n g ( l a r g e m a c h i n e i n t e r n a l a n g l e s ) a n d w i t h s m a l l e x t e r n a li m p e d a n c e s . T h e c o n s t a n t K 5 , on t h e o t h e r h a n d , c a n h a v ee i t h e r s i g n a n d c o n s i d e r a b l e r a n g e i n m a g n i t u d e d e p e n d i n g on

t h e i m p e d a n c e s a n d t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n . T h i s v a r i a t i o n i nt h e p a r a m e t e r K 5 h a s c o n s i d e r a b l e b e a r i n g on t h e e f f e c t s on

d a m p i n g o f v o l t a g e r e g u l a t o r s . B e f o r e d e v el o pi n g i n s i g h t s i n t ot h e s e e f f e c t s , l e t us a n a l y z e r e g u l a t o r g a i n c o n s t r a i n t s .

R e g u l a t o r G a i n C o n s t r a i n t s

One i m p o r t a n t c r i t e r i o n o f v o l t a g e r e g u l a t o r p e r f o r m a n c e i s

i t s o p e r a t i o n w i t h t h e m a c h i n e on o p e n c i r c u i t f o r w h i c h case

LT m

3 1 8


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DElMELLO AND CONCORDIA: SYNCHRONOUS MACHINE STABILITY AND EXCITATION CONTROL

O n e m o r e p o i n t o f i n t e r e s t i s i n o r d e r . T h e r e g u l a t i n g l o o p , a sd e s c r i b e d i n F i g . 7 , a l s o h a s s i g n i f i c a n c e w i t h t h e m a c h i n e u n d e rl o a d . T h i s l o o p b y i t s e l f d e s c r i b e s t h e c l o s e d - l o o p e f f e c t s o fv o l t a g e a s a f f e c t e d b y f l u x c h a n g e s o n l y , i . e . , w i t h n o c h a n g e s i na n g l e . U n d e r l o a d e d c o n d i t i o n s , t h i s l o o p i s g i v e n b y t h e b l o c k

d i a g r a m o f F i g . 8 . T h e m a c h i n e f u n c t i o n A e t / A E f d i s now

l A e t K 6 K 3

A E f d 1+ S T d , ' K 3w h i c h c a n a l s o b e e x p r e s s e d a s

A e t K 6 ( T d z ' / T d o ' )A E f d 1 + S T d ,

( 4 )

( 5 )

F i g . 6 . S i n g l e m a c h i n e s u p p l y i n g a n i n f i n i t e b u s t h r ou g h e x t e r n a li m p e d a n c e i n c l u d i n g e f f e c t s o f v o l t a g e r e g u l a t o r - e x c i t a t i o n s y s t e m .

F i g . 7 . V o l t a g e r e g u l a t i n g l o o p w i t h m a c h i n e o n o p e n t c i r c u i t .

A G t~ ~ ~ A E f dA t r e f K6K3

IS T [ I F S K 3 T ' d o

F i g . 8 . V o l t a g e r e g u l a t i n g l o o p w i t h m a c h i n e c o n n e c t e d t o s y s t e m

a s s u m i n g n o c h a n g e s i n r o t o r a n g l e .

m a c h i n e a n g l e h a s n o s i g n i f i c a n c e . T h e r e g u l a t o r - m a c h i n e l o o pi s t h e r e f o r e d e s c r i b e d b y F i g . 7 .

F o r w e l l - d a m p e d p e r f o r m a n c e o f t h i s r e g u l a t i n g l o o p [ 1 0 ] ,i t i s d e s i r a b l e t o m a i n t a i n t h e c r o s s o v e r f r e q u e n c y l e s s t h a n

1 / 2 T e w h i c h w o u l d mean t h a t t h e g a i n K 6 s h o u l d b e a p p r o x i -m a t e l y l e s s t h a n T d , ' / 2 T , . F o r a n e x c i t e r t i m e c o n s t a n t o f0 . 0 5 s e c o n d a n d o p e n - c i r c u i t f i e l d t i m e c o n s t a n t T o , ' o f 5 s e c o n d s ,w e n o t e t h a t i t w o u l d b e d e s i r a b l e t o h o l d t h e r e g u l a t o r g a i n t ol e s s t h a n 5 0 d u e t o t h e s e o p e n - c i r c u i t p e r f o r m a n c e c o n s i d e r a t i o n s .

I t s h o u l d b e n ot e d t h a t t h e g a i n we s p e a k o f c a n b e i n t e r p r e t e da l s o a s t h e t r a n s i e n t r e g u l a t o r g a i n . S i n c e i t may b e d e s i r a b l e ,f r o m a

s t e a d y - s t a t e r e g u l a t i o no r

d r o o p c o n s i d e r a t i o n ,t o h a v e

c o n s i d e r a b l y h i g h e r r e g u l a t o r s t e a d y - s t a t e o r d c g a i n , t h e d e s i r e dt r a n s i e n t g a i n r e d u c t i o n c a n b e o b t a i n e d w i t h a s e r i e s l a g - l e a dn e t w o r k ( 1 + T i s ) / ( 1 + T 2 s ) w h e r e

T i l T 2 = ( t r a n s i e n t g a i n ) / ( s t e a d y - s t a t e g a i n )

o r a l t e r n a t e l y w i t h r a t e f e e d b a c k f r o m e x c i t e r v o l t a g e .By s e l e c t i n g 1 / T 1 a s c o n s i d e r a b l y l o w e r t h a n t h e c r o s s o v e r

f r e q u e n c y , t h e e f f e c t s o f c o n c e r n a r e n o t s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n ti f t h e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t t h e r e g u l a t o r i s r e p r e s e n t e d b y( K 6 1 ) ! ( 1 + S T , ) r a t h e r t h a n b y

[ w K 2 ( 1 + S T 1 ) ] / [ ( 1 +tTi ( 1 +ga

w h e r e K , i=

K , 2 T i l T 2 i s t h e t r a n s i e n t g a i n .

D i s r e g a r d i n g t h e e f f e c t o f K 6 w h i c h c a n v a r y f r o m a b o u t 1 t o a

c o n s i d e r a b l y l o w e r v a l u e ( o c c a s i o n a l l y f o r v er y h i g h e x t e r n a lr e a c t a n c e s c o m b i n e d w i t h h e a v y s h u n t r e s i s t a n c e l o a d s K 6 c a nb e s l i g h t l y g r e a t e r t h a n t h e o p e n - c i r c u i t v a l u e o f 1 ) , w e n o t et h a t t h e e f f e c t o f t h e s h o r t e r f i e l d t i m e c o n s t a n t u n d e r l o a d

T d z ' i s o f f s e t b y t h e l o w e r g a i n T d / / T d 0 ' s o t h a t t h e c l o s e d - l o o pr e sp o n s e o f t h i s v o l t a g e c o m p o n e n t r e g u l a t i n g l o o p u n d e r l o a dc o n d i t i o n s i s n o t m a t e r i a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e c l o s e d - l o o p r e -s p o n s e o n o p e n c i r c u i t .

A s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n u s i n g f a m i l i a r f r e q u e n c y r e s p o n s ea n a l y s i s t e c h n i q u e s [ 1 0 ] , t h i s c l o s e d - l o o p r e s p o n s e b e t w e e n t h et e r m i n a l v o l t a g e c o m p o n e n t d u e t o f l u x c h a n g e s a n d c h a n g e i nv o l t a g e r e f e r e n c e c a n b e d e s c r i b e d b y t w o t i m e c o n s t a n t s i ns e r i e s , o n e e q u a l t o T ' I / K , K 6 a n d t h e o t h e r e q u a l t o T e .

A e t K e K 6

A e t r e f I c o n s t a n t ( 1 / K 3 + K 6 K 6 ) [ 1 + S ( T d ' / K e K 6 K ) ] ( 1 + S T 6 . )

[ 1 + S ( T o ' / K K 6 ) ](1+ S T )

f o r l a r g e K , . ( 6 )

S i m i l a r l y, A E 6 ' K ,

A e t r e f c o n s t a n t ( 1 / K 3 + K , K 6 ) [ 1 + S ( T d o ' / K e K 6 ) ] ( 1 + S T f e )

K 6 [ 1 + S ( T d o ' / K , K 6 ) I ] ( 1 + S T e )

f o r l a r g e K f . ( 7 )

V o l t a g e R e g u l a t o r E f f e c t s o n M a c h i n e S t a b i l i t y

C o m p a r i n g F i g . 6 w i t h F i g . 4 , we n o t e f i r s t t h a t , w i t h t h ev o l t a g e r e g u l a t o r i n o p e r a t i o n , t h e d e m a g n e t i z i n g c o m p o n e n tK 4 A 6 c a u s e s a g r e a t l y a t t e n u a t e d e f f e c t r e l a t i v e t o t h a t w h i c h

i t h a d w i t h n o v o l t a g e r e g u l a t o r . T h a t i s , i f we c o m p a r e t h ee x p r e s s i o n s f o r c h a n g e i n e l e c t r i c a l t o r q u e f o r a c h a n g e i n a n g l ed u e t o t h i s d e m a g n e t i z i n g a c t i o n , we h a v e

AT - K 4 K 2 K 3

A b 1 + S T d , ' K 3( 8 )

i n t h e c a s e o f n o v o l t a g e r e g u l a t o r , a n d we p r e v i o u s l y d e s c r i b e di t s e f f e c t s i n t e r m s o f f i e l d d a m p i n g a n d n e g a t i v e s y n c h r o n i z i n gt o r q u e s .

F o r t h e c a s e w i t h v o l t a g e r e g u l a t o r , t h i s p a r t i c u l a r c o m p o n e n to f t o r q u e b e c o m e s a p p r o x i m a t e l y

A / T -K4K2

A S " K K 6 [ 1 +S ( T d t ' / K I 6 K ) ]

( 9 )

3 1 9


8/8/2019 ABRIL 1969


IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS, APRIL 1 9 6 9

AsATCOMPONENT

Aet

F i g . 9 . C o m p o n e n t o f t o r q u e p r o d u c e d b y v o l t a g e r e g u l a t o r a c t i o nresponse t o v o l t a g e d e v i a t i o n t s p r o d u c e d b y r o t o r - a n g l e d e v i a t i o n s .

When c o m p a r i n g ( 8 ) a n d ( 9 ) , we n o t e t h a t a t l o w f r e q u e n c i e s( 9 ) i s c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n ( 8 ) b y t h e f a c t o r 1 / K , K 6 K 3 ,w h i l e a t very h i g h f r e q u e n c i e s , t h e t w o e x p r e s s i o n s a p p r o a c he a c h o t h e r . T h e s i g n i f i c a n c e o f t h e s e f a c t s i s t h a t t h e s t e a d y - s t a t en e g a t i v e component o f s y n c h r o n i z i n g power c o e f f i c i e n t i s p r a c t i -c a l l y e l i m i n a t e d w i t h a v o l t a g e r e g u l a t o r w i t h f a i r l y h i g h g a i n .M e a n w h i l e , s i n c e t h e e f f e c t i v e t i m e c o n s t a n t h a s b e e n r e d u c e df r o m T d 5 ' t o T d , ' / K 6 K 6 , t h e d a m p i n g component o f t o r q u e d u e

t o t h i s e f f e c t i s c o r r e s p o n d i n g l y r e d u c e d , i . e . , t h e p h a s e l a ga p p r o a c h e s 9 0 d e g r e e s f o r c o n s i d e r a b l y h i g h e r o s c i l l a t i o n f r e -q u e n c i e s .

Now t h a t we h a v e d i s p o s e d o f t h e c o m p o n e n t o f t o r q u ep r o d u c e d b y t h e K 4 b r a n c h i n F i g . 6 as r a t h e r n e g l i g i b l e a n dc o n t r i b u t i n g o n l y s l i g h t l y t o d a m p i n g , l e t us a n a l y z e t h e c o n t r i -b u t i o n c o m i n g t h r o u g h t h e b r a n c h K 5 a c c o u n t i n g f o r t h e e f f e c to f a n g l e on t e r m i n a l v o l t a g e . T h i s t e r m i n a l v o l t a g e i n t u r n

a f f e c t s t h e f l u x a n d t o r q u e t h r o u g h t h e c l o s e d v o l t a g e r e g u l a t o rl o o p .

T h e c o m p o n e n t i n q u e s t i o n i s d e s c r i b e d b y t h e b l o c k d i a g r a mo f F i g . 9 .

T h e e x a c t e x p r e s s i o n f o r t h i s c o m p o n e n t o f t o r q u e d u e t o a

c h a n g e i n a n g l e a n d i t s e f f e c t on v o l t a g e i s

AT K 2 K e K 5A5 ( 1 / K 3 + K 6 K 3 + S ( T , , / K 3 + T d 5 ' ) + SA T d , ' T

U s i n g t h e a p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n s f o r t h e c l o s e d l o o p w h i c ha p p l y f o r t he u su a l range o f c o n s t a n t s i n q u e s t i o n , t h i s b e c o m e sAT-KK

A S K [ 1 + S ( T d o ' I / K K 6 ) ] ( 1 + S T e ) (11)

F i n a l l y , i n c l u d i n g t h e p r e v i o u s c o m p o n e n t p r o d u c e d b y t h e K 4b r a n c h , t h e d e m a g n e t i z i n g e f f e c t o f a n g l e , we h a v e t h e c o m p l e t ee x p r e s s i o n f o r c h a n g e s i n t o r q u e d u e t o c h a n g e s i n a n g l e v i a

t h e i r e f f e c t on E . 'AT - K2 KeK5+ K4]+ S T e K 4 }

A du e t o AE q 1 / K 3 + K 6 K 6 + S ( T 7 / K 3 + T d o ' ) + S 2 T T d s ' T f

( 1 2 )

E x a m i n e now t h e s y n c h r o n i z i n g a n d d a m p i n g t o r q u e c o n t r i -b u t i o n s f r o m t h i s e x p r e s s i o n f o r d i f f e r e n t o s c i l l a t i o n f r e q u e n c i e s .

