Aide Memore Thermo Rappel de Cours Et Exercices

AIDE-MMOIRE DE THERMODYNAMIQUErappels de cours et exercices

Didier Descamps 12 fvrier 2014

AIDE-MMOIRE DETHERMODYNAMIQUE

Arts et Mtiers ParisTech ENSAM centre de LilleDidier Descamps [email protected]

12 fvrier 2014

1 Introduction 11.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Diffrents tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Actions sur un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Variable thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Thermomtrie 52.1 Principe zro de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Systme deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Systme trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Choix dune chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Quelques thermomtres industriels . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Calorimtrie 8

4 volutions et travaux 104.1 Quelques dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 volution isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2 volution isochore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.3 volution isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.4 volution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.5 volutions rversible et irrversible . . . . . . . . . . 114.1.6 Cycle thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Systme ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1 Travail en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Systme ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.1 Cas dune volution rversible . . . . . . . . . . . . . . 134.3.2 Cas dune volution irrversible . . . . . . . . . . . . . 144.3.3 Rpartition des travaux dans une machine . . . . . . 154.3.4 quations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Premier principe 175.1 Systme en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Systme ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Deuxime principe 216.1 noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 chelle thermodynamique des tempratures . . . . . . . . . 24

6.3.1 Cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.2 chelle thermodynamique et rendement de Carnot . 25

7 Entropie 277.1 Cycle de Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Dfinition de lentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2.1 Transformation rversible . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2.2 Transformation irrversible . . . . . . . . . . . . . . . 297.2.3 Troisime principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2.4 quations de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Gaz parfaits 328.1 Loi dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2 Limites du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.3 Coefficients calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.4 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Transformations des gaz parfaits 359.1 Isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2 Isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Isochore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.4 Isenthalpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.5 Adiabatique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.6 Polytropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9.6.1 Compression rversible refroidie . . . . . . . . . . . . 409.6.2 Compression irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9.6.3 Dtente irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.7 Adiabatique avec transfert de masse . . . . . . . . . . . . . . 41

9.7.1 Temprature totale, enthalpie totale . . . . . . . . . . 419.7.2 Pression totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10 Gaz parfaits et diagrammes 4410.1 Diagramme de Clapeyron (p,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10.1.1 Reprsentation des principales transformations . . . 4510.1.2 Reprsentation des travaux . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.2 Diagramme entropique (T,s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.3 Compressions dans (T,s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.3.1 Isotherme rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3.2 Adiabatique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.3.3 Polytropique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.3.4 Polytropique irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.3.5 Compressions tages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10.4 Dtentes dans (T,s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.4.1 Dtente rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.4.2 Dtente irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.5 Quelques autres diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11 Fluides rels 5711.1 Espace (T,v,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.2 Diagramme entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.3 Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.3.1 Tables de vapeur sature . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.3.2 Tables de vapeur surchauffe . . . . . . . . . . . . . . 62

11.4 Chaleurs massiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12 Rendements 6412.1 Compressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12.1.1 Compressions refroidies . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.1.2 Compressions adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.2 Dtentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 Cycles de conversion dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.3.1 Moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.3.2 Thermopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Exergie et anergie 6913.1 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.2 Cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013.3 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013.4 Reprsentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.5 Rendements exergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.5.1 Compressions et dtentes . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.5.2 changes de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.5.3 Cycles de conversion dnergie . . . . . . . . . . . . . . 75

14 Mlanges de fluides 7614.1 Mlanges de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7614.2 Air humide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7714.2.2 Compressions et dtentes de lair humide . . . . . . . 78

15 Exemples et exercices 8115.1 Thermomtrie & calorimtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

15.1.1 Chaleur massique dun mtal . . . . . . . . . . . . . . 8115.1.2 Frein hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.2 Premier et deuxime principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.2.1 changes de chaleur et entropie . . . . . . . . . . . . 82

15.3 Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.3.1 Constantes de lair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.3.2 volution en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.3.3 Compression adiabatique rversible . . . . . . . . . . 8415.3.4 coulements grande vitesse. . . . . . . . . . . . . . . 85

15.4 Fluides rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8615.4.1 tude dune chaudire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8615.4.2 Dtente de vapeur deau . . . . . . . . . . . . . . . . . 8715.4.3 Compressions dun fluide frigorigne . . . . . . . . . . 8815.4.4 Dtente par laminage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

15.5 Exergie et anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9115.5.1 Compression polytropique rversible . . . . . . . . . . 9115.5.2 Compression polytropique irrversible . . . . . . . . . 9215.5.3 Chauffage dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

16 complments 9616.1 Quelques quations remarquables . . . . . . . . . . . . . . . 9616.2 Nomenclature sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9816.3 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1 Introduction

L'une de raison pour laquelle la vie est omplexe, est qu'elle a une

partie relle, et une partie imaginaire.

Andrew Koenig.

1.1 Gnralits

Ce papier na pas pour ambition de remplacer un cours, mais sim-plement daider le lecteur se rafrachir la mmoire aprs ou longtempsaprs le cours. La bibliographie est abondante et on ne lit jamais assez 1.

La thermodynamique, tymologiquement la force du feu , est neavec la rvolution industrielle et la machine vapeur, au dbut du XIXme

sicle.Utiliser la puissance du feu pour remplacer le travail musculaire de

lhomme ou de lanimal tait alors et juste titre, malgr les cons-quences environnementales quon ne pouvait souponner lpoque consi-dr comme un progrs technique fondamental. Sadi Carnot publie en1824 son clbre ouvrage Rflexions sur la puissance du feu et les ma-chines propres dvelopper cette puissance qui propose une thorie pourdes machines qui fonctionnaient dj fort bien lpoque sur des basesempiriques 2. Elle est devenue depuis lune des bases de la physique etde la mcanique, elle a apport sa contribution au dveloppement de laphysique moderne (mcanique quantique, astrophysique, cosmologie,. . . ),et continue elle-mme se dvelopper 3.

La thermodynamique a pour objet essentiel ltude des diffrents tatsde la matire, et des changes de travail et de chaleur entre corps. Elleest donc en continuit avec la mcanique des fluides et ltude des trans-ferts thermiques. Dans ce sens restrictif elle aurait pu tout aussi bientre appele thermomcanique . La thermodynamique prcise le sensdes changes nergtiques. Avec elle apparat dans la physique la flchedu temps inconnue de la mcanique rationnelle.

Il existe une approche microscopique de la thermodynamique qui in-terprte les diffrentes variables dun corps (temprature, pression, vis-cosit,. . . ) comme le rsultat statistique du comportement des atomes ou

1. On trouvera une bibliographie de base en page 99.2. Un fac-simil est disponible sur http ://gallica.bnf.fr/3. Voir [ROS68] et [PER97]. La thermodynamique fait-elle partie de la physique, ou bien

en est-elle un pralable ? Je laisse cette question dpistmologie au philosophe.

D. Descamps, ENSAM Lille 1 AIDE-MMOIRE DE THERMODYNAMIQUE

1 INTRODUCTION

molcules constituant ce corps (chocs sur les parois, entre particules, vi-tesses moyennes,. . . ). Cette approche cintique ne sera pas aborde ici.Nous nous bornerons une tude macroscopique de la thermodynamiquequi considre les corps comme des milieux continus. Ce point de vue estadapt une utilisation industrielle et fournit un outil indispensable ltude des machines assurant des changes dnergie comme les moteurs,compresseurs, turbines, turboracteurs, etc.

Lesprit de ce papier est donc celui de lingnieur mcanicien qui sin-tresse aux machines thermiques, et non celui du physicien, et encoremoins celui du chimiste.

1.2 Diffrents tats de la matire

Presque tous les corps purs peuvent se rencontrer selon diffrentstats ou phases comme ltat solide, ltat liquide ou ltat gazeux. Onrencontre galement des intermdiaires comme les tats pteux, ou exo-tiques comme les plasmas. La thermodynamique industrielle expose icisintresse presque exclusivement aux phases liquide et gazeuse 4.

La variance est le nombre de variables intensives ncessaire et suffi-sant la description dun systme.

La rgle de Gibbs relie cette variance V au nombre C de constituantschimiques diffrents du systme et au nombre de phases simultan-ment en prsence. Elle scrit

V 2=C (1)

Exemples :

1. un corps pur sous forme uniquement gazeuse. C = = 1 V = 2La connaissance de deux variables (T et p par exemple) permet decalculer toutes les autres (v, h, etc.).

2. un corps pur sous deux phases (butane liqufi dans sa bouteille,par exemple). V = 1 et la seule mesure de T suffit connatre p, v,. . .

3. un corps pur sous trois phases. V = 0. Ce sont les fameux pointstriples, uniques pour chaque corps 5 et pour lesquels toutes les va-riables sont dtermines. Par exemple, on trouve pour leau au pointtripleT3 = 273,16 K soit 0,01C, et p3 = 611 Pa

4. Une tude plus complte des changements de phase sera effectue au chapitre 115. sauf lhlium. voir [PER97].


1.3 Systme thermodynamique

1.3 Systme thermodynamique

Un systme thermodynamique est une quantit de matire isole dureste du monde par la pense. La notion de frontire avec lextrieur estinsparable de celle de systme. Un systme thermodynamique peut tre,par exemple, leau contenue dans une bouteille, ou bien la bouteille elle-mme, ou bien lensemble des deux. Sans parler du bouchon. . .

On distingue deux types de systmes : Les systmes ferms qui sont constitus dune masse fixe chan-geant du travail et de la chaleur avec lextrieur, mais sans renou-vellement de matire. Leau de la bouteille bouche ou lair dans lecylindre dun compresseur, tant que les clapets sont ferms, sont desexemples de tels systmes ferms.

Les systmes ouverts qui changent du travail et de la chaleur aveclextrieur, mais galement de la matire. Leau contenue dans unepompe en fonctionnement est un exemple dun tel systme. La fron-tire est alors constitue de lenveloppe de la pompe (tanche lamatire eau), mais aussi des sections des brides dentre et de sor-tie qui sont traverses par le fluide en mouvement. Les situationsindustrielles son gnralement de ce type.

