UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA ___________________________________________________________________

INDIRIZZO SCUOLA PRIMARIA

Alcune considerazioni sperimentali su Area e Perimetro nella scuola primaria

Tesi di Laurea: Relatore: Pecoraro Antonino Ch. mo Professore Matricola 0435874 Filippo Spagnolo

Anno Accademico 2008/2009

1  

Indice Introduzione ....................................................................................................................... 3 CAPITOLO I ..................................................................................................................... 6 

Notizie storiche ......................................................................................................................... 6 

CAPITOLO II .................................................................................................................. 12 Rappresentazioni Epistemologiche dei concetti di area e perimetro negli ultimi 50 anni ...... 12 

2.1 Analisi dei testi di scuola primaria ..................................................................... 12 

2.2 Analisi dei testi di scuola secondaria di I grado ................................................. 20 

2.3 Analisi dei testi di scuola secondaria di II grado ............................................... 29 

CAPITOLO III ................................................................................................................ 34 Presentazione del lavoro sperimentale .................................................................................... 34 

3.1 La scuola ............................................................................................................ 34 

3.2 Articolazione del lavoro sperimentale .............................................................. 35 

3.3 Scopi dei gruppi di schede proposte ................................................................... 42 

3.4 Scopi del I gruppo di schede .............................................................................. 43 

3.5 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo di schede proposte (I tipologia) ................................................................................................ 47 

3.6 Osservazioni finali ............................................................................................. 50 

3.7 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo di schede proposte (II tipologia) .............................................................................................. 58 

3.8 Osservazioni finali ............................................................................................. 61 

3.9 Scopi del II gruppo di schede ............................................................................. 65 

3.10 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo gruppo di schede proposte (I tipologia) .................................................................................... 69 

3.11 Osservazioni finali ........................................................................................... 72 

3.12 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo gruppo di schede proposte (II tipologia) ................................................................................... 79 

3.13 Osservazioni finali ........................................................................................... 82 

3.14 Scopi del III gruppo ......................................................................................... 85 

3.15 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del terzo gruppo di schede proposte .................................................................................................................... 89 

3.16 Osservazioni finali ........................................................................................... 91 

3.17 Scopi del IV gruppo di schede ......................................................................... 93 

2  

3.18 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quarto gruppo di schede proposte .................................................................................................................... 97 

3.19 Osservazioni finali ......................................................................................... 100 

3.20 Scopi del V gruppo di schede ......................................................................... 101 

3.21 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quinto gruppo di schede proposte .................................................................................................................. 105 

3.22 Osservazioni finali ......................................................................................... 107 

Conclusioni e problemi aperti ....................................................................................... 108 Allegati .......................................................................................................................... 110 Bibliografia .................................................................................................................... 129 Sitografia ....................................................................................................................... 130 

3  

Introduzione

La presente tesi è frutto di un lavoro di ricerca e sperimentazione incentrato sui

concetti di area e perimetro.

I motivi che mi hanno portato alla scelta di un argomento di geometria e, in

generale, di matematica nascono dal fatto che l'educazione matematica contribuisce a

una formazione culturale della persona, in modo da consentirle di partecipare alla

vita sociale con consapevolezza e capacità critica. In particolare, la matematica dà

strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili

nella vita quotidiana, inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e

discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le

argomentazioni degli altri. La conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primo

luogo di quello matematico, si rivela sempre più essenziale per l'acquisizione di una

corretta capacità di giudizio. Per questo la matematica concorre, insieme con le

scienze sperimentali, alla formazione di una dimensione culturale scientifica.

Come è ben noto però la matematica, tra le discipline scolastiche, è quella che

produce tra gli studenti di ogni ordine di scuola il maggior numero di difficoltà

nell’acquisire con chiarezza i concetti propri della disciplina.

La mia ricerca sperimentale ha avuto inizio dalle seguenti domande di ricerca:

• I concetti di area e perimetro sono tra loro indipendenti negli alunni di

scuola primaria?

• La conoscenza delle formule incide sulla conoscenza di area e

perimetro?

Per rispondere a queste domande, ho organizzato, sperimentato e analizzato un

lavoro didattico, volto ad approfondire i concetti di perimetro e area, mettendo in

luce le differenze tra i due, corredando ogni spiegazione con esempi di natura pratica

e situazioni problematiche tratte dalla vita reale, accattivanti e stuzzicanti.

Prima di verificare quanto detto, mi sono documentato su come vengono

affrontati questi concetti nei libri di testo di scuola primaria e secondaria di I e II

grado, in modo da constatare l’evoluzione dei medesimi nei diversi ordini di scuola,

mettendo a confronto testi di periodi differenti per stabilire se, nel tempo, il modo di

introdurli, esaminarli e illustrarli abbia subito un mutamento.

4  

Questa indagine svolta mi ha offerto ottimi spunti di riflessione per

l’impostazione del mio lavoro sperimentale. Dal confronto tra i testi di scuola

primaria presi in esame, consultando alcuni libri consigliati dal mio relatore,

professore F. Spagnolo, che mi ha seguito per tutto il lavoro, e da ricerche effettuate

su siti internet, ho maturato l’idea che sia di grande importanza, quando si affronta

anche un argomento apparentemente semplice come quello relativo ai concetti di

perimetro e area, partire da problemi di natura pratica per poi pervenire in maniera

quasi naturale alla definizione dei due concetti. A tal proposito ricordo, infatti, che i

concetti di area e perimetro affondano le proprie radici nell’esigenza di popoli

antichissimi di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura dell’estensione

delle loro terre e, dunque, partendo da un problema di natura pratica è quasi come

offrire ai bambini l’opportunità di poter giungere all’acquisizione dei due concetti

seguendo l’iter storico che ha portato alla loro affermazione.

Il lavoro di tesi è stato suddiviso nel modo seguente:

• Nel I capitolo ho analizzato lo sviluppo storico che sta alla base della nascita

della geometria, in generale, e dei concetti di area e perimetro, in particolare,

che, come ho già accennato sopra, si sono affermati a partire dall’esigenza di

antichi popoli di stabilire regole per la misura dei campi.

• Nel II capitolo ho riportato le considerazioni tratte dalla comparazione dei

libri di testo dei diversi ordini di scuola negli ultimi 50 anni.

• Nel III capitolo ho illustrato il lavoro sperimentale svolto in classe. In esso ho

riportato le schede adoperate sia per una prima verifica dei concetti, durante il

pre-test, sia a conclusione del mio lavoro. Il tutto è corredato da grafici

illustrativi che mettono in luce gli esisti del mio operato, ponendo a confronto

l’idea maturata dai bambini in merito ai due concetti prima e dopo il mio

intervento. Le schede utilizzate sono state suddivise per gruppi, e all’interno

del capitolo ho evidenziato anche gli scopi che mi sono proposto per i singoli

gruppi di schede. Per ciascuno di questi gruppi ho effettuato l’analisi a-

priori. Essa, mediante l’individuazione di strategie e comportamenti attesi

dagli alunni, chiarisce e motiva le scelte metodologiche degli insegnanti e,

pertanto costituisce uno degli strumenti più efficaci per la costruzione di

percorsi di insegnamento/apprendimento significativi, rispetto ai contenuti

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scelti, alle competenze da attivare, alle attività da realizzare e alle verifiche da

effettuare. In questo capitolo ho inserito anche un simpatico problema di

natura pratica, che mi è stato molto utile per far acquisire ai bambini il

concetto di area nel caso di figure dal contorno poligonale ma non regolare.

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CAPITOLO I

Notizie storiche

La ricerca in didattica della matematica ci ha insegnato che quando si deve

affrontare la didattica di un certo argomento, è necessario in modo preliminare

prendere confidenza con la sua storia.

Certo, dietro questo suggerimento, ci sono motivazioni culturali: dominare un

argomento nella sua evoluzione storica ci permette di conoscerlo meglio, più a

fondo, dunque in modo critico, più consapevole.

Una storia di area e perimetro si perde nell’antichità più remota, poiché problemi

sulla misura di contorni di figure (appezzamenti di terreno, piante di palazzi ecc. o

anche semplici figure) e delle loro aree appaiono sia su tavole sumere, fin dal 3000

a.C., sia su papiri egizi fin dal 2000 a.C.

Per esempio, vi sono tavolette sumere nelle quali si chiede di determinare l’area

di un quadrato data la misura della sua diagonale; oppure quella di un esagono

regolare dato il lato. Così come, vi sono papiri egizi, anche del 1800 a.C. e perfino

precedenti, nei quali sono proposti problemi analoghi frequentemente legati ad

appezzamenti di terreno. Per esempio, nel Papiro di Ahmes vi sono alcuni problemi

geometrici. Il problema 51 mostra che l’area di un triangolo isoscele veniva trovata

prendendo la metà di quella che noi chiameremmo la base e moltiplicandola per

l’altezza. Ahmes giustificava il proprio metodo di trovare l’area osservando che il

triangolo isoscele poteva venire concepito come formato da due triangoli rettangoli ,

uno dei quali poteva venire spostato in modo che insieme i due triangoli formassero

un rettangolo.

Regole per la determinazione di perimetri e di aree di date figure sono rintracciabili

su molti di questi straordinari documenti.

La parola geometria deriva dal greco “gheometrìa”, misura della terra (gheo =

terra, metron = misura).

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Il senso etimologico della parola geometria è da ricercarsi nell’esigenza di

popoli antichissimi di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura

dell’estensione delle loro terre.

Tale termine fu usato per la prima volta da Erodoto, il padre della storia, che

riteneva che la geometria fosse nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C.,

per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno

venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo.

Si racconta che la fertile regione solcata dal Nilo fosse divisa in tanti

appezzamenti assegnati all’uno o all’atro contadino; questi campi avevano circa la

stessa area ed era una gara fra i vari contadini il far rendere di più il proprio terreno.

Un campo era separato dall’altro da solchi, ma le piene del Nilo distruggevano con le

acque i limiti fra campo e campo, si doveva così ogni volta, dopo il ritiro delle acque,

procedere ad una nuova divisione in parti equivalenti, cioè in parti di uguale area. Il

problema non era semplice poichè per dividere un terreno in tante parti equivalenti

occorreva conoscere delle regole per il calcolo delle aree delle varie figure.

Gli antichi Egizi cercarono queste regole, ecco perché si dice che l’Egitto è la

culla della geometria

D’altro canto è assodato che ancor prima altri popoli, come per es. gli Assiro-

Babilonesi, ebbero spiccate cognizioni di geometria, oltre che di aritmetica.

Gli Assiro-Babilonesi abitavano in Mesopotamia, la vasta pianura che ha per

confini naturali i due fiumi Tigri ed Eufrate, che attualmente si può identificare con

l’Iraq. Centro della loro vita politica e culturale era l’antichissima Babilonia. Essi,

profondi cultori di Astronomia, erano abbastanza progrediti nelle cognizioni

geometriche. Infatti, parallele, quadrati, triangoli, angoli retti s’incontrano fra le

materie della civiltà babilonese; inoltre è certo che quei popoli della Mesopotamia

erano in grado di calcolare con precisione aree di quadrati, di rettangoli, di triangoli

rettangoli e persino di trapezi, mentre per determinare l’area del cerchio si servivano

del valore π = 3. Presso gli Egiziani però si riscontravano più vaste e più profonde

cognizioni matematiche, in gran parte raccolte nel famoso Papiro Rhind (2000 a. C.

circa) di contenuto aritmetico-geometrico. Ma, tanto presso gli Assiro-Babilonesi,

quanto presso gli Egiziani le conoscenze matematiche servivano a scopi

principalmente pratici, che riguardavano sostanzialmente la divisione di terreni.

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Spetta ai Greci, a partire da Talete di Mileto e Pitagora di Samo, fondatore della

famosa scuola pitagorica a Crotone (540 a. C. circa), che forse fu allievo di Talete, il

merito di aver elevato la matematica a dignità di scienza.

