Comunicazione delle Matematiche, Scienze delle Formazione, …math.unipa.it/~grim/Comunicaz_delle_Matem_09.pdf · 2009-05-22 · ScF Comunicazione delle Matematiche, Scienze delle

ScFComunicazione delle Matematiche, Scienze delle Formazione, Università di Palermo, 2008/2009

Quadro teorico

Didattica laboratoriale

Progettazione e sperimentazione

Discussione collegiale dei risultati evidenziati

Percorso Formativo

Programma del corso

Mappa del corso

Comunicazione delle Matematiche 2008/09

Corso di Laurea in Scienze della Formazione

Comunicazione delle Matematiche (Prof. Filippo Spagnolo)

Anno Accademico 2008/2009

Filippo Spagnolo

Benedetto Di PaolaG.R.I.M., Dipartimento di Matematica ed Applicazioni Palermo

http://math.unipa.it/~grim/



Quadro teorico




Percorso Formativo

Programma del corso

Mappa del corso


AvvertenzaAvvertenza

Tutto ciò che segue viene Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera presentato solo in maniera

schematica come traccia degli schematica come traccia degli argomenti trattati durante il corso.argomenti trattati durante il corso.


Quadro teorico




Percorso Formativo

Programma del corso

Mappa del corso


Programma del corso

Percorso Formativo,quadro teorico.

Interpretazione semiotica delle Matematiche.

Esempi di didattica laboratoriale (TSD di Brousseau).

Epistemologia sperimentaleBreve percorso logico-filosofico delle

Matematiche nel 900.

Il ruolo della metafora (l’embodiment: come apprendimento tramite il movimento del corpo), esempi di paradossi semantici

sintattici e pragmatici.Progettazione dei lavori

sperimentali.

Programma del corso


Quadro teorico




Percorso Formativo

Programma del corso

Mappa del corso


Accoglienza: contratto formativo del corso

Educazione Matematica e metodologiche didattiche

Scelta di nuclei fondanti per la Matematica

Conoscenza e Competenza

Quadro teorico di riferimento

La trasposizione didattica

I Saperi Matematici nella scuola primaria

Teoria delle Situazioni di Brousseau


Quadro teorico




Percorso Formativo

Programma del corso

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Differenza fra Matematica e educazione Matematica.

(Chevallard, 19985, D’Amore, 2001, Brousseau, 1986)

Riconoscimento della natura dei concetti (oggetti) della Matematica e i registri semiotici per le

rappresentazioni di questi (trattamento e conversione). (D’Amore, 2001, Duval 1993)

Linguaggio comune e linguaggio matematico (D’Amore 1993, Laborde, 1982)

La Matematica come fatto culturale (D’Ambrosio 1990)

Relazioni tra insegnante, allievo e sapere (Artigue, 1989, D’Amore 2001)

Approccio neuroscientifico e linguistico


1

3

4

2

Quadro teorico

Esempi di didattica laboratoriale

Progettazione e verifica5


Quadro teorico




Percorso Formativo

Programma del corso

Mappa del corso


1

Un interessante studio (Gallagher,1991) condotto in classe osservando il lavoro degli insegnanti e discutendo con loro, ha individuato sei concezioni della relazione tra insegnamento/apprendimento, che sono state categorizzate ed ordinate in un ordine crescente rispetto all’evoluzione professionale: il livello più basso è quello in cui l’insegnante si considera semplicemente il “depositario” dei contenuti della disciplina che trasmette secondo sequenze rigide e “garantite”, mentre il livello più alto è quello in cui l’insegnante ha di sé l’immagine professionale di mediatore, usa molteplici strategie per aiutare lo studente ad esplicitare le proprie conoscenze ed innesta su di esse nuove conoscenze che l’alunno metterà in relazione con quanto già conosce.

Gallagher, J. (1991). Prospective and practicing secondary school science teachers’ knowledge and beliefs about the philosophy of science. Science Education, 75, 121-133.



Quadro teorico




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Programma del corso

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1


G. Frege 1879 Begriffsschrift; eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reines Denkens, Nebert, Halle (tr.it. Ideografia, un linguaggio in formule del pensiero puro, a imitazione di quello aritmetico, in Frege 1965)


Quadro teorico




Percorso Formativo

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4

Da una scuola fondata sulle conoscenze a una scuola centrata sulle competenze!

Come si definisce una competenza?

Quale il suo ruolo nell'azione didattica?

Possibilità di definire competenze generali e specifiche per la Matematica!

La competenza come principio fondamentale per il rinnovamento della scuola.

Quali competenze per la Matematica?

Aspetto culturale. Possibile un collegamento tra competenze e storia della civiltà?