1.4 Actions sur un systme

Tout systme subit des forces. Celles ci peuvent sexercer sur len-semble du volume ou sur une surface frontire. Elles peuvent dautre-partavoir une origine interne ou externe au systme. Il y a donc quatre cas considrer, voici seulement quelques exemples :

les forces extrieures de surface, change thermique, action duneparoi mobile comme un aubage ou un piston,

les forces extrieures de volume, la gravit, forces lectromagntiques, les forces intrieures de surface, il ny a pas dexemple de ce type deforce,

les forces intrieures de volume, viscosit, change thermique in-terne, changement de phase, raction chimique (combustion,. . . )

1.5 Variable thermodynamique

On distingue les variables selon quelles sont microscopiques ou ma-croscopiques. Lapproche microscopique de la thermodynamique se basesur les statistiques de rpartition des vitesses des molcules,des distancesentre molcules, etc. Ces variables sont dites microscopiques.


1 INTRODUCTION

Lapproche macroscopique qui seule nous intresse ici permet la des-cription globale dun systme 6. Parmi ces variables macroscopiques, ondistingue :

les variables extensives, additives et proportionnelles la masse commele poids, le volume. Elles sont notes en majuscules.

les variables intensives, ne dpendant pas de la masse du systme,comme la pression p, la temprature T, le volume massique v. Lanorme reprsente ces variables intensives par des caractres mi-nuscules, exception faite de la temprature quand elle est expri-me en kelvin. La plupart des raisonnements thermodynamiquesse basent sur les variables intensives.

On fait galement une distinction entre les variables qui sont des gran-deurs dtat et celles qui ne le sont pas. La forme diffrentielle dune gran-deur dtat est mathmatiquement une diffrentielle totale exacte. Celasignifie physiquement que ltat du systme un instant donn suffit lacaractriser, et que sa variation est indpendante du chemin parcouru pour arriver cet tat. La pression, le volume massique, la tempraturesont des exemples de grandeurs dtat. Le travail et la chaleur changsne sont pas en gnral des grandeurs dtat ; elles ne sont pas des diff-rentielles totales exactes, elles dpendent du mode dchange de travailet de chaleur, donc du chemin parcouru.

6. on trouvera une liste non exhaustive de ces variables en page 98


2 Thermomtrie

Le phnomne gnralement dsign sous le nom de froid provient,neuf fois sur dix, de la temprature . Alphonse Allais

2.1 Principe zro de la thermodynamique

Comme tout principe de physique, le principe zro ne se dmontrepas. On se borne constater quil nest jamais en contradiction avec lex-prience. Il en est de mme des rgles comme celle de Gibbs.

2.1.1 Systme deux corps

Soit un systme constitu de deux fluides A et B, spars lun delautre par une paroi tanche et conductrice de la chaleur, et spars delextrieur par une paroi adiabatique, cest dire idalement non conduc-trice (figure 1(1)). Comme toutes les parois sont indformables les fluidesne peuvent changer de travail ni entre eux, ni avec lextrieur 7. Seullchange de chaleur entre compartiments est possible.

A BA

B

C

parois conductrices(1) (2)parois adiabatiques

Figure 1 le principe zro

Quels que soient leurs tats initiaux, les fluides A et B tendent vers untat commun dquilibre o lchange de chaleur cesse. Le temps nces-saire pour atteindre cet tat dpend des masses de fluide et de la conduc-tivit de la paroi, mais lquilibre final est indpendant de la nature de

7. Pour changer du travail, un fluide doit agir sur les parties mobiles dun solide, commeun piston, ou laubage dune turbomachine.


2 THERMOMTRIE

cette paroi. Ce quelque chose de commun ces deux fluides est toutsimplement la temprature 8.

lquilibre on a TA = TB

Remarque : La thorie cintique nous fournit une reprsentation simplede la temprature. La relation (2) sapplique aux gaz monoatomiques etlie la temprature absolue T la masse molaire M, la constante univer-selle des gaz parfaits R, et la vitesse moyenne des molcules c

T =M

3Rc2 (2)

Cette relation montre que la tempture est proportionnelle lnergiecintique des particules du gaz.

2.1.2 Systme trois corps

Soit le systme suivant o A est en quilibre avec B et B avec C (figure1(2)). Il est vident que dans ces conditions A est en quilibre avec C : sideux corps sont en quilibre avec un mme troisime, ils sont en quilibreentre eux. Encore une fois la grandeur commune est la temprature.

2.2 Choix dune chelle

Les sensations de chaud ou de froid du corps humain sont videntesmais subjectives. Elles subissent de nombreuses grandeurs dinfluencecomme lhumidit ou la sant de la personne, et des variations dun indi-vidu lautre. Do le besoin dun thermomtre, cest dire dune gran-deur g(t) qui ait toutes les qualits requises pour la mesure. Parmi cesqualits on trouve la fidlit, la sensibilit, la linarit (g doit au moinstre monotone), etc.

Cest prcisment la linarit qui est proccupante : la vrifier supposequon dispose au pralable dune chelle de temprature et le choix dunetelle chelle ne peut se faire de faon arbitraire. On est capable depuislongtemps de classer les corps selon leur temprature, mais seulementdepuis peu de leur attribuer une valeur numrique.

Lexemple absurde suivant montre la difficult de la chose.On veut utiliser comme thermomtre la proprit de dilatation des m-taux selon la temprature. Soient deux barres A et B de mtaux diffrentset de mme longueur 0C (glace fondante).

8. Si la paroi tait infiniment dformable mais tanche la chaleur (adiabatique), ce quelque chose serait la pression.


2.3 Quelques thermomtres industriels

100C (eau bouillante sous 1 bar), la barre A montre une augmentationde longueur de 10mm et la barre B sallonge de 20mm. une mme temprature intermdiaire, A sallonge de 5mm et B de12mm. Si on choisit arbitrairement A comme rfrence, cette tempra-ture est 50C et la dilatation de B est non linaire. Si on choisit B, latemprature est 60C et la dilatation de A est non linaire. Et peut-treni A ni B ne sont linaires, compars une troisime rfrence.

Dans des conditions de faible masse volumique, les gaz montrent pourla plupart un bon accord entre eux. Ils ont pendant longtemps constitula rfrence commune. Si deux gaz diffrents sont initialement la mmepression et la mme temprature, ils garderont une pression communesi la temprature varie sous un volume constant, ou un volume communsi la temprature varie pression constante.

Un thermomtre peut tre fabriqu en mesurant la pression dun gazmaintenu volume constant. Soit lexemple suivant :un gaz monoatomique est 1 bar 0C et 1,3663 bar 100C.On suppose la relation linaire p= a.+b .On en dduit que a= 3,663.103 bar/C et que b= 1barPour p= 0 on a =273C.

En effectuant un changement dorigine

p= ab= a(

b

a

)= aT (3)

on retrouve lchelle kelvin ou absolue 9 des tempratures, puisque b/a =273.

2.3 Quelques thermomtres industriels

Il nest pas possible de recenser ici tous les procds industriels demesure des tempratures. Le lecteur se rapportera au trs bon livre deAsch & al.[ASC83], ainsi qu [PER97] et [BRU68]. Peuvent tre cits envrac :

les thermomtres dilatation de liquide, les thermomtres variation de rsistance lectrique (PT100 parexemple),

les thermocouples, les thermomtres optiques, les thermomtres variation de la frquence de rsonance dunquartz ou dune cramique.

9. Lchelle du thermomtre gaz se confond en trs bonne approximation avec lchellethermodynamique des tempratures base sur le cycle de Carnot. ( page 26.)


3 CALORIMTRIE

3 Calorimtrie

Les grandes personnes ne comprennent jamais rien toutes seules,et cest fatigant, pour les enfants, de toujours et toujours leur don-ner des explications.

A. de Saint-Exupery "Le Petit Prince"

Les notions de temprature et de quantit de chaleur sont bien diff-rentes. Pour faire passer une masse m dun corps dune temprature t1 une temprature t2 plus leve, il faut apporter une quantit de chaleurQ. Cette quantit est proportionnelle m et t2 t1, mais elle dpendaussi de la transformation et de la nature du corps : Q est une forme delnergie et sexprime en joules 10.

C =mc est la capacit thermique du corps (J/K ou J/C).c sappelle la capacit thermique massique, plus couramment appe-

le chaleur massique. Elle peut varier avec la temprature et elle a pourunit S.I. le joule par kilogramme et par kelvin (J kg1 K1).

Comme c= f (t), on connat en gnral une valeur de c moyenne entret1 et t2

cmoyen =q2 q1t2 t1

(4)

et la temprature t on a

c(t)= limt2t

q2 q

t2 t=dqdt

(5)

Remarque : certaines units de quantits de chaleur maintenant in-terdites ont pourtant la vie dure. Cest le cas de la calorie 11 que mdecins,ditticiens et chauffagistes ne sont pas prts dabandonner ! Il faut doncencore se souvenir que :

1 calorie est la quantit de chaleur ncessaire pour faire passer 1gramme deau de 14,5C 15,5C.

1 calorie = 4,185 joules 1 thermie = 1 mgacalorie = 4185,106 kjoules

10. Jusquau milieu du XIX sicle, on pensait que la chaleur tait un fluide particulier, le calorique . Daprs le Premier Principe de la Thermodynamique, travail et quantits dechaleur sont deux formes de lnergie et ont donc la mme unit. suivre . . .11. Le systme S.I. est le seul lgal en France depuis le 1er janvier 1962, lusage de la

calorie est interdit depuis le 31 dcembre 1977.Je serais personnellement plutt favorable lutilisation du terme calorie, mais titre devocabulaire exclusivement, pour remplacer laffreuse expression "quantit de chaleur".


1 frigorie = - 4185 joules, soit une kilocalorie ngative. Cette unittrange est encore utilise, comme son nom lindique, par certainsfrigoristes.

Le kilowattheure est dusage lgal : 1kWh= 3,6 MJ

solidesolide liquide

liquide

+liquide

vapeur+

vapeur

gazou

temps

T

Tf

Tv

Figure 2 Chaleurs latentes de fusion et de vaporisation.