Tra i matematici greci precedenti ad Archimede (287-212 a.C.) che più contribuirono

a dimostrare formule per il calcolo di aree e volumi (per i perimetri, le formule sono

solitamente banale frutto dell’intuizione oltre a Talete di Mileto (624?-548? a.C.),

Pitagora di Samo (580?-500? a.C.), si distinsero anche Democrito di Abdera (nato

attorno al 460 a.C.), Euclide di Alessandria (IV-III sec. a.C.), Erone di Alessandria

(III-II sec. a.C.).

A Democrito di solito si da il merito, per esempio, di aver trovato la formula per

il calcolo del volume della piramide; in verità, indicazioni di dividere per tre il

prodotto di “area di base” per altezza relativa circolavano già sui papiri egizi.

A questo periodo di grande splendore della matematica greca, seguì un periodo

di minor impegno nello studio della geometria, dovuto a varie causa sociali; lo studio

della geometria riprese vigore intenso solo durante il XV sec., in pieno rinascimento.

Nel medioevo i bisogni culturali in geometria erano soddisfatti da testi scritti in

volgare molto in voga che andavano sotto il nome di Geometria pratica ad uso di

geometri, manovali, funzionari dello stato, capomastri, perfino architetti.

Ma non sempre le opere erano pregevoli o corrette.

Per esempio, nella Pratica di geometria e tutte misure di terre di Tommaso della

Gazzaia, è stata trovata la seguente indicazione data ai notai e ai contadini per

misurare l’area di campi a forma di parallelogramma: “ […] multiplicare l ampiezza

contra la lunghezza cioe 37 via 89 fanno 3293 e tante channe quadre e tutto quello

terreno cioe 3293 e chosi di qualunque misura noi avessimo detto sempre moltiplica

l ampiezza contra la lunghezza ed avrai lo quadro di qualunque quantitade o misura

si fosse detto”; indicazione alquanto maldestra che ci dice qual era, a volte, la

“competenza” popolare dell’epoca.

Ritornando al Rinascimento, sebbene le conoscenze matematiche su tali temi

potessero sembrare ampiamente conquistate, di fatto non erano diffuse neppure tra le

persone colte. Un esempio molto significativo lo troviamo nell’opera di Galileo

Galilei Discorsi intorno a due nuove scienze attenenti alle meccanica e i movimenti

locali, che pubblicò nel 1638 e che tanta polemica produsse negli anni seguenti.

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Nella prima giornata si trova enunciata la seguente affermazione di Sagredo, uno

dei tre “interlocutori” protagonisti del dialogo:

[…] ignorando che può essere un recinto eguale a un altro, e la piazza contenuta da

questo assai maggiore della piazza di quello: il che accade non solamente tra le

superfici irregolari, ma [anche] tra le regolari, delle quali quelle di più lati son

sempre più capaci di quelle di manco lati, sì che in ultimo il cerchio, come poligono

di lati infiniti, è capacissimo sopra tutti gli altri poligoni di ugual circuito; di che mi

ricordo averne con gusto particolare veduta la dimostrazione studiando la sfera del

Sacrobosco con un dottissimo commentario sopra. (Qui, galileo si riferisce all’opera

La Sfera di Jhon di Holywood, cosmografo inglese del XIII sec., noto con lo

pseudonimo di Sacrobosco; si tratta di un testo di astronomia popolare, un

antesignano di divulgazione scientifica di grande pregio. Il sacro bosco fu anche

traduttore di ottimo livello di opere matematiche antiche).

Galileo ci offre due riflessioni sul tema a noi caro:

• Nella seconda afferma che tra tutte le figure piane di ugual misura di

contorno, il cerchio è quella di area massima;

• Nella prima afferma che non vi sono relazioni necessarie tra area e perimetro;

possiami forzare un po’ la mano a Galilei e proporre un <<problema delle

piazze del paese>> che afferma in modo più esplicito la sua frase, in maniera

problematica: “Un paese ha due piazze A e B; il perimetro della piazza A è

maggiore del perimetro della piazza B; quale delle due piazze ha area

maggiore?”.

Ovviamente una risposta non c’è, ma molti rispondono “A”, per una falsa

relazione che ritengono necessaria: maggior perimetro maggior area.

Galileo sembra essere sarcastico nei confronti di coloro, colti e ignoranti,

scienziati e artisti, che tendono a rispondere “A”. La reazione di Galileo è

significativa ma i risultati della ricerca, mostrano che non molto è cambiato dopo

quasi 5 secoli.

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Detto qualcosa sulla storia, esistono famose leggende che hanno a che fare con

le relazioni tra perimetro e area, come quella di Didone e della fondazione di

Cartagine, in cui si nota un’opposizione tra l’idea di area e quella di perimetro.

La mitica Cartagine, nell’attuale golfo di Tunisi, fiera oppositrice dello

strapotere romano, fu abitata da grandi esploratori, commercianti, più volte distrutta

dai Romani, dai Vandali, dagli Arabi …

Come, quando, da chi fu fondata Cartagine? Narra la leggenda (ci sono sempre

leggende alla base di fondazioni mitiche di città storicamente decisive) che ciò

accadde nell’814 a.C. da una colonia di Fenici di Tito, con a capo la bella Didone.

Narra dunque la leggenda, in una delle sue molteplici forme, che Didone, figlia

del re di Tito, moglie di Sicheo, bella e intelligente, aveva accumulato una grande

ricchezza che faceva gola al cognato Pigmalione; questi tramò, uccise Sicheo (e forse

il re, padre di entrambi) e s’impossessò delle ricchezze. Didone riuscì a fuggire con

una nave carica di gioielli, insieme ad alcuni fidati amici.

Giunse sulle sponde settentrionali dell’Africa e chiese ospitalità al re di

Numidia, il famoso Iarba. Questi, commosso dal triste racconto della naufraga e

sconvolto dalla sua bellezza, decise di regalarle un appezzamento di terreno, per

fondarvi un villaggio. La principessa chiese: “Iarba, non voglio approfittare della tua

generosa ospitalità, solo ti chiedo tanta terra quanta ne può cingere una pelle di bue”.

Commosso da una richiesta tanto contenuta, Iarba acconsentì senza indugi …

Ma Didone era evidentemente versata nelle cose matematiche perché … che

cosa vuol dire cingere?

Nella versione immaginata da Iarba, cingere significa prendere una pelle di bue,

ricoprire la terra e considerare quella superficie come proprietà di Didone.

Didone, invece, aveva in mente tutt’altra interpretazione geometrica. Fece tagliare la

pelle in strisce sottilissime, a mò di corda; e fece cingere un grande appezzamento di

terra usando la corda per individuarne per individuarne il contorno.

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Nella prima interpretazione, domina l’idea di area, nella seconda quella di

perimetro.

Orbene, racconta la storia che il povero Iarba, per non fare la figura dell’ingenuo,

accettò di buon grado di concedere l’inatteso munifico regalo. Ma, ora, come Didone

doveva far cingere il terreno in modo tale da poter fondare oltre che un villaggio, una

grande, poderosa città?

La cosa più conveniente per Didone era quella di disporre questa corda di pelle

di bue a forma di circonferenza per ottenere il massimo della terra possibile (infatti

tra le figure geometriche di uguale perimetro quella che ha maggiore area è il

cerchio).

Così, per l’appunto fece Didone. Anzi, siccome la stupenda matematica principessa

fenicia era davvero intelligente, prese in realtà un semicerchio che aveva come

diametro la riva. Così ricavò anche un potente porto che, sappiamo, diede lustro alla

storia del Mediterraneo e … tante gatte da pelare a Roma.

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CAPITOLO II

Rappresentazioni Epistemologiche dei concetti di area e perimetro

negli ultimi 50 anni  

In questa sezione, mi sono preoccupato di trascrivere le considerazioni che ho

tratto svolgendo un’indagine sui libri di testo scolastici della scuola primaria,

secondaria di I° e II° grado, recenti e del passato, allo scopo di vedere come vengono

introdotti, esaminati e illustrati i concetti di area e perimetro.

2.1 Analisi dei testi di scuola primaria Analizzando alcuni testi di scuola primaria, ci si può rendere conto della

notevole importanza che riveste il ruolo del linguaggio iconico, in questa fase di

sviluppo del pensiero del bambino.

I concetti di area e perimetro vengono, infatti, corredati da una grande quantità

di immagini colorate.

Va detto, comunque, che questo aspetto risulta ancora più evidente nei libri di

recente edizione.

Sfogliando il testo INCONTRI edizione Cetem, del 1968, si può notare una

modesta presenza di figure illustrative che accompagnano i concetti, espressi per lo

più in forma discorsiva.

In questo caso, le immagini sono schematiche e ridotte all’essenziale, limitandosi

a rappresentare, quasi esclusivamente, figure geometriche e costituendo quasi un

accessorio del messaggio, che viene trasmesso prevalentemente per iscritto. Questa

semplicità tipografica, scarna di colori e di immagini, se da una parte può attirare

poco l’attenzione di un bambino, dall’altra permette di focalizzare subito

l’argomento, presentato in modo immediato, dopo la definizione dei poligoni, nel

seguente modo:

• La somma della misura dei lati di un poligono si dice perimetro.

• La misura della superficie di un poligono si dice area.

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A queste definizioni seguono svariati esercizi proposti per la misura del

perimetro delle diverse figure geometriche.

Per quanto riguarda, invece, il calcolo dell’area, prima di passare agli esercizi,

viene aperta una parentesi sulla unità di misura per le superfici, facendo notare che

misurare una superficie vuol dire calcolare quante volte una unità di misura per le

superfici è contenuta in quella superficie. Vengono poi definiti il centimetro

quadrato come un quadrato di lato 1 cm, il decimetro quadrato come un quadrato di

lato 1 decimetro e il metro quadrato come un quadrato di lato 1 metro, pervenendo

alla definizione del metro quadrato (m2) come unità principale di misura delle

superficie e specificando che il decimetro quadrato e il centimetro quadrato sono

sottomultipli del metro quadrato e che i multipli sono il decametro quadrato,

l’ettometro quadrato e il kilometro quadrato.

A questo punto, vengono proposti una serie di esercizi e problemi sul calcolo

dell’area, suddivisi, anche in questo caso, per categoria di figure.

Il secondo testo che ho preso in esame è una ristampa del 1983 del libro LA

NUOVA MATEMATICA di A. Uberti Gotti- M. L. Uberti Cervini, edito da

Signorelli Milano, nel 1972.

Questo testo risulta ancora meno colorato del precedente, utilizzando soltanto il

nero e il rosso per le illustrazioni, che, anche in questo caso, sono essenzialmente di

natura geometrica.

Il perimetro viene introdotto dopo avere definito ampiamente i poligoni nel

seguente modo: trovare il perimetro significa trovare la lunghezza totale dei lati di

un poligono.

A seguire, vengono proposti alcuni esercizi sulla misura del perimetro di diverse

figure geometriche illustrate, richiedendo dapprima al bambino di misurare

direttamente col righello i lati dei poligoni. Quando viene affrontato il problema della

misura del perimetro dei poligoni regolari si fa constatare al bambino, prendendo in

considerazione ad esempio un quadrato di lato 4 cm, che se voglio misurarne il

perimetro, posso fare cm 4 + cm 4 + cm 4 + cm 4 = cm 16, ma per fare più in fretta è

preferibile fare cm (4 * 4) = cm 16. Sulla scia di questo esempio vengono proposti

alcuni esercizi per poi passare a esercizi di natura inversa, nei quali si richiede,

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invece, di trovare il lato di alcuni poligoni regolari, conoscendo il perimetro, cosa

che non ho riscontrato nel testo precedente.

L’argomento si conclude assegnando ai bambini il compito di misurare il

perimetro della propria aula.

Prima di passare a trattare l’area gli autori si soffermano sul concetto di superfici

equivalenti con esercizi del tipo:

• Costruisci tutte le figure possibili che contengono 4 quadrati come questo

• Esempio

Dopo avere invitato il bambino a continuare, vengono poste le seguenti domande:

• Le figure che hai disegnato occupano la stessa superficie?

