บทที่ 1การประยุกต 1 (16 ช่ัวโมง)

1.1 รูปเรขาคณิต (3 ช่ัวโมง) 1.2 จํานวนนับ (5 ช่ัวโมง) 1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ช่ัวโมง) 1.4 ปญหาชวนคิด (4 ช่ัวโมง)

ในบทเรียนนี้มุงเนนการจัดการเรียนการสอนใหสอดคลองตามมาตรฐานการเรียนรู สาระที่ 6 ทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืนๆ ตลอดจนความคิดริเร่ิมสรางสรรค เนื้อหาสาระที่นําเสนออยูในรูปของกิจกรรมและใชความรูพื้นฐานคณิตศาสตรเดิมในชั้นประถมศึกษา รูปแบบของกิจกรรมมีหลากหลาย ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนของการเรียนรูและสามารถนําไปประยุกตใชในชีวิตจนเกิดเปนกิจนิสัย ในการจดักจิกรรมการเรยีนการสอน ครูควรใหนกัเรยีนไดลงมอืปฏิบตั ิ มกีารสนทนา อภปิรายและนําเสนอผลงานหรือขอสรุป ขั้นสุดทาย ครูและนักเรียนจะตองชวยกันสรุปวา ในแตละกิจกรรม นักเรียนไดเรียนรูสาระอะไรบาง ความคิดรวบยอดของเรื่องนั้นเปนอยางไรและสามารถนําความรูนั้นไปใชไดอยางไร สําหรับการวัดผลและการประเมินผลของบทนี้ ใหครูเนนการวัดกระบวนการมากกวาคําตอบครูควรวัดผลระหวางทาํกิจกรรม และเมื่อจบบทเรยีนนีแ้ลวควรมกีารวดัผลโดยใชขอสอบแบบปลายเปดใหนักเรียนไดคิดอยางอิสระ เพื่อจะไดประเมินผลแนวคิดที่หลากหลายของนักเรียน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 รูปเรขาคณิต (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. บอกความสัมพันธระหวางผลบวกของความยาวของดานสองดานกบัความยาวของดานทีส่ามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได 2. บอกไดวาจุดที่กําหนดใหในรูปเสนโคงปดเชิงเดียวเปนจุดขางในหรือจุดขางนอก 3. สรางแทนแกรมไดและบอกความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตางๆ ของแทนแกรมได

4. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตางๆ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตรคนหาสมบัติทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม

ขอเสนอแนะ 1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาและซักถามนักเรียนเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่นักเรียนไดเรียนมาแลว เชน ใหบอกบทนิยาม บอกชนิดของรูปสามเหลี่ยม ยกตัวอยางสิ่งของเครื่องใชที่มีสวนประกอบของรปูสามเหลีย่มดานเทา รูปสามเหลีย่มหนาจัว่ เปนตน

2. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเปนกลุมและดําเนินกิจกรรมตามลําดับขั้นตอนที่ระบุไวในหนังสือเรียนเพื่อใหนักเรียนไดใชกระบวนการดังแผนภูมิตอไปนี้

3

ในขณะที่นักเรียนทํากิจกรรม ครูควรสังเกตแนวคิดและการบันทึกผลเกี่ยวกับการกําหนดความยาวที่ใชในแตละดาน อาจช้ีแนะใหนักเรียนแจงกรณีอยางเปนระบบเพื่อใหไดคําตอบครบทุกกรณี จากกจิกรรมนีน้กัเรยีนควรสรปุสมบตัเิกีย่วกบัความยาวของดานของรปูสามเหลีย่มใดๆ ไดวาผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม 3. ครูอาจยกตัวอยาง การใชสมบัติเกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมเปนหลักในการออกแบบเครื่องใชในชีวิตประจําวัน เชน ที่รองรีดผาซึ่งสามารถปรับความสูงและพับเก็บแบนราบ โดยใชความรูในกรณทีีใ่ชความยาวของสวนของเสนตรง 3 เสนมาประกอบกนัแลวไมเกดิรูปสามเหลีย่ม การทําใหที่รองรีดผาสามารถปรับเก็บแบนราบได จะตองปรับเลื่อนดานที่สามของรูปสามเหลี่ยมใหความยาวของดานที่สามเทากับผลบวกของความยาวของดานอีกสองดานที่เหลือ ดังรูป

สถานการณ / ปญหา

ศึกษาสํารวจและจดบันทึกขอมูล

สังเกตขอมูล / วิเคราะหแบบรูปของคําตอบ

สรางขอความคาดการณ

ตรวจสอบ

สรุปผล

นําไปใช

(กิจกรรมขอ 2)

(กิจกรรมขอ 3 และขอ 4)

(กิจกรรมขอ 4 และขอ 5)

(แบบฝกหัดขอ 1)

(แบบฝกหัดขอ 2 และ ขอ 3)

(แบบฝกหัดขอ 4 และ ขอ 5)

4

จากรูป ∆ ABC จะเห็นวา AB และ BC เปนความยาวที่คงตัว เนื่องจากที่รองผาสามารถปรับความยาวของดานที่แทนดวย AC ได ดังนั้น ถาปรับเลื่อนให AC ยาวมากขึ้น ขาโตะที่รองรีดผาจะหางกันมากขึ้นดวยดังรูป

ถาปรับ AC = AB + BC ที่รองรีดผาจะพับแบนราบได

จุดขางในและจุดขางนอก กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตร

ขอเสนอแนะ 1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาเกี่ยวกับรูปปดที่นักเรียนรูจักมาแลว เชน รูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหล่ียม ซ่ึงมีเสนรอบรูปประกอบดวยสวนของเสนตรง จากนั้นใหครูใชเชือกแสดงรูปเสนโคงปดเชิงเดียว ครูอาจใหนกัเรยีน 2 – 3 คน ออกมาเขยีนเสนโคงปดเชงิเดยีวพรอมจดุบนกระดานดาํ แลวใหครูอธิบายความหมายของจุดขางนอกและจุดขางในโดยใชรูปที่นักเรียนเขียน 2. ครูควรศึกษากิจกรรมที่กําหนดไวในเรื่องนี้อยางละเอียดทุกขั้นตอน และควรจัดกิจกรรมตามลําดับขั้นตอนที่เสนอไวตามแนวทางของกิจกรรม “ สํารวจจุด” ดังนี้

A

B

C

A B CA

AC

C

5

กิจกรรมนี้เร่ิมจากปญหาที่ไมซับซอนที่นักเรียนสามารถหาคําตอบไดงายกอน แลวจงึใหปญหาในลกัษณะเดยีวกนัแตซับซอนขึน้เพือ่ใหนกัเรยีนรูสึกวา วธีิการหาคําตอบที่ใชอยูเดิมนั้นไมสะดวก แลว นักเรียนควรคิด พิจารณา สืบเสาะและวิเคราะหหาแนวทางแกปญหาใหม แตกิจกรรมนี้เปนการเร่ิมตนการเรียนรูในแนวนี้ จึงไดบอกวิธีคิดใหกอน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธจากแบบ

ปญหาที่ไมซับซอน

แกปญหาตามเงื่อนไข

ปญหาลักษณะเดียวกัน แตมีความซับซอน

สืบเสาะหาวิธีแกปญหาใหมที่เร็วข้ึนโดยสํารวจ สังเกต และวิเคราะห

สรางขอความคาดการณ

ตรวจสอบ

สรุปผล

นําไปใช

ขอ 1 ขอ 1) – 4)

ขอ 1 ขอ 5)

ขอ 3ขอ 4 ขอ 1) และ 2)

ขอ 4 ขอ 3)

ขอ 5

ผลสรุปทายหนา 9

กิจกรรม “ลองทําดู”“พวกเดียวกันหรือไม”และ “ชวนคิด”

6

รูปของคําตอบแลวสรางขอความคาดการณได และใชขอความคาดการณที่สรางขึ้นตรวจสอบกับปญหาในลักษณะเดียวกันจนแนใจวา สามารถนําขอความคาดการณนั้นไปใชได

3. กิจกรรม “สํารวจจุด” ขอ 2 เปนคําถามที่ตองการใหนักเรียนฉุกคิดวา วิธีการหาคําตอบโดยลากเสนจากจดุทีก่าํหนดใหออกมาขางนอกรปูเพือ่หาวา จดุใดเปนจดุขางในและจดุใดเปนจดุขางนอก ไมนาจะเปนวิธีที่ดี ควรมีวิธีที่สะดวกกวาและหาคําตอบไดเร็วกวา กอนใหทําขอ 3 และขอ 4 ครูควรใหนักเรียนลองหาวิธีที่จะหาคําตอบดวยตัวเองกอน และช้ีประเด็นใหเห็นวาขอ 3 และขอ 4 นี้เปนขั้นตอนที่สําคัญของการสรางองคความรูใหม

ในการทําขอ 4 นักเรียนควรสังเกตผลจากการทดลองโดยวิธีใหม และวิเคราะหแบบรูปของคําตอบเพื่อสรางขอความคาดการณ

ขอ 5 เปนคําถามที่ใหนักเรียนเห็นวา เมื่อสรางขอความคาดการณแลวตองนําขอความคาดการณนั้นไปตรวจสอบกับปญหาในลักษณะเดียวกัน เพื่อดูวาขอความนั้นใชไดหรือไม ในทางคณิตศาสตรเมื่อตองการยืนยันวาขอความคาดการณที่สรางขึ้นเปนจริง จะตองพิสูจนโดยการใหเหตผุลแบบนรินยั แตในกจิกรรมนีจ้ะใชการตรวจสอบแทนการพสูิจน ครูควรบอกใหนกัเรยีนทราบวาขอความคาดการณที่นักเรียนสรางขึ้นเปนทฤษฎีบทของฌอรดองและใหนําทฤษฎีบทนี้ไปใชในการทํากิจกรรมตอนทายตอไป กิจกรรม “ลองทําดู” เปนกิจกรรมที่ใชตรวจสอบความรูความเขาใจและพัฒนาความคิดสรางสรรค สําหรับกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม” เปนกิจกรรมที่ใหเห็นการนําความรูไปใชแกปญหา 4. สําหรับปญหาชวนคิด เมื่อใชทฤษฎีบทของฌอรดองตรวจสอบ จะพบวา ถาลากสวนของเสนตรงจากจุด A ตัดเสนรอบรูปจะไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่แสดงวา A เปนจุดขางใน เพื่อใหไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคู ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงออกมา 1 ช้ัน ขุนแผนก็จะมาอยูในตําแหนงของจุดขางนอกได 5. สําหรับกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนตระหนักวา การหาคําตอบโดยใชสายตาเปนเครื่องวัดอาจจะเชื่อถือไมไดเสมอไป

