Analyse complexe

Changgui ZHANG

2010-11

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Programme

Objectifs

Premiere etude des fonctions analytiques complexes.

Contenu

1. (15h) Rappels sur les series entieres. Fonctions analytiques. Multiplicited’un zero. Principe du prolongement analytique (ouverts connexes, zerosisoles). Differentiabilite, derivabilite complexe, equations de Cauchy-Rie-mann. Fonctions holomorphes et fonctions harmoniques. Integrales le longde chemins de formes differentielles. Theoreme de Jordan (enonce). Theo-reme de Green-Riemann. Theoreme de Cauchy-Goursat. Analyticite desfonctions holomorphes.

2. (15h) Formules integrales et inegalites de Cauchy. Theoreme de la Moyenne,Principe du Maximum. Theoreme de Liouville. Invariance par homotopie(theoreme de Cauchy-Gauss). Indice d’un lacet. Logarithme. Ouverts sim-plement connexes, existence de primitives. Conjugue harmonique.

3. (10h) Classification des singularites isolees. Series de Laurent, residus.Fonctions meromorphes. Theoreme des residus. Theoreme des residus avecindices. Principe de la variation de l’argument, theoreme de Rouche. Cal-culs sur des contours infinis.

4. (10h) Holomorphie de fonctions donnees par des integrales ou des series(theoreme de Weierstrass, Lemme de Morera). Produit infini de Euler poursin(z). Fonctions Gamma de Euler, Theta de Jacobi, P de Weierstrass,Zeta de Euler-Riemann.

5. (10h) Proprietes locales topologiques (invariance du domaine) et conformes(transformation des angles). Formule d’inversion de Lagrange. Homogra-phies. Isomorphismes conformes, automorphismes du plan, du disque (lemmede Schwarz), du demi-plan. Theoreme de Riemann (discussion heuristique,via la fonction de Green).

Introduction

Le programme et l’organisation generale.Les grands enonces, accompagnes de grands noms : Cauchy, Riemann, Weiers-

trass.Le role du calcul des residus, notre objectif du cours.Divers terminologies : fonctions C-derivables, holomorphes, analytiques.References.

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Chapitre 1

Fonctions derivables d’unevariable complexe etequations deCauchy-Riemann

Les notations R, N, Z, Q, C sont comme d’habitude.On commencera par rappeler quelques elements importants concernant les

nombres complexes : identification de C au plan R2, la notion du nombreconjugue, du module et de l’argument d’un nombre complexe, l’aspect topo-logique du plan complexe : convergence de points, voisinages. On consideraensuite quelques transformations du plan complexe : les similitudes (directes ouindirectes) planes et leurs expressions complexes, les transformations homogra-phiques, les polynomes et leurs racines (le theoreme fondamental de l’algebre).On finira ce chapitre par la notion de la derivabilite complexe, avec les equationsde Cauchy-Riemann.

1.1 Definition des nombres complexes

On identifie C a R2 muni d’une structure d’algebre.

1.1.1 La multiplication sur R2

Si (a, b) et (c, d) ∈ R2, on pose :

(a, b).(c, d) = (ac− bd, ad + bc).

Cette multplictaion est bilineaire, symetrique, associative.

Proprietes 1 1. (a, 0).(c, d) = (ac, ad) = a(c, d) ;

2. de plus, (a, 0).(b, 0) = (ab, 0), (a, 0)+(c, 0) = (a+c, 0), ceci amene a ecrire(a, 0) ≡ a pour tout a ∈ R.

3. (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b(0, 1) = a + bi si l’on pose (0, 1) = i.

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6 CHAPITRE 1. DERIVABILITE AU SENS COMPLEXE

4. (0, 1).(0, 1) = (−1, 0).

Definition 2 (R2, +,×R, .) est appele C.

1.1.2 Introduction de la division

• Premiere methode : resoudre (a, b).(c, d) = 1.• Notion de conjugaison.

Definition 3 Le conjugue de z = (a, b) = a + bi est z = (a,−b) = a − bi. Lemodule de z est |z| = √

a2 + b2.

Proprietes 4 1. zz = |z|2 = a2 + b2 ≥ 0.

2. z + z = 2a.

3. |z| = 0 ⇔ z = 0.