M. Pellerey, Insegnare religione, nn. 1-2-3/2007


Quadro teorico




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Programma del corso

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Indicazioni per il curricolo del primo ciclo

Regolamento dell'obbligo di istruzione (DM 139/07)

per il primo biennio del secondo ciclo

«capacità di utilizzare le conoscenze acquisite»Curricolo della scuola di

base, 2001 De Mauro

4

Raccomandazioni per la scuola primaria,

diffuse informalmente nel 2003 per il

progetto Moratti

«l'insieme delle buone capacità potenziali portate al miglior compimento nelle particolari situazioni date».

«le competenze sviluppate nell'ambito delle singole discipline concorrono a loro volta alla promozione di competenze più ampie e trasversali, che rappresentano una condizione essenziale per la piena realizzazione personale e per la partecipazione attiva alla vita sociale, nella misura in cui sono orientate ai valori della convivenza civile e del bene comune».

«indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termini di responsabilità e autonomia». Cfr. Quadro Europeo delle Qualifiche e dei Titoli (2006)


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Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio d'Europa (2006):otto "competenze chiave" per l'apprendimento permanente.

« combinazione di conoscenze, abilità e attitudini adeguate per affrontare una situazione particolare».

Esse «Contribuiscono alla realizzazione personale, all'inclusione sociale, alla cittadinanza attiva e all'occupazione».

Competenze chiave sono: -comunicazione nella madrelingua,

-comunicazione nelle lingue straniere, -competenza Matematica

-competenze di base in scienza e tecnologia, -competenza digitale, -imparare a imparare,

-competenze interpersonali, interculturali e sociali e -competenza civica, imprenditorialità, espressione culturale.

Nel Regolamento dell'obbligo vengono poi tradotte in: imparare ad imparare, progettare, comunicare, collaborare e partecipare, agire in modo autonomo e responsabile, risolvere problemi, individuare

collegamenti e relazioni, acquisire ed interpretare l'informazione.

Conoscenza e Competenza 4


Quadro teorico




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B. D'Amore e alliCompetenze in Matematica, 2003

UMI 2003


Riccardo Cantoral: “Conoscenza è l’informazione senza uso; il Sapere è l’azione deliberata per fare con la conoscenza un oggetto utile di fronte ad una situazione problematica. Dal che si deduce che l’Apprendimento è una manifestazione dell’evoluzione della conoscenza in sapere. L’apprendimento consiste dunque nel dare la risposta corretta prima della situazione concreta". Definizione espressa a proposito del dibattito su che cosa significhi davvero sapere

4


Quadro teorico




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Un contenuto è una porzione limitata di sapere, ristretta ad un certo ambito e limitata ad un certo soggetto, un certo tema specifico, un certo elemento di tale sapere. Contenuto disciplinare, metadisciplinare, pluridisciplinare, multidisciplinare, interdisciplinare, non disciplinare…Una conoscenza è, allo stesso tempo: la capacità di rielaborare contenuti in modo autonomo per raggiungere una mèta e il risultato di tale elaborazione. Una conoscenza può coinvolgere uno o più contenuti.La competenza è concetto complesso e dinamico:si tratta infatti dell'insieme di due componenti: uso e padronanza anche elaborativi, interpretativi e creativi, di conoscenze che collegano contenuti diversi.Questo uso e questa padronanza non sono però l'unica espressione della competenza; la competenza racchiude in sé fattori meta-conoscitivi come l'accettazione dello stimolo a farne uso, il desiderio di farlo, il desiderio di completare le conoscenze e quindi lo stesso desiderio di aumentare la propria competenza.La capacità è l'espressione specifica (esterna) di carattere attuativo di ogni singola competenza.

4



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“Più che di sistema di insegnamento-apprendimento, si tratta soprattutto di un complesso sistema di azioni che proseguono tra situazioni didattiche ed a-didattiche, nelle quali lo studente accetta il suo ruolo non solo di ripetitore passivo di quanto gli è stato insegnato, ma di attore protagonista della costruzione.

A questo va aggiunto,…, l'educazione all'assunzione di responsabilità apprenditiva, di sfida, di valutazione quasi autonoma dei risultati raggiunti”

Problematiche relative alle classi multiculturali in Italia. Aspetti psicopedagogici e didattici.

4



Quadro teorico




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Problematiche relative alle classi multiculturali in Italia. Aspetti psico-pedagocici e didattici.