แทนแกรม กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตาง ๆ ของแทนแกรม ใหเห็นการเชือ่มโยงความรูระหวางรปูเรขาคณติกบัเศษสวน และใชเปนกจิกรรมทีช่วยพฒันาความคดิสรางสรรคและความรูสึกเชิงปริภูมิ

7

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําเขาสูกิจกรรมโดยสนทนาเกี่ยวกับเกมตอภาพตางๆ อาจใหนักเรียนยกตัวอยางเกมตอภาพที่เคยเลนมาแลว 2. กอนใหนักเรียนสรางแทนแกรม ครูควรใหนักเรียนบอกความสัมพันธของรูปตางๆ ในแทนแกรมกอนแลวใหนักเรียนทุกคนสรางแทนแกรมตามขั้นตอนที่กําหนดให อาจใหแตละคนใชกระดาษสีตางกัน เพื่อทํากิจกรรมขอ 5 ขางลางนี้

3. ครูใหนักเรียนตัดกระดาษตามรูปแทนแกรมทั้งเจ็ดชิ้น แลวพิจารณาวาแตละรูปเปนรูปเรขาคณิตชนิดใดบางและมีความสัมพันธกันอยางไร เชน บางรูปเทากันทุกประการ (ทับกันสนิทพอดี) บางรูปนํามาตอกันจะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 4. ในกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร” ครูอาจแบงนักเรียนออกเปนกลุมใหชวยกันหาคําตอบ แลวนําเสนอวิธีการแกปญหาของแตละกลุม

5. สําหรับกิจกรรมตอภาพแทนแกรมใหนักเรียนแลกเปลี่ยนชิ้นสวนของแทนแกรมเพื่อใหแตละคนมแีทนแกรมทีห่ลากสซ่ึีงจะไดภาพท่ีมคีวามสวยงามมากขึน้ เมือ่นกัเรยีนทาํตามคาํสัง่ในกจิกรรมแลว ควรนําผลงานของนักเรียนไปแสดงใหเพื่อนๆ เห็น

1.2 จํานวนนับ (5 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ

1. อธิบายแบบรูปและความสัมพันธของผลคูณในสูตรคูณแมตาง ๆ ได 2. ใชตะแกรงของเอราทอสเทนีสหาจํานวนเฉพาะได 3. ใชขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับที่มีคามาก ๆ ได

4. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนสูตรคูณ กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นความสัมพันธระหวางการบวกและการคูณในสูตรคูณแมตางๆ และใชความสัมพันธนี้สรางขอความคาดการณเกี่ยวกับสูตรคูณแมอ่ืนๆ นอกเหนือจากที่เรียนมา ตลอดจนสังเกตเห็นแบบรูปที่นาสนใจที่ไดจากสูตรคูณเหลานั้น

8

ขอเสนอแนะ 1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมใหนักเรียนทองสูตรคูณ สองแมหรือสามแมที่ครูกําหนด หลังจากนั้นครูใชคําถามใหนักเรียนบอกความสัมพันธระหวางการบวกซ้ําๆ ดวยจํานวนที่เปนแมสูตรคูณที่ครูกําหนด แลวโยงไปสูรูปการคูณซึ่งทําใหเกิดสูตรคูณแมตางๆ ขึ้น 2. ใหนักเรียนทํากิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก” หลังจากนักเรียนตอบคําถามขอ 2 แลว ครูควรตรวจสอบความรู ความเขาใจและการใหเหตผุลของนกัเรยีนวาถูกตองหรอืไม ในระหวางที่นักเรียนหาคําตอบขอ 3 ครูควรสังเกตวานักเรียนเห็นแบบรูปที่ปรากฏในสูตรคูณแม 4 และสูตรคูณแม 6 หรือไม นักเรียนควรสังเกตเห็นวาเลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณของสูตรคูณทั้งสองแมเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตเรียงสลับกันดังนี้

สูตรคูณแม 4 เลขโดดคือ 4 8 2 6 0สูตรคูณแม 6 เลขโดดคือ 6 2 8 4 0

ครูอาจใหนักเรียนโยงสวนของเสนตรงในรูปวงกลมของสูตรคูณ พรอมแสดงทิศทางที่ไดเลขโดดในหลักหนวยของผลคูณเพื่อใหเห็นภาพที่มีความเกี่ยวของกัน ในการทํากิจกรรมขอ 4 ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนสังเกตเห็นความเกี่ยวของกันระหวางแมสูตรคณูซึง่ใหภาพเหมอืนกนั และอาจแนะนาํใหระบายสหีรือแตงรูปทีไ่ดใหเกดิความสวยงามก็ได สําหรับคาํถามขอ 7 ตองการใหนกัเรยีนนาํความรูขอ 6 มาอางองิและใชการคาดการณหรือใหเหตผุลอ่ืนเพิม่เตมิโดยไมตองเขยีนสตูรคณูเม 13 ถึงแม 24 จริง ๆ เชน สูตรคูณแม 13 มีภาพเหมือนกันและมีทิศทางการโยงจํานวนเหมือนกันกับสูตรคูณแม 3 เพราะวา 13 = 10 + 3 ดังนั้นเมื่อนาํ 13 ไปคณูจาํนวนนบัใดๆ เลขโดดในหลกัหนวยของผลคณูนัน้กจ็ะเหมอืนกบัเลขโดดในหลกัหนวยของผลคูณของสูตรคูณแม 3 (ครูอาจแสดงการคูณใหเห็นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง)

รอนหาจํานวนเฉพาะกจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนเหน็ขัน้ตอนการหาจาํนวนเฉพาะ โดยใชตะแกรงของเอราทอสเทนสี

และรูจักวิธีการตรวจวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะ

ขอเสนอแนะ 1. ครูอาจนําเขาสูกิจกรรมโดยใชการถามตอบ ทบทวนความหมายของจํานวนเฉพาะภายใตขอบเขตของจํานวนนับ แลวจึงใหนักเรียนศึกษาวิธีการรอนหาจํานวนเฉพาะของเอราทอสเทนีส โดยใชแผนภูมิจํานวนนับ 1 ถึง 40 เพื่อสาธิตวิธีการตามลําดับขั้นตอนที่ปรากฏในหนังสือเรียน ครูอาจใชไมเคาะชี้ตัวเลขบนแผนภูมิใหเห็นการนับ ตามขั้นตอนขอ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันทําตามใน

9

ขั้นตอนขอ 3 - ขอ 5 ในการขีดฆาจํานวนทิ้งควรใชสีที่ตางกัน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธของจํานวนที่ถูกขีดฆาทิ้งมากกวาหนึ่งครั้งดวย 2. ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนระหวาง 1 ถึง 102 ในหนังสือเรียนหนา 24 มีเจตนาเขียนไวแถวละ 6 จํานวน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นวาจํานวนเฉพาะเกือบทุกจํานวนจะอยูในหลักที่หนึ่งและหลักที่หา นักเรียนจะสามารถหาจํานวนเฉพาะไดงายขึ้น

1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 4243 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 5455 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 6667 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 7879 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 9697 98 99 100 101 102

จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 ไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101 3. กอนใหตัวอยางการตรวจสอบวา 79 เปนจํานวนเฉพาะ ครูควรอธิบายสาระหนา 23 – 25 ในหนังสือเรียนใหนักเรียนเขาใจขั้นตอนวิธีการตรวจสอบวา จํานวนนับ n ที่กําหนดเปนจํานวนเฉพาะหรือไม โดยใหใชจํานวนเฉพาะ p ที่เมื่อคูณตัวเองแลวผลคูณนอยกวาหรือเทากับ n มาหาร n ถา p ทุกตัวหาร n ไมลงตัวแลว n เปนจํานวนเฉพาะ

10

สําหรับขอความ “แนวคิดทางคณิตศาสตร” ที่อางถึงในหนังสือเรียนหนา 25 นั้นมีความหมายดังนี้

สําหรับจํานวนเต็ม n ที่มากกวา 1 ถา n ไมเปนจํานวนเฉพาะ จะมีจํานวนเฉพาะ p ที่นอยกวาหรือเทากับ n ซ่ึงหาร n ลงตัว หลังจากอธิบายตัวอยางตามที่กลาวไวในหนังสือเรียนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปหลักการตรวจสอบวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะหรือไม 4. สําหรับขอความสนทนาที่อยูในกอนเมฆเสนอไวเพื่อใหนักเรียนเห็นเปนตัวอยางวาเมื่อเรียนรูเร่ืองใดแลว นักเรียนควรไดฝกการนําไปใช ในที่นี้คือฝกสังเกตหาความสัมพันธและสรางขอความคาดการณในเรื่องที่ตอเนื่องกัน เชน ในบทเรียนกุงและกอยพบจํานวนเฉพาะ 13 และ 31 ที่มีเลขโดดชุดเดียวกันแตสลับหลักกันและจากการสืบเสาะของกุงและกอย ทั้งสองควรจะพบวาจํานวนนับตั้งแต 1 ถึง 102 ในตารางจะมีจํานวนเฉพาะที่มีลักษณะพิเศษนี้อีก ไดแก 17 กับ 71 37 กับ 73 และ 79 กับ 97 นอกจากนี้ กุงและกอยยังพบจํานวนเฉพาะแฝดเพิ่มเติมอีก ไดแก 5 กับ 7 11 กับ 13 17 กับ 19 29 กับ 31 41 กับ 43 59 กับ 61 71 กับ 73 และ 87 กับ 89 ซ่ึงเสนอไว ในกอนเมฆทายตารางหนา 24 ปญหาชวนคิดที่นําเสนอไวหนา 26 ตองการใหนักเรียนเห็นตัวอยางขอความคาดการณที่ไดจากการพยายามพิจารณาหาแบบรูปของความสัมพันธวา ในบางครั้งขอความคาดการณที่สรางขึ้นอาจไมเปนจริงสําหรับกรณีทั่วๆ ไป ซ่ึงนักเรียนสามารถหาตัวอยางมาคานได เชน (2 × 7) + 1 = 15 และ 15 ไมใชจํานวนเฉพาะ ดังนั้นขอความคาดการณของกวีจึงไมเปนจริง

ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด

กิจกรรมนี้ตองการใหความรูเกี่ยวกับวิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจาํนวนนบัสองจาํนวนทีม่คีามากๆ โดยใชขัน้ตอนวธีิแบบยคุลิดและใหเหน็ความสมัพนัธของ ห.ร.ม. ค.ร.น. กบัจาํนวนนบัทีก่าํหนดให

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําเขาสูบทเรียนดวยการทบทวนวิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนตามที่นักเรียนไดเรียนมาแลว เชน พิจารณาตัวประกอบ การตั้งหาร หรือการแยกตัวประกอบ จากนั้นครูกําหนดจํานวนนับที่มีสามหลักสองจํานวนและมี ห.ร.ม. เปนจํานวนนับที่มีสองหลัก ใหนักเรียนชวยกันหา ห.ร.ม. ตามวิธีที่เคยรูมาแลว ตอจากนั้นครูจึงเสนอวิธี หา ห.ร.ม. ตามขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดซึ่งสามารถหา ห.ร.ม. ไดเร็วกวา ครูไมจําเปนตองอธิบายถึงหลักการและเหตุผลของวิธีการดังกลาว ในช้ันนี้ตองการใหนักเรียนจําวิธีการและนําไปใชได

11

2. สําหรับการหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับสามจํานวนที่มีคามาก ๆ นักเรียนจะเลือกหา ห.ร.ม.สองจํานวนใดกอนก็ไดและใชวิธีหา ห.ร.ม. วิธีใดก็ได แตครูควรถามถึงเหตุผลในการเลือก

3. กอนใหนกัเรยีนหา ค.ร.น. ของจาํนวนนบัสามจาํนวนทีม่คีามากๆ ครูควรใหนกัเรยีนสาํรวจดวูา ถามจีาํนวนนบัสามจาํนวนทีต่องการใหหา ค.ร.น. จะสามารถประยกุตสูตรในทาํนองเดยีวกนักบัสตูร ค.ร.น.ของ a และ b = bและ a ของ ห.ร.ม. b a × มาใชกับจํานวนนับสามจํานวนไดหรือไม 4. สําหรับโจทยประยกุตในแบบฝกหดัขอ 3 ขอ 4 และขอ 5 กอนใหนกัเรยีนทาํ ครูควรทบทวนโดยใชการถามตอบเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจในพื้นฐานความรูที่เรียนมาแลวจาก รายวิชาคณิตศาสตรพื้นฐานเรื่องสมบัติของจํานวนนับ

1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. ใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ บอกคําตอบและเหตุผลได 2. ใชรอยละแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 3. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนรอยละของจํานวนใด กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนมีความรู ความเขาใจและมีความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละและนําไปใชอยางถูกตองในสถานการณจริง

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําเขาสูกิจกรรมดวยการสนทนาซักถามเรื่องรอยละที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน เชนการลดราคาสินคา ดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคาร ฯลฯ โดยเนนวารอยละที่กําหนดใหเปนรอยละของจํานวนใดจํานวนหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยางจํานวนที่แสดงวา รอยละเดียวกันของจํานวนที่ตางกันจะไมเทากัน หลายๆ ตัวอยาง

12

สาระสําคัญของกิจกรรมนี้ มุงเนนการเรียนรูที่ทําใหเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับรอยละ เชน เมื่อพูดถึง 12% นักเรียนจะตองรูทันทีวาจํานวนนี้เปน 12% หรือ 10012 หรือ 0.12 เทาของจํานวนใดจํานวนหนึ่ง

เพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับรอยละยิ่งขึ้น ครูอาจใหโจทยเพิ่มเติมในทํานองเดียวกันกับ คําถามตอไปนี้ 1) มะลิขายสมไดกําไร 20% ขายมะมวงไดกําไร 25% จะสรุปวามะลิขายสมและมะมวงรวมกันไดกําไร 45% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวา ราคาทุนของสมและมะมวงอาจไมใชจํานวนเดียวกัน) 2) รุงฟาขายนาฬิกาปลุกรุนเกาขาดทุน 15% แตขายเครื่องคิดเลขไดกําไร 20% จะสรุปวารุงฟาขายของสองอยางนี้ไดกําไร 5% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวาราคาทุนของนาฬิกาและเครื่องคิดเลขอาจไมใชจํานวนเดียวกัน) ครูอาจใหนักเรียนตรวจสอบโดยกําหนดตัวอยางราคาทุนของสมเปน 400 บาท และราคาทุนของมะมวงเปน 500 บาท รวมเปนทุน 900 บาท และ ( ) ( ) ( )900 10045 500 10025 400 10020 ××× ≠+

2. สําหรับการจัดกิจกรรมในตัวอยางที่ 1 ครูอาจถามนักเรียนวา ทําไมจึงนํารอยละที่เพิ่มขึ้นของดานยาวบวกกับรอยละที่เพิ่มของดานกวางไมได และอาจเขียนภาพประกอบเพื่อส่ือความหมาย ทําความเขาใจและชี้ประเด็นใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ รอยละของความยาวของแตละดานที่เพิ่มขึ้นกับรอยละของพื้นที่ที่เพิ่มขึ้น ดังนี้

พื้นที่ของรูปเดิมหรือรูป A เทากับ 20 × 20 = 400 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ของรูป B ซ่ึงเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 20 = 40 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ของรูป B คิดเปน 10010 40040 == 10% ของพื้นที่ของรูปเดิม ในทํานองเดียวกันพื้นที่ของรูป C คิดเปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมดวย พื้นที่ของรูป D ซ่ึงเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 2 = 4 ตารางเซนติเมตร ดังนั้นพื้นที่ของรูป D คิดเปน 4004 = 1001 = 1% ของพื้นที่ของรูปเดิม

20

20A A

22DC

B20

20

13

ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตเห็นวาการเพิ่มขึ้นของพืน้ทีข่องรูปเรขาคณติสองมติ ิ พืน้ที่ของสวนที่เพิ่มขึ้นนั้นขึ้นอยูกับการเพิ่มขึ้นของทั้งดานยาวและดานกวางของรูปเรขาคณิตสองมิตินั้น ดังนั้นเมื่อเพิ่มความยาวของดานกวาง 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 10% หรือเมื่อเพิ่มความยาวของดานกวาง 10% และดานยาว 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 20% ดวย

ครูอาจนําเสนอโดยใชรูปดังนี้

จากรูปขางตนจะไดพื้นที่ของรูป B เปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมและไดพื้นที่ของรูป C เปน 11% ของพื้นที่ของรูปเดิม ครูถามนักเรียนวาสามารถนํา 10% และ 11% ที่ไดมาบวกกันไดหรือไม เพราะเหตุใด (บวกกันได เพราะวา เปนรอยละของจํานวนเดียวกัน คือพื้นที่ของรูปเดิม) ครูอาจอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้

( ) ( )400 10011 400 10010 ×× + = ( ) 400 10011 10010 ×+

= 400 10021 ×

ดังนั้นพื้นที่ของสวนที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดจึงคิดเปน 21% ของพื้นที่ของรูปเดิมสําหรับวิธีทําของตัวอยางทั้งสามนี้ ครูไมควรตองเสียเวลาเขียนและอธิบายบนกระดาน

แตควรใหนักเรียนกลับไปศึกษาดวยตัวเองอีกครั้งหนึ่ง 3. กิจกรรม “ความคิดเห็นของฉัน” เปนกิจกรรมที่ตองการใหเห็นการนําความรูไปใชในชีวิตจริง ฝกใหนักเรียนมีความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ ไมไดมุงใหนักเรียนตองคิดคํานวณจริงๆ แตใหใชความรูสึกเชิงจํานวนประกอบเหตุผลที่สมเหตุสมผล ตัดสินใจและใหคําตอบ การใหเหตุผลประกอบคําตอบเปนสิ่งสําคัญที่จะทราบวานักเรียนมีความรูความเขาใจและมีความรูสึกเชิงจํานวนเพียงใด การใหเหตุผลของนักเรียนอาจแตกตางกัน ครูควรพิจารณาเหตุผลและ ยืดหยุนคําตอบตามความเหมาะสม 4. สําหรับเรือ่ง “ผูซ้ือ ผูขาย” ครูควรเนนใหนกัเรยีนทาํความเขาใจเกีย่วกบัตนทนุหรือราคาทนุ กําไรหรือขาดทุนที่คิดเปนรอยละ แลวใหนักเรียนพิจารณาตัวอยาง สําหรับกิจกรรมที่ใหนักเรียนสมมติตัวเองเปนเจาของกิจการมีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําความรูไปใชในชีวิตจริง ถามีเวลาครูอาจให

