บทที่ 2จํานวนและตัวเลข (8 ช่ัวโมง)

2.1 ระบบตัวเลขโรมัน (2 ช่ัวโมง)2.2 ระบบตัวเลขฐานตาง ๆ (4 ช่ัวโมง)

2.3 การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข (2 ช่ัวโมง)

เนื้อหาสาระของบทนี้ไดกลาวถึงประวัติคราว ๆ ของการใชจํานวน การบันทึกจํานวนของมนุษยในสมัยเร่ิมแรก และใหความรูเกี่ยวกับระบบการเขียนตัวเลขแทนจํานวนในระบบฐานตาง ๆ ซ่ึงเปนระบบที่ใชหลักและคาประจําหลัก ส่ิงที่นาสนใจก็คือเราสามารถใชเลขโดดที่แตกตางกันไมกี่จาํนวนมาเขยีนแทนจาํนวนทีต่องการไดอยางไมจาํกดัจาํนวน เชน ระบบตวัเลขฐานสบิ ใชเลขโดดสบิตวัคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เขียนตัวเลขแทนจํานวนนับใด ๆ ก็ไดตามความตองการ การเปลี่ยนฐานของระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ใชวิธีคํานวณผานระบบตัวเลขฐานสิบ เพราะเปนวิธีการที่ไมยุงยากเหมือนวิธีอ่ืนและเหมาะสมกับการเรียนรูในระดับนี้

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. อานและเขียนตัวเลขโรมันได 2. บอกคาของเลขโดดในตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได 3. เขียนตัวเลขที่กําหนดใหเปนตัวเลขฐานตาง ๆ ได

46

แนวทางในการจัดการเรียนรู ในการเริม่บทเรยีนนีค้รูควรสนทนาและใหความรูเกีย่วกบัตวัเลขทีใ่ชแทนจาํนวนในสมยัโบราณพอสังเขป ไมมีจุดประสงคที่จะประเมินผล

2.1 ระบบตัวเลขโรมัน (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถอานและเขียนตัวเลขโรมันได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม –

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การเขียนตัวเลขโรมันเมื่อใชหลักการลด นักเรียนมักสับสน ครูควรย้ําและชี้ใหเห็นตัวเลขที่ใชกับหลักการลดซึ่งใชเฉพาะคูตามที่กําหนดในหนังสือเรียนหนา 61 เทานั้นและครูควรเพิ่มโจทยใหนักเรียนฝกมากพอ 2. วิธีเขียนตัวเลขโรมันแทนจํานวนในระบบตัวเลขฐานสิบ ครูควรย้ําใหนักเรียนเขียนจํานวนที่กําหนดใหในรูปกระจายตามหลัก ดังลักษณะคลายกับที่แสดงใหดูในตัวอยางที่ 1 หนา 61 ของหนังสือเรียนกอน แลวจึงเขียนตัวเลขโรมันแทนจํานวนนั้นทีละหลักโดยเขียนเรียงตอกัน 3. ในหวัขอนีไ้มเนนการเขยีนตวัเลขโรมนัทีม่คีามาก ๆ และใชสัญลักษณ “ – ” บนสญัลักษณพื้นฐาน เชน V , X หรือ M ในบทเรียนเสนอไวเพื่อใหเห็นวา ในยุคนั้นมีตัวเลขที่ใชแทนจํานวนที่มีคามากเหมือนกันแตก็มีขอจํากัด ทําใหระบบตัวเลขโรมันไมแพรหลาย ครูไมจําเปนตองใหนักเรียนฝกเขียนตัวเลขที่ใชสัญลักษณนี้และไมควรนํามาประเมินผลดวย 4. ครูอาจใหนักเรียนชวยกันนึกดูวาเคยเห็นตัวเลขโรมันปรากฏอยูที่ใดอีกบาง 5. สําหรับปญหาชวนคิด “กรุงโรมของชาวโรมัน” มีไวเพื่อใหนักเรียนเห็นการใชตัวเลขโรมันแทนจํานวนที่มีคามากซึ่งตองใชสัญลักษณ V , X หรือ M

2.2 ระบบตัวเลขฐานตาง ๆ (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกเลขโดดที่ใชในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได 2. บอกคาของเลขโดดในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได 3. เขียนและอานตัวเลขในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ได