Par consequent, si z 6= 0, on a :

1z

=z

|z|2 =a− bi

a2 + b2,

ce qui fait de C un corps.

1.1.3 C est identifie a l’espace euclidien R2

Remarque 5 R2 a un double statut :

1. R2 est un plan affine, muni d’un repere cartesien et forme des pointsP (x, y). Le segment d’extremites P et Q sera note [PQ] et sa longueur,PQ ; on a : [PQ] = [QP ] et PQ = QP .

2. R2 est un espace vectoriel bidimensionel sur le corps R, forme des vecteurs~v = (x, y).

Le lien entre ces deux structures s’exprime de la facon suivante : pourP (xP , yP ) et Q(xQ, yQ), on pose ~PQ = (xQ − xP , yQ − yP ) et On a :

PQ = ‖ ~PQ‖.

Dans R2, ‖(a, b)‖ =√

a2 + b2, donc |z| est la mesure euclidienne de (a, b),appelee aussi module de z. On identifie alors z au point du plan, (a, b), ouencore au vecteur de coordonnees (a, b).

Si z1, z2 ∈ C, on definit d(z1, z2) = |z1 − z2|, ce qui fait de C un espacemetrique (de fait, Banach) isometrique au plan enclidien R2.

• On en arrive alors a la notion de limite : si z varie dans C et que a est unpoint fixe de C, on dit que z → a quand d(z, a) = |z − a| → 0.

1.1.4 Multiplication par un complexe et similitude plane

Soit c = a + bi 6= 0 et notons Sc : z 7→ cz l’application C-lineaire de C ; elles’identifie a une similitude plane de rapport |c|, car :

|cz1 − cz2| = |c||z1 − z2|.

1.2. QUELQUES FAMILLES D’APPLICATIONS DE VARIABLE COMPLEXE7

Propriete 6 En identifiant C a R2 (donc un espace vectoriel bidimensionnelsur R), la matrice associee a l’application lineaire Sc relative a la base (1, i) est(

a −bb a

).

Puisque det(

a −bb a

)= a2 + b2 > 0, la similitude Sc est directe, c-a-d :

preserve l’orientation.

Propriete 7 c 7→ Sc etablit une correspondance biunivoque entre les nombrescomplexes et les similitudes planes directes, avec :

Sc1 + Sc2 = Sc1+c2 , Sc1 ◦ Sc2 = Sc1c2 .

• Rotations et homotheties Si c = ρ > 0 (un reel > 0), Sρ representel’homothetie de rapport ρ.

Lorsque |c| = 1, on dira que c = u ∈ U et on verifie que Su est une rotation,car :

Proprietes 8 1. z 7→ z est un automorphisme du corps C laissant invarianttout element reel.

2. z 7→ |z| definit un homomorphisme entre les groupes multiplicatifs (C∗, .)vers (R∗+, .).

1.2 Quelques familles d’applications de variablecomplexe

1.2.1 Similitudes planes

Une similitude plane conserve la mesure de tout angle ; quant a l’orientationde celui-ci, on distingue deux cas :

Definition 9 1. Une similitude plane qui conserve les angles orientes estdite directe.

2. Une similitude plane qui change les angles orientes en leur oppose est diteindirecte.

Proposition 10 1. Toute similitude plane directe est une transformation duplan d’expression complexe

z 7→ z′ = az + b, a, b ∈ C.

2. Toute similitude plane indirecte est une transformation du plan d’expres-sion complexe

z 7→ z′ = az + b, a, b ∈ C.

8 CHAPITRE 1. DERIVABILITE AU SENS COMPLEXE

1.2.2 Transformations homographiques

Definition 11 Une transformation homographique est une application de va-riable complexe z de la forme :

z 7→ αz + β

γz + δ,

ou les parameres α, β, γ et δ ∈ C sont tels que αδ 6= βγ.

On remarquera que les parameres peuvent etre choisis tels que αδ−βγ = 1 :(α βγ δ

)∈ SL2(C) !

Supposons que γ 6= 0 ; si l’on pose Z = γz + δ, on a :

αz + β

γz + δ=

C

Z+ D, C = γ − αδ

γ, D =

α

γ.

Cela vaut dire que la transformation peut etre decomposee en

z 7→ Z = γz + δ 7→ C

Z+ D.