Des quantits de chaleur peuvent tre aussi changes entre un corpset lextrieur sans que ce corps ne subisse de variations de temprature.Cest le cas des changements de phase. Il faut apporter des quantits dechaleur pour faire fondre un glaon deau passant de ltat solide, 0C ltat liquide, 0C. Il faut galement en apporter pour passer de ltatliquide 100C ltat vapeur 100C. Ces quantits de chaleur sont appel-les chaleurs latentes de fusion et de vaporisation.

En chauffant pression constante et puissance constante dq/dt uncorps initialement solide, on observe deux paliers qui correspondent auxtempratures de fusion T f et de vaporisation Tv et aux chaleurs latentesassocies comme le montre la figure 2. Pendant ces paliers il y a deuxphases simultanment en prsence. 12 (rappel : on ne peut observer troisphases en prsence la mme temprature quau point triple.)

12. Certains corps, comme le CO2, ont une pression de point triple suprieure la pres-sion atmosphrique. Aux pressions ordinaires ils passent directement de ltat solide ltatde vapeur et on nobserve quun palier. Ce phnomne est appell la sublimation


4 VOLUTIONS ET TRAVAUX

4 volutions et travaux

Lorsque lon ne travaillera plus les lendemains des jours de repos,la fatigue sera vaincue. Alphonse Allais.

4.1 Quelques dfinitions

4.1.1 volution isobare

Une volution isobare est une transformation o la pression est main-tenue constante. Le passage dun fluide dans un changeur de chaleur ouune chaudire est un exemple de transformation isobare tant quon peutngliger les pertes de charge et les variations dnergie cintique.

4.1.2 volution isochore

Une volution isochore ou isovolume est une transformation durantlaquelle le volume est maintenu constant. Comme les liquides sont engnral des fluides quasiment incompressibles, toutes leurs transforma-tions peuvent tre considres comme isochores. Le volume tant une va-riable extensive, cest le volume massique qui est constant dans le casdune transformation isochore ouverte.

4.1.3 volution isotherme

Une volution isotherme est une transformation au long de laquellela temprature est constante. Le changement de phase isobare dun corpspur est galement isotherme.

4.1.4 volution adiabatique

Une volution adiabatique est une transformation au long de laquelleil ny a pas dchange de chaleur avec lextrieur. Les transformationsadiabatiques tout comme les transformations avec changes de chaleurne sont videment pas ncessairement isothermes. Par exemple une com-pression, mme refroidie, saccompagne en gnral dune lvation detemprature. Cette lvation est toutefois moins grande que celle dunecompression adiabatique entre le mme tat initial et la mme pressionfinale.


4.1 Quelques dfinitions

4.1.5 volutions rversible et irrversible

Tout en ce bas monde est sige dirrversibilits. Nous verrons avec lepremier principe (PPT) quil y a quivalence entre le travail et la chaleur,et avec le deuxime principe (DPT) que cette quivalence nest pas totale.Ds quil y a mouvement ou transfert, il y a galement frottement. Cefrottement correspond du travail qui se dgrade en chaleur et ce proces-sus est videmment irrversible. Une transformation rversible est unetransformation idale, sans frottements, dans laquelle une variation infi-niment petite dune condition permettrait dinverser le sens de lchange.Prenons comme exemple le transfert de chaleur : pour quun fluide serchauffe au contact dun solide, il faut quil existe une diffrence de tem-prature non nulle entre le fluide et le solide. Si cette diffrence pouvaitdevenir infiniment petite, une infime diminution de la temprature per-mettrait au fluide de se refroidir et donc au sens de lchange de sinverser.

Si on veut les regarder finement, toutes les volutions ont un caractreirrversible. Cependant on considre frquemment en thermodynamiqueindustrielle des volutions rversibles dans la mesure o cela amne dessimplifications acceptables, et moyennant souvent un terme supplmen-taire dans les quations.

4.1.6 Cycle thermodynamique

Le cycle thermodynamique dun fluide est une succession de trans-formations (au minimum trois, souvent quatre ou plus) qui ramnent cefluide son tat initial pour un nouveau tour (pas forcment gratuit !).Cette rptition dvnements est la condition indispensable une pro-duction continue de travail ou de chaleur. Les cycles jouent donc un rleessentiel dans le principe de fonctionnement des machines thermiques.Les cycles idaux sont composs uniquement de transformations rver-sibles. Ils permettent de btir un raisonnement ou de dterminer leslimites vers lesquelles peuvent tendre les cycles rels dans lesquels lestransformations sont irrversibles. Un exemple historique de cycle idalest celui de Carnot que nous verrons plus loin.

On distingue galement les cycles ferms o la mme matire subitindfiniment le mme cycle (par exemple le fluide frigorigne dans unrfrigrateur ou leau dans une centrale lectrique) et les cycles ouvertso la matire se renouvelle (comme les gaz frais remplacent les gaz brlsdans un moteur dautomobile).



4.2 Systme ferm

4.2.1 Travail en vase clos

V, p

dV

Fe

dl

Figure 3 compression en vase clos

Prenons lexemple dune masse m de gaz la pression p, enfermedans un cylindre de volume V ferm par un piston mobile de surface S,comme dans la figure 3. Le piston se dplace dune distance lmentairedl, et le volume V diminue de la valeur dV . La force effective du pistonsur le gaz scrit ~Fe = p~nS avec ~n la normale extrieure la masse degaz. We est le travail lmentaire communiqu au gaz :

We = ~Fe d~l = pS (~n d~l)=pdV (6)

Soit, en divisant par m,

we =pdv (7)

et pour une transformation finie

we12 =21pdv (8)

o v reprsente le volume massique [m3kg1].we est appel le travail massique dvolution en vase clos. Convention-

nellement, ce travail est compt positivement sil est reu par le systme(ici le gaz) et ngativement sil est cd par le systme. Il en est de mmedes quantits de chaleur ; cette convention de signe respecte la normeNFX 02-104 (attention, cette norme nest pas respecte dans tous les ou-vrages de thermodynamique, notamment anglo-saxons).


4.3 Systme ouvert

4.2.2 Thorme de lnergie cintique

Le thorme de lnergie cintique traduit la conservation de lnergiemcanique. Il stipule que la variation dnergie cintique dun systme estgale la somme algbrique de tous les travaux intrieurs et extrieurseffectus sur le systme. Il scrit

wc =we+w f i (9)

avec

wc = la variation dnergie cintique,we = le travail des forces extrieures,w f i = le travail des forces intrieures.

Comme cas particulier, frquent en systme ferm, la variation dnergiecintique est ngligeable et

w f i12 =+21pdv (10)

Sil existe un travail w f non ngligeable des forces de frottement, ce quitraduit une volution irrversible, alors

w f i12 =w f12 +21pdv (11)

4.3 Systme ouvert

4.3.1 Cas dune volution rversible

Soit unemachine idale (par exemple un compresseur dair) qui changegrce ses parois mobiles (pistons ou aubages) un travail massique in-diqu wi avec le fluide quil transvase. Cela de faon adiabatique et enrgime permanent (sans variations dans le temps) comme sur la figure 4.

Les variables 13 du fluide en entre de machine sont v1, p1, t1, c1 , z1et en sortie v2, p2, etc.

Le thorme de lnergie cintique scrit

c22 c21

2= p2v2+ p1v1 g(z2 z1)+wi

forces extrieures

+

21pdv

forces intrieures

(12)

13. la vitesse du fluide est note c. Ce symbole est normalement rserv une clritdes ondes (sonores ou lumineuses) et les normes imposent les notations u,v ou w. Mais il yaurait risque de confusion avec lnergie interne, le volume massique ou un travail.



avec (c22 c21)/2 = la variation dnergie cintique,

p2v2+ p1v1 = le travail des forces de pression amont-aval,g(z2 z1) = le travail des forces de pesanteur,

wi = le travail fourni par les parties mobiles de la machine,21pdv = le travail des forces intrieures.

z2 z1

wi

p2

p1

qm

Figure 4 machine de transvasement.

Comme

p2v2 p1v1 =21d(pv)=

21p dv+

21v dp (13)

il vient

wi12 =21v dp+

c22 c21

2+ g(z2 z1) (14)

Le terme wt =21v dp est appel le travail massique de transvase-

ment.Le terme wi est appel le travail massique indiqu.

4.3.2 Cas dune volution irrversible

Dans ce cas, une partie w f du travail wi chang entre le fluide et lesparties mobiles de la machine est dgrade par les effets des frotte-ments et transforme en chaleur, et

wi12 +w f12 =wn12 =21v dp+

c22 c21

2+ g(z2 z1) (15)


4.3 Systme ouvert

w f , toujours ngatif, engendre les quantits de chaleur q f , toujours posi-tives et incorpores au fluide.

q f =w f (16)

4.3.3 Rpartition des travaux dans une machine

Pour une machine gnratrice comme une pompe ou un compres-seur, on peut rpartir les diffrents travaux massiques comme lindiquelquation (17).

wa =

wo

wi =

q f =w f

wn =

wt =21vdp

wc =c22 c

21

2

wz = g(z2 z1)

(17)

avec wa le travail sur larbre,wo le travail organique perdu par les frottements entre solides,wn le travail net rellement rcupr par le fluide,wi le travail fourni par les parties mobiles de la machine,w f le travail perdu par les frottements dans le fluide.

Le travail organique perdu est provoqu par les frottements des par-ties solides entre elles, comme les joints et les paliers. On peut y ajouterle travail perdu par les fuites internes ou externes.

wi et wn sont toujours positifs, wt et wc galement en gnral.

Pour une machine motrice, comme une turbine ou un moteur,

wt =21v dp

wc =c22 c

21

2wz = g(z2 z1)

=wn =

wi =

{wawo

w f(18)

Les dfinitions sont les mmes que dans le cas de la machine rceptrice.Ici wn et wi sont toujours ngatifs, wt et wc aussi en gnral.



4.3.4 quations de Bernoulli

La thermodynamique permet de retrouver simplement ces quationsde la mcanique des fluides incompressibles (cas gnral des liquides)ou incompresss (gaz sous faibles variations de pression comme dans unventilateur, petites longueurs de conduites, vitesses faibles).