S y n c h r o n i z i n g T o r q u e s

T h i s t o r q u e i s t h e c o m p o n e n t i n t i m e p h a s e w i t h a n g l e .N e g l e c t i n g t h e d e m a g n e t i z i n g e f f e c t t h r o u g h K 4 , i . e . , u s i n g t h e

s i m p l e r e x p r e s s i o n ( 1 0 ) , we n ot e t h a t t h i s s y n c h r o n i z i n g t o r q u ec o m p o n e n t T S a t o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y c o i s

-K2K6K5 A ( 1 3 )

1/K3+K6Ke W I o 2 T & ' T E

F o r v e r y l o w f r e q u e n c i e s

T - - K 2 K 6 K 5 A 81 / K 3 + K 6 K e

- K 2 K 5 s AK 8

f o r h i g h v a l u e s o f K R .

We n o t e t h a t w i t h K 5 p o s i t i v e t h i s s y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n ti s n e g a t i v e . T h i s i s o f n o p a r t i c u l a r c o n c e r n a s f o r t h o s e c a s e sw h e r e K 5 i s p o s i t i v e ( l o w t o m e d i u m e x t e r n a l i m p e d a n c e a n dl o w t o m e d i u m l o a d i n g s ) K 1 i s u s u a l l y h i g h s o t h a t t h e n e ts y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n t K , - K 2 K 5 / K 6 i s s t i l l s i g n i f i c a n t l yg r e a t e r t h a n z e r o .

F o r K 5 n e g a t i v e , w h i c h o c c u r s f o r m o d e r a t e t o h i g h s y s t e mt r a n s f e r i m p e d a n c e s , a nd h e a v y l o a d i n g s , w e n o t e t h a t t h es y n c h r o n i z i n g t o r q u e c o m p o n e n t i s p o s i t i v e a t l o w f r e q u e n c i e s .T h i s i s b e n e f i c i a l i n t h o s e c a s e s w h e r e t h e t r a n s i e n t s y n c h r o n i z i n gc o e f f i c i e n t K 1 i s l o w o r n e g a t i v e , o r w h e r e t h e s t e a d y - s t a t es y n c h r o n i z i n g c o e f f i c i e n t w i t h o u t r e g u l a t o r K1 - K 2 K 4 K 3 i sn e g a t i v e .

A s o s c i l l a t i o n f r e q u e n c i e s i n c r e a s e a n d w 2 a p p r o a c h e s

( 1 / K 3 + K 6 K , ) / ( T d 0 ' T , ) , w e n o t e f r o m ( 1 3 ) t h a t t h e s y n c h r o -n i z i n g t o r q u e b e c o m e s i n f i n i t e a n d f o r e v e n l a r g e r f r e q u e n c i e si t r e v e r s e s s i g n . A c t u a l l y b e f o r e t h i s c a n h a p p e n , t h e o s c i l l a t i o nf r e q u e n c y b e c o m e s v e r y h i g h a n d i n s t a b i l i t y d e v e l o p s b e c a u s eo f n e g a t i v e d a m p i n g .

D a m p i n g T o r q u e s

F r o m ( 1 1 ) , w e s e e t h a t t h e d a m p i n g t o r q u e c o m p o n e n t T Dd u e t o v o l t a g e r e g u l a t o r a c t i o n i s

K 2 K , K 5 ( T , / K 3 + T d & ' ) w A O . ( 1 4 )

( 1 / K 3 + K 6 K E -2 T d o ' T ) 2 + ( T 6 / K 3 + T & ' ) 2 w 2

T h i s c o m p o n e n t g i v e s p o s i t i v e d a m p i n g w h e n e v e r K 5 i s p o s i t i v e

b u t f o r a l a r g e n u m b e r o f c a s e s w h e r e K 5 i s n e g a t i v e , i t con -t r i b u t e s n e g a t i v e d a m p i n g . F u r t h e r , w e n o t e t h a t , w i t h K 5n e g a t i v e , i n c r e a s i n g K f i n c r e a s e s t h e m a g n i t u d e o f n e g a t i v ed a m p i n g c a u s i n g i n s t a b i l i t y . H o w e v e r , a t t h e o t h e r e x t r e m ew i t h z e r o r e g u l a t o r g a i n , w e o n l y g e t t h e s m a l l a m o u n t o f f i e l dd a m p i n g d e s c r i b e d b e f o r e .We t h u s h a v e a c o n f l i c t i n g p r o b l e m . I n t h o s e c a s e s w h e r e K 5

i s n e g a t i v e a n d w h i c h a r e g e n e r a l l y t h e c a s e s i n v o l v i n g s t a b i l i t yp r o b l e m s , a v o l t a g e r e g u l a t o r i s o f m a j o r h e l p i n p r o v i d i n gs y n c h r o n i z i n g t o r q u e s a n d c u r i n g t h a t p a r t o f t h e s t a b i l i t yp r o b l e m . H o w e v e r , i n s o d o i n g i t d e s t r o y s t h e n a t u r a l d a m p i n go f t h e m a c hi n e w h i c h i s s m a l l t o s t a r t w i t h . T h e r e c o u r s e h a sb e e n t o h a v e j u s t e n o u g h r e g u l a t o r g a i n t o p r o v i d e s y n c h r o n i z i n gp o w e r c o e f f i c i e n t w i t h o u t c a n c e l l i n g a l l o f t h e i n h e r e n t m a c h i n e

d a m p i n g .T h i s c a n b e a s a t i s f a c t o r y s o l u t i o n i n m o s t c a s e s ; h o w e v e r ,

t h e r e c a n b e i n s t a n c e s w h e r e s t a b i l i t y i s p r o v i d e d b y t h e r e g u -l a t o r w v i t h v e r y p o o r d a m p i n g , m a k i n g o p e r a t i o n e x t r e m e l y o s c i l -l a t o r y . I n s o m e s p e c i a l c a s e s o f v e r y l o n g l i n e s r e q u i r i n g o p e r a t i o nn e a r t h e l i n e l i m i t , t h e s o l u t i o n i s t o h a v e a f a i r l y h i g h r e g u l a t o rg a i n t o p r o v i d e t h e n e c e s s a r y s y n c h r o n i z i n g p o w e r c o e f f i c i e n t .I n t h e s e c a s e s , o n e e f f e c t i v e w a y t o s o l v e t h e d a m p i n g p r o b l e mi s t o p r o v i d e a s p e c i a l s t a b i l i z i n g s i g n a l d e r i v e d f r o m m a c h i n es p e e d , t e r m i n a l f r e q u e n c y , o r p o w e r .

R e c o g n i z i n g t h a t t h e p r o b l e m o f d a m p i n g c a n b e s o l v e d b ya u x i l i a r y m e a n s r e m o v e s s o m e o f t h e c o n s t r a i n t s p l a c e d o nr e g u l a t o r g a i n . H o w e v e r , a s w a s n o t e d b e f o r e , t h e r e r e m a i n t h er e g u l a t o r g a i n c o n s t r a i n t s e x p l a i n e d i n t h e S e c t i o n R e g u l a t o rG a i n C o n s t r a i n t s . S i n c e t h e r e a r e f i x e d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e

3 2 0


8/8/2019 ABRIL 1969



v a r i a b l e s , s p e e d , t e r m i n a l f r e q u e n c y , a n d p ow e r w h i ch c a n b eu s e d t o r e l a t e t h e r e q u i r e m e n t s o f o n e s i g n a l i n t e r m s o f t h er e q u i r e m e n t s o f a n o t h e r , w e w i l l c o n f i n e o u r a n a l y s i s t o u s e o fs i g n a l s f r o m m a c h i n e r o t o r s p e e d . I t i s r e c o g n i z e d t h a t t h e u s eo f a n y p a r t i c u l a r s i g n a l i n p r e f e r e n c e t o a n o t h e r w i l l d e p e n d o nh a r d w a r e a n d i m p l e m e n t a t i o n c o n s i d e r a t i o n s o u t s i d e t h e s c o p eo f t h i s p a p e r .

S T A B I L I Z I N G S I G N A L S FROM S P E E D

P h a s e a n d M a g n i t u d e R e l a t i o n s

T h e s t a b i l i z i n g s i g n a l r e q u i r e m e n t s t o p r o v i d e d a m p i n g t h r o u g ht r a n s i e n t m a n i p u l a t i o n o f t h e v o l t a g e r e f e r e n c e i n r e sp o n s e t os p e e d c a n b e d e r i v e d a s f o l l o w s . F i g . 1 0 s h o w s t h e e l e m e n t s o ft h e s y s t e m i n q u e s t i o n r e l a t i n g t h e e f f e c t o f s p e e d t h r o u g h t h es t a b i l i z i n g f u n c t i o n G ( S ) t h r o u g h t h e v o l t a g e r e g u l a t o r l o o p sa f f e c t i n g A E q ' , w h i c h p r o d u c e s a c o m p o n e n t o f t o r q u e A T s i g .

T h e q u e s t i o n i s : w h a t s h o u l d b e t h e n a t u r e o f G ( S ) t o p r o v i d ea d e q u a t e d a m p i n g o v e r a w i d e r a n g e o f m a c h i n e a n d s y s t e mp a r a m e t e r s a n d o p e r a t i n g c o n d i t i o n s ?

T h e o v e r - a l l f u n c t i o n b e t w e e n t h e c o m p o n e n t o f t o r q u e p r o -

d u c e d b y t h e s t a b i l i z i n g s i g n a l a n d s p e e d i sA T s i g G ( S ) K 2 K , ( 1 5 )

p s ( 1 / K 3 + K e K 6 ) + S ( T I / K 3 + T d , 1 ) + S 2 T d ' T , (

F o r t h e u s u a l r a n g e o f c o n s t a n t s , t h i s f u n c t i o n c a n b e

a p p r o x i m a t e d b y

A T s i g G ( S ) K 2 K E

p 6 ( 1 / K 3 + K , K 6 ) [ 1 + S ( T d 4 , ' / K , K 6 ) 1 ( 1 + S T E )

F o r l a r g e v a l u e s o f K , i t c a n b e f u r t h e r a p p r o x i m a t e d b y

A T s i g K 2 G ( S ) ( 1 7 )

p 6 K 6 [ 1 + S ( T d , ' / K 6 K , ) ] ( 1 + S T . )

I f w e w i s h A T 8 i g / p b t o p r o v i d e p u r e d a m p i n g t h r o u g h o u t t h ef r e q u e n c y r a n g e , t h e n G ( S ) i d e a l l y s h o u l d b e a p u r e l e a d f u n c t i o nw i t h t w o z e r o s , i . e . , G ( S ) = K ( 1 + S T & ' / K 6 K E ) ( 1 + S T e ) .S u c h a f u n c t i o n i s n o t p h y s i c a l l y r e a l i z a b l e a n d f u r t h e r we d ono t w i s h t o h a v e a p e r m a n e n t s t e a d y - s t a t e e f f e c t o f s p e e d o n

t h e v o l t a g e r e f e r e n c e . H e n c e , t h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o n s h o u l d b es o m e c o m p r o m i s e f u n c t i o n w h i c h p r o v i d e s d a m p i n g o v e r t h es p e c t r u m o f e x p e c t e d f r e q u e n c i e s o f o s c i l l a t i o n , i . e . , a f u n c t i o nw i t h e n o u g h p h a s e l e a d t o c o m p e n s a t e a s i g n i f i c a n t p a r t o f t h ep h a s e l a g c o n t r i b u t e d b y t h e m a c h i n e a n d r e g u l a t o r .