• Hanno la stessa forma?

In questo modo il bambino viene avviato a una prima riflessione sul concetto di

superficie e sul fatto che due superfici sono equivalenti non quando hanno la stessa

forma, bensì quando hanno la stessa estensione. Dopo avere proposto ancora alcuni

esercizi sull’equivalenza dei poligoni viene data la definizione di area come misura

di una superficie, dicendo che trovare l’area di una superficie significa sapere

quante volte un’unità di misura da me scelta è contenuta in quella superficie.

Successivamente viene fatto notare che per misurare l’area di una figura

possiamo contare i quadrati unità, mediante il seguente esempio:

• Se prendo come unità di misura questo quadrato l’area di questa

figura è di 6 quadrati unità:

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Dopo aver proposto due esercizi di questo tipo, vengono introdotte le misure di

superficie e, dunque il metro quadrato con i suoi multipli e sottomultipli. La loro

definizione è data essenzialmente come nel testo già analizzato; in questo caso,

inoltre, per alcune unità di misura vengono proposti degli esempi per far acquisire

consapevolezza circa gli ordini di grandezza cui riferirle.

Per esempio nel caso del km2 viene specificato che si usa per misurare la

superficie di una regione, di uno Stato, nel caso dell’ hm2 che si usa per misurare la

superficie dei terreni, dei boschi, dei prati, aggiungendo che si scrive anche ha

(ettaro) quando si misurano superfici di terreno. Continuando, gli autori procedono

analogamente per il dam2 e il m2, mentre per i sottomultipli viene invitato il bambino

a riflettere e continuare da solo. Successivamente vengono proposte delle attività

sulle misure approssimate per stimolare il bambino a formarsi un’idea concreta circa

l’ordine di grandezza delle unità di misura, in particolare il bambino viene posto

davanti a un elenco di oggetti delle più svariate forme e dimensione e gli si chiede

per ciascuno di essi se misura più, meno o circa un metro. Gli esercizi che seguono

continuano su questo filone, scendendo più nel particolare e chiedendo, ad esempio,

quanti cm2 ci sono in un dm2 e così via. Queste attività vengono illustrate da

immagini, che aiutano il bambino a realizzare l’idea di quanto misuri concretamente,

ad esempio, un cm2 e a capire il rapporto esistente tra le varie unità di misura.

Successivamente si entra nel vivo del calcolo dell’area, proponendo dei problemi

illustrati da figure, nei quali si richiede di determinare l’area dei poligoni, che

vengono suddivisi in cm2. Questo tipo di ragionamento risulta immediato per figure

quali il quadrato o il rettangolo, facilmente scomponibili in quadratini di lato 1 cm,

ma risulta meno scontato per figure quali il parallelogramma, il triangolo o il

trapezio. In questi casi, le figure in oggetto vengono dapprima scomposte mediante

poligoni noti per poi procedere a ricavare anche per questi la formula per il calcolo

dell’area.

Col trascorrere degli anni i libri si fanno più colorati e illustrati, come nel caso

del sussidiario del 1989 della fabbri editori, dal titolo IN DIRETTA DAL MONDO.

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In questo testo, oltre a raffigurazioni di natura prettamente geometrica (es. poligoni,

angoli), si riscontrano anche illustrazioni che accompagnano spiegazioni teoriche o

che affiancano il testo di un problema, anche se questo aspetto rimane ancora

marginale, essendo le immagini limitate nel numero e con disegni semplici e poco

accattivanti. Il perimetro delle figure piane viene introdotto in modo immediato e

diretto in questo modo: il perimetro di una figura piana si ottiene sommando la

lunghezza dei lati. Aggiungendo che se però si tratta di un poligono regolare, si può

moltiplicare la misura di un lato per il numero dei lati.

Questa breve premessa, viene fatta seguire da una tabella riassuntiva in cui

vengono elencati poligoni regolari e non,

affiancati, ogni volta dalla formula del

perimetro. L’argomento si conclude

brevemente proponendo una decina di esercizi

sull’argomento, disposti in ordine di difficoltà

crescente. Mentre i primi sono, infatti,

abbastanza immediati potendosi risolvere con

la somma dei lati assegnati, gli ultimi tre

essendo posti in modo diverso potrebbero dare

origine a qualche difficoltà, in quanto meno standardizzati e più stimolanti al

ragionamento:

• Attorno a un’aiuola che ha la forma di un triangolo equilatero si piantano 36

tulipani alla distanza di 75 cm l’uno dall’altro. Quanti metri misura il

perimetro di quell’aiuola? E il lato?

• Un orto ha la forma di un trapezio con i lati di 38,5; 27,8; 19; 20,7 m. Viene

recintato con una rete metallica che costa L. 3200 il metro. Calcola quanti

decametri di rete occorrono e l’ammontare della spesa.

• Un trapezio isoscele ha il perimetro di 126 cm e la base maggiore di 48cm. Se

la base minore è la metà della maggiore, quanto misurano i lati obliqui?

Prima di passare al calcolo dell’area delle figure piane, viene introdotto il

concetto di superficie con una breve premessa e una nota in basso ricorda che la

superficie è un’estensione limitata da confini precisi e l’area è il numero che esprime

l’estensione di una superficie. Rapidamente si passa alle misure di superficie dicendo

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che per misurare una superficie basta ricoprirla con altre superfici piane meno

estese e calcolare quante volte queste sono contenute in quella più estesa. Poiché da

questa premessa risulta poco chiaro il concetto

di unità di misura viene fatto un esempio in cui

per misurare la superficie di un pavimento si fa

uso di una pagina di giornale come unità di

misura. Questo esempio è affiancato da una

immagine che aiuta meglio a comprendere il

problema in oggetto: il calcolo dell’area.

Segue la presentazione delle unità di misura. Prima di presentare il metro quadrato

quale unità principale di misura della superficie, gli autori sottolineano la differenza

tra misure lineari e misure quadrate dicendo che nel primo caso si tratta di lunghezze

e servono per misurare le lunghezze, nel secondo caso si tratta di superfici e servono

per misurare superfici. L’argomento, in questo caso, è corredato da una grande

quantità di esercizi sulle equivalenze e quesiti del tipo “un metro quadrato che parte

è del decametro quadrato?” che, come nel testo già analizzato, aiutano a capire in

che rapporto stanno tra loro le varie unità di misura. Anche in questo testo prima di

entrare nel vivo della questione legata al calcolo dell’area, il bambino viene invitato

a riflettere sull’equivalenza delle figure, cercando di far superare l’ostacolo in cui è

facile incorrere e cioè forma diversa = superficie diversa. A questo punto viene

introdotta l’area, in maniera analoga al testo precedente, ovvero, anche in questo

caso, si parte da figure facilmente suddivisibili in quadratini di lato 1 cm, quindi in

cm2, per poi passare a figure riconducibili a figure note e ricavare, anche per queste,

la formula dell’area. Per ogni diversa tipologia di figure vengono assegnati dei

problemi. Alcuni sono di semplice risoluzione, in quanto consistono nell’applicare

direttamente la formula, altri sono, invece, meno immediati e più stimolanti, come il

seguente:

• Osserva l’illustrazione. Sapresti calcolare l’area della parte colorata del

trapezio isoscele?

18  

Una sezione in più che compare in questo libro e che ho trovato molto

interessante è quella dedicata ai problemi da inventare, a partire da liste di dati

assegnati, come ad esempio:

Questo genere di attività ha una grande valenza dal punto di vista didattico: da

una parte stimola la creatività e le capacità di ragionamento, dall’altra ha una

ricaduta di carattere interdisciplinare, in quanto il bambino è chiamato a elaborare un

testo scritto.

L’altro testo che ho visionato è un testo recente edito da Elmedi nel 2005 e

ristampato nel 2008, dal titolo TUTTI I FRUTTI DEL SAPERE, costituito dal

sussidiario e da un quaderno operativo. Graficamente si presenta notevolmente

diverso da quelli analizzati fin qui: è colorato, pieno di immagini, non prettamente

geometriche. Ogni argomento viene spesso introdotto tramite quesiti posti sotto

forma di fumetto che visivamente colpiscono molto. Questa impostazione variopinta

e densa di immagini se da un lato riesce a catturare l’attenzione di un bambino,

dall’altra rischia di far divagare la mente e distrarre il lettore che può perdersi nei

disegni colorati perdendo di vista il nocciolo della lezione.

19  

Il perimetro qui è introdotto quasi in concomitanza con i poligoni. Subito dopo

avere distinto tra poligoni equilateri, regolari e irregolari, viene definito perimetro il

contorno di un poligono, evidenziando che per calcolare il perimetro di un poligono

bisogna sommare le misure dei lati. A questo punto vengono analizzati

singolarmente triangoli e quadrilateri. Inizialmente vengono classificati i poligoni

rispetto a angoli e lati e poi viene calcolato il perimetro di ciascuna figura. In questo

testo non viene evidenziato il fatto che nei poligoni equilateri il perimetro si possa

calcolare moltiplicando la misura di un lato per il numero dei lati; per ogni figura, la

misura del perimetro viene calcolata sommando i lati. Inoltre il fatto che per ogni

figura si diano troppe informazioni, compresa la misura del perimetro ritengo risulti

dispersivo. A mio avviso, infatti, nonostante i testi precedentemente consultati

risultassero poco accattivanti, essendo poveri nei colori e nelle immagini,

consentivano di focalizzare subito l’attenzione sulla misura del perimetro, inducendo

il bambino a riflettere sul fatto che nel caso in cui il poligono abbia tutti i lati uguali è

superfluo e prolisso procedere con la somma delle misure dei lati. Sull’argomento

perimetro non vengono proposti esercizi né nel sussidiario né sul quaderno operativo.

Questo impedisce al bambino di esercitarsi a sufficienza fino ad entrare in pieno

possesso di ciò che significa calcolare il perimetro di una figura, attuando le

opportune strategie e scorciatoie per il calcolo del medesimo.

Per quanto riguarda l’area, non viene dedicata alcuna premessa al concetto di

superficie, come, invece, accadeva nei testi precedenti. L’argomento è introdotto con

l’ausilio di illustrazioni colorate e attraverso il dialogo, sotto forma di fumetto, di due

personaggi che si chiedono quanti quadrati occorrono per coprire un quaderno.

Secondo me, in questo caso vengono mescolati elementi di estrazione reale (il

quaderno) con elementi che richiedono, invece, già un’astrazione, ovvero i quadrati

presi in oggetto. Infatti, non viene specificato di che quadrati si tratta, ne di quanto

siano grandi e la cosa può indurre il bambino a confondere le idee. L’unico elemento

che può indurre il bambino a farsi un’idea sulla dimensione di questi quadratini è il

fatto che richiamino i quadrati dei quadernoni che solitamente i bambini utilizzano

fino in seconda. Nel testo precedente era proposta una situazione analoga, a mio

avviso più concreta e chiara, ovvero l’idea di ricoprire la pavimentazione con dei

fogli di giornale. Il tutto era accompagnato da un disegno abbastanza esplicativo e

20  

sottoponeva all’attenzione del bambino degli oggetti concreti di cui si può avere una

idea precisa.