Cultura personale

Relazioni di scambio e analisi della

mediazione delle conoscenze

(macro pattern)

Agenti individuali (micro pattern)

Cultura condivisa

Ris

orse

co

gniti

veR

isor

se

soci

ali

Classe Multiculturale-Interculturale

3


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Uno dei principali problemi della didattica della Matematica è oggi[1], quindi, quello di riguardare in maniera critica la possibilità di coniugare teoria e pratica in un ambito di un programma etnomatematico[2]; cercando di pianificare e condurre le attività didattiche della programmazione, in maniera consapevole dello sviluppo delle conoscenze Matematiche (Bishop, 1998; Favilli, 2002; Joseph, 1992; Gagatsis, 2003) e dei processi di insegnamento/apprendimento attuati in contesti culturali differenti da quello proprio, come quelli, ad esempio, delle scuole nei paesi orientali (Spagnolo 2002, Di Paola 2006).

Favorire quindi un approccio disciplinare interculturale come modello educativo più appropriato ed efficace in situazioni di multiculturalità (Oliveras, Favilli & César, 2002).

[1] Particolarmente rilevante per la problematica trattata è stato certamente l’ICMI del 2004, Copenhagen.[2] Il termine Etno-matematica viene definito come “the mathematics which is practised among identifiable cultural groups such as national-tribal societies, labour groups, children of a certain age bracket, professional classes and so on”, “the arts or techniques developed by different cultures to explain, to understand, to cope with their environment” (D’Ambrosio, 1992)

3 Problematiche relative alle classi multiculturali in Italia. Aspetti psico-pedagocici e didattici.


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Pisa (Programme for International Student Assessment)

risultati ottenuti, metodologia di ricerca e paesi coinvoltiti nella sperimentazione.

E’ un'indagine internazionale che si propone di valutare, con scadenza triennale, le competenze degli studenti . Valuta, quindi, ogni tre anni la literacy raggiunta da studenti coinvolti in tre ambiti considerati fondamentali per il “futuro cittadino”: lettura, Matematica e Scienze.

La proposta del PISA (innovativa rispetto a ricerche analoghe come, per esempio, l'indagine TIMSS sulle competenze Matematiche e scientifiche proposta dall' associazione IEA, International Association for the Evaluation of Educational Achievement) è quella di non guardare indietro, verificando se gli studenti abbiano o no imparato quello che gli è stato proposto, ma piuttosto avanti.

Con questa finalità il PISA propone ogni 3 anni quesiti, scritti (di cui solo una metà a scelta multipla) su tutti e tre gli ambiti, alternando l'estensione dell'indagine, così da avere ogni tre anni un approfondimento su ognuna delle tre discipline. Nel 2000 si è iniziato con la lettura, nel 2003 l'ambito principale è stato la Matematica, nel 2006 è stato le Scienze.

PISA 2003 - 2006 - 20093


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Il programma PISA 2003 ha coinvolto in totale 41 paesi, tra i quali 30 paesi dell'OCSE. (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico) ed è stato affidato, per quanto

riguarda l’Italia, all'INVALSI, Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema dell'Istruzione. La ricerca ha seguito procedure rigorose, per la traduzione dei quesiti nelle varie lingue, il

campionamento e la somministrazione alle scuole, controllate a livello internazionale per garantire la comparabilità dei risultati.

L’Italia è risultata tra gli ultimi paesi OCSE, ben al di sotto la media internazionale in tutti e tre gli ambiti. …

Perché questi risultati?

L'indagine OCSE-PISA 2003

3

PISA 2003 - 2006 - 2009


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CompetenzeArgomentazione; Comunicazione; Modellizzazione;Formulazione e risoluzione di problemi; Rappresentazione;Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico e delle operazioni.

3

PISA 2003 - 2006 - 2009

Profilo del progetto_matematica.mht


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Dagli anni ’70 l’insegnamento della Matematica ha subito un costante sviluppo; in consonanza con l’insegnamento in generale, l’attenzione si è spostata dall’insegnare all’imparare, dall’insegnante quindi all’allievo.Nel considerare la terna SAPERE-ALLIEVO-INSEGNANTE (S.A.I.) si è posta allora sempre più attenzione alla relazione allievo–sapere (conoscenze da imparare). La ricerca in didattica della Matematica, ha ricevuto, in questo senso, da Guy Brousseau e il suo gruppo di ricerca operante a Bordeaux (Francia), uno stimolo fondamentale.

La teoria didattica creata si propone, da una parte di capire e spiegare con chiarezza i processi che si verificano nei fenomeni di insegnamento/apprendimento della Matematica, d’altra parte, di fornire agli insegnanti e ai ricercatori uno strumento per progettare e realizzare un insegnamento efficace e quindi identificare una serie di situazioni di apprendimento che possano permettere all’allievo di imparare quasi senza interventi didattici da parte del docente.


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Concetti principali della TSD:

• le situazioni di azione, formulazione, validazione,• l’istituzionalizzazione,

• la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica,• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza Matematica,

• l’ambiente del compito (milieu),• il processo di devoluzione,

• il contratto didattico,• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).



