Al7ma20tepa0111 Sequence 08

Squence 8

1Squence 8 MA20

Sommaire

1. Prrequis 2. Calcul de probabilit 3. chantillonnage 4. Algorithmique 5. Synthse de la squence 6. Exercices dapprofondissement

Calcul de probabilit chantillonnage

Cned Acadmie en ligne

3Squence 8 MA20

Probabilits

Le langage des probabilits

Loi de probabilit

AA

exprience alatoire issues

issues vnements lmentaires ventualits

Se souvenir

Une exprience alatoire est une exprience pour laquelle plusieurs issues sont possibles,sans que lon puisse prvoir celle qui se produira.

Les issues sont aussi appeles les vnements lmentaires, ou les ventualits.

Se souvenir

a a a an1 2 3, , ,..., n

vnement certain toutes les issues

lunivers E = { }a a a an1 2 3, , ,..., .vnement impossible aucune issue

lensemble vide = { }.

Se souvenir

Soit une exprience alatoire, dont les issues sont notes a a a an1 2 3, , ,..., (on suppose quil y a n issues).

On appelle vnement certain lvnement constitu de toutes les issues de lexprience,

cest--dire lunivers : E = { }a a a an1 2 3, , ,..., .On appelle vnement impossible lvnement constitu daucune issue de lexprience,

cest--dire lensemble vide : = { }.

Se souvenir

a a a an1 2 3, , ,..., , probabilit issue compris entre 0 et 1

i i, p0 1 0 1 p( )ia

De plus

p p p ... p1 2 3 1+ + + + =n p p p p n( ) ( ) ( ) ... ( )a a a a1 2 3 1+ + + + =

savoir

Lors dune exprience alatoire, dont les issues sont notes a a a an1 2 3, , ,..., , la probabilit de chaque issue est un nombre compris entre 0 et 1 :

pour nimporte quel indice, i i, p0 1 (ou 0 1 p( )ia ).

De plus, ces probabilits vrifient :

p p p ... p1 2 3 1+ + + + =n (ou p p p p n( ) ( ) ( ) ... ( )a a a a1 2 3 1+ + + + =

savoir

1 Prrequis


4 Squence 8 MA20

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement quel-conque est la somme des probabilits de toutes les issues qui compo-sent cet vnement.

savoir

chantillonnage Statistiques, frquences

Une srie statistique porte sur un caractre (ge, poids, couleur, etc.)dont on a relev certaines modalits (10 ans, 15 ans, 20 ans, etc.).

Les donnes sont prsentes dans un tableau dans lequel on indique, pourchaque modalit du caractre, le nombre de fois o on a relev cette valeur.Ce nombre de fois sappelle leffectif.

On peut, en plus de ces effectifs, ou leur place, indiquer la proportion de chaque modalit dans lensemble des donnes. Cette proportion sappelle la frquence de la modalit.

savoir

quiprobable vne-

ment quelconque p(A)nombre d'issues de Anombre total d'iss

=

uues.

savoir

Lors dune exprience alatoire quiprobable, la probabilit dun vne-

ment quelconque A est gale : p(A)nombre d'issues de Anombre total d'iss

=

uues.

savoir

lvnement certain p(E) .= 1

lvnement impossible p( ) . = 0

savoir

On note E lunivers dune exprience alatoire.

La probabilit de lvnement certain est : p(E) .= 1

La probabilit de lvnement impossible est : p( ) . = 0

savoir

BB


5Squence 8 MA20

Activit Rappel

Reprenons lexemple de lexprience alatoire, aborde dans la squence 4, consistant lancer deux ds identiques quatre faces et sintresser aux deux numros obtenus.

Les vnements lmentaires sont :

(1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4), si lon ne peut pas distinguer les deux ds (sinon, avec deux ds distincts, (1 et 2) et (2 et 1) sont des issues diffrentes).

On a vu, laide dun tableau double entre, que chaque issue double , (1 et 1),

(2 et 2), (3 et 3), (4 et 4), a comme probabilit1

16.

Toutes les autres issues, (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 3), (2 et 4) et (3 et 4), ont

comme probabilit2

16.

On a vu aussi quau lieu de se demander si un rsultat prcis allait se produire (aura-t-on le 1 et le 3 ? ), on pouvait sintresser une possibilit plus large : aura-t-on deux numros impairs ?

Cela revient se demander si lon aura lune des issues (1 et 1), ou (1 et 3), ou (3 et 3).

Et donc, si lon aura lune des issues de lensemble : {(1 et 1) ; (1 et 3) ; (3 et 3)}.

Cet ensemble est caractristique du fait davoir deux numros impairs .

On dit que cest lvnement avoir deux numros impairs .

On peut calculer la probabilit dun tel vnement en faisant la somme des pro-babilits de chacune des issues qui le composent :

p( avoir deux numros impairs ) = p p p(1 et 1) (1 et 3) (3 et 3)+ +

= + + =1

162

161

164

16.

On peut de la mme faon dfinir dautres vnements, correspondant diff-rentes possibilits des issues : avoir un double , avoir deux numros dont la somme fasse 4 , avoir au moins un 1 , etc.

AA

2 Calcul de probabilit


6 Squence 8 MA20

Chaque vnement peut tre reprsent par lensemble de toutes les issues correspondantes :

{(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} est lvnement avoir un double ,

{(1 et 3) ; (2 et 2)} est lvnement avoir deux numros dont la somme fasse 4 ,

{(1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4)} est lvnement avoir au moins un 1 .

On peut aussi considrer quun ensemble dissues quelconques reprsente un vnement, mme si lon ne peut pas le dcrire par une phrase :

{(1 et 1) ; (2 et 3) ; (2 et 4)} est un vnement. Notons-le A.

Sa probabilit est :

p p p p(A) (1 et 1) (2 et 3) (2 et 4)= + + = + +1

162

1622

165

16= .

Autres vnements

On peut galement fabriquer des vnements partir de deux vnements dj existants.

Toujours avec lexemple prcdent, prenons les deux vnements avoir un dou-ble et avoir deux numros dont la somme fasse 4 que lon va noter D et Q :

D = {(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} et Q = {(1 et 3) ; (2 et 2)}.

On peut envisager lvnement avoir un double OU avoir deux numros dont la somme fasse 4 .

Cet vnement sera ralis ds que lun des deux vnements D ou Q sera ra-lis, cest--dire ds que lune des issues de D ou de Q sera ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble de toutes les issues de D et de Q :

{(1 et 1) ; (1 et 3) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)}.

Bien entendu, lissue (2 ; 2) nest pas rpte deux fois.

Puisquon a runi les issues de D et celles de Q, on dit que lvnement obtenu est la runion de D et Q.

On peut calculer sa probabilit de la mme faon que pour tout autre vnement :

p(runion de D et Q) = p p p p p(1 et 1) (1 et 3) (2 et 2) (3 et 3) (4+ + + + et 4)

= + + + + =1

162

161

161

161

166

16.

On peut aussi envisager lvnement avoir un double ET avoir deux numros dont la somme fasse 4 .

Cet vnement sera ralis si les deux vnements D et Q sont raliss, cest--dire si lune des issues, la fois de D et de Q, est ralise.


7Squence 8 MA20

On peut donc le reprsenter par lensemble des issues qui sont la fois dans D et dans Q :

ici il ny en a quune { (2 et 2) }.

Puisquon a pris les issues communes D et Q, on dit que lvnement obtenu est lintersection de D et Q.

On a alors : p p(intersection de D et Q) (2 et 2) .= =1

16

Cours Runion et intersection dvnements, vnement contraire

On a vu dans lactivit prcdente que lon peut fabriquer des vnements partir de deux vnements dj existants.

Pour expliquer ces ides, prenons un exemple que lon conservera tout au long de ce chapitre.

Un jeu de 32 cartes est compos de 4 couleurs (trfle, carreau, cur, pique), dans chacune desquelles on a 8 cartes (le 7, le 8, le 9, le 10, le Valet, la Dame, le Roi et lAs).

Les valets, Dames et Rois sont appeles figures .

Les cartes de cur et de carreau sont rouges , celles de trfle et pique sont noires .

On tire au hasard une carte dans le jeu.

Dcrire lexprience alatoire.

Quelle est la probabilit de tirer la Dame de cur ?

De tirer une Dame ?

Quelle est la probabilit de tirer un cur ?

De tirer une figure ?

Rponses :

Lexprience alatoire consiste tirer au hasard une carte parmi 32.

Les issues de cette expriences (ou vnements lmentaires) sont les 32 cartes. On peut donc donner lunivers de cette exprience :

E { , , . . . , A , , . . . , A , ,= 7 8 7 7 .. . . , A , , . . . , A }. 7

Comme le tirage se fait au hasard, on peut dire que chaque carte a la mme chance dtre tire.

On est en situation dquiprobabilit. Comme il y a 32 issues, chacune a

comme probabilit 1

32.

BB

Exemple Exemple


8 Squence 8 MA20

Lvnement tirer la Dame de cur est une des issues de lexprience :

tirer la Dame de cur {D }.=

Donc sa probabilit est : p p( tirer la Dame de cur ) ({D }) . = =1

32

Lvnement tirer une Dame est compos de 4 issues :

tirer une Dame {D , D , D , D }.=

Comme il y a quiprobabilit, sa probabilit est :

p( tirer une Dame )nombre d'issues de l'

=

vnementnombre total d'issues

.= =432

18

Sans utiliser cette proprit de lquiprobabilit, on pourrait aussi calculer :

p p p p( tirer une Dame ) ({D }) ({D }) ({D = + + }}) ({D })+ p

= + + + =1

321

321

321

32432

.

Lvnement tirer un cur est compos de 8 issues :

tirer un cur { , , , , V , D= 7 8 9 10 ,, R , A }.


p( tirer un cur )nombre d'issues de l'

=

vvnementnombre total d'issues

.= =832

14

Lvnement tirer une figure est compos de 12 issues :

tirer une figure {V , D , R , V , D , R= , V , D , R , V , D , R }.


p( tirer une figure )nombre d'issues de

=

ll'vnementnombre total d'issues

.= =1232

38

Revenons nos fabrications dvnements.

a) On peut tout dabord dfinir lvnement qui consiste avoir lun OU lautre de deux vnements existants .