Notation : on notera

σc,d : z 7→ cz + d; ι : z 7→ 1z.

Proposition 12 Toute transformation homographique est soit une simitude di-recte soit la composee de deux simitudes directes intercallees par l’inversion,c-a-d : de la forme σC,D ◦ ι ◦ σγ,δ.

En ce qui concerne l’inversion ι : z 7→ 1z , on a :

Proposition 13 L’application ι transforme tout cercle ou droite en un cercleou droite. Plus exactement, ι etablit les bijections suivantes :

1. les cercles passant par zero ⇔ les droites ne passant pas par zero ;

2. les droites passant par zero ⇔ les droites passant par zero ;

3. les cercles ne pas passant pas zero ⇔ les cercles ne pas passant pas zero.

Ainsi on en arrive au

Theoreme 14 Toute transformation homographique transforme un cercle ouune droite en un cercle ou en une droite.

1.2.3 Puissances zn et leurs rciproques

Soit n ≥ 2. L’application z 7→ zn envoie chaque droite vectorielle en unedroite vectorielle, l’argument etant multiplie par n ; elle n’est pas injective. D’oula reciproque n’est pas bien dfinie sur C mais avec Riemann...

1.3. CONDITIONS DE CAUCHY-RIEMANN 9

1.2.4 Polynomes a coefficients complexes et le thoremefondamental de l’algebre

Theoreme 15 (D’Alembert-Gauss) Tout polynome non constant et a coef-ficients dans C possede au moins une racine dans le plan complexe.

Par consequent, on peut factoriser tout polynome au moyen de polynomesdu premier ordre.

Pour la preuve, le point cle est l’argument topologique suivant : toute fonc-tion continue sur un compact atteint ses extrmun ; ici, c’est la valeur minimaleglobale en module qui serait en jeu.

1.2.5 Des polynomes aux series entieres

La notion d’une fonction abstraite est assez recente : pour Euler, une fonc-tion est synonyme d’une expression analytique, c-a-d, polynomes ou leurs gene-ralisations : fractions rationnelles, series entieres naturellement, car ces dernierespeuvent etre vues comme polynomes de degre infini. En effet, toutes les fonctionsclassiques sont exprimables en une serie.

Voir plus de detail a partir du 2nd chapitre.

1.3 Conditions de Cauchy-Riemann

Notations : R2 7→ C2, (x, y) 7→ z = x + iy. Un ouvert V de R2 s’identifiecanoniquement a un ouvert de C qui sera note VC.

Soit F : V → C ; on notera : F (x, y) = P (x, y)+iQ(x, y), avec P , Q a valeursdans R.

Par les relations x = (z + z)/2 et y = (z − z)/(2i), on peut convertir F enune fonction de la variable z :

f(z) = F (z + z

2,z − z

2i).

Inversement, soit U un ouvert de C avec U = VC. Si f est une fonction definiesur U , elle peut s’ecrire comme une fonction de variables reelles sur V :

F (x, y) = f(x + iy).

1.3.1 Derivee complexe

Soit U un ouvert de C et f une fonction definie de U dans C.

Definition 16 1. f est dite derivable en z0 ∈ U si la limite suivante existeet est finie dans C :

limC3ε→0

f(z0 + ε)− f(z0)ε

.

Lorsque c’est le cas, la limite est appelee nombre derive de f au pointd’affixe z0 et sera notee f ′(z0).

2. f est dite derivable sur U si elle l’est en chaque point de U .

Exemple 17 Chaque polynome de z et chaque fraction rationnelle de z.

10 CHAPITRE 1. DERIVABILITE AU SENS COMPLEXE

Remarque 18 Au niveau du calcul, on entreprend les memes operations qu’aucas reel.

Exemple 19 [Contre-exemple] En aucun point de C, aucune des fonctions |z|,<z, z, =z n’est derivable.

Proposition 20 1. Les fonctions definies sur U et derivables en un pointz0 ∈ U constituent un espace vectoriel sur C. La derivee est une applicationlinaire de celui-ci dans C.

2. Pour le produit de deux telles fonctions : regle de Leibniz.3. Pour le quotient, eviter le denominateur nul.

Proposition 21 La composee de deux fonctions C-derivables reste derivablepourvue qu’elle soit bien definie.

