MÉTODOS ESTATÍSTICOS II1a Avaliação à Distância (AD1) - 1o. semestre de 2009 - Profa. Ana Maria Farias

1. Na Figura 1 são dados os gráficos de 2 funções, f(x) e g(x). Verifique se existe algum valor de kque permita que cada uma dessas funções represente a função de densidade de alguma variávelaleatória contínua X. Em caso afirmativo, determine a expressão da função de densidade ecalcule os três quartis q1, q2,q3 da distribuição.

Figura 1: Gráficos de f(x) e g(x) para a questão 1

Solução

• f(x)

A primeira condição é que k ≥ 0. Para que a área sob a curva seja 1, temos que ter

(3k)× 1 + 3k + k

2× 1 = 1 =⇒ 3k + 2k = 1 =⇒ k =

1

5= 0, 2

Logo, se k = 0, 2 f(x) é uma função de densidade e para 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0, 6; para1 < x ≤ 2, f(x) é uma reta que passa pelos pontos (1; 0, 6) e (2; 0, 2):½

0, 2 = a+ 2b0, 6 = a+ b

=⇒ b = −0, 4 =⇒ a = 1, 0

Logo

f(x) =

½0, 6 se 0 ≤ x ≤ 1

1− 0, 4x se 1 < x ≤ 2

Como Pr(X ≤ 1) = 0, 6, o primeiro e segundo quartis de f(x) são menores que 1 e o terceiroquartil é maior que 1. Veja a Figura 2.

0, 6Q1 = 0, 25 =⇒3

5Q1 =

1

4=⇒ Q1 =

5

12

0, 6Q2 = 0, 5 =⇒3

5Q2 =

1

2=⇒ Q2 =

5

6

1

Figura 2: Cálculo dos quartis da densidade f(x)

Para o cálculo de Q3, vemos que a área do trapézio cinza escuro tem que ser 0,15; logo

(1− 0, 4Q3) + 0, 62

× (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒ 1, 6− 0, 4Q32

× (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒

(0, 8− 0, 2Q3)× (Q3 − 1) = 0, 15 =⇒ 0, 8Q3 − 0, 8− 0, 2Q23 + 0, 2Q3 = 0, 15 =⇒

0, 2Q23 −Q3 + 0, 95 = 0 =⇒ Q3 =1±√1− 4× 0, 95× 0, 2

0, 4=1±√0, 24

0, 4

As duas raizes são 3,725 e 1,275. Pelo domínio da função, segue que Q3 = 1, 275.

• g(x)

A primeira condição é que k − 1 ≥ 0, o que significa que temos que ter k ≥ 1. Para quea área seja 1, temos que ter

k + k − 12

× 4 = 1 =⇒ 2k − 1 = 1

2=⇒ 2k =

3

2=⇒ k =

3

4

Mas este valor de k não satisfaz a condição de não negatividade. Logo, não existe valorde k que torne g(x) uma função de densidade.

2. Na Figura 3 é dado o gráfico da função de distribuição acumulada F (x) = Pr(X ≤ x) de umavariável aleatória contínua X.

(a) Obtenha a expressão de F (x)Solução

2

Figura 3: Gráfico da função de distribuição acumulada F (x) para a questão 2

Para x < 1, F (x) = 0 e para x ≥ 3, F (x) = 1. Para 1 ≤ x ≤ 3 F (x) é uma reta que passapelos pontos (1; 0) e (3; 0). Logo, para 1 ≤ x ≤ 3, F (x) = 1

2(x− 1). A expressão completade F (x) é

F (x) =

⎧⎨⎩0 se x < 1

x−12 se 1 ≤ x ≤ 31 se x > 1

Calcule as seguintes probabilidades:

(b) Pr(X ≤ 2, 5)Solução

Pr(X ≤ 2, 5) = F (2, 5) =2, 5− 12

= 0, 75

(c) Pr(1, 2 < X ≤ 2, 3)Solução

Pr(1, 2 < X ≤ 2, 3) = Pr(X ≤ 2, 3)− Pr(X ≤ 1, 2) = F (2, 3)− F (1, 2) =

2, 3− 12

− 1, 2− 12

=1, 3− 0, 2

2= 0, 55

(d) Pr(X > 1, 6)

Solução

Pr(X > 1, 6) = 1− Pr(X ≤ 1, 6) = 1− F (1, 6) = 1− 1, 6− 12

= 0, 7

(e) Pr(1, 5 ≤ X ≤ 2, 4)Solução

Pr(1, 5 ≤ X ≤ 2, 4) = Pr(X ≤ 2, 4)− Pr(X < 1, 5) = Pr(X ≤ 2, 4)− Pr(X ≤ 1, 5) =2, 4− 12