Le volume massique v et la masse volumique sont constants,

=1

v= cte =

21v dp=

p2 p1

(19)

Lquation (19) permet de retrouver les expressions classiques du tra-vail net chang entre un fluide et une machine. Ces diffrentes formessont quivalentes mais correspondent des mtiers et des habitudes detravail diffrentes.

le travail massique [J/kg]

wn =(p

+c2

2+ gz

)(20)

le travail volumique [J/m3] ou [Pa] utilis en araulique, pour lesfluides lgers (gaz).

Xn =(p+

c2

2+gz

)(21)

le travail pondral ou charge [J/N] ou [m] utilis en hydraulique,pour les fluides lourds (liquides)

hn =(p

g+c2

2g+ z

)(22)

On a bien sur la conversion

Xn = wn = ghn (23)


5 Premier principe de la thermodynamique

Kogda niqgo govort, mogut vseda skazatb kitaiskii moslovica

proverbe russe.

Rien ne se cre, rien ne se perd, tout se transforme . Cette proposi-tion de Lavoisier rvolutionnaire pour lpoque concernait la matire.Le Premier Principe de la Thermodynamique (PPT ou principe dqui-valence) tend cette ide de conservation lnergie. Travail et chaleursont deux formes diffrentes dune mme grandeur, lnergie. La varia-tion de lnergie dun systme au cours dune transformation quelconqueest gale la somme algbrique des apports dnergie en provenance delextrieur.

5.1 Systme en vase clos

Soient plusieurs volutions rversibles diffrentes pour passer uneunit de masse dun mme tat 1 un mme tat 2. Lune dentre ellesest adiabatique et le fluide y change un travail wad. Dans les autres vo-lutions le fluide change un travail we et des quantits de chaleur qe aveclextrieur.Les volutions sont reprsentes dans le diagramme de Clapeyron (p,v)de la figure 5.

Comme il ny a quun chemin adiabatique et rversible possible pourpasser de 1 2, wad ne dpend que de ltat initial et de ltat final. Cetravail adiabatique et rversible est assimilable une grandeur dtatpuisquil ne dpend pas du chemin parcouru.

Soit u une variable massique telle que

wad = u2u1+c22 c

21

2(24)

[h] u est par dfinition lnergie interne massique, fonction dtat, d-finie une constante additive prs. Son unit de mesure est le joule parkilogramme.U est lnergie interne, exprime en joules ( U =mu ).

Daprs le Premier Principe we =wadqe, donc we+qe =u+dwc et,pour une transformation lmentaire

we+qe = du+dwc (25)

La notation de lquation prcdente symbolise que qe et we nesont pas des grandeurs dtat. Par contre u et wc en sont, do le d droit.


5 PREMIER PRINCIPE

1

2wad

we, qe

p

v

Figure 5 le premier principe

Daprs le thorme de lnergie cintique, la variation dnergie ci-ntique se dcompose en travail des forces extrieures et en travail desforces intrieures, et

dwc = we+w f i du= we+qewew f i (26)

On a coutume dassimiler les frottements internes un travail perduet compens par un apport de chaleur par lextrieur. Do la premire quation canonique , dite de Gibbs

du= qe +q f pdv (27)

et, si les irrversibilits sont ngligeables,

du= qe pdv (28)

Lnergie interne reprsente lnergie stocke par un systme, limagede lnergie mcanique emmagasine par un ressort quand on le com-prime.

Remarque : les thories statistiques ou microscopiques donnent leurdfinition de lnergie interne 14. Elle est la somme des nergies cin-tiques des atomes ou des molcules de llment de masse considr. Dansle cas dun gaz monoatomique elle scrit

U =Ni=1

mc2i2=N

mc2m2

=32NkBT (29)

14. voir [BRU68] et [PER97] dans la bibliographie


5.2 Systme ouvert

avec N le nombre datomes de la masse de gaz,m la masse dun atome,c2m le carr de la vitesse moyenne des atomes,ci la vitesse dun atome quelconque,kB la constante universelle de Boltzman (kB = 1,38 10

23J K1).

Cette formulation montre que pour un gaz monoatomique lnergieinterne ne dpend que de la temprature. Elle donne aussi lorigine delchelle et rgle le sort de la constante : lnergie interne est nulle pourune temprature gale zro kelvin. Mais les raisonnements nerg-tiques industriels ne considrent que des variations de lnergie internepour lesquelles lorigine est sans importance.

5.2 Systme ouvert

Il faut ici faire apparatre le travail des forces de pression en entre eten sortie du systme (comme sur la figure 4 en page 14).

wi+ (p1v1 p2v2)+ g(z1 z2) we

+qe = u2u1+wc2 wc1 (30)

On dfinit une nouvelle variable h, lenthalpie massique,

h= u+ pv (31)

Lenthalpie est une somme de grandeurs dtat, elle est donc une gran-deur dtat. Elle est comme lnergie interne dfinie une constante ad-ditive prs, et elle a la mme unit [J.kg1]. Do la deuxime quationcanonique de Gibbs ou quation de conservation,

wi+qe = dh+ cdc+ gdz (32)

dans laquelle cdc reprsente la variation dnergie cintique dwc.

Quelle reprsentation physique se faire de lenthalpie ? Cest lnergieinterne augmente du terme pv qui reprsente le travail des forces depression en entre et en sortie du systme.

Un exemple trivial est celui dun compresseur volumtrique idal dontle volume mort serait nul 15 et qui comprime un gaz entre les pressions

15. le volume mort est le volume rsiduel entre la plaque clapets et le piston quandcelui-ci est au point mort haut


5 PREMIER PRINCIPE

a

bc

d e

p2

p1

V

p

pdVpV

Figure 6 compression et transvasement.

p1 et p2. Lvolution est reprsente par le diagramme de Watt (p,V ) surla figure (6). La phase a-b est une compression en vase clos, car les deuxclapets sont ferms. Le travail correspondant est donc gal U. En b lapression p2 est atteinte et le clapet de refoulement souvre. Entre b et cle transvasement du cylindre se fait pression constante et ncessite letravail supplmentaire p2V2. La phase c-d-e-a reprsente laspiration ef-fectue avec le clapet dentre ouvert pendant laquelle lextrieur apportele travail p1V1. Peu importe la pression p0 (tant quelle est constante, oufonction seulement de la position du vilbrequin) rgnant sur lautre facedu piston, le bilan des travaux donne

Wi =U+ p2V2 p1V1 (33)

Remarque : on utilise galement la notion denthalpie massique totaleht, qui comprend galement les nergies potentielle et cintique

ht = h+c2

2+ gz (34)

et lquation de conservation scrit alors simplement

dh= wi+qe (35)


6 Deuxime principe

Parler pour ne rien dire et ne rien dire pour parler sont les deux prin-cipes majeurs et rigoureux de tous ceux qui feraient mieux de la fermeravant de louvrir. Pierre Dac

Rien ne se cre (. . . ) tout se dgrade , pourrait-on paraphraser. Lepremier principe (PPT) est un principe de conservation. Le deuxime prin-cipe de la thermodynamique (DPT ou principe de Carnot) est un principedvolution. Il est bas sur un certain nombre dobservations de la viecourante, videntes pour la plupart, et selon lesquelles toutes les trans-formations de lnergie saccompagnent de phnomnes irrversibles etde dgradations.

On observe galement que certaines formes de lnergie (mcanique,chimique, lectrique) peuvent facilement et intgralement se transformeren chaleur, alors que le processus inverse de transformation de la chaleuren travail ncessite des mcanismes complexes et ne peut se faire int-gralement. Un exemple trivial peut tre celui de la voiture quon arrte :lnergie cintique initiale est transforme en chaleur dans les freins,mais il nest pas raisonnable desprer faire avancer la voiture en chauf-fant les freins avec un chalumeau. Pourtant cela ne serait pas en contra-diction avec le PPT. Cela signifie que la chaleur est une forme dnergiedgrade et moins noble que le travail mcanique.

La thermodynamique classique considre comme nobles les nergiesmcaniques et celles qui sont intgralement transformables en travail.Ces formes sont de lexergie 16 pure. Nous verrons que la chaleur est uneforme dgrade de lnergie qui contient une part dexergie transformableen travail et une part danergie non transformable.

6.1 noncs

Il y a plusieurs noncs historiques du DPT. Les plus clbres sontceux de Clausius et de Lord Kelvin.

Clausius : Un flux de chaleur ne peut passer spontanment dune sourcefroide vers une source chaude sans compensation . Par source on entendun systme dont la masse est suffisante pour quaucun change de cha-leur ne puisse modifier sa temprature de faon apprciable. La mer ou

16. pas de panique, le chapitre 13 dtaillera les notions dexergie et danergie.


6 DEUXIME PRINCIPE

latmosphre sont des sources froide utilises par les centrales de pro-duction dlectricit. Une chaudire, le soleil sont des exemples de sourcechaude. Par compensation on entend un travail fourni par lextrieur.

Kelvin : une machine cyclique en contact avec une seule source ne peutfournir de travail Une telle machine, dite monotherme , ne peut doncexister selon Lord Kelvin.

Source chaude (Tch)

Source Froide (Tfr)

Source chaude (Tch)

Source Froide (Tfr)

M1M2MachineW < 0

Q1

Q2

Q3 Q1

Q2

Q3

W

.

.

Figure 7 quivalence des noncs de Clausius et de Kelvin

On montre par labsurde que ces deux noncs sont quivalents :1) supposons faux lnonc de Clausius (figure (7) gauche) : une quan-tit de chaleur Q3 passe spontanment de la source froide (SF) la sourcechaude (SC). On peut installer une machine entre SC et SF qui produit untravailW. Par respect du premier principe on aW+Q2 =Q1 et le fonctionne-ment de cette machine est normal. Mais le systme (machine+SC) constitueune machine monotherme si on la rgle pour que |Q2| = |Q3|. Lnonc deKelvin est donc faux.2) supposons faux lnonc de Kelvin (figure (7) droite). Il existe alors unemachine monotherme M1 qui absorbe Q1 et qui fournit W1. Par respect dupremier principe on a |W1| = |Q1|. Ce travail est disponible pour alimenterune deuxime machine M2 qui fonctionne en pompe chaleur. On rgle M2de telle faon que la chaleur Q3 fournie la SC soit gale en valeur absolue Q1, le PPT impose W1+Q2 =Q1 =Q3. Dans ces conditions le systme


6.2 Rendements

(M1+M2) fait passer sans compensation la quantit de chaleur Q2 de la SF la SC, et lnonc de Clausius est faux.