Dopo due esempi dello stesso tipo, in cui i due personaggi raffigurati ricoprono

il quaderno e il diario con dei quadratini, viene detto che è stato usato come unità di

misura un quadrato, per poi passere alla seguente definizione: per misurare l’area di

una figura, cioè la sua superficie è necessario usare una unità di misura che sia essa

stessa una superficie. Anche nella definizione di area il testo appare poco chiaro, non

distinguendo il concetto di area da quello di superficie. Prima di affrontare il

problema delle unità di misura viene dedicata una breve parentesi alle figure

equiestese, ma anche in questo caso non vengono proposti esercizi che possano

stimolare il bambino a riflettere sull’argomento per impadronirsi del concetto. A

questo punto, si passa alle unità di misura di superficie, presentando il metro

quadrato, cioè un quadrato con il lato di un metro, come l’unità di misura per

misurare una superficie, con i suoi sottomultipli e multipli. Le unità di misura

vengono inserite in una tabella, specificando che ogni unità di misura è 100 volte più

grande di quella posta alla sua destra e 100 più piccola di quella posta a sinistra. A

seguire vengono ricavate le formule per il calcolo dell’area delle diverse figure

geometriche. Questa parte viene affrontata in modo analogo ai precedenti libri. Si

comincia, infatti, con figure facilmente suddivisibili in quadratini di lato 1 cm, quali

il rettangolo e il quadrato e, una volta ricavata la formula per il calcolo dell’area per

queste figure, si procede con le altre, che vengono scomposte in figure note. Anche

per l’area gli esercizi proposti sono quasi inesistenti, fatta eccezione per qualche

esercizio del quaderno operativo sul calcolo dell’area nei poligoni irregolari.

2.2 Analisi dei testi di scuola secondaria di I grado Terminata l’analisi dei libri di testo di scuola primaria, sono passato ad

esaminare alcuni testi di scuola secondaria di primo grado, procedendo in modo

analogo e prendendone in considerazione, anche in questo caso, alcuni recenti e altri

non più in uso nelle scuole. Il primo testo che ho consultato è datato 1955 e riporta come titolo LA BELLA

GEOMETRIA, di Nicosia-Cordova , la cui casa editrice è SEI.

21  

Anche questo testo lascia intuire la sua collazione temporale dal numero limitato

di illustrazioni che affiancano le spiegazioni teoriche e dalla povertà dei colori. Le

immagini raffigurate sono quasi tutte di natura geometrica e il colore predominante è

l’azzurro, utilizzato sia per le illustrazioni che per evidenziare le definizioni.

Rispetto a testi di scuola primaria, gli argomenti in questione sono trattati in

modo più complesso e, dunque, non stupisce se in questo volume, le autrici prima di

dare la definizione di perimetro introducono i concetti di spezzata e poligono, nel

seguente modo:

Una linea formata di segmenti consecutivi, tutti appartenenti ad uno stesso

piano, si dice spezzata.

I segmenti si dicono i lati della spezzata. La spezzata si dice aperta se l’ultimo

estremo dell’ultimo lato non coincide col primo estremo del primo lato. Si dice

chiusa se tali estremi non coincidono.

La spezzata si dice convessa se giace tutta da una parte rispetto alla retta a cui

appartiene ogni suo lato; concava se non è convessa; intrecciata se due lati non

consecutivi si intersecano.

Dicesi poligono la parte di piano limitata da una spezzata chiusa.

La spezzata si dirà il contorno del poligono; i vertici e i lati della spezzata si

diranno vertici e lati del poligono.

A questo punto, si introduce il perimetro come la somma dei suoi lati.

Prima di passare al concetto di area, vengono analizzati in maniera dettagliata i

diversi poligoni e la costruzione di poligoni regolari. A seguire viene dedicato un

capitolo alle figure piane equivalenti. A tal proposito viene fatto notare che esistono

figure che pur avendo forma diversa hanno uguale estensione, tali figure vengono

definite equivalenti.

Per far comprendere meglio tale concetto, vengono proposte delle attività

pratiche sulla costruzione di figure equivalenti, del tipo:

• Si ritagli ad es. in cartoncino un rettangolo e poi diviso questo lungo i

segmenti segnati sulla fig. a (di seguito riportata), si dispongano le varie

parti nel modo indicato dalla fig.b. Evidentemente il triangolo che ne risulta

ha la stessa estensione del rettangolo dato, ossia è ad esso equivalente.

22  

Successivamente si passa al concetto di area dei poligoni. Le autrici, prima di

darne una esplicita definizione premettono che per misurare una superficie occorre

confrontarla con un’altra, detta unità di misura, e trovare quante volte tale unità di

misura (o un suo sottomultiplo) è contenuta nella superficie data. Il numero che così

si ottiene è la misura della superficie rispetto all’unità scelta e si chiama area della

superficie.

Chiusa questa premessa, si procede con la definizione di area, nel seguente

modo: dicesi area di una figura piana il numero che esprime quante volte l’unità di

misura è contenuta nella sua superficie.

Le autrici tengono, inoltre, a precisare che i concetti di superficie e di area,

spesso confusi, sono nettamente distinti, facendo notare che per superficie di una

figura piana si intende la parte di piano che essa occupa, mentre l’area di una figura

è il numero che esprime la misura della sua superficie.

A questo punto vengono analizzate singolarmente le aree delle superfici delle

principali figure geometriche, corredandole con esempi. I problemi proposti vengono

elencati in appendice.

23  

L’altro testo preso in esame è di gran lunga più recente rispetto al primo. Si

tratta di GEOMETRIA SPERIMENTALE di E. Bovio – L. Manzone Bertone, edito

da LATTES nel 1995.

La stessa evoluzione tipografica che ho riscontrato nei testi di scuola primaria,

col trascorrere degli anni, si può riscontrare ovviamente anche nei libri di scuola

secondaria.

Questo testo appare, infatti, molto più ricco del precedente sia nelle illustrazioni

che nei colori. Inoltre gli esercizi e i problemi non sono riposti in appendice ma

accompagnano ogni capitolo, al termine del quale ne vengono proposti in gran

quantità e di svariata natura.

Come nel precedente, comunque, il concetto perimetro viene introdotto dopo

aver definito il concetto di poligono, ma l’impostazione appare più concreta e

pratica.

Inizialmente, infatti, gli autori introducono l’argomento suggerendo di disegnare

su un cartoncino una spezzata chiusa A B C D E, e tagliarla con le forbici lungo i

segmenti AB, BC, CD, DE, EA, cosicché, la parte che si staccherà dal cartoncino

darà l’immagine concreta di un poligono. Dopodiché viene data la seguente

definizione:

Si dice poligono la parte finita di piano limitata da una spezzata chiusa. Questa

costituisce il contorno del poligono; i punti A, B, C, D, E, sono i suoi vertici ed i

segmenti AB, BC, ….., EA, ne sono i lati e sono tanti quanti sono i suoi vertici.

Successivamente vengono definiti consecutivi due lati, come ad es. AB e BC che

hanno un vertice in comune così pure due vertici come A e B, che appartengono alla

stesso lato e viene puntualizzato che un poligono si indica pronunciando le lettere dei

suoi vertici, enunciati nell’ordine con cui si susseguono sul contorno.

Infine, viene definito il concetto di perimetro nel seguente modo:

La lunghezza somma di tutti i suoi lati si dice perimetro del poligono.

A questo punto, segue un’analisi molto dettagliata dei vari poligoni e, a

conclusione del capitolo, vengono proposti svariati esercizi sui poligoni e problemi

sulla misura del perimetro.

Anche in questo caso, prima di passare alla trattazione del concetto di area,

l’autore si occupa dell’estensione delle superfici delle figure e dell’equivalenza di

24  

queste. Per spiegare il concetto di equivalenza, ricorre a un simpatico esempio di

natura pratica.

L’autore fa notare infatti che se da un foglio di lamiera di spessore costante si

ritagliano i modelli di due figure uguali, pesandole, si troverà che esse avranno lo

stesso peso. A questo punto, fa notare che può accadere che due superfici, pur

avendo forme diverse, abbiano uguale estensione. Se, infatti, dallo stesso foglio di

lamiera si ritaglia una figura piana C, avente forma diversa da A e, pesandola si trova

che ha lo stesso peso di A, si può affermare che le due figure hanno la stessa

estensione facendo notare che due superfici, pur avendo forme diverse, possono

avere uguale estensione.

Successivamente illustra lo stesso concetto mediante l’uso di figure

equicomposte, cioè di figure composte da uno stesso numero di parti a due a due

congruenti, mediante un esempio analogo a quello proposto nel testo precedente.

Anche in questo caso, si tratta di disegnare su un cartoncino un quadrato A e di

ritagliarlo in quattro parti come è indicato nella figura fig A

A questo punto, viene fatto notare che disponendo diversamente i quattro

triangoli nei quali esso è rimasto scomposto, si può costruire il trapezio B o il

triangolo C.

25  

Si passa quindi al concetto di area introducendola in modo analogo al precedente

libro, premettendo che misurare l’estensione di una superficie, significa confrontarla

con un’altra superficie scelta come unità di misura, e stabilire quante volte quest’

ultima è contenuta in quella data e definendo l’area delle superficie come il numero

che indica la misura dell’estensione di una superficie.

Interessante risulta il seguente procedimento pratico per spiegare il concetto di

area :

“Consideriamo ad es. il rettangolo ABCD e scegliamo come unità di misura il

quadratino q.

Poiché questo è contenuto esattamente 8 volte nel rettangolo ABCD possiamo

affermare che l’estensione della sua superficie è data da 8 quadratini q, ossia che

l’area A del rettangolo considerato è

A = 8q.

Se consideriamo lo stesso rettangolo ABCD e prendiamo come unità di misura il

rettangolo u,

26  

Poiché questo contenuto esattamente 4 volte in ABCD, possiamo affermare che

l’estensione della sua superficie è data da 4 rettangoli uguali ad u, ossia che

A = 4u.

Come vedete, l’area della sua superficie varia a seconda dell’unità di misura

scelta.”

Il testo dedica anche un paragrafo alla ricerca sperimentale dell’area di una

superficie.

“ La ricerca dell’area di una superficie ricorrendo al suo confronto diretto con l’unità

di misura scelta, non è sempre facile e possibile. Sarebbe ad es. impossibile ricoprire

esattamente la superficie di un triangolo con quadratini per quanto piccoli essi siano.

27  

Non si potrebbe quindi determinare la sua area con il confronto diretto della

superficie di tale triangolo con uno di tali quadratini scelto come unità di misura. Si

potrebbe solo calcolare un valore approssimato per difetto dell’area richiesta,

contando qual è il più grande numero di quadratini che sono contenuti nel triangolo,

o un valore approssimato per eccesso, contando qual è il più piccolo numero di

quadratini che lo compongono.

Per determinare l’area di una superficie irregolare S,

si può anche procedere sperimentalmente nel modo seguente. Ritagliate da un foglio

di cartone, o di lamierino, un quadrato avente ad es. il lato di 5 centimetri: esso può

scomporsi in 25 quadratini, ciascuno dei quali ha l’area di un centimetro quadrato.

Pesate il quadrato con una bilancia di precisione e supponete che il suo peso sia

di 10 grammi; ne consegue che ogni quadratino di quel cartone pesa (100: 25)g = 4g.

28  

Ritagliate poi dallo stesso foglio di cartone la superficie S di cui volete

determinare l’area e pesatela; se il suo peso è di 24g, dedurrete che poiché ogni

quadratino di quel cartone pesa 4g, l’area A della superficie S è di :

(24: 4) cm2 = 6cm2

 

Successivamente, come nel testo precedente vengono analizzate singolarmente

le misure delle superfici dei principali poligoni, accompagnando la trattazione teorica

con alcuni esercizi svolti sul calcolo dell’area. A conclusione del capitolo vengono

proposti svariati esercizi e problemi sull’argomento.

L’ultimo testo consultato per la scuola secondaria di primo grado si chiama

PERCORSI MODULARI DI MATEMATICA-GEOMETRIA, di S. Linardi e R.

Galbusera, edito da Mursia.

È un testo molto più ricco dei precedenti per quanto riguarda sia i colori che le

illustrazioni di natura non geometrica. La trattazione teorica dei concetti che portano

poi alla definizione di perimetro, avviene in modo analogo ai testi precedentemente

consultati.

Questa è inserita, come prima, all’interno del paragrafo dedicato ai poligoni ed è

esplicitata nel seguente modo: la lunghezza del contorno del poligono, cioè la somma

delle lunghezze dei suoi lati, si dice perimetro.

Anche il concetto di area viene definito in modo analogo ai testi precedenti

come il numero che indica da quante unità di misura è composta la superficie di una

figura.