Dans notre exprience consistant tirer au hasard une carte dans le jeu de 32 cartes, prenons les vnements :

D tirer une Dame ,= C tirer un cur = et F tirer une figure .=

On peut envisager lvnement tirer une Dame OU tirer un cur .Cet vnement sera ralis ds que lun des deux vnements D ou C sera ralis, cest--dire ds que lune des issues de D ou de C sera ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble de toutes les issues de D et de C :

Exemple Exemple


9Squence 8 MA20

tirer une dame de cur ={ D , D , D , D , , , , , V , R , 7 8 9 10 AA }.

Bien entendu, lissue Dnest pas rpte deux fois.

Puisquon a runi les issues de D et celles de C, on dit que lvnement obtenu est la runion de D et C.

On notera cet vnement : D C (qui se lit D union C ).

On peut aussi envisager lvnement tirer une figure OU tirer un cur .

Cet vnement sera ralis ds que lun des deux vnements F ou C sera ralis, cest--dire ds que lune des issues de F ou de C sera ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble de toutes les issues de F et de C : tirer une figure un cur OU =

{ V , D , R , V , D , R , V , D , R , V , D , R , , , , , A }.7 8 9 10

Bien entendu, les issues V , D , R ne sont pas rptes deux fois.

Puisquon a runi les issues de F et celles de C, on dit que lvnement obtenu est la runion de F et C.

On notera cet vnement : F C (qui se lit F union C ).

On peut encore envisager lvnement tirer une Dame OU tirer une figure .

Cet vnement sera ralis ds que lun des deux vnements D ou F sera ralis, cest--dire ds que lune des issues de D ou de F sera ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble de toutes les issues de D et de F :

Bien entendu, les issues D , D , D , D ne sont pas rptes deux fois, ce qui fait que lvnement obtenu est le mme que F. Ceci sexplique par le fait que D est inclus dans F.

Puisquon a runi les issues de D et celles de F, on dit que lvnement obtenu est la runion de D et F.

On notera cet vnement : D F (qui se lit D union F ).

Le OU utilis dans lexpression avoir lun OU lautre des deux vne-ments nest pas exclusif, cest--dire que lon accepte que les deux v-nements soient raliss :

dans le cas de D C, si lissue D se produit, les vnements D et C seront tous les deux raliss, et donc lvnement D C aussi.

Remarque

b) Ensuite on peut dfinir lvnement qui consiste avoir lun ET lautre de deux vnements existants .

tirer une Dame une figure OU = tirer une Dame une figure OU =

{V , D , R , V , D , R , V , D , R , V , D ,, R }.{V , D , R , V , D , R , V , D , R , V , D ,, R }.


10 Squence 8 MA20

Dans notre exprience consistant tirer au hasard une carte dans le jeu de 32 cartes, reprenons les vnements :

D tirer une Dame ,= C = tirer un Cur et F tirer une figure .=

On peut maintenant envisager lvnement tirer une Dame ET tirer un cur .

Cet vnement sera ralis si les deux vnements D et C sont raliss en mme temps, cest--dire si lune des issues, la fois de D et de C, est ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble des issues qui sont la fois dans D et dans C :

tirer une Dame un cur { D }.ET =

Ici il ny en a quune : pour tirer la fois une Dame et un cur, en une seule carte, il faut tirer la Dame de cur.

Puisquon a pris les issues communes D et C, on dit que lvnement obtenu est lintersection de D et C. On le note D C (on lit D inter C ).

Envisageons lvnement tirer une figure ET tirer un cur .

Cet vnement sera ralis si les deux vnements F et C sont raliss en mme temps, cest--dire si lune des issues, la fois de F et de C, est ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble des issues qui sont la fois dans F et dans C :

tirer une figure un cur {V , D , RET = }}.

Ici il y a trois issues : pour tirer la fois une figure et un cur, en une seule carte, il faut tirer une des trois figures de cur.

Puisquon a pris les issues communes F et C, on dit que lvnement obtenu est lintersection de F et C. On le note F C (on lit F inter C ).

Enfin envisageons lvnement tirer une Dame ET tirer une figure .

Cet vnement sera ralis si les deux vnements D et F sont raliss en mme temps, cest--dire si lune des issues, la fois de D et de F, est ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble des issues qui sont la fois dans D et dans F :

tirer une Dame une figure {D , D , DET = , D }.

Ici on retrouve lvnement tirer une Dame , puisque pour tirer, en une seule carte, une Dame et une figure, il faut et il suffit de tirer une Dame.

Puisquon a pris les issues communes D et C, on dit que lvnement obtenu est lintersection de D et F. On le note D F (on lit D inter F ).

c) De plus, partir dun vnement, on peut dfinir lvnement qui consiste avoir nimporte quoi SAUF lvnement donn .

Exemple Exemple


11Squence 8 MA20

Toujours dans la mme exprience consistant tirer au hasard une carte dans le jeu de 32 cartes, reprenons lvnement :

F tirer une figure .=

On peut maintenant envisager lvnement tirer tout SAUF une figure .

Cet vnement sera ralis si cest lune des issues qui nest pas dans F qui est ralise.

On peut donc le reprsenter par lensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans F :

{ 7 , 8 , 9 , 10 , A , 7 , 8 , 9 , 10 , A ,

7 , 8 , 9 , 10 , A , 7 , 8 , 9 , , A }. 10

On dit que lvnement obtenu est lvnement contraire de F. On le note F (on lit F barre ).

Les schmas permettant dillustrer les issues dune exprience alatoire, en parti-culier les schmas en patate ou les tableaux double entre (voir squence 4) se prtent assez bien dcrire les deux processus ci-dessus : la runion ou linter-section de deux vnements.

Le schma en patate ci-dessous permet de voir les vnements F et C.

F

C

Univers

Exemple Exemple

On appelle runion de deux vnements A et B, et on note A B, lvnement form de de A et de celles de B.

On appelle intersection de deux vnements A et B, et on note A B , lvnement form de toutes A et B.

On appelle vnement contraire de A, et on note A, lvnement form de toutes les issues, celles de A.

Dfinitions

On appelle runion de deux vnements A et B, et on note A B, lvnement form de toutes les issues de A et de celles de B.

On appelle intersection de deux vnements A et B, et on note A B , lvnement form de toutes les issues communes A et B.

On appelle vnement contraire de A, et on note A, lvnement form de toutes les issues, sauf celles de A.

Illustration Illustration


12 Squence 8 MA20

Lvnement C F.

Lvnement C F.

De mme le tableau double entre ci-dessous permet de voir les mmes vnements.

CartesCouleurs

7 8 9 10 V D R A

Tr e 7 8 9 10 V D R A

Carreau 7 8 9 10 V D R A

Cur 7 8 9 10 V D R A

Pique 7 8 9 10 V D R A

F

C

Lvnement C F.

CartesCouleurs

7 8 9 10 V D R A

Tr e 7 8 9 10 V D R A


Cur 7 8 9 10 V D R A


CF

C

F

FF

CF

UniversUnivers

CC

FF

CF

UniversUnivers

CC


13Squence 8 MA20

Lvnement C F.

CartesCouleurs

7 8 9 10 V D R A

Tr e 7 8 9 10 V D R A


Cur 7 8 9 10 V D R A


F

C

CF

Calcul de probabilit

Nous savons (voir squence 4) que la probabilit dun vnement est la somme des probabilits de toutes les issues qui composent cet vnement.

Voyons ce que cela donne pour les vnements D, C, F, D C, F C, F D et Fde lexemple ci-dessus.

Nous savons que lexprience alatoire consiste tirer au hasard une carte parmi 32, quil y a donc 32 issues, et quiprobabilit, puisque le tirage se fait au hasard.

Chaque issue a comme probabilit 1

32.

On a vu que les vnements D, C et F ont pour probabilits :

p(D)nombre d'issues de l'vnement

nombre t=

ootal d'issues,= =

432

18

p(C)nombre d'issues de l'vnement

nombre t=

ootal d'issues,= =

832

14

p(F)nombre d'issues de l'vnement

nombre t=

ootal d'issues.= =

1232

38

On sait que : D C { D , D , D , D , , , , , V , = 7 8 9 10 RR , A }.

Lvnement D C est donc compos de 11 issues, ce qui nous donne :

p(D C)nombre d'issues de l'vnement

nombre =

total d'issues.=

1132


14 Squence 8 MA20

Remarquons que p p(D) (C) ,+ = + =432

832

1232

et souvenons-nous que pour

construire D C nous avons pris soin de ne pas rpter deux fois lissue Dqui

tait la fois dans les deux vnements D et C.

Or p({D }) =1

32et { D } D C. =

On a donc : p(D C) , =1132

et p p p(D) (C) (D C) .+ = + =432

832

132

1132

On sait que :

F C { V , D , R , V , D , R , V , D , R , V = , D , R , , , , , A }.7 8 9 10

Lvnement F C est donc compos de 17 issues, ce qui nous donne :

p(F C)nombre d'issues de l'vnement

nombre =

total d'issues.=

1732

Remarquons que p p(F) (C) ,+ = + =1232

832

2032


construire F C nous avons pris soin de ne pas rpter deux fois les issues

V , D et R qui taient la fois dans les deux vnements F et C.

Or p({V , D , R }) =332

et { V , D , R } F C. =

On a donc : p(F C) , =1732

et p p p(F) (C) (F C) .+ = + =1232

832

332

1732

On sait que : F D {V , D , R , V , D , R , V , D , R , V = ,, D , R }.

Lvnement F D est donc compos de 12 issues, ce qui nous donne :

p(F D)nombre d'issues de l'vnement

nombre =

total d'issues.=

1232

Remarquons que p p(F) (D) ,+ = + =1232

432

1632


construire F D nous avons pris soin de ne pas rpter deux fois les issues

D , D , D et D qui taient la fois dans les deux vnements F et D.