La consquence de ces deux noncs est celui de Carnot : pour produiredu travail, il faut prlever de la chaleur la SC mais aussi en rejeter unepartie la SF 17.

6.2 Rendements

Les rendements sont des nombres sans dimension, rapports de deuxnergies ou de deux puissances 18. Les rendements thermiques se dfi-nissent ici comme le rapport du service obtenu sur la dpense consen-tie pour lobtenir.

Source chaude

Source Froide

Source chaude

Source Froide

Moteur Thermopompe

Q2

Q1

W

Q1

Q2

W

.

.

Figure 8 Machines de Carnot

Considrons un moteur thermique qui produit du travail en puisantQ1 une SC et rejetant Q2 une SF (figure 8, gauche). Le PPT indiquela relation algbrique

Q1+W +Q2 = 0

17. Dans ce cas lexpression source froide est malheureuse, cette source est plutt unpuits. Mais les coutumes sont ce quelles sont. . .18. Le terme rendement est usuel mais malheureux. Il serait prfrable de le rserver

des considrations exergtiques et de ne parler ici que de facteur de performance , maisles coutumes. . .


6 DEUXIME PRINCIPE

avec Q1 positif, etW et Q2 ngatifs.Le rendement thermique de ce moteur est dfini comme le rapport du

service obtenuW la dpense consentie Q1,

th =|W |

Q1=Q1|Q2|

Q1= 1

|Q2|

Q1(36)

Ce rendement thermique est toujours compris entre 0 et 1Dans le cas dune thermopompe, le but recherch est de faire remon-

ter des quantits de chaleur de la SF vers la SC, dans le sens inverse delcoulement naturel de la chaleur (figure 8, droite). Il faut pour celafournir du travail. La partie utile est Q2 dans le cas de la machine frigo-rifique, et Q1 dans celui de la pompe chaleur.

Pour la machine frigo, le rapport service/dpense est souvent appel coefficient deffet frigorifique 19,

f r =Q2W

=Q2

|Q1|Q2(37)

Ce nombre est souvent plus grand que lunit, le terme rendement serait donc ici tout fait malencontreux.

Pour la pompe chaleur, le rapport bnfice/cot est souvent appel coefficient de performance ,

pac =|Q1|

W=

|Q1|

|Q1|Q2(38)

Ce coefficient est toujours plus grand que 1, puisque pac = f r+1

6.3 chelle thermodynamique des tempratures

6.3.1 Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idal, schmatisen figure 9, o un fluide change du travail et des quantits de chaleurentre deux sources. Les transformations sont deux isothermes et deuxadiabatiques. Ces quatre transformations sont rversibles. Cela veut direquaucun travail mcanique nest dgrad en chaleur par frottement. Pourles isothermes cela veut dire en outre que la temprature du fluide estexactement celle de la source (dans notre monde rel un cart non nul detemprature est ncessaire aux transferts de chaleur).

19. le terme coefficient ne devrait pas tre utilis pour des grandeurs sans dimension,mais les (mauvaises) habitudes des frigoristes simposent. . .


6.3 chelle thermodynamique des tempratures

T1

T2

adiab2

p

v

adiab1

Figure 9 Cycle de Carnot

6.3.2 chelle thermodynamique et rendement de Carnot

Premier nonc du thorme de Carnot : Toute machine cyclique di-therme irrversible a un rendement infrieur celui de la machine rver-sible fonctionnant entre les mmes tempratures.

Dmonstration 20 : Soient deux moteurs fournissant le mme travail W.Le premier est rel (irrversible), reoit Qch (> 0) dune source chaude etrend Q f r (< 0) une source froide. Le deuxime est une machine de Carnot(rversible) recevant Qch et rendant Qf r aux mmes sources (voir la figure10).En inversant le cycle de Carnot, on le transforme en machine frigorifiqueet on change les signes de Qch et de Qf r, comme sur la figure 10. Dansces conditions, lensemble des deux machines nchange pas de travail aveclextrieur, mais seulement de la chaleur avec les sources.Pour respecter le DPT selon Clausius, il faut que Qch|Qch| > 0, et donc

que le rendement de la machine relle, =|W |

Qchsoit plus petit que celui de

20. Dmonstration pour un moteur, le lecteur gnralisera facilement au cas dune pompe chaleur.


6 DEUXIME PRINCIPE

Carnot c =|W |

Qch

Machine de Carnot

Source Froide

Source chaude

Qch

Qfr

Qch

W

Qfr

Moteur rel

Figure 10 Thorme de Carnot

Le rendement thermique de Carnot c ne dpend donc que des tem-pratures T1 et T2 des sources et reprsente un maximum.

Do le deuxime nonc du mme thorme : Toutes les machinesdithermes cycliques rversibles fonctionnant entre les mmes sources ontmme rendement.

En posant T1 et T2 tels que

c = 1Q1|Q2|

= 1T1T2

(39)

on dispose dune chelle universelle des tempratures et dune dfinitiondu kelvin 21 : Le kelvin est la fraction 1/273,16 de la temprature du pointtriple de leau. Le degr Celsius est gal au kelvin, de telle faon que0C = 273,15 K (le point triple de leau est +0,01C).

Remarque : le rapport T2/T1 na de sens que parce quil sagit de tem-pratures absolues. crire t2/t1 avec t2 et t1 en Celcius na aucune signi-fication.

21. Et non pas le degr Kelvin comme on le lit encore parfois. Le degr centigrade nexiste plus davantage. Voir les dfinitions du kelvin dans [BRU68]et [TRO94].


7 Entropie

Si quelquun a compris quoi que ce soit ce que je viens de dire, cestque je me suis mal exprim. Alan Greenspan.

Le concept dentropie, par son cot mystrieux, a fait rver des g-nrations de philosophes et de scientifiques . . . , jusquau suicide de cer-tains comme Boltzman, trop en avance sur son temps ! Lentropie montredes liens avec les notions dordre et de dsordre, et avec celle dinforma-tion. Nous en resterons ici des applications tout fait industrielles etpratiques. Louvrage volution et applications du concept dentropie, deChambadal [CHA63] est une lecture fortement recommande pour quivoudrait exorciser les dmons (de Maxwell) tout en gardant les pieds surterre.

7.1 Cycle de Carnot (encore !)

Soit un cycle de Carnot (donc compos de transformations rversibles)parcouru dans le sens horaire (a,b,c,d) comme sur la figure (11) :

a

c

d

bT1

T2

p

v

Q1

Q2

Figure 11 Entropie et cycle de Carnot


7 ENTROPIE

Par dfinition de la temprature thermodynamique T, on a

|Q2|

Q1=T2T1

(40)

sur lvolution ab on a T = T1 = cte, soitba

Q

T=Q1T1

> 0 (41)

sur b c comme sur da on a Q = 0sur cd on a T = T2 = cte, soitd

c

Q

T=Q2T2

< 0 (42)

et sur lensemble du cycle, on aabcd

Q

T=Q1T1

+Q2T2

=Q1T1

|Q2|

T2= 0 (43)

Si le cycle, toujours form de deux isothermes et de deux adiabatiques,est maintenant irrversible, alors

th = 1|Q2|

Q1< c = 1

T2T1

(44)

soit Q

T=Q1T1

|Q2|

T2< 0 (45)

Il est facile de gnraliser un cycle quelconque qui peut toujours tredcompos en une somme de cycles de Carnot lmentaires.

7.2 Dfinition de lentropie

7.2.1 Transformation rversible

On pose comme dfinition de lentropie S la relation suivante valablele long dune transformation rversible 22,

dS =Q

T(46)

22. qui na de sens que si T est une temptarure absolue, exprime en kelvins



S est une grandeur dtat : Deux chemins rversibles diffrents pourpasser dun tat arbitraire a un tat b permettent de dfinir un cyclerversible o

Q

T=

ba

Q

T+

ab

Q

T(47)

Dans un cycle de Carnot rversible lentropie prleve la sourcechaude est gale lentropie cde la source froide. Il est facile de g-nraliser un cycle quelconque pourvu quil soit rversible, cest direcompos uniquement de transformations rversibles.

7.2.2 Transformation irrversible

Le long dune transformation rversible, on a par dfinition

dS =QeT

(48)

Le long dune transformation irrversible on a recours un terme sup-plmentaire en assimilant la chaleur gnre par les frottements unapport de lextrieur Q f . On pose

dS =QeT

+Q fT

= dSe +dS f (49)

avecdQ f > 0= dS f > 0 (50)

Dans un cycle rel (cest dire irrversible) lentropie cde la sourcefroide est plus grande que lentropie prleve la source chaude : il y aune formation dentropie. Toute transformation relle est, si on y regardedassez prs, irrversible et gnratrice dentropie mais certaines volu-tions sont en pratique trs proches de lvolution rversible idale.

remarques :

1. Lunit de lentropie S est le Joule par kelvin [JK1]. Celle de len-tropie massique s, beaucoup plus utilise, est donc le Joule par ki-logramme et par kelvin [Jkg1K1].

2. Comme lnergie interne et lenthalpie, lentropie nest dfinie quune constante additive prs.

3. Une transformation la fois adiabatique et rversible est dite isen-tropique.Par contre une volution isentropique peut tre ni adiabatique nirversible. On trouvera toujours Qf > 0, mais si le refroidissement


7 ENTROPIE

par lextrieur est juste gal la production de chaleur par les frot-tements, alors

dQe =dQ f = dSe+dS f = dS = 0 (51)

7.2.3 Troisime principe

Ou Postulat de Nernst-Plank (pour mmoire). Lorsque la tempratureabsolue T sapproche de zro, lentropie massique de tout corps cristalliset chimiquement homogne tend vers zro. Lorigine de lchelle de len-tropie est ainsi fixe. Ce postulat a des consquences importantes dansla physique des trs basses tempratures mais, en thermodynamique in-dustrielle applique aux machines, seules importent les diffrences den-tropie.