20

20A A 22

22C

B

14

นักเรียนทํากิจกรรมนี้โดยสรางสถานการณซ้ือขายจําลองในชั้นเรียน แลวหาขอสรุปวาไดผลเปนไปตามที่นักเรียนคิดและวางแผนไวหรือไม นอกจากนั้นครูควรสอดแทรกดานคุณธรรม ใหมีความซื่อสัตยและไมเอาเปรียบซ่ึงกันและกันระหวางผูซ้ือกับผูขายดวย 5. สําหรับเรื่อง “ลดแลว ลดอีก” ครูควรใหนักเรียนเขียนแผนภาพหาแนวคิด แสดงใหเห็นการลดราคาแตละขั้นตอน อาจเขียนแผนภาพแสดงการหาคําตอบแตละคําถามในปญหารถจักรยานดังนี้

ดอกเบี้ย กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชรอยละในชีวิตจริงเกี่ยวกับการฝากเงิน การกูเงิน การคิดดอกเบี้ย โดยกําหนดสถานการณปญหาที่กระตุนใหนักเรียนรูจักการออมเงิน

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการใชจายเงินของนักเรียนที่ไดรับเปนรายวัน รายสัปดาห หรือ รายเดือน วิธีการออมเงินหรือการฝากเงินของนักเรียน 2. ใหนักเรียนศึกษาขอมูลเกี่ยวกับการฝากเงินกับธนาคารและอัตราดอกเบี้ยที่จะไดรับในการฝากเงินแตละประเภท ครูอาจใหนักเรียนออกมาสรุปผลจากการศึกษาขอมูลในกิจกรรมนี้เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนกอนใหตัวอยาง

ราคาขายที่ลด 20%

ราคาขาย2,600 บาท

ราคาขายที่ลด 30%

ราคาทุน

ลดราคา30%

กําไร 30%

ปดราคาขายจากการลดครั้งแรก

ลดราคา 10%

ลดราคา 10%

ปดราคาขายจากการลดราคาครั้งที่สอง

ตอบคําถามขอ 5

ตอบคําถามขอ 1

ตอบคําถามขอ 4ตอบคําถามขอ 2

ตอบคําถามขอ 3

15

3. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินฝาก” แลว ครูอาจใหนักเรียนแสดงความคิดเห็นวา ถานักเรียนจะฝากเงินควรเลือกฝากประเภทใดและมีเหตุผลอยางไร 4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินกู” แลวครูควรใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิดเห็นวา อัตราดอกเบี้ยเงินกูกับอัตราดอกเบี้ยเงินฝากตางกันอยางไร อาจใหนักเรียนทราบวาสวนตางของอัตราดอกเบี้ยนี้เปนสวนหนึ่งของรายไดของธนาคาร และอาจใหขอคิดกับนักเรียนเกี่ยวกับการกูเงินนอกระบบซึ่งตองจายดอกเบี้ยในอัตราที่สูงกวาและอาจตองจายดอกเบี้ยเปนรายเดือนดวย ถาไมจําเปนจริง ๆ ไมควรกูเงินนอกระบบ

เงินโบนัส

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชรอยละในชีวิตจริง และไดฝกทักษะการคิดคํานวณจากสถานการณปญหา

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับคําวา “โบนัส” ที่ใชกันในหลายสถานการณ เชน คะแนนโบนัสแตมโบนัส รางวัลโบนัส และเงินโบนัส อาจใหนักเรียนเลาวาในสถานการณจริงๆ ของนักเรียนเคยไดโบนัสในเรื่องใดบาง 2. ครูใหความรูเกี่ยวกับเงินโบนัส และอาจยกตัวอยางการจายเงินโบนัสขององคกร บริษัทหรือหางรานตางๆ มาเลาใหนักเรียนฟงวาแตละหนวยงานมีหลักเกณฑการจายเงินโบนัสอยางไรบาง 3. กิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” และ “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” เปนกิจกรรมที่นอกจากตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเร่ืองรอยละไปใชในชีวิตจริงแลว ยังเปนการฝกทักษะการคํานวณโดยใชรอยละดวย กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” ครูควรกลาวถึงเงินกองทุนสํารองเลี้ยงชีพซ่ึงเกี่ยวของกับเงินเดือนและเงินโบนัส อาจใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชนที่จะไดรับจากเงินกองทุนสํารองเลี้ยงชีพ แตไมจําเปนตองใหรายละเอียดเกี่ยวกับการสะสมเงินกองทุนสํารองเลี้ยงชีพ เพราะเรื่องนี้มีรายละเอียดมาก 4. ในการดําเนินกิจกรรม “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” ครูอาจตั้งประเด็นใหนักเรียนรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับการใชเงินโบนัสของปติ เชน ช้ีใหเห็นวาปติเปนผูชายที่รักครอบครัวไดเงินโบนัสมาก็อยากจะแบงปนใหภรรยาและลกูๆ ดวย

16

ครูอาจใชคาํถามทีเ่สรมิสรางลกัษณะนสัิย ใหนกัเรยีนรูจักวางแผนการใชเงินอยางมีคุณคา เชน ถานักเรียนไดรับเงินโบนัส 1) นักเรียนจะวางแผนการใชเงินโบนัสอยางไรบางและ มีเหตุผลอยางไรในการใชเงินจํานวนนั้น 2) นักเรียนคิดวาจะออมเงินสวนหนึ่งของเงินโบนัสโดยฝากไวกับธนาคารบางหรือไมเพราะเหตุใด

5. ปญหา “คิด” เปนตัวอยางโจทยที่เชื่อมโยงสาระทางคณิตศาสตรระหวางจํานวนกับเรขาคณติ ในเรือ่งรอยละกบัพืน้ทีข่องวงกลม ไดฝกทกัษะเกีย่วกบัใชสมบตัขิองการเทากนั (การแทนคา) พัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมิ

1.4 ปญหาชวนคิด (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแกปญหาโดยใชยุทธวิธีตางๆ เชน สรางแบบจําลองสถานการณ

คนหาแบบรูป หาคําตอบโดยใชวิธีการแจกแจงกรณีหรือคิดยอนกลับ

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนผลบวกของจํานวนคี่

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูวิธีหาคําตอบโดยการสํารวจ สังเกต วิเคราะหแบบรูปการเพิ่มจํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสและนําผลสรุปที่ไดไปใชในการหาคําตอบ

ขอเสนอแนะ1. ใหนักเรียนศึกษาและทํากิจกรรม “ผลบวกของจํานวนคี่” ถาครูเห็นวานักเรียนมีปญหาใน

การหาคําตอบ ครูควรใชคําถามดังตอไปนี้ ช้ีนําใหนักเรียนสังเกตแบบรูปจนไดขอสรุป 1) จํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่แรเงาและไมแรเงามีความเกี่ยวของกันอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนรูปที่แรเงา 0 1 1 + 3 1 + 3 + 5 ---

จํานวนรูปที่ไมแรเงา 1 3 5 7 ---

17

2) ลําดับที่ของรูปเกี่ยวของกับจํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสทั้งหมดอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนรูปสี่เหล่ียมทั้งหมด

1(1)

22

(1 + 3)32

(1 + 3 + 5)42

(1 + 3 + 5 + 7)---

3) ลําดับที่ของรูปสัมพันธกับจํานวนของจํานวนคี่ที่นํามาบวกกันอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนของจํานวนคี่ที่นํามาบวกกัน

1(1)

2(1 + 3)

3(1 + 3 + 5)

4(1 + 3 + 5 + 7)

---

2. กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนหาคําตอบโดยการสังเกตแบบรูป ยังไมตองการใหหาผลบวกของจํานวนนับโดยใชสูตร ( )l a 2n + เมื่อ a แทนจํานวนแรก l แทนจํานวนสุดทายและ n แทนจํานวนทั้งหมดที่นํามาบวกกัน

มอีะไรอยูเทาไร กจิกรรมนีต้องการใหนกัเรยีนรูจกัแกปญหาโดยสงัเกตแบบรปู วเิคราะหความสมัพนัธ และใชแบบรปูในการหาคาํตอบ

ขอเสนอแนะ1. ในการทํากิจกรรมเรื่องนี้ครูควรใหนักเรียนทํางานเปนกลุมเพื่อชวยกันสรางแบบรูป

นักเรียนควรหาคําตอบโดยการลองแทนคาจํานวนในตารางตอไปเรื่อยๆ กอน2. การหาคําตอบของขอ 2 ที่อยูในสวนเฉลยคําตอบทายบทนี้ เปนคําตอบที่นักเรียนอาจได

จากการสืบเสาะหาคําตอบตอกันไปเรื่อยตามแบบรูปที่พบ ซ่ึงอาจไมเห็นความสัมพันธที่จะชวยใหได

18

คําตอบอยางรวดเร็ว ถาครูเห็นวานักเรียนมีความพรอมพอที่จะใหสังเกตพบความสัมพันธได ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนคิดและสามารถเห็นความสัมพันธของลําดับของรูปกับจํานวนรูปสามเหลี่ยม ลําดบัของรปูกบัจาํนวนจดุยอด และลาํดบัของรปูกบัจาํนวนดานของรปูสามเหลีย่ม ดงัในวงเลบ็ทีอ่ยูในตารางขางลางนี้

รูปท่ี 1 2 3 4 5 ---จํานวนรูปสามเหลี่ยม

1[(2 × 1) – 1]

3[(2 × 2) – 1]

5[(2 × 3) – 1]

7[(2 × 4) – 1]

9[(2 × 5) – 1]

---

จํานวนจุดยอด3

[(4 × 1) – 1]7

[(4 × 2) – 1]11

[(4 × 3) – 1]15

[(4 × 4) – 1]19

[(4 × 5) – 1]---

จํานวนดานของรูปสามเหลี่ยม

3[(6 × 1) – 3]

9[(6 × 2) – 3]

15[(6 × 3) – 3]

21[(6 × 4) – 3]

27[(6 × 5) – 3]