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Concetti principali della TSD:

• le situazioni di azione, formulazione, validazione,• l’istituzionalizzazione,

• la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica,• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza Matematica,

• l’ambiente del compito (milieu),• il processo di devoluzione,

• il contratto didattico,• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).

Analisi di lavori sperimentali condotti dal differenti gruppi di ricerca e possibili spunti di riflessioni su differenti ambienti di Matematica.

Una riflessione sulla risoluzione di una “situazione problema” di Matematica



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Completa la seguente tabella inserendo nei riquadri i valori corretti *

N Numero di meli Numero di conifere1 1 82 4 163 945

Descrivi brevemente quali possono essere, secondo te, le strategie di risoluzione e gli errori messi in atto da uno studente per la risoluzione del quesito posto sotto: Un agricoltore pianta dei meli in modo da formare un quadrato. Per proteggere questi alberi dal vento, pianta delle conifere intorno al frutteto. Rappresentato puoi vedere uno schema che indica la disposizione dei meli e delle conifere per un numero qualsiasi di filari (n) di meli:


* OCSE/PISA - Programme for International Student Assessment


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N Numero di meli Numero di conifere

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40



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G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull’Insegnamento delle MatematicheDipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO

Tel.+39(091) 6040434 - 6040428 - Fax +39(091) 6165425Mail: [email protected]

Web: http://math.unipa.it/~grim/



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Laboratorio di macchine Matematiche

Pantografo per simmetria centrale:

ABCP è un rombo articolato, il lato AB è imperniato al piano del modello nel suo punto medio O. L'asta CB è prolungata di una lunghezza BQ=CB. I punti P e Q hanno due gradi di libertà, la macchina realizza una trasformazione in cui P e Q si corrispondono. Poiché in ogni posizione P e Q sono allineati con O e PO=OQ , la corrispondenza generata è la simmetria centrale con centro O.



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Pantografo di Sylvester (rotazione) :

OABC è un parallelogramma articolato, il vertice O è imperniato al piano del modello. Sui lati AB e CB sono costruiti due triangoli isosceli simili con i vertici in A e in C. I punti P e Q hanno due gradi di libertà; la macchina realizza una corrispondenza fra due regioni finite di piano: i punti P e Q si corrispondono in una rotazione di centro O e ampiezza .



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Traslatore del Kempe:

ABCD e DCPQ sono due parallelogrammi articolati aventi il lato CD in comune. Il lato AB del primo è fissato al piano del modello. I punti P e Q hanno due gradi di libertà; la macchina realizza una corrispondenza fra due regioni di piano in cui P e Q si corrispondono; tale corrispondenza è la traslazione individuata in modulo, direzione e verso da BA.



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E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli, “Giochiamo con la Matematica 4 Anni”, Fabbri Editori, 1994


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E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli,

“Giochiamo con la Matematica 5 Anni”, Fabbri Editori, 1994






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Didattica laboratorialeLe Trasformazioni geometriche di Escher


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Didattica laboratorialeLe Trasformazioni geometriche di Escher


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Didattica laboratorialeProblema:

Completa il quadrato magico inserendo i numeri mancanti in modo che la somma dei numeri di ciascuna riga, colonna o diagonale risulti sempre la stessa.

Fasi dell'attività Scuola Primaria, Secondaria inferiore e superiore

CONSEGNA

FASE DI AZIONE: LAVORO INDIVIDUALE CON MOTIVAZIONE (durata 50’)

FORMULAZIONE:GIOCO DI SQUADRA (durata 50’)

SITUAZIONE DI VALIDAZIONE

Si scrivono alla lavagna le affermazioni risolutive che tutti ritengono valide e si arriva a formulare un teorema.

3

2 4

Somma 9

14 1

9 1211 a 10 16 13

Somma 26+a


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Scuola Primaria:

Consegna e Prima faseSeconda faseGiustificazione delle strategie adottate.Giustificazioni generali.Ragionamenti di tipo locale (che riguardano in altre parole il solo caso presentato).Falso ragionamento.

Scuola Secondaria Inferiore I:

Complessivamente nei vari gruppi si è evidenziato un tentativo di argomentazione con modalità di tipo generalizzazione e gerarchizzazione.

In alcuni casi l’argomentazione è corretta, ma non si evidenziano indicatori linguistici particolari, essa è basata su principi estensivi: “visto che…”, “per arrivare a…” o su indicatori tautologici: “è così perché fa…”.