7.2.4 quations de lnergie

Ce sont celles quon a vues avec le premier principe et le thormede lnergie cintique, mais dans lesquelles la notion dentropie est intro-duite.

Pour une transformation lmentaire en vase clos les variationsdnergie cintique et potentielle sont en gnral ngligeables. Lquation

we+qe = du (52)

o le membre de gauche reprsente lapport (algbrique) de lextrieurau fluide et le membre de droite la variation dnergie interne correspon-dante dans le fluide, se dcompose en

we+qe = Tds pdv avec Tds= qe +q f (53)

et on retrouve que le travail we apport par les parties mobiles dunemachine se dcompose en une partie utile we = pdv et une partie d-grade q f , toujours positive.

Pour une transformation avec transvasement en systme ouvert,les variations dnergie cintique et potentielle ne sont pas ngligeablesen gnral, et lquation 32 de la page 19 o le membre de gauche re-prsente lapport extrieur dnergie au fluide et le membre de droite les



formes correspondantes de la variation dnergie dans le fluide, se dcom-pose en

wi+qe =

dh=

Tds= qe+q f

wT =+vdp

cdc+ gdz

(54)

avec les mmes remarques que pour lvolution en vase clos.


8 GAZ PARFAITS

8 Gaz parfaits

Les dtails font la perfetion, et la perfetion n' est pas

un dtail. Lonard de Vinci

8.1 Loi dtat

Quelques observations exprimentales conduisent aux lois deMariotteet de Charles & Gay-Lussac, auxquelles obissent les gaz thermiquementparfaits.

Mariotte : Si on maintient constante la temprature dune masse degaz, le produit pV est constant.

Charles & Gay-Lussac :pVmT

=R avec R une constante 23 pour

tous les gaz condition quils soient suffisamment rarfis (faiblemasse volumique) et Vm le volume molaire du gaz considr.

En divisant par la masse molaire M on trouve le volume massique :v = Vm/M, et sen dduisent les formes les plus couramment utilises dela loi dtat des gaz parfaits,

pV = nRT pV =mrT pv= rT (55)

o n est un nombre de moles et r =R

Mune constante massique (intensive)

propre chaque gaz parfait.Par exemple pour lair atmosphrique, r = 287 J kg1 K1.

On demande en outre un gaz calorifiquement parfait de possder deschaleurs massiques cp et cv constantes. La dfinition de ces grandeurs setrouve plus loin. Dans le cas o on a seulement cp cv = cte, le gaz estappel semi-parfait. Un gaz parfait (GP) est parfait thermiquement etcalorifiquement.

8.2 Limites du modle 24

Pour tous les gaz, le modle du GP nest une bonne (ou trs bonne)approximation que si le volume massique est suffisamment grand. Lecomportement rel de tout gaz sloigne du modle GP mesure quonsapproche des conditions de liqufaction.

23. Cest une constante universelle,R = 8,31451 Pa m3 Mol1 K1 ou J Mol1 K1

24. On trouvera plus loin une tude plus complte des fluidesrels.


8.2 Limites du modle

liquide + vapeur

liqui

de

vapeur

T1 TcT2

T3

T4

p

v

Figure 12 fluide rel

Sur la figure 12, on voit que les isothermes sont des hyperboles qui-latres caractristiques des GP tant quelles sont loignes de la zone demlange satur liquide+vapeur (isothermes T3 et T4). Ces isothermes sedforment proximit de cette zone (T2), prsentent une tangente hori-zontale au point critique (TC) et un segment horizontal lintrieur de lazone de mlange (T1).

Si le modle GP nest pas acceptable, alors il ny a pas de calcul simplepossible. De nombreux modles ont t labors pour rendre compte de cecomportement plus complexe dun gaz rel. Un des plus clbres est celuide Van der Waals pour lequel(

p+a

V 2m

)(Vmb)=RT (56)

o a et b sont des constantes propres au fluide considr.Dans le cadre dune utilisation industrielle de la thermodynamique,

on peut considrer que si un fluide nest pas parfait, son comportement


8 GAZ PARFAITS

sera connu grce des tables ou des diagrammes que nous verrons plusloin. Ltude analytique des fluides rels sarrte donc ici et la seule diffi-cult est de dterminer dans chaque cas si le modle GP quon est tentdadopter est pertinent ou non.

8.3 Coefficients calorimtriques, nergie interne, en-thalpie

Dans une transformation dun GP, on considre la chaleur massique

c= qe/dT (57)

la valeur de c dpendant du gaz considr mais aussi du type de la trans-formation 25. Pour une adiabatique par exemple, c = 0. La chaleur mas-sique et lentropie massique ont la mme unit, [J kg1 K1]

On pose comme dfinitions des chaleurs massiques pression constanteet volume constant

cp =(qedT

)p=cte

et cv =(qedT

)v=cte

(58)

Le gaz tant parfait, cp et cv sont des constantes.Le long dune transformation rversible, le PPT indique que

du= qe pdv (59)

En particulier, le long dune isochore on a

dv= 0 et du= qe pdv (60)

doncu= cvT+ cte (61)

De mme le long dune isobare on a dp= 0 et du= qe pdv, donc

dudT

=qedT

pdvdT

(62)

comme pdv= rdT vient la relation de Mayer qui caractrise aussi lesgaz semi-parfaits,

cp cv = r (63)

cpdT = cvdT+ rdT = du+ pdv = dh (64)

25. pour unmme corps, c peut prendre nimporte quelle valeur, de +. voir[BAI71]


8.4 Entropie

soith= cpT+ cte (65)

On pose , un nombre (sans dimension) gal

=cpcv

(66)

et on en dduitcv =

r

1et cp =

r

1(67)

Les thories cintiques prvoient que = 5/3 pour un gaz monoato-mique, et 7/5 pour un diatomique. Lexprience est en bon accord ces pr-visions : on mesure par exemple = 1,401 pour lair atmosphrique 20C, compos essentiellement de N2 et de O2. Pour les triatomiques etau del, dpend de la structure des molcules.

8.4 Expression de lentropie des gaz parfaits

On a vu que du= T ds pdv, soit

ds= cvdTT+ p

dvT= cv

dTT+ r

dvv

(68)

do

s2 s1 = cv lnT2T1

+ r lnv2v1

(69)

De mme, partir de lexpression de lenthalpie dh = Tds+ vdp, ilvient

ds= cpdTTv

dpT= cp

dTT r

dpp

(70)

et

s2 s1 = cp lnT2T1

r lnp2p1

(71)

9 Principales transformations des gaz par-faits

Il faut se mfier des ingnieurs. a commence par la machine coudreet a finit par la bombe atomique. Marcel Pagnol

Dans ltude de ces transformations classiques, nous ngligerons lesvariations de lnergie cintique cdc et de lnergie potentielle gdz. Quandles irrversibilits sont de plus ngligeables, il est alors permis de confondrele travail indiqu wi avec le travail de transvasement wt.


9 TRANSFORMATIONS DES GAZ PARFAITS

9.1 Isotherme

Une transformation isotherme est une volution idale infiniment lenteo toute variation de temprature est instantanment compense par unchange de chaleur avec lextrieur : refroidissement pour une compres-sion, chauffement pour une dtente.

dT = 0 p2v2 = p1v1 (72)

isotherme en vase clos

we =21pdv=rT

21

dvv=rT ln

v2v1= rT ln

p2p1

(73)

we est bien positif pour une compression o v2 < v1

du= cvdT = 0 we+qe = 0 qe = rT lnv2v1

(74)

isotherme avec transvasement

wT =21vdp= rT

21

dp

p= rT ln

p2p1

=rT lnv2v1

(75)

Dans ce cas particulier dune volution isotherme, on a wi =we

dh= cpdT = 0 wi+qe = 0 qe = rT lnv2v1= rT ln

p1p2

(76)

9.2 Isobare

dp= 0 pdv= rdT (77)

isobare en vase clos

we =pdv=p(v2v1)=r(T2T1) (78)

qe = (u2u1)we = cp(T2T1) (79)

Lisobare en vase clos est un cas dcole ne correspondant aucunesituation industrielle courante.


9.3 Isochore

isobare avec transvasement

wi = vdp= 0 (80)

qe = dhwi qe = cp(T2T1) (81)

Une transformation isobare avec transvasement est typique dun cou-lement pur avec pertes de charge ngliges et avec change de chaleur(changeur, chaudire, . . . ).

9.3 Isochore

dv= 0 (82)

Isochore en vase clos

we =pdv= 0 (83)

we+qe = du qe = cv(T2T1)=

1(p2 p1) (84)

Lisochore en vase clos dcrit lvolution dun gaz dans un rcipient fermet rigide, qui ne peut donc changer que de la chaleur avec lextrieur.

Isochore avec transvasement

wi = vdp wi = v (p2 p1)= r(T2T1) (85)

qe = dhwi = (cp r)dT qe = cv (T2T1)=

1(p2 p1) (86)

Lisochore avec transvasement est un cas dcole ne correspondant au-cune situation industrielle courante, sauf dans le cas trivial des liquidesqui sont incompressibles et qui ne sont donc pas des GP.

9.4 Isenthalpe

Dans un organe passif sans partie mobile (un robinet, un coude, unmilieu poreux, etc.), il ne peut y avoir dchange de travail entre le fluideet lextrieur, et dwi = 0

Les pertes dq f ne sont pas ngligeables en gnral, mais si on ngligeles changes de chaleur, alors

qe = 0 wi+qe = dht = 0 (87)



o ht reprsente lenthalpie totale. Si, de plus, les variations dnergiecintique et potentielles sont ngligeables, alors lenthalpie est constante.Un tel coulement est dit isenthalpe. Dans le cas dun Gaz Parfait cetcoulement est galement isotherme puisque dh= cpdT

Dans une telle transformation isenthalpe le travail de transvasementest entirement dissip en pertes.

