ADICIONE FORMULE - nbsp;· 1 ADICIONE FORMULE Zbir uglova sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin 1 1 tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg ctg α βαβαβ α βαβαβ αβ αβ

Embed Size (px)

Text of ADICIONE FORMULE - nbsp;· 1 ADICIONE FORMULE Zbir uglova sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin...

  • 1

    ADICIONE FORMULE Zbir uglova

    sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin

    ( )1

    1( )

    tg tgtgtg tg

    ctg ctgctgctg ctg

    + = ++ =

    ++ =

    + =+

    Razlika uglova

    ctgctgctgctgctg

    tgtgtgtgtg

    +

    =

    +

    =

    +==

    1)(

    1)(

    sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(

    Primeujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, uenicima je uvek problem da zapamte formule a bezobrazni profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Na je savet da probate da sebi stvorite asocijaciju koja e vam pomoi da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju asocijaciju: Zapamtite dve male pesmice koje odgovaraju na dve poetne formule:

    sincoscossin)sin( +=+ ( ) sinsincoscoscos =+ sin - ko vie ko-si kosi-kosi manje sine-sine Uvek prvo piite ugao pa Za )( +tg znamo da je:

    sinsincoscossincoscossin

    )cos()sin()(

    ++

    =++

    =+tg (sad gde vidite sinus zamenite

    ga sa tangens a kosinus sa jedinicom)

    tgtgtgtg

    tgtgtgtg

    +

    =

    +=

    11111

    www.matematiranje.com

  • 2

    Za cos( ) cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin

    ctg +

    + = = =+ +

    (zamenite sinus sa 1, a kosinus

    sa kotanges)

    tgctgctgctg

    ctgctgctgctg

    +

    =+

    =1

    1111

    Znai zapamtili smo sinko vie kosi i kosi kosi manje sine sine i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Nai bez upotrebe raunskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a)

    = racionaliemo sa 3 33 3

    = ( ) ( ) 326

    3266

    361239

    3369

    33

    3322

    2

    =

    =

    =

    +=

    Naravno otg15 smo mogli izraunati i lake oo

    otg15cos15sin15 =

    323432

    3232

    321

    15115 +=

    +

    =++

    == oo

    tgctg

    www.matematiranje.com

    sin15 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30

    2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4

    cos15 cos(45 30 )cos 45 cos30 sin 45 sin 30

    2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4

    45 3015 (45 30 )1 45 30

    3 331 3331

    3

    o o o

    o o o o

    o o o

    o o o o

    o oo o o

    o o

    tg tgtg tgtg tg

    =

    =

    = =

    =

    = +

    += + =

    = =

    +

    = =+

    3 33+

    3 33 3

    =+

  • 3

    ( )

    ( )

    sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30

    2 3 2 12 2 2 22 3 1

    4cos 75 cos(45 30 )

    cos 45 cos30 sin 45 sin 30

    2 3 2 12 2 2 22 3 1

    4

    o o o

    o o o o

    o o o

    o o o o

    = +

    = +

    = +

    +=

    = +

    =

    =

    =

    ( )( ) =

    +=

    +

    ==1313

    4132

    4132

    75cos75sin75 o

    ootg (moramo opet racionalizaciju)

    ( )

    323232

    321

    75175

    322

    3222

    32413

    13231313

    1313

    =

    +

    ==

    +=+

    =+

    =

    ++=

    ++

    +

    =

    oo

    tgctg

    b) =

    +=+= oooo 15

    2sin)1590sin(105sin (imamo formulu) == o15cos

    (a ovo smo ve nali) 4

    )13(2 +=

    Naravno, isto bismo dobili i preko formule ( )ooo 4560sin105sin +=

    2( 3 1)cos105 cos 15 sin152 4

    105 15 15 ( 2 3)2

    105 15 15 ( 2 3)2

    o o o

    o o o

    o o o

    tg tg ctg

    ctg ctg tg

    = + = =

    = + = = + = + = =

    opet ponavljamo da moe I ideja da je 0105 (60 45 )o otg tg= + itd.

    www.matematiranje.com

  • 4

    2)a) Proveri jednakost 2110sin20cos10cos20sin =+ oooo

    =+ oooo 10sin20cos10cos20sin (ovo je: )sin(sincoscossin +=+ )