---

3. สําหรับการหาคําตอบขออ่ืน ๆ นักเรียนควรใชแบบรูปที่ไดเสนอไวในตารางในขอ 2 เปนแนวคดิหาคาํตอบ ในกจิกรรมนีย้งัไมไดมุงใหนกัเรยีนเขยีนแบบรปูแสดงความสมัพนัธเปนกรณทีัว่ไป แตครูอาจใหนักเรียนบางคนที่มีความสนใจเปนพิเศษคนหาความสัมพันธจากแบบรูป ซ่ึงจะไดรูปทั่วไปเปนดังนี้ ให n แทนลําดับที่ของรูป หาจํานวนรูปสามเหลี่ยมไดจาก 2n – 1 หาจํานวนจุดยอดไดจาก 4n – 1 หาจํานวนดานของรูปสามเหลี่ยมไดจาก 6n – 3

เงิน – เงิน – เงิน กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชคณิตศาสตรในชีวิตประจําวันและรูจักนํายุทธวิธีบางประการมาชวยในการแกปญหา เชน การแจกแจงกรณี

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําเขาสูกิจกรรมดวยการสนทนาเกี่ยวกับความเปนมาของธนบัตรไทยอยางคราวๆ 2. กิจกรรม “แลกเงิน” เปนกิจกรรมที่มีสถานการณใกลตัวนักเรียนมาก แตนักเรียนอาจไม

19

สนใจและไมเกิดความรูสึกวามีปญหา ถากําหนดเงื่อนไขในการแลกเงินให กิจกรรมนี้จะเปนปญหาที่ตองคิดและตองใชความรอบคอบในการหาคําตอบ ครูอาจใหนกัเรยีนทาํเปนกลุมยอย ๆ ใหชวยกนัวเิคราะหและหาคาํตอบทัง้ควรใหนาํเสนอหนาชัน้เรยีน ครูควรชี้ใหเห็นความสําคัญของการเขียนคําตอบใหเปนระบบ ซ่ึงจะชวยใหนักเรียนหาคําตอบไดครบทุกกรณีงายขึ้น กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม ครูอาจยกตัวอยางปญหาการแลกธนบัตร 50 บาท เปนเหรียญหาบาทหรือเหรียญสิบบาท จะเปนชนิดเดียวกันหรือตางชนิดกันก็ไดใหครบทุกกรณี 3. กจิกรรม “แลกเงนิตรา” เปนกจิกรรมทีม่สีถานการณใกลตวันกัเรยีนเชนกนั นกัเรยีนควรรูไวเพราะเชือ่มโยงกบัธรุกจิและเศรษฐกจิของประเทศ มขีาวสารเกีย่วกบัอตัราแลกเปลีย่นเงนิตราทีเ่ปลีย่นแปลงเกอืบทกุวนั ครูอาจหาอตัราแลกเปลีย่นเงนิตราจากหนงัสอืพมิพรายวนัหลาย ๆ วนัมาแทนขอมลูในหนงัสอืเรียนกไ็ด

ในการดาํเนนิกจิกรรมนีค้รูอาจใชการสนทนาสอดแทรกใหนกัเรยีนเห็นความมีน้ําใจของยุวดีที่ดูแลและชวยเหลือเพื่อนตางชาติ ซ่ึงนักเรียนควรถือเปนตัวอยาง 4. สําหรับกิจกรรม “ซ้ือสินคา” เปนกิจกรรมที่ตองการฝกใหนักเรียนใชวิธีแจกแจงกรณ ี ชวยในการหาคาํตอบ ส่ิงสาํคญัในกจิกรรมนีค้อืการหาคาํตอบอยางเปนระบบ ซ่ึงครคูวรใหนกัเรยีนมานําเสนอบนกระดานดําบาง เพื่อใหนักเรียนในชั้นไดเห็นขอดีและขอบกพรองที่ควรไดแกไขไปพรอมๆ กัน

เรียงอิฐปูพื้นกิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกแกปญหาโดยใชวิธีการแจกแจงกรณี รูจักจัดขอมูลใหเปน

ระบบ

ขอเสนอแนะ 1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับรูปแบบของการเรียงอิฐซึ่งจะแตกตางกันตามความชอบหรือวัตถุประสงคของการใชงาน สําหรับกจิกรรมนีจ้ะใหเรียงอฐิตามเงื่อนไขที่กําหนด 2. ครูใหนักเรียนศึกษาตารางซึ่งเปนตัวอยางการเรียงอิฐตามจํานวนกอนอิฐที่กําหนด ในเบื้องตนครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตวิธีเรียงอิฐอยางเปนระบบและคนพบแบบรูปดวยตัวเอง อาจใหมีการอภิปรายภายในกลุมจนไดขอสรุป ถานักเรียนมีปญหาในการสังเกตแบบรูปก็ใหครูช้ีแนะ 3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการหาคําตอบโดยใชตารางซึ่งใชการวิเคราะหและแจกแจงกรณี ควรใหมกีารอภปิรายกันภายในกลุมเพื่อหาขอสรุปถึงการเรียงอิฐที่เปนไปไดและเปนไปไมได และใหสังเกตแบบรูปของการเรียงอิฐในแนวนอนและแนวตั้ง นักเรียนควรสังเกตไดวาอิฐที่เรียงในแนวนอนตองเปนจํานวนคู

20

4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมขอ 1 และขอ 2 แลว ครูอาจใหนักเรียนสังเกตจํานวนรูปแบบในตารางชองขวาสุดวาจํานวนรูปแบบที่ไดมีความสัมพันธกันอยางไร อาจมีนักเรียนสังเกตไดวา จํานวนรูปแบบที่ตองการหาเทากับผลบวกของจํานวนรูปแบบสองจํานวนที่อยูถัดขึ้นไปกอนหนา ดังแผนภาพ

ผลรวม 1 2 3 5 8 13 ---

ความสัมพันธ 1 2 (1 + 2) (2 + 3) (3 + 5) (5 + 8) ---

แบงที่ดินปลูกผัก กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชการวิเคราะห

ขอเสนอแนะในกิจกรรมนี้ครูอาจใหนักเรียนคิดวิเคราะหหาคําตอบดวยตัวเองกอน แลวนําเสนอแนวคิด ซ่ึง

นักเรียนอาจมีวิธีคิดที่แตกตางกัน ครูอาจเพิ่มเติมแนวคิดใหชัดเจนโดยใชการถามตอบพรอมทั้งเขียนภาพประกอบ เพื่อเนนใหนักเรียนเห็นวาการคิดวิเคราะหในเรื่องนี้จะตองเริ่มมาจาก ส่ิงที่โจทยบอกหรือเร่ิมจากสิ่งที่รูไปหาสิ่งที่ไมรู ในที่นี้จะเริ่มจากพื้นที่ปลูกผักคะนาที่โจทยกําหนดพื้นที่ให 20 ตารางเมตร

ใหครูเขียน 20 ลงในแผนภาพแลวใหนักเรียน หาพื้นที่ของที่ดินแปลงตอไปตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดซึ่งตองคิดตามลําดับจากสิ่งที่รูดังภาพประกอบตอไปนี้

ถ่ัวฝกยาว2×{2×(20×2)}

บวบ2×(20×2)

ผักบุงจีน(20×2)

คะนา(20)

พริกขี้หนู(20÷2)

ตะไคร(20÷2)

21

มีลูกอมอยูกี่เม็ด กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชวิธีการคิดยอนกลับ

ขอเสนอแนะ1. การแกปญหาในกจิกรรมนีต้องคดิยอนกลับโดยเริม่คดิจากจาํนวนลกูอมทีเ่หลืออยูสุดทาย 1 เมด็

ครูอาจใชการถามตอบใหนักเรียนชวยกันคิด และเติมคําตอบในตารางใหไดคําตอบดังนี้

การแบง จํานวนลูกอม (เม็ด) จํานวนลูกอมที่เพื่อนไดรับ (เม็ด)

คร้ังที่ เหลือ กอนการแถม กอนการแบง คนที่ 3 คนที่ 2 คนที่ 1

3 1 1 + 1 = 2 2 × 2 = 4 2 + 1 = 3

2 4 4 + 1 = 5 2 × 5 = 10 5 + 1 = 6

1 10 10 + 1 = 11 2 × 11 = 22 11 + 1 = 12

นั่นคือ เดิมกนกมีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด

การแกปญหานี้ทางตรง จะเริ่มคิดจากจํานวนลูกอมที่มีอยูเดิมกอนที่จะแจกใหเพื่อนๆ โดยใชสมการชวยหาคําตอบดังนี้

สมมุติใหกนกมีลูกอมอยูเดิม x เม็ดเพื่อนคนที่หนึ่งจะไดรับลูกอม 12

x + เม็ด

หลังจากใหเพื่อนคนที่หนึ่งแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก ( ) 1 2x 1 2x x −+− = เม็ด

เพื่อนคนที่สองจะไดรับลูกอม 121

4x 112

x21 +−+

− =

212x += เม็ด

หลังจากใหเพื่อนคนที่สองแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก ( ) ( ) 234x214x12x −+−− = เม็ด

เพื่อนคนที่สามจะไดรับลูกอม ( ) 1438x 1234x21 +−+− =

418x += เม็ด หลังจากใหเพือ่นคนทีส่ามแลวกนกยงัเหลือลูกอมอกี ( ) ( ) 478x418x234x −+−− = เมด็

22

จํานวนลูกอมที่เหลืออยูในครั้งนี้เทากับ 1 เม็ดจึงไดสมการ 1478x =−

814 x =−

22x =

เมื่อตรวจสอบจะไดวาจํานวนลูกอม 22 เม็ด เปนคําตอบที่ถูกตอง ดังนั้น กนกมีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด

เนื่องจากนักเรียนในชั้นนี้ยังไมมีความรูในการแกสมการที่ซับซอน วิธีนี้จึงยังไมเหมาะที่จะนํามาใช ครูจึงควรชี้แนะใหนักเรียนหาคําตอบโดยคิดแบบยอนกลับ