9.5 Adiabatique rversible

qe = q f = 0 ds=qe+q f

T= 0 (88)

Daprs le premier principe,

dh= qe+wi = 0+vdp= Tds+vdp (89)

donc

ds= cpdTT r

dpp= cv

dTT+ r

dvv

(90)

et comme r = cp cv , lintgration de lexpression prcdente donne

T2 p12 = T

1 p11 (91)

quon peut aussi crireT2 v

12 = T1 v

11 (92)

Une autre forme, moins souvent utilisable mais plus mnmonique, est

pv = cte (93)

Pour rsumer,p2p1

=

(T2T1

) 1

=

(v2v1

)(94)

Comme on a qe = q f = 0 we = du = cvdT, donc pour unevolution en vase clos,

we = cv (T2T1)=p2v2 p1v1

1(95)

et pour une volution avec transvasement, o on awi = dh= cp dT et wi = cp(T2T1) ,

wi = cp (T2T1)=

1(p2v2 p1v1) (96)


9.6 Polytropiques

9.6 Polytropiques

La transformation polytropique est une gnralisation des transfor-mations prcdentes. Une polytropique est un modle qui repose sur lhy-pothse de proportionnalit entre les quantits de chaleur changesavec lextrieur ou gnres par les frottements et lenthalpie,

Tds= qe +q f =dh (97)

avec le facteur de proportionnalit, constant le long de la transforma-tion.

Daprs le premier principe, dans une transformation rversible avectransvasement o wt = wi , on a

wi+qe = dh soit wi = (1)dh (98)

wi = vdp= (1)r

1dT

dpp= (1)

1dTT

(99)

et, en posant k une constante telle que

k

k1= (1)

1(100)

il vientp2p1

=

(T2T1

) kk1

=

(v2v1

)k(101)

Ces relations ressemblent trangement aux lois de lisentropique . . .

Remarque : On peut tre amen considrer une transfor-mation polytropique sur une volution en vase clos, bien quela situation industrielle soit rare. En effet, si les quantitsde chaleur sont proportionnelles lenthalpie, elles sont aussiproportionnelles lnergie interne, puisque q= dh=du

On cherche ensuite dterminer, selon la situation, le travail dvolu-tion en vase clos we ou le travail de transvasement wt

pv= rT pdv+vdp= rdT (102)

dpp=k

dvv

vdp=kpdv (103)

do lexpression des travaux

we =r

k1(T2T1) (104)



et

wt =kr

k1(T2T1) (105)

avexkr

k1la chaleur massique du gaz dans cette polytropique particu-

lire.

On vrifie quune volution polytropique est un cas plus gnral danslequel on retrouve

1. Ladiabatique rversible (isentrope) o k= et = 0

2. Lisobare o k= 0, = 1 et le travail de transvasement est nul.

3. Lisochore o k, = 1/ et le travail en vase clos est nul.

Pour lisotherme rversible o k = 1 et , lutilisation de ce rsultatamne une forme indtermine, mais on a vu auparavant que

wt =rT lnv2v1= rT ln

p2p1

(106)

9.6.1 Compression rversible refroidie

On a vu pour une compression (idale) isotherme et rversible, que letravail fournir pour faire passer un GP de p1 p2 est gal

wt =21pdv=rT ln

v2v1

(107)

et pour une compression adiabatique rversible que le travail est gal

wts =h= cp(T2T1) (108)

Il est vident 26 que la compression isotherme est celle qui demandele travail le plus faible. Lors dune compression relle on essayera autantque possible de se rapprocher de lvolution isotherme en refroidissant lefluide pendant la compression (ou entre deux ou plusieurs compressionssuccessives dans le cas de compressions tages). Dans une compressionrversible refroidie on a qe < 0 et q f = 0, soit ds < 0

Lexprience montre que le modle de la polytropique rversible refroi-die reprsente avec une bonne approximation lvolution dun gaz dansun compresseur alternatif muni de dispositifs de refroidissement (ailettesautour du cylindre, circulation deau, etc.).

26. et plus vident encore aprs ltude des diagrammes, chapitre 10.


9.7 Adiabatique avec transfert de masse

Lexposant k de la polytropique est compris entre 1 (volution idaleisotherme) et (adiabatique), et dautant plus proche de 1 que le refroi-dissement est efficace et le travail petit. Il ne faut donc pas stonner quela temprature augmente malgr le refroidissement, elle augmente moinsque dans lvolution adiabatique.

9.6.2 Compression irrversible

Dans certaines machines comme les turbocompresseurs, il nest paspossible de refroidir de faon significative pendant la compression. Les ir-rversibilits dues aux frottements et les apports de chaleur qui leur cor-respondent deviennent alors prpondrants, lvolution est adiabatiqueet irrversible. qe = 0 et q f > 0, soit ds > 0

Dans ce cas lexposant k de la polytropique est plus grand que . Letravail fournir et la temprature finale sont plus grands que dans lacompression adiabatique rversible qui constitue alors le modle vers le-quel tendre.

9.6.3 Dtente irrversible

Dans une machine de dtente les changes de chaleur sont presquetoujours ngligeables, les turbines tant calorifuges. Le modle de la po-lytropique irrversible sapplique avec 1< k


Nous avons nglig dans tout ce chapitre lnergie potentielle (cas g-nral des gaz faible masse volumique) et lnergie cintique (commedans les machines volumtriques o les vitesses sont faibles). Il faut vi-demment vrifier au cas par cas la validit de ces hypothses simplifica-trices, comme dans la figure 13.

Dans les turbomachines les vitesses sont grandes, souvent prochesde la clrit des ondes 27, et lnergie cintique nest pas ngligeable engnral.

9.7.1 Temprature totale, enthalpie totale

Soit un coulement vitesse c, pression p et temprature T. La pres-sion et la temprature sont idalement mesures avec des capteurs se

27. communment nomme vitesse du son.



Figure 13 lnergie cintique dun gaz

dplacant la vitesse de lcoulement. On les appelle donc pression sta-tique et temprature statique.

Soit un obstacle dans lcoulement sur lequel la vitesse est nulle. Onvrifie exprimentalement que sur le point darrt que constitue lobstaclela temprature Tt est plus leve que T. On appelle temprature darrtcette temprature Tt.

Entre un point dans lcoulement (immdiatement devant lobstacle)et le point darrt lenthalpie totale, somme de lenthalpie et de lnergiecintique et note ht se conserve, et

wi = 0 et qe = 0 ht =(h+

c2

2

)= 0 (109)

donc

cpT+c2

2= cpTt (110)

et

Tt = T+c2

2cp(111)

Soient deux points diffrents loigns dans un coulement pur (sanschange de travail) et adiabatique, la temprature totale se conserve entreces deux points.

Remarque : dans la pratique il est difficile de mesurer la tempraturestatique, un thermomtre fixe constitue un point darrt dans lcoule-ment et mesure en fait la temprature totale.

9.7.2 Pression totale

Soit un obstacle dans lcoulement. On vrifie exprimentalement quesur le point darrt la pression pt est plus grande que la pression statiquep. On appelle pression darrt cette pression pt.



On a vu quentre un point dans lcoulement (immdiatement devantlobstacle) et le point darrt lenthalpie totale et la temprature totale seconservent. Si de plus lcoulement est rversible entre ces deux points (lefrottement est ngligeable) alors lentropie est constante et

pt = p(TtT

) 1

(112)

On observe exprimentalement que cette condition de rversibilit estrespecte dans un coulement subsonique, et quelle ne lest pas si lcou-lement est supersonique. Dans ce deuxime cas une onde de choc irrver-sible se forme devant lobstacle.

Entre deux points diffrents (1) et (2) dans un coulement pur, adia-batique et rversible, lentropie est constante,

cp lnT2T1

r lnp2p1

= cp lnTt2Tt1

r lnpt2pt1

= 0 (113)

et donc la pression totale se conserve.Il est difficile de mesurer une temprature statique, par contre on peut

facilement mesurer les pressions totale et statique dans un coulementsubsonique, avec un tube de Pitot double par exemple.

On trouvera une prsentation plus complte de ces problmes dcou-lements sub et supersoniques dans [KOD71], et des exemples dapplica-tion en page 85.


10 GAZ PARFAITS ET DIAGRAMMES

10 Gaz parfaits et diagrammes

Il ny a rien dextraordinaire cela. il ny a qu appuyer sur la bonnetouche au bon moment, et linstrument joue tout seul. J.S.Bach

Le calcul analytique des tats et des transformations des fluides relsest difficile. Dans la pratique industrielle on a recours des valeurs ta-bules ou des lectures de diagrammes. On tudie dans ce chapitre lecomportement des gaz parfaits pour lesquels les calculs sont simples,mais pour lesquels les diagrammes sont cependant utiles puisquils per-mettent une reprsentation graphique des phnomnes physiques. Ilsconstituent essentiellement un support et une aide aux raisonnement.Les diagrammes les plus utiliss sont le diagramme de Clapeyron (p,v),le diagramme entropique (T,s), et le diagramme enthalpique (h,s)

10.1 Diagramme de Clapeyron (p,v)

Dans ce diagramme la pression est reprsente en fonction du volumemassique : p= f (v).

v

p

k> s1< k

10.1 Diagramme de Clapeyron (p,v)

10.1.1 Reprsentation des principales transformations

Transformation isotherme dT = 0, le produit pv est donc constant etles isothermes sont reprsentes par un rseau dhyperboles quilatres.La pente locale dune courbe est

dpdv

=p

v=

p2

rT(114)

Transformation isobare dp= 0, les isobares sont videment des droiteshorizontales.

Transformation isochore dv = 0, les isochores sont des droites verti-cales.

Transformation adiabatique rversible ou isentropique Lentro-pie massique s est constante et lvolution obit la relation pv = cteLes isentropes sont reprsentes par un rseau de courbes dont la penteest

dpdv

=p

v=

p2

rT(115)

Une isentrope prsente en chaque point une pente plus grande -en valeurabsolue- que celle de lisotherme dans un rapport

Transformations polytropiques Les polytropiques (pvk = cte) sontreprsentes des courbes dont la pente est

dpdv

=kp

v=k

p2

rT(116)

Une polytropique prsente en chaque point une pente k fois plus grandeque celle de lisotherme.

La figure 14 rassemble ces rsultats dans le plan p= f (v)

10.1.2 Reprsentation des travaux

Soit une volution quelconque entre un tat 1 et un tat 2.