Tale testo differisce rispetto ai precedenti per la parte pratica, ovvero per gli

esercizi, che anche in questo caso, accompagnano ogni capitolo.

Questi sono suddivisi in

• Conoscenze, per indagare l’acquisizione delle nozioni teoriche inerenti ogni

argomento;

• Applicazioni, che riguardano essenzialmente problemi proposti

sull’argomento in questione;

29  

• Approfondimenti, che riguardano problemi più complessi e stimolanti per i

ragazzi più vivaci intellettualmente.

2.3 Analisi dei testi di scuola secondaria di II grado Per quanto riguarda la scuola secondaria di secondo grado ho preso in esame sei

testi, di cui, tre attualmente in uso, e gli altri tre risalenti agli anni ’50, ’60 e ’70.

Come ho già espresso per i testi precedentemente discussi, al contrario dei libri

attuali che utilizzano molti colori, la veste tipografica di questi vecchi testi è

abbastanza semplice perché vengono utilizzati soltanto due colori, il nero e l’azzurro.

Il primo testo che ho preso in esame si intitola GEOMETRIA PER ISTITUTO

MAGISTRALE di Nicosia – Cordova , edito da SEI nel 1958.

Questo libro è stato elaborato dalle stesse autrici del libro già analizzato per la

scuola secondaria di primo grado, LA BELLA GEOMETRIA, e propone

un’impostazione quasi analoga al testo già discusso sopra per quanto riguarda il

perimetro. Per spiegare il concetto di superficie (il libro riporta la parola estensione)

utilizza lo stesso esempio, utilizzato nel testo per la scuola secondaria di primo

grado.

• Da una lamina metallica omogenea di spessore costante ritagliamo due

figure A e B di forma diversa

A B

Se le due figure hanno lo stesso peso è intuitivo che abbiano la stessa

estensione.

Se invece il peso di A è maggiore del peso di B, diremo che l’estensione di

A è maggiore dell’estensione di B.

30  

Pertanto due figure piane di dicono equivalenti quando hanno la stessa

estensione.

Seguono, nel capitolo, tutte le proposizioni e i teoremi relativi alle figure

equivalenti.

Il capitolo successivo si apre con la definizione di grandezze, espressa nel

seguente modo: “Si chiamano grandezze geometriche i segmenti, gli angoli, gli archi

di una stessa circonferenza (o di circonferenze uguali) le superfici, ecc. Due

grandezze si dicono omogenee se per esse si possono stabilire i concetti di

uguaglianza (o di equivalenza, se si tratta di superfici) e di disuguaglianza, di

somma e di differenza”.

Dopo avere parlato di grandezze commensurabili e incommensurabili, di

rapporto di grandezze, si passa alla misura di grandezze.

“Occorre talvolta paragonare tra loro grandezze della stessa specie. A tale scopo, in

una classe di grandezze omogenee, si sceglie un’opportuna grandezza U, che si

chiama unità di misura, e, data una qualunque grandezza A della classe, si

considera il rapporto di A ad U.

Dicesi misura della grandezza A rispetto all’unità U il numero reale che

esprime il rapporto di A ad U”. Come si può notare dalle definizioni sopra citate, nei

testi di scuola secondaria di secondo grado, il linguaggio matematico diventa più

ricco, introducendo nuovi termini e nuovi concetti per introdurre gli argomenti in

questione.

Per quanto riguarda l’area, essa viene definita come la misura di una superficie.

Dopodichè viene introdotto il metro quadrato come unità di misura delle superfici,

accennando anche ai suoi sottomultipli.

Il testo raccomanda, inoltre, di non confondere l’area con la superficie. Infatti,

puntualizza: l’area è un numero, mentre la superficie è un ente geometrico.

Dopo di ciò viene trattata l’ area delle più note figure geometriche analizzando

singolarmente i diversi casi.

L’altro testo preso in esame e risalente agli anni ’60, precisamente al 1966, è di

E. Minando, dal titolo GEOMETRIA E SUE APPLICAZIONI PER GLI ISTITUTI

MAGISTRALI, la cui casa editrice è LATTES.

31  

Per quanto riguarda il perimetro la trattazione è analoga a quella del testo

precedente e la definizione che viene data è la seguente:

“I lati della spezzata si dicono lati del poligono, i vertici sono i punti ai lati, e la

somma dei lati è il perimetro del poligono”.

Anche per quanto riguarda il concetto di superficie, le differenze tra i due testi

non sono di notevole rilievo. Infatti, per spiegare tale concetto l’autore afferma che

un poligono , un cerchio, un settore circolare, occupano una parte limitata del piano

su cui giacciono; essa si dice superficie di quel poligono , di quel cerchio, o di quel

settore.

Proseguendo, puntualizza che due superfici piane A e B possono avere uguale

estensione pur avendo forma diversa e propone un esempio analogo a quello

riportato nel testo precedente.

• Se, ad es., da un foglio di cartone di spessore costante ritagliamo un triangolo

ed un cerchio, e pesandoli con una bilancia di precisione troviamo lo stesso

peso, diremo che quel triangolo e quel cerchio hanno uguale estensione, o

che sono equivalenti.

Nel libro GEOMETRIA di Cateni e Fortini, edito da Le Monnier nel 1975 viene

dato, invece, un taglio un po’ diverso, rispetto ai due volumi precedenti, per quel che

riguarda i concetti introduttivi. Per introdurre il perimetro di una figura, gli autori

definiscono il poligono convesso come la figura intersezione dei semipiani aventi

ciascuno per origine le rette contenenti i lati di una poligonale chiusa. Proseguendo

affermano che la poligonale che determina il poligono è detta contorno, mentre il

segmento somma dei lati del poligono dicesi perimetro di questo.

In seguito, viene introdotto il concetto di superficie, nel modo seguente: “Un

velo, una lamiera, un cartoncino comunque ritagliati e posti su un piano in modo da

aderirvi completamente, ci danno l’idea di ciò che chiamiamo superficie piana. Il

concetto di superficie si acquista dall’intuizione ed è dato come concetto primitivo. I

poligoni , i cerchi sono superficie piane.”

Dopo avere esposto i concetti di grandezze geometriche, di classi di grandezze e

del loro rapporto si passa alla misura di grandezze. A tal proposito, gli autori

affermano che conviene, talvolta, determinare il rapporto delle grandezze di una di

una stessa classe rispetto a una grandezza prefissata, a quella omogenea. Per

32  

esempio, se abbiamo dei segmenti, può convenire determinare il loro rapporto

rispetto al metro.

Il rapporto, in tal caso, viene chiamato misura rispetto al metro. E’ evidente che la

misura dello stesso metro è 1 ed è per questo che la prefissata grandezza si dice

unità di misura o, semplicemente, unità. Dunque: la misura di una grandezza

rispetto ad una prefissata unità è il <numero reale positivo> che esprime il rapporto

di quella grandezza assunta come unitaria.

La definizione di area si inserisce proprio all’interno di questo contesto, con la

seguente affermazione:

“La misura di un segmento si dice lunghezza, quella di un angolo ampiezza, quella di

una superficie area, quella di un solido volume.” Puntualizzando, poi, che la

lunghezza di un segmento, l’ampiezza di un angolo, l’area di una superficie, il

volume di un solido sono quindi numeri reali positivi.

Successivamente, ho consultato tre testi attualmente in uso nelle scuole

superiori e, con sorpresa, ho notato che non viene data nessuna definizione di

perimetro. I testi sono: CORSO DI MATEMATICA – GEOMETRIA di L.

Lamberti, L. Mereu, A. Nanni (edito dalla casa editrice ETAS); GEOMETRIA di

A.Trifoni e M. Bergamini (casa editrice ZANICHELLI); L’EVOLUZIONE DELLA

GEOMETRIA di L. Scaglanti. (Edizione CEDAM).

Come già riscontrato nei precedenti testi, viene data la definizione di poligono

come la parte di piano racchiusa da una poligonale chiusa; ma mentre i vecchi testi

concludevano tale definizione dicendo che il perimetro è la somma dei lati della

poligonale, questi nuovi volumi, che ho qui riportato, non ne fanno nessuna

menzione, dando per scontato l’acquisizione del concetto da parte degli studenti.

Infatti la parola perimetro, per esempio nel libro di L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni,

figura per la prima volta dopo molte pagine nel corollario: “un poligono regolare è

equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza la

sua apotema”.

Molte analogie, in questi tre volumi, si riscontrano anche nella trattazione

dell’argomento riguardante l’area. Viene prima sviluppato il concetto di figure

equivalenti e successivamente si suddividono le superfici piane in classi di

equivalenza in modo che ogni classe contenga figure equiestese: l’area è la misura

33  

comune alle superfici di una stessa classe ed è tale che due superfici appartenenti a

classi diverse hanno aree diverse.

E’ da notare che tutti questi volumi, vecchi e nuovi, hanno una cosa in comune:

non dedicano nemmeno un piccolo paragrafo dove si possa mettere in relazione

l’area e il perimetro per lo stesso tipo di poligono.

34  

CAPITOLO III

Presentazione del lavoro sperimentale

3.1 La scuola La scuola, presso la quale ho svolto la mia attività sperimentale, è l’Istituto

Comprensivo “V. Brancati”, sito a Favara, comune con ampiezza demografica

superiore a 30.000 abitanti, in provincia di Agrigento.

Tale istituto comprende due sedi, la sede centrale, in cui sono ospitati gli alunni

di scuola secondaria di I grado e gli alunni della scuola dell’infanzia, e la sede

staccata, che accoglie gli alunni della scuola primaria.

Quest’ultima consta di otto classi, ripartite nel seguente modo: n. 1 classe prima,

n. 1 classe seconda (organizzate a modulo verticale), n. 2 classi terze, n. 2 classi

quarte. e n. 2 classi quinte (organizzate a modulo orizzontale).

L’utenza dell’istituto proviene da un livello socio-economico medio e medio-

basso.

In particolare, il plesso di scuola primaria ospita una popolazione scolastica

diversa ed eterogenea, evidenziando da una parte famiglie con entrambi i genitori

lavoratori, dall’altra rapporti familiari non sempre facili, ambienti poveri di stimoli

idonei e funzionali a uno sviluppo sano e creativo dei propri figli, che spesso

trascorrono gran parte della giornata in strada. Tali situazioni gravano negativamente

sugli alunni, compromettendone l’apprendimento. In alcuni casi le famiglie non

offrono nessuna collaborazione alla scuola, la quale, spesso, si trova ad operare da

sola a causa della latitanza delle stesse, che demandano ad essa il delicato compito

dell’istruzione, della formazione e dell’inserimento sociale dei propri figli.

Pertanto, lo scopo che la scuola intende raggiungere nasce dalla necessità di

potere offrire attività in grado di dare risposte adeguate a questa parte di utenza,

riuscendo a ridurre o, addirittura, ad eliminare le situazioni di disagio che

condizionano la formazione integrale e favoriscono forme più o meno gravi di

devianza sociale che possono sfociare in veri e propri episodi di bullismo.

35  

All’interno di questo quadro socio-economico-culturale, l’utenza della scuola è

costituita da una buona parte di alunni provenienti da famiglie che seguono con

interesse il processo educativo-culturale e formativo dei propri figli, fornendo loro

validi stimoli e motivazioni.

Tenendo conto della realtà socio-culturale e dei bisogni dell’utenza (educazione

alla legalità e alla solidarietà, supporto nella costruzione di una propria identità,..) la

scuola si impegna nella formazione degli alunni, garantendo diversi servizi: servizio 

psico-pedagogico, ASL che segue gli alunni in situazione di handicap e interviene in

situazioni familiari particolarmente disagiate, collaborazioni col Comune

(finanziamenti, progetti, assistenza), con l’Assessorato Regionale (P.O.R.) ……..

3.2 Articolazione del lavoro sperimentale Il mio lavoro sperimentale è stato inserito all’interno di questa realtà scolastica,

indirizzandolo alle due classi quarte di scuola primaria. Tali classi, costituite da un

totale di 33 alunni, presentavano un livello di apprendimento eterogeneo, in quanto

ad alunni più capaci e vivaci intellettivamente si aggiungevano alunni meno capaci e

meno intuitivi.