47

4. เปลี่ยนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบเปนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดใหได 5. เปลี่ยนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ เปนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก – 2.2 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานสิบ ไดแก เลขโดด คาประจําหลัก และคาของเลขโดด โดยใชอุปกรณแสดงคาประจําหลักและตัวนับ หรือสาธิตการมัดกิ่งไมตามที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในระดับประถมศึกษา และเมื่อทํากิจกรรมในหนังสือเรียนจบแลว ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก เพื่อใหนักเรียนเห็นการประยุกตใชตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบ 2. การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ระบบตัวเลขฐานหา ครูควรสาธิตการนับสิ่งของทีละหาเชน หาชิ้น หามัด หากอง ฯลฯ ซ่ึงใชหลักเกณฑเดียวกันกับระบบตัวเลขฐานสิบ 3. ครูอาจแนะนําวาตัวหนังสือแสดงฐานหาที่กํากับไว เชน 213หา นั้นในหนังสือเลมอื่นอาจเขียนเปน 2135 การจะเขียนแสดงฐานแบบใดแลวแตครูและนักเรียนจะตกลงกัน 4. การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบเปนตัวเลขในระบบฐานหาที่นําเสนอในรูปตาราง ใชวิธีจัดจํานวนลงในชองตามคาประจําหลัก นักเรียนจะหาคําตอบไดงายโดยเขียนคาประจําหลักกํากับไวเปนตัวเลขในระบบฐานสิบ เชน 54 ในหลักที่หา เขียน (625) กํากับไว เพราะจํานวนในระบบตัวเลขฐานสิบจะชวยใหจัดเลขโดดในระบบฐานหาลงในตารางไดเร็วข้ึน ครูอาจยกตัวอยางการเขียน 748 เปนตัวเลขในระบบฐานหาในหนังสือเรียนหนา 68 และอธิบายเพิ่มเติมใหเห็นเปนรูปธรรม โดยใหนักเรียนคิดวาถานําดินสอ 748 แทงมามัดเปนมัด มัดละ 5 แทง และทุกครั้งที่ครบ 5 มัด ใหมัดเปนมัดที่ใหญขึ้นเรื่อย ๆ ในที่นี้จะไดดินสอมัดที่ใหญที่สุดมี 625 แท ง ร อ ง ล ง ม า มี มั ด ล ะ 2 5 แท ง มั ด ล ะ 5 แท ง แ ล ะ เ ศษอี ก 3 แท ง หาจํานวนมัดของดินสอแตละมัดที่มีจํานวนเทา ๆ กันแลวเขียนจํานวนมัดที่ไดในตารางที่แสดงหลักและคาประจําหลัก ดังนี้

จํานวนดินสอมี 748 แทงจํานวนดินสอมัดละ 625 แทงมี 1 มัด เขียน 1 ในชองหลักที่หา [เหลือดินสอ 748 – 625 = 123 แทง]จํานวนดินสอมัดละ 125 แทงมี 0 มัด เขียน 0 ในชองหลักที่ส่ี [เหลือดินสอ 123 แทง]

48

จํานวนดินสอมัดละ 25 แทงมี 4 มัด เขียน 4 ในชองหลักที่สาม [เหลือดินสอ 123 – (4 × 25) = 23 แทง]จํานวนดินสอมัดละ 5 แทงมี 4 มัด เขียน 4 ในชองหลักที่สอง [เหลือดินสอ 23 – (4 × 5) = 3 แทง]

เหลือดินสอที่เปนเศษอีก 3 แทง เขียน 3 ในชองหลักที่หนึ่ง ดังตาราง

หลักที่ หก หา สี่ สาม สอง หนึ่งคาประจําหลัก 55

(3125)54

(625)53

(125)52

(25)51

(5)11

เลขโดด 1 0 4 4 3

จะได 748 = (1 × 625) + ( 0 × 125) + (4 × 25) + (4 × 5) + (3 × 1) ดังนั้น 748 = 10443หา

เมือ่พจิารณาคาํตอบจากรปูการหารทีม่แีนวคิดสอดคลองกบัการมดัดนิสอซึง่มดัเปนมดัละ 5 แทง25 แทง 125 แทง และ 625 แทง เชนเดียวกับในตารางดังนี้