− 1, 5− 12

= 0, 7− 0, 25 = 0, 45

Aqui usamos o fato de X ser contínua e, portanto, Pr(X < a) = Pr(X ≤ a)

3

3. É comum encontrar nos livros textos uma forma resumida da tabela da distribuição normalpadrão acumulada, contendo apenas a parte referente às abscissas positivas, conforme ilustradona tabela ao final desta prova. Com base nesta tabela, calcule as probabilidades a seguirrelativas a uma variável Z ∼ N(0; 1). Ilustre num gráfico da densidade normal as áreasenvolvidas para facilitar a visualização das equivalências. Você deve explicitar claramenteos eventos equivalentes sendo usados e, para facilitar a solução, você pode usar a notaçãoΦ(z) = Pr(Z ≤ z). Um exemplo: Pr(Z ≤ −1) = Pr(Z ≥ 1) = 1 − Pr(Z < 1) = 1 − Pr(Z ≤1) = 1−Φ(1) = 1− 0, 84134 = 0, 15866Comentário sobre a solução

A maior dificuldade na utilização desta versão da tabela é o cálculo de probabilidades do tipoPr(Z < a) (ou Pr(Z ≤ a) onde a < 0. Note que, para a > 0, essa probabilidade sai diretoda tabela. Veja a Figura 4, onde a área sombreada de cinza claro é a probabilidade desejadaPr(Z < a) com a < 0. Por simetria, essa probabilidade é igual a Pr(Z > −a), que é a áreasombreada de cinza escuro. Finalmente, essa probabilidade pode ser calculada pela lei docomplementar como Pr(Z > −a) = 1− Pr(Z ≤ −a) = 1−Φ(−a).

Figura 4: Solução da questão 3

(a) Pr(Z < 1, 5)

SoluçãoPr(Z < 1, 5) = Pr(Z ≤ 1, 5) = Φ(1, 5) = 0, 93319

(b) Pr(−2 ≤ Z ≤ 3)Solução

Pr(−2 ≤ Z ≤ 3) = Pr(Z ≤ 3)− Pr(Z < −2) = Pr(Z ≤ 3)− Pr(Z ≤ −2)= Φ(3, 0)− Pr(Z ≥ 2) = Φ(3, 0)− [1− P (Z < 2)]

= Φ(3, 0)− [1− P (Z ≤ 2)] = Φ(3, 0)− [1−Φ(2, 0)]= Φ(3, 0) + Φ(2, 0)− 1 = 0.99865 + 0.97725− 1 = 0, 9759

(c) Pr(Z > −2)Solução

Pr(Z > −2) = 1− Pr(Z ≤ −2) = 1− Pr(Z ≥ 2)= 1− [1− Pr(Z < 2)] = Pr(Z < 2) = Pr(Z ≤ 2) = Φ(2, 0) = 0.97725

4

(d) Pr(Z > 3, 15)

Solução

Pr(Z > 3, 15) = 1− Pr(Z ≤ 3, 15) = 1−Φ(3, 15) = 1− 0.99918 = 0, 00082

(e) Pr(−2, 85 < Z < −1, 32)Solução

Pr(−2, 85 < Z < −1, 32) = Pr(Z < −1, 32)− Pr(Z ≤ −2, 85)= Pr(Z > 1, 32)− Pr(Z ≥ 2, 85)= [1− Pr(Z ≤ 1, 32)]− [1− Pr(Z < 2, 85)]

= [1−Φ(1, 32)]− [1−Φ(2, 85)]= Φ(2, 85)−Φ(1, 32) = 0.99781− 0.90658 = 0, 09123

4. Seja X ∼ N(μ;σ2).

(a) Calcule Pr(|X − μ| > 1σ).Solução

Pr(|X − μ| > 1σ) = Pr(X − μ < −σ) + Pr(X − μ > σ)

= Pr

µX − μ

σ< −1

¶+Pr

µX − μ

σ> 1

¶= Pr(Z < −1) + Pr(Z > 1)

= 2× Pr (Z > 1) = 2× [1− Pr (Z ≤ 1)]= 2× [1−Φ(1, 0] = 2× (1− 0.84134) = 0, 31732 ≈ 0, 32

(b) Calcule Pr(|X − μ| > 2σ).Solução

Pr(|X − μ| > 2σ) = Pr(X − μ < −2σ) + Pr(X − μ > 2σ)

= Pr

µX − μ

σ< −2

¶+Pr

µX − μ

σ> 2

¶= Pr(Z < −2) + Pr(Z > 2)