ถาครูพิจารณาเห็นวาปญหานี้ยากเกินไปสําหรับนักเรียนทุกคน อาจใหเฉพาะนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษทําก็ได 2. ในการแกปญหาเรื่องนี้ครูอาจจําลองสถานการณโดยใชลูกอมหรือวัตถุอยางอื่นแทน เชน เม็ดมะขาม กอนหิน ใหนักเรียนไดคิดและปฏิบัติจริงๆ ถาครูเห็นวานักเรียนตอบไดและเขาใจดีแลว ครูอาจขยายปญหาใหยากขึ้นโดยปรับโจทยใหมีการแบงใหเพื่อน 5 คน หรือ 6 คนก็ได ครูควรกลาวสรุปปดทายบทเรียนวาวิธีแกปญหาทางคณิตศาสตรมียุทธวิธีหลากหลาย นักเรียนจะตองมีความคิดยืดหยุนและพยายามใชวิธีแกปญหาหลายๆ วิธี การไดฝกทักษะในการแกปญหา ทางคณิตศาสตรมากๆ จะชวยทําใหนักเรียนเรียนคณิตศาสตรไดดีขึ้นดวย

23

คําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม”

2. ใชไมจิ้มฟน 4 อันถึง 8 อันเพื่อตอกันเปนรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูป บันทึกผลที่ไดในตารางใหครบ ทุกกรณี ไดดังนี้

ตอกันเปนรูปสามเหลี่ยม

จํานวนไมจ้ิมฟนท่ีตอเปนดาน(อัน)จํานวนไมจ้ิมฟน

ท้ังหมด (อัน)ได ไมได ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 3

3 1 1 14 1 1 2

5 11

12

32

6112

122

432

7

1112

1232

5433

8

11122

12323

65443

24

3.ความยาวของดาน (หนวย)ความยาวรอบรูป (หนวย)

ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 33 1 1 15 1 2 26 2 2 27 1

232

33

8 2 3 3

4. 1) ไมมี

2) ไมมี3) ทุกกรณี

4) ผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะมากกวาความยาวของดานที่เหลือเสมอ

5. ใช

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”1. (1) ขอ 1), 4), 5) และ 6) เพราะมผีลบวกของความยาวของดานสองดานทกุคูมากกวาดานทีเ่หลือ (2) ขอ 2) และ 3) เพราะมีผลบวกของความยาวของดานสองดานอยางนอย 1 คูนอยกวา

หรือเทากับความยาวของดานที่เหลือ2. AB + BC = AC3. กรณีท่ี 1 ได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมเรียงอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

ดังตัวอยาง

AB + BC มากกวา AC

กรณีท่ี 2 ไมได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่เรียงกันดังตัวอยางA C

B

A C B AB + BC มากกวา AC

25

4. เดินตามแนว AB เพราะวาทางเดินในแนวอื่นๆ จะอยูในลักษณะ AC + CB ซ่ึงยาวกวา AB ดังรูปตัวอยาง

5. ทาํได เพราะวาความยาวของแตละดานไมจาํเปนตองเปนจาํนวนนบั เชน อาจวางเชอืกใหมคีวามยาว ของดานเปน 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร

คําตอบกิจกรรม “สํารวจจุด”

1.ขอ จุดขางนอก จุดขางใน1)2)3)4)5)

BA และ BB และ C

BA และ C

A และ CCA

A และ CB

2. วิธีที่ใชหาคําตอบในขอ 1 เมื่อใชกับรูปในขอ 5) จะไมสะดวกเพราะตองใชเวลานานขึ้น นาจะมีวิธี หาคําตอบที่ดีกวานี้

3.

ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)1) A

BC

121

2) ABC

223

A

B

C

26

ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)3) A

BC

122

4) ABC

523

5) ABC

454

หมายเหตุ จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียวอาจหาไดแตกตางกัน

4. 1) จุดขางนอก 2) จุดขางใน 3) ถาลากสวนของเสนตรงจากจุดที่กําหนดใหออกมาขางนอกรูป ถาไดจํานวนจุดตัดเปน

จํานวนคู จุดนั้นจะเปนจุดขางนอก และถาไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่ จุดนั้นจะเปนจุดขางใน

5. P และ X เปนจุดขางนอก Q และ Y เปนจุดขางใน

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

3. A, B, E และ F เปนจุดขางใน C และ D เปนจุดขางนอก

คําตอบกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม”

1. สามารถลากเสนเชื่อมจุด P กับจุด Q ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป2. สามารถลากเสนเชื่อมจุด X และจุด Y ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป

27

คําตอบปญหา “ชวนคิด”

ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงอยางนอยหนึ่งชั้น เพราะจุด A ที่ขุนแผนยืนอยูเปนจุดขางในคายกลที่มีลักษณะเปนเสนโคงปดเชิงเดียว

คําตอบกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม”

1. ยาวเทากัน2. ยาวเทากัน3. ยาวไมเทากัน4. ยาวเทากัน5. ทุกคูขนานกันหมด6. พื้นที่เทากัน (วงกลมในที่นี้หมายถึงรูปที่มีเสนทึบ)

คําตอบกิจกรรม “สรางแทนแกรม”

2. 1) ∆ DEF, ∆ ERC, ∆ IPQ, ∆ ABQ และ ∆ BQC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปในขอ 1) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวย 3) IERQ เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 4) IFAP เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน

3. ตัวอยาง ความสัมพันธที่พบ 1) FI = IE, ER = IQ, IP = EC ฯลฯ 2) ∆ ERC กับ ∆ IQP ทับกันไดสนิทพอดี 3) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ ∆ DEF 4) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IERQ 5) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IFAP 6) พื้นที่ของ ∆ DEF เทากับพื้นที่ของ IERQ และเทากับพื้นที่ของ IFAP 7) พื้นที่ของ ∆ DEF = 41 ของพื้นที่ของ ∆ ADC 8) พื้นที่ของ ∆ ABQ เทากับพื้นที่ของ ∆ BQC

28

9) พื้นที่ของ ∆ ABQ = 41 ของพื้นที่ของ ABCD 10) พื้นที่ของ ∆ DEF = 21 ของพื้นที่ของ ∆ ABQ

ฯลฯ

คําตอบกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร”

1. รูป A และรูป B มีพื้นที่เทากัน รูป D และรูป F มีพื้นที่เทากัน รูป E รูป C และรูป G มีพื้นที่เทากัน2. รูป A มีพื้นที่เทากับ 41 ของพื้นที่ของ PQRS3. รูป F มีพื้นที่เทากับ 21 ของพื้นที่ของรูป E4. รูป E มีพื้นที่เทากับ 21 ของพื้นที่ของรูป A5. รูป E มีพื้นที่เทากับ 41 ของพื้นที่ของ ∆ PQR6. รูป C มีพื้นที่เทากับ 81 ของพื้นที่ของ PQRS7. รูป D มีพื้นที่เทากับ 161 ของพื้นที่ของ PQRS8. พื้นที่ของ PQRS เทากับ 16 ตารางหนวย

29

คําตอบกิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก”

1.แม 2 แม 3 แม 4 แม 5 แม 6 แม 7 แม 8 แม 9 แม 10 แม 11 แม 12

ตัวต้ังตัวคูณ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 243 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 364 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 485 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 606 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 727 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 848 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 969 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 10810 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12011 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 13212 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

2. 1) สูตรคูณแม 2, 4, 6, 8, 10 และ 12 เพราะผลคูณของจํานวนคูกับจํานวนเต็มใดๆ จะเปน

จํานวนคูเสมอ 2) ไมมี เพราะสูตรคูณทุกแมตองมีตัวคูณเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลคูณจึงมีทั้งจํานวนคู

และจํานวนคี่ 3) สูตรคูณแม 3, 5, 7, 9 และ 11 เพราะเมื่อนําแมสูตรคูณไปคูณกับจํานวนคูจะใหผลคูณ

เปนจํานวนคูและเมื่อไปคูณกับจํานวนคี่จะใหผลคูณเปนจํานวนคี่ 4) สูตรคูณแม 3, 7, 9 และ 11 5) มีคําตอบไดหลากหลาย เชน สูตรคูณแม 5 เปนสูตรคูณเดียวที่มีเลขโดดในหลักหนวยของ

ผลคูณเปนจํานวนคี่ คือ 5 หรือจํานวนคู คือ 0 เทานั้น

30

3.

1) ไดภาพเหมือนกันแตตางกันที่ทิศทางการโยงจํานวนซึ่งมีลูกศรกลับทิศกัน เพราะวาไดเลขโดดในหลักหนวยของผลคูณชุดเดียวกันแตเรียงลําดับกลับกัน

2) ชุดเดียวกัน 3) อาจใหช่ือภาพวา “ดาว” หรือ “ดาวตางดวง” ฯลฯ4.