แนวคิด

ใหสังเกตวาคําตอบที่หาจากวิธีหารตองเขียนเลขโดดจากผลลัพธสุดทายและเศษของแตละขั้นยอนขึ้นไป โดยท่ีผลลัพธจํานวนสุดทายคือ 1 มีเศษเปน 0 และมีตัวหารมากที่สุดคือ 5 × 5 × 5 × 5หรือ 54 ซ่ึงเปนคาประจําหลักที่มากที่สุด การหาคําตอบโดยใชการหารเปนวิธีที่สะดวกและรวดเร็ว แตนักเรียนจะตองจําหลักการเขียนเรียงเลขโดดเปนคําตอบใหถูกตอง

เศษ 3 [ดินสอมัดละ 5 แทง จํานวน 149 มัด กับเศษ 3 แทง]เศษ 4 [ดินสอมัดละ 25 แทง หรือ 5 × 5 จํานวน 29 มัด กับเศษอีก 4 มัด มัดละ 5 แทง ]เศษ 4 [ดินสอมัดละ 125 แทง หรือ 5 × 5× 5 จํานวน 5 มัด กับเศษ อีก 4 มัด มัดละ 25 แทง]เศษ 0 [ดินสอมัดละ 625 แทง หรือ 5 × 5 × 5 × 5 จํานวน 1 มัด เศษ 0]

5 7485 149

5 29

5 5

1ดังนั้น 748 = 10443หา

49

5 . การสอนเรื่องระบบตัวเลขฐานสอง ครูอาจดําเนินกิจกรรมเหมือนกับการสอนระบบตัวเลขฐานหา และใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ข เพื่อเสริมความเขาใจและไดเห็นการนําระบบตัวเลขฐานสองไปประยุกต เชน สรางเกมทายใจ ซ่ึงครูอาจศึกษารายละเอียดของเกมนี้ไดจาก www.ipst.ac.th 6. เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนสรุปหลักการเขียนตัวเลขแทนจํานวนในระบบตัวเลขฐานอื่น ๆ 7. ครูอาจใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมเสนอแนะ 2.2 ค เพือ่ฝกทกัษะการเขยีนตวัเลขในระบบตวัเลขฐานแปดและฐานสบิสอง ครูควรสงัเกตการหาคาํตอบของนกัเรยีนวาใชการคาํนวณหรอืใชแบบรปู หรือใชความคิดรวบยอดในลักษณะการมัดรวมสิ่งของตามระบบตัวเลขฐานนั้น ๆ

2.3 การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดใหเปนตัวเลขในระบบฐานอื่นได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม –

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้เสนอใหสอนการเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งโดยคํานวณผานระบบตัวเลขฐานสิบ เพื่อไมใหมีความยุงยากมากเกินไปสําหรับนักเรียน 2. แบบฝกหัด 2.3 ขอ 7 – ขอ 10 ตองการใหหาคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงจํานวน ไมตองการใหคํานวณจริง ๆ ครูควรถามถึงเหตุผลของคําตอบที่ไดในขอที่ไมตองคํานวณจริง ๆ ดวย

50

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบปญหา คําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1) XI 2) XXVIII 3) CXXVI 4) CXL 5) CCCXIX 6) CDL 7) DCCXLIX 8) MCMLXXXIII 9) MMDXXVI 10) MMMDCCCXCI 2. 1) 124 2) 965 3) 211 4) 1,040 5) 2,441 6) 1,993 7) 262 8) 444 9) 545 10) 3,974 3. 1) XV XVI XVII XVIII XIX XX 2) XL XLI XLII XLIII XLIV XLV XLVI XLVII XLVIII XLIX L 3) CCCXCV CCCXCVI CCCXCVII CCCXCVIII CCCXCIX CD 4) MCCXXXIX MCCXL MCCXLI MCCXLII MCCXLIII MCCXLIV

คําตอบปญหาชวนคิด “กรุงโรมของชาวโรมัน”

1. ค.ศ. ปจจุบนั บวกดวย 752 2. ค.ศ. ปจจุบนั ลบดวย 75 3. 45,000 คน 4. 1,518 ไร แนวคิด 1 เอเคอรประมาณ 4,046.85 ตารางเมตร 1,600 ตารางเมตร เทากับ 1 ไร จะได 1 เอเคอรประมาณ 2.53 ไร ดังนั้น 600 เอเคอรประมาณ 1,518 ไร