Ci sono anche tentativi di controesempio: “facciamo le diagonali, proviamo in tutti i modi…”, “ho messo così…perché fa…”,

di ipotesi pragmatiche di ulteriore strategia “…io li ho fatti con il meno…”; “forse dobbiamo fare cosi`…”; “forse dobbiamo cambiare questo…”

In altri casi si utilizzano falsi ragionamenti giustificati, in cui il gruppo lavora anche fuori dal quadrato.


14 1

9 1211 a 10 16 13

Somma 26+a

3

2 4

Somma 9

Quadrato magico con Excel

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_consegna.avi

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_secondafase.avi

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_giuststrateg.avi

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_giustgene.avi

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_ragionlocale.avi

Sperimentaz_Quadrato magico\canali_falsoragion.avi


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La proporzionalità è uno dei temi principali dei programmi di Matematica dalla fine della scuola primaria ai primi livelli di scuola secondaria.

In accordo con numerose ricerche in Didattica della Matematica, risulta infatti uno di quei concetti fondamentali per lo sviluppo del pensiero matematico (Confrey e Smith, 1995; Nabors, 2003).

Il primo riscontro si ha al biennio della scuola primaria sotto forma verbale, analogica. (Piaget, Campbell, 2001) parlano di analogie come una sorta di “proporzione qualitativa”.

Gradatamente si sviluppa poi in situazioni che prendono in considerazione equivalenza e confronto di frazioni; evolvendosi successivamente come base per il ragionamento algebrico.

Applicare la “regola del tre” è considerata una competenza attestante una buona formazione nel calcolo, che permette di risolvere la gran parte delle situazioni numeriche incontrate nella vita reale e con le quali ogni giorno ci confrontiamo: percentuali, scale, densità, velocità …

Divisione Frazione Rapporto Uguaglianza

Proporzione

Ragionamento proporzionale Didattica laboratoriale


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Il percorso verso il rigore matematico associato al concetto di proporzione e quindi di ragionamento proporzionale è lungo e difficile da favorire in classe.

Spesso infatti, gli studenti posti davanti ad una situazione reale, quotidiana, dal momento in cui percepiscono l’esistenza di due grandezze distinte in gioco, cercano delle regolarità tra le due successioni numeriche corrispondenti; riportano, dall’una all’altra, per analogia, certe operazioni elementari come l’addizione, la sottrazione o la moltiplicazione.

Partendo dall’intuizione, si passa attraverso confusioni, false piste, verifiche insufficienti … (L’educazione Matematica 2004) ad un ragionamento “scientifico”.



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Esempio 7. Le biciclette Velox (UMI 2001)

Competenze Interessate

Contenuti Nuclei coinvolti

Collegamenti esterni

Rappresentare relazioni tra dati numerici.Passare da una rappresentazione all’altra.

Relazioni e loro rappresentazioni (tabelle, piano cartesiano).

Le relazioniIl numeroI dati e le previsioniRisolvere e porsi problemiArgomentare e congetturare

La proposta è costituita da una situazione problema sul costo di 60 biciclette, dato un grafico che rappresenta i prezzi fino a un massimo di 25 biciclette.

Grafico dei nuovi prezzi: BICICLETTE VELOX

0

1200

2400

3600

4800

6000

0 5 10 15 20 25

numero biciclette

pre

zzi

in e

uro

Numero biciclette VELOX

Prezzi in eurobiciclette VELOX

5 1 200

10 2 400

15 3 600

20 4 800

25 6 000

30 ?

35 ?

40 ?

45 ?

50 ?

55 ?

60 ?



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Esempio 1 . Decorazioni (9° RMT (2001), prova II, problema 9, cat. 4 - 5 - 6.)

Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.

Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18 barattoli di rosso per una figura, 21 barattoli di blu per un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta. Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.Indicate il colore di ogni figura.

Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato? Spiegate come avete trovato la risposta.

Il Problema è stato successivamente trasformato in “Tartufi al cioccolato” per la finale dell’undicesimo RMT, e sperimentato a Ginevra da Vernex (2004) in quattro classi di quinta e sesta (9 e 10 anni ) con valori un po’ più semplici di quelli della versione RMT.



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Analisi del compitoPer risolvere questa situazione-problema, bisogna, in un prima fase di analisi, rendersi conto della presenza di due “grandezze”: le figure geometriche presentate, ed il numero di barattoli utilizzati per la pittura.

“Grandezze”:

Rettangolo 8 Ottagono 7Triangolo 9Rombo 6

I valori relativi alle quantità di colori sono indicati nel testo ma ne manca uno. L’allievo non può sapere a quale figura geometrica associare il colore esatto e il nero che è mancante

Nella maggior parte dei problemi di proporzionalità, come abbiamo visto, le corrispondenze sono sempre date dall’enunciato! La situazione che si presenta in questo caso deve prevedere una fase di congettura ed argomentazione che devono preludere una fase dimostrativa.