1

2

345

6

7

8 90

แม 2

1

2

345

6

7

8 90

แม 3

1

2

345

6

7

8 90

แม 4

1

2

345

6

7

8 90

แม 5

1

2

345

6

7

8 90

แม 6

31

หมายเหตุ เนื่องจากสูตรคูณแม 10 มีหลักหนวยของผลคูณเปน 0 เพียงตัวเดียว จึงไมสามารถ ลากสวนของเสนตรงเชื่อมโยงกับจํานวนอื่นๆ ได

1

2

345

6

7

8 90

แม 6

1

2

345

6

7

8 90

แม 7

1

2

345

6

7

8 90

แม 8

1

2

345

6

7

8 90

แม 9

1

2

345

6

7

8 90

แม 10

1

2

345

6

7

8 90

แม 11

1

2

345

6

7

8 90

แม 12

32

5. 1) แม 2 กับแม 8 แม 3 กับแม 7 แม 4 กับแม 6 และแม 9 กับแม 11 เพราะวา

สูตรคูณแตละคูมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตการเรียงลําดับของเลขโดดจะกลับกัน

2) แม 2 กับแม 12 เพราะวาสูตรคูณทั้งสองมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกันและเรียงลําดับเหมือนกัน หรือเพราะวา 12 = 10 + 2 เมื่อนํา 12 ไปคูณกับจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 12 จะไดหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกันกับที่ปรากฏในผลคูณของสูตรคูณแม 2

6. 1) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนไปทางเดียวกัน ผลตางของแมสูตรคูณทั้งสอง

จะหารดวย 10 ลงตัว 2) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนตรงขามกัน ผลบวกของแมสูตรคูณทั้งสองจะ

หารดวย 10 ลงตัว7. แตละขอมีหลายคําตอบ เชน

1) แม 6 กับแม 16 แม 13 กับแม 23 แม 14 กับแม 24 ฯลฯ 2) แม 7 กับแม 13 แม 14 กับแม 16 แม 19 กับแม 21 ฯลฯ

คําตอบกิจกรรม “รอนหาจํานวนเฉพาะ”คําตอบของคําถามหนา 24

จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 มี 26 จํานวนไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 และ 101

คําตอบของคําถามหนา 25 89, 149 และ 179 เปนจํานวนเฉพาะ 221, 413, 779 และ 893 ไมเปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 221 = 17 × 13 779 = 19 × 41 413 = 7 × 59 893 = 19 × 47

33

คําตอบ “ปญหาชวนคิด” ขอความคาดการณของกวีไมจริง สามารถยกตัวอยางคานไดวา (2 × 7) + 1 = 15 และ 15ไมใชจํานวนเฉพาะ

คําตอบกิจกรรม “ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด”คําตอบแบบฝกหัดหนา 31

1.1) 39

2) 3 3) 2 4) 122. 1) 3,556 2) 39,648 3) 3,640 4) 9,2403. 59,5814. 1685. 1,311 และ 1,748

คําตอบกิจกรรม “ลองเปรียบเทียบดู”

1. ไมเทากัน เพราะเปนรอยละเดียวกันของจํานวนที่ตางกัน2. มากกวา 45 เพราะวาจาํนวนทีน่าํมาคดิเปนรอยละเปนจาํนวนเดยีวกนัคอื 500 แต 12% มากกวา 9%3. นอยกวา 36 เพราะวาเปนรอยละเดยีวกนัของจาํนวนทีต่างกนัคอื 270 และ 300 แต 270 นอยกวา 300

34

4. 1% ของ 250,000 มากกวา 10% ของ 3,800 เพราะวา 1% ของ 250,000 คือ 2500 10% ของ 3800 คือ 380 และ 2500 มากกวา 380

คําตอบกิจกรรม “ความคิดเห็นของฉัน”

ตอไปนี้เปนตัวอยางคําตอบซึ่งอาจแตกตางไปจากคําตอบของนักเรียน1. ขอความนี้เปนโฆษณาชวนเชื่อ อาจเปนกลยุทธหนึ่งในการเชิญชวนใหลูกคาสนใจ แตเชื่อไมไดวา

รถที่ซ้ือจะไมคิดดอกเบี้ยในการผอนชําระรายเดือน อาจไมคิดดอกเบี้ยเฉพาะเงินดาวนก็ไดขอความนี้จึงขาดความชัดเจน

2. ไมทราบ เพราะไมทราบจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมดของแตละโรงเรียน3. บอกไมได เพราะไมทราบเงินเดือนเดิมหรือเงินเพิ่มของพรต เงินเดือนที่เพิ่มขึ้นอาจเทากันหรือไม

เทากันก็ได4. จํานงพูดไมถูกตอง เพราะวา ความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเพิ่มทั้งดานกวางและดานยาว

ทําใหพื้นที่เพิ่มขึ้นมากกวา 20% (การหาคําตอบในขอนี้ไมตองการใหคํานวณจริงๆ แตใหใช ความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมิในการหาคําตอบหลังจากที่นักเรียนมีความรูมาแลวจาก หนังสือเรียนหนา 33)

5. เปนไปได เพราะถาโรงเรียน ก. มีจํานวนผูสมัครสอบมากกวาโรงเรียน ข. และเปนจํานวนที่พอดี กบัทีท่าํใหจาํนวนนกัเรยีนทีส่อบเขาไดเทากนัพอด ี เชน โรงเรยีน ก. มผูีสมคัรสอบ 200 คน โรงเรยีน ข. มีผูสมัครสอบ 120 คน

6. เปนไปได เพราะถาเงินลงทุนในการคาของมนัสมีมูลคามาก ยอมไดกําไรมาก แมวาพีระจะได กําไรคิดเปนรอยละมากกวา แตถาคิดจากเงินลงทุนที่มีมูลคานอย พีระก็อาจไดกําไรเพียงเล็กนอย เทานั้น เชน มนัสลงทุน 1,000,000 บาท ขณะที่พีระลงทุน 1,000 บาท

7. ยังตัดสินใจทันทีไมได เพราะไมทราบวาสินคาของบริษัทใดจะมียอดขายมากกวากัน ดังนั้น คาตอบแทนที่คิดเปนรอยละมากกวาก็ไมไดหมายความวาจะไดรับเงินมากกวา ทั้งนี้เพราะไมทราบวาจํานวนนั้นเปนรอยละของจํานวนใด

8. เปนไปได เพราะเงนิเดอืนของอญัชนัอาจมากพอทีจ่ะทาํใหมเีงนิออมมากกวา เงนิออมของพดุซอนได

35

9. เปนไปได เพราะวาความยาวเพิ่มขึ้นเล็กนอย แตความกวางเพิ่มขึ้นมาก ความกวางและความยาวที่ เพิ่มแลวอาจทําใหไดความยาวเทากันไดพอดี

แตถานับทองพูดใหม ขอความนั้นจะเปนไปไมได เพราะรอยละที่เพิ่มขึ้นใกลเคียงกันมาก แตละดานจะมีความยาวเพิ่มขึ้นพอๆ กันรูปสี่เหล่ียมที่ไดยังคงเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาเชนเดิม (คําตอบแรกนักเรียนอาจตรวจสอบโดยการคํานวณจริง จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปน 27.3 เซนติเมตร สําหรับคําตอบหลัง นักเรียนควรบอกคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงจํานวนมากกวา การคํานวณ)

คําตอบกิจกรรม “ลดแลวลดอีก”

1. 2,000 บาท2. 2,340 บาท3. 2,106 บาท4. ไมเทากับตนทุน เพราะลดราคา 30% ของราคาที่ปดไวจะเทากับขายไปในราคา 70% ของราคาที่

ปดไวจะได 2600 10070 × = 1820 ซ่ึง 1820 บาท นอยกวาตนทุน 2000 บาท (คําตอบขอ 1)5. ขายคนละราคา เพราะลดราคา 20% ของราคาที่ปดไวจะเทากับขายไปในราคา 80% ของราคาที่

ปดไว จะได 2600 10080 × = 2080 ซ่ึง 2080 บาทนอยกวาราคาขาย 2106 บาท (คําตอบขอ 3)

คําตอบกิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินฝาก”

รจนามียอดเงินในบัญชีมากกวาสุดาอยู 75 สตางคแนวคิด สุดาฝากแบบประจํา 6 เดือนอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป สุดาฝากเงิน 3,000 บาท จะไดดอกเบี้ย

126 3000) ×× 1002( = 30 บาท

หักภาษี 15% ของดอกเบี้ยที่ได คิดเปน 30× 10015 = 4.50 บาท เมื่อสุดาฝากเงินครบ 6 เดือนจะไดดอกเบี้ย 30 – 4.50 = 25.50 บาท ดังนั้นยอดเงินในบัญชีของสุดาจะมีอยู 3000 + 25.50 = 3025.50 บาท รจนาฝากแบบออมทรัพย อัตราดอกเบี้ย 1.75% ตอป

รจนาฝากเงิน 3,000 บาท จะไดดอกเบี้ย 12

6 3000) ×× 1001.75( = 26.25 บาท ดังนั้นยอดเงินในบัญชีของรจนาจะมีอยู 3000 + 26.25 = 3026.25 บาท

นัน่คอืยอดเงนิในบญัชขีองรจนามากกวาของสดุาอยู 3026.25 – 3025.50 = 0.75 บาท

36

คําตอบกิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินกู”

ไพลินจายเงินคืนงวดละ 56000, 54500, 53000 และ 51500 ตามลําดับ และจายเปนดอกเบีย้เงินกู ทั้งหมด 15,000 บาท แนวคิด เงินกูคร้ังแรก 200,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 12%

ดอกเบี้ยงวดที ่1 เท ากับ 312( × 200000) ×100 12 = 6000 บาท ไพลินคืนเงินต นงวดละ 50,000 บาท ดังนั้นไพลินจายเงินงวดที ่1 เท ากับ 50000 + 6000 = 56000 บาท เหลือเงินกูค างอีก 200000 – 50000 = 150000 บาท ดอกเบี้ยงวดที ่2 เท ากับ 312( × 150000) ×100 12 = 4500 บาท

ไพลินจายเงินงวดที ่2 เท ากบั 50000 + 4500 = 54500 บาท เหลือเงินกูค างอยูอีก 150000 – 50000 = 100000 บาท ดอกเบี้ยงวดที ่3 เท ากับ 312( × 100000) ×100 12 = 3000 บาท ไพลินจายเงินงวดที ่3 เท ากบั 50000 + 3000 = 53000 บาท เหลือเงินกูค างอยูอีก 100000 – 50000 = 50000 บาท ดอกเบี้ยงวดที ่4 เท ากับ 1500 312( × 50000) ×100 12 = 1500 บาท ไพลินจายเงินงวดที ่4 เท ากบั 50000 + 1500 = 51500 บาท ดังนั้นไพลินจายเงินคืน 4 งวด คิดเปน 56000, 54500, 53000, 51500 ตามลําดับ รวมดอกเบีย้เงนิกูทั้งหมด 6000 + 4500 + 3000 + 1500 = 15000 บาท

คําตอบกิจกรรม “เงินโบนัสของป ติ”