R e v e r t i n g b a c k t o t h e c o n c e p t s o f s y n c h r o n i z i n g a n d d a m p i n gc o m p o n e n t s o f t o r q u e , we n o t e t h e f o l l o w i n g . I f a t a g i v e nf r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n c o , G ( j w ) h a s m o r e l e a d a n g l e t h a n t h el a g a n g l e o f t h e m a c h i n e f u n c t i o n

A T K 2 K e

A e t r e f ( 1 / K 3 + K s K 6 ) + j 1 w ( T I / K 3 + T ' ) - 2w h i c h f o r l a r g e K , i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o

K 2

K G ( 1 + j o T d o ' / K 6 K E ) ( 1 + j c o T , )

( t h i s d i f f e r e n c e b e i n g l e s s t h a n 9 0 0 ) , t h e n i n a d d i t i o n t o t h ed a m p i n g c o m p o n e n t , we h a v e a n e g a t i v e s y n c h r o n i z i n g c o m p o -n e n t , t h e m a g n i t u d e o f t h e s e t w o c o m p o n e n t s b e i n g r e l a t e d t o

t h e s i n e a n d c o s i n e o f t h i s d i f f e r e n c e i n a n g l e . T h a t i s , l e t t h el e a d a n g l e o f G ( S ) b e 6 a t a g i v e n f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n c , a n dt h e l a g a n g l e o f t h e m a c h i n e

r e g u l a t o rf u n c t i o n A

T / I A e r e fb e y a t

t h i s s a m e f r e q u e n c y . T h e n t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t h e s y n -

P s

AT S i g

AEfd

I I A e t C o m p o n e n t

F i g . 1 0 . Component o f t o r q u e p r o d u c e d by v o l t a g e r eg u l a t or a c ti o ni n r e s p o n s e t o a s p e e d - d e r i v e d s i g n a l .

c h r o n i z i n g t o r q u e T s t o d a m p i n g t o r q u e T D a t t h a t f r e q u e n c yp r o d u c e d b y t h e s t a b i l i z i n g s i g n a l i s

T s s i n ( - y - 0 ) ( 1 8 )T D c o s ( , y -0 )

S i n c e i t i s v e r y d i f f i c u l t t o s y n t h e s i z e a f u n c t i o n w h i c h w i l l

p r o v i d e e x a c t a n g l e c a n c e l l a t i o n f o r a l l c o n d i t i o n s , i . e . , h a v i n g0 = y a t a l l p o i n t s , a n d f u r t h e r s i n c e t h e s t a b i l i t y p r o b l e m i so f t e n h e l p e d b y p r o v i d i n g s o m e s y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n t , w ec o m e t o t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s r e l a t i n g t o t h e n a t u r e o f t h es t a b i l i z i n g s i g n a l f u n c t i o n .

1 ) A t l o w f r e q u e n c i e s o f o s c i l l a t i o n w h i c h a r e i n d i c a t i v e o fw e a k s y n c h r o n i z i n g t o r q u e s , o n e s h o u l d s t r i v e t o h o l d 0 l e s st h a n - y , o r i f t h i s i s n o t p o s s i b l e , a t l e a s t k e e p 6 c l o s e t o y . A tt h e s e l o w f r e q u e n c i e s , t h e m a c h i n e r e g u l a t o r f u n c t i o n A T T e / A e th a s s m a l l l a g g i n g p h a s e a n g l e s , h e n c e t h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o ns h o u l d c o r r e s p o n d i n g l y h a v e s m a l l l e a d i n g p h a s e a n g l e s . A s w a sm e n t i o n e d b e f o r e , a m e d i u m - h i g h - r e g u l a t o r g a i n p r o v i d e s s y n -c h r o n i z i n g t o r q u e s t h r o u g h t h e r e g u l a t o r b y v i r t u e o f t h e e f f e c to f a n g l e o n t e r m i n a l v o l t a g e K 5 . H e n c e , w h a t s h o u l d b e a t t e m p t e d

a t t h e l o w - f r e q u e n c y r a n g e i s t o p r o v i d e d a m p i n g w i t h o u ta p p r e c i a b l y h u r t i n g t h e s y n c h r o n i z i n g t o r q u e .2 ) A t t h e h i g h e x t r e m e o f t h e s p e c t r u m o f f r e q u e n c i e s o f

o s c i l l a t i o n , t h e r e i s n o p a r t i c u l a r d a n g e r t o s u b t r a c t i n g f r o m t h es y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n t . A s a m a t t e r o f f a c t , s i n c e t h e m a c h i n er e g u l a t o r f u n c t i o n ' s p h a s e a n g l e b e c o m e s i n c r e a s i n g l y l a g g i n gw i t h i n c r e a s i n g f r e q u e n c y w h e r e a s , b e c a u s e o f h a r d w a r e l i m i -t a t i o n s , t h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o n c e a s e s t o p r o v i d e i n c r e a s i n gp h a s e l e a d s a t t h e s e h i g h e r f r e q u e n c i e s , i t i s n a t u r a l t o e x p e c to t o b e l e s s t h a n y . H o w e v e r , i n t h i s r a n g e o f f r e q u e n c i e s ( y - 0 )s h o u l d n o t b e s o l a r g e a s t o a d d s i g n i f i c a n t l y t o t h e s y n c h r o n i z i n gc o m p o n e n t w i t h i t s a t t e n d a n t e f f e c t o n i n c r e a s i n g t h e f r e q u e n c yo f o s c i l l a t i o n . A s l o n g a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m a c h i n er e g u l a t o r l a g a n d t h e p h a s e l e a d f o r t h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o n i s

w i t h i n ± : 3 0 ' f o r t h e f r e q u e n c y s p e c t r u m o f c o n c e r n , a c c e p t a b l er e s u l t s a r e o b t a i n e d .

S t a b i l i z i n g S i g n a l C o n s t r a i n t s

T h e r e a r e s e v e r a l c o n s t r a i n t s t h a t h a v e t o b e o b s e r v e d w h e np r e s c r i b i n g a s t a b i l i z i n g s i g n a l d e s i g n t h a t w i l l b e p h y s i c a l l yr e a l i z a b l e a n d d e s i r a b l e f r o m o t h e r c o n s i d e r a t i o n s . T h e s e c o n -s i d e r a t i o n s a n d c o n s t r a i n t s a r e a s f o l l o w s .

1 ) T h e s i g n a l s h o u l d n o t p r o d u c e a s t e a d y - s t a t e o f f s e t o fv o l t a g e r e f e r e n c e w i t h f r e q u e n c y h e n c e i t m u s t a p p r o a c h a p u r er a t e s i g n a l a t v e r y l o w f r e q u e n c i e s .

2 ) L e a d f u n c t i o n s c a n o n l y b e r e a l i z e d w i t h l e a d - l a g p a i r s ,a n d t h e r e i s a l i m i t a s t o h o w s m a l l t h e l a g t i m e c o n s t a n t c a n b e .I t i s c o n s e r v a t i v e t o a s s u m e t h a t t h i s l a g t i m e c o n s t a n t c a n n o tb e s m a l l e r t h a n 0 . 0 5 s e c o n d .

3 2 1


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I E E E T R A N S A C T I O N S ON POWER A P P A R A T U S AND S YS T EM S, A P R I L 1 9 6 9

S E A R C H FO R U N I V E R S A L L Y A P P L I C A B L ES T A B I L I Z I N G F U N C T I O N

G e n e r a l A p p r o a c h

T h e i n s i g h t s t h a t h a v e b ee n d e v e l o p e d i n t o t h e p r o b l e m o fp r o v i d i n g d a m p i n g f r o m s t a b i l i z i n g s i g n a l s may c o n v i n c e o n et h a t t h e r e i s n o wa y o f d e v e l o p i n g a u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l e

s t a b i l i z i n g f u n c t i o n t h a t w o u l d b e o p t i m a l f o r a w i d e r a n g e o fm a c h i n e a n d s y s t e m p a r a m e t e r s , a n d o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . How-e v e r , e v e n i f n o t o p t i m a l , i t w o u l d b e h i g h l y d e s i r a b l e t o h a v ea s i g n a l t r a n s f e r f u n c t i o n w h i c h w o u l d p r o v i d e d a m p i n g i n t h o s ec a s e s w h e r e i t w a s b a d l y n ee d e d w i t h o u t d e t e r i o r a t i n g d a m p i n gi n t h o s e i n s t a n c e s w h e r e t h e r e w a s n o p a r t i c u l a r n e e d f o r p r o -v i d i n g s u p p l em e nt a r y d a m p i n g .

T h e s i n g l e m a c h i n e a g a i n s t i n f i n i t e b u s a n a l y s i s o u t l i n e d i nt h i s p a p e r h a s b e e n u s e d t o e x p l o r e a v a r i e t y o f c o n d i t i o n s o f a

s i n g l e m a c h i n e w i t h d i f f e r e n t p a r a m e t e r s a n d l o a d i n g c o n d i t i o n s .F o r e a c h o f t h e s e c o n d i t i o n s t h e r e a r e a n y n u m b e r o f f u n c t i o n sw h i c h p r o v i d e a d e q u a t e d a m p i n g s i m p l y b y h a v i n g t h e r i g h tr a n g e o f m a g n i t u d e a n d p h a s e a t t h e p a r t i c u l a r f r e q u e n c y o fo s c i l l a t i o n o f c o n c e r n .

By e x a m i n i n g t h e p h a s e a n d m a g n i t u d e o f t h e s e f u n c t i o n s a sr e l a t e d t o t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n t h a t w a s p e r t i n e n t f o r t h ep a r t i c u l a r c a s e , w e a r r i v e a t b a n d s o f p h a s e a n g l e s a n d m a g n i -t u d e s a s f u n c t i o n s o f f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n . I t t u r n s o u t t h a tt h i s b a n d f a l l s w i t h i n r a n g e s f o r w h i c h a g e n e r a l f u n c t i o n w i t ha r a t h e r w e l l d e f i n e d r a n g e o f p a r a m e t e r s s e r v e s r e a s o n a b l y w e l l .

H e u r i s t i c r e a s o n i n g p e r m i t s c a s t i n g t h e r e s u l t s o f t h i s s i n g l em a c h i n e a n a l y s i s t o t h e g e n e r a l m u l t i m a c h i n e c a s e . I t i s k n o w nt h a t i n a m u l t i m a c h i n e s i t u a t i o n t h e r e i s a w i d e b a n d o f m o d e so f o s c i l l a t i o n r a n g i n g f r o m t h o s e b e t w e e n t i g h t l y c o u p l e d l i g h tm a c h i n e s t o t h o s e b e t w e e n g r o u p s o f m a c h i n e s s e p a r a t e d b yl o n g t i e s . I t i s r e a s o n a b l e t h e n t o e x p e c t t h a t t o b e e f f e c t i v e i nt h e g e n e r a l p o w e r s y s t e m e n v i r o n m e n t , t h e s t a b i l i z i n g s i g n a l o n

a n y g i v e n m a c h i n e m u s t a c c o n m m o d a t e t h i s w i d e r a n g e o f p o s s i -

b i l i t i e s . F u r t h e r , f r o m a p r a c t i c a l s t a n d p o i n t , i t i s e s s e n t i a l t h a tt h e r a n g e o f a d j u s t m e n t n o t b e c r i t i c a l s i n c e s y s t e m s c h a n g e f r o mm o n t h t o m o n t h a s d o o p e r a t i n g c o n d i t i o n s .

R a n g e o f S i n g l e M a c h i n e C a s e s S t u d i e d

T h e p a r a m e t e r s K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , a n d K 6 , d e f i n e d i n t h eA p p e n d i x , w e r e c a l c u l a t e d f o r a n u m b e r o f c a s e s .Two s y s t e m c o n f i g u r a t i o n s w e r e s t u d i e d . O n e w a s d e s c r i b e d

b y a s i n g l e m a c h i n e s u p p l y i n g a n i n f i n i t e b u s t h r o u g h a n e x t e r n a li m p e d a n c e , F i g . 1 1 ( a ) . T a b l e I d e s c r i b e s a l l t h e d i f f e r e n t c o m b i -n a t i o n s o f p a r a m e t e r s a n d l o a d i n g e x p l o r e d w i t h t h i s s y s t e mc o n f i g u r a t i o n .

T h e m a c h i n e c o n s t a n t s t h a t w e r e u s e d a r e

H y d r o S t e a m

X d 1 . 1 4 1 . 6X d 0 . 2 4 0 . 3 2

X q 0 . 6 6 1 . 5 5

T d o ' 1 2 6

T h e se c o n d c o n f i g u r a t i o n a t t e m p t i n g t o s i m u l a t e t h e c o n d i t i o no f a s y s t e m s u p p l y i n g l o c a l l o a d c o n n e c t e d t o a l a r g e s y s t e mt h r o u g h a w e a k t i e i s s h o w n o n F i g . 1 1 ( b ) .

T a b l e I I l i s t s t h e d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s o f p a r a m e t e r s e x -

p l o r e d f o r t h i s c o n f i g u r a t i o n .

Xe

( a )

( b )F i g . 1 1 . E x t e r n a l i m p e d a n c e s y s t e m c o n f i g u r a t i o n i s f o r s i n g l e

m a c h i n e a g a i n s t i n f i n i t e b u s .