Or p({D , D , D , D }) =432

et { D , D , D , D } F D. =

On a donc : p(F D) , =1232

et p p p(F) (D) (F D) .+ = + =1232

432

432

1232

On peut facilement comprendre que les rsultats obtenus ci-dessus sont gn-ralisables, puisquil faut, pourconstruire la runion de deux vnements, prendre toutes les issues prsentes dans chacun des deux vnements, sans rpter deux


15Squence 8 MA20

fois celles qui sont communes aux deux vnements. Or ces issues communes aux deux vnements constituent justement leur intersection.

Quant F , on a :

F { 7 , 8 , 9 , 10 , A , 7 , 8 , 9 , 10 , A= ,

7 , 8 , 9 , 10 , A , 7 , 8 , 9 , , A }. 10

F est donc compos de 20 issues, ce qui nous donne :

p( F )nombre d'issues de l'vnement

nombre t=

ootal d'issues.= =

2032

58

Remarquons que p p(F) ( F ) .+ = + =38

58

1

Ceci sexplique par le fait que toutes les issues qui sont dans F ne sont pas dans F , et que toutes celles qui sont dans F ne sont pas dans F. On a ainsi toutes les

issues de lunivers, comptes une fois chacune.

Reprenons l exprience alatoire dcrite dans l activit d introduction, c est--dire le lancer de deux ds quatre faces.

On sait que chaque issue double , (1 et 1), (2 et 2), (3 et 3), (4 et 4), a comme pro-

babilit1

16, et que les autres, (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 3), (2 et 4) et (3 et 4), ont

comme probabilit2

16.

Considrons les deux vnements avoir un double et avoir deux numros dont la somme fasse 4 que lon va noter D et Q :

D = {(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} et Q = {(1 et 3) ; (2 et 2)}.

On a donc : p(D) = =41

164

16et p(Q) .= + =

216

116

316

On sait que : p p(D Q) (2 et 2) . = =1

16On peut donc, en appliquant la proprit prcdente, calculer :

p p p p(D Q) (D) (Q) (D Q) . = + = + =4

163

161

166

16

Lors dune exprience alatoire, la probabilit de de deux vnements A et B vrifie :

p p p p(A B) (A) (B) (A B). = + Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement et celle de lvnement contraire A vrifient :

p p(A) (A).= 1

Proprits

Lors dune exprience alatoire, la probabilit de la runion de deux vnements A et B vrifie :

p p p p(A B) (A) (B) (A B). = + Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement et celle de lvnement contraire A vrifient :

p p(A) (A).= 1

ExempleExemple


16 Squence 8 MA20

La probabilit davoir un double OU deux numros dont la somme fasse 4 est6

16.

On peut vrifier que cest bien ce que lon avait trouv, dans lactivit, en faisant le calcul par addition des probabilits de toutes les issues de D Q.

De la mme faon, considrons lvnement avoir deux numros dont la somme NE fasse PAS 4 .

Cest lvnement contraire de Q. Donc sa probabilit est :

p p(Q) (Q) .= = =1 13

161316

Ce calcul est plus rapide que de dcrire toutes les issues correspondantes et cal-culer la probabilit par addition des probabilits de toutes les issues.

Utilisation darbres pondrsNous avons vu dans la squence 4 que lon peut reprsenter les issues dune exprience alatoire par un schma en arbre. Ceci est particulirement intres-sant lorsque ces issues sont obtenues laide de deux critres ou deux situations, comme le lancer de deux ds, ou le choix dun menu plat-dessert.Nous avons galement vu que ces schmas pouvaient nous aider au calcul des proba-bilits dissues non quiprobables, lorsquon peut se ramener de lquiprobabilit.Revenons sur un exemple vu dans la squence 4.

Dans une bote se trouvent trois boules vertes et une boule blanche, indiscerna-bles au toucher.

On en tire une au hasard, et sans la remettre dans la bote, on en tire une deuxime, encore au hasard.

On note les couples de couleurs obtenues, en tenant compte de lordre de tirage.

Dcrire lunivers et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.Les issues de cette exprience sont faciles dterminer. En notant V la couleur verte et B la couleur blanche, on trouve : (V,V), (V,B) et (B,V) car on ne peut pas tirer deux boules blanches.

Lunivers est donc : { (V,V) ; (V,B) ; (B,V) }.Mais ces issues ne sont pas quiprobables : on a certainement plus de chance dobtenir (V,V) que (V,B).

Pour se ramener une situation quiprobable, on va raisonner sur les boules (en les supposant toutes diffrentes) et non pas sur les couleurs. On peut par exem-ple imaginer que les boules sont numrotes.

A B.

Remarque

En rgle gnrale, En rgle gnrale, il ny a pas de formuleil ny a pas de formule pour calculer la probabilit de pour calculer la probabilit delintersection de deux vnementslintersection de deux vnements A B.

Remarque

ExempleExemple


17Squence 8 MA20

On va reprsenter les diffrents tirages par un schma en arbre.

V1 V2

V2 V3 B V1 V3 B V1 V2 B V1 V2 V3

V3 B

Issues

2e tirage

1er tirage

(V,V) (V,V) (V,B) (V,V) (V,V) (V,B) (V,V) (V,V) (V,B) (B,V) (B,V) (B,V)

Puisque chaque tirage se fait au hasard , on peut dire quil y a galit de chance davoir une branche de larbre plutt quune autre. Il y a quiprobabi-lit des branches et il y en a 12. On peut maintenant calculer la probabilit de chaque issue de notre exprience.

Lissue (V,V) est obtenue avec 6 branches, sa probabilit est donc : 612

0 5= , .

Lissue (V,B) est obtenue avec 3 branches, sa probabilit est donc :3

120 25= , .

Lissue (B,V) est obtenue avec 3 branches, sa probabilit est donc :3

120 25= , .

On peut considrer que cette exprience est en fait la succession de deux preu-ves, le tirage de la premire boule, le tirage de La deuxime.

Pour le premier tirage, on a 4 possibilits quiprobables, si lon considre les boules toutes diffrentes.

On peut donc en dduire que lon a une probabilit de 34

de tirer une boule verte

et une probabilit de 14

de tirer une boule blanche, pour ce premier tirage.

Pour le deuxime tirage, on a, quelque soit le premier tirage, 3 possibilits qui-probables, si lon considre les boules toutes diffrentes.

On peut aussi remarquer que, lorsque lon a tir une boule verte au premier tirage, au second tirage on a 2 possibilits de tirer une autre boule verte, et 1 possibilit de tirer une boule blanche.

On peut donc en dduire, toujours lorsque lon a tir une boule verte au premier

tirage, que lon a une probabilit de 23

de tirer une boule verte au deuxime

tirage, et une probabilit de 13

de tirer une boule blanche ce tirage.

Par contre, lorsque lon a tir une boule blanche au premier tirage, au second tirage on a 3 possibilits de tirer une boule verte, et cest tout.


18 Squence 8 MA20

On peut donc en dduire, lorsque lon a tir une boule blanche au premier tirage,

que lon a une probabilit de 33

1= de tirer une boule verte au deuxime tirage,

et cest tout (la probabilit de tirer une autre boule blanche est gale 0).

On peut rsumer cette situation et ces calculs, en faisant un schma en arbre simplifi (mais issues non quiprobables), sur lequel on indique, sur chaque branche, les probabilits partielles que lon vient de calculer.

On remarque alors que la probabilit de chaque issue peut sobtenir en multi-pliant les probabilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

Ce type de schma, et les calculs qui vont avec, sappelle un arbre pondr.

Dans une foire, une loterie consiste faire tourner deux roues tricolores.

La premire a un secteur noir de 45, un secteur rouge de 90 et un secteur blanc de 225.

La deuxime a un secteur noir de 45, un secteur rouge de 225 et un secteur blanc de 90.

Les roues sont supposes bien quilibres, et la probabilit de tomber sur une couleur est proportionnelle la mesure en degr du secteur correspondant.

Si les deux roues sarrtent sur le noir, on gagne un gros lot, si elles sarrtent sur une mme couleur, autre que le noir, on gagne un lot de consolation, sinon on ne gagne rien.

Dcrire lunivers et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.

Issues Probabilit2me boule1re boule

V

V

(V,V)

B (V,B)

V

B

(B,V)

B (B,B)

p (V,V) = x =34

34

23

13

33

14

23

612

p (V,B) = x =34

13

312

p (B,V) = x =14

33

312

p (B,B) = x 0 = 014

0

Issues Probabilit2me boule1re boule

V

V

(V,V)

B (V,B)

V

B

(B,V)

B (B,B)

p (V,V) = x =34

34

23

13

33

14

23

612

p (V,B) = x =34

13

312

p (B,V) = x =14

33

312

p (B,B) = x 0 = 014

0

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par un schma en arbre sur lequel on indique, sur chaque branche, la probabilit partielle correspondant.On a ainsi un .La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

Proprit

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par un schma en arbre sur lequel on indique, sur chaque branche, la probabilit partielle correspondant.On a ainsi un arbre pondr.La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

ExempleExemple


19Squence 8 MA20

Quelle est la probabilit de gagner un gros lot ?

Quelle est la probabilit de ne rien gagner ?

Rponses

Les issues de cette exprience sont faciles dterminer. En notant N la couleur noire, R la couleur rouge et B la couleur blanche, on trouve : (N,N), (N,R), (N,B), (R,N), (R,R), (R,B), (B,N), (B,R),et (B,B).

Ces issues ne sont pas quiprobables.

Pour dterminer la loi de probabilit, construisons un arbre pondr.

Pour la premire roue on a : p(N) ,= = =45

36018

0 125, p(R) ,= = =90360

14

0 25,

p(B) .= = =225360

58

0 625,

Pour la deuxime roue on a : p(N) ,= = =45

36018

0 125, p(N) ,= = =225360

58

0 625,

p(B) .= = =90360

14

0 25,

Issues2me roue1re roue

R

B

N

R

B

N

R

B

N

N

0,125

0,125

0,625

0,625

0,25

0,25

0,125

0,625

0,25

0,125

0,625

0,25

R

(N,N)

(N,R)

B

(N,B)

(R,N)

(R,R)

(R,B)

(B,N)

(B,R)

(B,B)

La probabilit de chaque issue sobtient en multipliant les probabilits sur les branches qui mnent cette issue.