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Possibile analisi a-priori delle strategie risolutive:

S1: Determinare il coefficiente di proporzionalità (il numero di barattoli da usare per colorare un quadratino). Strategia per prove ed errori. Il quoziente “numero di barattoli da usare”/ “numero di quadratini che compongono una figura geometrica” restituisce la quantità di barattoli di colore per colorare un quadratino (pensiero proporzionale)

S2: Utilizzare la proprietà additiva (delle differenze) della linearità:

6 7 8 9 +1 18 21 … 27 +3

S3: …

La figura associata ai vari colori è quindi data dalla corrispondenza tra le due righe. Il Nero è il colore associato al rettangolo (8) e la quantità è quindi 24 barattoli.



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Esempio 2. Pista di atletica (Cramer K, et all., 1993)

Giulia e Elena corrono alla stessa velocità su una pista di atletica. Giulia è partita prima.Nel momento in cui ha fatto 9 giri, Elena ne ha fatto 3.

Quanti giri avrà fatto Giulia quando Elena ne avrà fatto 15?

Cramer, Post e Currier hanno proposto questo problema a 33 futuri maestri.

Tutti, salvo uno, hanno risolto il problema cercando il numero sconosciuto risolvendol’equazione 9:3 = x:15 per ottenere x = 45.

La soluzione è, evidentemente 15 + (9 - 3) = 21

ElenaElena GiuliaGiulia

g1

g2

g3

g4

g5

g6

g7 g1

g8 g2

g9 g3

g10 g4

g11 g5

g12 g6

g13 g7

g14 g8

g15 g9

g16 g10

g17 g11

g18 g12

g19 g13

g20 g14

g21 g15



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Esempio 3. Il puzzle (Brousseau, 1981)

L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:“A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di realizzare un ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire. »

Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto.

Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).



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Esempio 4. Griglie (RMT (2000), prova II, problema 5, cat. 3 - 4 - 5.)

Secondo il disegno, da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati.Continuando secondo la stessa metodologia, si troverà una griglia di 120 quadrati?E una griglia di 240 quadrati?Spiegate il vostro ragionamento.

Jaquet (2000) ha messo in evidenza come, tra le diverse procedure e strategie, risulti un ragionamento frequente che si sviluppa in ambito numerico e dove l’ostacolo del «modello esclusivo di linearità» interferisce con la ricerca e conduce ad una soluzione errata:-Abbiamo disegnato i quadrati fino a quello di 120; calcolando il doppio di 120 il risultato è 240. Quindi si trovano tutti e due i numeri. -Nous avons fait cela jusqu’à 120 (disegno e calcoli per ogni figura) oui, on peut trouver une grille de 240 carrés. Il faut faire cela par rapport au précédent..

BaseBase AltezzaAltezza Num.quadratiNum.quadrati

3 1 3

4 2 8

5 3 15

6 4 24

7 5 35

8 6 48

9 7 63

10 8 80

11 9 99

12 10 120

13 11 143

14 12 168



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Esempio 5. Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.

Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?

Un solo allievo ha detto che «il problema è impossibile». (Dumas, Jaquet, 2001)

La relazione tra l’età e l’altezza di una persona non è lineare, L’enunciato, però, con la scelta dei dati e delle domande può indurre l’allievo che non analizza in modo critico le sue risposte, ad applicare meccanicamente le proprietà della linearità, tanto più che l’effetto del contratto didattico lo spinge a dare una risposta alle domande, malgrado le contraddizioni che appaiono, nei calcoli, per 4 anni e per 8 anni.



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1) Campeggiatore : Tenda :: Uccello : __________________ Caverne, Nido, gabbia

2) Pecora : Vello :: Pollo : _________________ Uova, Piume, Carne

3) Letto : Dormire :: _________________ : _________________ Carta, Tavolo, Acqua Cibo, Pioggia, Libro

4) Pane : Coltello : _____________________ : ______________________ Giornale, Lenzuolo, Legno Inchiostro, Forbici, Rasoio

(Gagatis et alii, 2007)



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"E’ difficile trovare un campo migliore in cui dimostrare come operi il pensiero matematico"

(Henry Poincaré).



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Numeri consecutiviCase study “Motivate Me Project”, 2008/2009

Puzzle numericoCase study “Motivate Me Project” 2008/2009


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L’embodiment: apprendimento tramite il movimento del corpo

“Quando si discute di sviluppo mentale, ci sonomolti che dicono: <Che cosa c’entra il movimento?

Stiamo parlando della mente>.E quando pensiamo all’attività intellettiva

immaginiamo sempre persone sedute, immobilisenza movimento e dipendente da questo.