51

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก1. 1) 5 2) 50 3) 5 4) 5 5) 50 6) 5,0002. 1) 21 = (2 × 101) + (1× 1) 2) 336 = (3 × 102) + (3 × 101) + (6 × 1) 3) 4073 = (4 × 103) + (7 × 101) + (3 × 1) 4) 10180 = (1 × 104) + (1 × 102) + (8 × 101) + (0 × 1)3. 1) 403 2) 2,070 3) 7,403 4) 50,609 5) 75,700 6) 5,028,070 7) 205,008

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข1. 1) 15 2) 75 3) 75 4) 3752. 1) 6 2) 98 3) 230 4) 4503. 1) 401หา = (4 × 52) + (0 × 51) + (1 × 1) 2) 4432หา = (4 × 53) + (4 × 52) + (3 × 51) + (2 × 1) 3) 20433หา = (2 × 54) + (4 × 52) + (3 × 51) + (3 × 1) 4) 31020หา = (3 × 54) + (1 × 53) + (2 × 51) + (0 × 1)

52

4. 1) 111 2) 399 3) 852 4) 2,540

5. 1) 1044หา 2) 10021หา

3) 11422หา 4) 13413หา

5) 44210หา 6) 114142หา

คําตอบปญหา “รูหรือไม”

1. 5 จํานวน แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 42. 20 จํานวน แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4 เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สองมีได 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 4 จึงสามารถนําเลขโดดมาสรางจํานวนได 4 × 5 = 20 จํานวน3. 100 จํานวน แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4 เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สองมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4 เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สามมีได 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 4 จึงสามารถนําเลขโดดมาสรางจํานวนได 4 × 5 × 5 = 100 จํานวน

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ค1. 1) 4 2) 8 3) 4 4) 322. 1) 3 2) 4 3) 8 4) 24

53

3. 1) 1101สอง = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 1) 2) 10110สอง = (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (1 × 21) + (0 × 1) 3) 101001สอง = (1 × 25) + (1 × 23) + (1 × 1) 4) 110000สอง = (1 × 25) + (1 × 24) + (0 × 23) + (0 × 22) + (0 × 21) + (0 × 1)4. 1) 11 2) 17 3) 24 4) 465. 1) 10011สอง 2) 100100สอง

3) 1000110สอง 4) 10010110สอง

5) 11010110สอง 6) 100101100สอง

6. ใชเปนรหัสในเครื่องคอมพิวเตอรและเครื่องมือเครื่องใชในระบบดิจิตอล

คําตอบปญหา “คิด” นพถึงโรงเรียนเวลา 8.05 นาฬิกา แนวคิด นพตื่นนอนเวลา 7 นาฬิกา ใชเวลาอาบน้ําและแตงตัว 30 นาที ใชเวลารับประทานอาหาร 20 นาที ใชเวลาเดินทางไปถึงโรงเรียน 15 นาที ใชเวลารวม 65 นาที นพถึงโรงเรียนเวลา 8.05 นาฬิกา

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ง1. 1) A = 10 , B = 11 × 123 2) A = 10 × 124 , B = 11 × 122

3) A = 10 × 124 , B = 11 × 123 4) A = 10 × 123 , B = 11 × 124

2. 205,7763. 1) B3Aสิบสอง = (B × 122) + (3 × 121) + (A × 1) 2) AA97สิบสอง = (A × 123) + (A × 122) + (9 × 121) + (7 × 1)

54

3) 9A0B8สิบสอง = (9 × 124) + (A × 123) + (0 × 122 ) + (B × 121) + (8 × 1) 4) 5A3B20สิบสอง = (5 × 125) + (A × 124) + (3 × 123) + (B × 122) + (2 × 121) + (0 × 1)4. 1) 743 2) 13,632 3) 209,081 4) 228,2265. 1) 699สิบสอง 2) 10B5สิบสอง

3) 3A2Bสิบสอง 4) BA00สิบสอง

6. การนับสินคาหรือส่ิงของที่มีหนวยเปนโหลและกุรุส ตัวอยาง กระดุม 12 เม็ดเทากับ 1 โหล กระดุม 12 โหลเทากับ 1 กุรุส