La probabilit de gagner un gros lot est la probabilit de lissue (N,N).

On a donc : p p("gagner un gros lot") (N,N) .= = =18

18

164

Pour calculer la probabilit de ne rien gagner, on peut regarder quelles sont les issues composant cet vnement, calculer leurs probabilits respectives, et en faire la somme.

Mais il est plus facile de calculer la probabilit de lvnement contraire, lvne-ment gagner quelque chose . En effet on a :

" gagner quelque chose " (N,N) ; (R,R) ; (B= ,,B) .{ }


20 Squence 8 MA20

Donc :

Et par consquent :

p p("ne rien gagner") ("gagner quelque cho= 1 sse") .= =12164

4364

Synthse du cours

Runion et intersection dvnements


Utilisation darbres pondrs

p p p p("gagner quelque chose") (N,N) (R,R) (B= + + ,,B) .= + + =1

6414

58

58

14

2164

p p p p("gagner quelque chose") (N,N) (R,R) (B= + + ,,B) .= + + =1

6414

58

58

14

2164

CC

On appelle de deux vnements A et B, et on note A B,lvnement form de toutes les issues de A et de celles de B.


Dfinitions

On appelle runion de deux vnements A et B, et on note A B,lvnement form de toutes les issues de A et de celles de B.


Lors dune exprience alatoire, la runion de deux vnements A et B vrifie : p p p p p(A B) (A)+ (B) (A) (B) =

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement et celle de lvnement contraire A vrifient :p p(A) (A).= 1

Proprit

Lors dune exprience alatoire, la runion de deux vnements A et B vrifie : p p p p p(A B) (A)+ (B) (A) (B) =

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement et celle de lvnement contraire A vrifient :p p(A) (A).= 1

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par .La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

Proprit

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par un arbre pondr.La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.


21Squence 8 MA20

Exercices dapprentissage

On considre une exprience alatoire dont lunivers est :

E = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}.

On sintresse aux vnements :

A "on a une issue multiple de 3",= B "on a une issue multiple de 5",=

et C "on a une issue de numro 7".=

Lvnement A B est :

a. multiples de 15 b. c.{ 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 } d. multiples de 8 Lvnement B C est :

a.{10 } b. c.{ 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } d.nexiste pas Lvnement C est :

a. numro > 7 b. numro 7 c. numro < 7 d.{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 }

On considre un vnement A tel que p(A) .= 0 5, On peut en dduire que p(A) :=

a. 0,5 b. 0 c. 1 d. 1 p(A)

On considre deux vnements A et B. On peut avoir p p(A) (B) :+ =

a. 1 b. 1,6 c. 2,2 d. 0,2

Pour un vnement quelconque A, on a A A : = Vrai Faux

Pour un vnement quelconque A, on a A A : = Vrai Faux

Si deux vnements A et B sont tels que p p(A) et (B) ,= =0 7 0 6, , on a B A :=

Vrai Faux

Pour deux vnements quelconques A et B, on a p p p(A B) (A) (B) : = +

Vrai Faux

On tire en mme temps deux cartes dans un jeu de 32 cartes.

On considre lvnement avoir deux curs .

Lvnement contraire est lvnement ne pas avoir de cur :

Vrai Faux

DDDD

Exercice 1Exercice 1





22 Squence 8 MA20

On considre les vnements avoir deux curs et avoir deux as .

Ces deux vnements sont incompatibles, cest--dire quils nont aucune issue commune :

Vrai Faux

On considre les vnements avoir deux curs et avoir deux figures .

Ces deux vnements sont incompatibles, cest--dire quils nont aucune issue commune :

Vrai Faux

Alice a dessin le contour dun drapeau tricolore, et veut le colorier avec les couleurs noir, jaune et rouge. Elle choisit au hasard lun des trois crayons pour colorier le rectangle situ prs du mat du drapeau, puis choisit, encore au hasard, lun des deux crayons restant pour colorier le rectangle du milieu, et termine avec le troisime crayon.


Quelle est la probabilit davoir le drapeau de la Belgique ?

Quelle est la probabilit davoir le rectangle jaune au milieu du drapeau ?

Quelle est la probabilit davoir le noir et le rouge lun ct de lautre ?

Alice et Bob joue au jeu de pierre, feuille, ciseaux . Dans ce jeu, au signal donn, chacun des deux joueurs tend la main vers lautre en la mettant en forme de pierre (poing ferm), de feuille (main plat) ou de ciseaux (deux doigts tendus en forme de V).

Les ciseaux lemportent sur la feuille (quils coupent), la feuille lemporte sur la pierre (quelle enveloppe) et la pierre lemporte sur les ciseaux (quelle casse). Il y a match nul si les deux joueurs montrent la mme figure.

On suppose que les deux joueurs choisissent au hasard la figure quils vont montrer.


Quelle est la probabilit davoir match nul ?

Quelle est la probabilit que Bob gagne ?

Dans un jeu de plateau, les combats sont rgls en lanant deux ds : un d quatre faces, une rouge, une jaune, une bleue et une noire, et un d six faces, une rouge, deux jaunes et trois noires.

Le joueur qui lance les ds gagne le combat sil obtient deux faces rouges, fait match nul sil obtient deux faces de mme couleur autre que rouge, et perd le combat dans tous les autres cas.

On suppose les ds bien quilibrs.





23Squence 8 MA20


Quelle est la probabilit que le joueur gagne le combat (vnement not G) ?

Quelle est la probabilit que le joueur fasse match nul (vnement not Nul) ?

Quelle est la probabilit davoir au moins une face jaune (vnement not J) ? Au moins une face bleue (vnement not B) ?

Quelle est la probabilit des vnements Nul J et Nul J ?

Quelle est la probabilit des vnements G J et G J ?

Quelle est la probabilit des vnements Nul B et Nul B ?

Dans une bote se trouvent une boule blanche, deux boules rouges, et deux bou-les noires.

On tire une boule au hasard dans la bote, on la remet, et on en tire au hasard une deuxime. On sintresse aux deux couleurs tires, dans lordre.

Dterminer lunivers et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.

Quelle est la probabilit de tirer deux boules de mme couleur (vnement D) ?

Quelle est la probabilit de tirer au moins une boule noire (vnement N) ?

Quelle est la probabilit des vnements D, N, D N et D N ?

Les dcrire par une phrase.

Dans une bote se trouvent une boule blanche, deux boules rouges, et deux bou-les noires.

On tire une boule au hasard dans la bote et, sans la remettre, on en tire au hasard une deuxime. On sintresse aux deux couleurs tires, dans lordre.


Quelle est la probabilit de tirer deux boules de mme couleur (vnement D) ?

Quelle est la probabilit de tirer au moins une boule noire (vnement N) ?

Quelle est la probabilit des vnements D, N, D N et D N ?

Les dcrire par une phrase.




24 Squence 8 MA20

Activits Simulation dune exprience alatoire quiprobable

Pour une exprience alatoire quiprobable (lancer dun d normal , Pile ou Face, Tirage du Loto), les mathmaticiens ont trouv des moyens de simuler le hasard, cest--dire de produire des nombres de manire aussi alatoire que ce que lon obtient en lanant un d, une pice ou autre.

On peut alors, en utilisant ces moyens, refaire virtuellement lexprience, y compris un trs grand nombre de fois, de faon voir ce qui se passe.

Voyons sur quelques exemples, comment simuler une exprience alatoire qui-probable la calculatrice, avec un tableur, voire la main.

On utilise pour cela des tables de nombres au hasard dites par les math-maticiens, dont on extrait des squences, aprs avoir dcid du processus : par quel nombre commence-t-on, comment lit-on les nombres (horizontalement, verticalement, en sautant un nombre sur deux, etc.) ? Ces tables ont t faites de faon que tous ces choix soient valables.

Il faut ensuite dcider du codage des issues, qui peut tre quelconque, pourvu quil respecte lquiprobabilit.

Avec la table ci-dessous, de nombres entiers au hasard entre 0 et 20 (exclus), simulons la rptition de six fois le jeu de Pile ou Face.

Puisque nous tudions la squence 8, commenons par le nombre situ sur la 8me ligne et la 8me colonne, puis prenons un nombre sur 3 en lisant la table horizontalement.

On obtient la squence : 00, 08, 13, 08, 18, 01.

On peut coder les issues en prenant Pile pour les nom-bres pairs et Face pour les impairs. On a alors ici : Pile, Pile, Face, Pile, Pile, Face.

On aurait pu galementcoder Pile par tous les nom-bres infrieurs ou gaux 09, Face pour les autres. On aurait alors : Pile, Pile, Face, Pile, Face, Pile.

AA

la main la main

ExempleExemple

0505 0505 1313 0606 1414 1818 1010 1515 1717 0909

0909 1717 0404 0202 1111 1414 0000 0707 0000 1111

0303 1818 1010 0707 1919 1212 1515 1010 0606 1515

0707 0202 1717 0505 1919 1919 0000 0101 0909 1414

1515 0202 0808 0808 0404 1313 1616 1616 0303 1818

0101 0707 1717 1515 1313 0202 1717 1919 0808 1818

0808 1111 0606 1010 0404 1212 0303 0303 0505 1919

0505 0000 1010 0606 1111 0606 0505 00000 0404 1313

0808 0000 1212 13131 1919 0101 08080 0505 0000 18181

1818 1616 0101 1212 0101 0909 1919 1111 0101 0505

3 chantillonnage


25Squence 8 MA20

Tout autre procd de codage respectant lquiprobabilit est possible ; par exemple 00, 01, 02, 09, 10, 11, 12, 17, 18, 19 pour Pile, les autres pour Face.

Par contre, prendre les multiples de 3 pour Pile et les autres pour Face ne serait pas acceptable (car il ny a que 7 multiples de 3 entre 0 et 20).

Sur les calculatrices, une fonction permet davoir un nombre dcimal tir au hasard entre 0 (inclus) et 1 (exclus), cest la fonction Random :

NbrAleat sur la TI 82 (appuyer sur la touche math , puis choisir le menu PRB , choix 1, suivi de ENTER ),

Ran# sur les Casio (menu OPTN , puis menu PROB , choix Ran#, suivi de EXE ).