    2130sin)1020sin( ==+= ooo

    b) 2317sin47sin17cos47cos =+ oooo

    =+ oooo 17sin47sin17cos47cos (ovo je: )cos(sinsincoscos =+ )

    2330cos)1747cos( === ooo

    3) Izraunati )sin( + , ako je 135cos,

    53sin =+= i

    23,,,

    2

    sin( ) sin cos cos sin + = + Znai fale nam cos i sin . Njih emo nai iz osnovne indentinosti:

    1312sin

    169144sin

    169144sin

    16925169sin

    1351sin

    cos1sin1cossin

    2

    2

    22

    22

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    ovde su sinusi negativni Dakle: Dal da uzmemo + ili to nam govori lokacija ugla

    Ovde su kosinusi negativni! Znai da je 4cos5

    =

    54cos

    2516cos

    2516cos

    25925cos

    2591cos

    531cos

    sin1cos1cossin

    2

    2

    2

    22

    22

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    ,

    2

    12sin13

    =

  • 5

    Vratimo se da izraunamo ( ) +sin

    ( )6533

    6548

    6515

    1312

    54

    135

    53sin =+=

    +

    =+

    4) Izraunati

    +

    4tg za koje je

    1312sin = i

    ,

    2

    tgtg

    tgtg

    tgtgtg

    +

    =

    +

    =

    +

    11

    41

    44

    Poto je

    cossin

    =tg , znai moramo nai cos

    Vratimo se u zadatak:

    Da li uzeti + ili ?

    ,

    2

    Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle

    www.matematiranje.com

    135cos

    16925cos

    16925cos

    169144169cos

    1691441cos

    1cos1312

    1cossin

    2

    2

    2

    22

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    =+

    5cos13

    =

    512135

    1312

    =

    =

    tg

    tg

    1215

    124 15

    775

    174 175

    tg

    tg

    + = +

    + = =

  • 6

    5) Ako su i otri uglovi i ako je 21

    =tg i 31

    =tg pokazati da je 4 + =

    Ispitajmo koliko je ?)( =+ tg

    1

    6565

    31

    211

    31

    21

    1)( ==

    +=

    +

    =+

    tgtgtgtgtg

    Znai: 1)( =+ tg , ovo je mogue u 2 situacije: o45=+ ili o225=+ poto su i otri uglovi, zakljuujemo:

    o45=+ tj. 4 =+

    6) Dokazati da je ,)()32( 2 tgyyxtgytg =+ ako je 032 = tgytgx =+ )()32( 2 yxtgytg

    =+

    +tgxtgy

    tgytgxytg1

    )32( 2 (poto je 032 = tgytgx zakljuujemo 2

    3tgytgx = )

    2

    22

    2

    32(2 3 ) 31

    23 2

    2(2 3 )2 3

    2

    (2 3 )

    tgy tgytg y tgy tgy

    tgy tg

    tg ytg y

    tg y

    + =

    +

    + =+

    +2

    3 22 3tgy tgy

    tg y

    +

    tgy=

    Ovim je dokaz zavren. 7) Dokazati identitet: sin( )cos( ) 1

    tg tgtg tg

    + +

    = +

    sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin

    + +

    = = +

    (sada emo izvui: coscos i gore i

    dole) www.matematiranje.com

  • 7

    cos cos

    =

    sin sincos cos

    cos cos

    +

    1sin sin1

    cos cos

    tg tgtg tg

    +=

    + +

    8) Ako je 2

    1,1212

    =+

    = tgtg i , 0, ,2

    dokazati da je

    4 =

    Sredimo prvo izraze tg i tg

    1212

    +

    =tg (izvrimo racionalizaciju)

    ( )22 2

    2 12 1 2 1 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1

    3 2 2

    tg

    tg

    ++ + + += = =

    +

    = +

    1 1 2 2

    22 2 22

    2

    tg

    tg

    = = =

    =

    ( )

    23 2 22( ) 2 je zajedniki i gore i dole=

    1 21 3 2 22

    6 4 2 2 6 3 22 2 1

    2 3 2 4 6 3 22 2 2 2

    tg tgtgtg tg

    + = = =

    + + +

    + +

    = = =+

    + +

    Dakle 1)( = tg , to nam govori da je o45= ili o225= . Poto u zadatku

    kae da je

    2,0, zakljuujemo o45= tj.

    4 = to je i trebalo

    dokazati!

    www.matematiranje.com