= 2× Pr (Z > 2) = 2× [1− Pr (Z ≤ 2)]= 2× [1−Φ(2, 0] = 2× (1− 0.97725) = 0, 0455 ≈ 0, 05

(c) Calcule Pr(|X − μ| > 3σ)Solução

Pr(|X − μ| > 3σ) = Pr(X − μ < −3σ) + Pr(X − μ > 3σ)

= Pr

µX − μ

σ< −3

¶+Pr

µX − μ

σ> 3

¶= Pr(Z < −3) + Pr(Z > 3)

= 2× Pr (Z > 3) = 2× [1− Pr (Z ≤ 3)]= 2× [1−Φ(3, 0] = 2× (1− 0.99865) = 0, 0027 ≈ 0, 003

5

(d) Calcule o valor de k tal que Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95

Solução

Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95⇐⇒ Pr(−kσ < X − μ < −kσ) = 0, 95⇐⇒

Pr

µ−k <

X − μ

σ< k

¶= 0, 95⇐⇒ Pr (−k < Z < k) = 0, 95⇐⇒

2× Pr (0 < Z < k) = 0, 95⇐⇒ Pr (0 < Z < k) = 0, 475⇐⇒tab (k) = 0, 475⇐⇒ Φ(k) = 0, 975⇐⇒ k = 1, 96

(e) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ > kσ) = 0, 05

Solução

Pr(X − μ > kσ) = 0, 05⇐⇒ Pr (Z > k) = 0, 05⇐⇒ 1−Φ(k) = 0, 05⇐⇒Φ(k) = 0, 95⇐⇒ k = 1, 64

(f) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ < kσ) = 0, 10

Solução

Pr(X − μ < kσ) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z < k) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z > −k) = 0, 10⇐⇒1−Φ(−k) = 0, 10⇐⇒ Φ(−k) = 0, 90⇐⇒ −k = 1, 28⇐⇒ k = −1, 28

(g) Interprete os resultados obtidos.SoluçãoO importante a notar neste exercício é que os resultados valem para qualquer normal.Por exemplo, dos itens (a), (b) e (c) resulta que, para qualquer distribuição normal,

o intervalo [μ− σ;μ+ σ] tem 68% de probabilidade

o intervalo [μ− 2σ;μ+ 2σ] tem 95% de probabilidade

o intervalo [μ− 3σ;μ+ 3σ] tem 99,7% de probabilidade

Veja a Figura 5 Assim, o desvio padrão funciona como uma medida de escala, ou seja,podemos falar em termos de número de desvios padrões. Por exemplo, do item (e),conclui-se que acima de 1,64 desvios padrões acima da média temos sempre 5% de prob-abilidade.

5. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração que se distribuisegundo uma normal com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km.

(a) Qual é a probabilidade de que um carro produzido por essa fábrica, escolhido aleatoria-mente, tenha um motor que dure menos que 170.000 km?SoluçãoSeja X a v.a. normal que representa a duração dos motores, em km. Então, X ∼N(150000, 50002).

Pr(X < 170000) = Pr

µZ <

170000− 1500005000

¶= Pr(Z < 4, 0) = Φ(4, 0) ≈ 1, 0

6

Figura 5: Solução da questão 4(g )

(b) Qual é a probabilidade de que um carro produzido por essa fábrica, escolhido aleatoria-mente, tenha um motor que dure entre 140.000 e 180.000 km?Solução

Pr(140000 < X < 180000) = Pr

µ140000− 150000

5000< Z <

180000− 1500005000

¶= Pr (−2 < Z < 6) = Φ(6, 0)−Φ(−2, 0) ≈ 1− Pr(Z > 2)

= 1− [1−Φ(2)] = 0, 97725

(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à especificada no certifi-cado de garantia, qual deve ser o limite da garantia para que a porcentagem de motoressubstituídos seja inferior a 0,2%?SoluçãoSe no máximo 0,2% dos motores devem ser substituídos, a duração k para garantia étal que Pr(X < k) = 0, 002 e, obviamente, esse valor tem que estar abaixo da média de

7

150.000 km.

Pr(X < k) = 0, 002 =⇒ Pr

µZ <

k − 1500005000

¶= 0, 002 =⇒

Pr

µZ > −k − 150000

5000

¶= 0, 002 =⇒ Φ

µ−k − 150000

5000

¶= 1− 0.002 = 0.998 =⇒

150000− k

5000≈ 2, 88 =⇒ k = 150000− 2.88× 5000 = 135600

6. As notas de um exame eliminatório de Estatística numa grande universidade distribuem-seaproximadamente como uma normal com média 7,8 e desvio padrão 0,8. Os 5% melhoresalunos serão entrevistados visando a concessão de uma bolsa de estudos. Qual é a notamínima que um aluno precisa tirar para ser entrevistado?