Il suffit donc dutiliser cette fonction aprs avoir dcid du codage des issues.

Trs simple : simulons la rptition de six fois le jeu de Pile ou Face.

On excute six fois la fonction Random(voir cran de calculatrice), en considrant que tout nombre strictement infrieur 0,5 correspond Pile, les autres Face.

Ici on a obtenu la squence : Face, Face, Pile, Face, Pile, Face.

Plus difficile : on veut maintenant simuler la rptition de cinq fois le lancer dun d normal.

La difficult ici est de dcider quels nombres correspondront au 1, au 2, etc. jusquau 6.

Il faudrait pour cela partager lintervalle [0 ; 1[ en six parties gales, ce qui nest

pas facile puisque le nombre 16

nest pas dcimal.

Une premire solution est de multiplier par 6 les rsultats donns par la fonc-tion Random, ce qui nous donne, defaon alatoire, des nombres entre 0 (inclus) et 6 (exclus).

Les nombres de lintervalle [0 ; 1[ cor-respondront au 1, ceux de [1 ; 2[ au 2, etc. jusquaux nombres de lintervalle[5 ; 6[ qui correspondront au 6.

Sur lcran ci-contre on a obtenu la squence : 1, 3, 6, 2, 5, 6.

la calculatrice la calculatrice

ExemplesExemples


26 Squence 8 MA20

Une deuxime solution, plus efficace pour crire un pro-gramme, est dutiliser une autre fonction Random de la TI 83 qui permet de tirer au hasard un nombre entier, en choisissant dans quel intervalle : cest la fonction entAlat(appuyer sur la touche math , puis choisir le menu PRB , choix 5 ) que lon complte avant lexcution.

Ici on a tap entAlat (1, 6), et on a obtenu la squence : 2, 3, 1, 6, 1, 1.

Les tableurs disposent galement dune fonction permettant davoir un nombre dci-mal tir au hasard entre 0 (inclus) et 1 (exclus), cest la fonction ALEA(), qui sutilise comme celle des calculatrices.

Il suffit donc dutiliser cette fonction aprs avoir dcid du codage des issues.

Simulons la rptition de six fois le jeu de Pile ou Face en considrant que tout nombre strictement infrieur 0,5 cor-respond Pile, les autres Face.

Ici on a obtenu la squence : Pile, Pile,Pile, Face, Face, Face.

Simulation de la rptition dune exprience alatoire qui-probable un trs grand nombre de fois

Voyons sur un exemple comment on peut programmer, la calculatrice, le rptition dune exprience alatoire un trs grand nombre de fois, et visualiser les rsultats.

Simulons la rptition de 300, 500 ou 1000 fois le jeu de Pile ou Face.

Pour cela, rdigeons un programme qui simule Pile ou Face (par 1 ou 0) et qui calcule, aprs chaque lancer, la frquence de Pile obtenue depuis le dbut. Il affiche alors sur un graphique les points dont labscisse est le nombre de lancers dj effectus, et lordonne la frquence de Pile obtenue alors.

Le trac de la droite dquation y = 0,5 permet de comparer cette frquence avec 0,5.

On ajoute une instruction en fin de programme permettant de lire la frquence obtenue finalement.

Nom du programme.

Efface tout dessin.Demande le nombre de rptitions souhaites.

rglage de la fentre d'affichage

X entre 0 eet N

Y entre 0,4 et 0,6

Trace la droite dquation Y = 0 5, .

Au tableurAu tableur

ExempleExemple

ExempleExemple


27Squence 8 MA20

Le nombre de Pile est initialis 0.Dbut de la boucle qui va tre rpte pour K allant de 1 N.Tirage Pile ou Face, la valeur tire tant mise dans A.Condition : si A vaut 1, le nombre de Pile augmente de 1.Calcule la frquence : nb de Pile / nb de tirages.Place le point de coordonnes (nb de tirages ; frquence).Fin de la boucle, que lon refait tant que K ne vaut pas N.

Le programme a fait ses N boucles et affich ses N points,

on fait une pause pour que lon puisse voir le graphique.

Puis il affiche la frquence finale de Pile sur N lancers.

Faisons fonctionner ce programme.

On le lance.

Il demande la valeur de N :

On met 300 et on valide.

On obtient ce graphique qui nous montre que la frquence est presque toujours entre 0,4 et 0,6 et quelle a tendance se rappro-cher de 0,5 mesure que le nombre de tirages augmente.

En validant de nouveau, on trouve la valeur finale de la fr-quence de Pile obtenue par cette simulation :

Ici 0,5133.

Avec N = 500 on obtient Avec N = 1000 on obtient


28 Squence 8 MA20

On voit ainsi que la frquence du Pile fluctue autour de 0,5 et a tendance se stabiliser aux alentours de 0,5 et ce dautant plus que le nombre de rptitions est lev.

Cela va dans le sens de lintuition : lorsque lon dit quil y a une chance sur deux davoir Pile, ce quil y a derrire cette formulation est que, si lon lanait la pice un trs grand nombre de fois, on aurait peu prs autant de Pile que de Face.

Cours chantillonnage

a) Notion dchantillon

Dans ce chapitre, nous envisagerons des situations cheval entre les statistiques et les probabilits.

Deux types de situations seront abordes.

Soit nous serons en prsence dune population statistiquement connue en ce qui concerne un de ses caractres (dans la population franaise 15% des individus ont le groupe sanguin Rh ) et nous prlverons au hasard un certain nombre dindividus. On dira que lon a un chantillon de la population totale.

Le nombre dindividus prlevs sera appel la taille de lchantillon.

Nous nous intresserons alors surtout cet chantillon (est-il reprsentatif de la population ?).

Ceci peut stendre une population infinie .

Dans lactivit prcdente, on peut considrer que tous les lancers de notre pice constitue une population infinie, statistiquement connue (il y a 50% de Pile et 50% de Face), et que lon simule des chantillons de taille 300, 500 ou 1000 ; ici on ne les prlve pas vraiment, mais on pourrait le faire en lanant rellement la pice.

Soit nous serons en prsence dune population statistiquement inconnue en ce qui concerne un de ses caractres (dans la population des lecteurs franais quel pourcen-tage pense voter pour M. Dupont ?) et nous prlverons au hasard un certain nombre dindividus. On dira aussi que lon a un chantillon de la population totale.

Remarque

Cette intuition lie une rptition un grand nombre de fois est aussi ce Cette intuition lie une rptition un grand nombre de fois est aussi ceque lon a utilis dans la squence 4 pour dterminer les probabilits de que lon a utilis dans la squence 4 pour dterminer les probabilits dechaque issue pour le d trs dsquilibr et inconnu.chaque issue pour le d trs dsquilibr et inconnu.

Ne connaissant pas ce d truqu, on sest fi une rptition de 5000 lan-Ne connaissant pas ce d truqu, on sest fi une rptition de 5000 lan-cers pour estimer la probabilit de chaque issue.cers pour estimer la probabilit de chaque issue.

Remarque

BB


29Squence 8 MA20

Nous nous intresserons alors surtout estimer la proportion dune certaine par-tie de la population, partir dchantillons (cest le principe des sondages).

b) Fluctuation des frquences dchantillonnage

Reprenons lexemple de la simulation du jeu de Pile ou Face, et obtenons un chantillon de taille 100, laide dun tableur.

Pour ce faire, on met, dans chaque cellule A1, B1, , J1 la somme de 10 tirages alatoires de 0 ou 1.

Dans la cellule L1, on additionne les valeurs des 10 cellules prcdentes, et on divise par 100.

On a ainsi la frquence dapparition du 1 (donc de Pile, par exemple) dans les 100 lancers simuls.

Nous allons maintenant simuler 300 chantillons de taille 100, en tirant toutes les formules de la premire ligne vers le bas, jusqu la ligne 300.

On mettra dans les cellules Q2 et Q4 les frquences maximale et minimale de Pile obtenues dans les 300 chantillons.

Remarque

Pour que les rsultats suivants soient conformes au modle thorique (appel Pour que les rsultats suivants soient conformes au modle thorique (appelmodle de Bernouilli), il faudrait, pour obtenir un chantillon valable, remettre modle de Bernouilli), il faudrait, pour obtenir un chantillon valable, remettredans la population chaque individu prlev avant den prlever un autre (un dans la population chaque individu prlev avant den prlever un autre (unmme individu pourrait donc se retrouver prlev plusieurs fois dans lchan-mme individu pourrait donc se retrouver prlev plusieurs fois dans lchan-tillon).tillon).

Ce nest pas ce que lon fait en gnral, mais on peut montrer que les Ce nest pas ce que lon fait en gnral, mais on peut montrer que lesrsultats sont quasiment identiques si lon travaille avec une population rsultats sont quasiment identiques si lon travaille avec une populationsuffisamment nombreuse. suffisamment nombreuse.

Remarque

partir dune population statistique, on appelle un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel de lchantillon.

Dfinitions

partir dune population statistique, on appelle chantillon un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel la taille de lchantillon.


30 Squence 8 MA20

On peut constater dans la colonne L que les frquences de Pile varient dun chantillon lautre. Ce nest pas trs tonnant, puisque les expriences quoti-diennes nous le montrent rgulirement.

On dit quil y a fluctuation des frquences dchantillonnage.On peut aussi constater que ces frquences fluctuent, dans notre exemple, entre 0,33 et 0,66.

Si lon refait plusieurs simulations de ces 300 chantillons de taille 100, cest facile avec un tableur, on obtient des frquences maximales et minimales de Pile du mme ordre de grandeur.

Modifions maintenant la taille des chantillons.Simulons 300 chantillons de taille 1000.

ExempleExemple


31Squence 8 MA20

On retrouve une fluctuation des frquences de Pile dun chantillon lautre. Mais lcart entre la frquence maximale et la frquence minimale sest rduit.

Si lon recommenait avec des chantillons de taille encore plus grande, on aurait toujours une fluctuation des frquences dun chantillon lautre, mais lcart se rduirait de plus en plus.