Lo scopo del mio lavoro è stato quello di verificare se nei bambini di scuola

primaria i concetti di area e perimetro sono tra loro indipendenti e se la conoscenza

delle formule incide sull’acquisizione di tali concetti.

La letteratura di ricerca (ma anche la storia e la leggenda) ha, infatti,

ampiamente mostrato come molti studenti di ogni età siano convinti che vi sia una

relazione di dipendenza relazionale stretta tra i due concetti, del tipo: se A e B sono

due figure piane, allora:

• Se (perimetro di A > perimetro di B) allora (area di A > area di B);

• Idem con <;

• Idem con = (se due figure sono isoperimetriche allora sono equiestese);

e viceversa, scambiando l’ordine “perimetro-area” con “area-perimetro”.

Mi è sembrato, dunque, interessante analizzare da vicino la questione,

sperimentandola con bambini di un’età compresa tra i 9 e i 10 anni.

36  

Il mio intervento didattico è stato inserito dopo una prima trattazione degli

argomenti, affrontata dalla loro insegnante di classe, la quale si è mostrata molto

disponibile nei miei confronti, accogliendo positivamente la mia presenza.

Dal momento che i bambini possedevano già una infarinatura sui due concetti,

ho preferito iniziare con  un test d’ingresso, ovvero un pre-test, per sondare le

conoscenze e le competenze acquisite in merito, passare, quindi, a una trattazione

approfondita degli argomenti, ricca di esempi di natura pratica, in modo da chiarire

eventuali dubbi e perplessità, e concludere con una verifica finale, un test che

riproponesse gli stessi quesiti, in modo da esaminare l’evoluzione dei due concetti

nella mente dei bambini.

Per questa prova ho scelto 21 schede, proponendo per ciascuna di esse un

esercizio mirato a stabilire in che misura i concetti di area e perimetro siano distinti

nella mente del bambino, mettendoli a confronto in modo da far variare l’uno

tenendo costante l’altro.

I questionari sono stati realizzati cercando di prendere in considerazione le

figure più svariate, muovendomi, però, in ordine di difficoltà crescente. I primi

quesiti riguardano, infatti, poligoni regolari, per poi passare a figure a contorno

poligonale, ma non regolare, per arrivare, infine, a figure a contorno non poligonale.

Strutturando il test in questo modo, mi sono posto come obiettivo quello di

testare se i bambini siano in grado di compiere verifiche di uguaglianza di aree, in

figure in cui oltre alle regole note si può sfruttare l’equiscomponibilità delle figure

stesse, e se nelle figure irregolari, come le spezzate chiuse e quelle curvilinee,

riescano a dimostrare di aver acquisito il concetto di unità di misura e sappiano usare

qualunque tipo di strumento abbiano a disposizione.

Le 21 schede sono state suddivise in 5 gruppi composti da figure di natura diversa:

• I gruppo (schede 1 - 6) – Equivalenze tra due quadrilateri regolari;

• II gruppo (schede 7 - 12) – Equivalenza tra due triangoli;

• III gruppo (schede 13 - 15) – Equivalenza tra due poligoni regolari;

• IV gruppo (schede 16 - 18) – Equivalenza tra due figure a contorno

poligonale;

• V gruppo (schede 19 - 21) - Equivalenza tra due figure a contorno non

poligonale.

37  

Per ciascuna scheda i bambini dovevano indicare se le figure avevano la stessa

area ed, inoltre, quale metodo usavano per risolvere il problema.

I 5 gruppi di schede sono ulteriormente suddivisi secondo lo schema qui esposto:

Durante questa fase, come si evince dalla registrazione dei dati rilevati, riportati

più avanti, i bambini hanno mostrato molte incertezze soprattutto con gli ultimi

gruppi di schede proposte.

I risultati della prova hanno messo in luce come molti facciano confusione tra i

concetti di perimetro e area, associando all’isoperimetria delle figure

l’equiestensione delle stesse, alla diversità della forma la diversità delle aree,

confondendo il contorno della figura con la superficie da esso racchiusa. Queste

difficoltà sono state riscontrate anche nei bambini che conoscevano

mnemonicamente le formule.

A partire dai dati ricavati dalla prova d’ingresso ho, quindi strutturato il mio

intervento didattico, volto ad analizzare in maniera approfondita i concetti di

perimetro e area, mettendo in luce le differenze tra i due, corredando ogni

spiegazione con esempi di natura pratica e situazioni problematiche tratte dalla vita

reale, accattivanti e stuzzicanti.

 Avendo constatato, durante il pre-test, che i maggiori dubbi si annidavano nel

concetto di area, dopo un breve riepilogo sul concetto di perimetro, mi sono

soffermato ampiamente su quello più problematico di area.

Gruppi Figure Modalità I Quadrato

Rettangolo

Area diversa

Perimetro uguale

II Triangolo isoscele

Triangolo scaleno

Area uguale

Perimetro diverso

III Poligoni

Regolari

Area uguale

Perimetro diverso

IV Figure a contorno

Poligonale

Area diversa

Perimetro diverso

V Figure a contorno

non poligonale

Area diversa

Perimetro diverso

38  

Dal momento che i bambini avevano già affrontato questo argomento con la loro

insegnante, durante la mia trattazione, ho voluto analizzare in maniera più critica la

questione, soffermandomi più che sulle formule sui processi.

Per iniziare, ho chiesto loro quale fosse il perimetro del loro banco e quale fosse,

invece, la sua superficie. A questa domanda, si è levato un coro di voci che indicava

come perimetro il contorno del banco e come superficie la parte verde racchiusa dal

contorno. Sono seguiti numerosi altri esempi di natura concreta, del tipo indicare

perimetro e superficie della lavagna, della finestra, della cattedra…, constatando che

gli stessi bambini che, durante il test d’ingresso, avevano manifestato grande

confusione tra i concetti di perimetro e area, in realtà, con oggetti di natura pratica

sembravano non mostrare dubbi sulla distinzione tra perimetro e superficie. A questo

punto, avendo chiara questa distinzione, sono passato a considerare la misura della

superficie, ovvero l’area.

Ho preferito iniziare prendendo in considerazione come figura geometrica il

rettangolo, sia perché questa forma trova riscontro nella maggior parte degli oggetti

presi in considerazione, sia perché dall’area del rettangolo si possono fare derivare le

regole per il calcolo delle altre figure geometriche.

Dopo aver disegnato alla lavagna un

rettangolo, chiedo loro come facciamo a misurarne

la superficie. A tal proposito qualcuno è

intervenuto ripetendo la formula mnemonicamente.

Volendo andare più a fondo, in modo da rendere chiaro il concetto a tutti, ho

chiesto di motivarla, ma, ovviamente, nessuno ha saputo darmi una spiegazione

logica sulla provenienza di tale formula. Di conseguenza, per prima cosa, ho

suddiviso il rettangolo in quadrati unitari, ponendo nuovamente la stessa domanda e

facendo notare loro che misurare la superficie di questo rettangolo vuol dire stabilire 

quante volte una unità di misura è contenuta nella

sua superficie , ovvero quante volte il quadratino

unitario è contenuto nel rettangolo.

In un primo momento abbiamo contato insieme i 15

quadratini, in cui era stato suddiviso il rettangolo;

dopodiché ho fatto notare loro che potevamo pervenire alla stessa conclusione

39  

contando i quadratini della base e moltiplicando il numero di questi per il numero

delle file.

A questo punto, ho evidenziato e sottolineato il fatto che il numero delle file, tre,

coincide con il numero dei quadratini disposti lungo l’altezza, giustificando la

formula. Chiarito ciò, ho ripetuto l’esercizio

scegliendo quadratini unitari di dimensioni

diverse e calcolando ogni volta la superficie, per

evitare di standardizzare subito l’unità di misura

come il cm2.

In ultima analisi, ho proposto di scegliere il quadratino unitario di lato 1 cm,

pervenendo quindi alla definizione di cm2.

Di conseguenza, è stato immediato giustificare le formule per il calcolo dell’area, sia

nel caso del quadrato, essendo questo un rettangolo con

base l e altezza l, sia nel caso del triangolo, che può essere

ricavato tagliando a metà il rettangolo secondo la diagonale,

spiegando la formula (b*h):2.

40  

Nel caso del parallelogramma, per giustificare, invece, il fatto che, per il calcolo

dell’area, abbia la stessa formula del rettangolo, ho fatto notare loro che spostando il

triangolo bianco, ricavato, tracciando l’altezza del parallelogramma, in coda al

parallelogramma, si ottiene nuovamente il rettangolo.

 

 

 

Conclusa questa prima parte, sono passato ad approfondire l’argomento nel caso

di figure dal contorno poligonale, ma non regolare. A questo proposito, ho posto un

simpatico quesito, per far notare loro come, in questo caso, sia più indicato dividere

la figura secondo figure note, delle quali sia semplice calcolare l’area.

 

Alla domanda da me posta, sono riemerse le stesse

problematiche già emerse nel test d’ingresso, quindi, ho

suddiviso inizialmente il quadrato esterno in due parti,

ottenendo due rettangoli.

Il secondo lasciava facilmente intuire di essere costituito da

due triangoli uguali, mentre per il primo rettangolo questa

considerazione non era ancora immediata.

41  

Di conseguenza, ho diviso il primo rettangolo in due

quadrati, facendo notare che i due quadrati, a loro volta,

risultano costituiti da due triangoli uguali, pervenendo

rapidamente alla conclusione che la parte con i fiori e quella con

il prato sono uguali.

A questo punto, sono passato a considerare, in modo quasi analogo, figure dal

contorno non poligonale, dicendo loro che, in questi casi basta considerare una

spezzata chiusa il cui contorno si avvicini il più possibile a quello dato per poi

procedere come sopra.

Conclusa la mia parentesi riepilogativa di approfondimento, ho somministrato

loro nuovamente le schede proposte all’inizio, ottenendo questa volta risultati di

gran lunga migliori, come si evince dai commenti posti a seguito delle schede.

   

42  

3.3 Scopi dei gruppi di schede proposte Con i gruppi di schede che ho proposto ai bambini, durante la fase della

sperimentazione, per confrontare le aree di superfici a contorno poligonale, mi sono

posto i seguenti obiettivi:

• stabilire l’indipendenza concettuale tra “area” e “perimetro”;

• stabilire l’eventuale conoscenza ed il relativo uso delle formule per il calcolo

di aree di superfici a contorno poligonale;

• stabilire se la conoscenza delle formule è semplicemente un fatto mnemonico

oppure se i ragazzi hanno appreso il concetto di area per quanto riguarda

l’equiscomponibilità.

Quest’ultimo obiettivo è messo particolarmente in risalto dall’ultimo gruppo di

schede proposte, dal momento che, in questo caso, si chiede al bambino di dare una

valutazione di aree di figure meno standardizzate. In questo caso è necessario avere

un’idea ben chiara del concetto di area, in quanto non basta la semplice applicazione

di formule, dal momento che prima occorre scomporre le figure secondo figure note.

43  

3.4 Scopi del I gruppo di schede Inizialmente ho voluto prendere in considerazione le figure più semplici per

avviare i bambini a riflettere sul concetto di area, ovvero i quadrilateri, essendo

questi le prime figure che si propongono ai bambini quando si iniziano a trattare i

concetti di perimetro e area.

In particolare, le prime tre schede riguardano quadrilateri aventi quattro lati

uguali, ovvero sono partita considerando un quadrato che ho successivamente

“schiacciato”, diminuendo la sua area e mantenendo costante il perimetro.

Le altre tre schede comprendono, invece, quadrilateri, non più con quattro lati

uguali, ma con i lati a due a due uguali, ovvero, come prima, sono partita da un

rettangolo che ho successivamente “schiacciato”, diminuendo la sua area e

mantenendo costante il perimetro.