1. 85,500 บาท 2. 76,950 บาท 3. 40,850 บาท 4. 117,800 บาท

37

คําตอบกิจกรรม “ใชเงินโบนัสอยางไรดี”

ตัวอยางความคิดเห็นในที่นี้ อาจจะแตกตางจากของนักเรียน ปติควรจะมอบความสุขใหทั้งตนเอง ภรรยา และลูก โดยซื้อเครื่องเสียงใหตัวเอง 14,900 บาท ซ้ือเครื่องซักผาใหภรรยา 15,890 บาท ซ้ือคอมพิวเตอรใหลูกสาว 25,400 บาท และซื้อจักรยานให ลูกชาย 1,950 บาท รวมเปนเงินทั้งหมด 58,140 บาท ยังมีเงินโบนัสเหลืออีก 18,810 บาท ซ่ึงอาจเก็บเปนเงินออม หรือนําไปชําระหนี้บางสวนที่กูมาซื้อบานก็ได

คําตอบปญหา “คิด”

รูปวงกลม D มีพื้นที่คิดเปน 6.25 % ของพื้นที่ของวงกลม A

แนวคิด ความยาวของรัศมีของวงกลม C เปนครึ่งหนึ่งของความยาวของรัศมีของวงกลม A ดังนั้น AC = 21 AB ความยาวของรัศมีของวงกลม D เปนครึ่งหนึ่งของความยาวของรัศมีของวงกลม C ดังนั้น CD = 21 × 21 AB = 41 AB เนื่องจากพื้นที่ของวงกลม A เทากับ π(AB)2

และพื้นที่ของวงกลม D เทากับ π( 41 AB)2 = 161 {π(AB)2}

ดังนั้นพื้นที่ของวงกลม D คิดเปนรอยละ 100 (AB)}(AB){161 2

2×π

π

= 16100

= 6.25 ของพื้นที่ของวงกลม A

BC DA

38

คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของจํานวนคี่”

1. 25 รูป2. 961 รูป3. รูปที่ 124. 1 + 3 + 5 + … + 31 + 33 และผลบวกเทากับ 2895. 1 + 3 + 5 + … + 21 + 23 + 25 และผลบวกเทากับ 132 = 1696. 18 × 18 หรือ 182 (มีจํานวนคี่ที่นํามาบวกกัน 18 จํานวน)7. 900 (มีจํานวนคี่ที่นํามาบวกกัน 30 จํานวน)

คําตอบกิจกรรม “มีอะไรอยูเทาไร”

1.

รูปท่ี 1 2 3 4 5 6 7

จํานวนรูปสามเหลี่ยม 1 3 5 7 9 11 13จํานวนจุดยอด 3 7 11 15 19 23 27จํานวนดานของรูปสามเหลี่ยม 3 9 15 21 27 33 39

2. 1) เร่ิมตนที่ 1 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 2 รูป ไดแบบรูปเปน 1, 3, 5, 7, … 2) เร่ิมตนที่ 3 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 4 จุด ไดแบบรูปเปน 3, 7, 11, 15, … 3) เร่ิมตนที่ 3 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 6 ดาน ไดแบบรูปเปน 3, 9, 15, 21, … 4) 23 รูป 5) ได เพราะเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 1) 6) ได เพราะเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 2) 7) ไมได เพราะไมเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 2) 8) ไมได เพราะไมเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 3)

9) ได เพราะ เปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 3)3. 1) 51 จุด 2) 47 รูป

39

จํานวนธนบัตร (ฉบับ)

3) รูปที่ 20 4) รูปที่ 25 5) 135 จุด

คําตอบกิจกรรม “แลกเงิน”

1. มีวิธีแลกเหรียญได 9 วิธีดังนี้

2. มีวิธีแลกธนบัตรได 18 วิธีดังนี้

จํานวนเหรียญ

เหรียญ 10 บาท เหรียญ 5 บาท เหรียญ 1 บาท2 – –1 21 1 51 – 10– 4 –– 3 5– 2 10– 1 15– – 20

จํานวนธนบัตร (ฉบับ)500 บาท 100 บาท 50 บาท

2 – –1 5 –1 4 21 3 41 2 61 1 81 – 10– 10 –– 9 2

500 บาท 100 บาท 50 บาท– 8 4– 7 6

6 8– 5 10– 4 12– 3 14– 2 16– 1 18 – 20

40

คําตอบกิจกรรม “แลกเงินตรา”

1. 5,665.40 บาท 2. 11,993.40 บาท 3. 404 รอยเยน หรือ 40,400 เยน เหลือเงินไทย 4.48 บาท (โจทยถามวากี่รอยเยนหมายความตอบ เปนจํานวนเตม็รอยเยน) แนวคิด เงินบาท 35.88 บาท แลกซื้อเงินเยนได 1 รอยเยน เงินบาท 14,500 บาท แลกซื้อเงินเยนได 404.1249 35.8814500 1 ≈× รอยเยน 404 รอยเยนคิดเปนเงินไทย 404 × 35.88 = 14495.52 บาท เหลือเปนเงินไทย 14500 – 14495.52 = 4.48 บาท หมายเหตุ ในทางปฏิบัตธินาคารจะไมนําเศษเงนิ .1249 รอยเยน มาคิดเทียบเปนเงินไทยแตจะนํา เงินเยนที่จะแลกไดมาคิดเปนเงินไทยกอน แลวนําไปหกัออกจากเงินไทยทั้งหมดที ่ นํามาแลกกจ็ะไดเศษเงินเปนเงินไทยตามความเปนจริง โดยไมตองปดเศษ

คําตอบกิจกรรม “ซื้อสินคา”

1. ยุวดไีดรับเงนิทอน 280 บาท เงินที่ไดรับทอนอาจเปนดังนี ้

จํานวนธนบัตร (ฉบับ)

100 บาท 50 บาท 20 บาท

2 – 4 1 2 4 1 – 9 – 4 4 – 2 9 – – 14

2. ยุวดมีีวิธีจายเงนิดังนี ้ จํานวนธนบัตร (ฉบับ)

100 บาท 50 บาท 20 บาท

1 1 4 – 3 4 – 1 9

41

คําตอบกิจกรรม “เรียงอิฐปูพื้น”1.

จํานวนอิฐ(กอน) รูปแบบการเรียงอิฐ จํานวนรูปแบบ

1 1

2 2

3 3

4

5

5 8

จากตารางจะสังเกตแบบรูปของการเรียงอิฐไดวา ในกรณีที่มีกอนอิฐมากกวา 1 กอน จะเรียงอิฐในแนวนอนกอนแนวตั้ง โดยพิจารณาจํานวนอิฐในแนวนอนใหมากกอนที่สุดกอน เมื่อไดรูปแบบแลวจึงสลับตําแหนงของกอนอิฐแนวนอนกับแนวตั้งใหครบทุกกรณี เชน ในกรณีที่เรียงอิฐ 5 กอนจะมีรูปแบบที่เรียงอิฐ ดังนี้

42

เมื่อวางแนวนอน 4 กอน แนวตั้ง 1 กอน จะสลับได 3 รูปแบบ เมื่อวางแนวนอน 2 กอน แนวตั้ง 3 กอน จะสลับได 3 รูปแบบ เมื่อวางแนวนอน 0 กอน แนวตั้ง 5 กอน จะวางไดเพียง 1 รูปแบบ

อาจใชการวิเคราะหและแจกแจงกรณีของการเรียงอิฐดังนี้

จํานวนอิฐ จํานวนอิฐท่ีวาง (กอน) การเรียง(กอน) แนวนอน แนวตั้ง เปนไปไมได เปนไปได

จํานวนรูปแบบ รวม

5

543210

012345

030401

8

6

6543210

0123456

1060501

13

คําตอบกิจกรรม “แบงที่ดินปลูกผัก”

1. พื้นที่ของที่ดินที่ใชปลูกผักสวนครัวแตละชนิด เปนดังนี้ ผักคะนา 20 ตารางเมตร ผักบุงจีน 40 ตารางเมตร บวบ 80 ตารางเมตร ถ่ัวฝกยาว 160 ตารางเมตร พริกขี้หนู 10 ตารางเมตร ตะไคร 10 ตารางเมตร

1.

2.

43

แนวคิด ในการหาคําตอบอาจมีรูปแบบอื่นนอกจากที่กลาวไวใน ขอเสนอแนะในการจัด

กิจกรรมการเรียนการสอน เชน เร่ิมตั้งตนจากพื้นที่ที่ปลูกผักคะนาแลวหาพื้นที่ สวนที่เปนครึ่งหนึ่งและหาสวนที่เปนสองเทาไปเรื่อยๆ ดังแผนภาพ

2. 320 ตารางเมตร

คําตอบกิจกรรม “มีลูกอมอยูกี่เม็ด”

1. เพื่อนคนที่ 3 ไดรับลูกอม 3 เม็ด2. เพื่อนคนที่ 2 ไดรับลูกอม 6 เม็ด3. เพื่อนคนที่ 1 ไดรับลูกอม 12 เม็ด4. มีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด (1 + 3 + 6 + 12 = 22)

พริกขี้หนู20 21 ×

ตะไคร20 21 ×

ผักบุงจีน2 × 20

ผักคะนา20

บวบ2 ×(2 × 20)

ถ่ัวฝกยาว2 × 2 ×(2 × 20)

44

แนวคิด การหาคาํตอบตองคดิยอนกลบั ใชตารางชวยในการหาคาํตอบดงัทีก่ลาวไวในขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน หรืออาจเขียนแผนภาพชวยดังนี้

10 เม็ด 210 = 5คนที่สอง

5 + 1 = 6

22 เม็ด 222 = 11คนที่หนึ่ง

11 + 1 = 12

4 เม็ด 24 = 2 คนที่สาม2 + 1 = 3

กนกเหลือ

+ 1

1

+ 1

กอนใหเพื่อนคนที่หนึ่ง

กอนใหเพื่อนคนที่สอง + 1

กอนใหเพื่อนคนที่สาม

+ 1

+ 1

+ 1