คําตอบแบบฝกหัด 2.31. 1) 102หา 2) 211440หา

3) 22242หา 4) 23330หา

2. 1) 41สิบสอง 2) 190Bสิบสอง

3) 9686สิบสอง 4) 3926Aสิบสอง

3. สามตัว ไดแก 0, 1 และ 24. แปดตัว ไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 75. 1) 1122สาม = (1 × 33) + (1 × 32) + (2 × 31) + (2 × 1)

2) 2100สาม = (2 × 33) + (1 × 32) + (0 × 31) + (0 × 1)3) 7504แปด = (7 × 83) + (5 × 82) + (0 × 81) + (4 × 1)4) 16520แปด = (1 × 84) + (6 × 83) + (5 × 82) + (2 × 81) + (0 × 1)

6. 42207แปด

7. 1) = 2) < 3) > 4) <8. นายมั่นอายุมากกวานายบุญ 16 ป

55

9. 247810เกา , 247810สิบเอ็ด , 247810สิบสอง

10. 4 ที่อยูใน 2438สิบสอง มีคามากที่สุด

คําตอบปญหา “จํานวนอะไรเอย”

จํานวนที่ตองการคือ 639แนวคิด อาจใชการวิเคราะหดังนี้

เนื่องจากเลขโดดในหลักรอยเปน 2 เทาของเลขโดดในหลักสิบและมีคา มากกวา 500 ดังนั้น เลขโดดในหลักรอยตองเปนจํานวนคู คือ 6 หรือ 8 และเลขโดดใน หลักสิบเปน 3 หรือ 4 เนื่องจากเลขโดดในหลักหนวยเปนสามเทาของเลขโดดในหลักสิบ ถาเลขโดดในหลักสิบเปน 4 แลว 3 × 4 = 12 ซ่ึงไมเปนเลขโดด ดังนั้น เลขโดดในหลักสิบตองเปน 3 และเลขโดดในหลักหนวยตองเปน 3 × 3 = 9 นั่นคือ 639 เปนจํานวนที่ตองการ

56

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

57

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก

ถอดรหัส

กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําความรูคณิตศาสตรไปประยุกตเปนเกมและเชื่อมโยงกับภาษาอังกฤษ

สื่ออุปกรณ ใบกิจกรรม “ถอดรหัส”

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูนาํสนทนาในเรือ่งการสือ่สาร ส่ือความหมายของมนษุยทีใ่ชภาษาแตกตางกนัและการสือ่สารโดยใชส่ืออ่ืน ๆ เชน รหัสมือ รหัสธง เครื่องหมายจราจร ฯลฯ รหัสตาง ๆ ที่ตกลงใชอาจใชเฉพาะกลุมหรือใชในระดับสากลที่ผูรับและผูสงจะเขาใจกัน

2. ครูแจกใบกจิกรรม “ถอดรหสั” ใหนกัเรยีนศกึษาและปฏบิตักิจิกรรม ใหครูสังเกตดวูานักเรียนสามารถถอดรหัสตัวเลขในกิจกรรมขอ 1 ไดหรือไม ถาไมไดใหครูช้ีแนะ 3. ครูสุมตัวแทนนักเรียนออกมาอธิบายถึงการสรางรหัส A1 และรหัส A3

4. ใหนักเรียนนําเสนอคําตอบของกิจกรรมขอ 35. ในการทํากิจกรรมขอ 4 ของนักเรียน ครูอาจใหนักเรียนจับคูกันระหวางนักเรียนที่นั่ง

ขางหนากับขางหลัง และคอยสังเกตวาการสงขอความที่แทนดวยรหัสตัวเลขของนักเรียนนั้นมีการกาํหนด คาํไข ไวทีใ่ดทีห่นึง่ในกระดาษทีส่งรหสั เพือ่ใหเพือ่นทราบวารหสัตวัเลขนัน้สรางจากรหสัใด เชน A7 หรือ 7 หรือไม เพื่อใหเห็นความจําเปนของการนําเสนอขอมูลอยางครบถวน ครูอาจใชคําถามช้ีนําวาถาไมกําหนด คําไข ไปให เพื่อนจะถอดรหัสไดหรือไม

6. ครูอาจสุมตัวแทนนักเรียนออกมานําเสนอขอความที่ตัวเองสงไปใหเพื่อนและขอความที่ไดรับจากเพื่อน

58

ใบกิจกรรม

ถอดรหัส

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้ 1. ใหนักเรียนศึกษารหัส A1 และรหัส A3 ขางลางนี้และลองคาดเดาดูวาจะตองถอดขอความจากตัวเลขเปนตัวอักษรไดอยางไร จึงจะไดขอความของรหัส A1 และรหัส A3 เปนขอความเดียวกัน