Riassumendo, con questo primo gruppo di schede proposte ai bambini, ho posto

a confronto diverse figure, tenendo costante il perimetro e facendo variare l’area, allo

scopo di verificare se nella mente del bambino i concetti di area e perimetro sono tra

loro indipendenti.

44  

Scheda 1

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

45  

Scheda 2

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

46  

Scheda 3

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

47  

3.5 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo

di schede proposte (I tipologia)

Strategia n°1: esatta Il bambino dopo avere osservato le figure, ne misura le dimensioni col righello e

applica correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione

che le due figure hanno area diversa.

Strategia n°2: errata Il bambino misurando le figure si rende conto che hanno lo stesso perimetro e deduce

che hanno la stessa area.

Strategia n°3: errata Il bambino perviene alla conclusione che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello constata che sono uguali però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui.

Strategia n°4: esatta Il bambino constata che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda si è

ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è inferiore.

Strategia n°5: errata Il bambino confrontando le due figure pensa che mettendo i lati della seconda figura

diritti si ottengono due figure uguali che hanno pertanto la stessa area.

Strategia n°6: errata

Il bambino dopo avere effettuato tutte le misure che gli occorrono per il calcolo

dell’area, sbaglia nell’applicare la formula per la seconda figura, confondendo

l’altezza con il lato.

48  

Strategia n°7: esatta Il bambino confronta ad occhio le due figure pervenendo alla conclusione che nella

seconda lo spazio bianco racchiuso dalle linee è inferiore rispetto alla prima.

Strategia n°8: esatta Il bambino, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…), confronta

le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la stessa base ma

altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Strategia n°9: errata Il bambino pensa che le due figure abbiano la stessa area perché osservandole si

rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e pensa che il rombo non sia

altro che un quadrato messo di traverso.

Strategia n°10: errata Il bambino constata che le due figure hanno i lati della stessa dimensione, solo che la

seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che hanno la stessa area.

49  

Grafici della sperimentazione

 

 

 

   

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8

strategie

Esiti scheda 1

pre-testtest

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

strategie

Esiti scheda 2

pre-testtest

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

strategie

Esiti scheda 3

pre-testtest

50  

3.6 Osservazioni finali Da questo primo gruppo di schede, si evince come nel pre-test la maggior parte

dei bambini abbia mostrato grande confusione tra i concetti di area e perimetro.

Infatti, per la prima scheda:

• Solo in 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 10 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 2 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui;

• 8 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

• altri 8 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Per la seconda scheda:

• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui;

• 5 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

51  

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 1 bambino ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché

osservandole si rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e ha

ritenuto che il rombo non è altro che un quadrato messo di traverso;

• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Per la terza scheda:

• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali;

• 5 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 1 bambino ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché

osservandole si rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e ha

ritenuto che il rombo non è altro che un quadrato messo di traverso;

52  

• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Visti gli esiti del pre-test, durante il mio intervento didattico ho voluto

approfondire in modo più critico l’argomento puntualizzando la differenza tra i

concetti perimetro e area, come scritto sopra. Dopo la mia trattazione, le risposte alle

schede sono state le seguenti:

per la prima scheda:

• 15 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 5 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 1 bambino ha notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda

si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è

inferiore.

• 3 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Per la seconda scheda:

• 17 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

53  

• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i

lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono diritti e nella

seconda i lati sono obliqui;

• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la

seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie

è inferiore;

• 4 bambini dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Per la terza scheda:

• 16 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i

lati con il righello risultano uguali;

• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la

seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie

è inferiore;

• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…),

confronta le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la

stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

54  

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

   

55  

Scheda 4

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

56  

Scheda 5

 

 

 

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

57  

Scheda 6

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

58  

3.7 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo

di schede proposte (II tipologia)

Strategia n°1: esatta Il bambino dopo avere osservato le figure, ne misura le dimensioni col righello e

applica correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione

che le due figure hanno area diversa.

Strategia n°2: errata Il bambino misurando le figure si rende conto che hanno lo stesso perimetro e deduce

che hanno la stessa area.

Strategia n°3: errata Il bambino perviene alla conclusione che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello constata che sono uguali però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui.

Strategia n°4: esatta Il bambino constata che sebbene le due figure abbiano lati a due a due uguali, la

seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è

inferiore.

Strategia n°5: errata Il bambino confrontando le due figure pensa che mettendo i lati della seconda figura

diritti si ottengono due figure uguali che hanno pertanto la stessa area.

Strategia n°6: errata

Il bambino dopo avere effettuato tutte le misure che gli occorrono per il calcolo

dell’area, sbaglia nell’applicare la formula per la seconda figura, confondendo

l’altezza con il lato.

59  

Strategia n°7: esatta Il bambino confronta ad occhio le due figure pervenendo alla conclusione che nella

seconda lo spazio bianco racchiuso dalle linee è inferiore rispetto alla prima.

Strategia n°8: esatta Il bambino, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…), confronta

le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la stessa base ma

altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Strategia n°9: errata Il bambino constata che le due figure hanno i lati della stessa dimensione, solo che la

seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che hanno la stessa area.

60  

Grafici della sperimentazione

 

 

 

   

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8

strategie

Esiti scheda 4

pre-testtest

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8 9

strategie

Esiti scheda 5

pre-testtest

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7 8 9

strategie

Esiti scheda 6

pre-testtest

61  

3.8 Osservazioni finali Anche per queste tre schede gli esiti del pre-test hanno messo in luce una grande

confusione tra i concetti di area e perimetro, infatti:

Per la quarta scheda

• Solo in 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 10 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 2 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui;

• 8 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

• altri 8 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Per la quinta scheda:

• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono

diritti e nella seconda i lati sono obliqui;

• 6 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

62  

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Per la sesta scheda:

• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché

misurando i lati con il righello risultano uguali;

• 6 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati delle figure diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa area;

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

per la quarta scheda:

• 15 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

63  

• 5 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 1 bambino ha notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda

si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è

inferiore.

• 3 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i

lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa

area;

• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.

Per la quinta scheda:

• 17 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i

lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono diritti e nella

seconda i lati sono obliqui;

• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la

seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie

è inferiore;

• 4 bambini dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure

che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

64  

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.

Per la sesta scheda:

• 16 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i

lati con il righello risultano uguali;

• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la

seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie

è inferiore;

• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno

sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza

con il lato;

• 4 bambini, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…),

confronta le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la

stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,

solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che

hanno la stessa area.  

65  

3.9 Scopi del II gruppo di schede In questo secondo gruppo di schede ho preso in considerazione una serie di sei

triangoli, in cui ho mantenuto costante l’area e fatto variare il perimetro, con lo scopo

di stabilire se c’è confusione nell’apprendimento del concetto di area e fino a che

punto questo apprendimento è legato al concetto di perimetro.

Le prime tre schede comprendono triangoli isosceli costruiti dimezzando

successivamente la base e raddoppiando l’altezza, in modo da mantenere costante

l’area.

Nelle altre tre schede ho preso in considerazione triangoli scaleni, costruiti facendo

variare opportunamente la base e l’altezza, in modo che le figure siano comunque

equivalenti.

Questo secondo gruppo di schede è stato inserito per poter fare un confronto tra

le risposte che i ragazzi daranno per le schede del primo gruppo, cioè per figure

isoperimetriche, e quelle che daranno per questo gruppo, cioè per figure equivalenti.

66  

Scheda 7

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

   

67  

Scheda 8

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

68  

Scheda 9

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

69  

3.10 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo

gruppo di schede proposte (I tipologia)

Strategia n°1: esatta Il bambino effettua le misure della base e dell’altezza, in entrambi i casi, e applica

correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione che le

due figure hanno la stessa area.

Strategia n°2: errata Il bambino, misurando i lati, si rende conto che le due figure hanno diverso perimetro

deducendo che anche l’area è diversa.

Strategia n°3: esatta Il bambino immaginando che la seconda figura sia stata ottenuta allungando la prima,

deduce che le due figure hanno la stessa area.

Strategia n°4: errata Il bambino osserva le figure constatando che i lati sono diversi e deduce che anche la

loro area è diversa.

Strategie n°5: esatta Il bambino, dopo avere effettuato in entrambi i casi le misure della base e

dell’altezza, utilizzando strumenti anche alternativi al righello, si rende conto nella

seconda figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area

è rimasta invariata.

Strategia n°6: errata

Il bambino deduce che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad occhio

lo spazio della seconda gli appare maggiore trattandosi di una figura più lunga.

70  

Strategia n°7: errata Il bambino da la risposta corretta, applicando la formula in modo errato.

   

71  

Grafici sperimentazione

 

 

 

   

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 7

pre-testtest

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 8

pre-testtest

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 9

pre-testtest

72  

3.11 Osservazioni finali

Per la settima scheda

• Solo in 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 12 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 9 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro

area è diversa;

• 5 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 5 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula.

Per l’ottava scheda

• Gli stessi in 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 9 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 8 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro

area è diversa;

• 10 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 4 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula.

Per la nona scheda

• Gli stessi 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

73  

• 9 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 8 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro

area è diversa;

• 10 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 4 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

Per la settima scheda

• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta

allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;

• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la

loro area è diversa;

• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda

figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è

rimasta invariata;

• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula.

74  

Per l’ottava scheda

• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta

allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;

• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la

loro area è diversa;

• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda

figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è

rimasta invariata;

• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula;

Per la nona scheda

• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla

conclusione esatta;

• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta

allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;

• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la

loro area è diversa;

• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda

figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è

rimasta invariata;

75  

• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad

occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più

lunga;

• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la

formula;

76  

Scheda 10

 

 

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

77  

Scheda11

 

 

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

78  

Scheda 12

 

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

79  

3.12 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo

gruppo di schede proposte (II tipologia)

Strategia n°1: errata Il bambino deduce che le figure hanno area diversa perché hanno perimetro diverso.

Strategia n°2: errata Il bambino, trattandosi di triangoli dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa

che abbiano area diversa.

Strategia n°3: esatta Il bambino confrontando ad occhio o con l’ausilio di strumenti occasionali (quante

volte è contenuto il tappo della penna,..) le due figure si rende conto che lo spazio

bianco racchiuso dalle linee è uguale in entrambi i casi.

Strategia n°4: errata Il bambino, osservando le figure, pensa che nel secondo caso la figura sia più lunga,

dal momento che gli spigoli sporgono più orizzontalmente, e deduce che la loro area

è diversa

Strategie n°5: errata Il bambino misura correttamente la base ma nel misurare l’altezza la confonde con il

lato, quindi applica la formula, pervenendo alla conclusione che le due figure hanno

area diversa.

Strategia n°6: esatta Il bambino effettua le misure della base e dell’altezza, in entrambi i casi, e applica

correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione che le

due figure hanno la stessa area .

80  

Strategia n°7: errata Il bambino da la risposta corretta, applicando la formula in modo errato.

81  

Grafici della sperimentazione

 

 

 

   

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 10

pre-testtest

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 11

pre-testtest

0

2

4

6

8

10

12

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti scheda 12

pre-testtest

82  

3.13 Osservazioni finali Per la decima scheda

• 15 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 9 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i

triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco

standardizzata;

• 5 hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché hanno pensato

che la figura fosse più lunga, dal momento che gli spigoli sporgono più

orizzontalmente;

• 4 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa;

Per l’undicesima scheda

• 14 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i

triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco

standardizzata;

• 10 hanno risposto che le due figure hanno la stessa area, poiché la seconda si

ottiene allungando la prima;

• 2 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa;

• solo 2 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo

dell’area pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;

• 2 hanno risposto correttamene applicando la formula in modo errato.

83  

Per la dodicesima scheda

• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 9 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i

triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco

standardizzata;

• 2 hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché hanno pensato

che la figura fosse più lunga, dal momento che gli spigoli sporgono più

orizzontalmente;

• 4 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa.