TABLE IS I N G L E MACHINE A G A I N S T I N F I N I T E Bus T H R O U ( C H EXTERNAL

REACTANCE-TERMINAL VOLTAGE = 1 . 0

E x t e r n a l

M l a c h i n e I n e r t i a R e a c t a n c e M a c h i n i e L o a d i n i gT y p e H X e P +jQ

H y d r o , 1 . 5 , 5 0 . 1 , 0 . 4 , 0 . 1 + j O , 0 . 5 + j O ,s t e a m 0 . 7 , 1 . 0 1 + j O . 5 , 1 + j O ,

1 -jO.5

TABLE I I

E x t e r n a lM a c h i n e I n e r t i a I m p e d a n c e M a c h i n e L o a d i n g

T y p e H XE RE P +jQ

S t e a m , 1 . 5 , 5 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 + j O ,h y d r o 1 . 5 + j O . 3 ,

1 . 5 - j O . 3 ,0 . 5 + j O . 3 ,0 . 5 - j O . 3

5 . 0 1 . 0 1 . 0 + j O ,1 . 2 + j O . 1 ,1 . 2 - j O . 1 ,0 . 8 + j O . 3 ,0 . 8 - j O . 3

G u i d e R u l e s f o rR e q u i r e m e n t s

S t a b i l i z i n g F u n c t i o n P h a s e a n d M i l a g n i t u d e

A s d e v e l o p e d i n t h e S e c t i o n P h a s e a n d M a g n i t u d e R e l a t i o n s ,t h e l e a d p h a s e a n g l e o f t h e s i g n a l G ( S ) a t a p a r t i c u l a r o s c i l l a t i o nf r e q u e n c y w r e q u i r e d t o p r o v i d e p u r e d a m p i n g a t t h a t f r e q u e n c yw o u l d b e e q u a l t o t h e p h a s e l a g o f t h e e x p r e s s i o n

AT K 2 K ,A e t r e f 1 / K 3 + K e K 6 + S ( T I / K 3 + T d o ' ) + S 2 T d o ' T (

T h e p h a s e a n g l e o f ( 1 9 ) a s w e l l a s t h e r e c i p r o c a l o f i t s m a g n i t u d eA f o r t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n w = V / K 1 3 7 7 / 1 M r a d i a n s w a sc a l c u l a t e d f o r t h e v a r i o u s c a s e s l i s t e d a b o v e u s i n g t h e e x p r e s s i o n sf o r t h e c o e f f i c i e n t s K 1 t o K 6 i n t h e A p p e n d i x .

A s f a r a s a c r i t e r i o n f o r t h e r e q u i r e d m a g n i t u d e o f t h e s i g n a li s c o n c e r n e d , w e c o u l d a r b i t r a r i l y s e l e c t a m a g n i t u d e o f t h i ss i g n a l t h a t w o u l d r e s u l t i n a d a m p i n g r a t i o o f 0 . 5 .

R e f e r r i n g t o t h e t o r q u e - a n g l e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n

S2+ (D/M)S+ ( K 1 3 7 7 / M ) = 0

3 2 2

( 1 )


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IEEE TRANSACTIONS ON P O W V E R APPARATUS AND SYSTEMS, APRIL 1 9 6 9

K f T = o K / T = 5 K / T = i o K / T 2 0 K / T=O K / T = 1 I K / T . 2 0 K / T = 3 0

L o S HJ~. = 1-.5 . - . A V P w A j v v = - N A A - A A H 5

5 - - - b ~ - - 1 H = 5

( a ) ( b )

K i T = 1 O 0 K / T = K 5 K /T = KT 3 0 K / T = 10 K T = 1 5 K / T ' 2 0 K / T = 3 0

.T -

HH= 1 . 5 -- * - H =5 -- O

( a ) ( b )K / T = O . K 4 = I O K / T g O K / T = 3 0 K / r = O K / T = O K / T = 2 0

H= 1 . 5-- H= 5

4 S E C

( C )

For ( a ) and ( b ) :

( d )

S t a b i l i z i n g F u n c t i o n

KS(1 + S/ 8 + S 2 / 6 4 )

( 1 + TS)(1 + S/20 + S 2 / 4 0 0 )

Fo r ( c ) and ( d ) T = 3 s e c o n d s :

KS(1 + S / 8 ) 2

( 1 + T S ) ( 1 + S/10 + S 2 / 4 0 0 ) 2

Xe = 0 . 1 , P + j Q = 1 . 0 + j 0 . 5 ,

Ki = 1 . 0 1 , K2 = 1 . 1 4 9 , K3 = 2 . 7 8 ,

K4 = 1 . 4 7 , KG = - 0 . 0 9 7 , K6 = 0 . 4 1 9 .

F i g . 1 4 . S p e e d d e v i a t i o n s o f a s t e a m u n i t f o l l o w i n g a s m a l l s t e pd e c r e a s e i n m e c h a n i c a l t o r q u e . E f f e c t o f s t a b i l i z i n g w i t h s p e e d -d e r i v e d s i g n a l . C o n d i t i o n s : r e g u l a t o r - e x c i t e r g a i n K e = 2 5 , T 4 =0 . 0 5 s e c o n d .

c a t e s t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n o f c o n c e r n . K 5 b y i t s s i g n a n dm a g n i t u d e i n d i c a t e s t h e e x t e n t t o w h i c h t h e v o l t a g e r e g u l a t o rp e r s e h e l p s o r h i n d e r s d a m p i n g . F i n a l l y , K 6 , a s e x p l a i n e d i n t h eS e c t i o n V o l t a g e R e g u l a t o r E f f e c t s o n M a c h i n e S t a b i l i t y , i n f l u e n c e st h e p h a s e l a g c o n t r i b u t e d b y t h e v o l t a g e r e g u l a t o r l o o p .

F i g . 1 4 ( a ) a n d ( b ) s h o w s t h e e f f e c t s o f s t a b i l i z i n g w i t h v a r i o u s

s t r e n g t h s o f t h e c o m p l e x f u n c t i o nKS(1+ S/8+S 2 / 6 4 )

( 1 + 3 S ) ( 1 + S / 2 0 + S 2 / 4 0 0 )

f o r t h e c a s e o f a f u l l y l o a d e d o v e r e x c i t e d s t e a m u n i t s u p p l y i n ga s t i f f s y s t e m ( X 0 = 0 . 1 ) . C a s e s a r e s h o w n f o r i n e r t i a c o n s t a n t so f H = 1 . 5 a n d H = 5 . 0 . A l l p e r t i n e n t c o n s t a n t s a r e l i s t e d i nt h e c a p t i o n s .

F i g . 1 4 ( c ) a n d ( d ) c o n t a i n s s i m i l a r r e s u l t s f o r t h e c a s e w h e r et h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o n i s c o m p o s e d o f r e a l p o l e s a n d z e r o s

KS ( 1 + S / 8 ) 2( 1 + 3 S ) ( 1 + S / 2 0 ) 2

T a b l e I I I l i s t s t h e v a l u e s o f c w , A M 1 wL 4 , a n d S L 0 f o r t h ev a r i o u s c a s e s o f F i g . 1 4 .

T h e s e v a l u e s s h o w t h a t f o r t h e l i g h t i n e r t i a c a s e s [ F i g . 1 4 ( a )a n d ( c ) ] , t h e f i r s t o f t h e s t a b i l i z i n g f u n c t i o n s i s m o r e e f f e c t i v et h a n t h e s e c o n d , a n d t h i s i s c o n f i r m e d b y t h e a n a l o g c o m p u t e rr e s u l t s .

F i g . 1 5 c o n t a i n s r e s u l t s o f s i m i l a r n a t u r e f o r t h e c o n f i g u r a t i o no f l o c a l l o a d w i t h h i g h t i e r e a c t a n c e ( R E = 1 , XE = 5 ) w i t h a

r e l a t i v e l y h i g h t i e l o a d i n g o f 0 . 2 + j O . 1 .T h e t w o s t a b i l i z i n g f u n c t i o n s a r e a l m o s t e q u a l l y e f f e c t i v e .

T h i s r a t h e r e x t r e m e l o a d i n g c a s e s h o w s t h a t i t i s p o s s i b l e t os t a b i l i z e w i t h a v o l t a g e r e g u l a t o r a n d s u p p l e m e n t a r y s p e e ds i g n a l e v e n t h o u g h t h e c o n s t a n t f l u x l i n k a g e s y n c h r o n i z i n gc o e f f i c i e n t K 1 i s n e g a t i v e .

K / T = 10 K , T = 1 5 K T = o 2 0 K / T r 3 0 K / T = I O KT= 1 5 K / T 2 0 K / T . 3 0

* 4 H = 1 . 5 * 0 -4 H = 5 - - 4

4 SEC

( c ) ( d )S t a b i l i z i n g F u n c t i o n

Fo r ( a ) and ( b ) :

KS(1 + S/ 8 + S 2 / 6 4 )

( 1 + TS)(1 + S/20 + S 2 / 4 0 0 )

Fo r ( c ) and ( d ) :

KS(1 + S / 8 ) 2

( 1 + T S ) ( 1 + S / 2 0 ) 2

T = 3 s e c o n d s

RE = 1 . 0 , XE = 5 . 0 , P + j Q = 1 . 2 + j 0 . 1 ,

K=- 0 . 1 9 1 , K2 = 2 . 3 5 , Ka = 2 . 2 2 7 ,K4 = 0 . 0 4 6 , K5 = - 0 . 1 3 6 , K6 = 1 . 0 6 2 .

F i g . 1 5 . S p e e d d e v i a t i o n o f a s t e a m u n i t f o l l o w i n g a sm a l l s t e pd e c r e a s e i n m e c h a n i c a l t o r q u e . E f f e c t o f s t a b i l i z i n g w i t h s p e e d -d e r i v e d s i g n a l . C o n f i g u r a t i o n o f F i g . 1 1 ( b ) . C o n d i t i o n s : r e g u l a t o r -e x c i t e r g a i n K e = 2 5 , T f = 0 . 0 5 s ec on d.

TABLE I I I

c o AMw / O S Z f o r K =6 0

F i g . 1 4 ( a ) 1 1 . 2 7 8 1 . 4 Z 9 8 0 5 0 Z 8 6 0

F i g . 1 4 ( b ) 6 . 1 7 8 1 . 8 / 8 0 . 3 0 1 8 / 4 4 . 5 0

F i g . 1 4 ( c ) 1 1 . 2 7 8 1 . 4 Z 9 8 0 5 0 / 5 2 0

F i g . 1 4 ( d ) 6 . 1 7 8 1 . 8 L 8 0 . 3 0 2 9 L 4 4 0

I n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e e f f e c t o f v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n o nd a m p i n g , w e h a v e i n c l u d e d i n F i g . 1 6 ( a ) a n d ( b ) r e s u l t s o fa n g l e d e v i a t i o n s f o r a s t e p c h a n g e i n m e c h a n i c a l t o r q u e f o r t h ec a s e w h e r e n o s t a b i l i z i n g i s u s e d . F i g . 1 6 ( c ) i s f o r a c a s e w h e r et h e p a r a m e t e r K s i s p o s i t i v e , l e a d i n g t o s o m e b e n e f i t i n d a m p i n gw i t h v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n , w h e r e a s F i g . 1 6 ( b ) s h o w s t h ea d v e r s e e f f e c t s o f v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n o n d a m p i n g f o r t h e c a s ew h e r e K 5 i s n e g a t i v e .

C O N C L U S I O N

T h e s m a l l p e r t u r b a t i o n s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f a s i n g l em a c h i n e s u p p l y i n g a n i n f i n i t e b u s t h r o u g h e x t e r n a l i m p e d a n c eh a v e b e e n e x p l o r e d b y m e a n s o f f r e q u e n c y r e s p ons e a n a l y s e sg i v i n g i n s i g h t s i n t o e f f e c t s o f m a c h i n e a n d s y s t e m p a r a m e t e r s ,

v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n , a n d s t a b i l i z i n g f u n c t i o n s d e r i v e d f r o ms p e e d a n d w o r k i n g t h r o u g h t h e v o l t a g e r e f e r e n c e o f t h e v o l t a g er e g u l a t o r .

T h e s t u d y h a s e x p l o r e d a v a r i e t y o f m a c h i n e l o a d i n g s , m a c h i n ei n e r t i a s , a n d s y s t e m e x t e r n a l i m p e d a n c e s w i t h a d e t e r m i n a t i o no f t h e o s c i l l a t i o n a n d d a m p i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f v o l t a g e o r s p e e df o l l o w i n g a s m a l l d i s t u r b a n c e i n m e c h a n i c a l t o r q u e . An a t t e m p th a s b e e n m a d e t o d e v e l o p s o m e u n i f y i n g c o n c e p t s t h a t e x p l a i nt h e s t a b i l i t y p h e n o m e n a o f c o n c e r n , a n d t o p r e d i c t d e s i r a b l ep h a s e a n d m a g n i t u d e c h a r a c t e r i s t i c s o f s t a b i l i z i n g f u n c t i o n s .

3 2 4


8/8/2019 ABRIL 1969



K S c - K E = 25 K E = 50 K E =100

AB \

4 SEC

t

( a )

3 ) A s t a b i l i z i n g f u n c t i o n o p e r a t i n g o n s p e e d a n d d e v e l o p i n ga t r a n s i e n t o f f s e t o f v o l t a g e r e g u l a t o r r e f e r e n c e c a n b e s e l e c t e dt o b e c l o s e t o u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l e f o r a w i d e r a n g e o f m a c h i n ea n d s y s t e m p a r a m e t e r s . T h i s f u n c t i o n c o u l d b e o f t h e f o r m

A e t r e f ( p u )

p a ( p u )KS(1 + S T 1 ) 2

(1 + ST)(l+ S T 2 ) 2

w h e r eK E =25

KC37J2g

Xe = 0 . 4 , P +jQ = 0 . 5 + j O , H = 5 ,

K 1 = 1 . 0 5 , K2 = 1 . 0 7 , K 3 = 2 . 7 8 ,

K4 = 1 . 3 7 , K1 = 0 . 0 5 4 4 , K6 = 0 . 4 3 9 .