รหัส A1

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

รหัสที่สง 25 15 21 1 18 5 22 5 18 25 11 9 14 4

ถอดรหัสลับนี้ไดขอความ ……………………………………………………………………………

รหัส A3

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2

รหัสที่สง 1 17 23 3 20 7 24 7 20 1 13 11 16 6

ถอดรหัสลับนี้ไดขอความ ……………………………………………………………………………

2. รหัส A1 และรหัส A3 มีสวนตางกันอยางไรบาง จงอธิบาย ……………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….

3. ใหนักเรียนสรางรหัส A5 และเขียนรหัสตัวเลขเพื่อแทนขอความ “I CAN NOT MEET YOU. I HAVE GOT A SORE THROAT.”

59

4. ใหนักเรียนสงรหัสตัวเลขแทนขอความที่ตองการใหเพื่อนในชั้นเรียน 1 คน พรอมรอรับคําตอบดวย ใหจดบันทึกขอความที่สงและที่ไดรับในชองวางขางลางนี้

ขอความที่สง ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….ขอความที่ไดรับ …………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….

60

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ “ถอดรหัส”

1. YOU ARE VERY KIND2. รหัส A1 จะกําหนดตัวเลข 1 แทน A และจับคูตัวอักษรกับตัวเลขเปนคู ๆ ตามลําดับจนถึง 26

ซ่ึงจับคูกับ Z รหัส A3 จะกําหนดตัวเลข 3 แทน A และจับคูตัวอักษรกับตัวเลขเปนคู ๆ ตามลําดับจนถึง 26

ซ่ึงจับคูกับ X แลวกลับมาใช 1 จับคูกับ y และ 2 จับคูกับ z

3.

รหัส A5

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2 3 4

เมื่อสงเปนรหัสจะไดขอความดังนี้ 13 7 5 18 18 19 24 17 9 9 24 3 19 25 13 12 5 26 9 11 19 24 5 23 19 22 9 24 12 22 19 5 24

61

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ข

ทายวันเกิด

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดเห็นตัวอยางการนําความรูเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานสองมาใชสรางเกม ไดพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนและความคิดริเร่ิมสรางสรรค

สื่ออุปกรณ บัตรสําหรับทายวันเกิด 3 บัตร

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูสรางบัตรทายวันเกิดโดยกําหนดหมายเลข 1 ถึง 7 แทนวันในหนึ่งสัปดาห โดยใหหมายเลข 1 แทนวันอาทิตย 2 แทนวันจันทร 3 แทนวันอังคาร 4 แทนวันพุธ 5 แทนวันพฤหัสบดี 6 แทนวันศุกร

7 แทนวันเสารเพื่อเปนขอมูลในการทายวันเกิดใหครูเขียนคาประจําหลักของเลขฐานสองหลังบัตรทั้งสาม

ไวกอนดังนี้ บัตรที่ 1 เขียน 1 แทนคาประจําหลักที่หนึ่ง บัตรที่ 2 เขียน 2 แทนคาประจําหลักที่สอง บัตรที่ 3 เขียน 4 แทนคาประจําหลักที่สาม 2. ครูบอกขอตกลงและเงื่อนไขในการทายวันเกิดแลวชูบัตรทั้งสามใหนักเรียนสังเกตวาแตละบัตรจะมีหมายเลขกําหนดไวตางกัน ดังนี้

1 3

5 7

2 3

6 7

4 5

6 7

บัตรที่ 1 บัตรที่ 2 บัตรที่ 3

62

3. ครูสาธิตการทายวันเกิดนักเรียน 1 คน โดยทํากิจกรรมตามลําดับดังนี้1) ครูชูบัตรที่ 1 ถึงบัตรที่ 3 ทีละหนึ่งใบ ใหนักเรียนบอกวามีหมายเลขที่แทนวันเกิด

ของนักเรียนอยูในบัตรใดบาง 2) ครูทายวันเกิดของนักเรียน โดยพิจารณาจากผลบวกของจํานวนที่อยูหลังบัตร ตัวอยาง สมมติวานักเรียนเกิดวันพฤหัสบดี ซ่ึงตรงกับหมายเลข 5 ขั้นท่ี 1 ครูชูบัตรที่ 1 ใหนักเรียนดู นักเรียนตอบวา “มี”