E’ vitale che la teoria e la pratica educativa sidebbano confermare a questa idea”

Maria Montessori, 1952


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L’embodiment della mente: la natura dettagliata dei nostri corpi, dei nostri cervelli e del nostro funzionamento quotidiano nel mondo, struttura i concetti e i ragionamenti umani. Ciò include i concetti e i ragionamenti matematici.L’inconscio cognitivo: la maggior parte del pensiero è inconscia: inaccessibile all’introspezione diretta e cosciente. Noi non possiamo osservare direttamente i nostri sistemi concettuali e i nostri processi di pensiero. Ciò include la maggior parte del pensiero matematico.Il pensiero metaforico: gli esseri umani concettualizzano i concetti astratti in termini concreti, utilizzando idee e modelli di ragionamento fondati sul sistema senso-motorio. Il meccanismo per cui l’astratto è compreso in termini del concreto viene detto metafora concettuale.•«I NUMERI SONO PUNTI SU UNA RETTA»•«Le FUNZIONI nel piano cartesiano sono spesso concettualizzate in termini di moto lungo un percorso» (Lakoff & Núñez, 2005, p.70)•«LA VARIAZIONE DI UNA FUNZIONE È IL MOVIMENTO COORDINATO DI DUE TRACCIATORI, uno nel dominio e uno nel codominio della funzione» (Lakoff e Nuñez, p.249)

Arzarello (2006), Lakoff & Nùñez (2005)


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D’amore (2001)


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i tratta di un generatore/ricevitore di brevi impulsi ultrasonori che misura l’intervallo di tempo trascorso tra l’emissione e la ricezione dell’impulso riflesso da un oggetto o da una persona.

ssendo la velocità del suono in aria alla temperatura ambiente, il tempo misurato viene tradotto in distanza percorsa dall'onda sonora

Cos’è il sensore di movimento?


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l sensore di movimento trasmette le misurazioni al computer, il quale facendo un uso opportuno del software (Data Logger) visualizza i dati in una tabella ed un grafico S/t.


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Prima fase sperimentale: movimenti spontanei degli alunni davanti al sensore:


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Seconda fase sperimentale: camminata di allontanamento dal sensore:


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Terza fase sperimentale: camminata di avvicinamento al sensore:


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Quarta fase sperimentale: corpo fermo davanti al sensore:


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Quinta fase sperimentale: congetturazione e argomentazione su allontanamento e avvicinamento rispetto al sensore:


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Il concetto di velocità nel moto:


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Misura e la pre-misura

Con il termine pre-misura si intende una serie di passaggi preliminari per la comprensione del concetto di misura vera e propria; passaggi che permettono all’allievo di conoscere e familiarizzare con alcune delle grandezze fisiche, compiendo su esse due operazioni fondamentali quali il confrontare e l'ordinare.

Queste operazioni che precedono, quindi, come detto, la misurazione, e avviano il bambino, passo dopo passo, al concetto di misura, gli permettono attraverso delle attività di “osservazione” e comunicazione, di passare, in maniera più o meno spontanea, da primi confronti qualitativi, alla scelta di una unità di misura e all’operazione di misura propriamente detta. Il procedere gradualmente dalla pre-misura alla misura vera e propria permette all’allievo di cogliere i vantaggi del processo di misurazione; identificando in maniera più precisa le grandezze fisiche in gioco e trovando quindi possibili relazioni tra queste.


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Didattica laboratorialeLe situazioni didattiche realizzate si propongono come primo obiettivo, quello di mettere in evidenza, attraverso semplici argomentazioni, come una prima ingenua osservazione di un fatto sperimentale spesso possa risultare ingannevole per un’operazione di confronto e solamente attraverso attività manuali e laboratoriali e attraverso la socializzazione delle osservazioni, il bambino può avviarsi verso un reale apprendimento dei concetti in gioco.

Esempi :

- “Le due tazze”

- “Le clessidre”


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- Le due tazze contengono la stessa quantità di cioccolata?...

- I diametri sono rispettivamente 6 cm. e 12 cm.; le altezze 8 cm. e 4 cm.

- Noti degli spazi vuoti, qui?

L’analisi delle analogie e differenze delle varie fasi sperimentali con le tre differenti clessidre, può condurre gli studenti, alla fine del processo di misurazione, a riconoscere nei tre strumenti differenti unità di misura e quindi l’impossibilità di ottenere valori numerici identici.Sperimentazione condotta dalle insegnanti Anna Catalano, Liliana Ferrarello, Rosalia Lo Giudice, Nicoletta Simonetti (MISSB, Palermo, 2008)


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I Paradossi nell’interpretazione semiotica delle Matematiche .