X 6 = 0 . 4 , P + jQ = 1 . 0 - j O . 5 , H = 5 ,

K 1 = 1 . 1 8 , K2 = 1 . 7 3 , K3 = 2 . 7 8 ,

K4 =2 . 2 1 , K5 = - 0 . 2 5 5 , K6 = 0 . 0 8 0 .

F i g . 1 6 . A n g l e d e v i a t i o n s o f a steam u n i t f o l l o w i n g a s m a l l s t e pd e c r e a s e i n m e c h a n i c a l t o r q u e . E f f e c t o f v o l t a g e r e g u l a t o r - e x c i t e rg a i n K , a t tw o d i f f e r e n t l o a d i n g c o n d i t i o n s .

I t i s e v i d e n t t h a t f o r every c o m b i n a t i o n o f m a c h i n e a n ds y s t e m p a r a m e t e r s , a n d l o a d i n g c o n d i t i o n s , t h e r e are a v a r i e t yo f s t a b i l i z i n g s i g n a l t r a n s f e r f u n c t i o n s o p e r a t i n g on s p e e d w h i c h

g i v e e s s e n t i a l l y t h e r i g h t p h a s e a n d m a g n i t u d e r e l a t i o n f o r t h ef r e q u e n c y o f concern. I t i s a c h a l l e n g e , h o w e v e r , t o f i n d a

u n i v e r s a l f u n c t i o n w h i c h w o u l d b e a d e q u a t e f o r t h e w h o l e

s p e c t r u m o f p o s s i b i l i t i e s . B y e x a m i n i n g t h i s s p e c t r u m o f p o s s i -b i l i t i e s over a c r e d i b l e b a n d o f m a c h i n e a n d s y s t e m p a r a m e t e rv a l u e s , as w e l l as l o a d i n g c o n d i t i o n s , i t appears t h a t a f a i rc o m p r o m i s e f u n c t i o n c a n b e r e c o m m e n d e d t h a t w i l l b e a l m o s t

u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l e .I n t h e g e n e r a l case o f a m a c h i n e i n a p ow e r s y s t e m , t h e r e a re

many m o d e s o f o s c i l l a t i o n b e t w e e n m a c h i n e s a n d groups o fm a c h i n e s ; t h e s e m o d e s c a n c h a n g e f r o m d a y t o d a y w i t h l o a d i n gc o n d i t i o n s a n d f r o m year t o year w i t h c h a n g e s i n power s y s t e mc o n f i g u r a t i o n . A c c o r d i n g l y , t h e s e ar c h f o r a u n i v e r s a l l y a p p l i c a b l es t a b i l i z i n g f u n c t i o n h a s a g r e a t d e a l o f m e r i t .

F o r a t h y r i s t o r - t y p e e x c i t a t i o n s y s t e m s c h a r a c t e r i z e d b y a

t i m e c o n s t a n t i n t h e n e i g h b o r h o o d o f or s m a l l e r t h a n 0 . 0 5

s e c o n d , c e r t a i n g e n e r a l c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s ca n

b e m a d e t o cov er t h e m a j o r i t y o f a p p l i c a t i o n s . T h e s e a re as

f o l l o w s .1 ) A t r a n s i e n t v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n o f a b o u t 2 5 pu A E f d / p u .

A e t i s a g o o d c o m p r o m i s e f o r a m a c h i n e w i t h a n o p e n - c i r c u i tt i m e c o n s t a n t T d , ' = 6 . An e x a m i n a t i o n o f t h e b l o c k d i a g r a mr e l a t i o n s a n d t h e c o n s t r a i n t s s e t b y v o l t a g e r e g u l a t o r l o o pd a m p i n g on open c i r c u i t c o n v i n c e s us t h a t t h e m o s t d i r e c t way

o f c o m p e n s a t i n g f o r d i f f e r e n c e s i n m a c h i n e o p e n - c i r c u i t t i m e

c o n s t a n t i s t o vary t h e t r a n s i e n t v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n i n d i r e c tp r o p o r t i o n t o t h i s t i m e c o n s t a n t .

2 ) T h e t r a n s i t i o n f r o m s t e a d y - s t a t e g a i n t o t r a n s i e n t g a i nc a n b e o b t a i n e d w i t h r a t e f e e d b a c k f r o m e x c i t e r v o l t a g e or w i t h

a l a g - l e a d n e t w o r k ( 1 + T 2 S ) / ( 1 + T I l S ) i n s e r i e s w i t h t h e

r e g u l a t o r w h e r e T 2 / I T 1 = ( t r a n s i e n t g a i n ) / ( s t e a d y - s t a t e g a i n )a n d

T 2s h o u l d b e

l a r g e rt h a n 1 s e c o n d .

T 2to4

T 1 0 . 1 t o 0 . 2

T 2 0 . 0 5

K / T l O t o 4 0 .

T h i s f u n c t i o n u s u a l l y p r o v i d e s a s i g n i f i c a n t a m o u n t o f d a m p i n gt o t h e r o t o r a n g l e o s c i l l a t i o n s . I t s h o u l d n o t b e c o n c l u d e d ,h o w e v e r , t h a t o t h e r f u n c t i o n s a r e n o t e q u a l l y o r b e t t e r s u i t e df o r p a r t i c u l a r c a s e s , o r t h a t s t a b i l i z i n g i s m a n d a t o r y i n a l l c a s e s .N o r m a l d a m p i n g f o r c e s p r o v i d e d b y l o a d c h a r a c t e r i s t i c s a n da m o r t i s s e u r s a r e e n t i r e l y a d e q u a t e i n many i n s t a n c e s .

4 ) T h e r e a p p e a r s t o b e s o m e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s t r e n g t ho f t h e s i g n a l r e q u i r e d a n d t h e i n e r t i a o f t h e m a c h i n e . F r o me x a m i n a t i o n o f s e v e r a l s e t s o f r u n s w h e r e t h e o n l y d i f f e r e n c ew a s i n e r t i a , w e c o n c l u d e t h a t t h e s t r e n g t h o f t h e s i g n a l s h o u l dv a r y a p p r o x i m a t e l y a s t h e s q u a r e r o o t o f i n e r t i a .

5 ) T h e n e e d f o r s t a b i l i z i n g i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d e -p e n d e n c e o n t h e e x c i t a t i o n t o p r o v i d e s y n c h r o n i z i n g p o w e rt h r o u g h a h i g h r e s p o n s e e x c i t a t i o n s y s t e m .

T h e s e c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s h a v e b e e n c h e c k e do u t i n d e t a i l e d d i g i t a l m u l t i m a c h i n e s i m u l a t i o n s . Among s e v e r a lp ro b le ms b e in g p r e s e n t l y s t u d i e d a r e t h e d y n a m i c s u n d e r l a r g ed i s t u r b a n c e s a n d d e s i g n r e q u i r e m e n t s o f s i g n a l l i m i t i n g . A l s ob e i n g s t u d i e d a r e t h e r e l a t i v e m e r i t s o f s t a b i l i z i n g w i t h t e r m i n a lf r e q u e n c y o r w i t h a s i g n a l d e r i v e d f r o m e l e c t r i c a l p o w e r i n s t e a d

o f s p e e d .

A P P E N D I X

F o r a m a c h i n e c o n n e c t e d t o a n i n f i n i t e b u s w i t h v o l t a g e Et h r o u g h a n e x t e r n a l i m p e d a n c e r 6 + j X 6 , F i g . 1 1 ( a ) , a s s u m i n ga s n e g l i g i b l e a m o r t i s s e u r e f f e c t s , a r m a t u r e r e s i s t a n c e , a r m a t u r e

p , t e r m s , a n d s a t u r a t i o n , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s a p p l y .

et==2 + e 2

- e d = 4 j b q = - X q i q

e , q = { l d = E q ' - X d ' i d

E 1=

E 8 ' + ( X e - X d ' ) i dTe = E q i q

i d = [Eq-E c o s 1 E { [ Xe+ X ] / [ r e 2 + ( X e + X q ) 2 ] }

-Es i n b { r 6 / [ r 2 + ( X e + X q ) 2 ] }

i q [ - E q -Ecos 8 ] { r e / [ r . 2 + ( X e + X 2 ) 2 ] }

+ E s i n 6 { [ X e + X g ] / [ r e 2 + ( X e + X . ) 2 ] }

E J q ' = X a d I f d - ( X d -d ' ) i d

T i ' ( d E q ' / d t ) =Efd - X a l f d

Tm - T e= ME d

( p b ) / d t ] .

K E = O

AB

K c e - 6 . 2 5

4 SEC

t(b( b )

Fo r ( a ) :

Fo r ( b ) :

3 2 5


8/8/2019 ABRIL 1969


IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS, APRIL 1 9 6 9

E x p r e s s i n g a l l e q u a t i o n s i n s m a l l o s c i l l a t i o n f o r m a n d p r e - F o r t h e s p e c i a l c a s e o f z e r o e x t e r n a l r e s i s t a n c e , t h e e x p r e s s i o n ss e r v i n g t h e b a s i c v a r i a b l e s A e 1 , A E q ' , a n d A b , o n e c a n d e r i v e b e c o m et h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s . -

A e t = K 5 A 6 + K 6 A E E q '

SE K 3 / A E f d K 3 K 4 A 3Q

1 + S T d o ' K 3 1 + S T d O ' K 3A T e = K 1 / A + K2A E q '

w h e r e

E = E sK ,= ~~[re s i n 6 , o + ( X e . + X d ' ) C O S 8 0 ]

A

i g . E o± aE(Xq- X d ' ) ( X e + X q ) s i n6 8

A

- r e ( X q - d ' ) C OS b o ]

K2 = [ r - E o + q o (+ ( X e + X q ) ( X q -X d ' ) )

1 K 3 = [1 + ( X e + X q ) ( X d X d - ) }

4 = (Xd Xd)[ ( X e +X q ) s i n O . -e c o s b o ]

K5=d o X r e E o s i n 6 . + ( X e + Xd ) 0 E o C o s0o

e t , A

e q o X t [ r e E o c o s 5- ( X e +X q ) E o s i n 8o1

eeo dl_ (X e+Xq) ed o r e

e t o A e t , A

A=[ r .2+ (Xe+d ' ) (X+Xe)].

T h e s t e a d y - s t a t e o p e r a t i n g v a l u e s o f 8 6 , E g o E O , e & , , a n d e . ,a r e d e r i v e d f r o m t h e s t a n d a r d m a c h i n e v e c t o r d i a g r a m . E x -p r e s s e d as a f u n c t i o n o f s t e a d y - s t a t e t e r m i n a l v o l t a g e e t o , a n ds t e a d y - s t a t e r e a l a n d r e a c t i v e l o a d c u r r e n t s I p a n d I q o , t h e s e

v a l u e s a re

Eq o = ( e t O + IqoXq)2 +( I p o X q ) 2

E= ( e t , -I n o r e-I q o X e ) 2 + ( I p o X e-I q o r e ) 2

sin = e t o l p o(Xq+X e ) -r e X q ( I l P 2 + I q o 2 )E q o E o

e t o ( e t o - I q o ( X q -X e ) -I p o r e ) X e X q ( I p o 2 + I q o 2 )COS 8 0 =--

E q o E o E q o E o

i q o = [ I p o ( e t o + I q X q ) -I g o l p o X g ] / E q o

i d o = [ I p o 2 X q + I q o ( e t o + I q o X q ) ] / E q o

e g o = [ ( e t o + q o X q ) / E q o ] e t o

e do= i q o X q .

KAq- Ad.ido l 2 P o C O S 0 0

K = X e + X d O Xe +Xq

E . s i n 6 0K2=

Xe + X d '

K 3 = X d + x e

Xd + Xe

Xd - X d 'K 4 = - , E O , s i n 6 0

Xe + Xd

K O = x 9 e d E o-cos6- X d -e E s i n ° 0X e , + X q e t . X e , + X d ' e t , 0

K 6 = X e e q o

= X e + X d ' e t '

T h e c o n f i g u r a t i o n o f F i g . 1 1 ( b ) i s c o n l v e r t e d t o t h e f o r m o fF i g . 1 1 ( a ) b y m a k i n g a T h e v e n i n e q u i v a l e n t w h e r e

r e = R E X 2 1 / ( R E 2 + X E 2 )a n d

X e = R B X E B ( R E 2 + X E 2 ) .

N O M E N C L A T U R E

A l l q u a n t i t i e s i n pe r u n i t o n m a c h i n e b a s e .

d , i q a r m a t u r e c u r r e n t , d i r e c t a n d q u a d r a t u r e a x i s com-

p o n e n t se d , e q a r m a t u r e v o l t a g e , d i r e c t a n d q u a d r a t u r e a x i s c o m -

p o n e n t se t t e r m i n a l v o l t a g eE q ' v o l t a g e p r o p o r t i o n a l t o d i r e c t a x i s f l u x l i n k a g e sE f d g e n e r a t o r f i e l d v o l t a g e ( o n e p e r u n i t i s t h e v a l u e f o r

1 p e r u n i t t e r m i n a l v o l t a g e o n t h e a i r g a p l i n e , o p e nc i r c u i t )

X e , XE e q u i v a l e n t s y s t e m r e a c t a n c e s

R E s y s t e m s h u n t r e s i s t a n c eS L a p l a c e o p e r a t o r , o r m a g n i t u d e o f s t a b i l i z i n g s i g n i a l8 a n g l e b e t w e e n q u a d r a t u r e a x i s a n d i n f i n i t e b u sp 8 pe r u n i t s p e e d d e v i a t i o n f r o m s y n c h r o n o u sT e e l e c t r i c a l t o r q u eH i n e r t i a c o n s t a n t , s e c o n d s1 1 1 i n e r t i a c o e f f i c i e n t = 2 H , s e c o n d s

D d a m p i n g c o e f f i c i e n tE i n f i n i t e b u s v o l t a g e .