ExempleExemple


32 Squence 8 MA20

Plus prcisment on a le rsultat suivant :

Utilisation de lchantillonnage

a) Prise de dcision partir dun chantillon dune population statis-tiquement connue

Lexemple type de ce genre de situation est le suivant.

1. 0 2 0 8, , pn 25

2.

3.

n = 100,1

0 1n

= , . n = 1000,1

0 03n

, .

n = 2500,1

0 02n

= , .

4.

Remarques

1. Ce rsultat nest en fait valable que siCe rsultat nest en fait valable que si 0 2 0 8, , p (autrement dit, la (autrement dit, lapartie A est en proportion moyenne dans la population) et si partie A est en proportion moyenne dans la population) et si n 25(autrement dit lchantillon est de taille suffisante ).(autrement dit lchantillon est de taille suffisante ).

2. Ce rsultat signifie quil est rare (5% des cas) de trouver un chantillon Ce rsultat signifie quil est rare (5% des cas) de trouver un chantillondans lequel la frquence de la partie A nest pas dans lintervalle indiqu.dans lequel la frquence de la partie A nest pas dans lintervalle indiqu.

On pourra alors considrer quun tel chantillon nest pas normal , On pourra alors considrer quun tel chantillon nest pas normal ,avec un risque de se tromper assez faible (5% des cas).avec un risque de se tromper assez faible (5% des cas).

3. On peut remarquer que plus la taille des chantillons est grande, plus On peut remarquer que plus la taille des chantillons est grande, pluslintervalle de fluctuation est petit.lintervalle de fluctuation est petit.

PourPour n = 100, on a on a1

0 1n

= , . PourPour n = 1000, on a on a1

0 03n

, .

PourPour n = 2500, on aon a1

0 02n

= , .

4. Il existe bien sr des rsultats concernant des intervalles de fluctuation Il existe bien sr des rsultats concernant des intervalles de fluctuation dautres seuils que 95% (entre autres 90% ou 99%). Nous nen parle-dautres seuils que 95% (entre autres 90% ou 99%). Nous nen parle-rons pas dans ce cours de seconde.rons pas dans ce cours de seconde.

Remarques

Supposons une population dont une partie A est en proportion : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu

dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ).Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que de taille , la fr-quence des individus de A dans lchantillon est dans lintervalle

pn

pn

+

1 1; .

Cet intervalle est appel

Proprit

Supposons une population dont une partie A est en proportion connue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ).Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que dans 95% de ces chantillons de taille n, la fr-quence des individus de A dans lchantillon est dans lintervalle

pn

pn

+

1 1; .

Cet intervalle est appel intervalle de fluctuation au seuil de 95%.


33Squence 8 MA20

Sachant que dans la population franaise il y a autant dhommes que de fem-mes ( peu prs), on voudrait savoir si deux entreprises respectent le principe de parit dans leur recrutement.

Lune a recrut 42 femmes sur 100 employs, lautre 1175 femmes sur 2500 employs.

A premire vue, il semble que la seconde entreprise, qui a recrut 47% de fem-mes, soit plus respectueuse du principe de parit que la premire, qui na recrut que 42% de femmes.

Est-ce si vrai ?

Rponse

Pas si sr, car cette analyse est faite aprs coup, et ne permet pas de savoir quelle entreprise a t la plus respectueuse (par exemple si lon joue deux fois Pile ou Face et que lon obtient Pile-Pile, peut-on en dduire que lon a trich ? Non bien sr).

De la mme faon on ne peut pas affirmer que la premire entreprise a plus trich que la seconde.

Pour analyser la situation, il faut regarder ce que lon est en droit dattendre dun recrutement parit pour chacune des deux entreprises.

Pour cela il faut faire quelques hypothses de travail peu ralistes, mais indispen-sables pour pouvoir travailler.

On va dabord supposer que pour chaque recrutement les entreprises ont choi-sir leur futur employ dans une population des candidats au recrutement suffi-samment nombreuse (ce nest pas souvent le cas).

On va ensuite supposer que, si lon respecte le principe de parit, le recrutement est parfaitement alatoire quant au sexe du futur employ (ce nest en gnral pas non plus le cas car les autres critres de recrutement comme la comp-tence, le niveau dtudes, lexprience ou la motivation ne sont pas toujours indpendants du sexe).

On peut alors, ces deux hypothses tant supposes ralises, considrer que chaque entreprise est un chantillon de la population totale des candidats au recrutement.

La premire entreprise est un chantillon de taille 100.

Le rsultat vu au paragraphe prcdent me permet de savoir que 95% des chan-tillons de taille 100 ont une proportion de femmes comprise dans lintervalle :

0 51

1000 5

1

100, , +

; .

Cest--dire dans lintervalle : 0 4 0 6, ,; . Avec une proportion de femmes de 0,42, notre entreprise peut tout fait tre considre comme un chantillon normal dun recrutement alatoire quant au sexe des employs.

ExempleExemple


34 Squence 8 MA20

La deuxime entreprise est elle un chantillon de taille 2500.

Le rsultat vu au paragraphe prcdent me permet de savoir que 95% des chan-tillons de taille 2500 ont une proportion de femmes comprise dans lintervalle :

0 51

25000 5

1

2500, , +

; .

Cest--dire dans lintervalle : 0 48 0 52, ,; . Avec une proportion de femmes de 0,47, notre entreprise ne semble pas tre un chantillon normal dun recrutement alatoire quant au sexe des employs.

Cest donc en ralit pour la deuxime entreprise quil faut rejeter lide quelle ait respect la parit, bien sr avec un risque de se tromper, puisque 5% des chantillons de taille 2500 sont en dehors de lintervalle indiqu.

Il faut bien retenir trois aspects de cette dmarche :

- le premier est que ce nest pas le rsultat final qui nous donnera une indication, mais la comparaison de ce rsultat avec ce que lon serait en droit dattendre dune telle situation ;

- le deuxime est quil faut bien voir les hypothses ncessaires ce travail (grande population, tirage au hasard), et ne pas lentreprendre si lune de ces hypothses nest pas crdible ;

- le troisime enfin est que ce travail nous permet de prendre une dcision (la premire entreprise a respect la parit, la deuxime non), mais avec un risque derreur (de 5%), et surtout sans autre argument que largument statistique. Ce nest bien sr en gnral pas suffisant pour agir dans la vie quotidienne (par exemple si une sanction tait prvue pour les entreprises ne respectant pas la parit, les calculs prcdents pourrait nous permettre de souponner la deuxime entreprise, mais pas de prouver son infraction).

Voyons un deuxime exemple.

Environ 26% de la population franaise se dclare allergique aux pollens de fleurs.

Lors dune enqute dans une entreprise de 400 personnes, 123 personnes se dclarent allergiques ces pollens.

Est-ce inquitant ?

Rponse

Certes 123 personnes sur 400 personnes, cela fait prs de 31% (123400

0 3075= , ).

Mais l encore, pour analyser la situation, il faut regarder ce que lon est en droit dattendre dun chantillon de 400 personnes dans la population franaise.

Pour cela il faut faire quelques hypothses de travail.

On va dabord supposer que chaque personne de lentreprise a t choisie au hasard (cest peu vraisemblable) quant au fait dtre allergique (cest plus crdible).

ExempleExemple


35Squence 8 MA20

On va ensuite supposer que ce choix a t fait sur lensemble de la population franaise (ce nest en gnral pas le cas, mais on peut quand mme penser que le choix plus restreint ne biaise pas la situation).

On peut maintenant, ces deux hypothses tant supposes ralises, considrer que lentreprise est un chantillon de taille 400 de la population franaise.

Lintervalle de fluctuation nous montre que 95% des chantillons de cette taille ont une proportion de personnes allergiques aux pollens situe dans lintervalle :

0 261

4000 26

1

400, , +

; .

Cest--dire dans lintervalle : 0 21 0 31, ,; . Avec une proportion de personnes allergiques aux pollens de 0,3075, notre entreprise peut tout fait tre considre comme un chantillon normal de la population franaise quant lallergie aux pollens.

b) Estimation dune proportion dans une population statistiquement inconnue, partir dun chantillon

Considrons maintenant une population dont une partie A est en proportion pinconnue.

Considrons un chantillon de taille n de cette population. Appelons f la fr-quence des individus de A dans lchantillon.

Peut-on, grce cet chantillon, retrouver (en fait simplement estimer) la pro-portion p?

Le rsultat sur les intervalles de fluctuation permet dnoncer la proprit suivante.

Supposons une population dont une partie A est en proportion : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un

individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p). Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que de taille n, la

frquence f des individus de A dans lchantillon est telle que :

p fn

fn

+

1 1; .

Cet intervalle est souvent appel

Proprit

Supposons une population dont une partie A est en proportion inconnue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p). Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que pour 95% de ces chantillons de taille n, la

frquence f des individus de A dans lchantillon est telle que :

p fn

fn

+

1 1; .

Cet intervalle est souvent appel fourchette de sondage au seuil

de 95%.


36 Squence 8 MA20

La dmonstration de ce rsultat est assez simple.

Pour 95% des chantillons de taille n on a : n f pn

pn

+

1 1; .

Cest--dire : pn

f pn

+1 1

.

La premire ingalit, pn

f 1

, quivaut p fn

+1

.

La deuxime ingalit, f pn

+1

, quivaut fn

p 1

.

Ce qui nous donne bien : fn

p fn

+1 1

.

Donnons un exemple type de ce genre de situation.

Lors dune campagne lectorale, un sondage portant sur 1024 personnes prises au hasard indique que 528 dentre elles ont lintention de voter pour le candidat A.

Au journal de 20h, le prsentateur du journal affirme : si llection avait lieu aujourdhui le candidat A serait lu avec plus de 51,5% des voix .

A-t-il raison de dire cela ?

Rponse

premire vue, il semble quil ait raison puisque 528

10240 515625= , , soit environ

plus de 51,5%.

DmonstrationDmonstration

1. 0 2 0 8, , pn 25

2. pp

3.

n = 100,1

0 1n

= , . n = 1000,1

0 03n

, .

n = 2500,1

0 02n

= , .

