Usos de la integral definida Fernando Hernández Campos

El concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura plana está acotada

por líneas rectas es sencillo calcular su área. Sin embargo, áreas acotadas por curvas son más

difíciles de calcular (incluso, de definir).

DETERMINACIÓN DEL TRABAJO

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una

línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado

W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:

W = F × x

Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte,

el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza dependerá de la posición que

ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función que relaciona a la fuerza con la

posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el planteamiento formal de dividir el intervalo

en que actúa la fuerza en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo

realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria para estirar un

resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte.

Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F

= kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor),

del alambre, de la temperatura, etc.

Integral de Riemann.Vamos a definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única

condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas

las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x [a, b].

En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

Este número l se le llama integral de f(x) entre a y b.

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Área del recinto limitado por una función positiva en [a,b]Sabemos que la integral de una función escalonada entre x = a y x = b coincide con el área

encerrada por dicha función, el eje y = 0, y las rectas x = a y x = b. Veamos que esta relación se

cumple también con la integral definida de una función cualquiera, para ello, plantearemos el

cálculo de áreas encerradas por funciones no escalonadas, y que se pueden calcular

geométricamente, y la posterior comprobación de que dicha área coincide con el valor de la

integral.

Ejemplo: Hallar el área del triángulo determinado por la bisectriz del primer cuadrante, el eje OX y

la recta x = 4. Calcular esta área geométricamente, y comprobar que coincide con la integral entre

x = 0 y x = 4 de la función f(x) = x (bisectriz).

La integral entre 0 y 4 de la función f(x) = x vale:

Luego si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable, la integral representa

el área del recinto delimitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x =

b.

Área del recinto limitado por una función negativa en [a,b]Veamos la relación que hay entre los recintos limitados por las gráficas de f(x) (siendo ésta

negativa) y -f(x), por medio de un ejemplo sencillo y calcularemos, en este ejemplo, el área del

recinto determinado por dicha función negativa.

Ejemplo: Sea f(x) = -x y [a,b] = [0,4]. Hemos calculado, en el apartado anterior, el áreaque encierra

f(x) = x entre 0 y 4.

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Vemos, claramente, que el área del recinto limitado por una función negativa f(x) en [a,b]es la

misma que la limitada por la gráfica de -f(x), cuya función es ya positiva y podemos calcular el área

mediante una integral como en el apartado anterior.

La integral entre 0 y 4 de la función f(x) = -x vale:

Área del recinto limitado por una función que cambia de signo en [a,b]Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de

abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la

región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b]. Sabemos que:

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Área del recinto limitado por dos funcionesEn este apartado vamos a calcular el área de recintos planos más generales que los estudiados en

los apartados anteriores. Uno de los problemas que suele plantearse es la determinación exacta de

la región cuya área queremos calcular. Como norma conviene, siempre que sea posible, hacer una

representación lo más aproximada posible de dicha región o recinto.

Cálculo de volúmenesDada una función f continua y R el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = a, x = b, y = 0, hacemos girar dicho recinto alrededor del eje OX, engendrando un cuerpo sólido de revolución. Se trata ahora de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso completamente análogo al realizado en la definición de integral definida.

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METODO DE LOS TUBOS. Este método consiste en interpretar el volumen como límite de la suma de los volúmenes de los

tubos obtenidos al girar alrededor del eje de giro las franjas de espesor infinitesimal que determina

en la región una partición del intervalo. Este método será apropiado cuando al intentar aplicar el

método de los discos se deba descomponer la integral en varios sumandos.

Como el volumen de cada uno de estos tubos es 2π· radio medio · altura, el volumen obtenido al

girar la región comprendida entre la función y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b tiene las

siguientes formulas.

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LONGITUD DE CURVAS PLANAS.Dada la función y = f(x), definida en un intervalo [a, b], a cada partición P = {x0 = a, x1, . . . , xn−1,

xn = b} de [a, b] le corresponde una poligonal de vértices Pk = (xk, f(xk)), k = 0, 1, . . . , n, como

indica la figura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se define como el

supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es finito, se dice que la curva es rectificable;

si no, la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). El resultado fundamental que aplicaremos

en esta sección es el siguiente:

Siendo t0 y t1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva. En la mayoría

de los casos no es posible encontrar expresiones explicitas de la longitud de un arco de curva. Por

ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas (que expresan

longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva.

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf

http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/ana2_11.pdf

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Opinión personal: La integral definida tiene diversas aplicaciones de diferentes ramos, por

ejemplo no solo para las matemáticas, si no para la administración y economía. Esta nos ayuda a

resolver problemas de la vida cotidiana, aunque si es un poquito difícil de entender o plantear para

aplicar la solución que se requiere, ya que la integral es lo de menos porque son modelos muy

básicos.