S u b s c r i p t o m e a n s s t e a d y - s t a t e v a l u e .P r e f i x A i n d i c a t e s s m a l l c h a n g e .

R E F E R E N C E S

[ 1 ] F . P . d e M e l l o , D . N . E w a r t , a n d M. T e m o s h o k , " S t a b i l i t y o fs y n c h r o n o u s m a c h i n e s a s a f f e c t e d b y e x c i t a t i o n s y s t e m s , m a -c h i n e a n d s y s t e m p a r a m e t e r s , " P r o c . A m e r i c a n P o w e r C o n f . ,v o l . X X V I I , pp . 1 1 5 0 - 1 1 5 9 , 1 9 6 5 .

[ 2 ] D . N . E w a r t a n d F . P . d e M e l l o , "A d i g i t a l c o mp u t e r p r o g r a mf o r t h e a u t o m a t i c d e t e r m i n a t i o n o f d y n a m i c s t a b i l i t y l i m i t s , "IEEE T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . P A S - 8 6 , p p .8 6 7 - 8 7 5 , J u l y 1 9 6 7 .

[ 3 1 D . N . E w a r t a n d F . P . d e M e l l o , " F A C E , a d i g i t a l d y n a m i ca n a l y s i s p r o g r a m , " p r e s e n t e d a t t h e P o w e r I n d u s t r y C o m p u t e r

A p p l i c a t i o n C o n f e r e n c e , P i t t s b u r g h , P a . , May 1 5 - 1 7 , 1 9 6 7 .

3 2 6


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D E M E I , 1 . O AND CONCORDIA: SYNCHRONOUS MACHINE STABILITY AND EXCITATION CONTROL

A E r + K t L V f I I + S 0 2 2 A S t1 + 5015 I + S 5 I +S046

F i g . 1 7 . T y p i c a l t r a n s f e r f u n c t i o n f o r h y d r o g e n e r a t o r o n o p e nc i r c u i t i n c l u d i n g a m o r t i s s e u r e f f e c t s .

TM

F i g . 1 8 . S y nc h r on ou s m a ch i n e a n d e x c i t a t i o n s y s t e m .

[ 4 ] J . M. U n d r i l l , " D y n a m i c s t a b i l i t y c a l c u l a t i o n s f o r a n a r b i t r a r yn u m b e r o f i n t e r c o n n e c t e d s y n c h r o n o u s m a c h i n e s , " IEEE T r a n s .P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . P A S - 8 7 , p p . 8 3 5 - 8 4 4 , M a r c h1 9 6 8 .

[ 5 ] M . S . D y r k a c z , C . C . Y ou ng , a n d F . J . M a g i n n i s s , "A d i g i t a lt r a n s i e n t s t a b i l i t y p r o g r a m i n c l u d i n g t h e e f f e c t s o f r e g u l a t o r ,e x c i t e r , a n d g o v e r n o r r e s p o n s e , " AIEE T r a n s . P o w e r A p p a r a t u sa n d S y s t e m s ) , v o l . 7 9 , p p . 1 2 4 5 - 1 2 5 7 , 1 9 6 0 ( F e b r u a r y 1 9 6 1 s e c . ) .

[ 6 ] P . L . D a n d e n o , A . N . K a r a s , K . R . M c C l y m o n t , a n d W.W a t s o n , " E f f e c t o f h i g h - s p e e d r e c t i f i e r e x c i t a t i o n s y s t e m s o ng e n e r a t o r s t a b i l i t y l i m i t s , " IEEE T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n dS y s t e m s , v o l . P A S - 8 7 , p p . 1 9 0 - 2 0 1 , J a n u a r y 1 9 6 8 .

[ 7 1 F . R . S c h l e i f , H . D . H u n k i n s , G . E . M a r t i n , a n d E . E . H a t t a n ," E x c i t a t i o n c o n t r o l t o i m p r o v e p o w e r l i n e s t a b i l i t y , " IEEET r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . P A S - 8 7 , p p . 1 4 2 6 -1 4 3 4 , J u n e 1 9 6 8 .

[ 8 ] C . C o n c o r d i a , " S t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y o f s y n c h r o n o u s m a c h i n e sa s a f f e c t e d b y v o l t a g e r e g u l a t o r c h a r a c t e r i s t i c s , " AIEE T r a n s . ,v o l . 6 3 , p p . 2 1 5 - 2 2 0 , Ma y 1 9 4 4 .

[ 9 ] W . G . H e f f r o n a n d R . A . P h i l l i p s , " E f f e c t o f m o d e r n a m p l i d y n ev o l t a g e r e g u l a t o r s o n u n d e r e x c i t e d o p e r a t i o n o f l a r g e t u r b i n eg e n e r a t o r s , " AIEE T r a n s . ( P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s ) .v o l . 7 1 , p p . 6 9 2 - 6 9 7 , A u g u s t 1 9 5 2 .

[ 1 0 ] H . C h e s t n u t a n d R . W. M a y e r , S e r v o m e c h a n i s m s a n d R e g u l a t i n gS y s t e m D e s i g n , v o l . 1 . New Y o r k : W i l e y , 1 9 5 1 .

D i s c u s s i o n

G . M a n c h u r , K . M c C l y m o n t , a n d W. W a t s o n ( T h e H y d r o E l e c t r i cP o w e r C o m m i s s i o n o f O n t a r i o , T o r o n t o , C a n a d a ) : T h e a u t h o r s a r et o b e c o n g r a t u l a t e d f o r t h e i r p a p e r w h i c h , w i t h c a r e f u l s t u d y , c a n

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 1 6 , 1 9 6 8 .

g i v e a n e x c e l l e n t i n s i g h t i n t o t r a n s f e r f u n c t i o n r e q u i r e m e n t s f o r

s t a t i c e x c i t a t i o n s y s t e m s .I n o u r e x p e r i e n c e , t h e t e c h n i q u e o f d e v e l o p i n g l i n e a r t r a n s f e rf u n c t i o n s f o r a s y n c h r o n o u s m a c h i n e c o n n e c t e d t h r o u g h r e a c t a n c et o a n i n f i n i t e b u s , a n d t h e s t u d y o f t h e s e f u n c t i o n s t o d e t e r m i n e t h er e q u i r e m e n t s o f t h e e x c i t a t i o n s y s t e m , s h o u l d b e t h e f i r s t s t e p i ns y n t h e s i z i n g e x c i t a t i o n s y s t e m t r a n s f e r f u n c t i o n s . T h i s t e c h n i q u ew a s u s e d i n d e v e l o p i n g t h e s p e e d s t a b i l i z i n g s i g n a l d e s c r i b e d i n [ 6 ]u s i n g b l o c k d i a g r a m s s i m i l a r t o t h o s e d e s c r i b e d b y t h e a u t h o r s .We q u e s t i o n w h e t h e r t h e g a i n KE s h o u l d b e l i m i t ed t o l e s s t h a n

T d o ' / 2 T E a s s u g g e s t e d b y t h e a u t h o r s . I t a p p e a r s t h a t t h i s recom-m e n d a t i o n i s b a s e d on a c h i e v i n g a h e a v i l y d a m p e d s y s t em h a v i ng ad a m p i n g f a c t o r o f 0 . 7 0 7 f o r t h e t w o t i m e c o n s t a n t s y s t e m c o n s i d e r e d .I n p r a c t i c e , we t h i n k t h e a m o r t i s s e u r w i n d i n g s s h o u l d a l s o b e c o n -s i d e r e d i n e s t a b l i s h i n g l i m i t s o f g a i n f o r t h e c o n t r o l l e d - r e c t i f i e re x c i t a t i o n s y s t e m .

T h e e f f e c t o f a m o r t i s s e u r s i s t o r e d u c e t h e p e r m i s s i b l e v a l u e o fv o l t a g e r e g u l a t o r g a i n t o m a i n t a i n t h e s a m e r e l a t i v e s t a b i l i t y o f t h e

c l o s e d - l o o p s y s t e m . F o r e x a m p l e f o r t h e s y s t e m s h o w n i n F i g . 1 7 ,i n o r d e r t o m a i n t a i n a p h a s e m a r g i n o f 6 5 ° , w h i c h t h e r e l a t i o n s h i pKB = T d o ' / 2 T E w o u l d g i v e n e g l e c t i n g a m o r t i s s e u r s , t h e g a i n m u s tb e r e d u c e d t o a p p r o x i m a t e l y KE = 0 . 5 ( T d j / 2 T E ) when i n c l u d i n ga m o r t i s s e u r e f f e c t . H o w e v e r , i f t h e d e s i g n c r i t e r i o n f o r t h e c o n t r o ll o o p w e r e c h o s e n t o r e q u i r e 3 0 0 p h a s e m a r g i n , a c o m m o n l y a c c e p t e dv a l u e , i n s t e a d o f 6 5 0 , t h e p e r m i s s i b l e v a l u e o f v o l t a g e r e g u l a t o r g a i n ,i n c l u d i n g a m o r t i s s e u r e f f e c t s w o u l d b e KE = 4 ( T d o , / 2 T E ) , a n i n c r e a s ei n g a i n o f e i g h t t i m e s . We h a v e u s e d g a i n s i n t h e r a n g e T d o ' / 2 T R t o4 ( T d o ' / 2 T E ) o n a n u m b e r o f h y d r o m a c h i n e s a n d t h e h i g h e r v a l u e sh a v e n o t c r e a t e d a n y d i f f i c u l t i e s .

E q u a t i o n ( 1 7 ) r e l a t e s t h e t o r q u e c o m p o n e n t A T , j w t o g e n e r a t o rs p e e d v a r i a t i o n s . I t s h o w s t h a t t h e r e q u i r e m e n t f o r p h a s e l e a d i nt h e f u n c t i o n G ( S ) w i l l b e m i n i m i z e d i f t h e e x c i t a t i o n s y s t e m g a i nK E i s h i g h . Fo r e x a m p l e , w i t h K E e q u a l t o 2 0 0 , K6 e q u a l t o 0 . 5 , a n dT d o , ' 5 s e c o n d s , t h e t i m e c o n s t a n t T 4 ' I / K . K R i s o n l y 0 . 0 5 s e c o n da n d p h a s e l e a d w o u l d n o t b e r e q u i r e d o n t h e u s u a l h y d r o g e n e r a t o r .T h i s i s i n a c c o r d a n c e w i t h o u r e x p e r i e n c e s i n c e p h a s e l e a d o f t h e

3 2 7


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IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND S Y S T E M S , APRIL 1 9 6 9

s t a b i l i z i n g s i g n a l h a s n o t b e e n r e q u i r e d o n a n i y o f o u r h y d r o g e n e r -a t o r s . On t he o t he r h a n d f o r t h e r m a l u n i t s , c l o s e l y c o u p l e d t o t h es y s t e m , K 6 w i l l b e s i g n i f i c a n t l y s m a l l e r ( a b o u t 0 . 2 ) s o t h a t p h a s el e a d n e t w o r k s w i l l u s u a l l y b e r e q u i r e d f o r o p t i m u m s y s t e m p e r -f o r m a n c e . The u s e o f h i g h g a i n a n d a s m a l l t i m e c o n s t a n t T E w h e r ep o s s i b l e w o u l d a p p e a r t o b e s u p e r i o r t o t h e u s e o f p h a s e l e a d , s i n c et h e o p t i m u m a m o u n t o f p h a s e l e a d r e q u i r e d v a r i e s w i t h s y s t e mc o n d i t i o n s a n d a s n o t e d b y t h e a u t h o r s , i t i s e s s e n t i a l t h a t t h ee x c i t a t i o n s y s t e m p e r f o r m s a t i s f a c t o r i l y o v e r a w i d e r a n g e o f s y s t e m

c o n d i t i o n s .The b l oc k d i a g r a m s i n t h e p a p e r d e m o n s t r a t e why a l l s u c c e s s f u ls t a b i l i z i n g s i g n a l s d e v e l o p e d t o d a t e u se a s p e e d o r f r e q u e n c y d e v i a -t i o n s i g n a l o r d e r i v e a s p e e d s i g n a l f r o m g e n e r a t o r p o w e r v a r i a t i o n s .