Remarque 22 [Representation geometrique] Si f ′(z0) 6= 0, f conserve « l’angle »en z0 : c’est une similitude directe du plan.

Definition 23 Fonction holomorphe = fonction derivable au sens complexe.

1.3.2 De la differentiabilie reelle a la derivabilite complexe

On ecrit f(z) = F (x, y) = P (x, y) + iQ(x, y).

Proposition 24 Si f est derivable en z0 = x0 + iy0 et f ′(z0) = a + ib, alors Fest differentiable, avec

DF (x0, y0) (h, `) 7→ (a + bi)(h + `i).

En effet, on peut ecrire F = f ◦Φ, avec Φ(x, y) = x+ iy, qui est une fonctionC∞.

La reciproque est donnee par la condition de Cauchy-Riemann.

Theoreme 25 (Cauchy-Riemann) Si F est C1 au voisinage de (x0, y0), alorsf(x + iy) = F (x, y) est holomorphe au point z0 = x0 + iy0 si, et seulement si,

∂Fx(x0, y0) = −i∂Fy(x0, y0),

ou, de facon equivalente :

∂xP (x0, y0) = ∂yQ(x0, y0), ∂yP (x0, y0) = −∂xQ(x0, y0).

Remarque 26 La condition C1 peut etre revue...

1.3.3 Consequence de la condition de Cauchy-Riemann

• Si f est holomorphe et C2 au sens reel, les parties reelle et imaginaire def sont harmoniques : elles verifient l’equation

∂xxR(x0, y0) + ∂yyR(x0, y0) = 0 .

La reciproque est aussi vraie : a bien formuler...•Une fonction holomorphe de module constante est necessairement constante.

1.3. CONDITIONS DE CAUCHY-RIEMANN 11

Complements : similitudes planes

On considere d’abord P = R2 comme etant un plan affine. Une transforma-tion du plan est tout simplement une application de R2 dans lui-meme.

• Similitudes planesSoit f une transformation du plan P.

Definition 27 f est appelee similitude (plane) si elle conserve les rapports dedistance. C’est-a-dire, pour trois points distincts arbitrairement donnes A, B,C du plan, si l’on note A′, B′ et C ′ leur transformee respective par f , alors

A′B′

A′C ′=

AB

AC.

Proprietes 28 1. Toute similitude transforme une figure geometrique enune autre qui reste semblable a l’ancienne et, en particulier, elle conserveles angles (geometriques).

2. A toute similitude plane f est associe un unique reel strictement positif ktel que f multiplie les distances par k : pour tout pair de points (P, Q) ∈P2, si P ′ = f(P ) et Q′ = f(Q), on a ‖ ~P ′Q′‖ = k‖ ~PQ‖. k s’appelle lerapport de la similitude f .

• Similitudes vectoriellesSi ~v = ~PQ et on pose F (~v) = ~P ′Q′ avec P ′ = f(P ), Q′ = f(Q), on obtient

une application de l’espace vectoriel R2 vers lui-meme. Vu la propriete 28.1, ona :

Propriete 29 A toute similitude plane f est associee une unique applicationlineaire F de l’espace vectoriel R2 dans lui-meme.

Soit M la matrice associee a F relative a la base canonique de l’espaceeuclidienne R2. De la propriete 28.2, on deduit :

Propriete 30 Pour tout couple (~u,~v) d’elements de R2, on a :

< M~u,M~v >= k < ~u,~v >,

ou < , > designe le produit scalaire de R2.Autrement dit, notant M t la transposee de M , on a :

(M) MM t = k ∈ R∗ .

On peut verifier que la relation (M) ci-dessus caracterise la matrice associeea toute similitude vectorielle.

• Similitudes speciales

Definition 31 1. Une isometrie est une similitude de rapport k = 1.2. Une isomerie qui conserve les angles orientes est appelee deplacement.3. Une homothetie est une similitude possedant un point fixe et laissant

invariante toute droite passant par celui-ci.

La matrice associee a une quelconque isometrie est une matrice orthogonale,c-a-d : le produit MM t vaut la matrice identite de rang 2.

Proposition 32 Toute similitude de rapport k est la composee d’une isometrieet d’une homothetie de rapport k.