4.

Remarque

On a les mmes remarques que pour lintervalle de confiance.

1. Ce rsultat nest en fait valable que siCe rsultat nest en fait valable que si 0 2 0 8, , p (autrement dit, la (autrement dit, lapartie A est en proportion moyenne dans la population) et si partie A est en proportion moyenne dans la population) et si n 25(autrement dit lchantillon est de taille suffisante ).(autrement dit lchantillon est de taille suffisante ).

2. Ce rsultat signifie quil est rare (5% des cas) de trouver un chantillon Ce rsultat signifie quil est rare (5% des cas) de trouver un chantillondans lequel la frquence de la partie A est telle quedans lequel la frquence de la partie A est telle que p nest pas dans la four-nest pas dans la four-chette de sondage. On pourra donc considrer quechette de sondage. On pourra donc considrer que p est dans la fourchette est dans la fourchettede sondage, avec un risque de se tromper assez faible (5% des cas).de sondage, avec un risque de se tromper assez faible (5% des cas).

3. On peut remarquer que plus la taille des chantillons est grande, plus la On peut remarquer que plus la taille des chantillons est grande, plus lafourchette de sondage est petite.fourchette de sondage est petite.

PourPour n = 100, on a on a1

0 1n

= , . PourPour n = 1000, on a on a1

0 03n

, .

PourPour n = 2500, on aon a1

0 02n

= , .

4. Il existe bien sr des rsultats concernant des fourchettes de sondage Il existe bien sr des rsultats concernant des fourchettes de sondage dautres seuils que 95% (entre autres 90% ou 99%). Nous nen parle-dautres seuils que 95% (entre autres 90% ou 99%). Nous nen parle-rons pas dans ce cours de seconde.rons pas dans ce cours de seconde.

Remarque

ExempleExemple


37Squence 8 MA20

Mais attention, 1024 personnes, a nest pas la population toute entire.

On doit donc plutt considrer que le rsultat donn est celui dun chantillon de taille 1024.

Dans cet chantillon, la frquence f des gens qui pensent voter pour le candidat A est : f = 0 515625, .

La fourchette de sondage au seuil de 95% est donc :

0 5156251

10240 515625

1

1024, , +

; .

Cest--dire : 0 484375 0 546875, ,; . Ce que lon peut dire (et encore, avec un risque de 5% de se tromper !), cest que si llection avait lieu aujourdhui, le pourcentage de voix pour le candidat A serait compris environ entre 48,4% et 54,7%.

On est donc loin de pouvoir affirmer quil serait lu !

Synthse du cours chantillonnage

CC

Supposons une population dont une partie A est en proportion : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ).Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que de taille n, la fr-

quence des individus de A est dans lintervalle pn

pn

+

1 1; .


Proprit

Supposons une population dont une partie A est en proportion connue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ).Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que dans 95% de ces chantillons de taille n, la fr-

quence des individus de A est dans lintervalle pn

pn

+

1 1; .

Cet intervalle est appel intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

partir dune population statistique, on appelle un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel de lchantillon.

Dfinitions

partir dune population statistique, on appelle chantillon un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel la taille de lchantillon.


38 Squence 8 MA20


Exercices dapprentissage

lentranement, un archer touche le centre de la cible 8 fois sur 10. On choisit un tir de cet archer au hasard et on regarde sil touche le centre de la cible .

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 20 tirages.

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 10 chantillons de 20 tirages.

Dans une bote se trouvent trois boules blanches, une rouge et une boule noire.

On tire au hasard une boule dans la bote.

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 20 tirages.

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 10 chantillons de 20 tirages.

On lance deux ds ttradriques ( 4 faces numrotes 1, 2, 3 et 4) et on fait la somme des numros obtenus sur les deux ds.

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 50 lancers.

la calculatrice ou au tableur, faire une simulation de 20 chantillons de 50 lancers.

Quelle loi de probabilit de cette exprience alatoire peut-on imaginer au vu de cette simulation ?

Supposons une population dont une partie A est en propor-tion : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un indi-vidu de A est p ).

Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que de taille n, la frquence f des individus

de A est telle que : p fn

fn

+

1 1; .


Proprit

Supposons une population dont une partie A est en propor-tion inconnue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un indi-vidu de A est p ).

Considrons les chantillons de taille n.On peut tablir que de taille n, la frquence f des individus

de A est telle que : p fn

fn

+

1 1; .

Cet intervalle est souvent appel fourchette de sondage au seuilde 95%.

DDExercice 10Exercice 10




39Squence 8 MA20

Le taux daudience du journal de 20 h dune chane de tlvision a t mesur partir de 1000 appareils installs au hasard chez des tlspectateurs. On a relev une audience de 31%.

Dterminer la fourchette de sondage au seuil de 95% de laudience de cette chane cette heure l.

Une autre chane de tlvision prtend avoir une meilleure audience 20 h en indiquant quun institut de mesure a relev 40% daudience sur 144 appareils installs au hasard chez des tlspectateurs.

Que pensez-vous de cette affirmation ?

On suppose quen moyenne 51% des nouveaux ns sont de sexe masculin.

Dterminer lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de la frquence des garons nouveau ns dans des chantillons de taille 100 pris au hasard.

Dterminer lintervalle de fluctuation au seuil de 95% de la frquence des garons nouveau ns dans des chantillons de taille 132 pris au hasard.

Dans une petite commune, il est n entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 56 garons.

Peut-on considrer, avec 5% de risque, que cette situation est le seul fruit du hasard ?

Au Canada, dans une rserve indienne, il est n entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garons.

Peut-on considrer, avec 5% de risque, que cette situation est le seul fruit du hasard ?

Dans une usine automobile, on contrle les dfauts de peinture de type grains ponctuels sur le capot , invisibles par le client.

Lorsque le processus de fabrication est standard, on a 20 % de vhicules prsen-tant ce type de dfauts.

Lors du contrle alatoire de 50 vhicules, on en observe 26 % prsentant ce type de dfauts (13 sur 50).

Faut-il sinquiter ?

Sur 50 vhicules contrls, partir de combien ayant ce type de dfauts, devrait-on sinquiter ?

On veut tester lefficacit de deux mdicaments pour traiter la mme maladie.

Dans un premier temps on prend au hasard 100 malades que lon traite avec le premier mdicament. On obtient 75 gurisons.

Quelle proportion de malades guris peut-on esprer dans lensemble de toutes les personnes atteintes de cette maladie ?






40 Squence 8 MA20

On prend ensuite au hasard 100 malades que lon traite avec le deuxime mdicament. On obtient 65 gurisons.

Peut-on en dduire que le premier mdicament est plus efficace que le second ?

Dans un deuxime temps on prend au hasard 1024 malades que lon traite avec le premier mdicament. On obtient 755 gurisons. On prend au hasard 1024 malades que lon traite avec le deuxime mdicament. On obtient 690 gurisons.

Peut-on en dduire que le premier mdicament est plus efficace que le second ?


41Squence 8 MA20

TP Obtenir tous les numros dun d

Lobjectif de ce TP est destimer le nombre de lancers ncessaires pour sortir tous les numros dun d cubique.

Pour ce TP, se munir dun d cubique dont les faces sont numrotes de 1 6.

I. Approche du problme

Jeter au hasard le d et noter les numros obtenus dans le tableau suivant:

Lancer n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Numro

a) Avez-vous obtenu tous les numros ? Si oui, au bout de combien de lancers ?

b) Recommencer lexprience en vous arrtant ds que tous les numros sont obtenus (on dira quon a fait une course). Combien de lancers avez-vous ralis (on appellera ce nombre, la longueur de la course).

Effectuez dix courses et rassembler les rsultats dans le tableau:

Course n i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Longueur Li de la course

Parmi les rsultats du tableau:

a) Quelle est la longueur minimale dune course ?

b) La longueur maximale ?

c) La moyenne ?

d) La mdiane ?

II. Simulations

On observe sur les exemples prcdents que la longueur dune course est un nombre alatoire mais que les rsultats obtenus en pratique ne semblent pas totalement dsordonns. Le calcul thorique de la longueur moyenne dune course ncessite des notions mathmatiques dpassant celles tudies en classe de seconde.

4 Algorithmique


42 Squence 8 MA20

Comme cest souvent le cas en probabilits-statistiques, lorsque la rsolution thorique est trop complique on se tourne vers une tude empirique du pro-blme. On souhaite donc observer la moyenne de la longueur dune course sur un chantillon de plus grande taille.

a) On considre lalgorithme suivant :

Faire fonctionner cet algorithme avec les nombres alatoires dj obtenus la question I. b) Remplir le tableau de fonctionnement suivant :

L P P = 0 X L X( ) S

b) La boucle TANT QUE de lalgorithme prcdent sarrtera-t-elle dans tous les cas ?

c) Expliquer la ligne TANT QUE ( )P = 0Remplacer la ligne DANS P METTRE le produit des lments de la liste Lsans utiliser lune des oprations mathmatiques + , , , afin que lalgorithme fonctionne encore.

d) A laide dun compteur, comment remplacer la ligne

DANS S METTRE la somme des lments de la liste L ?

Ecrivez un programme appel SIXFACES de lalgorithme prcdent en langage calcu-latrice. On utilisera avec profit les instructions somme( L1 ) et produit ( L1 ) .

0 0 0 0 0 0, , , , ,{ }P

PX 1 2 3 4 5 6; ; ; ; ;{ }L X( ) L X( )+1

L

S L

S

InitialisationInitialisation

DANSDANS la liste la liste LL METTREMETTRE 0 0 0 0 0 0, , , , ,{ }DANSDANS P METTREMETTRE 0 0

TraitementTraitement

TANTTANT QUEQUE (( P = 0)= 0) DANSDANS X METTREMETTRE un nombre alatoire deun nombre alatoire de 1 2 3 4 5 6; ; ; ; ;{ }

DANSDANS L X( ) METTREMETTRE L X( )+1 DANSDANS PP METTREMETTRE le produit des lments de la liste le produit des lments de la liste LFin_Fin_TANTTANT_que_que

DANSDANS S METTREMETTRE la somme des lments de la liste la somme des lments de la liste LSortieSortie

AFFICHERAFFICHER S


43Squence 8 MA20

Excuter le programme prcdent pour effectuez dix courses et rassembler les rsultats dans le tableau :

Course ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Longueur Li de la course

a) On considre lalgorithme suivant :

Que fait cet algorithme ?

b) Ecrivez un programme appel MC de lalgorithme prcdent en langage cal-culatrice.

c) Excuter ce programme avec les entres

1. N = 10 2. N = 30 3. N = 100

Quobserve-t-on ?