Le travail dvolution en vase clos est gal we =21pdv et il

est graphiquement reprsent par laire (a,1,2,b) de la figure 15)Il est ngatif sil est dcrit dans le sens horaire (a,1,2,b) o dv est

positif (comme dans une dtente), et inversement.



1

2

vba

d

c

p

Figure 15 les travaux dans (p,v).

Le travail de transvasement de la mme volution 1-2 est graphique-ment reprsent par laire (c,1,2,d) de la mme figure puisquil est gal

wt =21vdp (117)

Comme we, wt est ngatif sil est dcrit dans le sens horaire (c,1,2,d) odp est ngatif et inversement.

On retrouve dans le plan (p,v) les rsultats de ltude du diagrammeentropique : le travail de transvasement est ici reprsent par laire com-prise entre la courbe, laxe des pressions et les deux isobares. La figure16 met en vidence le fait que le travail de transvasement augmente aveclexposant k de la polytropique.

10.2 Diagramme entropique (T,s)

Dans ce diagramme la temprature T est reprsente en fonction delentropie massique s.

Transformation isotherme T = cte, les isothermes sont vidementdes droites horizontales.

Transformation adiabatique rversible s= cte, ces transformationssont reprsentes par des droites verticales.


10.2 Diagramme entropique (T,s)

p

v

p1

p2

sk>

1< k<

Figure 16 compression dans (p,v).

Transformation isobare p = cte. On a vu quen combinant lquationde lnergie et la loi dtat des GP, on peut crire lexpression de lentropiemassique,

ds= cpdTT r

dpp

(118)

Le long dune isobare, o dp= 0, la pente locale de la courbe est gale

dTds

=T

cp(119)

Les isobares sont donc reprsentes par un rseau de courbes expo-nentielles, dcales horizontalement les unes des autres dune constantegale

s= r lnp2p1

comme sur la figure 17 dans laquelle p2 > p1

Transformation isochore v= cte, On a vu quon peut crire aussi

ds= cvdTT+ r

dvv

(120)

Le long dune isochore o dv= 0, la pente locale de la courbe est gale

dTds

=T

cv(121)



T p2

p1

s

s

s

Figure 17 isobares dans (T,s).

Cette pente est plus grande ce celle de lisobare passant par le mmepoint, puisque cp > cv.Les isochores sont galement reprsentes par un rseau de courbes expo-nentielles dcales horizontalement les unes des autres dune constantegale s= r ln

v2v1

Transformations polytropiques On cherche la pente dT/ds dune po-lytropique dans le repre (T,s). Comme on a vu en (9.6), il y a proportion-nalit entre les quantits de chaleur et lenthalpie,

T ds= qe+q f =dh (122)

avec constant.dhds

=cp dT

ds=T

(123)

T = exp(

s

cp+ cte

)(124)

Dans un repre (T,s) toutes les volutions polytropiques sont repr-sentes par des exponentielles. Ce rsultat est en accord avec les prc-dents concernant les cas particuliers de polytropique que sont lisotherme,lisentrope, lisobare et lisochore.


10.3 Compressions dans (T,s)

La figure 18 rassemble ces rsultats.

T

s

v

s

T

p1< k<

k>

Figure 18 isovaleurs dans (T,s).


Remarque pralable : les volutions relles ne sont en gnral ni tout fait adiabatiques, ni tout fait rversibles. Si on nglige qe devant q fou rciproquement q f devant qe, ce ne sont que des hypothses simplifi-catrices, trs acceptables dans la plupart des cas.

10.3.1 Isotherme rversible

Rversible : q f = 0, isotherme : T = cte.

T ds= qe qe =21T ds (125)

Dans une volution lmentaire o ds < 0, qe est ngatif. Cette quantitde chaleur est reprsente par laire (a,1,2 ,b) de la figure 19.Comme wt = we = qe, ces travaux sont positifs et reprsents par lamme aire.



T

scb d

p1p2

2ir

2

2r

2s

1

a

Figure 19 compressions dans (T,s).

10.3.2 Adiabatique rversible

Le long de 12s sur la figure 19, on a

qe = q f = 0 ds=qe+q f

T= 0 (126)

wi = dh= T ds+vdp= wt wi = h2sh1 (127)

Le long de lisobare 2s2, on a wt = vdp= 0Le long de lisotherme 12 on a dh= cp dT, donc h1 = h2

Par consquent, wi est finalement reprsent par laire du polygonecurviligne (a,2s,2 ,b) dans la figure 19. (Sil faut considrer le travail envase clos, le mme raisonnement peut tre construit le long dune iso-chore.)

La temprature finale T2s est videment plus leve que la temp-rature initiale T1. Laire (1,2s,2) reprsente le travail supplmentaire fournir dans cette compression, par rapport lisotherme rversible. Ilest vident que lisotherme rversible reprsente la compression (idale)la plus conomique.



10.3.3 Polytropique rversible

La compression isotherme est la compression qui demande le travaille plus faible. Dans une compression relle, on essayera autant que pos-sible de se rapprocher de lvolution isotherme en refroidissant le fluidependant la compression. On peut ngliger q f devant qe et crire

qe < 0 et q f = 0 soit ds< 0 (128)

Lvolution relle peut tre dcrite en bonne approximation par unepolytropique rversible (ou refroidissement prpondrant ) commedans lvolution 1 2r de la figure 19. La temprature finale est com-prise entre celle de lisentrope et la temprature initiale. En utilisant lesmmes relations pour celles de lisentrope, on trouve que

qe = T ds qe =2r1

T ds (129)

donc laire (a,1,2r ,c) reprsente qe.

wi+ qe = h2r h1 = h2r h2 (130)

Lensemble wi + qe est reprsent (algbriquement) par laire (c,2r ,2 ,b).Par diffrence, wi est reprsent par laire totale (a,1,2r ,2 ,b). Le tri-angle curviligne (1,2r,2) reprsente le travail supplmentaire fournirpar rapport lisotherme rversible, mais plus faible que dans le cas delisentrope.

10.3.4 Polytropique irrversible

La compression est adiabatique mais les irrversibilits dues aux frot-tements et les apports de chaleur qui leur correspondent ne sont pas n-gligeables. On en dduit que

qe = 0 et q f > 0 soit ds> 0 (131)

q f = Tds est reprsent par laire (a,1,2ir ,d) dans la figure 19.wi = h2ir h1 = h2ir h2 est reprsent par laire (b,2 ,2ir ,d).Laire (a,1,2ir ,d) reprsente lexcdent de travail par rapport lisentro-pique,wt =wi+w f =wi q f est reprsent par laire (b,2 ,2ir ,1,a)

Laire du triangle (1,2s,2ir) est dnomme chaleur de rchauffage. Ellereprsente la part de travail supplmentaire cause par laugmentation



de volume massique pendant la compression, consquence indirecte desirrversibilits. La temprature finale est, bien entendu, plus leve quecelle de lisentrope.

10.3.5 Compressions tages

2

2

34

4"

4 3 1

T

s

p1

p3p4 p2

ab

Figure 20 compression multi-tage refroidie.

La compression isotherme est la plus conomique. Si on ne peut pasla raliser en pratique, on peut sen approcher par une compression relletage (polytropique refroidissement prpondrant sur la figure 20, maisle raisonnement est le mme pour une polytropique irrversible). Chaquecompression partielle est suivie dun refroidissement isobare, travers unchangeur de chaleur dans lequel on nglige les pertes. Le travail indiqu( fournir) est reprsent par laire (a,1,2,2 ,3,3,4,4,b). Il est vidementinfrieur celui dune compression mono tage le long de la mme po-lytropique, cest dire laire (a,1,4,4,b). En faisant tendre le nombredtages vers linfini, on pourrait thoriquement sapprocher dune com-pression isotherme.

Les tempratures de sortie des diffrents changeurs sont en gn-



ral gales entre elles parce quelles sont fixes par la temprature de la"source froide" disponible (air ou eau) et par lefficacit des changeurs :T2 = T3 = T4 .

Il y a deux cas considrer : les compressions peuvent tre rversibleset refroidies, ou bien irrversibles et adiabatiques.

Compressions rversibles et refroidies Dans ce cas, et si on admetque toutes les compressions sont reprsentes par la mme polytropique(mme exposant k, avec k< ), alors le travail absorb par deux tagessuccessifs est

wi =kr

k1(T2T1+T3T2) (132)

Pour simplifier lcriture, on pose la constante =k1k

et comme T2 = T1,

wi =r

[T1

((p2p1

)1

)+T2

((p3p2

)1

)]

=r

T1

[(p2p1

)+

(p3p2

)2

](133)

La valeur optimale de p2 est celle qui annulewip2

p2

((p2p1

)+

(p3p2

))= 0 p1 p

12 = p

3 p12 (134)

et, en dfinitive,

p22 = p3 p1 soitp3p2

=p2p1

(135)

Il est facile de gnraliser un plus grand nombre dtages de com-pression.

Conclusions : si T2 = T3 = T4 . . . et si les taux de compression (rap-port de la pression de sortie sur la pression dentre) de chaque tagesont identiques, alors le travail total dune compression tage est mini-mal. Dans ces conditions les travaux indiqus de chaque tage sont gauxentre eux, ainsi que les tempratures en fin de compression : wi1 =wi2 =wi3 = et T2 = T3 = T4 =



Compressions adiabatiques et irrversibles Si les compressions sontadiabatiques et irrversibles, le travail absorb par deux tages successifsest

wi =r

1(T2T1+T3T2) (136)

En posant =r

cp=1

, on arrive la mme quation (133) et aux

mmes conclusions que dans le cas dune compression rversible refroi-die : le travail dune compression tage est minimal condition que lestaux de compression de chaque tage soient identiques.

Dans la pratique industrielle, on limite le taux de compression pn+1/pnde chaque tage un maximum de 5 6.

Un autre avantage de la compression tage est quen limitant la tem-prature maximale, elle permet une lubrification plus facile des hauts decylindres et vite la dcomposition des huiles.

10.4 Dtentes dans (T,s)

Dans lnergtique industrielle les dtentes sont pratiquement tou-jours adiabatiques. Il ny a donc que deux cas considrer.

T

s

1

p1 p2

cab d

2s

2ir1ir

1s

Figure 21 dtentes dans (T,s).


10.5 Quelques autres diagramm

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