I n o u r w o r k we h a v e u s ed b l oc k d i a g r a m s b a s ed o n t h e s a m e s m a l lp e r t u r b a t i o n a n a l y s i s p r e s e n t e d b y t h e a u t h o r s b u t h a v i n g a d i f f e r e n tf o r m a s s h o w n i n F i g . 1 8 . T h i s d i a g r a m s ho w s t h e r e l a t i o n s h i p f o rb a l a n c e d c o n d i t i o n s o f a l l t h e c u r r e n t s a n d v o l t a g e s w h i c h c a n b em e a s u r e d o n a s y n c h r o n o u s m a c h i n e . B y i n c l u d i n g s a t u r a t i o n a n da m o r t i s s e u r w i n d i n g s , t h i s m o d e l h a s p r o v i d e d a b a s i s f o r c o m p a r i n gc a l c u l a t e d t r a n s f e r f u n c t i o n s w i t h t h o s e m e a s u r e d i n f i e l d t e s t s u s i n gf r e q u e n c y r e s p o n s e t e c h n i q u e s .

M. H . K e n t ( S o u t h e r n C a l i f o r n i a E d i s o n C o m p a n y , L o s A n g e l e s ,C a l i f . 9 0 0 5 3 ) : I n t h e i r i n t r o d u c t i o n , t h e a u t h o r s s t a t e t h a t " . . . more

e m p h a s i s a n d r e l i a n c e i s b e i ng p la ce d on c o n t r o l s t o p ro v i de t h er e q u i r e d c o m p e n s a t i n g e f f e c t s w i t h w h i c h t o o f f s e t t h e r e d u c t i o n si n s t a b i l i t y m a r g i n s i n h e r e n t f r o m t h e se t r e nd s i n e q u i p m e n t d e s i g n s . "I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t t h e c o n c u r r e n t i m p r o v e m e n t s i n c a l c u -l a t i n g m e t h od s w o u l d b e t e n d i n g t o e m p h a s i z e response o f c o n t r o le q u i p m e n t r e g a r d l e s s o f t h e t r en d s i n e q u i p m e n t d e s i g n s , a n d t h a t a

b l i n d r e l i a n c e on a s s u m e d m a r g i n s b u i l t i n t o e q u i p m e n t s h o u l d never

s u b s t i t u t e f o r a more c o mp l e t e u n d e r st a n d i ng o f t h e p r o b l e m . T h i sp a p e r c l e a r l y a n d s i g n i f i c a n t l y c o n t r i b u t e s t o t h e n e e d e d u n d e r -s t a n d i n g o f s y s t e m d a m p i n g i n t h e a r e a o f sm all p e r t u r b a t i o ns t a b i l i t y .

I n s t r i v i n g t o d e r i v e a u n i v e r s a l s t a b i l i z i n i g s i g n a l , t h e a n a l y s i ss h o u l d i n c l u d e a l a r g e p e r t u r b a t i o n mode o f s t a b i l i t y s i n c e s a t u r a t i o ne f f e c t s a n d l i m i t s on r e g u l a t o r v o l t a g e , f i e l d v o l t a g e , a n d s t a b i l i z i n gs i g n a l s can p r o d u c e s u r p r i s i n g r e s u l t s .

I n v i e w o f t h e i m p o r t a n t f u n d a m e n t a l c o n c e p t i n v o l v e d i n t h ea p p l i c a t i o n o f s u p p l e m e n t a l e x c i t a t i o n c o n t r o l as g i v e n by t h ea u t h o r s , i t may b e h e l p f u l t o e x a m i n e t h i s c o n c e p t a l i t t l e more

q u a l i t a t i v e l y . The response o f a g e n e r a t o r a n d i t s e x c i t a t i o n s y s t e mi n a manner s u c h t h a t i t c o n t r i b u t e s n e g a t i v e d a m p i n g can b ei l l u s t r a t e d as i n F i g . 1 9 ( a ) . T h i s f i g u r e s h o w s t h e v e c t o r d i a g r a m o fa g e n e r a t o r t h a t h a s e x p e r i e n c e d a d e c r e a s e i n e l e c t r i c a l power o u t -p u t , P 8 . The g e n e r a t o r r o t o r p o s i t i o n w i l l c h a n g e d i r e c t l y i n t i m e -p h a s e w i t h P . , a n d t h e g e n e r a t o r t e rm i na l v o lt a g e V t w i l l i n c r e a s e .Due t o t h e r o t o r p o s i t i o n c h a n g e t h e r e w i l l r e s u l t a v e l o c i t y , ( t h ed e r i v a t i v e o f a w i t h r es pe ct t o t i m e ) , a c c o m p a n i e d b y an i n d u c e df i e l d v o l t a g e , E f d i n d u c e d , a n d an i n d u c e d f i e l d c u r r e n t w i l l l a g t h i sv o l t a g e b y s o m e t h i n g l e s s t h a n 9 0 d e g r e e s . A c c e l e r a t i n g power P 8 o ft h e m a c h i n e w i l l b e d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s e c o n d d e r i v a t i v eo f w i t h r e s p e c t t o t i m e , a s g i v e n b y t h e b a s i c m a c h i n e e q u a t i o n s i nt h e paper. T h u s , t h e t i m e - p h a s e r e l a t i o n s h i p s o f t h e m a j o r m a c h i n ep a r a m e t e r s a re e s t a b l i s h e d , a n d t h e e f f e c t o f a u t o m a t i c e x c i t a t i o nc o n t r o l

w i l lnow

b e d i s c u s s e d .The p o s i t i v e c h a n g e i n t e r m i n a l v o l t a g e V t w i l l r e s u l t i n a n e g a t i v eerror s i g n a l V T e r r o r b e i n g a p p l i e d t o t h e a u t o m a t i c v o l t a g e r e g u l a t o r .T h i s error s i g n a l w i l l a c t t h r o u g h t h e r e g u l a t o r a n d e x c i t e r t o p r o d u c ea c h a n g e i n f i e l d v o l t a g e t o b u c k t h e i n c r e a s e d t e r m i n a l v o l t a g e . Thec h a n g e i n f i e l d c u r r e n t I f d v d u e t o t h e c h a n g e i n f i e l d v o l t a g e w i l l l a gb y n e a r l y 9 0 d e g r e e s b e c a u s e o f t h e l a r g e m a i n f i e l d t i m e c o n s t a n t .The t w o f i e l d c u r r e n t v e c t o r s , I f d , , a n d I f d i n d u c e d } c a n b e a d d e d u s i n gs u p e r p o s i t i o n t o o b t a i n t h e n e t c h a n g e i n f i e l d c u r r e n t . The n e t f i e l dc u r r e n t v e c t o r c a n now b e r e s o l v e d i n t o c o m p o n e n t s a l o n g t h e r o t o r -p o s i t i o n and r o t o r - s p e e d c o axes. S i n c e t o r q u e i s d i r e c t l y propor-

t io n a l t o t h e n e t f i e l d c u r r e n t , i t can b e seen t h a t t h e r e i s a t o r q u ec o m p o n e n t ( t h e s y n c h r o n i z i n g c o m p o n e n t ) i n p h a s e w i t h r o t o r p o s i -t i o n , b u t t h a t t h e c o m p o n e n t r e f l e c t e d o nt o t he a x i s o f r o t o r s p e e d( t h e d a m p i n g c o m p o n e n t ) i s n e g a t i v e .

Z f d n e t

e , S -.-

1 1 d i n d u c e d

N e t I f d from F i g . I o

6

Ne w f d n e t I - - '

' f d s

Pa

E f d i n d u c e d

t w ~

( a )

S u p p l e m e n t a l

S i g n a l

P a

\EfdasP o s i t i v e Damping Torque Component

( b )

F i g . 1 9 . ( a ) N e g a t i v e d a m p i n g . ( b ) P o s i t i v e d a m p i n g u s i n gs u p p l e m e n t a l c o n t r o l .

The e f f e c t o f a s e l e c t i v e l y c h o s e n s u p p l e m e n t a l r e g u l a t o r c o n t r o ls i g n a l i s s h o w n i n F i g . 1 9 ( b ) . I n t h i s f i g u r e , t h e r e s u l t o f a d d i n g a

s u p p l e m e n t a l s i g n a l i s s u p e r i m p o s e d on F i g . 1 9 ( a ) . F o r t h i s i l l u s t r a -t i o n , t h e s u p p l e m e n t a l s i g n a l i s c h o s e n so t h a t i t i s i n t i m e - p h a s ew i t h a c c e l e r a t i n g power, a n d s i n c e i t a c t s t h r o u g h t h e v o l t a g er e g u l a t o r a n d i t s a s s o c i a t e d t i m e d e l a y , a c h a n g e i n f i e l d v o l t a g ew i l l f o l l o w w h i c h i n t u r n w i l l p r o d u c e a c h a n g e i n f i e l d c u r r e n t , I f d s v .A d d i n g t h e n e t f i e l d c u r r e n t v e c t o r o b t a i n e d i n F i g . 1 9 ( a ) t o t h a tr e s u l t i n g f r o m t h e s u p p l e m e n t a l s i g n a l p r o d u c e s a new n e t f i e l d

c u rr e nt v ec to r. R e s o l v i n g t h i s v e c t o ri n t o

c o m p o n e n t s a l o n g t h er o t o r - p o s i t i o n a n d r o t o r - s p e e d a x e s , s h o w s t h a t t h e d a m p i n g t o r q u ec o m p o n e n t h a s become p o s i t i v e . T h u s , s u p p l e m e n t a r y r e g u l a t o rc o n t r o l s can e l i m i n a t e n e g a t i v e d a m p i n g e m a n a t i n g f r o m t h e e x c i t a -t i o n s y s t e m a n d i n t r o d u c e p o s i t i v e d a m p i n g .

A s n o t e d i n t h e paper, t h e t i m e - p h a s e r e l a t i o n s h i p s s h o w n i nF i g . 1 9 a re d e t e r m i n e d by t h e f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n a n d t h e t i m ec o n s t a n t s i n v o l v e d , and t h e s u p p l e m e n t a l s i g n a l i t s e l f c o u l d o r i g i n a t ef r o m s p e e d or f r e q u e n c y or f r o m a c c e l e r a t i n g power. B e c a u s e d i f -f e r e n t s y s t e m s o s c i l l a t e a t d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s a n d h a v e d i f f e r e n tt i m e c o n s t a n t s , i t w o u l d o r d i n a r i l y n o t b e d e s i r a b l e t o h a v e t h es u p p l e m e n t a l s i g n a l i n e x a c t t i m e - p h a s e w i t h a c c e l e r a t i n g power, b u tt h e i l l u s t r a t i o n s h o w s t h e p r i n c i p l e . I t can b e seen i n F i g . 1 9 ( b ) t h a tan i m p r o p e r l y c h o s e n s u p p l e m e n t a l s i g n a l c a n r e s u l t i n s i g n i f i c a n tr e d u c t i o n i n s y n c h r o n i z i n g t o r q u e , w h i c h w o u l d n o t b e d e s i r a b l e ,w h i l e m a x i m i z i n g d a m p i n g t o r q u e .The a u t h o r s s h o w t h a t u n d e r many s y s t e m c i r c u m s t a n c e s , e x c i t a -

t i o n s y s t e m s can b e a m a j o r source o f n e g a t i v e d a m p i n g on s y s t e mo s c i l l a t i o n s . S i n c e t h e c i r c u m s t a n c e s r e q u i r e d f o r t h i s t o occur are

n o t e s p e c i a l l y u n i q u e , p e r h a p s c o n s i d e r a t i o n s h o u l d b e g i v e n t o

i n c l u d i n g s t a b i l i z i n g s i g n a l s as an i n t e g r a l p a r t o f a l l c o n v e n t i o n a la n d h i g h - s p e e d e x c i t a t i o n s y s t e m s .

F . R . S c h l e i f a n d W. B . G i s h , ( U . S . B u r e a u o f R e cl a m a ti o n, D e nv e r ,C o l . ) : T h i s i s a most w e l c o m e e x p l o r a t i o n and d o c u m e n t a t i o n o f t h ep r i n c i p l e s p e r t i n e n t t o t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f s u p p l e m e n t a r ye x c i t a t i o n c o n t r o l . P r e l i m i n a r y r e c o m m e n d a t i o n s c o n c e r n i n g a p p l i c a -t i o n o f s u p p l e m e n t a r y c on tr ol t o r o t a t i n g e x c i t e r s were p r o p o s e d on

t h e b a s i s of e x p l o r a t i o n s d e s c r i b e d i n [ 7 1 w i t h t h e remark t h a t

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 1 3 , 1 9 6 8 .

N e g a t i v e D a m p i n g T o r q u e C o m p o n e n t

E f d v f.d v

v I ' r r o r . : - V t

3 2 8

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 9 , 1 9 6 8 .


8/8/2019 ABRIL 1969



a p p l i c a t i o n o f s u c h c o n t r o l t o h i g h e r s p e e d s t a t i c s y s t e m s s h o u l d b es o o n f o r t h c o m i n g f r o m t h e m a n u f a c t u r e r s . T h i s p a p e r c o n t r i b u t e sg e n e r o u s l y t o t h e f u l f i l l m e n t o f t h a t e x p e c t a t i o n a n d t h e a u t h or s a r et o b e c o n g r a t u l a t e d o n a n e x c e l l e n t c o n t r i b u t i o n w h i c h i s n o t o n l yt h o r o u g h b u t t i m e l y .