Logica, Filosofia e Linguaggio

Riflessioni sui possibili schemi di ragionamento in culture differenti : i paradossi logico-linguistici nella cultura europea e cinese. “Quaderni di Ricerca in Didattica”, n. 18, 2008. G.R.I.M.

Esempi di paradossi: Il cubo di Necker, il triangolo di Penrose, l’illusione di Zöllner, l’area che scompare…il paradosso di Zenone, il paradosso del mentitore, I paradossi della decisione…

Logica bivalemte- Logica Fuzzy


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Il paradosso…affermazioni, immagini, condizioni, prospettive che sembrano vere ma che in realtà sono contraddittorie…o che sembrano contraddittorie ma in realtà sono vere…o che, apparentemente corrette, portano a conclusioni contraddittorie …

Definizione di (Lolli, 1998, pag. 96)

Un esempio dalla “Scuola dei Nomi”, 370-310 d.c.

La differenza macroscopica tra la logica bivalente Aristotelica e quella Fuzzy, (A. Zadeh, 1965 ) è che ai concetti di “vero” e “falso” della logica booleana si sostituiscono a quelli di “grado di verità” e “grado di falsità”.

Semplificando quella che rappresenta la definizione di insieme fuzzy , potremmo dire che esso è caratterizzato da una funzione di appartenenza che assegna ad ogni elemento il suo grado di appartenenza e può assumere tutti i valori compresi nell’intervallo [0,1]


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Il Paradosso Dal punto di vista della Logica Fuzzy

Dal punto di vista della Logica

Bivalente

Dal punto di vista della

Cultura Cinese Classica

La distinzione fra ciò che si accosta di più e ciò che si accosta di meno è il minimo di accostamento e di distinzione: ciò che in tutti gli esseri è interamente accostato e interamente distinto corrisponde al massimo di accostamento e di distinzione.

Un insieme A e l’insieme non-A hanno nella logica fuzzy una intersezione che varia da un minimo a un massimo che dipende dalla possibilità di accostare A e non-A e di distinguere A e non-A.

Una proposizione del genere non rientra nei sillogismi aristotelici e non trova nemmeno riscontro nella dialettica di Hegel.

Rientra nel classico schema di convivenza tra opposti come nel caso dello yin e lo yang.

Un esempio dalla “Scuola dei Nomi”, 370-310 d.c.

“Un cavallo bianco non è un cavallo”. Questa proposizione possiamo dichiarala vera o falsa?2a) Soluzione2b) Motiva la soluzione proposta


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Didattica laboratorialeAlcuni riferimenti:

- Bazzini L., Scimone A., Spagnolo F., (2006), Il Numero, Editore Palumbo, Collana Universitaria: "Insegnare Matematica"diretta da L.Bazzini&F.Spagnolo.- Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C., (2007), La Geometria, una guida ai suoi contenuti e alla sua didattica, Palumbo, Palermo.- Scimone A., Spagnolo F. (2005), Argomentare e Congetturare nella scuola primaria e dell’infanzia, Palumbo, Palermo.- Scimone A., (2006), Storia della Matematica, Editore Palumbo, Collana Universitaria: "Insegnare Matematica"diretta da L.Bazzini&F.Spagnolo.- Spagnolo F., (1998) Insegnare le Matematiche nella scuola secondaria, La Nuova Italia. In particolare i capitoli 1, 2, 3, 4, 5, 6 e le appendici 3 e 4.- UMI, 2001; 2003- Materiale didattico in rete nel sito del G.R.I.M. (Gruppo di Ricerca sull’Insegnamento delle Matematiche): http://dipmat.math.unipa.it/~grim/matdit.htm

http://www.palumboeditore.it/default.aspx

http://www.palumboeditore.it/tabid/90/categorieId/10/materiaId/47/Default.aspx

http://www.palumboeditore.it/default.aspx

http://www.palumboeditore.it/tabid/90/categorieId/10/materiaId/47/Default.aspx

http://dipmat.math.unipa.it/~grim/matdit.htm


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1


G. Frege 1879 Begriffsschrift; eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reines Denkens, Nebert, Halle (tr.it. Ideografia, un linguaggio in formule del pensiero puro, a imitazione di quello aritmetico, in Frege 1965)


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Analisi critica di libri di testo per il concetto matematico

indagato (???)

Lavoro di gruppo

Metodologie didattiche e competenze disciplinari per il concetto indagato

Possibile progettazione e sperimentazione

Documents

Comunicazione delle Matematiche, Scienze delle Formazione, …math.unipa.it/~grim/Comunicaz_delle_Matem_09.pdf · 2009-05-22 · ScF Comunicazione delle Matematiche, Scienze delle