ขั้นท่ี 2 ครูชูบัตรที่ 2 ใหนักเรียนดู นักเรียนตอบวา “ไมมี”

ขั้นท่ี 3 ครูชูบัตรที่ 3 ใหนักเรียนดู นักเรียนตอบวา “มี” ครูทายวันเกิดของนักเรียนไดโดยหาผลบวกของคาประจําหลักที่แอบจดบันทึกไวขางหลังบัตรเฉพาะบัตรที่นักเรียนตอบวา “มี” จากตัวอยางจะไดเทากับ 1 + 4 = 5 (จากบัตรที่ 1 และบัตรที่ 3) ครูทายไดวานักเรียนคนนั้นเกิดวันพฤหัสบดี 4. ครูควรทายวันเกิดนักเรียนคนอื่นๆ อีก 3 – 4 คน เพื่อดูวามีนักเรียนคนใดสังเกตและคนพบวิธีการหาคําตอบไดบาง ถาไมมีใหครูเฉลย 5. ครูอาจใหนกัเรยีนลองทายวนัเกดิของเพือ่นๆ ดบูางหรอืครูใชคาํถามเพือ่ตรวจสอบความเขาใจดังนี้ 1) ถานักเรียนทายวันเกิดเพื่อนและเพื่อนตอบวาวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 1 และบัตรที่ 2 นักเรียนคนนั้นเกิดวันอะไร 2) ถาเพื่อนตอบวามีวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 3 ใบเดียว เพื่อนคนนี้เกิดวันอะไร 6. ครูแบงกลุมนักเรียนเปนกลุมละ 3 – 4 คน ใหชวยกันศึกษาวิธีการสรางบัตรทายวันเกิดของครูและนําเสนอหนาชั้นเรียนแลวใหชวยกันสรุปใหไดคําตอบดังตอไปนี้

ตัวเลขฐานสิบ 1 2 3 4 5 6 7

ตัวเลขฐานสอง 01 10 11 100 101 110 111

63

บัตรท่ี 1 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 1 ไดแก 01, 11, 101และ 111 จึงเขียน 1, 3, 5 และ 7 ลงในบัตร

บัตรท่ี 2 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 2 ไดแก 10, 11, 110และ 111 จึงเขียน 2, 3, 6 และ 7 ลงในบัตร

บัตรท่ี 3 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 3 ไดแก 100, 101, 110และ 111 จึงเขียน 4, 5, 6 และ 7 ลงในบัตร

7. ครูยกตัวอยางเพื่ออธิบายใหนักเรียนทราบวา จากวิธีทําบัตรดังกลาวและคําตอบที่บอกวาจํานวนที่ตองการทายนั้นอยูในบัตรใดบาง จะทําใหเราสามารถหาตัวเลขฐานสองที่แทนจํานวนที่ตองการทายนั้นได และเมื่อเปลี่ยนตัวเลขฐานสองนั้นเปนตัวเลขฐานสิบก็จะไดคําตอบที่ตองการ ดังตัวอยาง ถานักเรียนบอกวาวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 1 และบัตรที่ 3 แสดงวาตัวเลขฐานสองที่จะเปนคําตอบที่ตองการนั้นมีตัวเลข 1 อยูในหลักที่ 1 และหลักที่ 3 สวนหลักที่สองเปน 0 ในที่นี้จะไดตัวเลขฐานสองเปน 101 และเมื่อเปลี่ยนเปนตัวเลขฐานสิบจะได 101 = 1(22) + (0 × 21) + (1×1) = 4 + 0 + 1 = 5 ดังนั้นวันเกิดของนักเรียนคนนี้จึงเปนวันพฤหัสบดี 8. ครูอาจใหนักเรียนชวยกันสรางบัตรทายจํานวน 1 ถึง 15 หรือสรางบัตรทายวันที่เกิด หรือสรางบัตรทายดาราที่นักเรียนชื่นชอบเปนงานกลุมนอกเวลา และใหนําเสนอผลงานบนปายนิเทศอาจแนะนาํใหไปใชทายเลนกับเพื่อนๆ หรือนองๆ

64

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ค

จํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดและฐานสิบสอง

กิจกรรมนี้ตองการเสริมความเขาใจเกี่ยวกับการเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ

1. จงเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดเรียงตามลําดับจาก 0แปด ถึง 310แปด

2. จงเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานสิบสอง เรียงตามลําดับจาก 0สิบสอง ถึง 148สิบสอง

3. การหาคําตอบในขอ 1 และขอ 2 ขางตน นักเรียนมีวิธีหาจํานวนเหลานั้นอยางไรจึงจะสะดวกและรวดเร็ว

คําตอบกิจกรรม “จํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดและฐานสิบสอง”

1. เขียนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานแปดแทนจํานวน 08 ถึง 3108 เรียงลําดับไดดังนี้ (เขียนตัวเลขแถวละแปดจํานวน)

08 18 28 38 48 58 68 78

108 118 128 138 148 158 168 178

208 218 228 238 248 258 268 278

308 318 328 338 348 358 368 378

408 418 428 438 448 458 468 478

508 518 528 538 548 558 568 578

608 618 628 638 648 658 668 678

708 718 728 738 748 758 768 778

1008 1018 1028 1038 1048 1058 1068 1078

1108 1118 1128 1138 1148 1158 1168 1178

65

1208 1218 1228 1238 1248 1258 1268 1278

1308 1318 1328 1338 1348 1358 136 1378

1408 1418 1428 1438 1448 1458 1468 1478

1508 1518 1528 1538 1548 1558 1568 1578

1608 1618 1628 1638 1648 1658 1668 1678

1708 1718 1728 1738 1748 1758 1768 1778

2008 2018 2028 2038 2048 2058 2068 2078

2108 2118 2128 2138 2148 2158 2168 2178

2208 2218 2228 2238 2248 2258 2268 2278

2308 2318 2328 2338 2348 2358 2368 2378

2408 2418 2428 2438 2448 2458 2468 2478

2508 2518 2528 2538 2548 2558 2568 2578

2608 2618 2628 2638 2648 2658 2668 2678

2708 2718 2728 2738 2748 2758 2768 2778

3008 3018 3028 3038 3048 3058 3068 3078

3108

2. เขียนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบสองแทนจํานวน 012 ถึง 14812 เรียงลําดับไดดังนี้ (เขียนตัวเลขแถวละสิบสองจํานวน)

012 112 212 312 412 512 612 712 812 912 A12 B12

1012 1112 1212 1312 1412 1512 1612 1712 1812 1912 1A12 1B12

2012 2112 2212 2312 2412 2512 2612 2712 2812 2912 2A12 2B12

3012 3112 3212 3312 3412 3512 3612 3712 3812 3912 3A12 3B12

4012 4112 4212 4312 4412 4512 4612 4712 4812 4912 4A12 4B12

66

5012 5112 5212 5312 5412 5512 5612 5712 5812 5912 5A12 5B12

6012 6112 6212 6312 6412 6512 6612 6712 6812 6912 6A12 6B12

7112 7112 7212 7312 7412 7512 7612 7712 7812 7912 7A12 7B12

8012 8112 8212 8312 8412 8512 8612 8712 8812 8912 8A12 8B12

9012 9112 9212 9312 9412 9512 9612 9712 9812 9912 9A12 9B12

A012 A112 A212 A312 A412 A512 A612 A712 A812 A912 AA12 AB12

B012 B112 B212 B312 B412 B512 B612 B712 B812 B912 BA12 BB12

10012 10112 10212 10312 10412 10512 10612 10712 10812 10912 10A12 10B12

11012 11112 11212 11312 11412 11512 11612 11712 11812 11912 11A12 11B12

12012 12112 12212 12312 12412 12512 12612 12712 12812 12912 12A12 12B12

13012 13112 13212 13312 13412 13512 13612 13712 13812 13912 13A12 13B12

14012 14112 14212 14312 14412 14512 14612 14712 14812

3. นักเรียนอาจมีวิธีเขียน เชน 1) เขียนจํานวนเหลานั้นโดยอาศัยความคิดรวบยอดในลักษณะเลียนแบบการมัดรวมสิ่งของใน

ระบบตัวเลขฐานหาตามหนังสือเรียน 2) เขียนจํานวนนั้นโดยอาศัยแบบรูป ดังตัวอยางคําตอบขางตนที่เขียนตัวเลขแถวละแปด

จํานวนและสิบสองจํานวนตามลําดับ