Per quest’ultima scheda 10 bambini hanno risposto in modo diverso rispetto a

quanto avevo ipotizzato nell’analisi a priori, sostenendo che le due figure

avessero la stessa area in quanto girando (ruotando) la seconda figura si

ottengono due figure uguali.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

Per la decima scheda

• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i

triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco

standardizzata;

• 12 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa;

• 14 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area

pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;

84  

Per l’undicesima scheda

• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 4 hanno risposto che le due figure hanno la stessa area, poiché la seconda si

ottiene allungando la prima;

• 10 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa;

• 15 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area

pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;

Per la dodicesima scheda

• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area

perché avevano lo stesso perimetro;

• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i

triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco

standardizzata;

• 10 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il

lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due

figure hanno area diversa;

• 12 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area

pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;

Anche dopo il mio intervento 4 bambini hanno risposto che le due figure hanno

la stessa area in quanto girando (ruotando) la seconda figura si ottengono due

figure uguali.

85  

3.14 Scopi del III gruppo In questo gruppo di schede ho inserito figure geometriche che presentano maggiore

difficoltà di quelle del primo e del secondo gruppo. Anche questa volta ho mantenuto

l’area costante, facendo variare il perimetro, ma adesso si tratta di figure meno

standardizzate e non note che possono confondere la mente dei bambini, abituati a

studiare quasi esclusivamente poligoni regolari. In questo caso, non è sufficiente la

mera applicazione delle formule imparate a memoria, in quanto si richiede dapprima

di suddividere le figure date secondo figure note, calcolare l’area di ciascuna di

queste parti in cui è stata scomposta la figura successivamente pervenire all’area

della figura sommando i contributi parziali di ciascuna parte.

Scopo di queste schede è quello di capire se è effettivamente chiaro il concetto di

area.

86  

Scheda 13

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

87  

Scheda 14

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

88  

Scheda 15

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

89  

3.15 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del terzo gruppo

di schede proposte

Strategia n°1: errata Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di lati e deduce che hanno

area diversa

Strategia n°2: errata Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che

abbiano area diversa.

Strategia n°3: esatta Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare

l’area, applicando la formula; successivamente effettuando le somme parziali

constata che le figure sono equivalenti.

Strategia n°4: errata Il bambino deduce che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.

Strategia n°5: errata Il bambino da la risposta corretta, utilizzando un procedimento errato.

Strategia n°6: errata Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare

l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.

90  

Grafici della sperimentazione

 

 

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6

strategie

Esiti scheda 13

pre-testtest

0

2

4

6

8

10

12

numero alunni

1 2 3 4 5 6

strategie

Esiti scheda 14

pre-testtest

02468

10121416

numero alunni

1 2 3 4 5 6

strategie

Esiti scheda 15

pre-testtest

91  

3.16 Osservazioni finali Per la tredicesima scheda

• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.

Per la quattordicesima scheda

• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.

Per la quindicesima scheda

• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

Per la tredicesima scheda

• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a

calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le

somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;

92  

• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;

• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono

riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali

pervenendo alla conclusione errata.

Per la quattordicesima scheda

• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a

calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le

somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;

• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;

• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono

riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali

pervenendo alla conclusione errata.

Per la quindicesima scheda

• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;

• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a

calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le

somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;

• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;

• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono

riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali

pervenendo alla conclusione errata.

93  

3.17 Scopi del IV gruppo di schede 

Questo gruppo di schede comprende figure irregolari, per le quali non è possibile

l’applicazione di regole note. Lo scopo è quello di verificare se i bambini sono in

grado di stabilire l’uguaglianza di aree utilizzando l’equiscomponibilità o

introducendo un’opportuna unità di misura. Mentre per le figure dei gruppi

precedenti si può pervenire alla conclusione con l’utilizzo delle regole note, anche

nel caso del precedente gruppo di schede, che comprende figure facilmente

scomponibili secondo figure note, per questo gruppo bisogna iniziare a ragionare in

modo diverso.

94  

Scheda 16

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

95  

Scheda 17

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

96  

Scheda 18

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

97  

3.18 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quarto 

gruppo di schede proposte 

Strategia n°1: errata Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che

abbiano area diversa.

Strategia n°2: esatta Il bambino scompone le figure in quadratini unitari e, dopo avere contato quanti

quadratini contiene l’una e quanti l’altra, perviene alla conclusione che hanno area

diversa.

Strategia n°3: esatta Il bambino prova a vedere quante volte è contenuto un oggetto (temperamatite, tappo

della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi stabilire che hanno area diversa.

Strategia n°4: esatta Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare

l’area, applicando la formula; successivamente effettuando le somme parziali

constata che le figure non sono equivalenti.

Strategia n°5: errata Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare

l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.

Strategia n°6: errata Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di lati e deduce che hanno

area diversa

98  

Strategia n°7: errata Il bambino constata che le figure hanno perimetro diverso e deduce che hanno area

diversa.

99  

Grafici della sperimentazione

 

 

   

02468

1012141618

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti IV gruppo di schede

pre-testtest

100  

3.19 Osservazioni finali 

Per il quarto gruppo di schede

• 18 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;

• 10 alunni hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 5 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché hanno

perimetro diverso.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

Per il quarto gruppo di schede

• 4 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;

• 4 alunni hanno provato a vedere quante volte è contenuto un oggetto

(temperamatite, tappo della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi

stabilire che hanno area diversa;

• 8 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, riuscendo a

calcolarne l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le

somme parziali, constatando che le figure non sono equivalenti;

• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, per le quali sono

riusciti a calcolarne l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali

pervenendo alla conclusione errata;

• 2 alunni hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,

deducendo che hanno area diversa;

• 2 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché hanno

perimetro diverso.

101  

3.20 Scopi del V gruppo di schede 

Quest’ultimo gruppo di schede proposte ha lo scopo di vedere se i ragazzi sono in

grado di introdurre una unità di misura, e vedere quindi se sono in grado di

determinare un rapporto tra due superfici, di cui una è scelta come unità di misura.

102  

Scheda 19

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

103  

Scheda 20

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

104  

Scheda 21

 

 

Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?

• Si;

• No;

• Non lo so;

Che metodo hai usato per rispondere?

105  

3.21 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quinto 

gruppo di schede proposte 

Strategia n°1: errata Il bambino non sa come misurarle e, dunque, non sa rispondere.

Strategia n°2: errata Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che

abbiano area diversa.

Strategia n°3: esatta Il bambino scompone le figure in quadratini unitari e, dopo avere contato quanti

quadratini contiene l’una e quanti l’altra, perviene alla conclusione che hanno area

diversa.

Strategia n°4: esatta Il bambino prova a vedere quante volte è contenuto un oggetto (temperamatite, tappo

della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi stabilire che hanno area diversa.

Strategia n°5: errata Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di curve e deduce che

hanno area diversa.

Strategia n°6: esatta Il bambino confrontando ad occhio le due figure si rende conto che lo spazio bianco

racchiuso dalle linee è diverso in entrambi i casi, deducendo che la loro area è

differente.

Strategia n°7: errata Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare

l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.

106  

Grafici della sperimentazione

 

   

0

5

10

15

20

numero alunni

1 2 3 4 5 6 7

strategie

Esiti V gruppo di schede

pre-testtest

107  

3.22 Osservazioni finali 

Per il quinto gruppo di schede:

• 4 bambini non hanno saputo rispondere, non essendo in grado di misurarle;

• 20 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;

• 9 hanno risposto che hanno are diversa poiché hanno un numero diverso di

curve.

Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:

Per il quinto gruppo di schede:

• 5 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono

diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;

• 4 alunni hanno tentato di suddividere le figure in quadratini unitari, non

portando a termine la consegna;

• 2 hanno risposto che hanno are diversa poiché hanno un numero diverso di

curve;

• 8 bambini confrontando ad occhio le due figure si sono resi conto che lo

spazio bianco racchiuso dalle linee è diverso in entrambi i casi, deducendo

che la loro area è differente;

• 14 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, non pervenendo

tuttavia alla conclusione

Come si evince dai dati riportati, dopo il lavoro effettuato la maggior parte dei

bambini ha risposto correttamente, applicando adeguatamente la formula per tutte e

tre le schede. Sebbene alcuni abbiano continuato a perseverare nella confusione tra i

concetti di area e perimetro, molti altri hanno appreso bene la differenza tra i due.

108  

Conclusioni e problemi aperti

Dalla lettura dei grafici riportati di seguito a ogni gruppo di schede, si può

constatare che la maggior parte dei bambini, cui ho rivolto la mia indagine,

nonostante possedesse già una prima infarinatura sui due concetti, compresa la

conoscenza delle formule, non aveva ben chiari e distinti i concetti di area e

perimetro. Dai risultati registrati nel pre-test è emersa, infatti, una grande confusione

tra i due concetti. Frequente era l’associazione isoperimetria-equiestensione delle

figure presentate e gran parte dei bambini associava alla diversità della forma, la

diversità delle aree, confondendo il contorno della figura con la superficie da esso

racchiusa. Queste difficoltà sono state riscontrate anche nei bambini che

conoscevano mnemonicamente le formule.

È per questo che durante il mio intervento ho cercato di analizzare in maniera

approfondita i concetti di perimetro e area, mirando a un’acquisizione consapevole di

tali concetti, mediante problemi di natura pratica, che costituissero interessanti spunti

di riflessione, in modo da mettere in luce le differenze tra i due.

Al termine della parentesi riepilogativa di approfondimento, ho somministrato loro

nuovamente le schede proposte all’inizio, ottenendo questa volta risultati di gran

lunga migliori, come si evince dai commenti posti a seguito delle schede e dai grafici

illustrativi. Gran parte dei bambini ha acquisito una conoscenza più consapevole

sull’argomento, non associando più alla stessa area lo stesso perimetro e viceversa e

comprendendo che all’aumentare o diminuire dell’una non corrisponde un aumento o

diminuzione dell’altra.

I risultati raggiunti hanno costituito un importante spunto di riflessione per la mia

futura professione di insegnante e, attraverso questa attività sperimentale, ho potuto

rendermi conto dell’importanza che riveste la metodologia di insegnamento

adoperata per favorire l’acquisizione di conoscenze da parte dei bambini. Il ruolo

dell’insegnante non è più, infatti, quello di semplice trasmettitore di saperi, bensì

quello di facilitatore del processo di apprendimento. In questa prospettiva, la

risoluzione di problemi rappresenta per gli allievi un valido spunto alla ricerca, alla

riflessione e all’elaborazione di nuove conoscenze. L’insegnante potrà utilmente

109  

sfruttare la curiosità innata degli studenti per far loro meditare su dati ed

informazioni riguardo a problemi che li possono coinvolgere direttamente. Operare

in contesti che interessano, perché derivanti da fenomeni in parte conosciuti, può

essere un attivo strumento di lavoro e di stimolo per passare dalla realtà alla sua

astrazione simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della matematica, in

modo che gli studenti arrivino a percepire che le formule non appaiono più come

ricette, ma sono parte fondamentale di un linguaggio che ha il vantaggio della

concisione e della non equivocità. In base ai risultati ottenuti con il mio lavoro

sperimentale, ho individuato alcuni problemi aperti, interrogativi che pongono

sicuramente nuove questioni da chiarire e spunti di riflessione che possono costituire

un punto di partenza per successive riflessioni e ricerche:

• Quali sarebbero le risposte se l’indagine fosse rivolta ad alunni di diverso

ordine di scuola?

• Le risposte al lavoro proposto sarebbero differenti se presentate in contesti

socio-culturali diversi tra loro?

• Quali sarebbero le risposte se l’indagine fosse rivolta a un campione di

insegnanti?

110  

Allegati Da pag. 111 a pag. 122 sono riportate in allegato alcune delle schede più significative

compilate dai bambini durante il pre-test .

Da pag. 123 a pag. 128 sono riportate in allegato alcune delle schede più significative

compilate dai bambini durante il test .

   

 

 

 

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128 

129  

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