A s a r e s u l t o f e x t e n s i v e s t u d i e s , t h e P a c i f i c I n t e r t i e E n g i n e e r i n gG u i d a n c e C o m m i t t e e h a s r e c o m m e n d e d s u p p l e m e n t a r y c o n t r o l n o to n l y o n i m p o r t a n t new m a c hi n e s b u t a l s o t o a l a r g e n u m b e r o f

s t r a t e g i c a l l y l o c a t e d e x i s t i n g m a c h i n e s h a v i n g t h e m o r e c o n v e n t i o n a lr o t a t i n g e x c i t e r s y s t e m s . A l t h o u g h t h e s e s y s t e m s m u s t c on t e nd w i t ha d d i t i o n a l l i m i t a t i o n s s u c h a s n o n l i n e a r i t y , l o w e r s p e e d o f r e s p o n s e ,a n d r e l a t i o n s h i p t o l o a d i n g c o n d i t i o n s , s o m e o f t h e g u i d e s o f f e r e d i nt h i s p a p e r ma y b e e x te n de d t o t h e r o t a t i n g e x c i t e r s y s t e m s . H o w e v e r ,a p p l i c a t i o n s o f s u c h r e c o m m e n d a t i o n s a r e c o m p l e x a n d t h e r e i s muchr o o m f o r i m p r o v e m e n t . We h o p e f u r t h e r e x t e n s i o n s i n t o t h i s f i e l dw i l l b e f o r t h c o m i n g s o o n .

T h e p a p e r p r o m i s e s f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f s i g n a l l i m i t i n g r e q u i r e -m e n t s . F u r t h e r c o n s i d e r a t i o n s o f t h e s e n e c e s s a r y f u n c t i o n s w i l l b ew e l c o m e . C o n c e r n i n g a b n o r m a l u n d e r - a n d o v e r v o l t a g e c o n d i t i o n s ,o u r own s t u d i e s h a v e i n d i c a t e d t h a t r a p i d r e m o v a l o f s u p p l e m e n t a r ys i g n a l s u p o n c r o s s i n g a v o l t a g e l i m i t o f ±5 p e r c e n t a n d r a p i d r e s t o r a -t i o n o f s i g n a l u p o n r e t u r n i n g w i t h i n l i m i t s s e r v e t h i s p u r p o s e w i t h o u ta d v e r s e i n f l u e n c e . O u r p i l o t a p p l i c a t i o n a t G l e n C a n y o n , w h i c h h a sb e e n o p e r a t i n g f o r f i v e m o n t h s t o d a t e , h a s p e r f o r m e d s a t i s f a c t o r i l yw i t h t h i s s y s t e m .

T h e p a p e r d oe s n ot g i v e s u p p o r t f o r i t s c o n c l u s i o n w h i c h s t a t e s" T h e s i g n a l s h o u l d n o t p r o d u c e a s t e a d y - s t a t e o f f s e t o f v o l t a g er e f e r e n c e w i t h f r e q u e n c y . . . . " I n o u r own s t u d y o f t h e p r o b l e m a ss t a t e d i n [ 7 ] , i t i s n o t c l e a r t h a t t h i s c o n c l u s i o n i s w a r r a n t e d i n a l lc a s e s . I t h a s b e e n p r o p o s e d [ 1 1 ] t h a t a s u b s t a n t i a l b e n e f i t c a nb e a c c o m p l i s h e d b y r e d u c i n g v o l t a g e a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y u n d e rd i s a s t e r c o n d i t i o n s . The f r e q u e n c y s u p p l e m e n t a r y s i g n a l w o u l da u t o m a t i c a l l y a c c o m p l i s h t h i s t y p e o f a c t i o n w h e r e d e s i r a b l e , s u c ha s n e a r l o a d c e n t e r s . On t he o th er h a n d , g e n e r a t i n g s t a t i o n s s e r v i n gl o n g t r a n s m i s s i o n l i n e s m a y n o t b e n e f i t b y t h i s a c t i o n . T h e p o i n t o ft h i s r e m a r k i s t h a t r e s e t i n t h e s u p p l e m e n t a r y s i g n a l n e e d n o t b em a n d a t o r y . I t m a y b e a d v a n t a g e o u s t o make i t o p t i o n a l l y a v a i l a b l e .

R E F E R E N C E S

[ 1 1 ] K . L . H i c k s , " D i s a s t e r c o n t r o l c o o r d i n a t i o n f o r l a r g e i n t e r c o n -n e c t e d s v s t e m s , " IEEE S p e c t r u m , v o l . 4 , p p . 5 2 - 5 5 , N o v e m b e r

1 9 6 7 .

F . P . d e M e l l o a n d C . C o n c o r d i a : We w i s h t o t h a n k a l l o f t h e d i s -c u s s e r s f o r t h e i r c o m m e n t s , w h i c h a d d c o n s i d e r a b l y t o t h e v a l u eo f t h i s p a p e r .

I n r e g a r d t o t h e v a r i o u s p o i n t s r a i s e d b y M r . M a n c h u r , M r .M c C l y m o n t , a n d M r . W a t s o n , we w o u l d comment a s f o l l o w s .

T h e o p t i m u m v a l u e o f t h e g a i n KE i s a m a t t e r o f j u d g m e n t a n dt h e v a l u e o f T d o ' / 2 T s s u g g e s t e d i n t h e p a p e r wa s c o n s i d e r e d a g o o dc o m p r o m i s e c o n s i d e r i n g i t s e f f e c t on p e r f o r m a n c e u n d e r s m a l l a n dl a r g e p e r t u r b a t i o n s . I t i s q u i t e t r u e t h a t f r o m t h e p o i n t o f v i e w o fs t a b i l i t y u n d e r t h e l i n e a r s m a l l p e r t u r b a t i o n m o d e , a c o n s i d e r a b l y

M a n u s c r i p t r e c e i v e d March 1 5 , 1 9 6 8 .

l a r g e r v a l u e o f KE i s p e r f e c t l y s a t i s f a c t o r y . A l s o , i t i s t r u e t h a t w i t ht h i s l a r g e r v a l u e o f K E , t h e e f f e c t i v e r e s p o n s e o f f l u x t o v o l t a g er e f e r e n c e h a s l e s s p h a s e l a g a n d t h e r e f o r e t h e l e a d r e q u i r e m e n t s f o rt h e s t a b i l i z i n g s i g n a l a r e c o r r e s p o n d i n g l y l e s s . H o w e v e r , t h e h i g h e rK E , t h e more l i k e l y i s t h e m o d e o f o p e r a t i o n w h e r e t h e e x c i t e r h i t sl i m i t s a n d , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e e f f e c t i v e p h a s e l a g o f f l u x t os i g n a l c a n b e d r a s t i c a l l y d i f f e r e n t a n d c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n t h a tu n d e r t h e l i n e a r mode o f o p e r a t i o n . U s e o f d e s c r i b i n g f u n c t i o n

m e t h o d s o f a n a l y s i s o f t h e mode o f o p e r a t i o n w h e r e t h e e x c i t e r i sh i t t i n g l i m i t s w i l l s h o w t h a t i n s u c h a m o d e , t h e s t a b i l i z i n g s i g n a lw i l l n e e d c o n s i d e r a b l y g r e a t e r p h a s e l e a d t o p r o d u c e d a m p i n g .An e f f e c t i v e m e a n s o f p r e s e r v i n g t h e b e n e f i c i a l d a m p i n g c h a r a c -

t e r i s t i c s o f t h e s t a b i l i z i n g s i g n a l u n d e r l a r g e d i s t u r b a n c e c o n d i t i o n s ,s u c h a s o c c u r f o l l o w i n g f a u l t c o n d i t i o n s , a s w e l l a s u n d e r t h e s m a l lp e r t u r b a t i o n m o d e , i s t o h a v e m o d e r a t e v a l u e s o f KE w h i c h d o n o tc a u s e t h e e x c i t e r t o c o n t i n u a l l y h i t l i m i t s u n d e r t y p i c a l l a r g e d i s -t u r b a n c e c o n d i t i o n s , t h e r e b y a v oi d i ng t h e d r a s t i c c h a n g e i n p h a s ea n g l e c h a r a c t e r i s t i c s u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s .We d o a p p r e c i a t e t h e n e e d f o r m o r e c o m p l e t e m a c h i n e r e p r e s e n t a -

t i o n s i n c l u d i n g e f f e c t s o f a m o r t i s s e u r s , s a t u r a t i o n , e t c . A s a m a t t e ro f f a c t , t h e c o n c e p t s a n d r e c o m m e n d a t i o n s d e v e l o p e d i n t h e p a p e rh a v e b e e n c h e c k e d o u t o n v e r y c o m p l e t e d i g i t a l r e p r e s e n t a t i o n s o fm a c h i n e s i n m u l t i m a c h i n e s i t u a t i o n s . F o r p u r p o s e s o f c l a r i t y , h o w -e v e r , i t w a s f e l t t ha t t h e b a s i c e f f e c t s a n d c on ce pt s s h ou l d b e e s t a b -l i s h e d w i t h t h e s i m p l e s t p o s s i b l e 2 - a x i s r e p r e s e n t a t i o n , e x c l u d i n g

a m o r t i s s e u r e f f e c t s .We a p p r e c i a t e M r . S c h l e i f a n d M r . G i s h ' s c o m m e n t s o n t h e i r

s t u d i e s f o r t h e P a c i f i c I n t e r t i e s y s t e m a n d a g r e e t h a t much i s y e t t ob e l e a r n e d i n t e r m s o f a p p l i c a t i o n r e q u i r e m e n t s c o n s i d e r i n g t h en o n l i n e a r a s p e c t s o f t h e p ro b l em . O u r own i n v e s t i g a t i o n s o f l a r g ed i s t u r b a n c e c o n d i t i o n s h a v e c o n f i r m e d t h e g e n e r a l r e c o m m e n d a t i o n sc o n t a i n e d i n t h e p a p e r , p a r t i c u l a r l y a s r e g a r d s e f f e c t s o f m a i n t a i n i n gm o d e r a t e r e g u l a t o r t r a n s i e n t g a i n s a s e x p l a i n e d a b o v e .

I n r eg a rd t o t h e v a l u e o f a p e r m a n e n t o f f s e t o f v o l t a g e w i t h r e s p e c tt o s p e e d , a l t h o u g h t h i s m a y b e d e s i r a b l e f r o m t h e p oi n t o f v i e w o fb a l a n c i n g g e n e r a t i o n w i t h l o a d , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e g a i n s o fv o l t a g e o f f s e t p e r u n i t o f f r e q u e n c y d e v i a t i o n a r e i n t h e o r d e r o f 2 0t i m e s w h a t c o u l d b e t o l e r a t e d o n t h e b a s i s o f a c o n s t a n t v o l t s p e rc y c l e c r i t e r i o n . A s l o n g a s t h e s t a b i l i z i n g s i g n a l e f f e c t i s l i m i t e d t o as a f e e x c u r s i o n i n t e r m i n a l v o l t a g e , we a g r e e t h a t t h e r e m a y b e c a s e sw h e r e a p e r m a n e n t o f f s e t v o l t a g e w i t h f r e q u e nc y m a y b e d e s i r a b l e .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h i s o f f s e t w o u l d b e m o r e e f f e c t i v e a t t h el o a d u t i l i z a t i o n p o i n t s t h a n a t t h e g e n e r a t o r t e r m i n a l s , s i n c e r e d u c -t i o n o f g e n e r a t o r v o l t a g e w o u l d a l s o c a u s e a r e d u c t i o n o f t r a n s m i s s i o nv o l t a g e a n d i n t e r t i e c a p a c i t i e s .

M r . S c h l e i f a n d M r . G i s h s u g g e s t r e m o v i n g t h e s t a b i l i z i n g s i g n a lwhen t h e v o l t a g e d e vi a t i on e xc ee d s a c e r t a i n l i m i t , r a t h e r t h a nl i m i t i n g t h e s i g n a l i t s e l f . We d o n o t t h i n k t h i s i s a g o o d i d e a , a n di n d e e d t h e r e m a y w e l l b e c a s e s w h e r e r e m o v i n g t h e s i g n a l m i g h td r i v e t h e v o l t a g e e v e n f a r t h e r away f r o m n o r m a l . On t h e o t h e r h a n d ,w h e n t h e s i g n a l i t s e l f i s s i m p l y l i m i t e d , i t i s a t l e a s t a l w a y s c o n -t r i b u t i n g t o w a r d d a m p i n g r e g a r d l e s s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e v o l t a g ed e v i a t i o n .We a p p r e c i a t e M r . K e n t ' s e n d o r s e m e n t o f t h e n e e d f o r c a l c u l a t i n g

m e t h o d s f o r a m o r e c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o b l e m . H i sq u a l i t a t i v e d e s c r i p t i o n o f t h e p h e n o m e n a o f d a m p i n g a n d s y n c h r o n -i z i n g p o w e r s a s a f f e c t e d b y v o l t a g e r e g u l a t i o n i s a n i n t e r e s t i n g a d d i -t i o n t o t h i s s u b j e c t . H o w e v e r , we m u s t p o i n t o u t t h a t i t n e g l e c t s t h ei n t e r a c t i o n o f t h e t w o s i g n a l s , i . e . , t h e v o l t a g e e r r o r v e c t o r i n F i g .1 9 ( a ) s h o u l d b e m o d i f i e d b y v o l t a g e r e g u l a t o r a c t i o n .

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ABRIL 1969