Solução

Seja X a nota no exame. A nota mínima para a entrevista é k tal que

Pr(X ≥ k) = 0, 05 =⇒ Pr

µZ ≥ k − 7, 8

0, 8

¶= 0, 05 =⇒ Φ

µk − 7, 80, 8

¶= 0, 95 =⇒

k − 7, 80, 8

= 1, 64 =⇒ k = 7.8 + 0.8× 1.64 = 9, 112

7. Nas situações descritas a seguir, descreva a população e o parâmetro de interesse, bem comoo tamanho da amostra e a estatística amostral utilizada.

(a) Um consumidor afirma que os pacotes de café produzidos por uma certa fábrica estãocom peso abaixo do que é permitido pelos órgãos fiscalizadores. Para embalagens de 500g, é permitido um peso de até 475 g. O gerente da fábrica afirma que o processo deprodução está regulado para produzir embalagens com pelo menos 477g e que o peso dospacotes é aproximadamente normal. Uma amostra de 9 pacotes acusou uma média de475, 22 g e desvio padrão de 2, 59 g.SoluçãoA população de interesse é o conjunto de todos os pacotes de café de 500 g produzidospela fábrica em questão e essa população é representada pela variável aleatória X querepresenta o peso dos pacotes. O parâmetro é a média populacional, ou seja, a média dav.a. X. O tamanho da amostra é n = 9 e a estatística amostral é a média amostral X.

(b) Um cliente afirma que o tempo de entrega de encomendas por uma empresa de serviçopostal é maior que as 36 horas anunciadas na propaganda. Para verificar essa afirmativa,a empresa seleciona uma amostra de 16 tempos, que acusa um tempo médio de 37,5 horase um desvio padrão de 1,53 horas.SoluçãoA população é representada pela v.a. T que representa o tempo de entrega de todas asencomendas desta empresa. O parâmetro é a média populacional, ou seja, a média dav.a. T . O tamanho da amostra é n = 16 e a estatística amostral é a média amostral T .

(c) Um jornal afirma que os calouros de uma certa universidade gastam 7,5 horas por se-mana em chopadas e outras festas de confraternização. O coordenador do curso deAdministração, não acreditando que esse número se aplique aos calouros da sua faculdade,

8

entrevista 100 calouros, obtendo uma média de 6,6 horas semanais em festas por semanacom desvio padrão de 9 horas.SoluçãoA população é representada pela v.a. T que representa os tempos gastos em chopadaspor todos os calouros desta universidade. O parâmetro é a média populacional, ou seja,a média da v.a. T . O tamanho da amostra é n = 100 e a estatística amostral é a médiaamostral T .

8. Considere a população formada pelos elementos {1, 3, 7, 8, 10}. Liste todas as possíveis amostrasaleatórias simples de tamanho 3 que podem ser retiradas dessa população sem reposição. Paracada uma delas calcule a mediana e verifique se a mediana amostral é um estimador não viesadopara a mediana populacional.

Solução

Como é amostra, não precisamos nos preocupar com a ordem; logo, temos 10 amostras pos-síveis, todas igualmente prováveis ¡5

3

¢=

5!

3!2!= 10

Amostra Mediana(1,3,7) 3(1,3,8) 3(1,3,10) 3(1,7,8) 7(1,7,10) 7(1,8,10) 8(3,7,8) 7(3,7,10) 7(3,8,10) 8(7,8,10) 8

A distribuição amostral da mediana amostral é

m 3 7 8Pr(Q2 = m) 0,3 0,4 0,3

e, portantoE(Q2) = 3× 0.3 + 7× 0.4 + 8× 0.3 = 6, 1

Como a mediana populacional é 7, resulta que a mediana amostral é um estimador viesadopara estimar a mediana populacional.

9

Casa inteirae 1a. Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,535860,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,575350,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,614090,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,651730,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,687930,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,722400,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,754900,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,785240,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,813270,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,838911,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,862141,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,882981,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,901471,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,917741,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,931891,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,944081,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,954491,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,963271,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,970621,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,976702,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,981692,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,985742,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,988992,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,991582,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,993612,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,995202,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,996432,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,997362,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,998072,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,998613,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,999003,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,999293,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,999503,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,999653,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,999763,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,999833,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,999893,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,999923,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,999953,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,999974,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 1,00000

Tabela da Distribuição Acumulada da Normal Padrão

2a decimal

Valores de p

)Pr()( zZzp ≤=Φ=

10