N

T

k

T T S+

M T N/

M

EntreEntreUn entierUn entier N

InitialisationInitialisationDANSDANS T METTREMETTRE 0 0

TraitementTraitementPOURPOUR k DE 1DE 1 NN

EXCUTEREXCUTER le programme le programme SIXFACES SIXFACES

DANSDANS T METTREMETTRET S+Fin_Fin_POURPOURDANSDANS M METTREMETTRE T N/

SortieSortieAFFICHERAFFICHER M


44 Squence 8 MA20

Runion et intersection dvnements


Utilisation darbres pondrs

On appelle de deux vnements A et B, et on note A B,lvnement form de de A et de de B.

On appelle de deux vnements A et B, et on note A B ,lvnement form de toutes les issues A et B.

Dfinition

On appelle runion de deux vnements A et B, et on note A B,lvnement form de toutes les issues de A et de celles de B.

On appelle intersection de deux vnements A et B, et on note A B ,lvnement form de toutes les issues communes A et B.

Lors dune exprience alatoire, la runion de deux vnements A et B vrifie : p p p p(A B) (A) (B) (A B). = +

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement et celle de lvnement contraire Avrifient :

p p(A) (A).= 1

Proprits

Lors dune exprience alatoire, la runion de deux vnements A et B vrifie : p p p p(A B) (A) (B) (A B). = +

Lors dune exprience alatoire, la probabilit dun vnement A et celle de lvnement contraire Avrifient :

p p(A) (A).= 1

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par un .La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

Proprits

Lorsquune exprience alatoire est compose de deux preuves (ou plus), on peut la reprsenter par un arbre pondr.La probabilit de chaque issue sobtient alors en multipliant les pro-babilits rencontres sur le chemin qui mne cette issue.

5 Synthsede la squence


45Squence 8 MA20

chantillonnage


A partir dune population statistique, on appelle un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel de lchan-tillon.

Dfinitions

A partir dune population statistique, on appelle chantillon un sous-ensemble de cette population obtenu par prlvement alatoire.

Le nombre dindividus de lchantillon est appel la taille de lchan-tillon.


dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ). Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que de taille n, la

frquence des individus de A dans lchantillon est dans lintervalle

pn

pn

+

1 1; .


Proprit

Supposons une population dont une partie A est en proportion connue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ). Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que dans 95% de ces chantillons de taille n, la

frquence des individus de A dans lchantillon est dans lintervalle

pn

pn

+

1 1; .

Cet intervalle est appel intervalle de fluctuation au seuil de 95%


dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ). Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que de taille n, la frquence f des individus de A dans lchantillon est telle que :

p fn

fn

+

1 1; .


Proprit

Supposons une population dont une partie A est en proportion incon-nue : p (on peut aussi dire que, si lon tire au hasard un individu dans la population, la probabilit dobtenir un individu de A est p ). Considrons les chantillons de taille n.

On peut tablir que pour 95% de ces chantillons de taille n, la frquence f des individus de A dans lchantillon est telle que :

p fn

fn

+

1 1; .

Cet intervalle est souvent appel fourchette de sondage au seuil de 95%.


46 Squence 8 MA20

Dans une bote se trouvent cinq cartes sur lesquelles sont marqus les nombres 5 3 1 2 6; ; ; ; .

On tire une carte au hasard dans la bote, on la remet dedans, et on en tire au hasard une deuxime. On sintresse aux deux vnements :

S " la somme des deux nombres est positive= "" et

P " le produit des deux nombres est positif= ".


Calculer les probabilits des vnements S, P, S P , et S P .

Reprendre ces questions si lon ne remet pas la premire carte tire dans la bote avant de tirer la deuxime.

Dans un porte-monnaie se trouvent une pice de 2 , une pice de 1 et deux pices de 50 centimes dEuro que lon peut diffrencier (par exemple de deux pays distincts).

On prend au hasard une pice dans le porte-monnaie, puis, sans la remettre dedans, on prend, encore au hasard, une deuxime pice.

Dcrire tous les tirages possibles, en tenant compte de lordre dans lequel on a pris les pices, et la loi de probabilit de cette exprience alatoire.

Calculer la probabilit davoir deux pices de mme valeur.

Calculer la probabilit davoir deux pices de mme couleur (les pices de 1 et 2 sont de mme couleur).

Calculer la probabilit davoir deux pices de couleurs diffrentes.

Calculer la probabilit davoir une somme de 1 .

Calculer la probabilit davoir une somme de 2 .

Calculer la probabilit davoir une somme suprieure ou gale 1,50 .

Dans une premire bote se trouvent huit boules dont une blanche. Dans une deuxime bote se trouvent six boules dont une blanche.

Un jeu consiste lancer une pice quilibre, puis tirer au hasard une boule dans la premire bote si lon a obtenu Pile, ou dans la deuxime bote si lon a obtenu Face.

Exercice IExercice I

Exercice IIExercice II

Exercice IIIExercice III

6 Exercicesdapprofondissement


47Squence 8 MA20

Reprsenter cette exprience alatoire par un arbre pondr.

En dduire la probabilit de tirer une boule blanche.

Alice coute un CD de 12 titres sur lequel 2 titres sont ses prfrs. Elle utilise le mode alatoire, cest--dire un mode de lecture o chaque titre est choisi au hasard parmi ceux qui nont pas encore t couts (un titre ne peut donc pas tre rejou tant que les 12 titres nont pas t jous).

Quelle est la probabilit que le premier titre soit lun de ses prfrs ?

Si le premier titre nest pas lun de ses prfrs, quelle est la probabilit que le premier titre suivant soit lun de ses prfrs ?

On sintresse aux trois premiers titres jous, et au fait que chacun soit ou non lun des prfrs dAlice. A laide dun arbre pondr, reprsenter cette exp-rience alatoire et dterminer la probabilit quil y ait au moins un des titres prfrs dAlice parmi ces trois titres.

Bob prtend Alice quavec un lecteur MP3 sur lequel seraient enregistrs 10 albums de 12 titres, elle aurait plus de chances davoir un de ses titres prfrs parmi les trois premiers couts.

On suppose quAlice a 2 titres prfrs par album, et quelle couterait sa musi-que avec le mme mode alatoire avec un lecteur MP3.

Si Alice suit le conseil de Bob, quelle est la probabilit que le premier titre cout soit lun de ses prfrs ?

Quelle est la probabilit quil y ait au moins un de ses titres prfrs parmi les trois premiers titres jous ?

Que pensez-vous du conseil de Bob ?

On lance trois ds ttradriques normaux et on note la somme des trois numros.

Dcrire lensemble des issues possibles. Y a-t-il quiprobabilit ?

A laide dune simulation, sur calculatrice ou tableur, de 500, 1000 et 5000 rpti-tions de lexprience, dterminer une approximation de la loi de probabilit.

On veut rpondre la question suivante : quand on prend au hasard deux points sur un segment de longueur 1, quelle est la probabilit que la distance entre ces deux points soit suprieure 0,5.

A laide dun tableur, simuler le tirage alatoire de deux points dabscisse comprise entre 0 et 1, et calculer leur distance.

Sur la mme feuille de calcul, simuler 100 tirages, 300, 500.

Pour chaque simulation, dterminer la frquence des tirages donnant une dis-tance suprieure 0,5.

Estimer alors la probabilit cherche.

Exercice IVExercice IV

Exercice VExercice V

Exercice VIExercice VI


48 Squence 8 MA20

Un sondage effectu au hasard sur 400 personnes en ge de voter, en donne 144 favorables au rtablissement de la peine de mort.

Donner la fourchette de sondage au seuil de 95% de la proportion p des per-psonnes favorables au rtablissement de la peine de mort dans la population.

Un deuxime sondage effectu au hasard sur 625 personnes en ge de voter, en donne 175 favorables au rtablissement de la peine de mort.

Ce rsultat est-il compatible avec le prcdent ?

Si ces deux sondages font partie de ceux dont la fourchette de sondage contient la proportion p , donner un encadrement de cette proportion.

En 1976 au Texas, un habitant dun comt du sud fut condamn huit ans de prison.

Il attaqua ce jugement au motif que la dsignation des jurs de ce comt tait discriminante lgard des Amricains dorigine mexicaine. Lors dune certaine priode, sur les 870 personnes convoques pour tre jurs, il ny eut que 339 personnes dorigine mexicaine.

Sachant que 79,1% de la population de ce comt tait dorigine mexicaine, peut-on considrer que la rclamation de cet habitant tait fonde ?

Au premier tour des lections prsidentielles de 2002, une surprise de taille sest produite : L. Jospin, avec 16,18% des voix a t devanc par J.-M. Le Pen, avec 16,86% des voix, alors que les sondages donnaient Jospin en tte avec 18% des voix contre 14 % pour Le Pen.

Dans le journal Le Monde le statisticien Michel Lejeune crivait alors :

Pour les rares scientifiques qui savent comment sont produites les estimations, il tait clair que lcart des intentions de vote entre les candidats Le Pen et Jospin rendait tout fait plausible le scnario qui sest ralis. []. Si lon se rfre un sondage qui serait effectu dans des conditions idales [...], on obtient sur de tels pourcentages une incertitude de plus ou moins 3 % tant donn la taille de lchantillon [...].

Si lon se rfre cet article, quelle est, environ, la taille des chantillons utili-ss dans ces sondages (au seuil de 95%) ?

Donner alors les deux fourchettes de sondage au seuil de 95% pour les deux candidats, et conclure.

Exercice VIIExercice VII

Exercice VIIIExercice VIII

Exercice IXExercice IX


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Al7ma20tepa0111 Sequence 08